Применение сингулярных интегральных уравнений к электродинамическому анализу трубчатых электрических вибраторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Сингулярные представления функций Грина свободного пространства от поверхностной плотности азимутально-независимого электрического тока на бесконечно протяженном полом металлическом цилиндре.

1.1. Функция Грина в декартовой системе координат.

1.2. Функция Грина в цилиндрической системе координат.

1.3. Первое сингулярное представление функции Грина в цилиндрической системе координат.

1.4. Второе сингулярное представление функции Грина в цилиндрической системе координат.

1.5. Численные результаты сравнения различных представлений функции Грина.

1.6. Выводы.

Глава 2. Сингулярные интегральные уравнения в теории трубчатых электрических вибраторов.

2.1. Постановка задачи. Уравнение Поклингтона.

2.2. Вывод сингулярного интегрального уравнения из уравнений Максвелла.

2.3. Вывод второго сингулярного интегрального уравнения из уравнения Поклингтона.

2.4. Вывод третьего сингулярного интегрального уравнения из уравнения Поклингтона.

2.5. Сравнение сингулярных интегральных уравнений.

2.6. Выводы.

Глава 3. Электродинамический анализ трубчатых электрических вибраторов.

3.1. Сингулярное интегральное уравнение. Метод решения.

3.2. Электродинамический анализ симметричного электрического вибратора.

3.3. Электродинамический анализ несимметричного электрического вибратора.

3.4. Исследование внутренней сходимости численного алгоритма

3.5. Выводы.

Важное место в технике антенно-фидерных устройств занимает практика и теория построения вибраторных антенн, которые являются наиболее широко распространенным типом излучателей используемых в радиотехнических системах (РТС). Вибраторные антенны, используемые в РТС, в значительной степени определяют как качественные показатели, так и их стоимость. Электрические вибраторы применяются как самостоятельные слабонаправленные антенны, а также в качестве составных элементов сложных антенных систем. Вибраторные излучатели могут использоваться и в качестве облучателей зеркальных антенн. Также вибраторы широко используются в качестве элементов фазированных антенных решеток (ФАР) в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Вибраторы в системе ФАР позволяют, при соответствующем выборе конструкции, обеспечить работу в широкой полосе частот или в многочастотном режиме в совмещенных вибраторных ФАР, которые обеспечивают электрическое сканирование лучом в достаточно широком секторе углов до ±50° от нормали. Широкое применение вибраторных антенн обусловлено: достаточной простотой в изготовлении и расчете систем, состоящих из элементарных излучателей; относительно малой массой; устойчивостью к атмосферным внешним воздействиям; возможностью управления диаграммой направленности (ДН) благодаря включению управляемых нагрузок.

В настоящее время симметричные вибраторные антенны используют на декаметровых, метровых и дециметровых волнах. В этих же диапазонах применяют и сложные антенны, состоящие из ряда симметричных вибраторов. Симметричные вибраторы находят применение и в сантиметровом диапазоне волн в качестве элементов различных сложных систем.

Несимметричные вертикальные заземленные вибраторы применяют на километровых и гектометровых волнах (антенны-мачты), а также на декаметровых и особенно на метровых волнах (автомобильные, самолетные и другие антенны).

Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показатели РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: диаграммы направленности, входного сопротивления, сопротивления излучения, распределения тока по антенне и др. Также представляет определенный интерес знание структуры поля в ближней зоне антенны, ее характеристик направленности, уровней бокового излучения. Точное определение значений электрического и магнитного полей может быть использовано при решении проблем электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии.

С точки зрения проектирования вибраторных антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения тонкого электрического вибратора в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов, и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.

В решении этой проблемы до настоящего времени существует много пробелов. Подробный анализ известных научных работ показал, что:

- решение данной задачи проводилось с использованием, как правило, математических моделей, приводящих к значительным погрешностям;

- в работах, где использованы строгие модели, большинство результатов приведены для полуволнового вибратора и практически не отражены вопросы оценки точности вычислений.

Задача расчета (анализа) электрического вибратора относится к числу классических внешних задач электродинамики. К настоящему времени разработано большое число универсальных, мощных и достаточно точных методов решения внутренних и внешних задач электродинамики /1-10/, которые целесообразно еще раз критически осмыслить с точки зрения возможности их применения к задаче расчета тонкого электрического вибратора.

