Проблема видимости сред в томографии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Индикатор неоднородности по неполным данным

§1. Предварительные замечания и постановка задачи

§2. Вспомогательные утверждения

§3. Индикатор неоднородности и его свойства.

§4. Некоторые численные эксперименты

§5. Зависимость качества изображений от параметров счета

Глава 2. Томографическая неразличимость границ контакта некоторых материалов

§1. Предварительные сведения

§2. Результаты обработки табличных данных

Глава 3. Создание материалов с заданными томографическими свойствами

§1. Зависимость коэффициентов уравнения переноса от химического состава вещества

§2. Примеры двух- и трехкомпонентных смесей

Настоящая работа тесно связана с компьютерной томографией, поэтому остановимся вначале на сущности и основных областях приложения этой области математического моделирования. Томография - это метод получения изображений внутренних частей непрозрачных тел. Он позволяет диагностировать внутреннюю структуру объектов.

Прогресс метода компьютерной томографии (КТ) обусловлен его преимуществом перед другими методами диагностики. Это преимущество заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем у других известных методов вычислительной диагностики. Высокая эффективность метода КТ впервые была продемонстрирована на примерах его использования в медицине и биологии [65,68]. Именно благодаря появлению и совершенствованию медицинских томографов КТ приобрела широкую известность.

Создание компьютерных томографов (А.Кормак и Г.Н.Хаундсфилд) и их применение в биохимии (А.Клуг) отмечены Нобелевскими премиями (1979, 1982 гг.). В настоящее время наибольшее распространение получили рентгеновские компьютерные томографы.

Различные томографические методы применяются сейчас во многих других областях, таких, как промышленность, электронная микроскопия, радиоастрономия, физика Земли, океана, космоса. При этом в качестве излучения используются не только рентгеновское, но и более жесткое 7— излучение, электроны, различные тяжелые частицы а также длинноволновое электромагнитное излучение.

В дефектоскопии стала привычной диагностика различных диэлектрических изделий с помощью рентгеновской КТ [38]. Достигаемое при этом пространственное разрешение составляет 15 мкм при диаметре исследуемой области 240 мм. Успешно проводится контроль узлов реактивных двигателей и турбин [82], конструкций вертолетов [74] и конденсаторов [78]. Перспективна томографическая дефектоскопия труднодоступных для прямого контроля элементов конструкции ядерного реактора: тепловыделяющих элементов, охладителей и др.

В микроскопии целесообразность использования КТ связана с тем, что в ряде случаев требуемая точность фокусировки излучения на заданную поверхность недостижима с помощью существующей аппаратуры. Представление об использовании КТ в микроскопии дает обзор [25].

В геофизике известен метод радиоволнового просвечивания [52]. Его можно применять, используя принципы КТ. Аналогичный подход можно подложить и при вертикальном электрозондировании в скважинах, сейсмических и акустических исследованиях земной коры. При этом, однако, существуют определенные технические трудности, ограничивающие применение КТ. К ним относится отсутствие хорошей геометрии измерений и недостаточная изученность физических процессов распространения излучения в горных породах.

В астрофизике и физике атмосферы Земли одной из первых работ, содержавшей применение метода КТ была работа [73] по восстановлению карты СВЧ -излучения Солнца. За ней последовали работы по восстановлению рентгеновской структуры остатка вспышки сверхновой звезды [81] и оценке распределения плотности электронов на сферической поверхности вокруг Солнца [68]. В работе [85] рассматриваются некоторые приложения методов КТ к вопросу нахождения полей концентрации примесей, загрязняющих атмосферу Земли.

В аэро- и гидродинамике часто возникает необходимость изучать несимметричные распределения полей плотности, температуры и скорости. Эффективность использования КТ в аэродинамике была показана в работе [86], где методами импульсной голографической интерферометрии изучались характеристики несимметричных распределений полей плотности газа около конуса при разных углах атаки. В работе [75] был предложен подход для изучения нестационарных струйных течений, основанный на методе КТ. В работе [53] рассмотрены некоторые применения КТ к диагностике плазмы.

