Пространственные резонансы, структуры и волны электронного тока в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

с;

На правах рукописи

САНИН Андрей Леонардович

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕЗОНАНСЫ, СТРУКТУРЫ И ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННОГО ТОКА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальности: 01.04.03 - радиофизика,

01.04.04 - физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Санкт - Петербург -1998

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая физика" Санкт - Петербургского Государственного технического университета.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук, профессор

Ю. К. Голиков;

доктор физико - математических наук, профессор

A.А. Барыбин;

доктор физико - математических наук, профессор

B.Л.Кузьмин.

Ведущая организация: Институт общей физики РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится ЛССС£Ь 1998 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д 063.38.02 в Санкт-Петербургском Государственном техническом университете по адресу:

195251, С.-Петербург, ул. Политехническая, д. 29, II учебный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПб ГТУ. Автореферат разослан "2й " СЩрё-НЯ 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета

канд. техничес. наук, доцент

К.Г.Уткин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы

Динамика электронов в средах является объектом интенсивных исследований. Особый интерес к проблеме связан с развитием фундаментальной науки неравновесных и нелинейных процессов, а также многочисленными приложениями. Нелинейные динамические свойства могут проявляться в виде нелинейных колебаний и волн. В отличие от обычных колебаний и волн, они характеризуются выраженной нелинейной спецификой, пороговыми условиями, множеством форм при изменении динамических переменных или параметров сред и называются структурами. Полупроводники, плазма в газах - примеры сред, где нелинейные исследования получили наибольшее развитие. Динамика электронов в средах зависит от пространственного распределения положительно заряженных ионов и степени нейтрализации ими электронного заряда, механизмов рассеяния и функции распределения электронов по скоростям. При низких температурах, слабом рассеянии длины свободных пробегов становятся значительными по сравнению с плазменной длиной, масштабом неоднородности и соизмеримыми с размерами прибора; распределение по скоростям может иметь малый разброс и приближаться к дельта - функции, а средняя тепловая скорость становится меньше транспортной. Движение электронов будет таким же, как в вакууме с распределенными в нем положительными ионами. В полупроводниках его называют баллистическим транспортом электронов. Несмотря на успехи в изучении структур и волн электронного тока в однородных средах, пространственные реализации и их фурье - спектры, нелинейные динамические свойства в неоднородных средах изучены явно недостаточно. Неоднородные среды характеризуются тем, что какой - либо параметр зависит от координат, например, плотность доноров или эффективная масса в полупроводниках. В неоднородных средах транспорт электронов может происходить в условиях пространственных резонансов. Формирование пространственных резонансных структур плотности электронного заряда и связанной с ней скорости, а также электрического поля является самосогласованным динамическим процессом. Изучение различных моделей транспорта и нелинейной динамики электронов в неоднородных средах представляет актуальную проблему радиофизики и физической электроники.

Цель работы

Цель диссертационной работы состояла в теоретическом исследовашш пространственных резонансов электронного тока в неоднородных средах, как механизма формирования стационарных структур, как способа генерации или усиления волн плотности и управления динамикой электронов. Эти исследования выполнены на основе качественного анализа и численного Г ---1

интегрирования транспортных гидродинамических уравнений совместно с уравнениями Максвелла. Для учета квантовых волновых свойств используются квантовые уравнения моментов, а также уравнения Маделунга. Неоднородные свойства полупроводниковых сред определяются пространственной модуляцией плотности доноров или других параметров, а плазмы в газах -внешними неоднородными полями, зависящими от координаты. Результаты диссертационной работы представляют вклад в теорию стационарных пространственных структур и волн электронного тока в неоднородных средах и являются основой в разработках приборов на сверхвысоких и оптических частотах.

Научная новизна

1. Сформулированы условия перехода из однородного состояния электронного тока в структурированное. 2.Установлен циклоидальный характер зависимости переменных от аргументов для волн плотности с неизменным профилем и стационарных структур. З.Сопоставлены пространственные зависимости решений уравнений в частных производных с решениями соответствующих стационарных обыкновенных дифференциальных уравнений, изучены переходные временные процессы и формирование пространственных стационарных структур электронного тока. 4.Модифицируется стационарная модель диода Пирса и формулируется самосогласованная процедура отыскания граничного поля на эмиттере совместно с переменными для межэлектродного пространства. 5.Хотя исследования электронного газа во внешних полях проводятся давно, проблема самосогласованных нелинейных транспортных процессов, включающая пространственные резонансы и сложные реализации в неоднородных средах, явления синхронизации, фурье - спектры все еще является мало изученной. Выполнение такой программы исследований при разных видах регулярных и случайных неоднородностей, для бесстолкновительного и диссипативного транспорта, в приближении с постоянными временами релаксаций по импульсу и энергии, с конкретными механизмами рассеяния, учете нагрева было проведено в диссертации и определяет новизну и оригинальность результатов. б.Нелинейные свойства, проявляющиеся в генерации высших - и субгармоник, самомодуляции, а также стохастизации при процессах рассеяния с пороговым механизмом на продольных оптических фононах изучены с достаточной полнотой впервые. 7.Результаты исследования резонансов являются фундаментальным вкладом в развитие научных представлений, планирование эксперимента в этой области радиофизики и физической электроники, а также других отраслей знания. 8.На основе найденных экстремумов инкрементов неустойчивостей как функций частоты столкновений устанавливается конструктивная роль диссипации в

