Сингулярные интегральные уравнения в теории конформных цилиндрических полосковых излучающих структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики»

На правах рукописи

Клюев Дмитрий Сергеевич

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОЛОСКОВЫХ ИЗЛУЧАЮЩИХ СТРУКТУР

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Самара — 2005

Работа выполнена на кафедре основ конструирования и технологий радиотехнических систем государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики» (ПГАТИ)

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор Вячеслав Александрович Неганов

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Владимир Андреевич Калмык кандидат физико-математических наук, доцент Валерий Васильевич Зайцев

Ведущая организация —

ФГУП ФНПЦ «Научно-исследовательский институт измерительных систем им. Ю.Е. Седакова», г. Нижний Новгород

Защита диссертации состоится « /У » 2005 г.

в часов на заседании диссертационного совета Д219.003.001 в Поволжской государственной академии телекоммуникаций и информатики по адресу:

443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГАТИ Автореферат разослан « 9 » И^т^Ц? 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного

совета Д219.003.01, доктор технических наук

ЪООб-Ч

45

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При анализе действующих антенн, а особенно при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности (ДН) и др. Кроме того, часто необходима информация о структуре поля в ближней зоне антенны. Определение достоверных (самосогласованных) значений напряженности электрического и магнитного полей особенно актуально при решении проблем электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии.

Существующие в настоящее время программы расчета антенн на ПЭВМ (в основном зарубежного производства), основанные на общих численных методах и уравнениях Максвелла, продаются как готовый «закрытый» продукт, внутреннее содержание которого, как правило, не раскрывается. Поэтому оценка погрешности расчетов с помощью таких программ, требующих громадных затрат вычислительных ресурсов, практически невозможна. Более того, общие алгоритмы, построенные на основе общих вычислительных методов, зачастую могут быть неустойчивыми.

Задачу расчета параметров любой антенны обычно решают в два этапа. На первом этапе (внутренняя задача анализа антенны) определяют электрические или магнитные токи на некоторой виртуальной поверхности, которую в дальнейшем будем называть поверхностью излучения. На втором этапе (внешняя задача анализа антенны) по найденным токам на поверхности излучения определяют электромагнитное поле в любой точке пространства. К настоящему моменту решение внешней задачи по известному распределению токов для большинства известных излучателей особой проблемы не представляет. Почти все проблемы, связанные с построением адекватных физических и математических моделей излучающих систем, относятся к внутренним задачам анализа. В работе рассматриваются внутренние задачи анализа для одиночных и связанных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн, а также одиночного и связанных полосковых туров, расположенных

на соосных цилиндрических I л

I БИБЛИОТЕКА 3

Характерной особенностью большинства работ, посвященных рамочным антеннам, является использование заданных распределений тока, как вдоль антенного провода, так и по его поперечному сечению, т.е. поставленная задача является несамосогласованной. В самосогласованной постановке в [Л 1] рассмотрена задача о распределении тока в рамочной антенне, находящейся в анизотропной плазме и представляющей собой бесконечно тонкую идеально проводящую узкую ленту, свернутую в кольцо. Получены приближенные сингулярные интегральные уравнения (СИУ) с логарифмическими и сингулярными ядрами, получены приближенные выражения для распределения тока и импеданса антенны, имеющие узкую область применимости. К сожале- | нию, в [Л1] отсутствуют численные результаты. В [Л2] распределение тока по кольцевому проводнику ищется в виде ряда Фурье по азимутальным гармоникам, коэффициенты которого, зависящие от поперечной координаты, определяются из СИУ с особенностью типа Коши. В работе приведены комплексные распределения тока по кольцевому проводнику и зависимости входного сопротивления антенны от нормированного радиуса рамки.

Работ, посвященных расчету полосковых вибраторов, конформно расположенных на цилиндрической поверхности, автором найдено не было. Есть работы, посвященные расчету плоских полосковых вибраторов. В частности, в работах [ЛЗ,Л4] задача о распределении тока на вибраторе сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Здесь уместно заметить, что нахождение численных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода представляет собой некорректно поставленную задачу [Л5]. В [Лб] развит метод сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши, с помощью которых в строгой самосогласованной постановке решена задача о распределении тока по плоскому полосковому вибратору. В [Л7] предложен метод сингулярного интегрального представления электромагнитного поля, позволяющий подойти корректно к вопросам постановки задач и расчету электромагнитных полей вблизи

радиотехнических устройств (в ближних зонах).

> ,- > '

Расчет связанных электрических вибраторов производится, как правило, с помощью системы интегральных уравнений Фред-гольма первого рода [Л8,Л9].

Поэтому возникает необходимость построения строгих электродинамических и математических моделей, а также устойчивых алгоритмов решения внутренних и внешних электродинамических задач для базовых излучающих структур, таких как одиночные рамка и электрический вибратор, а также связанные рамки и электрические вибраторы. Разработка таких моделей и алгоритмов позволит создавать принципиально новые быстродействующие САПР, позволяющие рассчитывать характеристики антенн данного типа с точностью существенно превышающей максимально возможную в существующих САПР.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка на основе математического аппарата СИУ самосогласованных математических моделей конформных цилиндрических полосковых излучающих структур, а также устойчивых алгоритмов их решения. В диссертации рассмотрены:

- цилиндрическая рамочная антенна в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо;

- планарная рамочная антенна в виде бесконечно тонкого диска с отверстием в его центре;

- связанные соосные цилиндрические рамочные антенны;

- связанные соосные планарные рамочные антенны;

- одиночный конформный цилиндрический полосковый вибратор;

- связанные конформные цилиндрические полосковые вибраторы.

Методы исследования. Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, метод орто-гонализирующий подстановки, метод частичного обращения интегрального оператора, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде М^ЬСас! 2001.

Научная новизна диссертации:

- впервые решены внутренние задачи анализа полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн в строгой электродинамической и математической постановке;

- для решения внутренних задач анализа рамочных антенн впервые применен математический аппарат СИУ с особенностью Гильберта;

- впервые в теорию связанных конформных цилиндрических полосковых вибраторов введен математический аппарат СИУ с особенностью Коши;

- исследованы распределения токов, входные сопротивления и диаграммы направленности одиночных полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн;

- исследовано влияние способа возбуждения (синфазного, противофазного, квадратурного) на распределения токов и диаграммы направленности связанных полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн.

Обоснованность и достоверность результатов работы. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения СИУ корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением полученных результатов для некоторых излучающих структур с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений. Кроме того, полученное СИУ относительно поверхностной плотности тока на полосковом вибраторе, конформно расположенном на цилиндрической поверхности в предельном случае угловой ширины равнрй 2л и отсутствия азимутальной зависимости переходит в известное СИУ для трубчатого электрического вибратора [Л10].

Практическая ценность работы. В работе рассмотрены внутренние и частично внешние задачи электродинамического анализа для одиночных и связанных цилиндрических и планарных 6

полосковых рамочных антенн, одиночных и связанных полоско-вых вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для возбуждения и приема электромагнитных волн. В частности, разработанный в диссертации метод расчета антенн может быть обобщен на случай более сложных антенных систем: объемных спиральных антенн; плоских спиральных антенн; антенн, расположенных над границей раздела двух сред; фазированных антенных решеток и т.д. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели конформных цилиндрических антенн могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций, например, антенных решеток, расположенных на поверхностях сложной формы. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

На защиту выносятся следующие положения:

1. СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных неизвестных функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по цилиндрической и пленарной полосковым рамочным антеннам, как результаты аналитических решений внутренних задач анализа для этих антенн.

2. СИУ первого рода с ядром Коши относительно производной неизвестной функции, определяющей продольное распределение поверхностной плотности тока по одиночному полосковому вибратору, конформно расположенному на цилиндрической поверхности, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.

3. Система СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных неизвестных функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным соосным полосковым цилиндрическим и планарным рамочным антеннам, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этих излучающих структур.

4. Система СИУ первого рода с ядрами Коши относительно производных неизвестных функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным по-лосковым вибраторам, конформно расположенным на соосных цилиндрических поверхностях, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.

5. Численно-аналитический алгоритм решения СИУ с ядрами Гильберта и Коши, основанный на методе ортогонализирующей подстановки.

6. Самосогласованные математические модели конформных цилиндрических полосковых излучающих структур, разработанные на основе математического аппарата теории СИУ: одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов.

