Применение вариационного метода Л. М. Качанова в задачах плоского упруго-пластического изгиба стержней тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Плоский поперечный изгиб стержней в упругой и упруго-пластической стадиях.

1.1. Основные уравнения плоского поперечного изгиба стержней.

1.2. Напряжённо-деформированное состояние и форма изогнутой оси при различных стадиях изгиба.

1.3. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней круглого сечения при различных геометрических размерах и величинах нагрузок.

1.4. Определение остаточных напряжений и прогибов при разгрузке.

1.5. Упругий стержень прямоугольного сечения. Точное решение. Вариационная постановка задачи. Применение метода Ритца.

1.6. Упруго-пластический изгиб стержня прямоугольного сечения.

Точное решение.

1.7. Упруго-пластический изгиб стержня прямоугольного сечения. Вариационная постановка задачи. Применение модифицированного метода Ритца в форме Л.М.Качанова.

1.8. Применение вариационного метода Ритца в форме Л.М.Качанова в задаче упруго-пластического" изгиба стержня с круглым поперечным сечением.

2. Поперечный упруго-пластический изгиб стержня при предварительном осевом напряжении.

2.1. Постановка задачи. Основные соотношения.

2.2. Решение задачи в упругой стадии.

Граница перехода к упруго-пластическому состоянию.

2.3. Напряжённо-деформированное состояние и форма изогнутой оси предварительно напряжённого стержня прямоугольного сечения в стадии с одной зоной пластичности.

2.4. Стержень прямоугольного сечения. Упруго-пластическая стадия с двумя зонами пластичности. Предельное состояние.

2.5. Применение метода Л.М.Качанова к задачам изгиба предварительно напряжённых стержней прямоугольного сечения.

2.6. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней прямоугольного сечения. Влияние величины предварительного напряжения

2.7. Стержень круглого сечения. Упруго-пластическая стадия изгиба с одной зоной пластичности.

2.8. Стержень круглого сечения. Упруго-пластическая стадия изгиба с двумя зонами пластичности.Предельное состояние.

2.9. Применение метода Л.М.Качанова к задачам изгиба предварительно напряжённых стержней круглого сечения.

2.10. Анализ напряжённо-деформированного состояния стержней круглого сечения. Влияние величины предварительного напряжения.

3. Упруго-пластический изгиб стержней с учётом линейного упрочнения материала. Анализ напряжённо-деформированного состояния при разгрузке.

3.1. Стержень прямоугольного сечения. Применение модифицированного метода Ритца в форме Л.М. Качанова.

3.2. Стержень круглого сечения. Численное решение задачи. Приближённое решение: применение модифицированного метода

Ритца в форме Л.М. Качанова.

3.3. Разгрузка в стержне круглого сечения из упрочняющегося материала

3.4. Анализ процессов разгрузки при упруго-пластическом изгибе предварительно напряжённого стержня прямоугольного сечения.

3.5. Анализ процессов разгрузки в предварительно напряжённом стержне круглого сечения.

Пластические свойства обнаруживают большинство материалов, используемых при проектировании современных конструкций и сооружений. Учёт этих свойств позволяет более полно оценить несущую способность, выявить дополнительные запасы прочности и приводит к рациональному использованию материальных средств.

Стержни, а также балки и болты являются основным элементом большинства строительных конструкций. Задачам упруго-пластического изгиба балок и стержней посвящены работы многих авторов, в том числе монографии: [20], [24], [58]; разделы справочной и учебной литературы: [13], [14], [43], [51], [54]; отдельные разделы специальных исследований [10],[12], [47], [59], [69].

Общие подходы к построению методов расчёта заключаются в принятии ряда положений, в том числе гипотезы плоских сечений, допущения об одноосности напряжённого состояния и схемы идеальной пластичности. Для задач чистого изгиба в упругой стадии эти допущения позволяют построить точное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия и совместности деформаций ([65]). За пределами упругости допущение об одноосности напряжённого состояния эквивалентно допущению о том, что коэффициент Пуассона р в упругой и пластической областях одинаков и равен 0.5, при этом учёт остальных составляющих тензора напряжений не влияет на величину изгибающего момента в сечении ([28]). При поперечном изгибе, как указывал В.В.Новожилов [48], " гипотеза плоских сечений не включает в себя никаких предположений о свойствах материала, из которого изготовлен брус". Таким образом оба допущения носят приближённый характер, и, хотя решения, построенные на этих допущениях, дают несколько преувеличенные деформации ([28], [11]), проведённые эксперименты ([81],[11], [75], [87], [82], [86], [73], [74], [79], [88], [89]) показали достаточную для практики степень точности полученных решений, а выводы элементарной теории в определении предельных нагрузок отличались не более, чем на 5-6% от экспериментальных данных. Большой обзор экспериментальных исследований для конкретных, практических задач изгиба представлен в работе [46].

