Применение сопряженных методов Монте-Карло в задачах переноса фотонов с учетом вторичного излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Концепция сопряженной частицы (плотность потока, тока, столкновений и альбедо)

1.1 Кинетическое уравнение для прямой и сопряженной плотности потока

1.2 Общая схема метода Монте-Карло решения кинетического уравнения

1.3 Особенности моделирования сопряженного уравнения переноса фотонов с учетом альбедо.

1.3.1 Моделирование сопряженного комптоновского рассеяния

1.3.2 Моделирование сопряженного отражения.

1.4 Решение задачи расчета поля излучения приземных радионуклидных выбросов .• •

Глава 2. Ценностная оптимизация для сопряженного моделирования глубокого проникновения излучения

2.1 Прямой поток как ценность сопряженных столкновений.

2.2 Критерий качества ценностного моделирования на основе формализма контрибутонов

2.3 Решение задачи расчета глубокого проникновения фотонного излучения

2.3.1 Реализация ценностного моделирования с помощью механизма рулетки. и расщепления.

2.3.2 Модель оценки углового распределения потока

2.3.3 Обсуждение результатов.

Глава 3. Концепция обобщенной частицы для расчета смешанного переноса частиц разного сорта

3.1 Обобщенные уравнения смешанного переноса частиц разного сорта

3.2 Состояние с дискретным спектром как обобщенная частица.

3.3 Генерация вторичного излучения при прямом моделировании траектории обобщенной частицы.

3.3.1 Модель переноса фотонов.

3.3.2 Модель переноса электронов и позитронов.

3.4 Сопряженная модель фотон-электронного переноса.

3.4.1 Функция отклика детектора и сечения.

3.4.2 Розыгрыш ядра столкновений для сопряженных фотонов.

3.4.3 Розыгрыш ядра столкновений для сопряженных заряженных частиц

3.5 Расчет пространственного распределения поглощенной энергии в тонком слое.

Глава 4. Расчет небольцмановских функционалов сопряженным методом на примере спектра поглощенной энергии в детекторе

4.1 Кинетическое уравнение для расчета спектра поглощенной энергии

4.2 Расчет спектра поглощенной энергии фотонного излучения сопряженным методом

4.2.1 Функции начальных состояний и вероятности переходов.

4.2.2 Локальная и нелокальная оценки небольцмановских функционалов

4.2.3 Обсуждение результатов расчетов.

Актуальность исследования. Метод Монте-Карло является широко распространенным методом решения большого круга задач переноса излучения в веществе. Почти всегда он реализует моделирование прямого кинетического уравнения, отражающего баланс частиц в элементе фазового объема. В то же время практически все задачи переноса излучения могут быть решены методом Монте-Карло с использованием сопряженного уравнения, соответствующего балансу ценности частиц.

Замена прямого уравнения на сопряженное при моделировании методом Монте-Карло позволяет в ряде случаев (протяженных в фазовом пространстве источников и локализованных детекторов существенно повысить эффективность расчетов за счет использования более простых оценок. Решение сопряженного уравнения используется для ценностной оптимизации моделирования в особо сложных случаях (дальние расстояния, существенно гетерогенные области переноса и т. п.) Моделирование сопряженных траекторий позволяет решать новый класс задач, связанный с расчетом билинейных соотношений типа «поток-ценность», используемых, например, для оптимизации защиты в рамках теории возмущений.

Среди практически важных задач, решение которых с использованием сопряженных методов может быть более эффективно, следует отметить проблему математического обеспечения дистанционного мониторинга за радиоактивными выбросами ядерно-энергетических установок, когда излучение образуется в существенно протяженной области (облако или факел выброса), а регистрируется точечным детектором у повер-рхности земли. При этом удаление от облака может состоять до 1 км и более, что соответствует расстояниям в 10 - 20 дсп, а само распространение излучения происходит вблизи границы раздела сред с существенно различающимися плотностями.