Актуальность работы

Задачи о тонких проволочных (вибраторных) антеннах, как правило, сводят к решению интегральных уравнений. В настоящее время многими авторами такой подход считается достаточно общим и строгим. Данный подход предполагает переход от интегродифференциальных уравнений к интегральным, с последующим их решением. В задачах нахождения токораспределения в тонких проволочных вибраторных антеннах используют, по меньшей мере, два вида интегральных уравнений - Халлена и Поклингтона. По-видимому, первой работой в этой области следует считать /11/, в которой уравнение Поклингтона использовалось для доказательства того, что распределение тока в тонком проводе близко к синусоидальному, а скорость волны тока равна скорости света. В /12/ также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчету распределения тока по вибратору можно считать труды Халлена Е. /13/, Леонтовича М.А. и Левина М.Л. /14/. В них рассмотрен трубчатый диполь, расположенный в свободном пространстве. Интегральное уравнение, полученное в работах /13,14/ и названное уравнением Халлена, позволяло вычислять распределение тока по вибратору, расположенному в свободном пространстве, и его входное сопротивление.

Задача расчета тонкого электрического вибратора получила дальнейшее развитие в работах Кинга Р. в 60-е годы /15-18/. Следует также отметить работы Кляцкина И.Г. /19,20/, Неймана М.С. /21/, Конторовича М.И. и Соколова И.О. /22/. В них систематизированы и последовательно изложены многие аспекты проблемы, а также предложены различные подходы к решению интегрального уравнения Халлена.

При решении электродинамических задач расчета вибраторных антенн широко используется тонкопроволочное приближение /5, 18, 23-28/, сущность которого состоит в следующем. Рассматривается антенна, состоящая из цилиндрического проводника с диаметром поперечного сечения, значительно меньшим длины волны. Относительно данной антенны ставится задача в виде интегрального уравнения, имеющего смысл граничного условия на поверхности идеального проводника для электрического поля, с учетом только продольных (параллельных оси провода) составляющих тангенциального поля и тока. При этом поверхностному току, умноженному на 2па (а- диаметр проводника), сопоставляется линейный ток, текущий по оси провода. Такой подход позволяет существенно упростить вид искомой токовой функции, (векторная функция поверхностной плотности тока заменяется скалярной) и вид граничных условий (в качестве стороннего поля рассматривается лишь составляющая, вектор которой параллелен оси проводников). В /26/ показано, что максимальный электрический радиус полуволнового вибратора, допускающий тонкопроволочное приближение, составляет 0.125% длины волны. При радиусах, превышающих указанную величину, не удается получить устойчивое решение. По-видимому, это ограничение справедливо не только для полуволнового вибратора, но и для любого линейного проводника.

Приведенные выше работы касались вибраторных антенн, расположенных в свободном пространстве. Однако, для решения многих практических задач, требуется знание параметров антенн, расположенных вблизи поверхности земли. Обычно поверхность земли представляют в виде бесконечной идеально проводящей плоскости. Используя метод зеркального отображения можно перейти от модели с границей раздела к системе связанных вибраторов. В этом случае параметры вибраторов можно определить приближенно методом наведенных ЭДС /29,30/. В работах Зоммерфельда J1. /31/ и Гершельмена X. /32/ впервые получены интегральные представления потенциальных функций вертикального и горизонтального диполей расположенных над полупроводящей поверхностью. Анализом решения Зоммерфельда долгое время занимался Тар-маковский J1.C. /33/. В /34/ решалась задача определения распределения тока по вертикальной вибраторной антенне над проводящим полупространством. Авторы решали эту задачу методом моментов, используя интегральное уравнение Халлена. В работе приведены результаты только для полуволнового вибратора и двух видов подстилающей поверхности. Влияние реальной поверхности земли на параметры элементарных излучателей и их ближнее поле исследовалось в работах Губанова B.C. /35/ и Анкудинова В.Е. /36/. В работах Рашковского C.JI. /37,38/ было найдено распределение тока по вибратору с использованием уравнения Поклингтона и метода регуляризации распределения тока, основанном на кусочно-квадратичном его сглаживании. Получены результаты для вертикального и горизонтального вибраторов для одного вида подстилающей поверхности.

В последнее время появилось много новых работ, в которых также использовалось тонкопроволочное приближение /39-43/.

Построение математических моделей вибраторов с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока может быть осуществлено с учетом результатов работы /44/.

Как правило, расчет тонких электрических вибраторов основан на решении интегродифференциальных уравнений Поклингтона и Харрингтона, а также интегрального уравнения Халлена методом моментов /5, 45-50/. По существу он сводится к преобразованию указанных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти неизвестные постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций /5, 51/, существуют достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Методы решения подобных уравнений рассмотрены в работах Неганова В.А. и Нефедова Е.И. (см., например, /52, 53/).

При решении интегральных уравнений Поклингтона и Халлена методом моментов ключевым является вопрос о сходимости численных результатов. Зачастую у авторов в литературе возникают различные противоречивые рекомендации по выбору базисных функций. Например, многие исследователи отдают предпочтение кусочно-синусоидальным функциям, ссылаясь на то, что их использование дает наивысшую точность /5/. Однако, сходимость решений при 8 этом /39/ имеет немонотонный характер, и сходимость достигается при большом числе разбиений (больше 100), независимо от выбора базисных функций.