При поперечном изгибе в сечениях стержня возникают касательные напряжения, уравновешивающие поперечную силу и обеспечивающие совместную деформацию всех частей стержня при изгибе. Появление касательных напряжений приводит к перераспределению нормальных напряжений и влияет на возникновение пластических деформаций. Подход к определению касательных напряжений в упруго-пластической стадии, проводимый в рамках элементарной теории изгиба, был предложен Н.И.Безуховым в [8]. Он состоит в нахождении касательных напряжений из условий равновесия элемента стержня при заданном распределении нормальных напряжений и позволяет выявить концентрацию касательных напряжений в упругом ядре сечения, оценить приложенные нагрузки из условия возникновения пластических деформаций, вызванных развитием касательных напряжений на нейтральной оси стержня. Таким способом были учтены касательные напряжения в работах [3], [19], [22], [38], [47], [58], [59]. Возможны и другие, более широкие, подходы к учёту касательных напряжений, например, рассмотрение изгиба призматических стержней как плоской задачи теории пластичности ([4], [9], [20], [25], [40], [53], [63], [70], [80], [71]) или применение вариационных методов для построения решений, удовлетворяющих условиям равновесия, совместности деформаций, краевым условиям (в интегральном смысле) и'условию текучести в сечении ([90], [91], [76]). В работе [4] при рассмотрении плоской задачи были получены прогибы оси шар-нирно опертого стержня с прямоугольным сечением и сделан вывод об уменьшении роли касательного напряжения на прогиб при приближении к предельному состоянию. Решения, полученные в указанных работах, и результаты упомянутых выше экспериментальных исследований показывают, что приближённая теория изгиба стержней применима для инженерных расчётов.

В дальнейшем обзоре ограничимся анализом работ для стержней с прямоугольным или круглым поперечным сечением, имеющим широкое применение в технике. Наибольшее внимание в проведённых исследованиях уделялось статически определимым задачам, в которых определена граница между упругой и пластическими областями. Здесь получены теоретические решения ряда задач, в основном для стержней с прямоугольным поперечным сечением, где выражение кривизны на упруго-пластических участках оси допускает вычисление квадратур при построении функции прогибов: консольного стержня с силой на торце— [69], [59], [47]; консольного стержня под действием равномерно распределённой нагрузки в случае степенной зависимости между напряжениями и деформациями: о = Аеа— [59]; шарнирно опертого стержня под действием силы посередине— решение Фриче—

77], [47], [59]; шарнирно опертого стержня под действием равномерно распределённой нагрузки решение Прагера и Ходжа— [52], [69]; защемлённого стержня под действием силы посередине, где задача решена путём сведения к задаче о консольном стержне— [69], [47].

Для стержней с круглым поперечным сечением решение затруднено невозможностью обращения зависимости между моментом и кривизной и построением функции кривизны на упруго-пластических участках оси в замкнутом виде. Поэтому при решении тех же и других статически определимых задач в работах [1], [2], [5]-[6], [10], [36], [37], [58], [27], [67], [38], [62], [61] предлагались численные и приближённые методы, причём в [10], [58] учтено линейное упрочнение материала в упруго-пластической области. В работе [91] при решении вариационного уравнения применён метод итераций.

Менее исследованными являются статически неопределимые задачи, для которых усилия и моменты в сечениях можно найти только после определения перемещений. В этих задачах не представляется возможным заранее находить границу между упругой и пластической областями, что, в частности, осложняет применение вариационных методов расчёта. К таким задачам, в том числе, относятся задачи с продольными растягивающими или сжимающими нагрузками, где выражение изгибающего момента составлено по деформированному состоянию. В работах [10], [23], [35], [58], [59] рассмотрены различные случаи нагружения для стержней, один конец которых защемлён, а второй шарнирно оперт. В работе [35] для различных вариантов закрепления торцов определены величины предельных нагрузок на стержень. Различные виды нагрузок на защемлённый стержень рассматриваются в [10], [47], [62], [53], [58]. В [46], а также [57] получены предельные значения нагрузок для различных двух- и трёхпролётных неразрезных балок. При исследовании изгиба и сжатия в [7], [41], [42] рассмотрен консольный стержень под действием продольной и поперечной сил, прогибы стержня определены методом упругих решений в форме фиктивных нагрузок. В [62] итерационный метод интегрирования уравнений изгиба, при выводе которых было учтено влияние продольной силы на величину изгибающего момента, предложен для построения функции прогибов в стержнях с прямоугольным и круглым сечением. В [2] для стержней различного сечения приведены зависимости между кривизной и моментом, учтено воздействие продольных сил. Шарнирно опертый стержнь под действием косого изгиба рассмотрен в [9], [44] и у Ю.Н.Работнова в [56], где при исследовании устойчивости для материала стержня принят закон линейного упрочнения. В [44] при произвольной степенной зависимости а ~ е решение для стержней с прямоугольным сечением проведено методом численного интегрирования.

