Производные категории когерентных пучков и эквивалентности между ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Триангулированные категории и точные функторы.

1.2 Производные категории и производные функторы.

1.3 Производные категории пучков на схемах.

2 Категории когерентных пучков и функторы между ними

2.1 Основные свойства категории когерентных пучков.

2.2 Примеры эквивалептностей: бирациональные преобразования типа флоп.

3 Вполне строгие функторы между производными категориями

3.1 Диаграммы Постникова и их свертки.

3.2 Вполне строгие функторы между производными категориями когерентных пучков.

3.3 Построение объекта, представляющего вполне строгий функтор.

3.4 Доказательство основной теоремы.

Основными объектами изучения алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия ( или схемы) и морфизмы между ними. Каждое алгебраическое многообразие X - это окольцованное топологическое пространство и, таким образом, оснащено топологией (чаще всего Зариского) и пучком колец регулярных функций Ох ■

Изучение алгебраического многообразия - это в большой степени изучение пучков на этом многообразии. И, так как пространство окольцовано, то естественными пучками, если не сказать основными, являются пучки Ох -модулей, среди которых своей алгебраической природой выделяются квазикогерентные и когерентные пучки.

Таким образом, с каждым алгебраическим многообразием X связаны абеле-вы категории (квази)когерентных пучков на нем coh(X) и Qcoh(X) . Морфизмы между многообразиями индуцируют функторы обратного и прямого образа между этими абелевыми категориями. Однако эти функторы не являются точными, то есть не переводят точные последовательности в точные. Это обстоятельство создает немалые трудности при работе с абелевыми категориями и неточными функторами между ними. Чтобы сохранить функториальность, Картан и Эйленберг ([26]) ввели понятие производных функторов, которые дают необходимые поправки к неточным функторам. Эта техника была развита Гротендиком в работе [17] и в дальнейшем привела к введению Вердье новых понятий: производной категории и производных функторов между ними [45].

В производных категориях в отличии от абелевых нет коротких точных последовательностей и не могут быть определены ядра и коядра морфизмов, но тем не менее производные категории обладают некоторой внутренней структурой, которая была оформлена Вердье в понятие триангулированной категории.

Переход от абелевых категорий к производным от них позволяет решить многие проблемы, связанные с трудностями при изучении естественных функторов. В качестве одного из первых примеров нужно отметить создание глобальной теории пересечения и доказательство теоремы Римана-Роха. Это было сделано Гротенди-ком и соавторами в [6] и стало возможным с введением триангулированной категории совершенных комплексов.

Другой пример, который хотелось бы отметить, связан с введением превратных пучков и установление соответствия Римана-Гильберта между голономными модулями с регулярными особенностями и конструктивными пучками, которое стало возможным только с привлечением понятия и техники триангулированных категорий (см. [5], [27]).

Из выше сказанного следует, что каждому алгебраическому многообразию естественным образом сопоставляются производные категории (квази)когерентных пучков. И многие вопросы, связанные с изучением многообразий, требуют исследования и описания этих триангулированных категорий. Первые шаги в этом направлении были сделаны в работах [4] и [3], в которых была описана производная категория когерентных пучков на проективных пространствах, что позволило в дальнейшем применить данную технику к исследованию многообразия модулей векторных расслоений на Р2 и Р3 . Этот подход был в дальнейшем усовершенствован, что позволило получить описание производных категорий когерентных пучков на квадриках и на флаговых многообразиях ([22],[23], [24]).

Введение понятий исключительного набора и полуортогонального разложения, позволило сформулировать новые принципы для описания производных категорий когерентных пучков ([7], [8]). Оказалось, что при наличии полного исключительного набора производная категория когерентных пучков эквивалентна производной категории модулей над конечномерной алгеброй ([7]). Понятие полуортогонального разложения позволило дать описание производной категории раздутия в терминах производных категорий раздуваемого многообразия и подмногообразия, в котором это раздутие происходит ([37]).

