Проблема нулевых мод в квантовой теории солитона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОПЕРАТОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА В ЗАДАЧЕ О СОКРАЩЕНИИ

НУЛЕВЫХ МОД.

§ I. Квантование солитонов и нулевые моды .]

§ 2. Основные операторные тождества .<

§ 3. Операторные тождества и петлевое разложение. <

§ 4. Доказательство сокращения вкладов нулевой моды.с

ГЛАВА П. ТРАНСЛЯЦИОННАЯ И ЛОРЕНЦЕВА НУЛЕВЫЕ МОЩ.

§ I. Проблема неоднозначности членов петлевого разложения.

§ 2. Двухпетлевая поправка к массе солитона и нулевые моды.

ГЛАВА Ш. ИНФРАКРАСНЫЕ ОСОБЕННОСТИ (НЕНОРМИРУЕМАЯ НУЛЕВАЯ

МОДА) .v

§ I. Инфракрасные расходимости .£

§ 2. Обобщенная структура диаграмм.£

§ 3. Трехпетлевые диаграммы .£

§ 4. Асимптотические соотношения и частичная компенсация расходимостей.£

ГЛАВА 1У. ИНФРАКРАСНЫЕ ОСОБЕННОСТИ (НОРМИРУЕМАЯ НУЛЕВАЯ

МОДА)

§ I. Поправки к массе солитона и инфракрасные особенности .€

§ 2. Диаграммы порядка .£

Интерес к методам описания протяженных объектов в рамках локальной квантовой теории поля усилился в последние годы в свя зи с проблемой описания свойств адронов и, в частности, в связи с вопросом о невылетании кварков. Но один из путей включения те ких объектов в схему квантовой теории поля - использование так называемых частицеподобных решений нелинейных полевых уравнений - был предложен довольно давно ЧаСТИцеподобное решение регулярно и обладает конечной энергией, плотность энергии локал зована, при этом объем области локализации остается ограничении при эволюции во времени По последнему свойству такое реи ние типа уединенной волны отличается, например, от пакета плосб волн, удовлетворяющих уравнению Клейна-Гордона. Следствием реля тивистской инвариантности уравнений поля является возможность л рехода к лоренцевой системе отсчета, в которой частицеподобное решение является статическим или периодическим ^^•

Примерами систем, обладающих частицеподобными классическим решениями, могут служить хорошо известные модели в двумерном щ странстве-времени - sine- G-otdon и (ip^)2 с "обратным зна ком" массового члена в лагранжиане. Общей для этих моделей явля ется природа устойчивости частицеподобных решений - решения ста бильны благодаря тому, что не могут быть приведены к тривиально при помощи непрерывной деформации. Это свойство можно связать с сохранением топологического заряда и соответствующего тока, кот рые не являются нетеровскими, т.е. не связаны с какой-либо непр рывной симметрией действия.

Модель sine- Gordon (в отличие от С^4^) обладает реш ниями, соответствующими системе из нескольких частиц, движущихс с произвольными относительными скоростями. Характерно, что в процессе взаимодействия отдельных уединенных волн имеет место н только сохранение их числа, но также и сохранение набора асимпт тических скоростей этих волн. Решения, обладающие таким свойством, принято называть солитонными, а отдельные уединенные волни в этом случае - солитонами. Описанное свойство многосолитонных решений связано с наличием у системы sine-Gozdon бесконеч ного числа законов сохранения Z8""9/.

Не ставя здесь перед собой цели дать сколько-нибудь полный обзор частицеподобных решений, известных к настоящему времени, метим, что существование таких решений не является специфическо особенностью некоторого класса двумерных моделей. Известна прос теорема об отсутствии нетривиальных (отличных от конста ты) статических классических решений с конечной энергией при ра мерности пространства-времени В > 2 для систем скалярных полей, если лагранжиан является суммой члена, билинейного по прои водным, и члена, зависящего только от полей (но не от производных) В определенном смысле особым является случай И = 2+1. При такой размерности пространства-времени существуют частицепс добные классические решения ^ для нелинейной <5 -модели с rpj пой 0(3). Отметим, что эта модель и в пространстве-времени с ра мерностью J) = I+I также обладает рядом интересных свойств -бесконечным набором законов сохранения и солитонными решениями /13-14/^ а ддя квантовой модели установлено свойство асимптотик кой свободы, отсутствие аномалий у сохраняющихся величин и факторизуемость S -матрицы /-^Л А

36 Дея таких систем возможно существование нетривиальных решений с бесконечной энергией или решений с конечной энергией, но не стабильных .

Одной из первых систем в четырехмерном пространстве-времек для которых было показано существование нетривиальных классичес

3/ ких решений, была модель Скирма ' ' . В последние годы особенно большое внимание уделяется частицеподобным решениям в моделях, содержащих калибровочные поля. Таким решением является, наприме монополь »т-Хоофта-Полякова в модели поля Янга-Мш лса, взаимодействующего с хиггсовскими полями в присоединенном представлении. Наличие калибровочного поля "стабилизирует" нет! шальную конфигурацию скалярных полей. Монопольное решение имее простой вид в пределе исчезавдего хиггсовского потенциала /21/} но доказано его существование и при ненулевом потенциале /22/.