Таким образом, при рассмотрении изгиба и растяжения, задачи предварительного осевого напряжения круглых стержней, подверженных поперечному изгибу, исследовались мало.

Основным способом определения прогибов в некоторых статически определимых и большинстве статически неопределимых задач являются различные приближённые методы, классификация которых была предложена В.В.Новожиловым в [49] и И.А.Биргером в [16]. Следует заметить, что сходимость метода переменных параметров упругости, предложенного И.А.Биргером ([15], [17], [18]), была доказана в работах [29], [64], [66].В работе [66] было отмечено, что метод переменных параметров упругости сходится, если начальное приближение м° находится не слишком далеко от решения.

Достоинством применения вариационных методов в задачах упруго-пластического изгиба стержней является возможность построения приближённого решения для прогиба в виде разложения по координатным функциям, удовлетворяющим геометрическим граничным условиям. Это позволяет определить в каждой точке поперечного сечения деформации, а также напряжения, с учётом принятой зависимости а ~ б, и, в частности, находить границу между упругой и пластическими областями, что особенно важно в статически неопределимых задачах. Применение метода Ритца, однако, к задачам упруго-пластического изгиба ([21],[31]) связано с проблемой решения системы нелинейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. Л.М. Качановым для модификации вариационного метода Ритца в работах [32], [33], [34], [30] была использована основная идея введения на каждом шаге приближения переменных параметров упругости, "возвращающих" напряжения в точках тела на диаграмму деформирования, что позволяет свести проблему минимизации неквадратичного функционала полной энергии к построению и минимизации последовательности квадратичных функционалов . Сходимость этого метода доказывалась в работах А.Лангенбаха [39] и С.Н.Розе [60]. Указанным подходом были получены решения ряда двумерных задач ([68]), однако решение задач упруго-пластического изгиба стержней в указанной постановке в литературе отсутствует, что и определило направление диссертационного исследования.

Следует заметить, что задачи изгиба и, особенно, изгиба предварительно напряжённых стержней в последнее время приобретают всё большее практическое значение. Современные требования к проектированию особо ответственных сооружений, эксплуатируемых в опасных или сейсмически опасных районах, предусматривают наличие в конструкции таких узлов и соединений, в которых от действия экстремальных нагрузок допустимы неупругие смещения элементов, не приводящие, однако, к их разрушению, при обычных же нагрузках эти элементы деформируются по упругой схеме. Примером такого узла, активно внедряющегося в практику отечественного и зарубежного строительства, может служить фрикционно-подвижное соединение (ФПС) ([92]- [95]), его элемента— предварительно напряжённый высокопрочный болт. В отличие от традиционных болтовых соединений, в пакете металлических листов ФПС отверстия под болты выполнены овальными вдоль направления максимального воздействия, за счёт чего допустим изгиб болта в плоскости его оси и наибольшей полуоси выреза (рис. I). Аналогичные соединения используются зарубежом. Поведению болтовых соединений в неупругой области посвящены работы [72], [78], [85]. Экспериментальный и численный анализ представлен в работах [83] и [84].

Таким образом, целью работы является постановка и решение задач упруго-пластического изгиба стержней с применением вариационного метода Ритца в форме Л.М.Качанова. Рассматриваются стержни с круглым и прямоугольным поперечным сечением без предварительного напряжения или при его наличии. Для анализа сходимости вариационного метода построены точные решения статически определимых задач, а в статически неопределимых задачах решения, полученные вариационным методом, сравниваются с решениями, полученными применением вычислительных процедур. Исследованы влияние предварительного напряжения, учёт линейного упрочнения материала, а также процессы разгрузки.

Работа состоит из трёх глав, заключения и включает два приложения.