До середины 90-х годов на практике при анализе антенных решеток и вообще проволочных антенн, в основном, применялись методы, основанные на тонкопроволочном приближении /54-58/, при котором ток в проводнике описывается как линейный (нитевидный), текущий вдоль оси провода, а тангенциальная составляющая поля определяется на поверхности проводника. Основным недостатком постановки задач расчета тонкопроволочных антенн в виде интегральных уравнений следует считать, на наш взгляд, то, что при их решении исходные сингулярные интегральные ядра, записанные большинством авторов в неявном виде, заменяются на регулярные. Сформулированная таким образом задача математически приводит к уравнению Фредгольма первого рода /6, 59, 60/, нахождение решений которых является некорректно поставленной задачей /61, 62/. Также остается открытым вопрос проверки истинности решения и установления его адекватности рассматриваемой физической задаче. В /63/ Эми-новым С.И. был предложен новый класс базисных функций для решения таких уравнений, называемых собственными функциями интегродифференциального оператора. Однако, в результате использования этих функций, алгоритм численного решения оказывается сильно усложненным. В /64-67/ Негановым В.А. и Матвеевым И.В. был развит новый метод, с помощью которого на основе математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений СИУ /68-70/, было получено СИУ относительно производной по продольной координате от плотности поверхностного тока на вибраторе. Такая постановка задачи является корректной по Адамару /61/, благодаря чему обеспечивается наличие устойчивых решений даже при больших электрических радиусах проводников. Ранее этот подход с успехом применялся Негановым В.А. и Нефедовым Е.И. для построения математических моделей полосково-щелевых волноведу-щих и резонансных структур сверх - и крайневысоких частот /71-79/. Близкие подходы для излучающих систем, состоящих из ленточных проводников, были развиты в /80-82/. Численные методы решения СИУ описаны в монографиях /83,84/.

Подводя итог анализу состояния вопроса, можно сделать следующие основные выводы:

1. В строгой электродинамической постановке решение задачи анализа для тонкого электрического вибратора разделяют на две части: внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренняя задача анализа для тонкого вибратора состоит в определении распределения тока по вибратору по заданному возбуждению поля в зазоре, причем ток по всему вибратору предполагается непрерывным, включая зазор (некий эквивалентный электрический ток). Внешняя задача анализа заключается в том, что по известному распределению тока по вибратору определяется поле излучения антенны в свободном пространстве.

2. Большинство известных методов, внутреннюю задачу анализа для тонких электрических вибраторов сводят к интегральным уравнениям Фред-гольма первого рода, нахождение решений которых представляет собой некорректно поставленную задачу. Поэтому фактически все численные результаты по решению внутренней краевой задачи для вибратора требуют проверки на достоверность.

3. В работах /64-67/ предложен метод, позволяющий внутреннюю задачу анализа для тонких электрических вибраторов свести к СИУ, относительно распределения производной по продольной координате от функции тока по вибратору. Заметим, что нахождение решений СИУ есть уже математически корректная задача, и проблема достоверности в этом случае не возникает.

Цель работы

Целью работы является разработка метода сингулярных интегральных уравнений расчета трубчатых электрических вибраторных антенн, который включает в себя:

- алгоритм сведения внешней электродинамической задачи расчета трубчатых электрических вибраторов, исходя из уравнений Максвелла, к СИУ относительно производной тока по продольной координате (вдоль оси вибратора);

- алгоритм сведения уравнения Поклингтона для трубчатых электрических вибраторов к СИУ относительно производной тока по продольной координате.

Методы исследования

Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, численные методы решений интегральных уравнений. Численные результаты работы получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ на языке М^етайса 4.0.

Научная новизна диссертации связана с

- впервые введенными в теорию трубчатых электрических вибраторов двух сингулярных представлений функции Грина свободного пространства, записанных в цилиндрической системе координат;

- использованием математического аппарата СИУ, к которым были сведены внутренние задачи анализа трубчатых электрических вибраторов;

- математической корректностью постановки внешней краевой электродинамической задачи для трубчатых электрических вибраторов;

- достоверностью полученных численных результатов диссертации, что следует из математически корректно поставленной задачи и подробного исследования внутренней сходимости метода СИУ, развитого в диссертации;

- с исследованием распределения тока по трубчатому несимметричному вибратору.

Положения, выносимые на защиту:

1. Два сингулярных представления функции Грина свободного пространства от поверхностной плотности азимутально-независимого электрического тока на бесконечно протяженном полом металлическом цилиндре.

2. Два сингулярных представления производной по координате г от функции Грина свободного пространства от поверхностной плотности азимутально-независимого электрического тока на бесконечно протяженном полом металлическом цилиндре.

