Категории Фукаи, модели Ландау-Гинзбурга и гомологическая зеркальная симметрия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 512.66

ЕФИМОВ Александр Иванович

4847832

КАТЕГОРИИ ФУКАИ, МОДЕЛИ ЛАНДАУ-ГИНЗБУРГА И ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

2 6 МАЙ 2011

4847832

Работа выполнена в Математическом институте РАН им. В.А. Стеклова

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, ведущий научный сотрудник МИ АН,

Д.О. Орлов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук,

Ю.Г. Прохоров

доктор физико-математических наук,

Н.А. Тюрин

Ведущая организация: Санкт-Петербургское Отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 16 июня 2011 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 при Математическом институте РАН им. Стеклова по адресу:

Москва 119991, ул. Губкина д.8, Математический институт РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им. Стеклова.

Автореферат разослан 16 мая 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 при МИАН, доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Гомологическая зеркальная симметрия — это гипотетическая категорная интерпретация зеркальной симметрии, предложенная М. Копцевичем [Kol]. Подход состоит в том, чтобы связать с симплектической и алгебраической стороной некоторые триангулированные категории (с Аоо -оснащением), и затем доказать эквивалентность этих категорий.

Изначально, она была предложена Концевичем [Kol] для многообразий Калаби-Яу. Пусть X — проективное алгебраическое многообразие Калаби-Яу, а X — зеркально симметричное симплектическое многообразие. Тогда с многообразием X можно связать производную категорию когерентных пучков Db(X). Замечательная конструкция К. Фукай [F] связывает с симплекти-ческим многообразием X ( Z или Z/2 )-градуированную А^- категорию. Ее объекты — это лагранжевы подмногообразия с некоторыми дополнительными структурами. В этом случае гипотеза утверждает эквивалентность

Db(X) D*{T(X)),

где D*(J-(X)) — категория совершенных комплексов над Ах -категорией •F(X). В такой формулировке она была доказана в некоторых частных случаях [AS, PZ, Se3].

Вскоре, был предложен аналог этой гипотезы для многообразий Фано. В этом случае зеркалом является модель Ландау-Гинзбурга — гладкое алгебраическое многообразие с регулярной функцией. Частные случаи гипотезы были доказаны в работах [АК01], [АК02]. Более общо, ожидается, что можно также рассматривать многообразия с эффективным анти-каноническим дивизором [Ан].

Кацарков [Ka, ККР, KKOY] предложил обобщение гомологической зеркальной симметрии, которое включает некоторые многообразия общего типа. Зеркалом к такому многообразию является модель Ландау-Гинзбурга. Одно па-правление гипотезы Кацаркова было доказано Зайделем для кривой рода 2 [Sel],

Строго говоря, если М — это симплектическое многообразие, то Р(М) — это не настоящая Л«,- категория, так как пространства морфизмов определены только для трансверсальных пар лагранжевых подмногообразий, а высшие умножения определены только для трансверсальных последовательностей лагранжевых подмногообразий. На самом деле, Т{М) — это -пред-категория в смысле Концевича и Сойбелъмана [КЭ]. Различные версии и аспекты Лос- пред-категорий Фукай систематически изложены в книге [Зе2].

Для того, чтобы доказать гипотезу о гомологической зеркальной симметрии в некоторых частных случаях, следует сначала заменить А^- пред-категорию Фукай на квази-эквивалептную настоящую категорию. Ясно, что каждая Л,»- категория (со слабыми тождественными морфизмами) может рассматриваться также как Апред-категория. Концевич и Сойбельман [КБ) сформулировали естественную гипотезу, согласно которой (над произвольным градуированным коммутативным кольцом) классы квази-эквивалентности А-пред-категорий находятся в биекции с классами квази-эквивалентности А^ -категорий со слабыми тождественными морфизмами.

Цель работы — доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана для существенно малых Ах -(пред-)категорий над произвольным полем, а также доказательство гипотезы о гомологической зеркальной симметрии для кривых рода не меньше 3, воспринимаемых как симплектические многообразия.

Методы исследования. В работе используются методы гомологической алгебры, алгебраической геометрии и симплектической геометрии — теория когерентных пучков на алгебраических многообразиях, теория Фукай на симплек-тических многообразиях, теория оснащенных триангулированных категорий, теория Муавра-Картана.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Доказаны две гипотезы, связанные с гомологической зеркальной симметрией. Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

• Доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана о биекции между классами эквивалентности существенно малых А-бесконечность пред-

категорий над полем, и классами квази-эквивалентности существенно малых А-бесконечность категорий со слабыми (или сильными) тождественными морфизмами.