7. Численные результаты анализа одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов: комплексные распределения тока; зависимости входных сопротивлений от их геометрических размеров; диаграммы направленности.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на IX, X, XII научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, Февраль 2002, 2003, 2005); на I, II, III, IV Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001, сентябрь 2003; Волгоград, сентябрь 2004; Нижний Новгород, октябрь 2005); на VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2001); на IX Международной научно-технической конференции «Оптические, радиоволновые и тепловые методы и средства контроля качества материалов, промышленных изделий и окружающей среды» (Ульяновск, 2004)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 25 работ, в том числе 11 статей и 14 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях. 8

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 126 наименований, и содержит 196 страниц текста, в том числе 89 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена научная новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В основе вывода СИУ, описывающих распределения поверхностной плотности электрического тока fj по проводникам антенн, лежит неоднородное векторное уравнение Гельмгольца относительно векторного электродинамического потенциала Ä :

гохе0Ё = к2 Ä + grad div Ä, (1)

где e0 — диэлектрическая постоянная вакуума, е — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей антенну; к = коЛЩИ, ц — относительная магнитная проницаемость среды, к0 = ос/с, (О — циклическая частота, с — скорость света; Е — электрическое поле, возбуждаемое поверхностной плотностью тока л. Векторный электродинамический потенциал А определяется через fj следующим образом:

Ä(p)=jf\(q)G(p,q)dq, (2)

s

где S — поверхность, где определена поверхностная плотность тока т\-, р — точка наблюдения, q — точка источника. В работе использовались представления функции Грина G(p,q) в цилиндрической системе координат [ЛИ].

В первой главе в приближении квазистатического поперечного распределения поверхностной плотности тока на полоско-вых рамочных антеннах (цилиндрической и планарной, рис. 1 а,б)

_ц _ /Д(Ф) _ /.(<Р) ,оч

Лф ~ I-Г . Лф - I - W

Vi -(г/1)2 V1 - ((р — а)/г)

О)

в)

г)

е)

Э) Рис. 1

были получены СИУ с ядрами Гильберта относительно производных неизвестных функций /ц (ф) и /п(ф), характеризующих ее продольное (азимутальное) относительно полоска распределение (индексы «ц» и «п» относятся к цилиндрической и планар-ной излучающим структурам соответственно). Данные СИУ позволяют решить внутренние задачи анализа для этих антенн. СИУ имеют вид:

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

Иланарная

/

1 1 (илиндр ™ , .. кческая"

1 1 1 1 1 ■

-г и 4

0.5

1.5 2

вооо

4000 2000 0

-2000 -4000

-вооо

1 Планерная

1

А Цилинд эическая

■ 1 г

V

о

0.5

Рис. 2

2к

+/(ф')Т(ф,ф')йф' = -г2о(оее0Е" (ф,г = 0),

1.5 2 к» а

(4)

2я

15Я

/„' (ф')Р(ф,ф')Лр' = -г2асоее0£" (Ф,р = а), (5)

о

где /Ц'(Ф) = Й/Ц(Ф)/ЙФ, /п'(ф) = <г/я(ф)/йф; Т(ф,<р'), Р(ф,ф') _ достаточно громоздкие известные регулярные части ядер.

В главе разработаны алгоритмы решения СИУ (4) и (5), основанные на методе ортогонализирующей подстановки, в результате чего процедура нахождения функций /ц' (ф) и /п' (ф) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов в их разложении в ряд по синусам. В главе также описана методика получения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, нахождение численных решений которых является корректной математической задачей [Л5]. Методика основана на формулах обращения Гильберта. В главе приведены комплексные распределения токов, зависимости входного импеданса от геометрических размеров антенн, диаграммы направленности. На рис. 2 в качестве примера представлены графики зависимости входного импеданса цилиндрической и пленарной полосковых рамочных

антенн от параметра к0а при 1/Х = 0.01, А = 0.01. При изменении параметра к0а от 0 до 2 1т{2} обращается в ноль при кдй ~ 0.5; 1; 1.5; 2. С учетом значений Не {2} наиболее целесообразно возбуждать рамочные антенны при к0а = 1 и к0а ~ 2. Как видно из рисунка в планарной рамке резонанс возникает при больших значениях к0а по сравнению с цилиндрической.

Во второй главе внутренние задачи анализа для систем связанных соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн (рис. \г,д) сведены к системам СИУ с ядрами Гильберта относительно производных неизвестных функций /цп (ф) и /„„(ф) (п = 1,N — номер рамки), характеризующих продольное (азимутальное) относительно полоска распределение поверхностной плотности тока на п-ой рамке. Поперечное распределение предполагалось квазистатическим:

л:.(»«)= , /дв(ф) 2,Л;дф,Р)=, /дп(<р) (в)

где гп — 2-координата п-й цилиндрической рамки; ап — радиус п-й планарной рамки; 21п — ширина полоски п-й цилиндрической (планарной) рамки.

Системы СИУ записываются в виде:

2л 0

л. ч

п=1 о

N ** _

£ / С (Ф')ТЯР (ф,ф')йф' = -2гсоеаарЕ?р (Ф), р = 1,Ы (7)

для соосных связанных цилиндрических рамочных антенн и 2* (.

¿/й К*

о

+11/■'„ (ф'ЖР (ф.ф')^ф' = -2гсоеаарЕ"р (ф), р = (8)

п=1 о

для соосных связанных планарных рамочных антенн. В (7), (8) С (Ф) = <*/„ (<р)/<*Ф, /п'п (Ф) = (ф)^ф; Тпр (ф, Ф'), Р„р (ф,ф') -достаточно громоздкие известные регулярные части ядер. 12

Предложенные алгоритмы решения систем СИУ (7) и (8) основаны на методе ортогонализирующей подстановки. Искомые функции /„'„ (ф) и /п'п (ф) представляются в виде ряда по синусам, в итоге получаются СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения. В главе приведены следующие численные результаты: комплексные распределения токов и диаграммы направленности для двух связанных соосных цилиндрических рамок и двух связанных соосных пленарных рамок при различных геометрических размерах и типах возбуждения (синфазном, противофазном, квадратурном).

Третья глава посвящена анализу одиночного конформного цилиндрического полоскового вибратора (рис. 1в). Решение внутренней задачи для него основано на СИУ с ядром Коши относительно производной неизвестной функции f{z), характеризующей продольное относительно полоска распределение поверхностной плотности тока. Для поперечного (азимутального) распределения использовалось квазистатическое приближение:

где t = z/l, t' = г/1, f(t) - df(lt)/dt-, J0 (mA) —функция Бесселя первого рода нулевого порядка; о = 4йше£0Е0, Е" (t) = Е0 e(t) — известная функция, играющая роль источника и определенная в области зазора; Кт (t, t') — достаточно громоздкая известная регулярная часть ядра.

В главе приводится описание алгоритма решения СИУ (10), основанного на методе ортогонализирующей подстановки, в результате чего процедура нахождения функции f'(t) сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов в ее разложении в ряд по полиномам Чебышева первого рода. При-

(9)

= oe(t)+ £ J0 (mA)J f'(t')Km (M')dt', (10)

ведена методика получения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, основанная на обращении интеграла типа Коши. Представлены комплексные распределения тока, зависимости входного импеданса от геометрических размеров и диаграммы направленности.

В четвертой главе предлагается решение внутренней задачи анализа для системы связанных полосковых вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях (рис. 1е). Оно сводится к системе СИУ с ядрами Коши относительно производных неизвестных функций /„(г) (п = 1,N — номер вибратора), характеризующих продольные относительно полосок распределения поверхностных плотностей токов. Зависимости поверхностных плотностей токов от поперечной (азимутальной) координаты также как и в предыдущих главах предполагались квазистатическими:

Лг„(<Р.г)= , Ш ,, (П)

>/1-((Ф-ФП)/А)

гДе Лгп — 2-компоненты поверхностных плотностей токов п-го вибратора, ф„ — угловая координата оси симметрии п-го вибратора.

Систему СИУ можно записать в виде:

/0(гпАп)соз(т^„р) 1 ^ " а'(1 + 80.т) >р/ап

Цар/ап-1)2+(1/ап)2(г-1')2

= (0+ XI Ап- ч - \ X

»-1 т=0 ап [1 + д0 т )

х!/ЛО КЛьПМ, (12)

-1

где а„, ар — радиусы цилиндрических поверхностей на которых расположены п-й й р-й вибраторы; t = г/1, ь' = г'/1 ;

/« (О = ^Л Л (тА) — функция Бесселя первого рода

нулевого порядка; 80т — символ Кронекера;

' (0 = 2«оеЛР • еР (0. е?р (0 = ЕоР ■ ер (0 — известные функции, играющие роль источника и определенные в области зазора р-го вибратора; Кт (<, — достаточно громоздкая известная регулярная часть ядра.