В первой главе рассматривается задача упруго-пластического изгиба стержня с защемлёнными торцами при дейстйии поперечной сдвигающей силы на опорах. Вследствие обратной симметрии решение для половины стержня совпадает с решением задачи изгиба консольного стержня силой на свободном конце. Для прямоугольного сечения получено точное решение, аналогичное известным [59], [69]. Для круглого сечения представлены выражения, определяющие прогиб оси с учётом условий сопряжения, условий на торце и обратной симметрии задачи, при этом обращение и интегрирование зависимости между моментом и кривизной выполнено численно. И.Л.Диковичем в [24] было предложено разложение кривизны по степеням 1 — где М— момент, действующий в сечении, Мт = |сгтВ,3— предельное значение момента, однако примеров, иллюстрирующих применение данного подхода, приведено не было. Проведённый анализ полученных решений показал практическое совпадение результатов обоих подходов.

При разработке схемы применения метода Ритца- Л.М.Качанова к задачам поперечного изгиба в качестве координатных функций выбирались функции ряда Фурье точного решения упругой задачи, при этом коэффициенты разложения упругого решения принимались в качестве начального приближения упруго-пластической задачи. Для прямоугольного сечения была показана сходимость коэффициентов, полученных применением модифицированного метода Ритца, к коэффициентам Фурье имеющегося точного решения задачи. Была исследована точность полученных значений прогибов, моментов, границ между упругой и пластическими областями при изменении нагрузки фо в интервале от (¿^ < (¡}о < (¿т, где <3т— нагрузка, вызывающая появление пластических деформаций, (¡)-с— предельное значение нагрузки, полученное без учёта касательных напряжений. Для круглого сечения сходимость и точность полученного вариационным методом решения была показана сопоставлением численного и приближённых решений на каждом шаге итерационного процесса при различном числе удержанных членов ряда.

В работе [24], £1 ТсИОКС [7], [10], [12], [20], [69] была рассмотрена разгрузка для стержней с прямоугольным сечением. Было показано отсутствие зон вторичных пластических деформаций при полной разгрузке. В главе I отсутствие вторичных пластических зон в рассматриваемой задаче установлено для стержня круглого сечения, приведены формы остаточных прогибов.

Заключение

В завершение исследования конспективно изложим основные результаты работы

1. Для задач поперечного изгиба стержней с круглым и прямоугольным поперечным сечением разработана схема применения вариационного метода Ритца в форме Л.М.Качанова. Для стержней с прямоугольным сечением исследована сходимость коэффициентов Ритца к коэффициентам разложения имеющегося точного решения по выбранной системе координатных функций, в задачах изгиба стержней с круглым поперечным сечением решения вариационного метода сравниваются с решениями, полученными применением численных процедур при построении функции прогибов. Установлено, что при нагрузке фо < Ят для 5 удержанных членов ряда 3-4 итерации приводят к погрешности в определении прогибов, не превышающей 1%.

3. Проведён анализ напряжённо-деформированного состояния и построены численные решения задачи изгиба предварительно напряжённых стержней с учётом вклада продольной силы в выражение изгибающего момента. Исследовано влияние величины предварительного напряжения на несущую способность и деформируемость стержня в упруго-пластической стадии. Выявлена область изменения величин предварительного напряжения, которым соответствуют наибольшие значения изгибающих моментов и приложенной поперечной нагрузки фо, при этом для значения <то = 0.25<гт— в стержне прямоугольного сечения— и а0 = 0.3<тх— круглого— имеет место максимум приложенной нагрузки и изгибающего момента.

4. Для задач изгиба предварительно напряжённых стержней разработана схема применения метода Л.М.Качанова и получены приближённые решения, проведён анализ их сходимости и точности. Показано, что использование полученных значений прогибов в выражении моментов, составленного с учётом вклада продольной силы при изгибе стержня, приведёт к высокой точности результатов для изгибающих моментов.

5. Для задач поперечного изгиба стержней с линейно упрочняющимя материалом путём сравнения с решениями для идеально упруго-пластического материала исследовано влияние упрочнения. Установлено, что учёт даже незначительного упрочнения = 0.03), отвечающего свойствам реальных сталей и сплавов, приводит к улучшению сходимости и точности приближённых решений, полученных применением метода Л.М.Качанова.