Существует определенная связь 35 между частицеподобными реп

23/ ниями и инстантонными решениями ' ' евклидовых уравнений движе ния. Так статические частицеподобные решения моделей tine-Got do и (у могут играть роль инстантонов в соответствующей кванте механической задаче {D = I). Аналогично, статические решения ^ в нелинейной 0(3) 6 -модели при D - 2+1 совпадают с инстантоЕ ными решениями для той же модели в евклидовом пространстве-вреь ни с размерностью D = 2. Инстантонные решения /2^/ CPмоделе* /25,26/ ПрИ d - 2 также ш могут рассматриваться как статичес! частицеподобные решения в пространстве с размерностью D = 2+1.

Отметим, что суперсимметрические расширения перечисленных выше моделей также обладают частицеподобными решениями /27-29/.

Как уже упоминалось, значение частицеподобного решения дш теории поля определяется тем, что в квантовой теории ему соотве s Во всяком случае в моделях,содержащих только скалярные поля, ш Нелинейная 0(3) (5 -модель по существу совпадает с CP* модел ствует некоторый "протяженный объект", точнее, некоторое семейс во состояний, которые не учитываются стандартной схемой теории возмущений. Исходными в этой схеме являются поля, удовлетворяю! линейным уравнениям, т.е. соответствующие случаю "выключенного взаимодействия" /30/. g то же Время существование частицеподобЕ решений описанного выше типа обусловлено именно наличием нелине ных членов в уравнениях поля. Такие решения в общем случае не имеют регулярного предела при стремлении константы связи к нули

Состояния, принадлежащие "непертурбативной части спектра", могут обладать рядом неожиданных свойств. Так, "протяженный обз может обладать полуцелым спином и подчиняться статистике Ферми-Дирака, даже если модель не содержит спинорных полей /31-33/^ Статистика таких объектов может быть и экзотической не сс падая ни со статистикой Ферми-Дирака, ни со статистикой Бозе-Эйнштейна /35-37/^ Qpg^ интересных свойств теории поля, связав ных с существованием частицеподобных решений, отметим эффект мс нопольного катализа распада протона /38-43/^ ШИр0К0 обсуждавши! ся в последнее время. Внимание привлекает также возможность рас сматривать барион как протяженный объект, соответствующий часта подобному решению в эффективной мезонной теории, эквивалентной квантовой хромодинамике в пределе большого числа цветов

Предложенная ранее "солитонная модель мешка" которая

46 47/ обсуждалась и в последующие годы ' * ' , также основана на использовании нетривиального классического решения, устойчивость которого, однако, связана с динамическим (а не топологическим) законом сохранения.

Исследование квантовых "протяженных объектов", соответству щих классическим частицеподобным решениям, - намного более слоя нал проблема, чем изучение самих классических решений. Нескольк лет назад были сформулированы основные принципы квантового мето да обратной задачи /48-52/^ помощи которого были построены физический вакуум и $ -матрица, а также найден спектр возбужде ний для ряда вполне интегрируемых систем /^3/.

Более длинную историю имеет другой подход, основанный на квазиклассическом разложении (разложении по степеням постоянной Планка Ь. ) физических величин, характеризующих квантовый протя женный объект. В рамках этого подхода свойство полной интегриру мости не играет такой фундаментальной роли, как в квантовом мет де обратной задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем называть "про тяженный объект" солитоном, а частицеподобное решение - солитон ным, не подразумевая непременно при этом полной интегрируемости системы.

Метод вычисления первой квантовой поправки к энергии солит на был предложен десять лет назад /54>55/# g дальнейшем разными методами были вычислены первые квантовые поправки как к "одноча тичным" характеристикам солитона (например, к массе), так и к в личинам, характеризующим солитон-солитонное рассеяние и рассеян обычных квантов на солитонах

Развитие последовательной схемы теории возмущений, в принц пе, пригодной дня вычисления квантовых поправок любого порядка, было связано с решением проблемы, имеющей на первый взгляд техн ческий характер. Проблема порождена тем, что спектр возбуждений поля около выделенного солитонного классического решения содерж возбуждения с нулевой частотой - так называемые нулевые моды. Последние могут стать причиной инфракрасной нестабильности и об ловить неприменимость теории возмущений. Следует заметить, что существо проблемы нулевой моды заключается в наличии вырождения системе, обусловленного той или иной симметрией задачи, порожда А мой группой непрерывных преобразований (например, преобразована ми группы трансляций или лоренцевых вращений). Действительно, любое нетривиальное решение уравнений движения, в частности, ча тицеподобное решение, характеризуемое значениями координат "час тицы" в фиксированный момент времени и ее скорости, очевидно, к может быть инвариантным относительно полной группы симметрии пс левых уравнений. Нулевые моды в спектре возбуждений около выделенного классического решения возникают при этом так же, как гс стоуновские возбуждения в теории, в которой некоторая непрерывная симметрия нарушается классическим решением с минимальной эн гией /56»57/в зПр0чем> используя терминологию спонтанного наруш ния симметрии, мы могли бы сказать, что симметрия относительно пространственных трансляций спонтанно нарушена статическим част цеподобным решением. Частицеподобное решение инвариантно лишь с носительно одномерной группы трансляций вдоль оси собственного времени. Сохраняется ли, однако, такое вырождение в квантовой ч рии? Если бы это было так, т.е. если бы имело место действитель ное спонтанное нарушение пространственно-временной симметрии, ч координата и импульс солитона сохраняли бы свою классическую nj роду и в "квантованной" теории (для них не выполнялся бы принци неопределенностей Гейзенберга /58Л. Инфракрасные особенности, связанные с нулевыми модами, свидетельствуют о том, что спонтан ное нарушение не сохраняется при квантовании. Один из путей уче симметрии в этом случае связан с использованием метода коллекти ных координат, введенных Боголюбовым и Тябликовым в 1949 г. при формулировке квантовой теории полярона /^9/ и получивших дальне шее развитие в работах по проблеме сильной связи в квантовой те рии поля в этом подходе параметрам непрерывной группы преобразований симметрии сопоставляются динамические переменные коллективные координаты), причем канонически сопряженные им ш. пульсы являются интегралами движения. Накладываемые на теорию связи, устраняющие излишние степени свободы, автоматически искл чают появление нулевых мод.