Перейдем к конкретной формулировке задач, которые ставятся в рентгеновской КТ на основе методов математического моделирования. Источником информации о внутреннем строении изучаемой среды здесь является излучение, которое при прохождении сквозь среду взаимодействует с ней. Далее будут рассматриваться два основных вида взаимодействия излучения со средой: рассеяние и поглощение. В качестве математической модели, описывающей этот процесс, взято уравнение переноса. Это уравнение содержит функцию / пространственной и угловой переменных, которая является величиной плотности потока излучения и функции /г, к и J, характеризующие некоторые свойства самого вещества (см., например, уравнение (1.1)). Пусть среда занимает некоторую ограниченную область G трехмерного пространства, а функции h и Н описывают плотность потока излучения на границе области, соответственно входящего и выходящего из G.

Обычно задачу нахождения функции / из уравнения переноса при известных функциях /i, к, J и h называют прямой задачей. Обратную задачу для уравнения переноса можно сформулировать, например, в следующем виде: по известным функциям h ж Н требуется найти некоторые функции, которые характеризуют внутреннее строение среды.

Прямая задача изучалась многими авторами и обычно решение уравнения переноса понималось при этом в некотором обобщенном смысле. В первую очередь отметим здесь фундаментальную работу B.C. Владимирова [23], которая сыграла определяющую роль в развитии современной математической теории уравнения переноса. При более общих с математической точки зрения предположениях теория стационарных уравнений переноса получила дальнейшее развитие в работах Т.А. Гермогеновой [26,27], С.Б. Шихова [72] и Г.И. Марчука [41,44]. Краевые задачи для уравнения переноса, которые исследовали эти авторы, были вызваны к жизни в первую очередь развитием ядерной физики, ее приложениями в теории ядерных реакторов и, в особенности, радиационной защиты. Эти задачи характеризуются сложной геометрией среды и разрывными коэффициентами, а также высокими требованиями к точности расчета.

Обратные задачи для уравнения переноса впервые были поставлены в 1964 г. Г.И. Марчуком [42,43]. Они были вызваны проблемой интерпретации информации, получаемой с метеорологических спутников Земли. Следующие по хронологии работы, в которых приводились различные постановки задач и обсуждались методы их исследования принадлежат А.И. Прилепко [54] и Д.С. Аниконову [2]. В настоящее время обратные задачи теории переноса являются активно развивающейся областью науки в нашей стране и за рубежом. Среди работ, посвященных обратным задачам для уравнения переноса, отметим работы [1, 3-12, 18-20, 21, 22, 28-32, 34-37, 55-61, 64, 66, 69-71, 79, 80, 83, 84]. Несмотря на обширный список трудов, пересечения в исследованиях авторов незначительны. Объясняется это, в частности, разнообразием типов уравнения переноса: стационарные и нестационарные, односкоростные и многоскоростные.

Д.С. Аниконовым в ряде работ [8, 10, 12, 13, 15] изучалась проблема нахождения внутренней структуры неоднородной среды по результатам ее радиационного зондирования. Данная диссертационная работа продолжает эти исследования.

В первой главе диссертации рассматривается следующая задача томографии. Пусть ограниченная выпуклая область О трехмерного пространства занята неоднородной средой, так что при этом на границах неоднородностей коэффициенты //, к, </ стационарного моноэнергетического уравнения переноса (1.1) могут иметь разрывы первого рода. Предполагается, что эта среда подвергается радиационному облучению и что известна плотность потока выходящего излучения Н* в точках множества дО п Р (где Р— некоторая плоскость) для всех направлений, лежащих в плоскости Р. Требуется: из уравнения переноса по известной функции Н* найти части границ неоднородностей, лежащие в плоскости Р.

Для решения этой задачи используется метод, разработанный Д.С. Аниконовым в работе [15]. В §2 гл.1 получен ряд вспомогательных результатов, необходимых для решения поставленной задачи. В §3 гл.1 доказываются теоремы, отвечающие на вопрос о разрешимости этой задачи и единственности полученного решения. Суть метода, использованного при этом, заключается в следующем. На некотором открытом множестве Т>0, лежащем в сечении СгПР и плотном в нем, определяется функция названная индикатором неоднородности по неполным данным. При ряде предположений относительно гладкости коэффициентов уравнения переноса, границы дО области (7, границ неоднородностей, лежащих в С и некоторых других предположениях доказано, что функция У*(г) непрерывна в Vо и стремится к бесконечности тогда и только тогда, когда расстояние от точки г 6 Т>о до искомого множества стремится к нулю. Показано, что возникающая при этом особенность носит логарифмический характер.