3. Разработка на основе уравнений Максвелла метода сведения внешней электродинамической задачи расчета трубчатых электрических вибраторов к СИУ относительно производной тока по продольной координате.

4. Разработка метода сведения уравнения Поклингтона для трубчатых электрических вибраторов к СИУ относительно производной тока по продольной координате.

5. Три СИУ относительно распределения производной тока по продольной координате для трубчатых электрических вибраторов.

6. Численно-аналатический алгоритм решения СИУ, основанный на его сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с последующим решением методом моментов.

7. Численные результаты решения внутренней задачи анализа с оценкой их достоверности для симметричного и несимметричного трубчатых электрических вибраторов: комплексные распределения тока по вибраторам разных длин и радиусов, зависимости входного сопротивления от длины вибраторов.

Обоснованность и достоверность результатов работы:

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических моделей. Использованные при этом приближенные методы расчета, основанные на аппарате интегральных уравнений, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся:

- путем исследования внутренней сходимости решений;

- сравнением полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов полученных с помощью других методов.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработанный в диссертации метод сведения задач расчета симметричного и несимметричного трубчатых электрических вибраторов к СИУ может быть обобщен на случай связанных электрических вибраторов; тонких электрических вибраторов с различной ориентацией в пространстве, расположенных над границей двух сред; рамочных антенн; вибраторных ФАР и т. д.

2. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели симметричного и несимметричного трубчатых электрических вибраторов могут быть использованы для оптимизации слабонаправленных вибраторных антенн.

3. Программы расчета электрических вибраторов могут быть использованы в качестве программ расчета базовых элементов в системах автоматизированного проектирования вибраторных ФАР.

Апробация работы

Диссертационная работа выполнена в рамках гранта Т00-2.4 Минобразования РФ «Разработка методов решения внутренних и внешних задач электродинамики на основе сингулярных интегральных уравнений для проектирования волноведущих излучающих полосково-щелевых структур», а также в рамках НИР «Разработка электродинамических методов анализа полосково-щелевых структур СВЧ с учетом анизотропии и нелинейных параметров среды и создание новых принципов обработки и передачи информации в системах связи СВЧ и КВЧ диапазонов» (тема 35/93, шифр - «Аспект - ПИИРС», 1998-2000гг).

Материалы диссертации докладывались:

- на VI Международной научно-технической конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (Самара, сентябрь 1999г.);

- на научной конференции по теоретической физике (Самарский государственный университет, Самара, 17 ноября 1999г.);

- на VII российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (ПГАТИ, Самара, март 2000г.);

- на 7 международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», (Воронеж, 2001 г);

- на I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 5 статей и 5 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях и семинарах.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе получены два сингулярных представления в цилиндрической системе координат функций Грина свободного пространства от поверхностной плотности азимутально-независимого электрического тока на бесконечно протяженном полом проводящем металлическом цилиндре, а также сингулярные представления производных по координате 2, от этих двух функций Грина. Показано, что действительную часть производной по координате г для первого сингулярного представления функции Грина без предварительного выделения особенности использовать в численных расчетах нельзя: она имеет сильно осциллирующий характер. Второе сингулярное представление функции Грина свободного пространства и ее производная при численных расчетах не требуют выделения в них особенностей.

Во второй главе описана физическая модель и сформированы основные положения электродинамики, на основе которых в диссертации построена теория трубчатых электрических вибраторов. Для внутренней задачи анализа - это интегродифференциальное уравнение Поклингтона относительно неизвестного распределения тока по вибратору с функцией Грина с выделенной особенностью (первое сингулярное представление). В уравнение Поклингтона входит и ее производная по координате г. В научной литературе обычно используется функция Грина свободного пространства для нитевидного источника тока при р = 0, записанная в цилиндрической системе координат, точка наблюдения при этом выбирается на поверхности цилиндра р = а. Такая функция принципиально не имеет особенностей. Из интегрального уравнения Поклингтона на основе выделения особенностей в функции Грина, записанной в цилиндрической системе координат, получены два СИУ относительно распределения производной тока по вибратору. Еще одно СИУ получено непосредственно из уравнений Максвелла. Далее проводится регуляризация СИУ, в результате чего получаются интегральные уравнения Фредгольма второго рода, ядра которых учитывают поведение производной тока на концах вибратора. Решения уравнений Фредгольма второго рода находятся методом моментов, причем функция тока (производной тока) апроксимируется полиномами Чебышева второго (первого) рода с неизвестными постоянными коэффициентами. В результате внутренняя задача анализа для электрического вибратора сведена к решению неоднородной линейной алгебраической системы уравнений для определения неизвестных коэффициентов в разложении для тока (производной тока) по полиномам Чебышева второго (первого) рода.