Однако для многих типов многообразий описать производную категорию не представляется возможным. Но естественный вопрос, который возникает при переходе от многообразий к производным категориям когерентных пучков, можно грубо сформулировать так: как много информации сохраняется при таком сопоставлении. На самом деле, как выясняется, этот переход сохраняет "почти"всю информацию. Во многих случаях можно даже восстановить само многообразие по ее производной категории когерентных пучков. Например, если канонический (или антиканонический) пучок многообразия является обильным ([10]).

Тем не менее, для некоторых типов многообразий существуют примеры того, когда два разных многообразия имеют эквивалентные производные категории когерентных пучков. Первый пример двух разных многообразий с эквивалентными производными категориями когерентных пучков был найден Мукаи [33]. Он показал, что таковыми являются любое абелево многообразие и двойственное к нему. Эта конструкция была обобщена Полищуком в работе [42], где для каждого абеле-ва многообразия был введен целый класс абелевых многообразий, имеющих ту же самую производную категорию когерентных пучков.

Эти примеры показывают, что, с одно стороны, существуют многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков, а с другой, что каждый такой класс "мал"(во всех примерах он конечен).

Однако, чтобы иметь полную классификацию многообразий с эквивалентными производными категориями когерентных необходимо дать описание эквивалентно-стей между ними. Эквивалентности всякий раз имеют геометрическую природу, то есть представляются некоторыми комплексами пучков на произведении.

Цель данной работы - доказать, что, на самом деле, любая эквивалентность является таковой, то есть задается объектом на произведении, и применить этот фундаментальный результат к изучению производных категорий когерентных пучков на гладких многообразиях и описанию их групп автоэквивалентностей.

Основные результаты диссертации кратко можно сформулировать следующим образом.

• Доказано принципиальное утверждение, позволяющее описывать гладкие проективные многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков, которое говорит, что любая эквивалентность между такими категориями может быть представлена объектом на произведении и это объект единственен с точностью до изоморфизма.

• Для КЗ поверхностей на полем комплексных чисел дан в терминах структур Ходжа критерий того, когда две КЗ поверхности имеют эквивалентные производные категории когерентных пучков.

• Для абелевых многообразий над произвольным полем приведено необходимое условие того, что абелевы многообразия имеют эквивалентные производные категории когерентных пучков и доказано, что над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 это условие является достаточным.

• Для абелевых многообразий над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 полностью описана группа автоэквивалентностей для производной категории когерентных пучков.

• Приведен пример бирадионально изоморфных (но не изоморфных) многообразий, которые имеют эквивалентные производные категории когерентных пучков.

Теперь опишем содержание и структуру диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

В первой главе вводятся основные понятия и формулируются факты, которые будут использоваться в диссертации.

В первом параграфе дается определение триангулированной категории и вводится понятие точного функтора между триангулированными категориями. Далее доказывается, что функтор, сопряженный к точному функтору, также является точным. Затем обсуждаются функторы Серра в триангулированных категориях и вводится понятие локализации триангулированной категории по полной подкатегории. В заключении дается общее определение производного функтора для локализованных триангулированных категорий.

Во втором параграфе напоминается определение гомотопической и производной категорий от абелевой категории, и обсуждаются свойства производных функторов.

В третьем параграфе обсуждаются свойства производных категорий когерентных и квазикогерентных пучков на схемах, а также напоминаются основные функторы между этими категориями такие как прямой и обратный образы, тензорное произведение, внутренний Нот .

Вторая глава посвящена ограниченным производным категориям когерентных пучков на гладких многообразиях и их основным свойствам. Ограниченная производная категория когерентных пучков D6(X) является основным объектом данной работы. Любой морфизм / : X —> У между гладкими проективными многообразиями индуцирует два точных функтора: функтор прямого образа R/* : D6(X) —У D6(Y) и функтор обратного образа L/* : Db(y) —^ Db(X), и эти функторы сопряжены. Кроме того, каждый объект £ G D6(X) задает точный функтор тензорного умножения ё £ : Db(X) —► ВЬ(Х) .