В основе разработанного в главе алгоритма решения системы СИУ лежит метод ортогонализирующей подстановки. Для нахождения функций /„'(<) необходимо решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов их разложения в ряды по полиномам Чебышева первого рода. В качестве примера приведены комплексные распределения токов на поверхностях двух связанных вибраторов и диаграммы направленности при различных геометрических размерах системы и различных типах возбуждения (синфазном, противофазном, квадратурном), проведен анализ полученных результатов.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В заключение сформулируем основные результаты диссертации:

1. В квазистатическом приближении поперечного распределения поверхностной плотности тока разработаны новые самосогласованные математические модели одиночных и связанных цилиндрических и пленарных полосковых рамочных антенн.

2. Впервые в теорию конформных цилиндрических полосковых рамочных антенн введены СИУ с ядром Гильберта, численные решения которых являются математически корректной задачей.

3. В квазистатическом приближении поперечного распределения поверхностной плотности тока разработаны самосогласованные математические модели конформных цилиндрических полосковых одиночных и связанных электрических вибраторов.

4. Анализ связанных полосковых рамочных антенн и конформных цилиндрических полосковых вибраторов проведен с использованием математического аппарата систем СИУ, нахождение

численных решений которых является математически корректной задачей.

5. Проведены численные исследования комплексных распределений токов, зависимостей входных сопротивлений и диаграмм направленности при различных геометрических размерах для одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрической и планарной), а также конформных цилиндрических полосковых вибраторов. Полученные результаты позволяют дать рекомендации по настройке и оптимизации характеристик этих антенн.

6. Разработанный в диссертации новый математический формализм решения самосогласованных внутренних задач анализа позволяет корректно подойти к расчету электромагнитного поля непосредственно вблизи антенн (в ближней зоне).

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Неганов В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B. Новый метод расчета

входного сопротивления тонкого электрического вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. —

2001. — Т. 4. — № 1. — С. 38-41.

2. Неганов В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B. Функционал входного

сопротивления тонкого электрического вибратора // Письма в ЖТФ. — 2001. — Т. 27. — № 21. — С. 29-35.

3. Неганов В.А., Клюев Д.С., Матвеев И.В. Метод расчета полос-

ковых вибраторов, расположенных на цилиндрической поверхности // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2001. — Т. 4. — № 4. — С. 37-42.

4. Неганов В.А., Клюев Д.С. Новый метод расчета полосковых вибраторных излучателей / / Известия вузов. Электроника. —

2002. — № 5. — С. 73-79.

5. Неганов В.А., Клюев Д.С., Матвеев И.В., Мирошников A.B. Метод расчета полосковых вибраторов, расположенных на цилиндрической поверхности // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. — 2002. — T. X. — Вып. 2(34). — С. 247-256.

6. Неганов В.А., Клюев Д.С. Сингулярное интегральное представ-

ление электромагнитного поля в ближней зоне трубчатого

электрического вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2004. — Т. 7. — № 3. — С. 5-10.

7. Катин C.B., Клюев Д.С., Неганое В.А. Применение сингуляр-

ного интегрального уравнения с ядром Гильберта к расчету круговой полосковой антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2004. — Т. 7. — № 4. — С. 12-18.

8. Неганое В.А., Клюев Д.С. Расчет входного сопротивления элек-

трического вибратора методом сингулярного интегрального уравнения // Антенны. — 2005. — Вып. 3(94). — С. 7-11.

9. Неганое В.А., Клюев Д.С., Ефремова A.A. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля в ближней зоне электрического вибратора // Антенны. — 2005. — Вып. 4(95). — С. 22-27.

10. Клюев Д.С., Неганое В.А. Расчет распределений токов на связанных полосковых электрических вибраторах, расположенных конформно на цилиндрической поверхности, методом сингулярных интегральных уравнений // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. — Т. 8. — № 3. — С. 5-10.

И. Клюев Д.С., Неганое В.А. Решение задачи о распределении тока в планарной полосковой кольцевой антенне методом сингулярного интегрального уравнения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. — Т. 8. — № 3. — С. 34-38.

12. Неганое В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B. Входное сопротивление тонкого электрического вибратора // Тезисы I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Самара, 2001. — Т. 2. — С. 64.

13. Неганое В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B., Осипов О.В. Новый метод расчета входного сопротивления тонкого электрического вибратора // Тезисы VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». — Воронеж, 2001. — С. 1934-1938.

14. Неганое В.А., Клюев Д.С. Исследование влияния ширины зазора на входное сопротивление тонкого электрического вибратора // Тезисы докладов IX Российской научной конфе-

17

ренции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара, 2002. — С. 26.

15. Неганов В.А., Клюев Д.С. Сингулярное интегральное уравнение для расчета полосковой рамочной антенны // Тезисы докладов X Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара, 2003. — С. 22.

16. Неганов В.А., Клюев Д.С. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта в теории кольцевой полосковой антенны // Тезисы докладов и сообщений II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Самара, 2003. — С. 295.

17. Неганов В.А., Клюев Д.С., Ефремова А.А. Оценка электромагнитного загрязнения окружающей среды вблизи источников излучения с помощью сингулярных интегральных уравнений // Труды IX Международной научно-технической конференции «Оптические, радиоволновые и тепловые методы и средства контроля качества материалов, промышленных изделий и окружающей среды». — Ульяновск, 2004.

18. Неганов В.А., Клюев Д.С., Ефремова А.А. Новый метод расчета электромагнитного поля в ближней зоне электрического вибратора // Тезисы докладов и сообщений III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Волгоград, 2004. — С. 243.

19. Неганов В.А., Клюев Д.С., Ефремова А.А. Расчет входного сопротивления электрического вибратора методом сингулярных интегральных уравнений // Тезисы докладов и сообщений III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Волгоград, 2004. — С. 324.

20. Неганов В.А., Клюев Д.С. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта для полосковой рамочной антенны // Тезисы докладов XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара, 2005. — С. 30.

21. Неганов В.А., Клюев Д.С., Ефремова A.A. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля в ближней зоне электрического вибратора // Тезисы докладов XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара, 2005. — С. 30-31.

22. Неганов В.А., Ефремова A.A., Клюев Д.С. Численное исследование электромагнитного поля несимметричного электрического вибратора // Тезисы докладов XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара, 2005. — С. 31-32.

23. Клюев Д.С., Неганов В.А. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта в теории пленарной кольцевой антенны // Тезисы докладов и сообщений IV Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Н. Новгород, 2005. — С. 210.

24. Клюев Д.С., Неганов В.А. Расчет входного сопротивления кольцевой полосковой антенны с помощью сингулярного интегрального уравнения с ядром гильберта // Тезисы докладов и сообщений IV Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Н. Новгород, 2005. — С. 208-209.

25. Клюев Д.С., Неганов В.А. Сингулярные интегральные уравнения в теории связанных полосковых вибраторов, расположенных на цилиндрической поверхности // Тезисы докладов и сообщений IV Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Н. Новгород, 2005. — С. 211.

ЛИТЕРАТУРА

Л1. Заборонкова Т.М., Кудрин A.B., Петров Е.Ю. К теории рамочной антенны в анизотропной плазме // Известия вузов. Радиофизика. — 1998. — Т. 41. — № 3. — С. 358-373.

Л2. Неганов В.А., Корнев М.Г. Применение метода сингулярного интегрального уравнения к анализу рамочной антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2003. — Т. 6. — № 1. — С. 41-45.

05-22 1 1з

ЛЗ. Чебышев В.В. Интегральное уравнг для тока узкого полоскового вибр его решения // Машинное проект! тем СВЧ. — М., 1979. — С. 204-215

Л4. Панченко Б.А., Князев С.Т., Неча намический расчет характеристи М.: Радио и связь, 2002. — 256 с.

Л5. Тихонов А.Н., Арсенин ВЯ. Метод задач. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

Л6. Неганов В.А., Корнев М.Г. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тока на поверхности узкого полоскового вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2002. — Т. 5. — № 4. — С. 34-36.

Л7. Неганов В.А. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля электрического вибратора в его ближней зоне // ДАН. — 2004. — Т. 399. — № 5. — С. 617-619.

Л8. Филиппов B.C., Пономарев Л.И., Гринев А.Ю. и др. Антенны и устройства СВЧ. Проектирование фазированных антенных решеток: Учеб. пособие для вузов / Под. ред. Д.И. Воскресенского. — М.: Радио и связь, 1994. — 592 с.

Л9. Марков Г.Т., Сазонов Д.М. Антенны: Учебник для студентов радиотехнических специальностей вузов. — М.: Энергия, 1975.

Л10. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн / Под ред. В.А. Неганова. — М.: Радио и связь, 2002. — 416 с.

ЛИ. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. — М.-Л.: Энергия, 1967. — 376 с.

Подписано в печать 091105 Формат 60х&4'/|(1 Бумага писчая № 1 Гарнитура Тайме Печать оперативная Уел печ л 1,16 Физ. печ л 1,25 Уч-щдл 0,65 Тираж 120 экз Бесплатно

Типография государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики» 443010. г Самара, ул Л Толстого, 23 Тел/факс (846)339-11-11,339-11-81

Введение.