Отсутствие ясной физической аналогии сопряженного уравнения переноса с про 6 — цессами взаимодействия излучения с веществом предопределило ограниченную распространенность сопряженных методов Монте-Карло и меньшую проработанность сопряженного моделирования по сравнению с прямым.

Состояние научной разработки проблемы. На протяжении последних пятидесяти лет аппарат сопряженных функций применялся для расчета полей ионизирующего излучения как детерминистскими, так и статистическими методами, что позволило не только существенно обогатить методологию теории переноса, но и разрабатывать новые, более эффективные алгоритмы для прикладных задач. Использование сопряженных функций в задачах теории переноса началось в 1950-е годы. Например, в работе Л. Н. Усачева {29] был осуществлен вывод сопряженного уравнения переноса, разъяснено понятие сопряженной функции как функции ценности, дано применение нового метода к теории возмущений. Б. Б. Кадомцев в работе [15], рассмотрев неоднородное сопряженное уравнение, доказал теорему взаимности для функций Грина прямого и сопряженного уравнений, построил общую теорию соответствия линейных функционалов потока излучения и сопряженных функций. Теория сопряженных функций развивалась одновременно и американскими авторами — в работах А. Вейнберга [50], Р. Эр лиха и С. Гурвитца [38], С. Глесстона и М. Эдлунда [6]. Результаты этих исследований, указавших основные области использования сопряженного кинетического уравнения, систематизированы и обобщены в работе Г. И. Марчука и В. В. Орлова [20], авторам которой удалось получить соотношения теории возмущений для различных функционалов, встречающихся в теории переноса излучения.

В дальнейшем применение сопряженного кинетического уравнения стало общепризнанным, что нашло отражение, например, в монографиях А. М. Кольчужкина и В. В. У Чайкина [16], где изложение материала строится на симметрии прямого и сопряженного уравнений, Д. Белла и С. Глесстона [3], В. В. Коробейникова и В. И. Уса-нова [17], где рассмотрены такие приложения, как теория возмущений и вариационные методы, а также в трудах [19], [21]. 7 —

Использование аппарата сопряженных функций для метода Монте-Карло началось позже. В нем можно выделить три базовых направления.

1. Разработка эффективных методов моделирования сопряженного уравнения для переноса излучений разных типов и энергий в разных средах и геометриях. Здесь необходимо упомянуть основополагающую статью Д. Ирвинга [44], где сделан вывод интегрального уравнения, удобного для метода Монте-Карло из интегро-диффе-ренциального, дано определение сопряженной частицы (псевдочастицы), разграничены понятия сопряженного потока и плотности столкновений, построен алгоритм моделирования переноса псевдочастиц, аналогичный прямому алгоритму, рассмотрен случай размножающих сред. В статьях [45] и [39] предложены алгоритмы моделирования сопряженного уравнения для фотонов и нейтронов, включающие розыгрыш каналов рассеяния псевдочастиц, реализацию упругих и неупругих соударений с дискретным и непрерывным спектром, а также (п, 2ге)-реакции для псевдонейтронов. Аналогия между прямым и сопряженным уравнениями переноса, как показано в работе [47], делает возможным применять способы, мало отличающиеся по программной реализации от прямых, что облегчает задачу в отсутствии физической наглядности.

В дальнейших исследованиях методологии сопряженного моделирования переноса фотонов применялось понятие, которое можно назвать сопряженной плотностью тока (см. работу [37]), построены сопряженные оценки функционалов, аналогичные прямым для разных геометрий и источников [37], [28], [12], разработан эффективный алгоритм розыгрыша сопряженного комптоновского рассеяния [46], предложены новые схемы учета переноса вторичного излучения - аннигиляционного и характеристического [41], [23], рассмотрены вопросы применимости концепции альбедо [7]. Предпринимались также успешные попытки моделирования сопряженного переноса заряженных частиц, например, электронов в приближении непрерывного замедления [40]. 8 —