Используя эти стандартные производные функторы, в первом параграфе вводится новый большой класс точных функторов между производными категориями D6(X) и БЬ(У) .

Пусть X и У - два гладких проективных многообразия над полем к размерности пит соответственно. Рассмотрим декартово произведение X х У и обозначим через р и q проекции X х У на X и соответственно на У

I A IxF Л У.

Каждый объект £ € D6(X х У) задает точный функтор Ф^ из производной категории D6(X) в производную категорию DЬ(У) , который определяется следующей формулой (2.2):

Каждый функтор такого вида имеет левый и правый сопряженные функторы. В Лемме 2.1.1 даются формулы для сопряженных функторов, а в Предложении 2.1.2 описывается закон композиции для данного класса точных функторов.

Таким образом, каждому гладкому проективному многообразию сопоставляется производная категория когерентных пучков на нем, а с каждым объектом х У) на произведении двух таких многообразий связывается точный функтор Фг из триангулированной категории D6(X) в триангулированную категорию D6(F) . Исследованию этого соответствия и посвящена данная работа.

Более точно, центральными вопросами для понимания данного соответствия являются следующие два:

1) Когда производные категории когерентных пучков двух разных гладких проективных многообразий эквивалентны как триангулированные категории?

2) Какова группа точных автоэквивалентностей производной категории когерентных пучков для данного фиксированного многообразия X ?

Некоторые результаты в этом направлении были уже известны. К примеру, существует исчерпывающий ответ на данные вопросы в случае, когда канонический или аитиканонический пучок многообразия является обильным.

Теорема 2.1.3([10]) Пусть X - гладкое проективное многообразие, канонический (или антиканонический) пучок которого обилен. Предположим, что категория D6(X) эквивалентна как триангулированная категория производной категории Db(X') для некоторого гладкого алгебраического многообразия X'. Тогда многообразие X' изоморфно X .

В этой ситуации можно описать и группу точных автоэквивалентностей. Для любого многообразия X группа точных автоэквивалентностей Auteq D^A") всегда содержит подгруппу G(X), которая есть полупрямое произведение нормальной подгруппы G\ = Pic(A')®Z и подгруппы Cr2 = AutA', действующей естественным образом на G\. При этом включении G(X) С Auteq Db(AT) образующая Z переходит в функтор сдвига [1] , линейное расслоение С G Pic(AT) - в функтор ®С. а автоморфизм / : X —>• А" индуцирует автоэквивалентность R/* .

В условии теоремы 2.1.4, группа точных автоэквивалентностей Auteq Db(AT) совпадает с G{X) = Aut X к (Pic(X) © Z).

Во втором параграфе второй главы приводится пример двух многообразий, имеющих эквивалентные производные категории когерентных пучков. Данный пример интерес тем, что эти два многообразия бирационально изоморфны и связаны преобразованием типа флоп. В частности, это показывает, что условие обильности канонического (или антиканонического) класса в Теореме 2.1.3 не может быть ослаблено.

В начале второго параграфа напоминаются основные результаты из работы [37], в которой описано поведение производной категории когерентных пучков при раздутии гладкого подмногообразия.

Используя это описание производной категории раздутия, исследуется поведение производной категории при простейших преобразованиях типа флип и флоп.

Пусть Y - гладкое подмногообразие в гладком собственном алгебраическом многообразии X такое, что Y = Pfc с нормальным расслоением Nx/y — оу{—1)®(г+1) . Будем предполагать, что I < к .

Обозначим через X раздутие X с центром вдоль У . В этом случае исключительный дивизор Y изоморфен произведению проективных пространств Р* х Р1 . Кроме того, в данной ситуации имеется следующее описание нормального пучка к Y в X . Существует сдутие X такое, что Y проектируется на второй сомножитель Р' . Рассмотрим диаграмму:

Y (1)

Y X

Бирациональное отображение fl : X —> Х+ является простейшим примером преобразования типа флип-флои и есть флип при I < к и флоп при I = к .