6. Для рассмотренных задач упруго-пластического изгиба исследованы процессы разгрузки. Найдены оценки величины предварительного напряжения, для которых разгрузка происходит без образования вторичных пластических зон, при этом полученные величины остаточных моментов |Р0^ост| пренебрежимо малы по сравнению с действующими моментами.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фёдорова М.Ю. Расчёт несущей способности высокопрочного болта за пределами упругости.//ЭИ, серия "Сейсмостойкое строительство" ВНИИНТПИ, Москва, вып. 2 "Проектирование и строительство сейсмостойких зданий и сооружений", 1995- С.37-44.

2. Фёдорова М.Ю. Критическое смещение высокопрочного болта.// В межвуз. сб. "Прикладная механика", вып. 10, "К 90-летию со дня рождения профессора Н.Н.Поляхова", изд-во СПб Университета, 1997- С.93-98.

3. Фёдорова М.Ю. Прикладные вопросы теории фрикционно-подвижных соединений на высокопрочных болтах.// Сб. тезисов докладов международной конференции "Вторые Савиновские чтения", СПб, 1997- С.38-39.

4. Павилайнен В.Я., Фёдорова М.Ю. Поперечный плоский изгиб высокопрочных болтов фрикционно-подвижных соединений.//ЭИ "Сейсмостойкое строительство" ВНИИНТПИ Госстроя России, Москва, вып.2, 1998- С.25-29.

5. Tatiana A.Belash Alexander M.Uzdin Andrey A.Nikitin Inna O.Kuznetsova Mariya Yu.Fedorova Juriy V.Gordeev Angeliqua A.Dolgaya. Damping Devices Analysis for Base Isolated Structure.//PVP-Vol. 379, Seismic, Shock, and Vibration Isolation, ASME 1998- P.123-126.

6. Мазовер С.И. Фёдорова М.Ю. Реализация численного метода при моделировании структуры нелинейной технической системы.// Научно-метод. сб. "Новые технологии в образовательном процессе", СПб: СПб ВМИ, вып. 6, 1999-С.92-97.

7. Фёдорова М.Ю. Моделирование параметров нелинейных систем по методу Л.М. Качанова.// Там же, С.105-107.

1. Абрамян К.Г. Упруго-пластический изгиб балок произвольной формы сечения.// Л.: Труды НТО судостроительной промышленности, Ленингр. обл. пр-е, вып. 2, 1960- С.39-47.

2. Алешинский Ю.Н. Решение и уточнение некоторых вопросов расчёта стальных конструкций за пределом упругости.// Труды МИИТ, вып. 108, строит, констр., Трансжелдориздат, 1959- С.5-81.

3. Алешинский Ю.Н. Учёт влияния касательных напряжений на несущую способность сечений стержня при продольно-поперечном изгибе.// Труды МИИТ, вып. 108, строит, констр., Трансжелдориздат, 1959- с.82-116.

4. Амбарцумян С.А. Задоян М.А. К задаче упруго-пластического изгиба балок.// Изв. АН СССР, ОТН, №10, 1958- С.130-132.

5. Баловнев Г.Г. Графоаналитический способ определения напряжений и деформаций при пластическом изгибе.//М.: Вестник машиностроения, Машгиз, №7, 1952- С. 16-20.

6. Баловнев Г.Г. Графо-аналитический способ расчёта на поперечный пластический изгиб.//М.: Вестник машиностроения, Машгиз, №7, 1954- С. 12-15.

7. Безухов Н.И. Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.// М.: "Высшая школа", 1974- 200с.

8. Безухов Н.И. К теории пластического расчёта на изгиб. //Вестник инж. и техн., №10, 1936- С. 580-582.

9. Бейлин Е.А. О предельном состоянии изогнутых и сжато-изогнутых стержней.// "Строительная механика и расчёт сооружений", №1, 1961- С.18-23.

10. Беленький Л.М. Расчёт судовых конструкций в пластической стадии.// Л.: "Судостроение", 1983- 380с.

11. Бернштейн С. А. Туркин B.C. Экспериментально-теоретические исследования упруго-пластической работы стальных неразрезных балок.// Труды конференции по пластическим деформациям, изд. АН СССР, 1938- С.11-17.

12. Биргер И.А. Стержни, пластинки,, оболочки.// М.: Физматлит, 1992- 392с.

13. Биргер И.А. Расчёт на прочность деталей машин: Справочник.— 4-е изд-е перераб. и доп.// М.: Машиностроение, 1993- 640 с.

14. Биргер И.А. Мавлютов P.P. Сопротивление материалов.// М.: изд-во МАИ, 1994- 512 с.

15. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности.// ПММ, т.15, вып.6, 1951- С.179-187

16. Биргер И. А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести. //М.: Успехи механики деформ. сред., Наука, 1975- С.61-73.

17. Биргер И. А. Расчёт конструкций с учётом пластичности и ползучести. Изв. АН СССР, Механика, №2, 1965- С.113-119.

18. Биргер И. А. Метод переменных параметров упругости в задачах теории пластин и оболочек.// Труды XII Всесоюзной конф.— Ереван: Ереванский ун-т, 1980- С. 170-185.

19. Болгов А.Н. Михайленко O.A. Исследование функции эквивалентных напряжений при плоском изгибе балки.// Строительство и реконструкция в современных условиях, тез. докл. междун. научн.-техн. конференции, Рубцовск, 2630 мая 1997- С.4.

20. Броуде Б.М. Предельные состояния стальных балок.// M.-JI.: Стройиздат, 1953- 216с.

21. Васидзу Вариационные методы в теории упругости и пластичности. //Пер. с англ. под ред. Н.В.Баничука, М.: "Мир", 1987- 542с.

22. Воронюк И.С. Касательные напряжения в нелинейно упругих стержнях. //"Строительная механика и расчёт сооружений", №2, 1985- С.21-24.

23. Глушков Г.С. Валиашвили Н.В. К расчёту бруса на жёсткость при общей нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями.// В кн. Расчёты на прочность, М.: Машгиз, вып.8, 1962- с.17-23

24. Дикович И.JI. Статика упруго-пластических балок судовых конструкций.// Л.: "Судостроение", 1967- 264с.

25. Ерхов М.И. Предельное равновесие идеально-пластического стержня произвольного сечения при сложном напряжённом состоянии.// Труды ЦНИИСК, АС и С СССР, вып. 4, 1961- С.61-64

26. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности.// М., Наука, 1992- 382 с.

27. Заседателев С.М. Графический метод решения некоторых задач упругопла-стического изгиба стержней в больших перемещениях.// В кн. Расчёты на прочность, жёскость и ползучесть элементов машиностроительных конструкций, М.: Машгиз, вып.26, 1953- С.173-184

28. Ильюшин A.A. Нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балок за пределом упругости и аналогия с задачей об изгибе плит.// Инж. сб., т.19, 54- С.1-12.

29. Качанов Л.М. Основы теории пластичности.// М., Наука, 1969- 420с.

30. Качанов Л.М. Вариационные принципы для упруго-пластических сред.// ПММ, т.6, вып. 2-3, 1942- С.187-190.

31. Качанов Л.М. О вариационных методах решения задач теории пластичности.// ПММ, т.23, вып. 3, 1959- С.616-617.

32. Качанов Л.М. Пример решения вариационным методом задачи упруго-пластического кручения.// Исследования по упругости и пластичности, №1, 1961- С.157-161.

33. Качанов Л.М. Вариационные методы в теории пластичности.// Труды 2-го Всесоюзного съезда по механике, вып. 3, 1966- С.177-190.

34. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности.// М., изд-во Моск. ун-та, 1979- 208 с.

35. Колесников Л. О. Метод исследования больших перемещений стержня в упруго-пластической стадии.// Прикладная механика , УССР, Харьков: вып. 4, №3, 1958- С.42-48.

36. Комаров К.Л. Влияние осевых усилий на прогиб жестко-пластической балки под действием равномерно распределённой нагрузки. //Изв. ВУЗов, Строительство и Архитектура, №5, 1985- С. 44-48.

37. Кукуджанов В.Н. Упруго-пластический изгиб тонкостенных стержней с учётом касательных напряжений.// Исследования по механике и прикладной механике. М.: изд-во Моск. физ.-тех. ин-та, №1, 1958- С.96-114.

38. А. Лангенбах О вариационных методах решения задач теории пластичности.// ПММ, XXIII, вып.6, 1959- С.77-83

39. Лейтес С.Д. Об упруго-пластическом изгибе балки прямоугольного сечения.// Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №6, 1961- С.212-216

40. Лужин О.В. Определение деформаций призматических стержней при упруго-пластическом косом и продольно-поперечном изгибе.// Научн. доклады высшей школы, "Строительство", №2, 1958- С.21-27

41. Лужин О.В. Косой изгиб стержней прямоугольного сечения с учётом упрочнения материала. //Изв. ВУЗов, Строительство и архитектура, №11-12, 1959-С.11-17

42. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести.// М., Машиностроение, 1975- 400с.