• Построение А-бесконечпость пред-категорий скрученных комплексов для А-бесконечпость пред-категорий. Доказательство инвариантности этой конструкции относительно квази-эквивалептностей.

• Доказательство гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия.

• Доказательство теоремы о восстановлении для гиперповерхностпых особенностей: формальный тип особенности (т.е. многочлен с точностью до формальной замены переменных) восстанавливается по классу квазиизоморфизма DG алгебры эндоморфизмов структурного пучка особой точки в триангулированной категории особенностей.

Научная значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представленные и используемые в работе, имеют широкий спектр применения: в алгебраической и симплектической геометрии, гомологической алгебре, в математической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались как на российских научно-исследовательских семинарах и конференциях (семинар "Геометрия алгебраических многообразий" под руководством Д.Б. Каледина и А..Г. Кузнецова в МИАН, семинар А.И. Бондала в МИАН, семинар отдела алгебры МИАН под руководством И.Р. Шафаревича, семинар В.А. Псковских в МГУ, летняя школа-конференция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа при ЯГПУ (Ярославль)), так и на международных (Workshop on Homological Mirror Symmetry, Miami, Workshop on HMS and Hodge theory, Vienna, Conference on Tropical Geometry and Mirror Symmetry, San-Diego, Workshop "D-branes and homological mirror symmetry", Vienna, Second Latin Congress on Symmetries in Geometry and Physics, Curitiba).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 36 наименований. Объем диссертации - 89 страниц.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Е1], [Е2].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

В первой главе вводятся основные понятия и формулируются факты, которые будут использоваться в диссертации.

Первый параграф посвящен предварительным сведениям об Л,*, -(пред)-категориях. Мы определяем А^- категории, сильные и слабые тождественные морфизмы, квази-эквивалентности, и -Л«,- пред-категории, следуя [КБ].

Второй параграф посвящен теории Муавра-Картана. Мы напоминаем уравнение Муавра-Картана, про-иильпотентные БС алгебры Ли, действие калибровочной группы на решениях уравнения Муавра-Картана в про-нильпотентных Вв алгебрах Ли. Сформулирован важный результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений уравнения Муавра-Картана относительно фильтрованных Ьт -квази-изоморфизмов про-нильпотентных БС алгебр Ли. Также теория Муавра-Картана проиллюстрирована на примере описания минимальных А-структур па градуированной ассоциативной алгебре.

В третьем параграфе мы напоминаем теорему формальности Концевича [Ко2] в нужной нам формулировке. В частности, мы напоминаем БО алгебры Ли поливекторных полей и коцепей Хохшильда.

Вторая глава посвящена доказательству гипотезы Концевича-Сойбельмана, а также конструкции скрученных комплексов для А^ -категорий.

В первом параграфе мы доказываем следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть к — поле. Тогда классы квази-эквивалентности существенно малых А,*,- пред-категорий над к находятся в биекции с классами

квази-эквивалентности существенно малых Ах- категорий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.

Мы ограничиваемся А(пред-)категориями над полем, так как нам потребуется переходить к минимальным (пред-)категориям (т.е. с ту = 0 ). Далее, мы ограничиваемся существенно малыми А(пред-)категориями по чисто теоретико-мпожественной причине: нам потребуется иметь дело с кого-мологиями Хохшильда градуировашгых (пред-)категорий.

Доказательство устроено следующим образом. Вначале мы переходим от существенно малых (пред-)категорий к малым. Далее, мы переходим от малых к малым минимальным Ах- (пред-) категориям.

Затем, мы вводим когомологии Хохшильда для градуированных пред-категорий. Грубо говоря, препятствия к построению Аструктур и Аоо- морфизмов лежат в этих пространствах когомологий.

Далее, мы формулируем и доказываем основную лемму об инвариантности когомологий Хохшильда относительно квази-эквивалеитностей градуированных категорий. Это утверждение нетривиально в отличие от случая обычных Бв и Ах- категорий, и является, фактически, ключевым местом в доказательстве теоремы 2.1.2. Здесь мы используем язык локальных систем на симплициальпых множествах.

Затем, мы вводим множества классов эквивалентности минимальных Лоо- структур па градуированных пред-категориях, и развиваем простую теорию препятствий для поднятия Л,*,- структур и Агомотопий. После этого мы применяем основную лемму, чтобы доказать инвариантность множества классов эквивалентности минимальных Аструктур на градуированных пред-категориях. В итоге, мы доказываем теорему 2.1.2, используя результат об инвариантности.