2. Применение функции ценности для снижения дисперсии расчетов методом Монте-Карло по прямому уравнению. В монографии [10] наряду с интегральным прямым уравнением переноса используется и сопряженное, с помощью функции ценности даются формулы для локальной оценки и оценки с нулевой дисперсией, исследуется вопрос об условиях сходимости ряда Неймана в прямом и сопряженном случае. Обычно при ценностном моделировании сопряженная функция определяется приближенно, путем детерминистских расчетов в простой геометрии (см., например, работу [1]) или уточняется с помощью итераций после расчета определенного числа прямых историй в самообучающихся алгоритмах (см., например, [33]). В докладе [42] предложен интересный вариант моделирования сопряженного уравнения для задач глубокого проникновения, отмечено, что сопряженной ценностью будет обычная прямая плотность потока частиц, разработаны сопряженные оценки с нулевой дисперсией.

3. Использование билинейных комбинаций прямых и сопряженных характеристик поля излучения, развивающее такие полезные методы решения задач физики переноса излучений, как теория возмущений [13], [14], [27], [25], [26] вариацонные методы (например, [3], [24]), а также теория переноса контрибутонов (см., например [51], [32]), дающая подробную информацию о важности той или иной области фазового пространства для переноса частиц от источника к детектору. Авторы двух последних работ определили контрибутоны как частицы, плотность потока которых есть произведение прямой и сопряженной плотности потока.

Недостаточность развития методов сопряженного моделирования проявляется в сложных случаях, когда в процессе переноса происходит образование вторичных частиц другого сорта, важных для вычисления конечного функционала поля излучения (например, электронов для расчета поглощения энергии в веществе). Публикации по моделированию сопряженного уравнения для подобного смешанного переноса излучения в литературе отсутствуют. К столь же мало изученному случаю относится расчет 9 — функционалов, при вычислении которых сушественна корреляция между вкладами от отдельных столкновений частиц - таких, например, как аппаратурная форма линии спектрометра или отклики детекторов, включенных & схемы совпадений/антисовпадений. Кроме того, в предшествующих работах отсутствовало строгое обоснование применимости концепции альбедо по отношению к сопряженному уравнению, а также рассмотрение связи ценностной оптимизации расчета глубокого проникновения излучения и моделированное переноса контрибутонов.

Целью настоящего исследования является развитие методов Монте-Карло моделирования сопряженного кинетического уравнения в сложных случаях переноса фотонного излучения на большие расстояния, в неоднородных средах с отражением от границы раздела и учетом образования вторичных частиц разного сорта.

Основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы:

1. Математически обоснована концепция альбедо применительно к сопряженному уравнению.

2. Предложен критерий качества моделирования по ценности прямого и сопряженного уравнений на основе формализма контрибутонов.

3. Разработана концепция обобщенной частицы, позволяющая моделировать сопряженное уравнение смешанного переноса излучения разного сорта, также избавиться от ветвления алгоритмов прямого моделирования.

4. На основе концепции обобщенной частицы предложен подход к моделированию сопряженных сингулярных ядер рассеяния путем введения виртуальных сотстояний псевдочастиц.

5. Предложен подход к расчету сопряженным методом небольцмановских функционалов, то есть таких функционалов, в которых существенна корреляция между вкладами отдельных столкновений в случайной истории (например, спектра 10 — поглощенной энергии, счетности детекторов, включенных в схемы совпадений и антисовпадений).

6. Создан и внедрен в ГЕОХИ РАН программный комплекс, рассчитывающий отклики спектрометров фотонного излучения для дистанционного мониторинга атмосферных радинуклидных выбросов АЭС.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые осуществлено математическое обоснование концепции альбедо применительно к сопряженному уравнению.

2. Предложен новый критерий качества моделирования по ценности на основе формализма контрибутонов.

3. Создана новая модель аппроксимации углового распределения плотности потока фотонного излучения точечного изотропного источника, пригодная для всего диапазона углов.

