Применение высокоразрешающих численных методов к расчетам сверхзвуковых отрывных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Математические модели и численные алгоритмы для решения задач сверхзвукового турбулентного обтекания плоских и осесимметричных тел.

1.1. Система осреднённых по Фавру уравнений Навье-Стокса, записанная в обобщенной криволинейной системе координат.

1.2. Двухпараметрическая модель турбулентности

Уилкокса.

1.3. Построение разностной ТУЭ-схемы для системы уравнений газовой динамики.

1.4. Численный метод решения плоских и осесимметричных осреднённых по Фавру уравнений Навье-Стокса.

1.5. Постановка граничных условий.

Выводы по главе 1.

Глава II. Расчеты сверхзвуковых турбулентных течений в окрестности плоских конфигураций.

2.1. Моделирование обтекания турбулентным сверхзвуковым потоком прямой ступеньки.

2.2. Моделирование обтекания турбулентным сверхзвуковым потоком скошенного уступа.

2.3. Моделирование течения сверхзвукового потока газа в воздухозаборнике.

Выводы по главе II.

Глава III. Моделирование сверхзвуковых ламинарных и турбулентных течений в окрестности осесимметричных конфигураций.

3.1. Моделирование сверхзвуковых и гиперзвуковых течений в окрестности цилиндра с «юбкой».

3.2. Моделирование ламинарного и переходного обтекания конуса с «юбкой» при М=5.92.

Выводы по главе III.

При обтекании сверхзвуковым потоком элементов летательных аппаратов (J1A) скачки уплотнения и волны разрежения взаимодействуют с пограничным слоем, развивающимся на поверхности аппарата. В случае достаточно сильного взаимодействия (интенсивных ударных волн, высоких чисел Маха) возникают обширные отрывные зоны, существенно перестраивающие волновую картину течения и изменяющие динамические и тепловые нагрузки. Для проектирования J1A, их управления и оптимизации их формы очень важно достаточно точно предсказывать параметры течения в окрестности точек отрыва и присоединения потока, поскольку именно здесь реализуются наиболее интенсивные нагрузки на поверхность.

Таким образом, изучение свойств сверхзвуковых турбулентных отрывных течений относится к числу наиболее сложных и актуальных задач механики жидкости и газа [3-5]. Монографии и обзорные работы [1-8, 25, 27] дают достаточно полное представление об основных аспектах этой проблемы и полученных результатах. Теоретические и экспериментальные исследования в этой области были начаты ещё в 40-50-х годах. В зарубежных работах [9-13] впервые исследовано явление взаимодействия ударной волны с пограничным слоем, получены первые теневые картины отрывных течений, распределения поверхностного давления и теплообмена, выявлены геометрические размеры отрывных зон. В нашей стране изучение свойств сверхзвуковых отрывных течений начато в работах [14-17]. В ИТПМ СО РАН с середины 70-х годов экспериментальные исследования данной тематики проводятся A.M. Харитоновым, В.И. Корниловым, B.C. Демьяненко, A.A. Желтоводовым и др. [18-21, 32, 35]. В настоящее время большое количество экспериментальных данных, полученных этими и другими исследователями, собрано в базы данных, которые широко используются при верификации численных расчетов [22]

Параллельно теоретическими и экспериментальными методами широко используется математическое моделирование отрывных течений. В настоящее время в связи с появление современных методов расчета и развитием вычислительной техники роль математического моделирования возрастает. Однако, несмотря на продолжительное изучение данной проблемы, разработка надёжных методов математического моделирования турбулентных отрывных течений осложнена отсутствием адекватных способов описания турбулентности. Имеется несколько подходов к рассмотрению турбулентности в зависимости от того, какие масштабы турбулентности вводятся в моделируемый процесс. Наиболее строгий подход — прямое численное моделирование (DNS) [23], когда рассчитываются все масштабы турбулентного движения. Однако это и наиболее трудоёмкий способ с точки зрения затрат машинных ресурсов, и поэтому он не нашел широкого применения для решения практических задач. Также используется метод крупных вихрей (LES) [24], в котором рассчитываются только крупные вихри, а турбулентные вихри, меньшие размера расчетной сетки, моделируются на основе каких-либо полуэмпирических методов. Так как крупные вихри перемещаются и деформируются во времени, то вычисления могут быть неустойчивы. Это приводит к жесткому ограничению на временной шаг и относительно большим временам вычислений, что ограничивает применение LES для исследования физических особенностей течений и инженерных расчётов. Наиболее часто используемый на практике подход — моделирование всех масштабов турбулентного движения. В этом случае решаются осредненные уравнения Навье-Стокса, дополненные полуэмпирическими моделями турбулентности. Такой подход позволяет получить достаточно полную информацию о свойствах рассматриваемых течений, необходимую для решений многочисленных прикладных задач. При этом выбор модели турбулентности является одним из определяющих факторов, который оказывает значительное влияние на конечный результат.