Второй параграф посвящен конструкции пред-триангулированной оболочки для А,»- пред-категорий над произвольным градуированным коммутативным кольцом. Определение в целом аналогично случаю Аоо -категорий. Мы проверяем, что эта конструкция корректно определена и инвариантна относительно квази-эквивалентностей. Для этого вводится группоид Муавра-Картана для

нильпотентных Аж -алгебр (аналогично работе [EL02]), строится теория препятствий, и доказывается теорема о его инвариантности относительно фильтрованных Дх, -квази-изоморфизмов. В случае обычных А„ -категорий, мы получаем стандартные пред-триангулированпые оболочки, введенные в [ВК] для DG категорий, и обобщешяле на случай А^ -категорий в [Ко1].

Вторая глава посвящена в основном доказательству гомологической зеркальной симметрии для кривых рода не меньше 3, рассматриваемых как сим-плектические многообразия. Также доказана теорема о восстановлении для гиперповерхностных изолированных особенностей.

Мы воспринимаем кривые рода д > 3 как симплектические многообразия, и связываем с ними категории Фукай. Далее, модели Ландау-Гинзбурга рассматриваются алгебро-геометрически. Ассоциированные с ними категории — это категории особенностей особых слоев [Orí].

Пусть М — симплектическая компактная ориентированная поверхность рода д > 3. Зеркально симметричная модель Ландау-Гинзбурга (LG для краткости) W : X —> С имеет размерность три.

Многообразие X описывается следующим образом. Пусть К С SL{3, С) — циклическая подгруппа, порожденная диагональной матрицей diag(£, где £ = exp(^fj) — примитивный корень (2д + 1) -й степени из 1. Тогда X — это каноническое крепантное разрешение фактора С3/К :

X = HilbK(C3) -+ с3/к.

Более явно, многообразие X является торическим [CR], и задается следующим веером. Возьмем N С R3, N = I? + Z • (1,1,2д — 1). Далее, если мы возьмем веер Е, состоящий из положительного октанта и его граней, то имеем = V/K . Чтобы описать X, следует подразбить веер Е. А именно, возьмем веер Е', состоящий из конусов, порожденных

9 9 (0.0.1)

(Т-ГТ^'к' 29 +1 - 2к)- + к + г> 2s-l-2fc), (0,1,0)), 0 < к < д -1;

¿g + 1 2д + 1

(0.0.2)

(2^ТТ(э'9'(1' 0)'(0,1,10))' {ааз)

и всех их граней (см. рисунок 1 для случая д = 3 ). Тогда X = Х^/.

(0,1,0)

\\!

\ , ч\

\ \

\ V X N

N

(0,5,1) /

; [1,0

Рисунок 1.

Многочлен

IV = -г^з + + + г32э+1 € С[гь г2, г3]

является К'-инвариантным, а значит, определяет функцию на С3/К, и па X. Ьв модель (X, И7) зеркально симметрична кривой рода д. Единственный особый слой IV па X - это Хо =: Н. Легко видеть, что Я является объединением (д + 1) неприводимых компонент. Можно проверить, что опи имеют простые нормальные пересечения.

Мы обозначаем через Р(М) Ах -категорию Фукай поверхности М, и через 0'{3:{М)) категорию совершенных комплексов над ^(М). Далее, пусть Бвд{Н) — категория особенностей поверхности Н , и обозначим через Оад(Н) ее карубиеву оболочку. Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 3.8.3. Существует эквивалентность £>а9(#) = 01ГТ(М).

Первый параграф посвящен техническому результату о решениях уравнения Муавра-Картана в (модифицированной) Бв алгебре Ли поливекторных полей. Доказано, что если элемент Муавра-Картана удовлетворяет некоторому

условию, то этим условием он определен однозначно с точностью до эквивалентности.

Второй параграф посвящен похожему техническому результату для Эв алгебры Ли коцепей Хохшильда внешней алгебры. Здесь используется результат предыдущего параграфа и теорема формальности Копцевича. Класс решений Муавра-Картана, о котором идет речь в этом параграфе, затем возникает из Лм -структур на обеих сторонах зеркальной симметрии.

Третий параграф посвящен напоминанию теоремы Орлова [Ог1] об эквивалентности между гомотопической категорией матричных факторизаций и триангулированной категорией особенностей. Здесь также получается результат о порождении категории изолированной особенности структурным пучком особой точки (как следствие результатов Орлова [Ог2]), и, как следствие, описание карубиевой оболочки категории изолированной особенности как категории совершенных комплексов над соответствующей Б (2/2) -в алгеброй (по теореме Келлера [Ке]).

Четвертый параграф посвящен более детальному описанию О (Ъ/2) -в алгебры из предыдущего параграфа. Здесь мы описываем Ах -структуру на ее когомологиях (которые отождествляются с внешней алгеброй) в терминах суммирований по деревьям, и доказываем, что в интересующем нас случае мы получаем в точности ту Лоо -структуру, о которой шла речь во втором параграфе.