Существует несколько подходов /64-71/ к задаче квантования солитонных решений, использующих коллективные координаты. В нек торых из них/67,68,71^ применяется метод канонического квантоь ния, другие /64-66/ основанк на использовании функционального и теграла. Близки по своей природе к коллективным координатам "ке товые координаты", введенные Матсумото и др. Релятивистов ковариантное обобщение метода коллективных координат Н.Н.Боголк бова рассмотрено Свешниковым

Вместе с тем, в разные годы разными авторами было предложе большое число схем теории возмущений, не опирающихся на метод к лективных координат /58,77-80,6,81 /^ дВТОрЫ некоторых из эти подходов уделяют значительное внимание проблеме восстановления трансляционной симметрии. В частности, подход Джевицкого ^^ о нован на явном выделении (бесконечного) объема группы трансляци Фаддеев и Корепин показали что в пределе больших времен со литонные функции распространения - объекты, игращие фундамента ную роль в рамках их подхода - перестают зависеть от начальных координат выделенных солитонных решений. Независимо от этого ну левые моды не исключены полностью (как это имеет место при испо со Г1ГЧ О зовании коллективных координат), поэтому в этих схемах с нулевыми модами связаны две проблемы, которые мы будем в даль нейшем четко различать. Постановка и методы анализа этих пробле: зависят от того, рассматривается ли поле с самого начала на все; пространстве-времени, или же схема теории возмущений строится д шлей, определенных на ограниченной во временном направлении об' ласти (характеризуемой полным временем Т) и удовлетворяющих определенным условиям на границе этой области. В первом случае ин теграл от квадрата функции нулевой моды по пространству-времени расходится (нулевая мода ненормируема), во втором он конечен (нулевая мода нормируема), поскольку область интегрирования ограничена во временном направлении.

Первая из проблем, порождаемых нулевыми модами, связана с неоднозначностью в определении функции Грина (пропагатора) как элемента диаграммной техники. Если нулевая мода ненормируема, функция Грина существует, но не единственна Теория возмуп ний обладает при этом интересным свойством, обусловленным в конечном счете пространственно-временной симметрией системы. Кажд; член квазиклассического разложения амплитуды перехода между оде солитонными состояниями формально инвариантен относительно добе ления к пропагатору некоторой билинейной комбинации нулевых мо,е с произвольными коэффициентами /78»82»6/. Доказательство, даннс для первой и второй квантовых поправок к амплитуде было затем обобщено и формализовано на основе некоторой системы onej ных тождеств Независимость величин более общего вида от произвольных вкладов нулевых мод в пропагатор обсуждалась в рас те /83/. Однако там же отмечалось, что важным допущением, на кс тором основываются эти выводы, является предположение о том, ча растущий при больших временах член в пропагаторе наличие которого обусловлено нулевой модой, не дает расходящихся вкладе хотя бы в величины, характеризующие физические процессы /®^/в В сущности, это означает, что окончательный ответ на вопрос об однозначности членов квазиклассического (петлевого) разложения зависит от решения второй проблемы ~ свободна ли теория возмуще ний от инфракрасных расходимостей. Такие расходимости могут сул ч ч ществовать даже при корректном определении функции Грина как обобщенной функции, поскольку в диаграммах приходится иметь дел с произведениями функций Грина.

Определение функции Грина в подходах, в которых нулевая мс да нормируема, возможно, потому что она исключена из пространст ва полей (но не из спектра возбуждений!) граничными условиями /6,80/ ПрИ п0М011щ некоторой нелинейной замены полевых переменных » Проблема инфракрасных расходимостей в этом случае это проблема правильного поведения диаграмм (или некоторых их комбинаций - например, членов квазиклассического разложения) щ предельном переходе Т-» 00 . Так, мы ожидаем, что для связных диаграмм с внешними линиями соответствующие выражения будут ctj миться к хорошо определенным обобщенным функциям, а для связных диаграмм без внешних линий - расти линейно с ростом Т (это обыч ная объемная расходимость).

Проблема инфракрасных расходимостей в отличие от проблемы неоднозначности пропагатора мало обсуждалась в литературе. Изве но, что во всех подходах двухпетлевые диаграммы без внешних лик /78,79,6,84,85/ не имеют инфракрасных расходимостей ' ' ' ' ' .