Глава 1. Сингулярные интегральные уравнения с особенностью Гильберта в теории полосковых рамочных антенн

1.1. Постановка задачи. Интегральное уравнение первого рода для конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны.

1.2. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта.

1.3. Алгоритмы решения сингулярного интегрального уравнения: метод ортогонализирующей подстановки и метод обращения интегрального оператора. Интегральное уравнение

Фредгольма второго рода.

1.4. Диаграмма направленности конформной цилиндрической полосковой рамочной антенны.

1.5. Постановка задачи. Интегральное уравнение первого рода для планарной полосковой рамочной антенны.

1.6. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Гильберта для планарной полосковой рамочной антенны.

1.7. Решение сингулярного интегрального уравнения для планарной полосковой рамочной антенны методом ортогонализирующей подстановки.

1.8. Диаграмма направленности планарной полосковой рамочной антенны.

1.9. Электродинамический анализ рамочных антенн.

Глава 2. Системы связанных соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн

2.1. Постановка задачи. Система интегральных уравнений первого рода для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн.

2.2. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн.

2.3. Решение системы сингулярных интегральных уравнений для связанных соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн методом ортогонализирующей подстановки.

2.4. Диаграмма направленности системы соосных цилиндрических полосковых рамочных антенн. в 2.5. Постановка задачи. Система интегральных уравнений первого рода для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн.

2.6. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Гильберта для связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн.

2.7. Решение системы сингулярных интегральных уравнений для р; связанных соосных планарных полосковых рамочных антенн методом ортогонализирующей подстановки.

2.8. Диаграмма направленности системы соосных планарных полосковых рамочных антенн.

2.9. Численные результаты. Системы соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн.

Глава 3. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши в теории конформного цилиндрического полоскового электрического вибратора

3.1. Постановка задачи. Интегральное уравнение первого рода.

3.2. Сингулярное интегральное уравнение с особенностью Коши для конформного цилиндрического полоскового электрического вибратора.

3.3. Решение сингулярного интегрального уравнения с особенностью Коши методом ортогонализирующей подстановки.

3.4. Решение сингулярного интегрального уравнения с особенностью Коши методом обращения интегрального оператора. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

3.5. Диаграмма направленности конформного цилиндрического полоскового электрического вибратор. m 3.6. Численные результаты.

Глава 4. Система связанных полосковых электрических вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях

4.1. Постановка задачи. Система интегральных уравнений первого рода.

4.2. Система сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши для связанных конформных цилиндрических полосковых электрических вибраторов.

4.3. Решение системы сингулярных интегральных уравнений с особенностями Коши методом ортогонализирующей подстановки.

4.4. Диаграмма направленности системы.

4.5. Электродинамический анализ системы связанных конформных цилиндрических полосковых электрических вибраторов.

Антенны являются важнейшей составляющей частью любой радиотехнической системы (РТС), в значительной степени определяющей как ее качественные показателя, так и стоимость. Одним из самых распространенных типов излучателей являются рамочные и вибраторные антенны.

Рамочные и вибраторные антенны применяются как самостоятельнее ^ антенны, а также часто используются в качестве составных элементов ряда сложных антенных систем. Вибраторные излучатели широко используются как элементы фазированных антенных решеток (ФАР) в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах волн. Вибраторные излучатели как элементы ФАР при соответствующем выборе конструкции позволяют обеспечить работу в широкой полосе частот или в многочастотном режиме ТВ совмещенных вибраторных ФАР, которые обеспечивают электрическое

• сканирование лучом в достаточно широком секторе углов до ±50° от нормали. В последнее время резко возрос интерес исследователей и разработчиков к микрополосковым и полосковым антеннам. Это связано прежде всего с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения. Поэтому важной задачей является анализ базовых — рамочной и вибраторной антенн — в полосковом исполнении.

Повышение эффективности антенны при одновременном снижении ее стоимости позволяет существенно улучшить технико-экономические показателя РТС в целом. Поэтому при анализе действующих антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения параметров излучателей: распределения тока по антенне, входного сопротивления, сопротивления излучения, диаграммы направленности и др. Также представляет определенный интерес знание структуры поля в ближней зоне антенны, ее характеристик направленности, уровней бокового излучения. Точное определение значений электрического и магнитного полей может быть использовано при решении проблем электромагнитной экологии.

С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.

Задачи анализа рамочной антенны, одиночного электрического вибратора и связанных электрических вибраторов являются базовыми в теории антенн и решение ее в строгой математической и электродинамической постановке является крайне важным.

Актуальность работы

Пристальный интерес исследователей и разработчиков к микрополосковым и полосковым антеннам связан с известными достоинствами этого класса антенн: улучшенными массогабаритными характеристиками и возможностью применения современных технологий при серийном производстве как излучателей, так и устройств возбуждения, согласования и управления характеристиками излучения. Полосковые рамочная и вибраторная антенны также относятся к этому классу антенн.

Методы расчёта характеристик полосковых и микрополосковых антенн можно условно разбить на две большие группы. Методы, относящиеся к первой группе, основаны на эвристических предположениях и не позволяют определить все необходимые характеристики антенны. Так например, в [1,2] анализ антенн проводился с помощью эквивалентных магнитных токов на проводящих поверхностях по контуру пластины. Вторая группа методов, основанная на общих численных методах и уравнениях Максвелла, имеет широкую область применимости, определяемую вычислительными ресурсами современных ЭВМ. В частности в [3] описана программа расчёта микрополосковых антенн с произвольной формой излучающих проводников. В основе алгоритма лежат известные функции Грина для элементарных металлических форм, на которые разбиваются полосковые излучатели произвольной формы. Однако в силу громадных затрат вычислительных ресурсов, оценка погрешности расчётов с помощью этих методов затруднительна. Более того, алгоритмы, построенные на основе этих методов, зачастую могут быть неустойчивыми. Оценка погрешности и вопрос об устойчивости алгоритмов, при таких подходах, как правило, остаются в стороне, т.к. в основном усилия тратятся на проведение вычислительных процедур на ЭВМ и минимум усилий на разработку математических моделей антенн, связанную с определением корректности поставленной электродинамической задачи.

В последнее время наметилась тенденция к использованию рамочных антенн в системах мобильной связи, охранной сигнализации, телевидении и т.п. Теоретическому исследованию рамочных антенн посвящено большое количество научных работ. Однако расчёты характеристик антенн как правило основывались на различных приближениях и допущениях. Например в [4] анализ рамочной антенны проводился с учётом равномерного распределения тока. В [5,6] использовалось квазистатическое приближение для проводника малого поперечного сечения. В [7] применялась теория длинных линий. Характерной особенностью большинства работ является использование заданных распределений тока как вдоль антенного провода, так и по его поперечному сечению, т.е. решалась несамосогласованная задача. Такой подход может быть оправданным при выполнении ряда условий лишь для излучателей малых электрических размеров. В общем случае необходимо найти распределение тока на антенне при заданном стороннем ЭДС. В самосогласованной постановке в [8] рассмотрена задача о распределении тока в рамочной антенне, находящейся в анизотропной плазме и представляющей собой бесконечно тонкую идеально проводящую узкую ленту, свёрнутую в кольцо. Исходя из уравнений Максвелла задача сведена к системе интегральных уравнений относительно азимутальной составляющей поверхностной плотности тока по проводнику. В приближении отсутствия «поперечного» резонанса электростатических волн во внутренней области кольцевой антенны (радиус рамки гораздо больше поперечного размера ленты) интегральные уравнения преобразованы к приближённым СИУ с логарифмическими и сингулярными ядрами. Получены приближённые выражения для распределения тока и импеданса антенны. К сожалению, в [8] отсутствуют численные результаты. В [9,10], исходя из электродинамических потенциалов, описан электродинамический подход к задаче о распределении тока в полосковой антенне в виде рамки. Распределение тока по кольцевому проводнику ищется в виде ряда Фурье по азимутальным гармоникам, коэффициенты которого, зависящие от поперечной координаты, определяются из СИУ с особенностью типа Коши. Показано, что предложенный метод обладает хорошей внутренней сходимостью. В работе приведены комплексные распределения тока по кольцевому проводнику и зависимости входного сопротивления антенны от нормированного радиуса рамки.