В обзорах [25-27], посвященных моделированию турбулентности, отмечено, что для задач с отрывом пограничного слоя дифференциальные модели предпочтительнее алгебраических. При этом для достижения наилучшего согласования с экспериментом, дифференциальные модели требуют модификаций, зависящих от класса задачи. В ранних расчётах [28] показана возможность правильного предсказания некоторых свойств двумерных отрывных течений в углах сжатия на основе простых алгебраических моделей турбулентности. Первое детальное сравнение расчёта трёхмерного взаимодействия ударной волны и турбулентного пограничного слоя с экспериментом, выполненное в [29], продемонстрировало хорошее соответствие по распределению давления, профилям чисел Маха и скорости. Однако проведенные [30] исследования различных типов отрывных течений с использованием нескольких алгебраических и дифференциальных моделей турбулентности показали, что ни одна из них не позволяет хорошо описать все свойства этих течений. При этом наиболее сложно предсказывать распределение трения и поверхностного теплообмена в зонах взаимодействия. Анализ результатов современных расчетов [31-35] и расчётов приведенных в обзорах [6, 8, 25] подтверждает эти выводы. Следует отметить, что адекватное предсказание трения и теплообмена затруднено и в трехмерных, и в двумерных течениях.

В [32, 33] исследовалось обтекание двумерных уступов при М=3, 4. Расчеты обтекания уступа с углом наклона 25° на основе к-£ модели турбулентности Джонса-Лаундера продемонстрировали хорошее согласование с экспериментом по распределению статического давления на поверхности, профилям скорости, однако предсказание теплообмена недостаточно хорошее. Расчётный уровень теплообмена значительно ниже экспериментального в волнах разрежения, исходящих из угла расширения и остаётся заниженным за ударной волной из угла сжатия. Расчеты наклонных ступенек, представленные в [37], также демонстрируют неудовлетворительное согласование с экспериментом по распределению теплообмена. Использование к-е модели турбулентности Джонса-Лаундера в этих расчётах даёт трёхкратное превышение теплообмена по сравнению с экспериментом. Расчёты с применением модификации этой модели — двухслойной модели Роди — позволяют добиться лучшего соответствия с экспериментом.

В [34] на основе улучшенной для расчётов отрывных течений алгебраической модели турбулентности Болдвина-Ломакса исследуется пространственное обтекание двух клиньев, симметрично установленных на пластине. Показано, что использование простых алгебраических моделей, в которых учитываются релаксационные эффекты, позволяет получить неплохое соответствие с экспериментом по распределению давления и трения. Дифференциальная модель турбулентности к-е использована в [35, 36] для детального изучения картины течения, возникающей при сверхзвуковом обтекании (М=4, 5) клиньев, расположенных симметрично и асимметрично на пластине. Однако и в данных расчётах, несмотря на очень подробную сетку, которая содержала до 5.3-106 узлов, наблюдается значительное расхождение расчета и эксперимента по распределению теплообмена.

В нашей стране также развиваются методы математического моделирования турбулентных сверхзвуковых отрывных течений (см. например [38-44]). В [38] в рамках упрощенных «конических» и «цилиндрических» моделей осреднённых уравнений Навье-Стокса исследовано пространственное обтекание канонических конфигураций, встречающихся на летательных аппаратах. Показана применимость такого подхода для получения значений средних параметров течения. Получено неплохое соответствие с экспериментом по распределению давления и протяженности отрывной зоны.

В [39, 40] исследовалось двумерное обтекание ступенек и уступов при различных углах отклонения граней с использованием д-со модели турбулентности Кокли. В данных расчётах наблюдается расхождение с экспериментом по протяженности отрывных зон и распределению давления при увеличении угла отклонения наветренной грани ступенек и подветренной грани уступов. Сопоставления с экспериментальными данными по трению продемонстрировали в большей степени качественное, чем количественное соответствие. Проведенные в [41] исследования обтекания наклонных и прямых ступенек выявили существенное влияние порядка аппроксимации конвективных членов на точность расчетов рассматриваемых отрывных течений. Показано, что повышенное размазывание скачков в расчетах приводит к подавлению отрыва, как и в реальных случаях при сглаживании воздействующих на пограничный слой градиентов давления. В связи с этим следует отметить, что использование максимально снижающих такой эффект численных алгоритмов не менее важно, чем выбор удачной модели турбулентности.

Положение точки отрыва в значительной степени определяется состоянием пограничного слоя перед зоной взаимодействия. Поскольку в турбулентных пограничных слоях противодействующие неблагоприятному градиенту давления касательные напряжения на стенке существенно выше, чем в ламинарных, отрыв турбулентного пограничного слоя наступает при более сильных градиентах давления, чем в ламинарном случае. С другой стороны, турбулентный случай характеризуется более высокими тепловыми потоками и поверхностным трением.

В серии работ [42, 43] приведены результаты численного моделирования переходных явлений при обтекании плоской пластины и цилиндра с использованием ц-а> модели турбулентности. Утверждается, что данная модель способна с приемлемой точностью описать переход без введения каких-либо функций перемежаемости. Выполненные параметрические расчеты перехода на плоской пластине [42] демонстрируют зависимость положения точки перехода от числа Маха и значений турбулентной кинетической энергии во внешнем потоке. Расчеты обтекания цилиндра с изотермической стенкой при М=5 в

4 8 диапазоне чисел Рейнольдса по диаметру показали, что турбулизация течения приводит к смещению точки отрыва вниз по потоку, а также возрастанию относительного теплового потока в задней критической точке.

В [44] изложены результаты численного моделирования течений в ближнем следе за плоскими и осесимметричными телами в приближении осредненных уравнений Навье-Стокса, дополненных ц-со моделью турбулентности Кокли.