В третьей главе разработан метод решения СИУ для тонких электрических вибраторов, основанных на его сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью формул обращения интеграла типа Коши. Далее процедура нахождения производной тока сводится решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных в разложении производных тока по полиномам Чебышева 1-го рода. Проведено исследование численного алгоритма и получены рекомендации для достижения заданной точности расчетов. Получены комплексные распределения тока по симметричному и несимметричному трубчатым электрическим вибраторам. Рассчитаны зависимости входных сопротивлений симметричного и несимметричного электрических вибраторов от их нормированных длин (по отношению к длине волны) при различных значениях радиусов проводников.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

3.5. Выводы

1. Разработан метод решения сингулярных интегральных уравнений для тонкого электрического вибратора основанный на его сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью формул обращения интеграла типа Коши. Далее процедура нахождения производной тока сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных в разложении производной тока по полиномам Че-бышева 1-го рода (для тока - по полиномам Чебышева 2-го рода).

2. Второй предлагаемый способ решения уравнений Фредгольма второго рода сводится к использованию квадратурных формул для сингулярных интегралов с последующим сведением к СЛАУ относительно неизвестных значений функции тока в некоторых точках вибратора. В конечном итоге так же к СЛАУ относительно неизвестных постоянных в разложении производной тока по полиномам Чебышева 1-го рода (для тока - по полиномам Чебышева 2-го рода).

3. Проведено исследование численного алгоритма расчета трубчатых электрических вибраторов. Получены рекомендации для достижения заданной точности расчетов.

4. Получены комплексные распределения тока по симметричному электрическому вибратору при различных значениях длины и радиуса. Рассчитаны зависимости симметричного электрического вибратора от его нормированной длины 1/Х для различных значений а/Х.

5. Получены комплексные распределения тока по несимметричному электрическому вибратору при различных значениях длины и радиуса. Рассчитаны зависимости несимметричного электрического вибратора от его нормированной длины 1/Х для различных значений а/Х. г < < (

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам и выводам диссертации следует отнести следующее:

1. В предположении отсутствия азимутальной зависимости электромагнитного поля получены два сингулярных представления функций Грина свободного пространства в цилиндрической системе координат от поверхностной плотности электрического тока на бесконечно протяженном идеально проводящем полом металлическом цилиндре.

2. В предположении отсутствия азимутальной зависимости электромагнитного поля получены сингулярные представления производных по координате z (Az) функций Грина свободного пространства в цилиндрической системе координат от поверхностной плотности электрического тока на бесконечно протяженном идеально проводящем полом металлическом цилиндре.

3. Показано, что действительную часть производной по координате z (Az) функций Грина свободного пространства G2(At) (первое сингулярное представление функции Грина) без предварительного выделения особенности использовать в численных расчетах нельзя: она имеет сильно осциллирующий характер.

4. Второе сингулярное представление функции Грина свободного пространства G3(At) и ее производной K3(At) при численных расчетах не требует выделения в них особенностей.

5. Строго говоря, две функции

-ik\l(z-z')2+a2

GAz,z') =-.

4тиV(z - z'f + а2 и

G2(z,z') = —m )e~ih{z-zb0(- iaJh2-k2)H™(- iajh2-k2)dh ^^^ —00 не совпадают, хотя и являются функциями Грина свободного пространства. Функция G2(z,z') при z = z', как было показано выше, имеет логарифмическую особенность, а функция G,(z,z') равна е~гка/4ка. Различие этих двух функций имеет физическое объяснение. Первая функция - это функция Грина свободного пространства от бесконечной нити тока, направленной вдоль оси вибратора (р = 0) с дополнительным условием, что наблюдение ведется на поверхности р = а. Вторая функция -функция Грина свободного пространства от поверхностной плотности азимутально-независимого электрического тока на бесконечно протяженном идеально проводящем полом металлическом цилиндре р = а. Поэтому имеет место неравенство ^(г - г') Ф С2(г- г'), которое особенно проявляется при г - г' -> 0.

6. В приближении отсутствия азимутальной зависимости электромагнитного поля разработан прямой метод сведения внешней краевой задачи для тонкого электрического вибратора, исходя из уравнений Максвелла, к сингулярному интегральному уравнению относительно производной по продольной координате (вдоль оси вибратора) от тока.

7. В приближении отсутствия азимутальной зависимости электромагнитного поля разработан метод сведения уравнения Поклингтона для тонкого электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению относительно производной по продольной координате (вдоль оси вибратора) от тока, основанный на использовании функции Грина в цилиндрической системе координат. Исходя из двух представлений функций Грина в цилиндрической системе координат, получены два разных сингулярных интегральных уравнения.

8. Проведено сравнение трех сингулярных интегральных уравнений для тонкого электрического вибратора с точки зрения вида регулярных частей ядер, которые определяют особенности счета и быстроту сходимости.