Пятый параграф посвящен следующей теореме о восстановлении.

Теорема 0.1.4. Пусть к — поле характеристики 0, п > 1, и V = й

к". Пусть IV = ^ £ — ненулевой многочлен, где У/{ €

¿=з

8ут'(Уу). Тогда Ш может быть восстановлен, с точностью до формальной замены переменных, по классу квази-изоморфизма (2/2)- <3 алгебры Ву/ — 1Шоп1£),г(и'-1(о))(Оо,Оо), О (Ж/2)- б алгебры эндоморфизмов Оо в £)8р(Ил-1(0)), вместе с отождествлением Н'(В\у) — Л(К). Кроме того, формальная замена переменных имеет вид

+ 0(г2). (0.0.4)

В доказательстве используется теорема формальности Концевича и результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений Муавра-Картапа.

В шестом параграфе мы описываем две разные модели Ландау-Гинзбурга, которые обе являются зеркально симметричными к кривой рода д > 3, и получаем результат об эквивалентности ассоциированных категорий (как следствие производного соответствия Маккея [ВКИ], [ВР], Это, вместе с резуль-

татами четвертого параграфа, дает описание (карубиевой оболочки) категории особенностей из теоремы 3.8.3.

Седьмой параграф посвящен целиком категориям Фукай кривых рода > 3. Сначала мы даем необходимые определения. Затем, мы формулируем достаточное условие для того, чтобы несколько объектов порождали другой объект, а также для того, чтобы они порождали всю категорию Ож7:{М). Затем, мы вводим дополнительные 2 -градуировки па 2/2 -градуированной Л,*, -категории так что высшие умножения имеют однородные компоненты только степеней определенного вида. Наконец, мы вводим А„ -алгебру эндоморфизмов вложенной кривой на факторе римановой поверхности по действию конечной группы. Этот формализм оказывается полезен при вычислении нужной нам Ах -структуры в Ах -категории Фукай кривой рода д > 3.

Восьмой параграф посвящен описанию категории Фукай кривой, которое получается в итоге точно таким же, как и для категории особенностей шестом параграфе. А именно, мы выбираем в качестве генератора в 0*Т(М) прямую сумму следующих (2д + 1) объектов. Удобно представить кривую М рода д> 3 как 2-листное накрытие СР1, разветвленное в (2д+2) точках: корнях (2д + 1)- й степени из единицы и в 0. Возьмем кривые Ь\,..., ¿25+1, которые являются прообразами отрезков £2], £3],..., [£2в-1,С°], [С2®, С1] соответственно, где ( = ехр(^^). Частный случай д = 3 показан на рисунке 2.

• L7

U

Lb У

Рисунок 2.

Тогда Li ф • • • © ¿2S+i — это наш генератор. Для доказательства того, что он порождает категорию , используются достаточные условия из

предыдущего параграфа, а также результаты Мацумото [Ма].

Вычисление Ах -структуры сводится к фактор-орбиобразию с помощью формализма из предыдущего параграфа. Фактически, вычисление является комбинаторным, в стиле [АЬ]. В результате, мы получаем снова ту же самую Ах -структуру, что и в четвертом параграфе, а значит, и то же самое описание категории. Отсюда следует основная теорема второй главы.

В Аппендиксе доказывается технический результат: фильтрованный L^ -квази-изоморфизм про-нильпотентных DG алгебр Ли индуцирует биекцию на классах эквивалентности решений Муавра-Картапа.

Литература

[Ab] М. Abouzaid, On the Fukaya categories of higher genus surfaces, Adv.

Math., Volume 217, Issue 3, (2008), pp. 1192-1235.

[AuJ D. Auroux, Mirror symmetry and T-duality in the complement of an

anticanonical divisor, J. Gokova Geom. Topol. 1 (2007), 51-91.

[AKOl] D. Auroux, L. Katzarkov and D. Orlov, Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves, Invent. Math, v. 166 (2006), 537-582.

[AK02] D. Auroux, L. Katzarkov and D. Orlov, Mirror symmetry for weighted projective planes and their noncommutative deformations, Ann. of Math. (2), v.167 (2008), 3, 867-943.

[AS] M. Abouzaid, I. Smith, Homological mirror symmetry for the four-torus,

Duke Math. J. Volume 152, Number 3 (2010), 373-440.

[BP] V. Baranovsky, J. Pecharich, On equivalences of derived and singular

categories, Cent. Eur. J. Math., 8:1 (2010), 1-14.

[BK] А.И. Бондал, M.M. Капранов, Оснащенные триангулированные категории, Мат. Сб., 181:5 (1990), 669-683.