Изучены особенности течения в ламинарном, переходном и турбулентном режимах. Показано, что корректировка демпфирующей функции, входящей в модель турбулентности позволяет получить неплохое согласование с экспериментальными данными для данного класса течений.

Проблемой при моделировании отрывных течений является тот факт, что алгоритм, отлаженный для одного класса задач и демонстрирующий хорошее согласование с экспериментом на этих задачах, на других задача показывает неудовлетворительное согласование с экспериментом. Поэтому важно использовать для тестирования математической модели и численного алгоритма как можно более широкий спектр экспериментальных данных, а также сравнивать работы различных методов на одних и тех же задачах.

Развитие вычислительных методов аэродинамики как самостоятельного способа изучения сложных течений предъявляет высокие требования к свойствам используемых расчетных алгоритмов, которые должны обеспечить получение приближенного решения с гарантированной точностью при минимальных затратах машинного времени. К основным критериям оценки качества того или иного алгоритма необходимо отнести способность метода улавливать и адекватно воспроизводить физические особенности исследуемого течения (пограничные слои, скачки уплотнения, контактные разрывы, волны разрежения и т.д.) при сохранении монотонности решения, а также традиционно важные свойства экономичности и простоты реализации численных алгоритмов. При расчетах отрывных течений, проведенных с помощью того или иного численного алгоритма и на основе той или другой модели турбулентности, важным является правильное воспроизведение масштаба отрыва (длины отрывной зоны), во многом определяющего все остальные параметры. Отрыв пограничного слоя формируется в результате нелинейного взаимодействия вязких и невязких сил. Следовательно, математическая модель и численный алгоритм должны правильно описывать баланс вязких и конвективных механизмов рассматриваемого физического течения. Сильное влияние на результат оказывает степень разрешения волновой картины течения, которая зависит от способа аппроксимации невязких потоков. Вязкие силы для исследуемого класса течений определяются, главным образом, турбулентными напряжениями, и, следовательно, зависят от используемой для замыкания осредненных уравнений модели турбулентности. Большое значение имеет способность используемого алгоритма правильно предсказывать рост турбулентных пульсаций при взаимодействии со скачками уплотнения и их гашение при взаимодействии с волнами разрежения. На эту способность алгоритма влияет, прежде всего, соотношение механизмов порождения и диссипации турбулентной кинетической энергии, работающих в выбранной модели турбулентности.

Как было отмечено выше, и как показывают исследования [45], степень разрешения волновой картины течения и, таким образом, правильность отображения алгоритмом невязких механизмов в существенной степени зависит от способа аппроксимации конвективных (невязких) потоков. Свойством адекватного воспроизведения волновой структуры течения обладает, например, метод Годунова [46], построенный для одномерного случая на основе точного решения задачи о распаде произвольного разрыва в каждой ячейке сетки. Этот метод имеет первый порядок аппроксимации по пространственной переменной и довольно сложную логику, однако, как показывают многочисленные приложения, позволяет получать физически правильные решения, что инициирует многочисленные попытки создания аналогичных схем повышенного порядка точности и их обобщения на многомерный случай.

Начиная с конца 70-х годов, появилось большое количество расчетных методов для пространственной аппроксимации уравнений газовой динамики (или для аппроксимации невязких потоков в уравнениях Навье-Стокса), использующих свойства квазилинейных гиперболических уравнений, когда решение может быть смоделировано как серия взаимодействующих волн, движущихся с характеристическими скоростями и переносящими характеристическую информацию. Эти методы, являющиеся развитием метода

Годунова, получили название "approximate Riemann solver", или "приближенные решатели задачи Римана" (задача Римана — это задача о распаде произвольного разрыва). В указанных методах распространение физических возмущений учитывается на основе расчета собственных значений и собственных векторов матрицы Якоби исходной нелинейной системы уравнений газовой динамики, как это делается в методах расщепления вектора потока [47-50] или некоторой приближенной линеаризованной задачи (метод расщепления разности потоков [51]).

Еще одной серьезной проблемой, связанной с построением высокоразрешающих методов для уравнений газовой динамики, является проблема монотонности численного решения. Классический результат С.К. Годунова [52], доказанный для линейного уравнения переноса, утверждает, что монотонные разностные схемы для такого уравнения имеют порядок аппроксимации не выше первого. Использование повышенного порядка аппроксимации по пространственной переменной обуславливает потерю свойства монотонности. Немонотонность схемы приводит к возникновению нефизических осцилляций в областях больших градиентов, что делает практически невозможным использование таких схем для расчета разрывных решений. TVD-схемы, или схемы "минимизации полной вариации" (Total Variation Diminishing), были введены в начале 80-х годов Хартеном [5354] для того, чтобы преодолеть это противоречие. Указанные схемы имеют повышенный порядок аппроксимации в областях гладкого поведения решений. В областях высоких градиентов порядок схемы понижается с помощью специально построенного фильтра-ограничителя. TVD-схемы различаются способом построения и видом используемого ограничителя. Конструированию ограничителей и исследованию свойств таких схем посвящено большое число современных работ. Использование этих схем при расчетах конкретных задач также составляет предмет исследования многих работ по вычислительной аэродинамике [55-56]. Следует подчеркнуть, что теоретически доказаны свойства TVD-схем подавлять численные колебания только для одномерного гиперболического уравнения в консервативной форме, а также для системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. Справедливость этих утверждений в случаях нелинейных систем уравнений проверяется посредством численных экспериментов.