Задачи о тонких проволочных (вибраторных) антеннах, как правило, сводят к решению интегральных уравнений. В настоящее время многими авторами такой подход считается достаточно общим и строгим. Данный подход предполагает переход от интегродифференциальных уравнений к интегральным, с последующим их решением. В задачах нахождения токораспределения в тонких проволочных вибраторных антеннах используют, по меньшей мере, два вида интегральных уравнений — Халлена и Поклингтона. По-видимому, первой работой в этой области следует считать [И], в которой уравнение Поклингтона использовалось для доказательства того, что распределение тока в тонком проводе близко к синусоидальному, а скорость волны тока равна скорости света. В [12] также было записано интегральное уравнение типа Поклингтона. Основополагающими работами, посвященными строгому расчету распределения тока по вибратору можно считать труды Халлена Е. [13], Леонтовича М.А. и Левина М.Л. [14]. В них рассмотрен трубчатый диполь, расположенный в свободном пространстве. Интегральное уравнение, полученное в работах [13,14] и названное уравнением Халлена, позволяло вычислять распределение тока по вибратору, расположенному в свободном пространстве, и его входное сопротивление.

Задача расчета тонкого электрического вибратора получила дальнейшее развитие в работах Кинга Р. в 60-е годы [15-18]. Следует также отметить работы Кляцкина И.Г. [19,20], Неймана М.С. [21], Конторовича М.И. и Соколова Н.О. [22]. В них систематизированы и последовательно изложены многие аспекты проблемы, а также предложены различные подходы к решению интегрального уравнения Халлена.

При решении электродинамических задач расчета вибраторных антенн широко используется тонкопроволочное приближение [18, 23, 24-29], сущность которого состоит в следующем. Рассматривается антенна, состоящая из цилиндрического проводника с диаметром поперечного сечения, значительно меньшим длины волны. Относительно данной антенны ставится задача в виде интегрального уравнения, имеющего смысл граничного условия на поверхности идеального проводника для электрического поля, с учетом только продольных (параллельных оси провода) составляющих тангенциального поля и тока. При этом поверхностному току, умноженному на 2ка (а - диаметр проводника), сопоставляется линейный ток, текущий по оси провода. Такой подход позволяет существенно упростить вид искомой токовой функции, (векторная функция поверхностной плотности тока заменяется скалярной) и вид граничных условий (в качестве стороннего поля рассматривается лишь составляющая, вектор которой параллелен оси проводников). В [27] показано, что максимальный электрический радиус полуволнового вибратора, допускающий тонкопроволочное приближение, составляет 0.125% длины волны. При радиусах, превышающих указанную величину, не удается получить устойчивое решение. По-видимому, это ограничение справедливо не только для полуволнового вибратора, но и для любого линейного проводника.

Приведенные выше работы касались вибраторных антенн, расположенных в свободном пространстве. Однако, для решения многих практических задач, требуется знание параметров антенн, расположенных вблизи поверхности земли. Обычно поверхность земли представляют в виде бесконечной идеально проводящей плоскости. Используя метод зеркального отображения можно перейти от модели с границей раздела к системе связанных вибраторов. В этом случае параметры вибраторов можно определить приближенно методом наведенных ЭДС [30,31]. В работах Зоммерфельда JI. [32] и Гершельмена X. [33] впервые получены интегральные представления потенциальных функций вертикального и горизонтального диполей расположенных над полупроводящей поверхностью. Анализом решения Зоммерфельда долгое время занимался Тармаковский JI.C. [34]. В [35] решалась задача определения распределения тока по вертикальной вибраторной антенне над проводящим полупространством. Авторы решали эту задачу методом моментов, используя интегральное уравнение Халлена. В работе приведены результаты только для полуволнового вибратора и двух видов подстилающей поверхности. Влияние реальной поверхности земли на параметры элементарных излучателей и их ближнее поле исследовалось в работах Губанова B.C. [36] и Анкудинова В.Е. [37]. В работах Рашковского C.JT. [38,

39] было найдено распределение тока по вибратору с использованием уравнения Поклингтона и метода регуляризации распределения тока, основанном на кусочно-квадратичном его сглаживании. Получены результаты для вертикального и горизонтального вибраторов для одного вида подстилающей поверхности.

В последнее время появилось много новых работ, в которых также использовалось тонкопроволочное приближение [40-44].

Построение математических моделей вибраторов с учетом азимутальной составляющей поверхностного тока может быть осуществлено с учетом результатов работы [45].

Как правило, расчет тонких электрических вибраторов основан на решении интегродифференциальных уравнений Поклингтона и Харрингтона, а также интегрального уравнения Халлена методом моментов [23, 46-50]. По существу он сводится к преобразованию указанных уравнений в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно некоторых неизвестных постоянных. Эти неизвестные постоянные обычно представляют собой коэффициенты разложения для тока в некоторой подходящей системе базисных функций. В зависимости от выбора базисных и весовых функций [23, 51], существуют достаточно большое разнообразие конкретных реализаций данного подхода: метод Галеркина, сшивание в дискретных точках, согласование реакций и т.д. Методы решения подобных уравнений рассмотрены в работах Неганова В.А. и Нефедова Е.И. (см., например, [52,53]).

При решении интегральных уравнений Поклингтона и Халлена методом моментов ключевым является вопрос о сходимости численных результатов. Зачастую у авторов в литературе возникают различные противоречивые рекомендации по выбору базисных функций. Например, многие исследователи отдают предпочтение кусочно-синусоидальным функциям, ссылаясь на то, что их использование дает наивысшую точность [23]. Однако, сходимость решений при этом [40] имеет немонотонный характер, и сходимость достигается при большом числе разбиений (больше 100), независимо от выбора базисных функций.

До середины 90-х годов на практике при анализе антенных решеток и вообще проволочных антенн, в основном, применялись методы, основанные на тонкопроволочном приближении [41, 42, 44, 54, 55], при котором ток в проводнике описывается как линейный (нитевидный), текущий вдоль оси провода, а тангенциальная составляющая поля определяется на поверхности проводника. Основным недостатком постановки задач расчета тонкопроволочных антенн в виде интегральных уравнений следует считать, на наш взгляд, то, что при их решении исходные сингулярные интегральные ядра, записанные большинством авторов в неявном виде, заменяются на регулярные. Сформулированная таким образом задача математически приводит к уравнению Фредгольма первого рода [56,57], нахождение решений которых является некорректно поставленной задачей [58,59]. Также остается открытым вопрос проверки истинности решения и установления его адекватности рассматриваемой физической задаче. Для плоского полоскового вибратора интегральное уравнение Фредгольма первого рода получено в работах [60,61]. В [62] Эминовым С.И. был предложен новый класс базисных функций для решения таких уравнений, называемых собственными функциями интегродифференциального оператора. Однако, в результате использования этих функций, алгоритм численного решения оказывается сильно усложненным.

В [63-66] Негановым В.А. и Матвеевым И.В. был развит новый метод, с помощью которого на основе математического аппарата теории сингулярных интегральных уравнений СИУ [67-69], было получено СИУ относительно производной по продольной координате от плотности поверхностного тока на вибраторе. Такая постановка задачи является корректной по Адамару [58], благодаря чему обеспечивается наличие устойчивых решений даже при больших электрических радиусах проводников. Ранее этот подход с успехом применялся Негановым В.А. и Нефедовым Е.И. для построения математических моделей полосково-щелевых волноведущих и резонансных структур сверх- и крайневысоких частот [70-78]. Близкие подходы для излучающих систем, состоящих из ленточных проводников, были развиты в [79,80]. Метод СИУ был обобщен для электрического вибратора с учетом азимутальной зависимости тока и для плоского полоскового вибратора в работе [9, 81, 82]. Численные методы решения СИУ описаны в монографиях [83,84].

Подводя итог анализу состояния вопроса, можно сделать следующие основные выводы:

1. Методы решения задач анализа рамочных и вибраторных антенн слабо развиты. Расчет рамочных и вибраторных антенн разделяют на две части: внутреннюю и внешнюю задачи. Внутренняя задача анализа состоит в определении токов на поверхности антенны по заданному возбуждающему полю, причем ток по всей антенне предполагается непрерывным, включая зазор (некий эквивалентный электрический ток). Внешняя задача заключается в том, что по известному распределению поверхностного тока по антенне определяется поле излучения антенны в свободном пространстве.

2. Большинство известных методов анализа рамочных и вибраторных антенн, внутреннюю краевую задачу сводят к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, нахождение решений которых представляет собой некорректно поставленную задачу. Поэтому фактически все численные результаты по решению внутренней задачи анализа для этих антенн требуют проверки на достоверность.

3. В [9,81,82] предложен метод, позволяющий интегро-дифференциальное уравнение Поклингтона свести к системе СИУ, относительно неизвестных гармоник производной (по продольной координате) от плотности поверхностного тока для плоского полоскового вибратора и рамочной антенны. Нахождение решений СИУ есть уже математически корректная задача, и проблема достоверности в этом случае не возникает.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка на основе математического аппарата СИУ самосогласованных математических моделей конформных цилиндрических и полосковых излучающих структур, а также устойчивых алгоритмов их решения. В диссертации рассмотрены:

- цилиндрическая рамочная антенна в виде бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, свернутой в кольцо;

- планарная рамочная антенна в виде бесконечно тонкого диска с отверстием в его центре;

- связанные соосные цилиндрические рамочные антенны;

- связанные соосные планарные рамочные антенны;

- одиночный конформный цилиндрический полосковый вибратор;

- связанные конформные цилиндрические полосковые вибраторы.