В §4 гл.1 рассматривается случай, важный при решении задачи о нахождении искомых границ методом конечных разностей. Показано, что если на границе контакта двух соседних неоднородностей скачек )] коэффициента поглощения энергии ¡ла обращается в нуль, то на этой границе выполняется условие плохой видимости и найти эту границу с помощью индикатора неоднородности будет затруднительно, либо вообще невозможно. Это утверждение иллюстрируется результатами численного эксперимента по восстановлению границ неоднородностей с помощью индикатора У* {г).

В последнем параграфе первой главы дано описание трех серий численных экспериментов по восстановлению границ неоднородностей, в которых отслеживалось, как качество восстановления границ зависит от густоты используемой сетки, оптической толщины среды и точности измерения выходящего излучения.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, естественно возникающие при анализе результатов, полученных в первой главе, в частности, существуют ли в природе реальные пары различных веществ, которые имеют одинаковые значения коэффициентов поглощения энергии /2а. Если такие пары веществ существуют, то на границе их контакта будет выполняться приближенное условие плохой видимости |/1а(г)| = 0 и обнаружить ее методами томографии будет трудно или невозможно. Важность различия предельных значений коэффициента поглощения ¡ла на границе контакта различных сред для ее успешного обнаружения методами томографии впервые была отмечена в работе Д.С. Аниконова и И.В. Прохорова [16].

Поиск пар веществ с одинаковыми значениями коэффициента ца проводился на основе информации, представленной в таблицах [77], содержащих зависимости массовых коэффициентов полного взаимодействия р,/р и поглощения ра/ р от энергии Е для 92 химических элементов и 48 веществ сложного химического состава. Для выполнения этой работы, инициированной Д.С. Аниконовым, была написана компьютерная программа, которая проводила сравнение всевозможных пар веществ на различных промежутках энергии в пределах 1 Кэв - 20 Мэв. Результаты этой работы, в ходе которой было обнаружено большое число пар веществ с плохо видимой при определенных значениях энергии Е границей контакта, представлены в ряде таблиц, которые комментируются в гл. 2. Там же приводится ряд результатов, полученных статистической обработкой полного набора выходных данных. Полученная при этом информация может оказаться весьма полезной на практике, например, при выборе оптимальных значений энергии облучения исследуемых объектов в рентгеновских томографах.

В третьей главе изучается вопрос о возможности искусственного создания веществ с заданными томографическими свойствами, т.е. с заранее заданными значениями коэффициента ц, к или /1а. Поскольку, по вышеизложенным причинам, коэффициент поглощения ца представляет для нас наибольший интерес, то в гл. 3 речь идет главным образом о нем. Однако, все полученные результаты легко перенести на случай других коэффициентов. На основании формул, связывающих значения коэффициента поглощения ца вещества сложного химического состава и коэффициентов поглощения ра1,., рап составляющих его химических элементов показано, каким образом, при некоторых естественных ограничениях, можно решить поставленную задачу. Здесь можно отметить несколько причин, по которым данная проблема представляет практический интерес.

Во-первых, решение этой проблемы позволяет лучше понять причины, которые в ряде случаев препятствуют получению томограмм хорошего качества и, тем самым, найти способы их улучшения.

Во-вторых, создание материалов с заданными значениями коэффициентов к или ца может оказаться необходимым тогда, когда один материал нужно заменить на другой, например, более дешевый, жаростойкий, химически нейтральный или более прочный механически, но такой, который имеет тот же коэффициент /i, к или fj,a. Может оказаться, что необходимо даже заменить агрегатное состояние вещества, например, твердое тело на жидкость.

В третьих, созданные таким образом материалы можно использовать для создания измерительной техники, основанной на новых физических принципах измерения.

Поясним последнее утверждение более подробно. Пусть имеются два диска одинакового диаметра, установленные вплотную друг к другу своими основаниями, которые подвергаются встречному сдавливанию. Предположим, что материалы, из которых сделаны диски можно подобрать так, чтобы их модули объемной упругости К\, и коэффициенты поглощения в ненапряженном состоянии ца1, ¡ла2 были связаны неравенствами: К\ < К2 ■ Mai < /V2- Коэффициент поглощения любого вещества при энергиях излучения, для которых были составлены таблицы [77] (Е > 1 Кэв), линейно зависит от плотности этого вещества. При увеличении сдавливающей силы F коэффициент ¡j,ai(F) будет расти быстрее коэффициента /ia2(F), поэтому, если начальные значения коэффициентов /ial и ца2 были достаточно близки, то при некотором значении сдавливающей силы Fi наступит момент, когда значения коэффициентов fiai(Fi) и ¡J.a2(Fi) сравняются. В этот момент граница контакта дисков станет томографически плохо видимой. Зависимость коэффициента yUa от энергии излучения для различных веществ различна, поэтому, для разных значений энергии излучения момент, когда наступает состояние плохой видимости границы контакта будет соответствовать разным значениям силы Установленную таким образом зависимость можно использовать для измерения давления на границе контакта без использования каких-либо механических датчиков, т.е. дистанционно. Рентгеновское, а тем более 7— излучение, обладает высокой проникающей способностью и практически полной безинерционностью из-за большой величины скорости света, поэтому, предлагаемый способ измерения давления возможно окажется оправданным в ситуации, когда вещество находится в условиях очень высоких давлений и, дополнительно, давление быстро меняется (процесс взрыва, столкновения тел на сверхвысоких скоростях).