Основная теорема этого параграфа связывает производные категории когерентных пучков на многообразиях X и Х+ .

Теорема 2.2.9 Пусть С - линейное расслоение на X . В обозначения, введенных выше, функтор

R7r,(L7r+*(-) ® С) : D6(X+) —* D6(X) является вполне строгим.

Третья глава является центральной главой данной работы. Вся она целиком посвящена доказательству того факта, что любая эквивалентность между производными категориями когерентных пучков на гладких проективных многообразиях представляется объектом на произведении.

Это утверждение является основополагающим для изучения производных категорий когерентных пучков. Без него было бы невозможно описывать все эквивалентности между производными категориями когерентных пучков и отвечать на вопрос, когда два разных многообразия имеют эквивалентные производные категории когерентных пучков.

Существует гипотеза, что все функторы представляются объектами на произведении. Однако, доказательство этой гипотезы до сих пор не известно. Тем не менее, частный случай этой гипотезы имеет место. А именно, если функтор является вполне строгим и имеет сопряженный, то он может быть представлен объектом на произведении.

Теорема 3.2.1 Пусть F - точный функтор из категории DЬ(М) в категорию Db(X) , где М и X - гладкие проективные многообразия. Предположим, что F является вполне строгим и имеет правый (или, соответственно, левый) сопряженный функтор. Тогда существует объект £ € DЬ(М х X) такой, что функтор F изоморфен функтору Фе , определенному по правилу (3.6), и этот объект однозначно определен с точностью до изоморфизма.

Отсюда мы немедленно получаем, что всякая эквивалентность представляется объектом на произведении, так как любая эквивалентность имеет сопряженную, которая совпадает с квазиобратным функтором.

Теорема 3.2.2 Пусть X и М - два гладких проективных многообразия. Предположим, что точный функтор F : D6(X) —DЬ(М) является эквивалентностью триангулированных категорий. Тогда существует единственный с точностью до изоморфизма объект £ Е D'(I х М) такой, что функтор F изоморфен функтору Ф£.

В первом параграфе третьей главы дается определения диаграмм Постникова в триангулированной категории и их сверток, и описываются условия на диаграммы Постникова, при которых можно гарантировать существование свертки и ее единственность.

Во втором параграфе формулируются основные результаты данной главы, вводится определение ограниченного функтора, и доказывается, что функтор между ограниченными производными категориями когерентных пучков на гладких многообразиях является ограниченным.

Третий параграф целиком посвящен построению объекта £ е D''(X х М) , который гипотетически должен представлять заданный вполне строгий функтор F : Db(X) —у DЬ(М) . Для этого сначала многообразие М вкладывается в проективное пространство, затем, используя резольвенту диагонали для проективного пространства, строится объект £' на произведении Р х X . Во второй части этого

параграфа, показывается, что построенный объект £' на самом деле получается из некоторого объекта £ на М х X при естественном вложении J : М хХ РхХ .

В четвертом параграфе приводится доказательство того, что функторы F и Ф^ изоморфны. Для этого, вводится понятие обильной последовательности в абе-левой категории, и, используя наличие такой последовательности, последовательно по длине комплекса строится естественное преобразование между функторами F и Ф^ . В заключении показывается, что данное преобразование является изоморфизмом.

Пятый параграф является приложением. В нем обсуждается кошулевость алгебры Веронезе для очень обильного пучка С на гладком проективном многообразии. Результаты этого параграфа являются вспомогательными и используются в третьем параграфе при построении объекта на произведении. Они вынесены в отдельный параграф из-за своего объема и для того, чтобы не перегружать главную конструкцию данной главы.

В четвертой главе изучаются производные категории когерентных пучков на КЗ поверхностях.

В первом параграфе для каждой КЗ поверхности над полем комплексных чисел вводятся решетка Мукаи и решетка трансцедентных циклов.