Методы исследования

Основу работы составляют методы математического моделирования, математический аппарат электродинамики, математический аппарат теории СИУ, метод ортогонализирующий подстановки, метод частичного обращения интегрального оператора, численные методы решения интегральных уравнений. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ в интегрированной среде МаШСас! 2001.

Научная новизна диссертации:

- впервые решены внутренние задачи анализа полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн в строгой электродинамической и математической постановке;

- для решения внутренних задач анализа рамочных антенн впервые применен математический аппарат СИУ с особенностью Гильберта;

- впервые в теорию связанных полосковых конформных цилиндрических вибраторов введен математический аппарат СИУ с особенностью Коши;

- исследованы распределения токов, входные сопротивления и диаграммы направленности одиночных полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн;

- исследованы влияния способа возбуждения (синфазного, противофазного, квадратурного) на распределения токов и диаграммы направленности связанных полосковых рамочных и вибраторных конформных цилиндрических антенн.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Использованные при этом приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений, корректны с формальной математической точки зрения. Контроль результатов осуществлялся: сравнением для некоторых излучающих структур полученных результатов с расчетными данными, приведенными в работах других авторов, полученными с помощью других методов; исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений. Кроме того, полученное СИУ относительно поверхностной плотности тока на полосковом вибраторе, конформно расположенном на цилиндрической поверхности в предельном случае угловой ширины равной 2л и отсутствия азимутальной зависимости переходит в известное СИУ для трубчатого электрического вибратора [94].

Практическая ценность работы

В работе рассмотрены внутренние и частично внешние задачи электродинамического анализа для одиночных и связанных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн, одиночных и связанных полосковых вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях. Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для возбуждения и приема электромагнитных волн. В частности, разработанный в диссертации метод расчета антенн может быть обобщен на случай более сложных антенных систем: объемных спиральных антенн; плоских спиральных антенн; антенн, расположенных над границей раздела двух сред; фазированных антенных решеток и т.д. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели конформных цилиндрических антенн могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

Положения, выносимые на защиту:

1. СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по цилиндрической и планарной полосковым рамочным антеннам как результаты аналитических решений внутренних задач анализа для этих антенн.

2. СИУ первого рода с ядром Коши относительно производной некоторой функции, определяющей продольное распределение поверхностной плотности тока по одиночному полосковому вибратору, конформно расположенному на цилиндрической поверхности, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.

3. Система СИУ первого рода с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным соосным полосковым цилиндрическим и планарным рамочным антеннам, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.

4. Система СИУ первого рода с ядрами Коши относительно производных некоторых функций, определяющих продольное распределение поверхностных плотностей тока по связанным полосковым вибраторам, конформно расположенным на соосных цилиндрических поверхностях, как результат аналитического решения внутренней задачи анализа этой излучающей структуры.

5. Численно-аналитический алгоритм решения СИУ с ядрами Гильберта и Коши, основанный на методе ортогонализирующей подстановки.

6. Самосогласованные математические модели конформных цилиндрических полосковых излучающих структур, разработанные на основе математического аппарата теории СИУ: одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов.

7. Численные результаты анализа одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрических и планарных) и конформных цилиндрических полосковых вибраторов: комплексные распределения тока; зависимости входных сопротивлений от их геометрических размеров; диаграммы направленности.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на XII научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, Февраль 2005); на I, И, III, IV Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, сентябрь 2001, сентябрь 2003; Волгоград, сентябрь 2004; Нижний Новгород, 2005); на VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2001); на IX Международной научно-технической конференции

Оптические, радиоволновые и тепловые методы и средства контроля качества материалов, промышленных изделий и окружающей среды» (Ульяновск, 2004)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 23 работы, в том числе 13 статей и 10 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях.

Содержание работы

Во введении определена цель диссертационной работы, показана ее актуальность и практическая значимость, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе описаны физические модели и сформулированы основные положения электродинамики, на основе которых в диссертации построены теории цилиндрической и планарной полосковых рамочных антенн. В приближении квазистатического поперечного распределения азимутальной составляющей поверхностной плотности тока внутренние задачи анализа для этих антенн сведены к СИУ с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольные относительно полоска распределения азимутальных составляющих поверхностных плотностей токов.

В главе разработан алгоритм решения СИУ с ядром Гильберта, основанный на методе ортогонализирующей подстановки. В результате чего процедура нахождения неизвестной функции сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов в разложении ее по синусам. Приведена методика получения интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно вышеуказанной неизвестной функции, основанная на обращении интегрального оператора. Известно, что нахождение численных решений уравнений Фредгольма второго рода является корректной математической задачей. Показано, каким образом, используя найденные функции, можно определить непосредственно функции распределения поверхностных плотностей токов, самих токов, а также входные импедансы.

В главе приведены полученные с помощью вышеуказанной методики графики комплексных распределений токов, зависимости входных импедансов от нормированных на длину волны радиусов антенн, а также диаграммы направленности при различных геометрических размерах антенн.

Во второй главе описаны физические модели и сформулированы основные положения электродинамики, на основе которых в диссертации построены теории систем связанных соосных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн. В приближении квазистатического поперечного распределения азимутальных составляющих поверхностных плотностей токов внутренние задачи анализа для этих систем сведены к системам СИУ с ядрами Гильберта относительно производных некоторых функций, определяющих продольные относительно полосок распределения азимутальных составляющих поверхностных плотностей токов.

В главе разработан алгоритм решения систем СИУ с ядрами Гильберта, основанный на методе ортогонализирующей подстановки. В результате чего процедура нахождения неизвестных функций сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов в разложении их по синусам. Показано, каким образом, используя найденные функции, можно определить непосредственно функции распределения поверхностных плотностей токов и самих токов.

В главе приведены полученные с помощью вышеуказанной методики графики комплексных распределений токов и диаграммы направленности при различных геометрических размерах антенн и способах их возбуждения (синфазном, противофазном и квадратурном).

В третьей главе описана физическая модель и сформулированы основные положения электродинамики, на основе которых в диссертации построена теория полоскового электрического вибратора, конформно расположенного на цилиндрической поверхности. В приближении квазистатического поперечного распределения продольной составляющей поверхностной плотности тока внутренняя задача анализа для полоскового электрического вибратора сведена к СИУ с ядром Коши относительно производной некоторой функции, определяющей продольное относительно полоска распределение азимутальной составляющей поверхностной плотности тока.

В главе разработан алгоритм решения СИУ с ядром Коши для полоскового электрического вибратора, основанный на методе ортогонализирующей подстановки. В результате чего процедура нахождения неизвестной функции сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов в разложении ее по полиномам Чебышева первого рода. Описана методика получения интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно вышеуказанной неизвестной функции, основанная на обращении интегрального оператора. Показано, каким образом, используя найденную функцию, можно определить непосредственно функцию распределения поверхностной плотности тока, самого тока, а также входной импеданс.

В главе приведены полученные с помощью вышеуказанной методики графики комплексных распределений токов, зависимости входных импедансов от длины плеча, нормированной на длину волны и диаграммы направленности при различных геометрических размерах симметричного и несимметричного вибраторов.

В четвертой главе описана физическая модель и сформулированы основные положения электродинамики, на основе которых в диссертации построена теория системы связанных полосковых электрических вибраторов, конформно расположенных на соосных цилиндрических поверхностях. В приближении квазистатического поперечного распределения продольной составляющей поверхностной плотности тока внутренняя задача анализа для связанных полосковых электрических вибраторов сведена к системе СИУ с ядрами Коши относительно производных некоторых функций, определяющих продольные относительно полосков распределения азимутальных составляющих поверхностных плотностей токов.

В главе разработан алгоритм решения системы СИУ с ядрами Коши для связанных полосковых электрических вибраторов, основанный на методе ортогонализирующей подстановки. В результате чего процедура нахождения неизвестных функций сводится к решению СЛАУ относительно неизвестных постоянных коэффициентов в разложении их по полиномам Чебышева первого рода. Показано, каким образом, используя найденные функции, можно определить функции распределения поверхностных плотностей токов и самих токов.

В главе приведены полученные с помощью вышеуказанной методики графики комплексных распределений токов и диаграммы направленности при различных геометрических размерах и типах возбуждения (синфазном, противофазном, квадратурном) системы.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Автор глубоко признателен научному руководителю проф. В.А. Неганову за постановку интересных задач, постоянную помощь в проведении научных исследований и моральную поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам и выводам диссертации следует отнести следующее:

1. В квазистатическом приближении поперечного распределения поверхностной плотности тока разработаны новые самосогласованные математические модели одиночных и связанных цилиндрических и планарных полосковых рамочных антенн.