9. Разработан метод решения сингулярных интегральных уравнений для тонкого электрического вибратора основанный на его сведении к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью формул обращения интеграла типа Коши. Далее процедура нахождения производной тока сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных в разложении производной тока по полиномам Чебышева 1-го рода (для тока -по полиномам Чебышева 2-го рода).

10. Второй предлагаемый способ решения уравнений Фредгольма второго рода сводится к использованию квадратурных формул для сингулярных интегралов с последующим сведением к СЛАУ относительно неизвестных значений функции тока в некоторых точках вибратора. В конечном итоге так же к СЛАУ относительно неизвестных постоянных в разложении производной тока по полиномам Чебышева 1-го рода (для тока - по полиномам Чебышева 2-го рода).

11. Проведено исследование численного алгоритма расчета трубчатых электрических вибраторов. Получены рекомендации для достижения заданной точности расчетов.

12. Получены комплексные распределения тока по симметричному электрическому вибратору при различных значениях длины и радиуса. Рассчитаны зависимости ZBX симметричного электрического вибратора от его нормированной длины 1/Х для различных значений а/Х.

13. Получены комплексные распределения тока по несимметричному электрическому вибратору при различных значениях длины и радиуса. Рассчитаны зависимости ZBX несимметричного электрического вибратора от его нормированной длины 1/Х для различных значений а/Х.

1. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Сов.радио, 1957.581с.

2. Марков Г.Т, Васильев E.H. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Сов. радио, 1979. - 120с.

3. Марков Г.Т, Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. -М.-Л.: Энергия, 1967. 376с.

4. Антенны (современное состояние и проблемы) / Под ред. Л Д. Бахраха и Д.И. Воскресенского. М.: Сов. радио, 1979. - 208с.

5. Вычислительные методы в электродинамике / Под редакцией Р. Митры: Пер. с англ. / Под ред. Э.Л. Бурштейна. М.: Мир, 1977. - 485с.

6. Айзенберг Г.З., Ямполъский В.Г., Терешин О.Н. Антенны УКВ. Т.1. -М.: Связь, 1977.-384с.

7. Воскресенский Д.И., Пономарёв Л.И. Филиппов B.C. Выпуклые сканирующие антенны (основы теории и методы расчёта). М.: Сов радио, 1978. - 304с.

8. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. В 2-х томах. Пер. с англ. / Под ред. М.Л. Левина. М.: Мир, 1978. - 1003с.

9. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. -М. Радио и связь, 1982. 184с.

10. Нефёдов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М.: Наука, 1979. - 272с.

11. Pocklington H. С., Camb. : Phil. Soc. Proc. № 9 - 324 ( 1897).

12. Pichmond J.H., Proc. IEEE. № 53. - 796 (1965).

13. Hallen E. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta (Uppsala). 1938. - № 11. - P. 1-44.

14. Леонтович M.A., Левин М.Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах // ЖТФ. 1994. - Т. 14. - Вып. 9. - С. 481.

15. King R. W.P., Wu Т. Т. 11 Radio Science. J. Res. N.B.S. 1965. - 69D.

16. King R. W.P., Aronson E.A., Harrison C. W. II Radio Science. 1966. - № 1.

17. King R. W.P., Sandler В. II IEE Trans. Antennas Propagat. 1973. - AP-21.122

18. Кинг Р., Смит Г. Антенны в материальных средах: В 2-х кн.: Пер. с англ. / Под. ред. Б.В. Штейнитейгера. М.: Мир, 1984. - 824с.

19. Кляцкин И.Г. Интегральное уравнение антенны и метод наведённых ЭДС // Радиотехника. 1964. - Т. 19. - № 4.

20. Кляцкин ИГ. Об излучении антенн // Радиотехника. 1965. - Т. 20.12.

21. Нейман М. С. Метод наведённых ЭДС и интегральное уравнение антенн // Радиотехника. 1965. - Т. 20. - № 12.

22. Конторович М.И., Соколов НО. Об интегральном уравнении, описывающем распределение тока в прямолинейной антенне // Радиотехника. 1965. -Т. 20.-№ 12.

23. Корнилов М.В., Калашников Н.В., Рунов A.B. и др. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн // Радиотехника. 1989. -№7.-С. 82-83.

24. Назаров В.Е., Рунов A.B., Подиногин В.Е. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн // Радиотехника и электроника. Минск: Вышейшая школа. - 1976. - Вып. 6. - С. 153-157.

25. Стрижков В.А. Математическое моделирование электрических процессов в проволочных антенных системах // Математическое моделирование. 1989. -Т. 1. - № 38. - С. 127-138.

26. Радциг Ю.Ю., Сочимин A.B., Эминов С.И. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами // Радиотехника. 1995. - № 3. - С. 55-57.

27. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38. - Вып. 12. - С. 2160-2168.

28. Эминов С.И. Теория интегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. - Т. 5. -Вып. 2(18).-С. 48-58.