При проведении всех численных экспериментов на первом этапе вычислений использовалась программа, которую разработали сотрудники Института прикладной математики ДВО РАН А.Е. Ковтанюк и И.В. Прохоров. Эта программа реализует метод Монте-Карло (метод "сопряженных траекторий").

Основные результаты автора опубликованы в работах [11, 14, 45-51], в том числе в соавторстве.

1. Амиров А.Х. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса.- Сиб.мат.журнал, 1986, Т.27, N 6, с.3-20.

2. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса,- Дифференциальные уравнения, 1974, Т.2, N 1, с.7-17.

3. Аниконов Д.С. Многомерные обратные задачи для уравнения переноса.- Дифференциальные уравнения, 1984, Т.20, N 5, с.817-824.

4. Аниконов Д.С. Единственность совместного определения двух коэффициентов уравнения переноса,- ДАН СССР, 1984, Т.277, N 4, с.777-780.

5. Аниконов Д.С. Единственность определения коэффициента уравнения переноса при специальном типе источника,- ДАН СССР, 1985, Т.284, N 5,с.511-515.

6. Аниконов Д.С. Решение задачи томографии при специальном типе источника,-В сб.: Линейные и нелинейные задачи вычислительной томографии. Новосибирск. 1985, с.3-10.

7. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Определения коэффициента уравнения переноса при энергетических и угловых особенностях внешнего излучения,- ДАН,1992, Т.327, N 2, с.205-207.

8. Anikonov D.S., Prokhorov I.V., Kovtanyuk A.E. Investigation of scattering and absorbing media by the method of X-ray tomography.- J. Inv. Ill-Posed Problems,1993, V.l, N 4, pp. 259-281.

9. Аниконов Д.С. Использование особенностей решения уравнения переноса в рентгеновской томографии,- ДАН, 1994, Т.335, N 6, с.702-704.

10. Аниконов Д.С. Проблема типа Стефана для уравнения переноса,- ДАН, 1994, Т.338, N 1, с.25-28.

11. Anikonov D.S., Kovtanyuk A.E., Nazarov V.G., Prokhorov I.V. Direct and inverse problems of transport theory and their application in tomography.- Abstract IPES-94, 1994, Osaka, Japan, pp.4-5.

12. Anikonov D.S. Formula for the gradient of the transport equation solution.- J. Inv. Ill-Posed Problems, 1996, V.4, p.85-100.

13. Аниконов Д.С., Построение индикатора неоднородности при радиационном обследовании среды. ДАН, 1997, Вып. 357, N 3. с. 324 -327.

14. Аниконов Д.С., Назаров В.Г., Прохоров И.В. Видимые и невидимые среды в томографии. ДАН, 1997, Т. 357, N 5, с. 599-603.

15. Anikonov D.S. Integro-Differential Indicator of Nonhomogeneity in Tomography Problem. J.Inv.Ill-Posed Problems, Vol.7, No.l, pp.17-59, 1999.

16. Аниконов Д.С., Прохоров И.В. Значение коэффициента поглощения излучения в диагностике рассеивающих и поглощающих сред. ДАН, 1999, Вып 368, N 1. с. 24 28.

17. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000. С.224.

18. Аниконов Ю.Е. О многомерных обратных задачах для кинетических уравнений. В кн. : Методы решения некорректных задач и проблемы геофизики, Новосибирск, 1984, с.3-8.

19. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений,- ДАН СССР, 1984, N 4, с.779-781.

20. Аниконов Ю.Е., Пестов JI.H. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии.- Новосибирск, 1990, 64с.