4. Разработана оригинальная концепция обобщенной частицы для моделирования прямого и сопряженного уравнений смешанного переноса излучения разного сорта.

5. На основе концепции обобщенной частицы выработан новый подход к моделированию сопряженных сингулярных ядер рассеяния.

6. Впервые предложен подход к расчету сопряженным методом небольцмановских функционалов.

Научная значимость работы. Проведено развитие методов Монте-Карло, позволяющих решать сопряженное уравнение переноса излучения на большие расстояния вблизи отражающей границы раздела сред. Предложена и математически обоснована концепция моделирования сопряженного уравнения смешанного переноса частиц разного сорта, включающая состояния псевдочастиц с дискретным энергетическим спектром. и —

Предложен подход к расчету сопряженным методом специальных (небольцмановских) функционалов поля излучения.

Практическая значимость работы. Разработанные и развитые методы существенно расширяют круг практических задач переноса излучения, которые могут быть решены с использованием сопряженных методов Монте-Карло, включая в него задачи распространения излучений на большие расстояния, вблизи отражающих границ раздела сред и с учетом рождения вторичных разносортных частиц. Показано, что в ряде задач сопряженные методы способны служить основой более эффективных алгоритмов, чем прямые. Разработанные методы использованы при создании комплекса программ для моделирования откликов детекторов-спектрометров автоматизированной системы мониторинга за воздушными радионуклидными выбросами ядерно-энергетических установок, разрабатываемой в рамках программы ЕГАСКРО. Комплекс внедрен в лаборатории экогеохимии токсических веществ ГЕОХИ РАН.

Результатами исследования, выносимыми соискателем на защиту, являются;

1. Формулировка концепции альбедо применительно к сопряженному току и разработка алгоритмов отражения сопряженных фотонов, а также альбедных оценок.

2. Доказательство критерия качества как прямого, так и сопряженного моделирования по ценности на основе формализма контрибутонов.

3. Модель аппроксимации углового распределения плотности потока фотонного излучения точечного изотропного источника в бесконечной геометрии для оценки сопряженной функции ценности.

4. Концепция обобщенной частицы и соответствующие алгоритмы, позволяющие моделировать без ветвления прямое и сопряженное уравнения смешанного переноса излучения разного сорта, включая и состояния с дискретным спектром. 12 —

5. Подход к расчету небольцмановских функционалов сопряженным методом на основе расширения фазового пространства.

Структура работы. Своему классу задач переноса посвящена каждая из четырех глав диссертации.

Выводы

Предложен общий подход к решению сопряженным методом Монте-Карло задач расчета небольцмановских функционалов, в которых существенна корреляция между вкладами отдельных столкновений в случайной истории. Для формулировки кинетического уравнения фазовое пространство расширено на дополнительные координаты (поглощенная за всю историю энергия, булева переменная поглощения энергии в де-тектроре). Показано, что функция математического детектора для небольцмановских откликов сосредоточена во всей области утечки и поглощения, а не только в чувствительной зоне. Метод протестирован на расчете формы линии спектрометрического детектора и сравнении результатов с экспериментом.

Заключение

Настоящая работа осуществляет развитие и применение сопряженных методов Монте-Карло, предназначенных для решения задач переноса фотонов на большие расстояния, в неоднородных средах с отражением от границы раздела и учетом образования вторичных частиц разного сорта. В ходе работы:

1. Определены понятия плотности потока, тока и столкновений сопряженных частиц, в терминах этих характеристик приведено обоснование альбедного метода, предложены и протестированы алгоритм розыгрыша отражения сопряженной частицы и сопряженные альбедные оценки.

2. Показана симметричная взаимосвязь прямых и сопряженных плотностей и ценностей столкновений, доказан критерий качества ценностной оптимизации прямого и сопряженного моделирования, использующий тождественность частоты заполнения фазового пространства случайными траекториями при ценностном и контри-бутонном моделировании. При этом большее количество литературных данных о прямых функциях, нежели о сопряженных, упрощает оценку функции ценности в сопряженном случае и служит преимуществом сопряженного ценностного моделирования перед прямым, что продемонстрировали как вычисления, так и критерий качества.