Одним из основных инвариантов поверхности типа КЗ является ее группа Нерона-Севери NS(5') С Н2(S,Z) , которая в этом случае совпадает с группой Пи-кара Pic(S') . Ранг решетки NS(S') не превосходит h1'1 = 20 . Обозначим через T.s решетку трансцедентных циклов, которая по определению есть ортогональное дополнение к решетке Нерона-Севери NS(5") во вторых когомологиях Н2(5', Z).

На решетке когомологий H*(S', Z) определим симметрическую билинейную форму по правилу и, u')=r-s' + s-r'-a-a'e H4(S, Z) ^ Z для всякой пары и = (г, a, s),u'= (г', а\ s') е Н°(5, Z)®H2{S, Z)©H4(S, Z) . Решетку когомологий Н* (5, Z) с этой билинейной формой ( ,) назовем решеткой Мукаи и обозначим через Н(5, Z) .

На решетках Н(5, Z) и Т5 имеются естественные структуры Ходжа. В данном случае под структурами Ходжа мы понимаем то, что в пространствах H(S', С) и Т5 ® С зафиксированы одномерное подпространство H2'°(S') .

Определение 4.1.1 Пусть Si и 5*2 - две КЗ поверхности. Мы скажем, что их решетки Мукаи (соотв. решетки трансцедентных циклов) Ходжево изомет-ричны, если существует изометрия между ними, которая переводит одномерное подпространство Н2'0^) в

Во втором параграфе дается критерий того, когда производные категории когерентных пучков на двух КЗ поверхностях эквивалентны как триангулированные категории. Доказательство этого критерия основывается на том, что любая эквивалентность может быть представлена объектом на произведении. Главная теорема этой главы говорит следующее.

Теорема 4.2.1 Пусть Si и 52 - две гладкие проективные КЗ поверхности на полем комплексных чисел С . Тогда производные категории когерентных пучков Db(S'i) и D^S^) эквивалентны как триангулированные категории тогда и только тогда, когда существует, Ходжева изометрия / : H(Si,Z) H(S2,Z) между решетками Мукаи поверхностей Si и S2 ■ Эта теорема имеет и другой вариант.

Теорема 4.2.4 Пусть Si и S2 - две гладкие проективные КЗ поверхности над полем С. Тогда производные категории когерентных пучков Db(S'i) и D6(S<2) эквивалентны как триангулированные категории тогда и только тогда, когда существует Ходжева изометрия /т : Ts! —t Ts2 между решеткам,и трансцедентных циклов поверхностей Si и S2 ■

Таким образом, для КЗ поверхностей получается полный ответ на вопрос, когда производные категории когерентных пучков эквивалентны.

В пятой главе изучаются производные категории когерентных пучков на абеле-вых многообразиях и их группы автоэквивалентностей.

Пусть А - абелево многообразие и А - двойственное абелево многообразие. В работе [33] было доказано, что производные категории когерентных пучков D&(A) и D6(yl) эквивалентны, и эквивалентность, которая называется преобразованием Фурье-Мукаи, может быть задана с помощью линейного расслоения Пуанкаре Va на произведеиии А х А по следующему правилу

F a® p\{F)).

Эта конструкция Мукаи была обобщена в статье [42] следующим образом.

Рассмотрим два абелевых многообразия А и В , и изоморфизм / между абе-левыми многообразиями А х А и В х В . Запишем / в матричном виде х z w i где х - гомоморфизм из А в В , у - из А в В,и так далее. Мы назовем его изометричным, если обратный к / имеет следующий вид:

Определим множество U(AxA, ВхВ) как подмножество в Iso(AxA, ВхВ) состоящее из изометричных изоморфизмов /. Если В = А , то это множество будем обозначать U(AxA) . Отметим, что U(AxA) является подгруппой в Aut(AxA) .

Второй параграф посвящен доказательству следующей теоремы.

Теорема 5.2.19 Пусть А и В - два абелевых многообразия над полем к . Если производные категории когерентных пучков Db(A) и D6(.B) эквивалентны как триа,нгулированные категории, тогда между А х А и ВхВ существует изометричный изоморфизм.