21. Бондаренко А.Н. Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории рассеяния частиц,- ДАН, 1992, Т.322, N 2, с.274-276.

22. Бронников A.B. Эмиссионная томография источников с самопоглощающим излучением. ДАН, 1992, Т.322, N 5, с.879-882.

23. Владимиров B.C., Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Труды МИАН (1961) 61, 1-158.

24. Владимиров B.C., Уравнения математической физики. Наука, Москва, 1967, 3-436.

25. Вайнштейн Б.К. Трехмерная электронная микроскопия биологических макромолекул. УФН, 1973, Т. 109, вып. 3.

26. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решения уравнения переноса. М.: Наука, 1968. С.272.

27. Гермогенова Т.А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса. ЖВМ и ПМ, 1969, т.9, N 3, с.606 625.

28. Гермогенова Т.А. Об обратных задачах атмосферной оптики. ДАН СССР, 1985, Т.285, N 5, с.1091-1096.

29. Грынь В.И. Об обратных задачах теории стационарного переноса излучения в двумерной плоской геометрии.- ЖВМ и МФ, 1992, Т.32, N 5, с.758-771.

30. Грынь В.И. Об обратных задачах стационарного переноса излучения,- ЖВМ и МФ, 1995, Т.35, N 12, с.1831-1853.

31. Дурдиев Д.К. Линеаризованная обратная задача для двумерного уравнения переноса,- В сб.: Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск, 1991, с.47-66.

32. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование.- М., Наука, 1982.

33. Зорич В.А. Математический анализ, часть I, Наука, Москва, 1981.

34. Иванков А.Л. Единственность определения коэффициента уравнения переноса для чистого поглощения.- В сб. : Математические методы исследования физических процессов. Под ред. А.И.Прилепко. Изд-во МИФИ, Москва, 1982, с.31-36.

35. Исанов Р.Ш.,Яхно В.Г. Одна задача эмиссионной томографии.- В сб.: Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск, 1991, с.67-78.

36. Казаков А.Я. Обратные задачи теории переноса излучения в шаре и цилиндре.-ДАН СССР, 1983, Т.287, N3, с.587-592.

37. Кирейтов В.Р. Обратные задачи фотометрии.- Новосибирск, Изд-во ВЦ СО-АН СССР, 1983.

38. Клюев В.В., Курозаев В.П., Вайнберг Э.И. Современное состояние и перспективы развития компьютерной аксиальной томографии: Обзор. М.: Ин-т интроскопии, 1979.

39. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, Москва, 1964.

40. Лейпунский О.И., Новожилов Б.В., Сахаров В.И. Распространение гамма-квантов в веществе. М.: ГИФМЛ. 1960.

41. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961.

42. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач.- ДАН СССР, 1964, Т.156, N 3, с.503-506.

43. Марчук Г.И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач.- Косм, иссл., 1964, Т.2, 3, с.462-477.

44. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. Изд.2.М.: Атомиздат, 1981.

45. Назаров В.Г. Некоторые численные эксперименты в теории переноса излучения. Препринт ИПМ ДВО РАН N 8-1994, Владивосток, 1994, 14 с.

46. Назаров В.Г. Численные эксперименты в томографии с использованием индикатора неоднородности и меры видимости. Препринт ИПМ ДВО РАН N 16-1997, Владивосток, 1997, 14 с.

47. Назаров В.Г. О неразличимости границ контакта ряда пар веществ методами томографии. Тез. докл. Дальневосточная математическая школа-семинар, Владивосток, 1999, с. 62—63.

48. Назаров В.Г. Томографическая неразличимость границ контакта некоторых материалов. Дальневосточный математический сборник, N 8, 1999, с. 110 — 120.

49. Назаров В.Г. Индикатор неоднородности по неполным данным и плоховиди-мые среды. Тез. докл. Дальневосточная математическая школа-семинар, Владивосток, 2000, с. 81-82.

50. Назаров В.Г., Рожко А.Н. Некоторые методы улучшения изображений в томографии. Тез. докл. Дальневосточная математическая школа-семинар, Владивосток, 2000, с. 83-84.

51. Назаров В.Г. Индикатор неоднородности по неполным данным и его применение в томографии. Препринт ИПМ ДВО РАН N 17-2000, Владивосток, 2000, 45 с.

52. Петровский А.Д. Методика и техника исследований по радиоволновому просвечиванию и основные результаты работ на примере некоторых месторождений. Уч. зап. САИГИМС. 1962. - N 8.

53. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982.

54. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические и уравнения переноса).- Мат. заметки, 1973, Т.14, N 15, с.777-789.

55. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи для нестационарного уравнения переноса,- ДАН СССР, 1984, Т.276, N 3, с.555-559.

56. Прохоров И.В. Некоторые достаточные условия разрыва решения уравнения переноса,- Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток 1993, 6с.

57. Прохоров И.В., Некоторые свойства решений уравнения переноса. Дальневосточный математический сборник, 1996, N 2, 161-172.

58. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики.- М.,Наука,1980.

59. Романов В.Г. Оценки условной устойчивости для двумерной задачи восстановления коэффициента поглощения и правой части уравнения переноса.-Сиб. мат. журнал, 1994, Т.35, N6, с.1335-1356.

60. Романов В.Г. Оценки устойчивости в одной обратной задаче для уравнения переноса,- ДАН, 1995, Т.341, N 2, с.169-172.

61. Романов В.Г. Задача о совместном определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния.- ДАН, 1996, Т.351, N 1, с.29-31.

62. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978.

63. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло.- М., Наука, 1973.

64. Султангазин У.Н.,Иркегулов И.Ш. О некоторых обратных задачах атмосферной оптики,- В кн.: Некорректные задачи математической физики и анализа, Новосибирск, Наука, 1984, с.143-149.

65. Введение в современную томографию. Под ред. К.С. Тернового, М.В. Синь-кова Киев: Наук, думка, 1983.

66. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии,- М., Наука, 1987.

67. Фано У., Спенсер JL, Бергер М. Перенос гамма излучения. М.: Госатомиз-дат, 1963.

68. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983.

69. Шарафутдинов В. А. Задача эмиссионной томографии для неоднородных сред,-ДАН, 1992, Т.326, N3, с.446-448.

70. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для рефрагируюгцей среды.- Сиб. мат. журнал, 1994, Т.35, N 4, с.937-945.

71. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса.- ДАН, 1996, Т.347, N 5, с.604-606.

72. Шихов С.Б. Некоторые вопросы математической теории критического состояния реактора. ЖВМ и ПМ, 1967, т. 7, N 1, с.113-127.

73. Bracewell R.N. Strip integration in radio astronomy. Austral. J. Phis. 1965. -V.9.

74. Cagnisso A., Cagnage В., Rosello R. C.R. Acad. Sei. 1978. - V.287.

75. Emmerman P.J., Goulard R. et al. J. Energy, 1980,V.4.

76. Henke B.L., Gullikson E.M., Davis J.C. X — Ray Interactions: Photoabsorption, Scattering, Transmission, and Reflection at E = 50 —30000eu, Z = 1 — 92. Atomic Data and Nuclear Data Tables, V. 54, N.2, p. 181 342, 1993.

77. Hubbell J.H., Seltzer S.M. Tables of X — Ray Mass Attenuation Coefficients and Mass Energy — Absorption Coefficients 1 Kev to 20 Mev for Elements Z = 1 to 92 and 48 Additional Substances of Dosimetrie Interest, NISTIR 5632, 1995.

78. Kruger P.P., Morris R.A., Wecksung G.W. Application of industrial computerized tomography at Los Alamos Sei. Lab. IEEE Trans. Nucl. Sei. -1981. V. NS-28.

79. Mc.Cormic N.J., Sanchez R. Solution of inverse problem in radiative transfer with polarization.- 2, J.Q.S.R.T., 1979, V.30, N6, p.527-535.

80. Mc.Cormic N.J., Sanchez R. General solution of inverse transport problem.- J. Math. Phys., 1982, V.22, N 4, p.487-453.

81. More W.E., Garmire G.P. The X-ray structure of the vela supernova remnant. Astrophis. J. 1975, V.199.

82. Scudder H.J. Proc. IEEE. 1978. - V.66.

83. Sievert C.E. On the inverse problem for three-term phase function.-J.Q.S.R.T., 1979, v.22, p.441-446.

84. Sievert C.E., Dünnt W.L. On the inverse problem for planeparallel media with nonuniform surface illumination.- J.Math.Phys., 1982,v.22, N7, p. 1376-1378.

85. Wolfe D.C., Byer R.L. Model studies of laser absorption computed tomography for remote air pollution measurement, appl. Optic, 1982, V.21.

86. Zien T.-F., Ragsdali W.C., Spring W.C. AIAA J., 1975, V.13.