формировании когерентных волновых процессов электронного тока. 9.Проведены оригинальные аналитические и компьютерные исследования волн плотности в условиях резонансов на неоднородностях. Ю.Предлагается механизм ускорения электронов при помощи пространственного резонанса во внешнем периодически - неоднородном световом поле. 11.Впервые проведен качественный анализ и численное интегрирование замкнутой системы уравнений Маделунга и Максвелла - Лоренца для электрона и газа, транспортируемого в пространстве с распределенным положительным зарядом. 12. Сравнение уравнений Маделунга с квантовыми уравнениями моментов для холодных электронов показывает их существенное сходство, если квантовая гидродинамическая плотность отождествляется с плотностью газа. Так как квантовая сила, обусловленная квантовым потенциалом, через определенные пространственные промежутки равна нулю, а система переходит к классическому пределу, то такое отождествление оправдано. Учитывая сходство, а также то, что уравнения Маделунга применялись в теории сверхпроводящей жидкости, они использовались в диссертационной работе не только для отдельного электрона, но и приближенного описания газа. 13.Для неограниченной системы установлен закон дисперсии волн; частота процесса обусловлена плазменной и дебройлевской частотами, а также произведением равновесной гидродинамической скорости и волнового вектора. 14.В сформулированном законе сохранения энергии появляется дополнительное слагаемое по сравнению с классическим описанием, выражающее работу квантовой силы, или квантовое самодействие. Квантовое самодействие имеет место и для отдельного электрона. 15.В рамках квантовых уравнений моментов, включающих квантовый потенциал Вигнера, исследована двухпотоковая неустойчивость и возможность использования ее механизма в разработках лазеров на свободных электронах.

Теоретическая и практическая ценность

1. Вклад в теорию стационарных колебаний и пространственно - временных процессов, представлений о самоорганизации. 2.Управление электронными токами и вольт-амперными характеристиками при резонансах, а также процессами формирования виртуальных катодов в газоплазменных и полупроводниковых приборах. З.В разработках лазеров на свободных электронах. 4. Для ускорения заряженных частиц при резонансах в системе с периодически неоднородным световым полем. 5.Определение роли квантовых волновых свойств при транспорте и формировании структур на разных пространственных масштабах, приложение в микро - и наноэлектронике.

Автор выносит на защиту следующие положения и результаты.

1. Модифицированная стационарная модель диода Пирса, включающая закон сохранения энергии и позволяющая самосогласованно определять не только переменные внутри межэлектродного пространства, но и граничное поле на эмиттере, от которого зависят эти переменные. Циклоидальные решения для скорости как функции координаты для бесстолкновительного транспорта холодных электронов при однородном распределении положительного фонового заряда.

2. Теоретическое обоснование возможности пространственных резонансов и эффектов модуляции электронного тока при различных формах распределения плотности нейтрализующего заряда от координаты, в частности, с однородной компонентой и гармонической добавкой; в виде последовательности прямоугольных или треугольных импульсов; сигналов типа белого шума; случайно распределенных импульсов. Показано влияние роста электронной температуры на расстройку резонанса и биения и предлагается способ синхронизации колебаний и ослабления биений путем выбора линейно развернутого косинусоидального профиля распределения положительных ионов. Установлен пороговый параметрический механизм формирования структур при высокой кратности плазменного масштаба к периоду распределения плотности нейтрализующего заряда и столкновениях электронного газа. Для обоснования результатов проведено численное интегрирование транспортных гидродинамических уравнений совместно с уравнением Максвелла для электрического поля, изучены фурье - спектры пространственных реализаций, фазовые портреты при разных параметрах сред.

3. Результаты качественного анализа и численного моделирования субгармонического резонанса при совместном действии различных механизмов рассеяния в неоднородном п - ОаАз полупроводнике. Установлена ограниченная область действия сильного рассеяния вблизи порогового условия генерации продольных оптических фононов.