[BKR] Т. Bridgeland, A. King, and М. Reid, The McKay correspondence as an equivalence of derived categories, 14:3 (2001), pp. 535-554.

[CR] A. Craw and M. Reid, How to calculate A- Hilb C3, In Geometry of toric varieties, volume 6 of S.emin. Congr., pages 129-154. Soc. Math. France, 2002.

[El] А.И. Ефимов, Заметка о зеркальной симметрии для кривых, УМН,

65:5(395) (2010), 191-192.

[Е2] А.И. Ефимов, Доказательство гипотезы Концевича-Сойбельмана,

Матем. сб., 202:4 (2011), 65-84.

[ELOl] A. Efimov, V. Lunts, D. Orlov, Deformation theory of objects in homotopy and derived categories I: general theory, Adv. Math., 222 (2009), 2, 359-401.

[EL02] A. Efimov, V. Lunts, D. Orlov, Deformation theory of objects in homotopy and derived categories II: pro-representability of the deformation functor, Adv. Math., 224 (2010), 1, 45-102.

[EL03] A. Efimov, V. Lunts, D. Orlov, Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: abelian categories, Adv. Math., 226 (2011), 5, 3857-3911.

[F] K. Fukaya, Morse homotopy, Ax- category, and Floer homologies, in

Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology, Seoul National University, 1993.

[Ka] L. Katzarkov, Birational geometry and homological mirror symmetry. In Real and complex singularities, pages 176-206, World Sci. Publ., 2007.

[KKPJ L. Katzarkov, M. Kontsevich, T. Pantev, Hodge theoretic aspects of mirror symmetry, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics vol. 78 (2008), "From Hodge theory to integrability and TQFT: tt*-geometry", eds. Ron Y. Donagi and Katrin Wendland, 87-174.

[KKOY] A. Kapustin, L. Katzarkov, D. Orlov and M. Yotov, Homological mirror symmetry for manifolds of general type, Central European Journal of Mathematics 7(4), 571-605.

[Ke] B. Keller, Introduction to A-infinity algebras and modules, Homology Homotopy Appl. (electronic), 3(l):l-35, 2001.

M. Kontsevich, Horaological algebra of mirror symmetry, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, 1994), pages 120-139. Birkhäuser, 1995.

M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds I, Lett. Math. Phys., 66(3), 157-216, 2003.

M. Kontsevich and Y. Soibelman, Homological mirror symmetry and torus fibrations, In Symplectic geometry and mirror symmetry (Seoul, 2000), pages 203-263. World Sei. Publishing, River Edge, NJ, 2001.

M. Matsumoto, A simple presentation of mapping class groups in terms of Artin groups, Sugaku Expositions 15 (2002), no. 2, 223-236.

Д. О. Орлов, Триангулированные категории особенностей и D-браны в моделях Ландау-Гинзбурга, Алгебраическая геометрия: Методы, связи и приложения, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондепта РАН Андрея Николаевича Тюрина, Тр. МИАН, 246, Наука, М., 2004, 240-262.

D. Orlov, Formal completions and idempotent completions of triangulated categories of singularities, Advances in Mathematics, Volume 226 (2011), Issue 1 , Pages 206-217.

A. Polishchuk and E. Zaslow, Categorical mirror symmetry: the elliptic curve, Adv. Theor. Math. Phys., 2(1998), 443-470.

A. Quintero Velez, McKay correspondence for Landau-Ginzburg models, Commun. Number Theory Phys. 3 (2009), no. 1, 173-208.

P. Seidel, Homological mirror symmetry for the genus two curve, J. Algebraic Geom. Posted: January 26, 2010.

P. Seidel, Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory, Zürich Lect. in Adv. Math., European Math. Soc., Zürich, 2008.

P. Seidel, Homological mirror symmetry for the quartic surface, arXiv:math/0310414 (preprint).

0.1 Введение

1 Предварительные сведения об А^ -(пред)-категориях и теории Муавра-Картана

1.1 Предварительные сведения об А^ -(пред-)категориях.

1.1.1 Неунитальные А^ -алгебры и А^ -категории.

1.1.2 Тождественные морфизмы.

1.1.3 Дх, -пред-категории.

1.2 Теория Муавра-Картана для про-нильпотентных Б С алгебр Ли

1.3 Лоо -структуры и формальные поливекторные поля.

2 Доказательство гипотезы Концевича-Сойбельмана

2.1 Основная теорема.

2.1.1 От существенно малых к малым.

2.1.2 Минимальные модели.

2.1.3 Когомологии Хохшильда малых градуированных пред-категорий

2.1.4 Основная лемма.