Таким образом, представляется актуальным:

• выбор математической модели и создание численного алгоритма для изучения свойств сверхзвуковых турбулентных отрывных течений;

• верификация алгоритма по экспериментальным данным в широком диапазоне определяющих параметров, в том числе сравнение расчёта с экспериментом по распределению трения и поверхностного теплообмена.

• сравнение результатов, полученных по различным приближенным алгоритмам между собой;

• изучение возможностей использования методов математического моделирования для решения параметрических и оптимизационных задач.

Целью настоящей работы является:

• Создание надежных высокоразрешающих методов математического моделирования задач газовой динамики.

• Разработка программного комплекса, реализующего указанные методы.

• Тестирование моделей, методов и программ на точных решениях и на экспериментальных данных в широком диапазоне определяющих параметров.

• Изучение с помощью созданного пакета программ физических особенностей сверхзвуковых турбулентных отрывных течений.

• Проведение параметрических и оптимизационных расчётов задач с отрывом пограничного слоя.

Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработан высокоразрешающий численный алгоритм, который позволяет надёжно предсказывать свойства сверхзвуковых турбулентных отрывных течений в широком диапазоне геометрических конфигураций и определяющих параметров.

2. Проведено тестирование нескольких ТУБ-схем основанных на различных способах расщепления вектора потоков.

3. Показано, что результат предсказания сверхзвуковых турбулентных отрывных течений зависит не только от выбора модели турбулентности, но и от разрешающих свойств численного алгоритма и способа аппроксимации конвективных членов.

4. В численном эксперименте продемонстрированы способы управления параметрами отрывных течений с помощью температурного фактора и внешнего фона турбулентной кинетической энергии.

5. Показано, что учёт переходных явлений в отрывной области оказывает существенное влияние на предсказание свойств отрывных течений.

6. Продемонстрирована возможность использования разработанного алгоритма для решения задач оптимизации сверхзвуковых турбулентных течений в канале воздухозаборника.

Практическая ценность работы заключается в создании надежного численного алгоритма, который может быть применён для параметрических и оптимизационных расчётов сложных газодинамических течений, в том числе турбулентных течений с отрывом пограничного слоя.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

• тестированием численного алгоритма на задачах, построенных на основе точных решений уравнений газовой динамики

• верификацией математической модели и численного алгоритма по большому набору экспериментальных данных в широком диапазоне геометрических конфигураций и определяющих параметров и получение хорошего совпадения расчёта с экспериментом и результатами расчёта других авторов;

• проверкой сходимости численных методов на последовательности измельчающихся сеток.

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения и списка литературы из 140 наименований. Полный объём диссертации — 130 страниц, включая 68 рисунков и 3 таблицы. В нумерации рисунков и формул используется две цифры: первая цифра соответствует номеру главы, вторая — номеру формулы/рисунка в этой главе. Библиографические ссылки нумеруются по главам.

Выводы по главе III

Таким образом, в третьей главе выполнено моделированию сверхзвуковых отрывных течений в окрестности осесимметричных конфигураций.

Расчеты сверх- и гиперзвукового обтекания цилиндра с «юбкой» показали, что развитый в настоящей работе вычислительный алгоритм и выбранная модель турбулентности позволяют получить удовлетворительное соответствие между расчетными и экспериментальными данными для осесимметричных течений при различных числах Маха. Модель Уилкокса работает достаточно хорошо до М = 7 без каких-либо коррекций на эффект сжимаемости.

На этой задаче в численном эксперименте продемонстрированы возможный способ управления параметрами отрывных течений с помощью температурного фактора. Показано, что уменьшение температуры стенки ведёт к сокращению размеров отрывной зоны.

Выполненные расчёты ламинарного и переходного обтекания конуса с «юбкой» при числах Маха 5.92 показали, что удается получить хорошее согласование с экспериментом по положению скачков уплотнения, толщине пограничного слоя, распределению давления на поверхности. Однако было обнаружено некоторые различия в профилях скорости в области отрыва. Известно, что отрыв пограничного слоя является источником гидродинамической неустойчивости, что может обусловить ламинарно-турбулентный переход вблизи зоны отрыва. Поэтому было сделано предположение о том, что причиной несоответствия расчёта и эксперимента является переходный или даже турбулентный характер течения в области отрыва. Был проведён расчет с учётом переходного характера течения, результаты которого позволяют сделать заключение о лучшем соответствии расчётных и экспериментальных профилей средней скорости.

Заключение

1. В рамках математической модели полных уравнений Навье-Стокса, дополненных двухпараметрической дифференциальной моделью турбулентности, создан численный алгоритм и программа для расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых турбулентных течений в широком диапазоне геометрических форм, чисел Маха и Рейнольдса.

2. Выявлен параметр модели турбулентности, который регулирует соотношение между процессами порождения и диссипации турбулентной кинетической энергии. Установлено, что недостатком используемой двухпараметрической модели турбулентной вязкости является чрезмерное занижение уровня турбулентных пульсаций в волнах разрежения, которое сказывается на снижении расчётного теплообмена в этой области.

3. На основе разработанного алгоритма определена волновая картина сверхзвукового отрывного течения вблизи плоских и осесимметричных угловых конфигураций. Проведённое систематическое сравнение расчётов с экспериментальными данными по распределению поверхностного давления, трения и теплообмена и полям скорости показало их удовлетворительное согласование.