3. Разработана новая концепция обобщенной частицы для моделирования сопряженного уравнения смешанного переноса частиц разного сорта, трактующая генерацию вторичных частиц другого сорта как изменение фазовой координаты. При прямом моделировании она в условиях множественности выходящих частиц допускает моделирование без ветвления. Вторичное моноэнергетическое излучение в 86 — рамках концепции может моделироваться в сопряженном случае с помощью виртуальных состояний псевдочастиц. На основе метода обобщенной частицы созданы и протестированы алгоритмы моделирования сопряженного смешанного фотон-электронного переноса.

4. Предложен общий подход к решению сопряженным методом Монте-Карло задач расчета небольцмановских функционалов, в которых существенна корреляция между вкладами частиц в случайной истории. Для формулировки кинетического уравнения фазовое пространство расширено на дополнительную координату (поглощенная за всю историю энергия). Показано, что для небольцмановских откликов функция математического детектора сосредоточена во всей области утечки и поглощения, а не только в чувствительной зоне физического детектора. Разработанный формализм применен к расчету спектров поглощенной энергии фотонного излучения.

Проведена экспериментальная проверка пригодности расчетных моделей. Показано, что для ряда задач использование сопряженного уравнения (протяженный в фазовом пространстве источник и локализованный детектор, а также ценностное моделирование) позволяет добиваться большей эффективности.

В заключении хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю, к. ф. м. н., доценту МИФИ Михаилу Петровичу Панину, направлявшему и вдохновлявшему все труды по написанию диссертации, всегда содействовавшему в случае возникновения затруднений.

Весьма признателен автор также всем сотрудникам кафедры радиационной физики, биофизики и экологии МИФИ за дружеские советы и поддержку в ходе исследования (особо следует отметить помощь В. А. Климанова, А. И. Ксенофонтова, В. В. Смирнова и безвременно ушедшего )В. П. Машковича]).

Невозможно не упомянуть с благодарностью и содействие группы сотрудников лабораторией экогеохимии токсических веществ ГЕОХИ РАН им. В. И. Вернадского, осо 87 — бенно Ю. Е. Лаврухина, Е. М. Котлякова и А. Е. Антонова, за проверку работоспособности расчетных программ в ходе полевых, лабораторных и численных экспериментов

1. Андросенко А. А., Андросенко П. А. и др. Расчет протяженных защит методом Монте-Карло с использованием функции ценности. — Вопросы атомной науки и техники. Физика и техника ядерных реакторов, 1992, вып. 1, с. 85 88.

2. Баранов В. Ф. Дозиметрия электронного излучения. — М.: Атомиздат, 1974.

3. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. Под ред. В. Н. Артамкина. — М., Атомиздат, 1974.

4. Булатов Б. П., Ефименко Б. А., Золотухин В. Г. и др. Альбедо гамма-излучения. — М., Атомиздат, 1968.

5. Викторов А. А. Поле фотонного излучения на границе среды от источников произвольного углового распределения. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — М., 1970.

6. Глесстон С., Эдлунд М. Основы теории ядерных реакторов. — М., Издательство иностранной литературы, 1954.

7. Гнутиков А. П., Ксенофонтов А. И., Панин М. П. Применение альбедо в расчетах полей гамма-излучения методом сопряженной локальной оценки. — Вопросы атомной науки и техники. Физика и техника ядерных реакторов, 1986, вып. 4, с. 34 35.

8. Гольдштейн Г., Уилкинс Дж. Расчеты прохождения гамма-излучения через вещество. В кн.: Защита транспортных установок с ядерным двигателем. — М., Издательство иностранной литературы, 1961, с. 213 430.89 —

9. Гусев Н. Г., Беляев В. А. Радиоактивные выбросы в биосфере. Справочник. — М., Энергоатомиздат, 1991.

10. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. — М.: Наука. 1982.

11. Ефименко Б. А., Золотухин В. Г., Климанов В. А. и др. Вопросы дозиметрии и защиты от излучений. Вып. 13. Под ред. Л. Р. Кимеля. М., Атомиздат, 1973.

12. Ефимов Е. И. Интегрирование сопряженного уравнения переноса гамма-квантов методом Монте-Карло. ФЭИ-1585, Обнинск, 1984.

13. Золотухин В. Г., Ксенофонтов А. И., Гнутиков А. П. Алгоритм Монте-Карло локальной оценки возмущений в задачах переноса гамма-излучения. — Атомная энергия, 1980, т. 48, с. 337 339.

14. Золотухин В. Г., Ксенофонтов А. И., Гнутиков А. П. Решение задач переноса гамма-излучения методом Монте-Карло с помощью теории возмущений. — В сб.: Вопросы дозиметрии и защиты от излучений. Вып. 20. Под ред. В. И. Иванова. М., Атомиздат, 1980.

15. Кадомцев Б. Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии. — Доклады АН СССР, 1957, т. ИЗ. вып. 3, с. 541 543.

16. Кольчужкин А. М., Учайкин В. В. Ведение в теорию прохождения частиц через вещество. — М., Атомиздат, 1978.

17. Коробейников В. В, Усанов В. И. Методы сопряжения в задачах переноса излучения. — М., Энергоатомиздат, 1994.

18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 4. Берестецкий В. Б., Лиф-шиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — М., Наука, 1989, с. 249.

19. Льюинс Дж. Ценность. Сопряженная функция. — М., Атомиздат, 1972.90 —

20. Марчук Г. И., Орлов В. В. К теории сопряженных функций. — В кн.: Нейтронная физика. Под ред. Г. А. Крупчитского. М., Атомиздат, 1961, с. 30 45.

21. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М., Атомиздат, 1971.

22. Машкович В. П., Кудрявцева А. В. Защита от ионизирующих излучений. Справочник. — М., Энергоатомиздат, 1995.

23. Панин М. П. Моделирование вторичного моноэнергетического излучения при сопряженном блуждании. — VIII Всесоюзное совещание «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике». Новосибирск, 19 21 февраля 1991, ч. 2, с. 86 - 89.

24. Панин М. П. Расчет методом Монте-Карло чувствительности функционалов к изменениям конфигурации области переноса излучения. — Атомная энергия, 1989, т. 67, с. 435 436.

25. Петров Э. Е. О применении билинейных функционалов для расчета эффектов возмущения среды в задачах переноса излучения. — Препринт ФЭИ, N 2026, 1989.

26. Петров Э. Е. Локальные задачи в теории переноса излучений для расчета эффектов от больших возмущений. — VII Российская научная конференции «Защита от излучений ядерно-технических установок». Обнинск, 1998. Сборник трудов, с. 33 -36.

27. Полевой В. Б. Алгоритмы оценки локальных возмущений линейных функционалов потока излучения методом Монте-Карло. — Атомная энергия, 1978, т. 46, с. 49.

28. Полевой В. Б. Программа СМК-10 для сопряженного расчета потока в локальной области. — Вопросы атомной науки и техники. Физика и техника ядерных реак-г торов, 1981, вып. 9, с. 15 19.91 —

29. Усачев JI. Н. Реакторостроение и теория реакторов. — Доклады советской делегации на Международной конференции по мирному использованию атомной энергии, Женева, 1955, с. 251.

30. Хисамутдинов А. И. Об использовании функции ценности в Монте-Карловских методах с ветвлением. — VI Всесоюзное совещание «Методы Монте Карло в вычислительной математике и математической физике». Новосибирск, апрель 1979. с. 140 - 146.

31. Шаховский В. В. Модификация матрицы энергетических переходов при решении сопряженных задач переноса методом Монте-Карло. — VII Российская научная конференция «Защита от излучений ядерно-технических установок». Обнинск, 22 -24 сентября 1998, с. 28 30.