2.1.5 Лоо- структуры на градуированной пред-категории.

2.1.6 Теорема инвариантности.

2.1.7 Доказательство основной теоремы.

2.2 Скрученные комплексы над Д^- пред-категориями.

2.2.1 Группоид Муавра-Картана и теорема инвариантности.

2.2.2 Корректность определения скрученных комплексов и их инвариантность относительно квази-эквивалентностей.

3 Гомологическая зеркальная симметрия для кривых рода д >

3.1 Классификационная лемма для поливекторных полей.

3.2 Классификационная теорема для А^ -структур.

3.3 Категории особенностей и матричные факторизации.

3.4 Минимальная А-модель для Ву/

3.5 Теорема о восстановлении

3.6 Эквивалентность двух ЬС моделей.

3.7 Общие сведения о категориях Фукай.

3.7.1 Определение.

3.7.2 Генераторы в категориях Фукай.

3.7.3 Дополнительные Ъ -градуировки.

3.7.4 Категории Фукай орбиобразий.

3.8 Категория Фукай кривой рода д > 3.

3.9 Аппендикс

Гомологическая зеркальная симметрия — это гипотетическая категорная интерпретация зеркальной симметрии, предложенная М. Концевичем [Ко1]. Подход состоит в том, чтобы связать с симплектической и алгебраической стороной некоторые триангулированные категории (с А^ -оснащением), и затем доказать эквивалентность этих категорий.

Изначально, она была предложена Концевичем [Ко1] для многообразий Калаби-Яу. Пусть X — проективное алгебраическое многообразие Калаби-Яу, а X — зеркально симметричное симплектическое многообразие. Тогда с многообразием X можно связать производную категорию когерентных пучков Оь(Х). Замечательная конструкция К. Фукай р] связывает с симплектическим многообразием X ( Ъ или Ъ/2 )градуированную Лоо- категорию. Ее объекты — это Лагранжевы подмногообразия с некоторыми дополнительными структурами. В этом случае гипотеза утверждает эквивалентность

Оь(Х) ^ Ож(Т(Х)), (0.1.1) где D~{!F(X)) — категория совершенных комплексов над Д» -категорией J-(X). В такой формулировке она была доказана в некоторых частных случаях [AS, PZ, Se3].

Вскоре, был предложен аналог этой гипотезы для многообразий Фано. В этом случае зеркалом является модель Ландау-Гинзбурга — гладкое алгебраическое многообразие с регулярной функцией. Частные случаи гипотезы были доказаны в работах [АК01], [АК02]. Более общо, ожидается, что можно также рассматривать многообразия с эффективным анти-каноническим дивизором [Аи].

Кацарков [Ka, ККР, KKOY] предложил обобщение гомологической зеркальной симметрии, которое включает некоторые многообразия общего типа. Зеркалом к такому многообразию является модель Ландау-Гинзбурга. Одно направление гипотезы Кацаркова было доказано Зайделем для кривой рода 2 [Sel].

Строго говоря, если М — это симплектическое многообразие, то JF(M) — это не настоящая А^- категория, так как пространства морфизмов определены только для трансверсальных пар лагранжевых подмногообразий, а высшие умножения определены только для трансверсальных последовательностей лагранжевых подмногообразий. На самом деле, Т(М) — это А-пред-категория в смысле Копцевича и Сойбельмана [KS]. Различные версии и аспекты А00- пред-категорий Фукай систематически изложены в книге [Se2].

Для того, чтобы доказать гипотезу о гомологической зеркальной симметрии в некоторых частных случаях, следует сначала заменить пред-категорию

Фукай на квази-эквивалентную настоящую Лоо- категрию. Ясно, что каждая Aqo- категория (со слабыми тождественными морфизмами) может рассматриваться также как А^- пред-категория. Концевич и Сойбельман [KS] сформулировали следующую естественную гипотезу.

Гипотеза 0.1.1. ([KS])Ilycmb к — градуированное коммутативное кольцо. Тогда классы квази-эквивалентности А^- пред-категорий над к находятся в биекции с классами квази-эквивалентности А^- категриий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

• Доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана о биекции между классами эквивалентности существенно малых A-бесконечность пред-категорий над полем, и классами квази-эквивалентности существенно малых А-бесконечность категорий со слабыми (или сильными) тождественными морфизмами.

• Построение А^- пред-категорий скрученных комплексов для Л«,- пред-категорий. Доказательство инвариантности этой конструкции относительно квази-эквивалентностей.

• Доказательство гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия.

• Доказательство теоремы о восстановлении для гиперповерхностных особенностей: формальный тип особенности (т.е. многочлен с точностью до формальной замены переменных) восстанавливается по классу квази-изоморфизма БС алгебры эндоморфизмов структурного пучка особой точки в триангулированной категории особенностей.