4. Выявлена возможность управления отрывным течением с помощью температурного фактора и внешнего фона турбулентной кинетической энергии.

5. Разработанный алгоритм использован для параметрических и оптимизационных расчетов течения газа в сверхзвуковом воздухозаборнике.

1. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М: Мир. 1973. 485 с.

2. Чжен П. Отрывные течения. М: Мир, 1972. Т. 1-3.

3. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979. 367 с.

4. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения. М.: Наука, 1990.382 с.

5. Smits A.J., Dussauge J.-P. Turbulent shear layers in supersonic flow. Woodbury, N.-Y.: AIP Press, 1996.357 р.

6. Zheltovodov A.A. Shock waves/turbulent boundary layer interaction — Fundamental Studies and applications // AIAA Paper No. 96-1977. 1996.

7. Knight D.D., Degrez G. Shock Wave Boundary Layer Interactions in High Mach Number Flows. A Critical Survey of Current CFD Prediction Capabilities // AGARD Advisory Report 319, Vol. II, pp. 1.1-1.35, Dec. 1998.

8. Dolling D.S. 50 years of shock wave/boundary layer interaction — what next? // AIAA Paper 2000-2596, June 2000.

9. Donaldson C., Du P. Effect of interaction between normal shock and boundary layer // NACA CB 4A27, 1944.

10. Liepmann H.W., Roshko A., Dhawan S. On reflection of shock waves from boundary layers // NACA Report 1100, 1952.

11. Bary F.W., Shapiro A.H., Neumann E.P. The interaction of shock waves with boundary layers on a flat surface // Journ. of Aerospace Sciences, 1951. Vol. 18. No. 4. pp. 229-238.

12. Bogdonoff S.M., Kepler C.E. Interaction of a turbulent boundary layer with a step at M = 3 // Princeton Univ. Report No 295. 1953.

13. Chapman D.R., Kuehn D.M., Larson H.K. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition // NACA Report 1356. 1958.

14. Н.Панов Ю.А., Швец А.И. Отрыв турбулентного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Прикладная механика, №1,1966

15. Адуевский B.C., Медведев К.И. Физические особенности течения в области отрыва при трёхмерном взаимодействии пограничного слоя с ударной волной // Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, №1, с. 25-34.

16. Нейланд В.Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва // В сборнике 3-й Всес. съезд по теор. и прик. мех. Аннотации докладов, М. 1968.

17. Гогиш JT.B., Степанов Г.Ю Интегральный метод расчёта турбулентных отрывных течений // В сборнике 3-й Всес. съезд по теор. и прик. мех. Аннотации докладов, М. 1968.

18. Демьяненко B.C., Желтоводов A.A. Экспериментальное исследование отрыва турбулентного пограничного слоя в окрестности ступеньки // Механика жидкости и газа. 1977. - № 5. - С. 73-80.

19. Желтоводов A.A., Корнилов В.И., Харитонов A.M. Об измерении векторов скоростей в сложных вязких течениях. Методы и техника аэрофизических исследований. Сб. научных трудов ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1978.

20. Желтоводов A.A., Зауличный Е.Г., Трофимов В.М. Развитие моделей для расчета теплообмена в условиях сверхзвуковых турбулентных отрывных течений. //Прикладная механика и техническая физика. 1990. № 4. С. 96-104.

21. Settles G.S., Dodson L.J. Supersonic and hypersonic shock/boundary-layer interaction database // AIAA Journal. 1994. V. 32. No 7. P. 1377 1383.

22. Spalart P.R. Direct simulation of a boundary layer up to Re& = 1410. J. Fluid Mech. 1988. Vol. 187. P. 61-98.

23. Spalart P.R. Theoretical and numerical study of a three-dimensional turbulent boundary layer. J. Fluid Mech. 1989. No 205. P. 319-340.

24. Knight D.D. Numerical simulation of compressible turbulent flows using the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations // Turbulence in Compressible Flows. AGARD Rep. 819, 1997, P. 5-1 5-52.

25. Marvin J.G., Coakley T.J. Turbulence modeling for hypersonic flows // NACA TM 101079, June 1989, 46 pp.

26. Marvin J.G. Turbulence modeling for computational aerodynamics // AIAA Journal. 1983. V. 21. No 7. P. 941-955.

27. Shang J.S., Hankey W.L. Jr. Numerical solution for supersonic turbulent flow over a compression ramp //AIAA Journal. 1975. V. 13. No 10. P. 1368-1374.

28. Horstman C.C., Hung C.M. Computation of three-dimension turbulent separated flows at superconic speed // AAIA Paper 79-0002, Jan. 1979.

29. Желтоводов A.A., Шилейн Э.Х., Хорстман C.C. Развитие отрыва при взаимодействии скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем, возмущенным волнами разрежения //Прикладная механика и техническая физика. 1993. Т. 34, № 3. С. 58-68.

30. Zheltovodov A.A., Horstman C.C. Experimental and numerical investigation of 2D expansion/shock wave turbulent boundary layer. Novosibirsk, 1993, 25 c. — (Preprint/ITAM SB RAS, N 2-93).

31. Panaras A. G. Algebraic turbulence modeling for swept shock-wave/turbulent boundary-layer interactions // AIAA Journal. 1997. Vol. 35, No. 3. P.456-463.