4. Нелинейные решения для волн плотности с неизменным профилем при транспорте электронов через однородный положительный заряд представлены в параметрической форме для циклоиды. Результаты численного интегрирования транспортных гидродинамических уравнений и уравнения Максвелла для электрического поля, зависящие от координаты и времени, при нестационарных граничных условиях и модулированной плотности нейтрализующего фонового заряда ; фурье - спектры пространственных реализаций в фиксированные моменты времени проанализированы при разных параметрах среды. Предлагается механизм возбуждения волн плотности и ускорения электронов, управляемый посредством пространственного резонанса, при транспорте через эквидистантную систему локализованных в пространстве световых полей.

5. Экстремумы инкрементов неустойчивостей при определенных частотах рассеяния и конструктивная роль диссипации в процессах генерации когеррентных колебаний (на примерах акустоэлектронного усиления, вязкостного затухания и столкновителыюй циклотронной неустойчивости).

6. Дисперсионное уравнение двухпотоковой неустойчивости , основанное на квантовых уравнених моментов, и волновое решение в оптической области частот для n - GaAs полупроводника.

7. Формулировка уравнений Маделунга совместно с уравнениями Максвелла - Лоренца для электрона и газа, закона сохранения энергии и граничных условий. Вывод и решение дисперсионного уравнения для волн плотности вероятности заряда, зависящее от плазменной и дебройлевской частот. Результаты численного интегрирования стационарных уравнений для плотности вероятности электронного заряда, электрического поля и других переменных, характеризующие квазипериодические режимы, самомодуляцию, внутренние резонансы и резонансы на неоднородностях нейтрализующего заряда.

Апробация диссертации

Перечень всесоюзных, международных и российских конференций, на которых докладывались материалы диссертационной работы:

Всесоюзная конференция "Релятивистская электроника СВЧ" (Томск, 1980); I Всесоюзная конференция по интегральной электронике СВЧ (Новгород, 1982); VIII, IX Всесоюзные семинары по колебательным явлениям в потоках заряженных частиц (Ленинград, 1981, 1984); Всесоюзное совещание "Автоматизация и проектирование устройств и систем СВЧ" (Красноярск, 1982); VI Всесоюзная конференция по физике низкотемпературной плазмы (Ленинград, 1983); XI, XII совещание по теории полупроводников (Ужгород, 1983; Ташкент, 1985); IV Всесоюзный симпозиум по миллиметровым и субмиллиметровым волнам (Харьков, 1984); Всесоюзная конф. "Радиационная физика полупроводников и родственных материалов" (Ташкент, 1984); IV Всесоюзная конф. "Флюктуационные явления в физических системах" (Пущино,1985); VIII Всесоюзный семинар "Современные методы расчета электронно - оптических систем" (Ленинград, 1986); Всесоюзный постоянно действующий семинар по моделированию на ЭВМ свойств кристаллов и дефектов (Одесса, 1986, 1988, 1990); Всесоюзная конф. по физике диэлектриков (Томск, 1987); II Всесоюзное совещание по моделированию физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах (Ярославль,1988); XV семинар Северо - Западного рагиона "Физические и химические явления на поверхности полупроводников и границах раздела (Новгород, 1990); III Всесоюзн. и IV Междунар. школы "Стохастические

Г~ ' ' "Ъ

колебания в радиофизике и электронике (Саратов, 1991, 1994); Internat. Workshop on Phys. Disordered Systems (Important problems of Condensed matter physics. St.Petersburg, 1992); XI семинар "Методы расчета электронно -оптических систем" (Алма-Ата, 1992); Школа - семинар - выставка "Лазеры и современное приборостроение" (Санкт-Петербург, 1993, 1995); Third Internat. Seminar - Exhibition "Lasers and Modern Instrumentation - 94" (St.Petersburg, 1994); Российская научно-техническая конференция "Инновационные наукоемкие технологии для России" (Санкт - Петербург, 1995); Internat. Conference "New Ideas in Natural Sciences" (St. Petersburg, 1996); Российская научно - техническая конференция ассоциации технических университетов "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, 1997); Internat Workshop on new approaches to hi - tech materials 97, Nondestructive testing and Computer simul. in materials science and engin. NDTS - 97 (St. Petersburg, 1997).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в монографии "Электронная синергетика", журнальных статьях и трудах конференций, всего 40 наименований; список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Каждая глава содержит пять разделов. Полный объем составляет 289 страниц компьютерного текста; 336 рисунков (113 наименований) представляют компьютерную информацию, размещенную на 64 страницах; библиография включает 210 наименований на 16 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируется цель исследования и задачи, решаемые в процессе исследования, определяется новизна поставленных задач, формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе первой главы результаты нелинейных исследований в радиофизике и электронике, представленные в работах отечественных и зарубежных ученых, кратко обсуждаются. Классическое и квантовое гидродинамическое описание транспорта электронного газа приводится. Проблема пространственно - временного отклика в неоднородных средах формулируется в рамках уравнений гидродинамики и электромагнитного поля. Двухмоментные гидродинамические уравнения применяются для приближения с постоянной температурой. Их можно представить в нормированном виде

bN/c>T+d(NV)/dt; = o, bvibv+vbvib^-z-{riN)hNib^-riK. (i.i)