Теперь опишем содержание и структуру диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

В первой главе вводятся основные понятия и формулируются факты, которые будут использоваться в диссертации.

Первый параграф посвящен предварительным сведениям об А^ -(пред)-категориях. Мы определяем категории, сильные и слабые тождественные мор-физмы, квази-эквивалентности, и пред-категории, следуя [КБ].

Второй параграф посвящен теории Муавра-Картана. Мы напоминаем уравнение Муавра-Картана, про-нильпотентные БС алгебры Ли, действие калибровочной группы на решениях уравнения Муавра-Картана в про-нильпотентных Б О алгебрах Ли. Сформулирован важный результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений уравнения Муавра-Картана относительно фильтрованных Ьоо -квази-изоморфизмов про-нильпотентных БС алгебр Ли. Также теория Муавра-Картана проиллюстрирована на примере описания минимальных А-структур на градуированной ассоциативной алгебре.

В третьем параграфе мы напоминаем теорему формальности Концевича в нужной нам формулировке. В частности, мы напоминаем Бв алгебры Ли поливекторных полей и коцепей Хохшильда.

Вторая глава посвящена доказательству гипотезы Концевича-Сойбельмана, а также конструкции скрученных комплексов для А^ -категорий.

В первом параграфе мы доказываем следующую теорему.

Теорема 0.1.2. Пусть к — поле. Тогда классы квази-эквивалентностпи существенно малых Дх,- пред-категорий над к находятся в биекции с классами квазиэквивалентности существенно малых А^,- категрий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.

Мы ограничиваемся Аоо- (пред-)категориями над полем, так как нам потребуется переходить к минимальным А^- (пред-)категориям (т.е. с гп\ = 0 ). Далее, мы ограничиваемся существенно малыми Асо- (пред-) категориями по чисто теоретико-множественной причине: нам потребуется иметь дело с когомологиями Хохшильда градуированных (пред-)категорий.

Доказательство устроено следующим образом. Вначале мы переходим от существенно малых Лоо- (пред-)категорий к малым. Далее, мы переходим от малых к малым минимальным (пред-)категориям.

Затем, мы вводим когомологии Хохшильда для градуированных пред-категорий. Грубо говоря, препятствия к построению Д»- структур и А^- морфизмов лежат в этих пространствах когомологий.

Далее, мы формулируем и доказываем основную лемму (лемма 2.1.4) об инвариантности когомологий Хохшильда относительно квази-эквивалентностей градуированных категорий. Это утверждение нетривиально в отличие от случал обычных и А^- категорий, и является, фактически, ключевым местом в доказательстве теоремы 0.1.2. Здесь мы используем язык локальных систем на симплициальных множествах.

Затем, мы вводим множества классов эквивалентности минимальных А^- структур на градуированных пред-категориях, и развиваем простую теорию препятствий для поднятия А^- структур и А^- гомотопий. После этого мы применяем основную лемму, чтобы доказать инвариантность множества классов эквивалентности минимальных Аоо- структур на градуированных пред-категориях. В итоге, мы доказываем теорему 0.1.2, используя результат об инвариантности.

Второй параграф посвящен конструкции пред-триангулированной оболочки для А0о- пред-категорий над произвольным градуированным коммутативным кольцом. Определение в целом аналогично случаю А^ -категорий. Мы проверяем, что эта конструкция корректно определена и инвариантна относительно квази-эквивалентностей. Для этого вводится группоид Муавра-Картана для нильпотент-ных Аоо -алгебр, строится теория препятствий, и доказывается теорема о его инвариантности относительно фильтрованных -квази-изоморфизмов. В случае обычных Лео -категорий, мы получаем стандартные пред-триангулированные оболочки, введенные в [ВК] для DG категорий, и обобщенные на случай А^ -категорий в [Ко1].

Вторая глава посвящена в основном доказательству гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия. Также доказана теорема о восстановлении для гиперповерхностных изолированных особенностей.

Мы воспринимаем кривые рода д > 2 как симплектические многообразия, и связываем с ними категории Фукай. Далее, модели Ландау-Гинзбурга рассматриваются алгебро-геометрически. Ассоциированные с ними категории — это категории особенностей особых слоев [Ог1].

Пусть М — симплектическая компактная ориентированная поверхность рода д > 3. Зеркально симметричная модель Ландау-Гинзбурга (LG для краткости) W : X —у С имеет размерность три. Единственный особый слой Н := Xq С X является объединением (д + 1) неприводимых компонент, имеющих простые нормальные пересечения.