32. Борисов А.В, Карамышев В.Б. Метод численного исследования отрывных турбулентных течений. Новосибирск, 1988, 43 с. — (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-та теорет. и приклад, механики; № 9-88).

33. Борисов А.В, Желтоводов А.А, Бадекас Д, Нараянсвами Н. Численное исследование сверхзвуковых турбулентных отрывных течений в окрестности наклонных ступенек // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 2. С. 68-80.

34. Борисов А.В, Федорова Н.Н. Расчет турбулентных отрывных течений на основе метода повышенного порядка аппроксимации // Термофиз. и аэромех. 1995. Т. 2. №3. С. 253-269.

35. D.Ivanov, A.Obabko and I. Egorov Simulation of Separated Flows on the Base of Differential Turbulence Model // AIAA Paper 97-1861, 11 pp.

36. В.А. Башкин, И.В. Егоров, M.B. Егорова, Д.В. Иванов Ламинарно-турбулентное обтекание кругового цилиндра сверхзвуковым потоком газа // МЖГ, 2000, №5, с. 31-43.

37. Ковеня В.М., Лебедев А.С. Численное моделирование ламинарных и турбулентных течений в следе за телом // Вычислительные технологии. 1997.Т.2.№6. С. 42-52.

38. Hannappel R., Hauser Т., Friedrich R. A comparison of ENO and TVD Schemes for Computation of Shock-Turbulence Interaction. Journ. of Сотр. Phys., 121, 1995, 176-184.

39. Годунов C.K. Конечно-разностный метод для численного расчета разрывных решений уравнений динамики жидкости // Мат. сборник. № 47, 1959.

40. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Наука, Новосибирск, 1981, 384 с.

41. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite Difference Methods. Journ. of Comput. Phys, 40, 1981,263-293.

42. Van Leer B. Flux-Vector Splitting For the Euler Equations. Technical Report 8230, ICASE, 1982.

43. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme V: a second -order sequel to Godunov's method // Journ. of Comput. Phys. 1983. Vol. 32, No. 1., P. 101-136.

44. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // Journ. of Comput. Phys. 1983. Vol. 42, No. 2., P.357-372.

45. Годунов C.K., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

46. Harten A. High Resolution Schemes for the Computation of Weak Solutions of Hyperbolic Conservation Laws // Journ. of Comput. Phys. 1983. Vol. 49. P.357-393.

47. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. // SIAM Journ. on Numerical Analysis. 1984. Vol. 21, No. 5. P.995-1011.

48. Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws. Journ. of Comput. Phys. 27,1978, 1-31.

49. Желтоводов А.А., Павлов А.А. Исследование течения в сверхзвуковой отрывной зоне перед ступенькой. Новосибирск, 1979, 50 с. — (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-татеорет. и приклад, механики; № 1)

50. Желтоводов А.А., Зауличный Е.Г., Трофимов В.М., Яковлев В. Н. Исследование теплообмена и турбулентности в сжимаемых отрывных течениях. Новосибирск, 1987,48 с. — (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Инта теорет. и приклад, механики; № 22-87).

51. Maslov А.А., Shiplyuk A.N., Sidorenko А.А., Tran Ph. Study related to hypersonic boundary layer stability on a cone with flare. Novosibirsk, 1997, 40 c. — (Preprint/ITAM SB RAS, N 16-97).

52. Bedarev I.A., Fedorova N.N., Zheltovodov A.A. Supersonic Turbulent Separated Flows Numerical Model Verification // International Conference on Methods of Aerophysical Research: Proceedings Pt. I. Novosibirsk, Russia 29 June 3 July, 1998. P. 30-35.

53. Бедарев И.А., Федорова Н.Н. Исследование факторов, влияющих на качество предсказания турбулентных отрывных течений // Вычислительные технологии. 1999. Т.4. № 1. С. 14-33.

54. Бедарев И.А., Федорова Н.Н. Математическое моделирование сверхзвуковых турбулентных отрывных течений в окрестности ступенек и уступов. // Труды НГАСУ, Т. 2, № 3(4), 1999, С. 19-24.

55. Бедарев И.А., Федорова Н.Н. Численное моделирование турбулентных отрывных течений при различных числах Маха. // Математическое моделирование, 2000, №9, с. 57-68.

56. Bedarev I.A., Fedorova N.N. Mathematical Modelling of Axisymmetric Separated Flows at Super- and Hypersonic Speeds. // International Conference on Methods of Aerophysical Research: Proceedings Pt. III. Novosibirsk, Russia 9-16 July, 2000. P. 15-21.

57. I.A. Bedarev, A.V. Borisov, N.N. Fedorova Numerical Simulation of the Supersonic Turbulent Separated Flows in Vicinity of the Backward- and Forward- Faced Steps // Computational Fluid Dynamics Journal. 2001. Vol.9. No. 1. pp. 11-19.

58. Bedarev I.A., Fedorova N.N. Numerical Simulation of Axisymmetric Super-and Hypersonic Separated Flows in Vicinity of Cylinder-Flare Configuration // Computational Fluid Dynamics 2000: Proceedings of the First International

59. Conference on Computational Fluid Dynamics, ICCFD, Kyoto, Japan, July 9-14, 2000 /Ed. N. Satofuka. Berlin etc.: Springer-Verlag, 2001. P. 787-789.