2. Впервые в теорию конформных цилиндрических рамочных антенн введены СИУ с ядрами Гильберта, численные решения которых являются математически корректной задачей.

3. В квазистатическом приближении поперечного распределения поверхностной плотности тока разработаны самосогласованные математические модели конформных цилиндрических полосковых одиночных и связанных электрических вибраторов.

4. Анализ связанных рамочных антенн и конформных цилиндрических электрических вибраторов проведен с использованием математического аппарата систем СИУ, нахождение численных решений которых является математически корректной задачей.

5. Проведены численные исследования комплексных распределений токов, зависимостей входных сопротивлений и диаграмм направленности при различных геометрических размерах для одиночных и связанных полосковых рамочных антенн (цилиндрической и планарной), а также конформных цилиндрических полосковых вибраторов. Полученные результаты позволяют дать рекомендации по настройке и оптимизации характеристик этих антенн.

6. Разработанный в диссертации новый математический формализм решения самосогласованных внутренних задач анализа позволяет корректно подойти к расчету электромагнитного поля непосредственно вблизи антенн (в ближней зоне).

1. Derneryd A. G. A theoretical investigation of the rectangular microstrip antenna element // IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1978. — Vol. AP-26. — № 4. — P.532-535.

2. Derneryd A.G. A network model of the rectangular microstrip antenna // AP-S Int. Symp. — San-Francisco, Calif., 1977. — P. 93-95.

3. ADS — Advanced Design System. Manuals., Hewlett-Parcard, 2000.

4. Wang T.N.C., Bell T.F. II IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1972. — Vol. AP-20. — № 3. — P. 394.

5. Андронов A.A., Чугуное Ю.В. IIУФН. — 1975. — Т. 116. — №. 1. — С. 79.

6. Мареее Е.А., Чугуное Ю.В. Антенны в плазме. — Н.Новгород: ИПД АН СССР, 1991. —231 с.

7. Ohnuki S., Saw ay а К., Adachi S. 11 IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1986. — Vol. AP-34. — № 8. — P. 1024.

8. Заборонкова T.M., Кудрин А.В., Петров Е.Ю. К теории рамочной антенны в анизотропной плазме // Известия вузов. Радиофизика. — 1998. — Т. 41. — №3. —С. 358-373.

9. Корнев М.Г. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения внутренних задач анализа рамочной и вибраторных антенн: Автореф. канд. физ.-мат. наук. — Самара, 2003. — 15 с.

10. Неганов В. А., Корнев М.Г. Применение метода сингулярного интегрального уравнения к анализу рамочной антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2003. — Т. 6. — № 1. — С. 41-45.

11. Pocklington Н.С., Camb.: Phil. Soc. Proc. — № 9 — P. 324 (1897).

12. Pichmond J.H., Proc. IEEE. — № 53. — P. 796 (1965).

13. Hallen E. Theoretical investigation into the transmitting and receiving qualities of antennas // Nova Acta (Uppsala). — 1938. — № 11. — P. 1-44.

14. Леонтович M.A., Левин М.Л. К теории возбуждения колебаний в вибраторных антеннах // ЖТФ. — 1994. — Т. 14. — Вып. 9. — С. 481.

15. King R. W.P., Wu T.T. II Radio Science. J. Res. N.B.S. — 1965. — 69D.

16. King R. W.P., Aronson E.A., Harrison C. W. II Radio Science. — 1966. — № 1.

17. King R.W.P., Sandler В. I I IEEE Trans. Antennas Propagat. — 1973. — Vol. AP-21.

18. Кинг P., Смит Г. Антенны в материальных средах: В 2-х кн. / Пер. с англ. под. ред. Б.В. Штейншлейгера. — М.: Мир, 1984. — 824 с.

19. Кляцкин И.Г. Интегральное уравнение антенны и метод наведённых ЭДС // Радиотехника. — 1964. — Т. 19. — № 4.

20. Кляцкин И.Г. Об излучении антенн // Радиотехника. — 1965. — Т. 20. — № 12.

21. Нейман М.С. Метод наведённых ЭДС и интегральное уравнение антенн II Радиотехника. — 1965. — Т. 20. — № 12.

22. Конторович М.И., Соколов Н.О. Об интегральном уравнении, описывающем распределение тока в прямолинейной антенне // Радиотехника. — 1965. — Т. 20. —№ 12.

23. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры, Пер. с англ. под ред. Э.Л. Бурштейна. — М.: Мир, 1977. — 485 с.

24. Корнилов М.В., Калашников Н.В., Рунов A.B. и др. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн // Радиотехника. — 1989. — № 7. — С. 82-83.

25. Назаров В.Е., Рунов A.B., Подиногин В.Е. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн // Радиотехника и электроника. — Минск: Вышейшая школа, 1976. — Вып. 6. — С. 153-157.

26. Стрижков В.А. Математическое моделирование электрических процессов в проволочных антенных системах // Математическое моделирование.— 1989. —Т. 1. — №38. — С. 127-138.

27. Радциг Ю.Ю., Сочилин A.B., Эминов С.И. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближёнными ядрами // Радиотехника. — 1995. — № 3. — С. 55-57.

28. Эминов С.И. Теория интегрального уравнения тонкого вибратора // Радиотехника и электроника. — 1993. — Т. 38. — Вып. 12. — С. 2160-2168.

29. Эминов С.И. Теория интегро-дифференциальных уравнений вибраторов и вибраторных решеток // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. — 1997. — Т. 5. — Вып. 2(18). — С. 48-58.

30. Рожанский Д.А. Об излучении антенн // ТиТбП. — 1922. — № 14.

31. Пистолъкорс A.A. Расчёт сопротивления излучения направленных коротковолновых антенн // ТиТбП. — 1928. — № 48.

32. Sommerfîeld L. Uber die Ausbereitung electromagnetisher Wellen in der Drahtlosen Télégraphié // Annalen der Physic. — 1919. — В. 28. — S. 665.

33. Horschelmann H. Uber die Wirkungweise der gebogenem Antennen von Marconi bei derb drahtlosen Télégraphié Y.d.d. // T u T. Bd5. Hl. — 1911. — S. 14-34.

34. Губанов B.C. Входное сопротивление и сопротивление излучения элементарных вибраторов, расположенных над полупроводящей почвой // Антенны. — 1972. — № 17.

35. Анкудинов В.Е. Горизонтальный электрический диполь на границе раздела двух сред // Антенны. — 1974. — № 19.

36. Рашковский C.JI. Исследование антенн, размещённых вблизи границы раздела двух сред, методом интегрального уравнения // Известия вузов. Радиофизика. — 1980. — Т. 13. — № 7.

37. Рашковский C.JI. Характеристики линейных вибраторов, размещенных вблизи границы раздела двух сред // Известия вузов. Радиофизика. — 1981. — Т. 14. —№4.

38. Лиштаев О.Б., Лучанинов А.И., Толстова С.В., Шокало В.М. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии // Радиотехника. — 1992. — № 1-2. — С. 87-88.

39. Лешеев А.А. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов // Радиотехника. — 1995. — № 1-2. — С. 22-25.

40. Журбенко Э.М. О строгой теории элементарного электрического вибратора // Электросвязь. — 1995. — № 3. — С. 34-36.

41. Бородулин И.В., Стрижков В.А. Электродинамическое моделирование фазированных антенных решёток из проволочных излучателей // Электросвязь. — 1995. — № 3. — С. 33-34.

42. Васильев Е.Н., Малушков Г.Д. Распределение тока на цилиндре средней толщины // Известия вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 10. — № 4. — С. 530538.

43. Harrington R.F. Field computation by moment methods. — MacMillan, New York, 1968.

44. Mishra S.R. Three-term exponential product solution for the current on dipole antennas in homogeneous isotropic media // Tech. Rept. № 636. Division of engineering and applied physics, Harvard University, Cambridge, Mass., 1972.

45. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 432 с.

46. Ерохин Г.А., Чернышев О.В., Козырев Н.Д., Кочержевский В.Г. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн: Учебник для вузов / Под ред. Г.А. Ерохина. — М.: Радио и связь, 1996. — 352с.

47. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. — М.-Л.: ГИФНЛ, 1962. — 708 с.

48. King R.W.P. The linear antenna-eighty years of progress // Proc. Inst. Elec. Electron. Eng. — 1967. — Vol. 55. — № 6. — P. 2-16.

49. Неганов B.A., Нефедов E.H. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линий передачи для объемных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. — 1988. — Т. 299. — № 5. — С. 1124-1129.

50. Неганов В.А., Нефёдов E.H., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. — М.: Наука. Физматлит, 1996. — 304 с.