Мы обозначаем через F(M) А^ -категорию Фукай поверхности М, и через D~(F(M)) категорию совершенных комплексов над Т(М). Далее, пусть Dsg(H) — категория особенностей поверхности Н , и обозначим через Dsg(H) ее карубиеву оболочку. Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 0.1.3. Триангулированные категории Dn(F(M)) и D3g(H) эквивалентны.

Первый параграф посвящен техническому результату о решениях уравнения Муавра-Картана в (модифицированной) DG алгебре Ли поливекторных полей. Доказано, что если элемент Муавра-Картана удовлетворяет некоторому условию, то этим условием он определен однозначно с точностью до эквивалентности.

Второй параграф посвящен похожему техническому результату для БС алгебры Ли коцепей Хохшильда внешней алгебры. Здесь используется результат предыдущего параграфа и теорема формальности Концевича. Класс решений Муавра-Картана, о котором идет речь в этом параграфе, затем возникает из Л^ -структур на обеих сторонах зеркальной симметрии.

Третий параграф посвящен напоминанию теоремы Орлова об эквивалентности между гомотопической категорией матричных факторизаций и триангулированной категорией особенностей. Здесь также формулируется результат о порождении категории изолированной особенности структурным пучком особой точки, и, как следствие, описание карубиевой оболочки категории изолированной особенности как категории совершенных комплексов над соответствующей Б (Ж/2) -С алгеброй.

Четвертый параграф посвящен более детальному описанию Б (й/2) -С алгебры из предыдущего параграфа. Здесь мы описываем А^ -структуру на ее когомоло-гиях (которые отождествляются с внешней алгеброй) в терминах суммирований по деревьям, и доказываем, что в интересующем нас случае, мы получаем в точности ТУ -А-оо -структуру, о которой шла речь во втором параграфе.

Пятый параграф посвящен следующей теореме о восстановлении.

Теорема 0.1.4. Пусть к — поле характеристики 0, п > 1, и V = к". Пусть а

ТУ = ]С ^ € к[Уу] — ненулевой многочлен, где У/г Е Бут1 (У4'). Тогда \У мо-¿=з жет быть восстановлен, с точностью до формальной .замены переменных, по классу квази-изоморфизма {Ъ/2)~ (? алгебры Ву/ = КНогпд,з(1у-1(о))(С?(ь Оо), т.е. Б (2/2)- С алгебры эндоморфизмов Оо в 2Эзэ(И^1(0)), вместе с отождествлением Н'(В\у) — Л (У). Кроме того, формальная замена переменных имеет вид

Г; ^ г; + 0(22). (0.1.2)

В доказательстве используется теорема формальности Концевича и результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений Муавра-Картана.

В шестом параграфе мы описываем две разные модели Ландау-Гинзбурга, которые обе являются зеркально симметричными к кривой рода д > 2, и получаем результат об эквивалентности ассоциированных категорий (как следствие производного соответствия Маккея). Это, вместе с результатами четвертого параграфа, дает описание (карубиевой оболочки) категории особенностей из теоремы 0.1.3.

Седьмой параграф посвящен целиком категориям Фукай кривых рода > 2. Сначала мы даем необходимые определения. Затем, мы формулируем достаточное условие для того, чтобы несколько объектов порождали другой объект, а также для того, чтобы они порождали всю категорию £>7Г^Г(М). Затем, мы вводим дополнительные Z -градуировки на Z/2 -градуированной Аоо -категории Т(М), так что высшие умножения имеют однородные компоненты только степеней определенного вида. Наконец, мы вводим А^ -алгебру эндоморфизмов вложенной кривой на факторе римановой поверхности по действию конечной группы. Этот формализм оказывается полезен при вычислении нужной нам А^ -структуры в А^ -категории Фукай кривой рода д> 2.

Восьмой параграф посвящен описанию категории Фукай кривой, которое получается в итоге точно таким же, как и для категории особенностей шестом параграфе. А именно, мы выбираем в качестве генератора в DTrJr(M) прямую сумму (2д + 1) объектов. Они лежат в одной орбите некоторого действия группы Z/(2д +1) на римановой поверхности. Вычисление сводится к фактор-орбиобразию с помощью формализма из предыдущего параграфа. Фактически, вычисление является комбинаторным, в стиле [АЬ]. В результате, мы получаем снова ту же самую Л«, -структуру, что и в четвертом параграфе, а значит, и то же самое описание категории. Отсюда следует основная теорема второй главы.

В Аппендиксе доказывается технический результат, сформулированный в первой главе: фильтрованный L& -квази-изоморфизм про-нильпотентных DG алгебр Ли индуцирует биекцию на классах эквивалентности решений Муавра-Картана.