В подходе, в котором функция нулевой моды ненормируема, проблема инфракрасных особенностей имеет много общего с аналоги ной проблемой в случае "спонтанного нарушения" внутренней симме рии в пространстве-времени недостаточно высокой размерности. Существует теорема /86»87/ 0 невозможности спонтанного нарушена непрерывной симметрии в релятивистских моделях, если размерное^ пространства-времени не превышает двух. На уровне теории возмуи ний индикатором того, что симметрия при квантовании должна восс навливаться, является появление инфракрасных расходимостей. Tew не менее, было показано /88-91/^ что в евклидовой двумерной нел А нейной О(А/ ) б" -модели инфракрасные расходимости сокращаются при вычислении "среднего" от любого ОС tf) инвариантного функцис нала в каждом порядке разложения по константе связи. "Среднее" при этом вычисляется "в ложной фазе" спонтанно нарушенной симме рии, т.е. это, по существу, квазисреднее Отсутствие инфре красных особенностей у квазисредних от инвариантных функционале связано в этом случае с существованием некоторой бесконечной се теш тождеств Несмотря на очевидную аналогию с задачей о квантовании солитонных решений, ответ в этом последнем случае е сколько иной и подробно обсуждается в настоящей диссертащ Отметим, что, по крайней мере, на уровне теории возмущений размерность ненарушенной группы трансляций (равная единице для час тицеподобных решений) играет роль, аналогичную роли полной разы ности пространства-времени в случае "спонтанного нарушения" непрерывной внутренней симметрии. Поэтому, возможно, более полна* аналогия с в" -моделью выявилась бы при построении последоватед ной теории возмущений для объекта типа доменной стенки в трехме ном пространстве-времениЭ6(размерность ненарушенной группы транс ций равна двум), для которой первая квантовая поправка к линейв плотности энергии найдена в работе

Инстантоны, в отличие от солитонных решений, полностью нарушают группу трансляций. Как известно инстантонам соотве ствуют туннельные амплитуды, учет которых приводит к существенЕ му изменению структуры вакуума Нахождение поправок к i стантонным амплитудам также сталкивается с проблемой нулевых мс которая в этом случае полностью решается исключением подпрострг

36 Отметим, что в случае доменной стенки в четырехмерном простр£ стве-времени спонтанное нарушение трансляционной симмеtj по-видимому, возможно. ства нулевых мод из пространства полей Последовательная схема теории возмущений в окрестности инстантонного решения существует но не нашла удовлетворительного решения пробле] расходящихся вкладов больших инстантонов в масштабно-инвариантных теориях Если масштабная инвариантность отсутствует, з пршлер, для инстантонов в квантовой механике AOI-ЮЗ/^ теория возмущений позволяет, в принципе, вычислять квантовые поправки любых порядков. Для случая квантовомеханического инстантона до: зательство однозначности двухпетлевой поправки в туннельную амплитуду /ЮЗ/ МСШет быть обобщено на все порядки квазиклассиче< кого (петлевого) разложения.

Целью диссертации является исследование однозначности чле: квазиклассического разложения при квантовании солитонных решек на базе функциональных методов без использования коллективных ] ординат, а также исследование инфракрасных особенностей в трет: их квантовых поправках к амплитуде солитон-солитонного переход; и к массе солитона.

Проблема нулевых мод рассматривается в диссертации на при ре задачи о квантовых поправках к массе солитона. Вопрос о вто; квантовой поправке обсуждался многими авторами для модели скал ного поля в двумерном пространстве-времени - как в рамках мето; коллективных координат /104~106/, так и в других схемах Z79»6»1 84,85/ж С0Кращение некоторых ультрафиолетовых расходимостей в выражении для третьей поправки указал Де Вега /Ю6/# ^ такж, ограничимся рассмотрением двумерной модели самодействующего ckj лярного поля, в частности, потому, что при учете перенормирово] /58,106,84/ в этом СЛуЧае все утверждения относительно нулевых мод и их доказательства остаются в силе по существу без измене]

При более высокой размерности пространства-времени необходимо дополнительно показать, что ультрафиолетовую и инфракрасную пр< лемы можно рассматривать независимо

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения двух приложений. В первой главе рассматривается проблема, связ; ная с произволом в определении пропагатора в случае нормируемо: нулевой моды. Продемонстрирована связь между нарушением симмет; и нулевыми модами (§1), дано корректное обобщение операторных деств для случая нормируемой нулевой моды (§ 2), показана неза симость членов квазиклассического петлевого разложения от прои вольного вклада нулевых мод в функцию Грина на примере одномер: квантовомеханической задачи (§ 3) и для подходящим образом опр ленных "средних" по односолитонным полям (§4). Вторая глава п священа вопросу о взаимной компенсации вкладов нулевых мод, св занных с нарушением трансляционной и лоренцевой инвариантноете Изучена неоднозначность в выражении для второго члена в квазик сическом разложении солитон-солитонной амплитуды перехода (§ I показано, что при определенном соотношении между коэффициентам при нулевых модах в пропагаторе имеет место компенсация вкладо нулевых мод в выражении для второй (двухпетлевой) поправки к и се солитона (§ 2). В третьей главе рассматривается проблема ин фракрасных особенностей в случае ненормируемой нулевой моды (§ предложен способ их анализа (§2), который затем применен к Т£ петлевым диаграммам без внешних линий (§ 3), и показано, что я фракрасные особенности компенсируются лишь частично (§ 4). В ч вертой главе обсуждается проблема инфракрасных особенностей в подходе в котором нулевая мода нормируема (■§ I), и покэе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрен круг проблем, возникающих в теорЕ возмущений вследствие нарушения группы пространственно-временнс симметрии выделенным солитонным решением. Инвариантность полеви уравнений и ее нарушение солитонным решением обуславливают пояе ление нулевых мод, что приводит к трудно с тягл двух типов: а) к возможным неоднозначностям вследствие произвола в определении функции Грина; б) к инфракрасным особенностям в высших порядках теории возмущений.