60. И.А. Бедарев, А.В. Борисов Численное моделирование сверхзвуковых отрывных течений в окрестности осесимметричных конфигураций // Аннотации докладов «VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике», Пермь. 2001. с. 86-87.

61. Бедарев И.А. Численное моделирование осесимметричных сверхзвуковых отрывных течений // Тезисы докладов Всероссийской конференция молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии", Новосибирск, 2001. с. 80-81.

62. Бедарев И.А., Федорова Н.Н. Расчет газодинамических параметров и теплообмена в сверхзвуковых турбулентных отрывных течениях в окрестности уступов // Прикладная механика и техническая физика, 2001. № I.e. 56-64.

63. Список литературы к главе I.

64. Wilcox D.C. Turbulence modelling for CFD.— La Canada, California: DCW Industries Inc.— 1993.— 460 p.

65. Jones W.P., Launder B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence // Int. Journ. of Heat and Mass Transfer, Vol. 15, 1972, p.

66. Wilcox D.C. Reassessment of the scale determing equation for advanced turbulence models//AIAA Journ. 32, No. 11, 1988, 1299-1310.

67. Wilcox D.C.A half century historical review of the k-co model. AIAA Paper 910615, 1991.

68. Menter F.R. Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Application // AIAA Jour. 32, No. 8, 1994, p. 1598-1605.

69. Krai L.D., Mani M., Ladd J. A. Application of Turbulence Model for Aerodynamic and Propulsion Flowfields // AIAA Journal, 34, No. 11, 1996, p. 2291-2298.

70. Зайков JI.A., Стрелец M.X., Шур М.Л. Сравнение возможностей дифференциальных моделей турбулентности с одним и двумя уравнениями при расчете течений с отрывом и присоединением. Течение в каналах с обратным уступом // ТВТ, 34, № 5, 1996, с. 724-736.

71. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976. — 400 с.

72. Harten A. High Resolution Schemes for the Computation of Weak Solutions of Hyperbolic Conservation Laws // Journ. of Comput. Phys. — 1983. — Vol. 49. — P. 357-393.

73. Harten A. On a Class of High Resolution Total-Variation-Stable Finite-Difference Schemes // SIAM Journ. on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21. — P. 1 -23.

74. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // Journ. Of Comput. Phys. — 1984. — Vol. 54, No. 1. — P.115-173.

75. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. // SIAM Journ. on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21, No. 5, —P. 995-1011.

76. Chakravathy S.R., Osher S. New Class of High Accuracy TVD Schemes Hyperbolic Conservation Laws. // AAIA Paper. — 1983.— No.85.— 0363.— lip.

77. М.Ковеня B.M., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Наука. Новосибирск. 1981. 384 с.

78. Борисов А.В. Численное исследование сверхзвуковых вязких течений. — Новосибирск, 1980. — 22. с. — (Преп. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-та теорет. и приклад, механики; № 10).

79. Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite Difference Methods. Journ. of Comput. Phys, 40, 1981, p. 263-293.

80. Van Leer B. Flux-Vector Splitting for the Euler Equations. Technical Report 8230, ICASE, 1982.

81. Калиткин H.H. Численные методы.— M.: Наука, 1978.— 512 с.

82. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1 и 2, М., "Мир", 1991.

83. Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws. Journ. of Comput. Phys. 27, 1978, 131.

84. Романенко П.Н. Гидродинамика и тепломассобмен в пограничном слое (Справочник).— М: Энергия, 1974.— 464 с.

85. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.— 616 с.

86. Список литературы к главе II.

87. Желтоводов А.А., Павлов А.А. Исследование течения в сверхзвуковой отрывной зоне перед ступенькой. Препр. Ин-т теорет. и приклад, механики СО АН СССР, N 1, Новосибирск, 1979, 50 с.

88. Желтоводов А.А., Трофимов В.М., Шилейн Э.Х., Яковлев В.Н. Задокументированные данные экспериментальных исследований сверхзвуковых турбулентных отрывных течений в окрестности наклонных ступенек и уступов. Отчет № 2030. Новосибирск. ИТПМ СО АН СССР. 1990.

89. Борисов А.В., Воронцов С.С., Желтоводов А.А., Павлов А.А., Шпак С.И. Развитие экспериментальных и расчетных методов исследования сверхзвуковых отрывных течений. Препр. Ин-та теорет. и приклад, механики СО АН СССР, N 9-93, Новосибирск, 1993, 45 с.

90. Борисов А. В., Федорова Н. Н. Расчет турбулентных отрывных течений на основе метода повышенного порядка аппроксимации // Теплофизика и аэромеханика.— 1995.— том 2, №3. — С. 253

91. Демьяненко B.C., Желтоводов A.A. Экспериментальное исследование отрыва турбулентного пограничного слоя в окрестности ступеньки // Механика жидкости и газа. 1977. - № 5. - С. 73-80.

92. Желтоводов A.A. Анализ свойств двумерных отрывных течений при сверхзвуковых скоростях // Исследования пристенных течений вязкого газа. -Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1979. С. 59-94.

93. Chapman D.R., Kuehn D.M., Larson H.K. Investigation of a separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition. NACA Rep. 1958.-N 1356.- 40 p.

94. Желтоводов A.A., Меклер Л.Ч.-Ю., Шилейн Э.Х. Особенности развития отрывных течений в углах сжатия за волнами разрежения. Новосибирск, 1987.— 47 с.— (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-та теорет. и приклад, механики; № 10-87).