51. Айзенберг Г.З., Белоусов С.П., Журбенко Э.М. и др. Коротковолновые антенны / Под ред. Г.З. Айзенберга. — М.: Радио и связь, 1985 — 536 с.

52. Плотников В.Н., Сочилин А.В, Эминов С.И. Численно-аналитический метод расчёта вибраторных антенн // Радиотехника. — 1996. — № 7.

53. Айзенберг Г.З., Ямполъский В.Г., Терешин О.Н. Антенны УКВ. Т.1. — М.: Связь, 1977. —384 с.

54. Рунов A.B. О специализации интегрального уравнения тонкой проволочной антенны произвольной геометрии к некоторым частным случаям // Радиотехника и электроника. — Минск: Вышейшая школа. — 1976. — Вып. 6. — С. 161-167.

55. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1986. —288с.

56. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1990.

57. Чебышев В.В. Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода для тока узкого полоскового вибратора и численный метод его решения // Машинное проектирование устройств и систем СВЧ. — М., 1979. — С. 204-215.

58. Панченко Б.А., Князев С.Т., Нечаев Ю.Б. и др. Электродинамический расчёт характеристик полосковых антенн. — М.: Радио и связь, 2002. — 256 с.

59. Эминов С.И. Метод собственных функций сингулярных операторов в теории дифракции применительно к электродинамическому анализувибраторных и щелевых антенн: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. — Новгород, 1995. —43 с.

60. Неганов В.А., Матвеев И.В. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 1999. — Т. 2. — № 2. — С. 27-33.

61. Неганов В.А., Матвеев И.В. Новый метод расчёта тонкого электрического вибратора // Известия вузов. Радиофизика. — 2000. — Т. 43. — № 3. — С. 335-344.

62. Неганов В.А., Матвеев И.В. Применение сингулярного интегрального уравнения для расчёта тонкого электрического вибратора // ДАН. — 2000. — Т. 371. — № 1. —С. 36-38.

63. Неганов В.А., Матвеев И.В., Медведев C.B. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению // Письма в ЖТФ. — 2000. — Т. 36. — Вып. 12. — С. 86-94.

64. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

65. Мусхелишвши НИ. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1986. —512 с.

66. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свёртки. — М.: Наука, 1978. — 296 с.

67. Гвоздев В.И., Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта дисперсии симметричной щелевой линии // Известия вузов. Радиофизика. — 1984 — Т. 27. — № 2. — С. 266-268.

68. Неганов В.А. Метод ортогонализующей подстановки для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур // Известия вузов. Радиофизика. — 1985 — Т. 28. — № 2. — С. 222-228.

69. Неганов В.А. Применение преобразований Швингера для расчёта собственных волн экранированной щелевой линии // Радиотехника и электроника. — 1985. —Т. 30. —№7. —С. 1296-1299.

70. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Метод ортогонализующей подстановки в теории экранированных интегральных структур СВЧ // ДАН СССР. — 1985. — Т. 284. — № 5. — С. 1127-1131.

71. Неганов В.А. Метод сингулярных интегральных уравнений для расчёта собственных волн экранированных щелевых структур // Радиотехника и электроника. — 1986. — Т. 31. — № 11. — С. 479-484.

72. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Метод квазиполного обращения оператора на основе сингулярных интегральных уравнений в теории линии передачи для объёмных интегральных схем СВЧ // ДАН СССР. — 1988. — Т. 299. — № 5.1. С. 1124-1129.

73. Неганов В.А. Метод интегральных представлений полей собственных волн в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур // Радиотехника и электроника. — 1989. — Т. 34. — № 11. — С. 2251-2260.

74. Неганов В.А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений // Радиотехника и электроника. — 1988. — Т. 33. — № 5. — С. 1076-1077.

75. Неганов В.А., Нефёдов Е.И. Оценка точности приближённых решений сингулярных уравнений в краевых задачах о собственных волнах полосково-щелевых структур // Журнал вычислительной математики и математическая физика. — 1988. — №11. — С. 1431-1436.

76. Bulter С.М., Wilton D.R. II IEEE Trans. Antennas Propogat. — 1980. — Vol. AP-28. — № 1. —P. 42.

77. Bulter С.М. II IEEE Trans. Antennas Propogat. — 1984. — Vol. AP-32. — № 3. —P. 226.

78. Неганов B.A., Корнев М.Г. Сингулярное интегральное уравнение для расчета тока на поверхности узкого полоскового вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2002. — Т. 5. — № 4.1. С. 34-36.

79. Неганов В.А., Корнев М.Г. К электродинамической теории узкого полоскового вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2003. — Т. 6. — № 1. — С. 36-40.

80. Белоцерковский С.М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука. Физматлит, 1985. — 256 с.

81. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наукова думка, 1984. — 344 с.

82. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. — М.-Л.: Энергия, 1967. — 376 с.

83. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневысоких частот. — М.: Наука. Физматилит, 1996. — 304 с.

84. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. — М.: Наука. Физматлит, 1979. — 832 с.

85. Прудников А.П, Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1983. — 752 с.

86. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1981. — 798 с.

87. Неганов В.А., Павловская Э.А., Яровой Г.П. Излучение и дифракция электромагнитных волн / Под ред. В.А. Неганова. — М.: Радио и связь, 2004.264 с.

88. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби) / Под ред. Л.А. Люстерника и А.Р. Янполъского. — М.: Физматлит, 1961.

89. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.

90. М-Л.: ГИФНЛ, 1962. — 708 с.

91. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т. 2. — М.: Наука, 1977. — 400 с.

92. Марков Г.Т., Сазонов Д.М. Антенны: Учебник для студентов радиотехнических специальностей вузов. — М.: Энергия, 1975.

93. Г. Торн, Т Торн Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. — 832 с.

94. Андре Анго Математика для электро- и радиоинженеров. — М.: Наука, 1964. —772 с.

95. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. — М.: Наука, 1979. —383 с.

96. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. — 1108 с.

97. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1974. —296 с.

98. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов / Пер. с англ.; Под ред. Г.В. Воскресенского. — М.: Мир, 1974. — 323 с.

99. Деайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математитческие формулы / Пер. с англ. Н.В. Леей. — М.: Наука, 1983. — 176 с.

100. Неганое В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B. Новый метод расчета входного сопротивления тонкого электрического вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2001. — Т. 4. — № 1. — С. 38-41.

101. Неганое В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B. Функционал входного сопротивления тонкого электрического вибратора // Письма в ЖТФ. — 2001.

102. Т. 27. — № 21. — С. 29-35.

103. Неганое В.А., Клюев Д.С., Матвеев И.В. Метод расчета полосковых вибраторов, расположенных на цилиндрической поверхности // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2001. — Т. 4. — № 4.1. С. 37-42.

104. Неганое В.А., Клюев Д.С. Новый метод расчета полосковых вибраторных излучателей // Известия вузов. Электроника. — 2002. — № 5. — С. 73-79.

105. Неганое В.А., Клюев Д.С., Матвеев И.В., Мирошников A.B. Метод расчета полосковых вибраторов, расположенных на цилиндрической поверхности // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот.2002. — T. X. — Вып. 2(34). — С. 247-256.

106. Неганов В.А., Клюев Д. С. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля в ближней зоне трубчатого электрического вибратора // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2004. — Т. 7. — № 3. — С. 5-10.

107. Катин C.B., Клюев Д.С., Неганов В.А. Применение сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта к расчету круговой полосковой антенны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. —2004. —Т. 7. —№4. —С. 12-18.

108. Неганов В. А., Клюев Д. С. Расчет входного сопротивления электрического вибратора методом сингулярного интегрального уравнения // Антенны. — 2005. — Вып. 3(94). — С. 7-11.

109. Неганов В.А., Клюев Д.С., Ефремова A.A. Сингулярное интегральное представление электромагнитного поля в ближней зоне электрического вибратора // Антенны. — 2005. — Вып. 4(95). — С. 22-27.

110. Клюев Д.С., Неганов В.А. Решение задачи о распределении тока в планарной полосковой кольцевой антенне методом сингулярного интегрального уравнения // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2005. — Т. 8. — № 3. с. 34-38.

111. Неганов В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B. Входное сопротивление тонкого электрического вибратора // Тезисы I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов». — Самара, 2001. — Т. 2. — С. 64

112. Неганов В.А., Клюев Д.С., Медведев C.B., Осипов О.В. Новый метод расчета входного сопротивления тонкого электрического вибратора // Тезисы

113. VII Международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь». — Воронеж, 2001. — С. 1934-1938.

114. Неганов В.А., Клюев Д.С. Сингулярное интегральное уравнение для расчета полосковой рамочной антенны // Тезисы докладов X Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. — Самара, 2003. — С. 22.