Но проявлением исходной симметрии задачи является также су ществование систем тождеств для функций нормальных мод и вершин ных функций в теории возмущений. В частности, при выделении объ группы пространственных трансляций эти тождества обеспечивают сокращение неоднозначностей в каждом порядке квазиклассического разложения среднего по односолитонным полям от трансляционно-ин вариантного функционала и отсутствие инфракрасных расходимостей в первых трех квантовых поправках к массе солитона. Возможно ли обобщение утверждения о сокращении инфракрасных особенностей на случай среднего от произвольного трансляционно-инвариантного фу] ционала и на все порядки квазиклассического разложения? Эти вопросы, а также проблемы обобщения полученных в диссертации резул] татов на случаи более высоких размерностей пространства-времени и более сложных моделей, в частности, моделей, в которых прострг ственно-временная симметрия не является единственной непрерывно] симметрией, нарушаемой классическим решением, могли бы стать пр( метом дальнейших исследований.

Приведем перечень основных результатов, полученных в диссертации:

I. На примере одномерной квантовомеханической модели развит метод операторных тождеств, позволяющий формализовать доказательство утверждения о точном сокращении вкладов нулевой мод! в любом порядке квазиклассического разложения. Проведенный анализ естественным образом приводит к необходимости введения hobi вершин и соответствующих игл диаграмм, отвечающих модифицированной теории возмущений.

2. Сформулированы операторные тождества и на их основе да! ^ доказательство сокращения вкладов нулевой моды в любом порядке квазиклассического разложения соответствующим образом определеь ного среднего по односолитонным полям от трансляционно-инвариа* ного функционала.

3. Изучена зависимость двухпетлевой поправки к амплитуде солитон-солитонного перехода от коэффициентов билинейной комбинации трансляционной и лоренцевой нулевых мод в функции Грина. Получены асимптотические условия для этих коэффициентов при Показано, что имеет место частичная взаимная компенсация вкладе нулевых мод, если коэффициенты удовлетворяют определенному услс вию.

4. Показано, что двухпетлевая поправка к массе солитона, с ределяемая по асимптотическому поведению солитонной функции рас пространения, совпадает с второй квантовой поправкой, найденной при помощи других методов.

5. Проведен анализ инфракрасных особенностей в выражении для трехпетлевой поправки к амплитуде солитон-солитонного перех да при использовании полного времени Т в качестве "естественног параметра инфракрасной регуляризации. Показано, что для определ ного класса пропагаторов в сумме трехпетлевых диаграмм без внег них линий особенности сокращаются лишь частично. Получены вира) жения для старших расходящихся членов в асимптотическом разложи нии третьей поправки к амплитуде солитон-солитонного перехода при Т-* 00 .

6. В рамках метода, основанного на выделении группового объема, показано, что инфракрасные особенности в выражении для третьей квантовой поправки к массе солитона полностью сокращаю ся.

7. Показано, что сокращение инфракрасных особенностей в третьей поправке к массе солитона, так же как и сокращение вклг дов трансляционной моды в средние от трансляционно-инвариантны] функционалов, обусловлено существованием некоторой системы тождеств, отражающих исходную трансляционную симметрию задачи.

В заключение выражаю мою глубокую благодарность В.А.Матвее за руководство работой, постоянное внимание и многочисленные ос суждения. Я благодарен В.А.Мещерякову и Д.Ц.Стоянову за. интерес к работе и полезные замечания. ^ Я искренне признателен И.Т.Тодорову, Л.Д.Фадцееву и Д.В.ИЬ кову за обсуждения.

Мне приятно поблагодарить моего соавтора Г.А.Чечелашвили, а также Ш.И.Вашакидзе, М.И.Иванова., А.П.Исаева, В.Е.Корепина, Ф.Нидермайера, П.А.Николова, Ф.В.Ткачева и Л.К.Хаджииванова за обсуждение ряда вопросов, затронутых в диссертации.

Выражаю признательность руководству Лаборатории теоретичес кой физики ОИЯИ за доброжелательное отношение на всех этапах моей работы в Лаборатории. 1

1. Skyrrae T.H.R. А non-linear theory of strong interactions. -Proc. Roy. Soc, 1958, v. A247, No, 1249, p. 260-278.

2. Skyrme T.H.R. A non-linear field theory. - Proc. Roy. Soc.,1961, V. A260, No.1300, p.127-138.

3. Skyrme T.H.R. Particle states of a quantum meson field.Proc. Roy. Soc, 1961, V. A262, No. 1309, p.237-245.

4. Pinkelstein D., Misner C.W. Some new conservation laws.Ann. Phys., 1959, v. 6, Ио.З, p.230-243.

5. Finkelstein R., Le Levier R., Ruderman R. Non-linear spinorfields. - Phys. Rev., 1951, v. 83, N0.2, p.326-332.

6. Faddeev L.D. , Korepin V.E. Quantiom theory of soli tons.Phys. Rep., 1978, V. 420, No.1, p.1-87.

7. Rajaraman R. Solitons and instantons. An introduction tosolitons and instantons in quantum field theory. - Amsterdan - New-York - Oxfordj North Holland, 1982, 409 p.

8. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Существенно-нелинейная одномерьмодель классической теории поля. - ТМФ, 1974, т.21, М 2, с.160-173.

9. Фадцеев Л.Д., Тахтаджян Л.А. Частицы для уравнения Сайн-Горд- Л € , 1974, т.29, БЫП.З, с.249-250.

10. Derrick G.H. Comments on non-linear wave equations as modelsfor elementary particles. - J. Math. Phys., 1964, v. 5, No.S p.1252-1254.

11. Hobart R. On the instability of a class of unitary field models. - Proc. Phys. Soc, 1963, V. 82, pt.2, No.526, p.201-2

12. Henry D.B., Perez J.P., Wreczinsky W.P. Stability theory foisolitary wave solitons of scalar field equations. - Commun. Math. Phys., 1982, v. 85, No.3, p.351-361. - 87

13. Pohlmeyer К. Integrable Hamiltonian systems and interactionthrough quadratic constraints. - Commun. Math. Phys., 1976, V. 46, No.3, p.207-221.

14. Luscher M., Pohlmeyer K. Scattering of massless lumps andnon-local charges in the two dimensional classical non-line; G"-model. - Nucl. Phys., 1978, v. B137, No. 1, p.46-54.

15. Polyakov A.M. Hidden symmetry of the two dimensional chiralfields. - Phys. Lett., 1977, v. 72B, No.2, p.224-226.

16. Luscher M. Quantum non-local charge and absence of particleproduction in the two dimensional non-linear <7-model. Nucl. Phys., 1978, v. B135, llo.l, p. 1-19.

17. Полшюв A.M. Спектр частиц в квантовой теории поля. ЖЭТФ,Письма, 1974, т.20, вып.6, с.430-433.

18. Georgi М., Glashow S.L. Unified weak and electromagneticinteractions without neutral currents. - Phys. Rev. Lett., 1972, V. 28, No.22, p.1494-1497.

19. Prasad M., Somerfield C. Exact classical solution for the»t Hooft monopole and the Julia-Zee duon. - Phys. Rev. Lett. 1975, V. 35, No.12, р.7бО-7б2.

20. Типкин Ю.С., Фатеев В.А., Шварц А.С. Частицеподобные решениеуравнений калибровочных теорий поля. - ТШ, 1976, т.26, i& 3, с.397-402. - 88

21. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S.Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations. - Phy 1.tt., 1975, V. 59B, No.1, p.85-87.

22. D*Adda A., Luscher M., Di Vecchia P. A 1/n expandable serieof non-linear 6"-models with instantons. - Uucl. Phys., 1978, V. B146, No.l, p.63-76.

23. Eiohenherr H. SU(II) invariant non-linear б"-models. - Nucl,Phys., 1978, V. BU6, ЬТо.1, p.215-223.

24. Golo v., Perelomov A.M. Solution of the duality equationsfor the two dimensional SU(N)-invariant chiral model. - Phy! 1.tt., 1978, V. 79B, No.1, 2, p.112-113.

25. Di Yecchia P., Perrara S. Classical solutions in two-dimensional supersymmetric field theories. - Uucl. Phys., 1977, V. B130, No.1, p.93-104.

26. Hruby J. On the supersymmetric sine-Gordon model and a twodimensional bag. - Nucl. Phys., 1977, v. B131, No. 2/3, p.275-284.

27. D*Adda A., Horsley R., Di Vecchia P. Supersymmetric magneticmonopoles and dyons. - Phys. Lett., 1978, v. 76в, No.3, p.298-302.

28. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованныхполей. Изд. 3-е, перераб. М., "Наука", Главная редакция фкзЕ математической литературы, 1976, 479 с.

29. Pinkelstein D., Rubinstein J. Connection between spin, statistics and kinks. - J. Math. Phys., 1968, v. 9, Ho.ll, p.1762-1779.

30. Witten E. Global aspects of current algebra. Princeton preprint, 1983. - 89

31. Witten E. in Third Annual ICTP Summer 7/orkshop on ParticlePhysics (collected lectures) 23 June - 31 July 1983, 10/83/221, Trieste: ICTP, 1983.

32. Wilozek P., Zee A. Linking numbers, spin and statistics ofsolitons. Univ. of California preprint, Santa Barbara, 1983 lTSF-ITP-83-148,

33. Hasenfratz P. A puzzling combination: disorder X order,Phys, Lett., 1979, v, 85B, No,4, p,338-342,

34. Wilczek P, Magnetic flux, angular momentum and statistics, •Phys. Rev, Lett., 1982, v, 48, По,17, p.1144-1146,

35. V/ilczek P, Quantum mechanics of fractional spin particles,Phys, Rev, Lett., 1982, v, 49, No.14, p.957-959.

36. Рубаков В.A. Сверхтяжелые магнитные монополи и распад npoTOi- ЖЭТФ, Письма, I98I, т.33, вып.12, с.658-660.