95. Борисов A.B., Федорова H.H. Численное моделирование сверхзвуковых отрывных турбулентных течений // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т. 37, № 4. С. 89-97.

96. И.Борисов А.В., Желтоводов А.А., Максимов А.И., Федорова Н.Н., Шпак С.И. Экспериментальное и численное исследование сверхзвуковых турбулентных отрывных течений в окрестности двумерных препятствий // Механика жидкости и газа. 1999. № 2. С. 26-37.

97. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. New York Berlin Heidelberg: Spring-Verlag, 1991.

98. Menter F.R. Two-Equation Eddy-Viscosity Turbulence Models for Engineering Application // AIAA Jour. 1994. Vol. 32, No. 8. P. 1598-1605

99. Желтоводов А.А., Шилейн Э.Х., Хорстман С.С. Развитие отрыва при взаимодействии скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем, возмущенным волнами разрежения // Прикладная механика и техническая физика. 1993. Т. 34, № 3. С. 58-68.

100. Список литературы к III главе.

101. J.D. Brown, J.L. Brown and M.I. Kussoy A documentation of two- and three-dimensional separated boundary layers NASA TM 101008, 1988.

102. M.I. Kussoy and C.C. Horstman Documentation of two- and three-dimensional hypersonic shock wave / turbulent boundary layer interaction flows, NASA TM 101075, 1989.

103. A. Joulot Contribution a l'etude de l'interaction onde de choc -couche limite sur rampe bidimensionelle en regime hupersonique. Ph. D. Thesis, Universitee Pierre te. Marie Curie, Paris, 1992.

104. J.M. Delery and A. G. Panaras: Shock Wave / Boundary Layer Interaction In High Mach Number Flows AGARD-FDP, Working Group 18 Report - Step 1, Subgroup 1 on "Viscous Interaction", Chapter 1, 1996.

105. Knight D.D., Degrez G. Shock Wave Boundary Layer Interactions in High Mach Number Flows. A Critical Survey of Current CFD Prediction Capabilities// AGARD Advisory Report 319, Vol. II, pp. 1.1-1.35, Dec. 1998.

106. Paciorri R., Deconinck H., Degrez G. Implementation and validation of the Spalart-Allmaras turbulence model for application in hypersonic flows // TN 190, von Karman Institute, 1996.

107. Maslov A.A., Shiplyuk A.N., Sidorenko A.A., Tran Ph. Study related to hypersonic boundary layer stability on a cone with flare. Preprint ITAM SB RAS, N 16-97, Novosibirsk, 1997.

108. D.D. Knight. Numerical simulation of compressible turbulent flows using the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations.// Turbulence in Compressible Flows, AGARD Rep. 819, 1997, 5-1 5-52.

109. Chapman D.R., Kuehn D.M., Larson H.K. Investigation of Separated Flows in Supersonic Streams with Emphasis on the Effect of Transition. 1957. NACA TN 3869.

110. П. Чжен Отрывные течения. M.: Мир, 1972. Т 1-3.1 l.M.J. Wright, К. Sinba, J. Olejniczack, G.V. Candler Numerical and Experimental Investigation of Double-Cone Interaction // AIAA Journal. 2000. Vol. 38, No. 12. P. 2268-2276.

111. K. Hozumi, Y. Yamamoto, K. Fujii, J.-P. Ledy, D. Devezeaux, J. Fontane Investigation of Hypersonic Compression Ramp Heating at High Angles of Attack // Jour, of Spacecraft and Rockets. 2001. Vol. 38, No. 4. P. 488-496.

112. F.D. Filippis, M. Serpico and M. Marini Comparison between Numerical and Experimental Results on Differrent Hermes Elevon Shapes. AIAA Paper 96-2472, 1996,9 pp.

113. R.P. Nance, T.J. Horvath, H.A. Hassan Transition and Turbulence Modelling for Blint-Body Wake Flows AIAA Paper 97-2570. 1997. P. 1-10.

114. B.R. Hollis, J.N.Perkins Transition Effects on Heating in the Wake of Blunt Body. AIAA Paper 97-2569. (1997), 15 pp.

115. E. Laurien. Numerical Investigation of Laminar-Turbulent Transition on Re-Entry Capsules. J. of Spacecraft and Rockets, Vol. 33, No. 3, 1996, pp. 313-318.

116. В. Edney Anomalous Heat Transfer and Pressure Distributions on the Blunt Bodies at Hypersonic Speeds in the Presence of an Impinging Shock // Aeronautical Research Inst. Of Sweden. Reps. 115. Stockholm, 1968.

117. Robinson D.F., Harris J.E., Hassan H.A. Unified Turbulence Closure Model for Wall Bounded and Free Shear Flows // AIAA Journ., Vol. 33, No. 12, Dec. 1995. P. 2325-2331.

118. Гапонов С. А., Козлов B.B., Курбацкий А.Ф., Маслов А. А. Гидродинамическая неустойчивость и турбулентность // Теплофизика и аэромеханика. Т. 4, N 2. 1997. С. 225-246.

119. Hammond D.A., Redekopp L.G. Local and global properties of separation bubbles // Eur. J. Mech., B/Fluids, Vol. 17, N 2, 1998, pp. 145-164.