29. Рожанский Д.А. Об излучении антенн // ТиТбП. 1922. - № 14.

30. Пистолькорс A.A. Расчёт сопротивления излучения направленных коротковолновых антенн // ТиТбП. 1928. - № 48.

31. Sommerfield L. Uber die Ausbereitung electromagnetisher Wellen in der Drahtlosen Télégraphié // Annalen der Physic. 1919. - В. 28. - S. 665.

32. Horschelmann H. Uber die Wirkungweise der gebogenem Antennen von Marconi bei derb drahtlosen Télégraphié Y.d.d. // T u T. Bd5. Hl. 1911. - S. 14-34.

33. Тартаковский Л. С. Излучение диполя над плоской однородной землей // Радиотехника. 1959. - Т. 14. - № 8.

34. Chang D. and Wait J. Theory of a vertical tubular antenna located above a conducting half-spase // IEEE Trans. Antennas Propogat. 1970. - V. AP-18. -PP. 182-188.

35. Губанов B.C. Входное сопротивление и сопротивление излучения элементарных вибраторов, расположенных над полупроводящей почвой // Антенны. -1972.-№ 17.

36. Анкудинов В.Е. Горизонтальный электрический диполь на границе раздела двух сред // Антенны. 1974. - № 19.

37. Рашковский С.Л. Исследование антенн, размещённых вблизи границы раздела двух сред, методом интегрального уравнения // Известия вузов. Радиофизика.- 1980.-Т. 13.-№7.

38. Рашковский С.Л. Характеристики линейных вибраторов, размещенных вблизи границы раздела двух сред // Известия вузов. Радиофизика. 1981. - Т. 14. -№4.

39. Лиштаев О.Б., Лучанинов А.И., Толстова C.B., Шокало В.М. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии // Радиотехника. 1992. - № 1-2. - С. 87-88.

40. Лешеев А. А. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов // Радиотехника. 1995. - № 1-2. - С. 22-25.

41. Журбенко Э.М. О строгой теории элементарного электрического вибратора // Электросвязь. 1995. - № 3. - С. 34-36.

42. Бородулин И.В., Стрижков В.А. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решёток из проволочных излучателей // Электросвязь. -1995. -№3.- С. 33-34.

43. Васильев Е.Н., Малушков Г.Д. Распределение тока на цилиндре средней толщины // Известия вузов. Радиофизика. 1975. - Т. 10.-№ 4. - С. 530-538.

44. Harrington R.F. Field computation by moment methods. MacMillan, New York, 1968.

45. Mishra S.R. Three-term exponential product solution for the current on dipole antennas in homogeneous isotropic media // Tech. Rept. № 636. Division of engineering and applied physics, Harvard University, Cambridge, Mass., 1972.

46. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1988. - 432с.

47. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн: Учебник для вузов / Г.А. Ерохин, О.В. Чернышев, Н.Д. Козырев, В.Г. Кочержевскищ под ред. Г.А. Ерохина. М.: Радио и связь, 1996. - 352с.

48. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. Т.1. / Под ред. В.А. Неганова. М.: Радио и связь, 2000. - 509с.

49. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.-Л.: ГИФНЛ, 1962. - 708с.

50. King R.W.P. The linear antenna-eighty years of progress // Proc. Inst. Elec. Electron. Eng. 1967. - V. 55. - № 6. - P. 2-16.

51. Неганов B.A., Нефедов Е.И. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линий передачи для объемных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5. - С. 1124-1129.

52. Неганов В.А., Нефёдов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. М.: Наука. Физматлит, 1996. - 304с.

53. Бородулин И.В., Стрижков В.А. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решеток из проволочных излучателей // Электросвязь. -1995.-№3.-С. 33-34.

54. Коротковолновые антенны / Г.3. Айзенберг, С.П. Белоусов, Э.М. Журбен-ко и др.; Под ред. Г.З. Айзенберга. М.: Радио и связь, 1985 - 536 с.

55. Лешеев A.A. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов // Радиотехника. 1995. -№ 1-2. - С. 22-25.

56. Лиштаев О Б., Лучанинов А.И., Толстова C.B., Шокало В.М. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии // Радиотехника. 1992. - № 1-2. - С. 87-89.

57. Назаров В.Е., Рунов A.B., Подининогин В.Е. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн // Радиотехника и электроника. Вып. 6.-Минск: Высшая школа, 1976.-С. 153-157.

58. Плотников В.Н., Сочилин А.В, Эминов С.И. Численно-аналитический метод расчёта вибраторных антенн // Радиотехника. 1996. - № 7.

59. Рунов A.B. О специализации интегрального уравнения тонкой проволочной антенны произвольной геометрии к некоторым частным случаям // Радиотехника и электроника. Минск: Вышейшая школа. - 1976. - Вып. 6. - С. 161-167.

60. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-288с.

61. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. Физматлит, 1990.

62. Эминов С.И. Метод собственных функций сингулярных операторов в теории дифракции применительно к электродинамическому анализу вибраторных и щелевых антенн: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. Новгород, 1995.- 43с.

63. Неганов В.А., Матвеев ИВ. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1999. - Т. 2. -№ 2. - С.27-33.

64. Неганов В.А., Матвеев ИВ. Новый метод расчёта тонкого электрического вибратора //Известия вузов. Радиофизика. -2000. Т. 43. - № 3. - С. 335-344.

65. Неганов В.А., Матвеев И.В. Применение сингулярного интегрального уравнения для расчёта тонкого электрического вибратора // ДАН. 2000. - Т. 371. -№ 1. - С. 36-38.

66. Неганов В.А., Матвеев И.В., Медведев С.В. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 36. - Вып. 12. - С. 86-94.

67. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640с.

68. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1986.-512с.

69. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свёртки. М.: Наука, 1978.296с.

70. Гвоздев В.И, Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта дисперсии симметричной щелевой линии // Известия вузов. Радиофизика.1984 -Т. 27. № 2. - С. 266-268.

71. Неганов В.А. Метод ортогонализующей подстановки для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур // Известия вузов. Радиофизика.1985 -Т. 28. № 2. - С. 222-228.

72. Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта собственных волн экранированной щелевой линии // Радиотехника и электроника. 1985. - Т. 30. - № 7. - С. 1296-1299.

73. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Метод ортогонализующей подстановки в теории экранированных интегральных структур СВЧ // ДАН СССР. 1985. -Т. 284. - № 5. - С. 1127-1131.

74. Неганов В.А. Метод сингулярных интегральных уравнений для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур // Радиотехника и электроника. 1986. - Т. 31. - № 11.-С. 479-484.

75. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объ127мных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. 1988. - Т. 299. - № 5. -С. 1124-1129.

76. Неганов В.А. Метод интегральных представлений полей собственных волн в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур // Радиотехника и электроника. 1989. - Т. 34. - № 11. - С. 2251-2260.

77. Неганов В.А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33. - № 5. - С. 1076-1077.

78. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Оценка точности приближённых решений сингулярных уравнений в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур // Журнал вычислительной математики и математическая физика. 1988.-№ 11. - С. 1431-1436.

79. Заборонкова Т.М., Кудрин A.B., Петров Е.Ю. К теории рамочной антенны в анизотропной плазме // Известия вузов. Радиофизика. 1998. - Т. 41. - № 3. -С. 358-373.

80. Bulter С.М., Wilton D.R. II IEEE Trans. Antennas Propogat. 1980. -V. AP-28. - № l.-P. 42.

81. Bulter C.M. II IEEE Trans. Antennas Propogat. 1984. - V. AP-32. - № 3. -P. 226.

82. Белоцерковский C.M., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. Физматлит, 1985. - 256с.

83. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук, думка, 1984. -344с.

84. Г. Торн, Т Торн Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. - 832с.

85. Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964.-772с.

86. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.-383с.

87. Градштейн КС., Рыжик КМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108с.

88. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974. - 296 с.

89. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ. / Под ред. Г.В.Воскресенского. М.: Мир, 1974. - 323с.

90. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математитческие формулы / Пер. с англ. Н.В.Леей. М.: Наука, 1983. - 176с.

91. Справочник по специальным функциям / Под ред. М.Абрамовица и КСтигана. М.: Наука. Физматлит, 1979. - 832 с.

92. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. - 752с.

93. Неганов В.А., Матвеев К.В., Медведев С.В. СИУ для расчёта проволочных вибраторных антенн // Тезисы VI международной конференции «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ». Т. VII. - Вып. 3(24). - Самара, 1999. - 207с.

94. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби) / Под ред. Л.А. Люстерника и А.Р. Янполъского. М.: Физматлит, 1961.

95. Матвеев КВ., Неганов В.А. Исследование электрического вибратора на основе уравнения Поклингтона // Тезисы VII Российской научной конференции проф-препод. состава, научных сотрудников и аспирантов. ПГАТИ. Часть 1. Самара, 2000. - С. 32.

96. Неганов В.А., Корнев М.Г., Матвеев КВ. Новое интегральное уравнение для расчета тонкого электрического вибратора // Письма в ЖТФ. 2001. - Т. 27. -Вып. 4.-С. 62-71.

97. Неганов В.А., Корнев М.Г., Матвеев КВ. Новое интегральное уравнение для расчета тонкого электрического вибратора // Тезисы VII международнойнаучно-технической конференции «Радиолокация, навигация и связь». Т. 3. - Воронеж, 2001.-С. 1938-1943.

98. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.2 М.: Наука, 1977. - 400с.