37. Rubakov Y,A, Monopole induced proton decay, Inst, for ITucl,Res, preprint P-0204, Moscow, 1981,

38. Rubakov V,A, Adler-Bell-Jackiw annomaly and fermion numberbreaking in the presence of a magnetic monopole, - Шс1. Phys., 1982, V. B203, No.2, p.311-348,

39. Callan C.G. Disappearing dyons, - Phys, Rev,, 1982, v, D25,No.8, p,2141-2146,

40. Callan C,G, Dyon-fermion dynamics, - Phys, Rev,, 1982, v, D2No.8, p,2058-2068,

41. Wilczek P, Remarks on Dyons, - Phys, Rev, Lett,, 1982, v. 48No.17, p.1146-1149.

42. Witten E. Baryons in the 1/N expansion, - Nucl, Phys., 1979,V, Bl60, No.1, p,57-115.

43. Priedberg R,, Lee T,D, Quantum chromodynamics and the soliton model of hadrons, - Phys, Rev,, 1978, v, D18, No,7, p.2623-2631. - 90

44. Goldflam R., Wilets L. Soliton bag model, - Phys. Rev,, 198V. D25, N0,7, p.1951-1963.

45. Breit J,D. Quantization of bag-like solitons. - Nucl. Phys,1982, V. B202, Uo.l, p.147-172.

46. Склянин Е.К., Фаддеев Л.Д. Квантовомеханический подход квполне интегрируемым моделям теории поля. - Докл. АН СССР, 1978, Т.243, В 6, C.I430-I433.

47. Фаддеев Л.Д. Квантовые вполне интегрируемые модели теорииполя. Препринт ЛОМИ Р-2-79, Л.: ЛОШ, 1979.

48. Склянин Е.К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера. - Докл. АН СССР, 1978, т.244 .й 6, C.I337-I34I.

49. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантовый метод обратной задач!и модель Гейзенберга. - УМН, 1979, т.34, вып.5, о.13-6с

50. Склянин Е.К,, Тах:таджян Л.А. Квантовый метод обратной задач!1. - Т Ш , 1979, Т.40, В 2, с.194-220. 53. йзергин А.Г., Корепин В.Е. Квантовый метод обратной задачи. ЭЧАЯ, 1982, т.13, вып.З, с.501-541.

51. Dashen R,, Hasslacher В,, Neveu А. Nonperturbative methodsand extended hadron models in field theory. I, Semiclassical functional methods, - Phys. Rev., 1974, v. D10, No.12, p.411 4129.

52. Dashen R., Hasslacher B., Neveu A. Particle spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques. - Phys, Rev., 1975, v. D11, No,12, p.3424-3450,

53. Goldstone J, Field theories with "superconductor" solutions.- Nuovo Cim,, 1961, v, 19, No,1, p,154-164.

54. Goldstone J., Salara A,, Weinberg S, Broken symmetries,Phys, Rev,, 1962, v, 127, No,3, p,965-970. - 91

55. Корепин В.Е., Фадцеев Л.Д. Квантование солитонов. - ТМФ,1975, т.25, В 2, с.147-163.

56. Боголюбов Н.Н., Тябликов С В . Приближенный метод нахождениянизших энергетических уровней электронов в металле. - ЖЭТФ, 1949, т.19, вып.З, с.256-268.

57. Солодовникова Е.П., Тавхелидзе А.Н., Хрусталев О.А. Осцилляторные згровни частицы как следствие сильного взаимодействия с полем. - Т Ш , 1972, т.10, 1й 2, с.162-181.

58. Разумов А.В., Хрусталев О.А. Применение метода Боголюбова кквантованию бозонных полей в окрестности классического решения. - Т Ш , 1976, т.29, II 3, с.300-308.

59. Kuleshov S.P., Matveev V,A,, Smondyrev M.A. Approximationsof strong and weak couplings in the two polaron problem. Preprint Z2-9116 JIM, Dubna: JINR, 1975.

60. Creutz M. Extended objects. Preprint BNL-21923 Upton: BNL,1976.

61. Gervais J.L., Sakita B. Extended particles in quantum fieldtheory. - Phys. Rev., 1975, v. D11, No. 10, p.2943-2949.

62. Gervais J.L., Jevicki A., Sakita B. Perturbation expansionaround extended particle states in quantum field theory. Phys. Rev., 1975, v. D12, No.4, p.1038-1051.

63. Корепин В.Е., Кулиш П.П., Фадцеев Л.Д. Квантование солитоно!-ЖЭТФ, Письма, 1975, т.21, вып.5, с.302-305.

64. Christ N.H., Lee T.D. Quantim expansion of soliton solutions- Phys. Rev., 1975, v. D12, No.6, p.1606-1627.

65. Tomboulis Б. Canonical quantization of nonlinear waves.Phys. Rev., 1975, v. D12, No.6, p.1678-1683.

66. Extended systems in field theory. - Phys. Rep., 1976, v. 23C.No.3, p.240-374. 92

67. Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля. Материалы 17 Мелздзгнародного совещания по нелокальным теорит^ по ля. 20-28 апреля 1976 г., Алушта. Сообщение Д2-9788, Дубна: сияй, 1976.

68. Разут.юв А.В. Преобразование Боголюбова и квантование солитонов. - Т Ш , 1977, т.30, В I, 0.18-27.

69. Matsumoto Н., Papastamatiou N.J,, Umezawa М., Umezawa Н.Space-time symmetries for theories with extended objects. Phys. Rev., 1981, v. D23, No.6, p.1339-1350.