32. Aboughantous С. Н. A contribution Monte Carlo method. — Nuclear Science and Engineering, 1994, v. 118, p. 160 177.

33. Booth Th. E. A quasi-deterministic approximation of the Monte Carlo importamce function. Nuclear Science and Engineering, 1990, v. 104, p .474 384.

34. Booth Th. E. A Monte Carlo variance reduction approach for non-Boltzmann tallies. — Nuclear Science and Engineering, 1994, v. 116, p. 113 124.

35. Bethe H. A. Moliere's theory of multiple scattering. — Physical Review, 1953, v. 89, p. 1256 1266.

36. Chilton А. В., Eisenhauer С. M., Simmons G. L. Photon point source buildup factors for air, water and iron. — Nuclear Science and Engineering, 1980, v. 73, p. 97 107.

37. Cramer S.N. Adjoint gamma ray estimation to the surface of a cylinder analysis of a remote reprocessing facility. — Nuclear Science and Engineering, 1981, v. 79, p. 417 -425.92 —

38. Ehrlich R., Hurwitz H. Multigroup methods for neutron diffusion problems. — Nucleonics, 1954, v. 12, no 2, p. 23 30.

39. Eriksson B., Johansson C., Leimdorfer M., Kalos M. Monte Carlo integration of the adjoint neutron transport equation. — Nuclear Science and Engineering, 1969, v. 37, p. 410 422.

40. Halbleib J. A., Morel J. E. Adjoint Monte Carlo electron transport in the continuous-slowing-down approximation. — Journal of Computational Physics, 1980, v. 43, p.211 -230.

41. Halblieb J. A. Continuous-energy adjoint Monte Carlo theory of coupled continuum / discrete radiation transport. — Nuclear Science and Engin eering, 1982, v. 50, p. 162 -171.

42. Huan-Tong Chen, Stevens P. N. A genaralized approach to the biased adjoint Monte Carlo calculation. — Topical conference on theory and practice in radiation protection and shielding. Knoxville, Tennessee, USA, 1987, p. 533 542.

43. Hough P. V. C. Low energy pair production. — Physical Review, 1948, v. 73, p. 266 -269.

44. Irving D. C. The adjoint Boltzmann equation and its simulation by Monte Carlo. — Nuclear Engineering and Design, 1971, v. 15, p. 273 292.

45. Kalos M. Monte Carlo integration of the adjoint gamma ray transport equation. — Nuclear Science and Engineering, 1968, v. 33, p. 284 290.

46. Koblinger L. A new energy sampling method for Monte Carlo simulation of the adjoint transport equation. — KFKI-76-65, Budapest-76.

47. De Matteis A. Phenomenological interpretation of the adjoint neutron transport equation. — Meccanica, September 1974.93 —

48. Shoemaker N., Huddleston С. M. Economy of experiment in dose albedo. — Nuclear Science and Engineering, 1964, v. 18, p. 113 115.

49. Wall J. A. Burke E. A. Gamma dose distribution at and near the interface of different matters. — IEEE Transaction on Nuclear Science, 1970, v. NS-17, issue 6, p. 305 309.

50. Weinberg A. M. Current status of nuclear reactor theory. — American Journal of Physics, 1952, v. 20, p. 401 422.

51. Williams M. L. Generalized contributon response theory. — Nuclear Science and Engineering, 1991, v. 108, p. 355 382.

52. Борисов H. M., Панин M. П. Применение сопряженного метода Монте-Карло для расчета полей излучения приземных радионуклидных выбросов. — Известил вузов. Ядерная энергетика, 1995, вып. 5, с. 32 36.

53. Борисов Н. М., Панин М. П. Модель оценки углового распределения потока гамма-излучения точечного изотропного источника в бесконечной геометрии. — Атомная энергия, 1998, т. 85, с. 338 340.