Доказательство существенно опирается на Теорем}- 3.2.2 из главы 3, которая говорит, что любая точная эквивалентность между производными категориями когерентных пучков гладких проективных многообразий может быть представлена объектом на произведении.

Представляя эквивалентности объектами на произведении, строится отображение из множества всех точных эквивалентностей между Db(A) и DЬ(В) в множество изометричных изоморфизмов из Ах А в ВхВ. Далее мы показывается, что это отображение функториальио. В частности, получается гомоморфизм из группы точных автоэквивалентностей Auteq ~Db(A) в группу U(AxA) изометричных автоморфизмов многообразия А х А .

Как следствие из Теоремы 5.2.19 получаем, что существует только конечное число неизоморфных абелевых многообразий, производные категории которых эквивалентны D6(A) для заданного абелева многообразия А

Следствие 5.2.20 Для любого абелева многообразия А существует только конечное число неизоморфных абелевых многообразий, производные категории когерентных пучков которых эквивалентны категории Dfc(yl) (как триангулированные категории).

В третьем параграфе более подробно изучается построенный ранее гомоморфизм групп Auteq(D6(X)) —> U(A х А) и описывается ядро этого гомоморфизма, которое оказывается изоморфно прямой сумме Z и группы к -точек многообразия А х А (Предложение 5.3.3 ). Технически это описание опирается на тот факт, что объект на произведении абелевых многообразий, задающий эквивалентность, на самом деле является пучком с точностью до сдвига в производной категории (Предложение 5.3.2 ). Это утверждение ни в коем случае не является общим фактом. Оно, к примеру, не верно для КЗ поверхностей, но в случае абелевых многообразий дает ключ к описанию группы автоэквивалентностей.

В последнем четвертом параграфе, в предположении, что основное поле алгебраически замкнуто и char (к) = 0 , доказывается утверждение обратное к утверждению Теоремы 5.2.19 . Доказательство основывается на фактах из статьи [34], в которой описываются полуоднородные расслоения на абелевых многообразиях. Поэтому в начале параграфа напоминаются необходимые нам в дальнейшем результаты из [34]. Затем приводится конструкция того, как по изометричному изоморфизму / : А х А —> В х В можно построить объект £ на произведении А х В такой, что он задает эквивалентность производных категорий.

Как следствие получаем критерий того, когда два абелевых многообразия имеют эквивалентные производные категории когерентных пучков.

Теорема 5.4.13 Пусть А и В - два абелевых многообразия над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 . Тогда ограниченные производные категории когерентных пучков D6(.A) и ТЭЬ(В) эквивалентны как триангулированные категории тогда и только тогда, когда существует изометричный изоморфизм f : Ах А^ В х В.

Более того, в этом случае получается следующее описание для группы автоэквивалентностей производной категории.

Теорема 5.4.14 Пусть А абелево многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 . Тогда группа точных автоэквивалентностей производной категории AuteqDfc(yl) может быть включена в следующую короткую точную последовательность групп:

О —у Z е {А х А)к —> Auteq Б6(Л) —>■ U(A х А) —> 1.

В заключении четвертого параграфа дается точное описание центрального расширения U (Ах А) с помощью Z и дается формула для 2-коцикла, который задает это расширение.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37],[38], [40]. Пример из второго параграфа второй главы взят из работы [9].

1. М. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier, Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas, SGA4, Lecture Notes in Math, v.269.,v.270,v.305.

2. Backelin J., On the rates of growth of the homologies of Veronese subring, Lecture Notes in Math., vol.1183, Springer-Verlag, 1985.

3. Бейлинсон А. А., Когерентные пучки на P™ и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т. 12, N3 (1978) 68-69.

4. Бернштейн И., Гельфанд И., Гельфанд С., Алгебраические векторные расслоения на Р™ и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т.12, N3 (1978) 66-67.