43. Макаров Б.П. О поведении сжато-изогнутых стержней в упруго-пластической стадии.// "Строительная механика и расчёт сооружений", №5, 1965- С.35-37.

44. Москвитин В.В. К вопросу об упруго-пластическом изгибе бруса.// Вестник МГУ, №5, 1954- С.33-40.

45. Мразик А. Шкалоуд М. Тохачек М. Расчёт и проектирование стальных конструкций с учётом пластических деформаций./ Пер. с чешс. В.П.Поддубного под ред. к.т.н. Г.Е.Вельского, М.: Стройиздат, 1986- 456с.

46. Нил Б.Г. Расчёт конструкций с учётом пластических свойств материалов.// Пер. с англ. к.т.н. О.В.Лужина, под ред. проф., д.т.н. И.М.Рабиновича. М.: Госстройиздат, 1961- 315с.

47. Новожилов B.B. Основы нелинейной теории упругости.//JT.M.: ОГИЗ, Го-стехиздат, 1948- 170с.

48. Новожилов В.В. Механика в СССР 1917-1957г.

49. Ольшак В. Мруз 3. Пежина П. Современное состояние теории пластичности.// Пер. с англ. М.: "Мир", 1964- 243 с.

50. Пономарёв С.Д. Бидерман B.JI. Лихарев К.К. Макушин В.М. Малинин H.H. Феодосьев В.И. Расчёты на прочность в машиностроении.Т. II.// М.: Машгиз, 1958- 974 с.

51. Прагер В. Ходж Ф.Г. Теория идеально-пластических тел.//М.: Издатинлит,1956- 190с.

52. Прусаков А.П. Об одной неклассической теории изгиба балок.// Известия ВуЗов. Строительство, М.: №4, 1996- С.10-16.

53. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела.// М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988- 712с.

54. Работнов Ю.Н. Малые пластические деформации как проблема механики.// Изв. АН СССР, Отд. техн. наук., №7, 1954- С. 97-104.

55. Работнов Ю.Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности. //в кн. Проблемы механики деформируемого твёрдого тела, М.: Наука, 1996- 196с.

56. Раковщик Ю.А. Определение перемещений и расчёт статически неопределимых стержневых систем за пределом упругости.// Изв. АН СССР, ОТН, №4,1957- С. 75-84.

57. Рахимбекова З.М. Изгиб балок за пределом упругости.// Алма-Ата: Наука, 1980- 127с.

58. Ржаницын А.Р. Расчёт сооружений с учётом пластических свойств материала.// М.: Гос. изд-во лит-ры по стр-ву и арх-ре, 1954- 288с.

59. Розе С.Н. О сходимости метода Л.М.Качанова.// Вестник ЛГУ, №19, 1961-С. 170-174.

60. Роев В.И. Расчёт балочных систем по заданным изгибающим моментам в упруго-пластической стадии.// Изв. ВУЗов, Строительство и Архитектура, №5, 1989- С.29-33.

61. Скрипникова P.A. К расчёту сжато-изогнутых стержней за пределом упругости.// "Строительная механика и расчёт сооружений", №6, 1966- С.26-29.

62. Стрельбицкая А.И. Исследование прочности тонкостенных стержней за пределами упругости. //Киев: Издательство АН УССР, 1958- 210с.

63. Темис Ю.М. Исследование сходимости метода переменных параметров упругости при решении задач пластичности методом конечных элементов.// Проблемы прочности и динамики в авиадвигателестроении, М.: Машиностроение, 1982- С.51-69.

64. С.П.Тимошенко Дж.Гудьер Теория упругости.//М.: Наука, Гл.ред. физ.-мат. лит-ры, 1979- 560 с.

65. Уманский С.Э. О сходимости метода переменных параметров упругости.// ПММ, №3, 1980- С. 577-581.

66. Фёдорков Г.В. Графоаналитический метод определения деформаций при упруго-пластическом изгибе балок. //М.: Труды МИИТа, вып. 155, 1962- С.96-103.

67. Фомин B.JI. Плоская деформация упрочняющихся полых цилиндров под действием внутреннего давления и стационарного теплового поля.// Исследования по упругости и пластичности, ЛГУ, т.З, 1964- С.161-171.

68. Ходж Ф.Г. Расчёт конструкций с учётом пластических деформаций.// Пер. с англ. М.: Машгиз, 1963- 380 с.

69. Шапиро Г.С. О предельном и упруго-пластическом состояниях конструкций.// Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, №4, 1963- С. 138143.