54. Борисов Н. М., Панин М. П. Критерий качества моделирования по ценности на основе теории переноса контрибутонов. — Атомная энергия, 1999, т. 86, с. 103 -107.

55. Борисов Н. М., Панин М. П. Моделирование сингулярных ядер столкновений при сопряженном блуждании. — Атомная энергия, 1999, т. 86, с. 178 183.

56. Borisov N. М., Panin М. P. Adjoint importance Monte Carlo simulation for gamma ray deep penetration problem. — Monte Carlo Methods and Applications, 1997, v. 3, p. 241 250.

57. Borisov N. M., Panin M. P. Adjoint Monte Carlo calculations of pulse-height-spectrum. — Monte Carlo Methods and Applications, 1998, v. 4, p. 273 287.94 —

58. Borisov N. M., Panin M. P. Generalized particle concept for adjoint Monte Carlo calculations of coupled gamma ray-electron transport. — Monte Carlo Methods and Applications, 1998, v. 4, p. 341 358.

59. Борисов H. M. Моделирование методом Монте-Карло сопряженного переноса фотонов для расчета полей излучения радионуклидных выбросов. — Международный научный конгресс «Молодежь и наука третье тысячелетие». М., 1996. Сборник трудов, т. II, с. 1-2.

60. Борисов Н. М. Сопряженное ценностное моделирование для расчета глубокого проникновения фотонного излучения. — Международный симпозиум «Ядерная энергетика в третьем тысячелетии». Обнинск, 1996. Сборник трудов, с. 70 72.

61. Борисов Н. М., Панин М. П. Применение сопряженных методов Монте-Карло для оценки доз облучения. — Научная сессия МИФИ-1998. Сборник трудов, ч. 1, с. 80 -81.

62. Борисов Н. М., Панин М. П. Моделирование сопряженного уравнения смешанного электрон-фотонного переноса. — VII Российская научная конференции «Защита от излучений ядерно-технических установок». Обнинск, 1998. Сборник трудов, с. 108 -110.

63. Борисов Н. М., Панин М. П. Моделирование сопряженного переноса фотонов на дальние расстояния с применением альбедо. — VII Российская научная конференции «Защита от излучений ядерно-технических установок». Обнинск, 1998. Сборник трудов, с. 111 113.

64. Борисов Н. М., Панин М. П. Моделирование сопряженного уравнения смешанного фотон-электронного переноса. — Научная сессия МИФИ-1999. Сборник трудов, т. 1, с. 173 174.95 —

65. Борисов Н. М., Панин М. П. Расчет формы линии спектрометра с помощью сопряженного метода Монте-Карло. — Научная сессия МИФИ-1999. Сборник трудов, т. 1, с. 175 177.

66. Borisov N. М. Adjoint Monte Carlo calculations of coupled electron/gamma ray transport. — XII International Conference for Physics Students. Vienna, 1997. Programme book, p. 44.1. Условные обозначения

67. J скалярная плотность тока контрибутонов;js скалярная плотность тока;jf скалярная сопряженная плотность тока;1. К интегральное ядро;длина отрезка вложенной траектории;п нормаль к поверхности;пе концентрация электронов;

68. Р интеграл от ядра столкновения или отражения;5 поглощенная энергия;г пространственная координата;

69. X прямая плотность выходящих столкновений контрибутонов;

70. Х+ сопряженная плотность входящих столкновений контрибутонов;

71. X плотность прямых выходящих столкновений;

72. X* ценность прямых выходящих столкновений;х+ плотность сопряженных входящих столкновений;

73. Х+)* ценность сопряженных входящих столкновений;

74. Ф прямая плотность входящих столкновений контрибутонов;

75. Ф+ сопряженная плотность выходящих столкновений контрибутонов;ф плотность прямых входящих столкновений;ф* ценность прямых входящих столкновений;ф+ плотность сопряженных выходящих столкновений;ф+)* ценность сопряженных выходящих столкновений;

76. О направление движения частицы.