5. Beilinson A., Bernstien J., Deligne P., Faisceaux pervers, Asterisque 100 (1982).

6. P. Berthelot, A. Grothendieck, L. Illusie, Theorie des intersections et theoreme de Riemann-Roch, SGA6, Lect. Notes in Math., v.225, Springer, Heidelberg, 1971.

7. Бондал А., Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.53, N1 (1989) 25-44.

8. Бондал А., Капранов М., Представимые функтюры, функторы Серра, и перестройки, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.53, N6 (1989) 1183-1205.

9. Bondal A., Orlov D., Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties, Max Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1995, p.55.

10. Bondal A., Orlov D., Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences, Compositio Mathematica, 125 (2001) 3, 327-344.

11. Bridgeland Т., Equivalences of triangulated categories and Fourier-Mukai transforms, Bull. London Math.Soc., v.31, N1 (1999) 25-34.

12. Bridgeland Т., Flops and derived categories, preprint math.AG/0009053.

13. Deligne P., Cohomologie a supports propres, Expose XVII, SGA 4, Lect. Notes in Math, v.305 (1973), 252-480.

14. Габриель П., Цисман M., Категории частных и теория гомотопий, Изд. "Мир", Москва, 1971.

15. Гельфанд С. И., Манин Ю. И., Методы гомологической алгебры. Введение в теорию когомологий и производных категорий, Изд. "Наука", 1988.

16. Golyshev V., Lunts V., Orlov D., Mirror symmetry for abelian varieties, Journal of Algebraic Geometry, v.10 (2001) 433-496.

17. Grothendieck A., Sur quelques points d'algebre homologique, Tohoku Math. J.,v.9 (1957) 119-221.

18. Grothendieck A., Dieudonne J., Elements de geometne algebrique, Publications Math. I.H.E.S, N4,8,11,17,20,24,28,32 (1961-1967).

19. Gruson L., Raynaud M., Cnteres de platitude et de projectivite, Inventiones Math., 13 (1971), 1-89.

20. Hartshorne R., Residues and duality, Lecture Notes in Math., vol.20, Springer-Verlag, 1966.

21. Inamdar S. P., Mehta V. В., Frobenius splitting of Schubert varieties and linear syzygies, American Journal of Math., vol.116, N6 (1994), pp.1569-1586.

22. Капранов M., Производная, категория когерентных пучков на многообразии Гроссмана, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.48, N1 (1984) 192-202.

23. Капранов М., Производная категория когерентных пучков на квадрике, Функц. Анализ и его Прил., т.20, N2 (1986) 67.

24. Kapranov М., On the derived categories of coherent sheaves on some homogenious spaces, Invent. Math.,v.92, N2 (1988) 479-508.

25. Orlov D., Equivalences of derived categories and, КЗ surfaces, Journal of Math. Sciences, Alg. geom.-5, v.85, №5, (1997) 1361-1381.

26. Orlov T).,Quasicoherent sheaves in commutative and noncommutative geometry, Max Planck Institut fur Mathematik, Bonn. 1999, 16 p.

27. Орлов Д., Производные категории когерентных пучков на абелевых многообразиях и эквивалентности между ним,и, Известия РАН, Сер.Матем., т.66, N3 (2002) 131-158.

28. Nikulin V. V., Integral symmetric bilinear forms and some of their applications, English trans., Math. USSR Izvestia, v.14 (1980), pp.103-167.

29. Polishchuk A., Symplectic biextensions and generalization of the Fourier-Mukai transforms, Math. Research Letters , v.3 (1996), 813-828.

30. Polishchuk A., Biextensions, Weil representations on derived categories, and theta-functions, Ph.D. Thesis, Harvard University, 1996.

31. Thomason R., Trobaugh Т., Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories, The Grothendieck Festschrift, v.Ill, Birfhauser (1990) 247-435.

32. Verdier J. L., Categories derivees, SGA 4 1/2, Lecture Notes in Math., v.569, Springer-Verlag, 1977.Отдел Алгебры, Математический Институт им. Стеклова РАН, ул. Губкина 8, Москва, 117966 Россия.