70. Ягн Ю.И. Тарасенко Е.М. Прикладная теория пластической деформации стержней.// ДАН СССР, т. 73, 1950- С.471-474.

71. Abolitz A.L. Plastic Design of Eccentrically Loaded Fasteners.//Engng.J. AISC 3, 1966- P.3.

72. Baker J.F. Hörne M.R. Heyman J. The Steel Skeleton II. Plastic Behaviour and Design.// Cambridge, Cambridge University Press, New York, 1956.

73. Beedle L.S. Thurlimann B. Ketter R.L. Plastic Design in Structural Steel.// American Institute of Steel Construction, Inc., New York, 1955.

74. G.Cock Some factiors affecting the yield point in mield steel.// Trans.Instn.Engrs.Shipb.Scot., 81, 1937- P.371

75. J.B.Dwight An inverstigation into the plastic bending of aluminium alloy beams. Research Report, №16, Aluminium Development Association, 1953.

76. Fan H. Widera G.E.O.// On the proper boundary conditions for a beam.// Trans. ASME. J.Apple Mech., 59, №4, 1992- P.915-922.

77. J.Fritsche Die Tragfähigkeit von Balken aus Stahl mit Berücksichtigung des plastischen Verformungsvermogens.//Bauingeneur, 11, 1930- 851p.

78. Grawford S.F. Kulak G.L. Eccentrically Loaded Bolted Connections.//J.Struckt. Div. ASCE 97, 1971- P. 3.

79. J.Heyman V.L. Duttch Plastic design of plate girders with unstiffend weis.// Welding and Metal Fabrication, 22, 1954- P.265

80. E.Longbottom J.Heyman Tests on full-sized and on model plate girders.// Struckt. Paper, №49, Instn. Civ. Engrs, 1956.

81. H.Maier-Leibnitz. Beitrag zur Frage der tatsachlichen Tragfähigkeit einfacher und durchlaufender Balkentrager aus Baustahl. St. 37 und Holz.// Bautechnik, 6, 1928-P.ll

82. A.Nadai Der Bildsame Zustand der Werkstoffe.//Julius Springer, Berlin, 1927

83. Mouritz A.P. Failure mechanism of mild steel bolts under different tensill loading rates.// Int. J. Impact Eng., v. 15, №3, 1994- P.311-324.

84. Nishimura Noluo, Kamei Yoshinori, Ikehata Bunya. Elasto-plastic analysis of HSFG bolted joints considering local slip.//Technd. Repts Osaka Univ., 46, №2247-2266, 1996- P.227-236.

85. Plastic Design in Steel. A Guide and Commentary.// New York, ASCE, 1971.

86. F.A.Rappleyea E.J.Eastman Flexural strength in the plastic range of rectangular magnesium extrusions.//J.Aera.Sci, 11, 1944- P.373.

87. A.Robertson G.Cook Transition from the elastic to the plastic State in mield steel. //Pos.Roy.Soc., A, 88, 1913- P.462.

88. J.W.Roderick J.Heyman Extension of the simple plastic theory to take account of the stain-hardering range. Proc. Instn.-Mech. Engrs, 165, 1951- P.189.

89. J.W. Roderick I.H.Phillips The carrying capacity of simply supported mild steel beams.//Research (Engng.Struct.Supple), Colston Papers, 2, 1949- P.9.

90. Shen Wei Qin Interaction yield hyper surfaces for the plastic behaviour of beams. 1. Combining bending, tersion and shear. //Int. J. Mech. Sci 37, №3, 1995- P.221-238.

91. Slawanowska Anna. Geometrically nonlinear models of elastic and elastic-plastic beams.// Mech.teor. i stosow., 35, №1, 1997- P.21-42.

92. Савельев B.H., Уздин A.M., Хусид P.Г. Болтовое соединение плоских деталей встык. A.c. СССР JV1174616, МКИ F 16 В 5/02, 35/04, 1983г.

93. Савельев В.Н., Уздин A.M., Хусид Р.Г .Болтовое соединение. A.c. СССР 7V1168755, МКИ F 16 В 5/02, 35/04, 1983г.

94. Савельев В.Н., Уздин A.M., Хусид Р.Г. Болтовое соединение. A.c. СССР Ш143895, МКИ Р 16 В 5/02, 35/04, 1983г.

95. Савельев В.Н., Уздин A.M., Хусид Р.Г., Кистерский C.B. Способ соединения листов в пакет. A.c. СССР 7V1184981, МКИ F 16 В 5/02, 35/04, 1983г.