70. Свешников К.A. Преобразование Н.Н.Боголюбова для группы Hyajтаре. Препринт ЙФБЭ 82-35, Серпухов: ИФВЭ, 1982.

71. Свешников К.А. Ковариантное каноническое квантование и операторные связи Дирака. Препринт ИФВЭ 82-36, Серпухов: ИФВЭ, 1982.

72. Свешников К.А. Квазиклассический / 5 2 - формализм и рассеяшсолитонов. Препринт ИФВЭ 82-80, Серпухов: ИФВЭ, 1982.

73. Свешников К.А. Ковариантная теория возмущений в окрестностиклассического решения. - Т Ш , 1983, т.55, № 3, с.361-384.

74. Creutz М. Quantum mechanics of extended objects in relativistic field theory. - Phys. Rev., 1975, v. D12, No.10, p.3126-3144.

75. Faddeev L.D., Korepin V.E. About the zero mode problem inthe quantization of solitons. - Phys. Lett., 1976, v. 63B, No.4, p.435-438.

76. Jevicki A. Treatment of zero-frequency modes in perturbationexpansion about classical field configurations. - Nucl. Phys 1976, V. B117, No.2, p.365-376.

77. Abbott L.F. Calculating quantum corrections to the mass of asoliton without collective coordinates. - Nucl. Phys., 1978, V. B139, No. 1/2, p.159-169. - 93

78. Verschelde Н«, Phariseau P. Path integral quantization ofsolitons. - Z. Phys., 1984, v. C23, No.2, p.181-190. 79. Matveev V.A. Cancellation of the zero-mode singularities iisoliton quantization theory. - Nucl. Phys., 1977, v. B121, lTo.3, p. 403-412.

80. Зяатев СМ., Матвеев Б.А. Компенсация нулевых мод в задачеквантовых поправках к массе солитона. Сообщение 01'ШИ, Р2-8/ 244, 1982, Дубна: ОИЯИ, 1982, 12 с.

81. Coleman S. There are no Goldstone bosons in two dimensions.Commun. Math. Phys., 1973, v. 31, No.4, p.259-264.

82. Mermin U.D., Wagner H. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg model. - Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17, Ho.22, p.1133-1136.

83. Jevicki A. On the ground state and infrared divergences ofGoldstone bosons in two dimensions. - Phys. Lett., 1977, V. 71B, No.2, p.327-329.

84. Elitzur S. The applicability of perturbation expansion totwo dimensional Goldstone systems. IAS preprint. Princeton: 1.S, 1978.

85. David P. Cancellation of IR divergencies in two dimensionalchiral models. - Phys. Lett., 1980, v. 9бВ, No. 3/4, p.371- 94

86. David P. Cancellations of infrared divergencies in the twodimensional non-linear 0"-models, - Commun, Math. Phys., 1981, V, 81, No.2, p.149-170.

87. Боголюбов H.H. Квазисредние в задачах статистической механ!ки. Препринт Д-781, Дубна: ОИЯИ, I96I; в кн.: Н.Н.Боголюбо: Избранные труды по статистической физике, М.: WJ, 1979.

88. Златев СИ., Матвеев В.А. Проблема инфракрасных расходимос!при квантовании солитонов. Препринт ОИШ, P2-84-I86, Дубна ОИЯИ, 1984, 22 с ; ТШ, 1985, т.62, Л I, с.45-60.

89. Коноплич Р.В., 1^бин Г. Квантовые поправки к нетривиальшклассическим решениям в теории f^ . - Ш, 1983, т.37, !h 5, 0.1330-1336.

90. Callan C.G», Dashen R,, Gross D. The structure of the gaugetheory vacuum, - Phys, Lett,, 1976, v, ВбЗ, No,3, p.334-340

91. Jackiw R,, Rebbi С Vacuum periodicity in a Yang-Millsquantum theory, - Phys. Rev, Lett,, 1976, v, 37, No,3, p.17 175,

92. Gauthier S,, Rouet A, Pure Yang-Mills perturbation theory ithe instanton sector compared to the zeroth sector, - Nuovo Cira., 1980, V, 58A, No,2, p,141-158.

93. Polyakov A,M, Quark confinement and topology of gaugeTheories, - Nucl. Phys., 1977, v, B120, No,3, p.429-458. г - 95

94. Patrasciou А. Extended particles and magnetic charges.Phys. Rev., 1975, v. D12, No.2, p.523-530.

95. Lowe M., Stone M. A two loop calculation about a quantummechanical instanton. - Nucl. Phys., 1978, v. B136, Ho.1, p.177-188.

96. Jacobs L. Quantum corrections to nonlinear wave solutions.Phys. Rev., 1976, v. D13, No.8, p.2278-2286.

97. Verwaest J, Higher order corrections to the sine-Gordonsoliton mass. - Nucl. Phys., 1977, v. B123, No.1, p.100-1(

98. Paddeev L.D., Popov V.N. Peynman diagrams for the YangMills field. - Phys. Lett., 1967, v. 25B, No.1, p.29-30.

99. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия шними. М.: Физматгиз, 1959, 439 с.

100. Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории nojи статиотже. Л.; ЛГУ, 1976, 294 с.

101. Chetyrkin K.G., Tkachov F.7. Infrared R-operation andultraviolet counterterms in the MS-scheme. - Phys. Lett., 1982, V. lUB, No.5, p.34o-343.