Здесь N = «/п5, К=и/о5, г = Е/Ед, Г=и/яп>25, ¿'8 = 4яел5/ажр, г - лу, С =

= ®р/и5, ор = (4яс-и5/жг/г)1', и,и - плотность, транспортная гидродинамическая скорость электронов, £ - поле; и = къТ, Т - температура в кельвинах, -постоянная Больцмана; - диэлектрическая проницаемость; -е, га - заряд и масса электрона; Ггг - время и координата. Тепловая скорость от = кгТ/т и УТ = ит/и5. Норм1фованная величина % определяется при помощи соотношения % = -Я/ткри\, где К - сила трения. При постоянном времени релаксации гр величина Я = -/?ш/гр, а Щ = цУ, т] = 1 /сиргр. Величины и5,о8 определяются из кошфетных условий задачи. Для изучения самосогласованных электрических процессов уравнения (1.1) дополняются уравнением Максвелла для электрического поля

де/д^-АМ* (1-2)

Здесь и(1 - плотность фонового положительного заряда, зависящая от координаты С При однородном распределении фонового заряда пй - а = у- параметр нейтрализации, при этом А^ = /.

Волны плотности холодного электронного газа с неизменным профилем и постоянной амплитудой могут рассматриваться как приближение в описании реальных, более сложных процессов. Для транспорта электронного газа в неограничешюм пространстве с однородным фоновым положительным зарядом проведен точный анализ таких волн. В отличие от существующих работ, здесь рассматривается распространение волны, когда постоянная составляющая электронного тока отлична от нуля, а ее собственное магнитное поле нейтрализовано полем внешнего тока. Для этого используются уравнения (1.1) при Г=0, % = 0 и (1.2), а также уравнение плотности полного тока

-ш+де/дт+?е = о, (1.3)

где je = jJens\)s, je - плотность тока внешнего источника, который выполняет функцию нейтрализации магнитного поля. Решение для переменной ¥ можно представить в виде

уЧ,ш =1 - у/коъО, Ф=&-у[кт в.

Функция ХРявляется промежуточной и линейно зависит от потенциала и,

через нее могут быть выражены электрическое поле В ,плотность N, скорость V

и плотность тока -МУ. Величина Ф является фазой, зависит от линейной комбинации /?2 = (1-1/$-. Зависимость уТ 1/2 от фазы Ф представляет циклоиду, которая задана при помощи параметра в. Величину в достаточно адать в диапазоне (0,2я). Решения для Ч*1/2 определяют стационарную волну с неизменным профилем, они являются трансляционно - инвариантными. I ):;

Плотность N при у=0.5 как функция фазы характеризуется разрывами, в точках разрыва она неограничено возрастает. Рассматриваемая модель волнового движения предусматривает переход стационарной волны в стационарное периодическое неоднородное распределение динамических переменных вдоль оси С, или, другими словами, в пространственно - периодическую структуру. Динамические переменные И, V, потенциал и и поле Б для этого типа процессов

не зависят от г, а только от координаты ; временные производные ЭМ 31=0, Ъу! д г=0. Кроме того, возможен переход к стационарному однородному состоянию, если у—»1; при этом п — , а электрическое поле £=0.

Одна из основных моделей, рассматриваемых в диссертации -одномерный стационарный транспорт в полупространстве при заданных граничных условиях, определяемых плотностью иъ, скоростью иь, температурой Тъ (или тепловой скоростью ит) в плоскости инжекции. При этом граничное электрическое поле Еь считаем заданным. Для перехода к нормированным переменным при конечных величинах пь, полагаем п~пь, о5=иь. Для стационарных процессов 5N7 д г=0, 3 V/ Э 7=0 и уравнения (1.1), (1.2) преобразуются к виду

Второе уравнение (1.4.) упрощается, если Г=0, т}ж=0. Равновесные

величины И<ч), £("0 определяются из условий = с1У/с1С, = <¿£/¿#=0. В

бесстолкновительном режиме они равны .№ч) =у, И^ =у-1, ем =0. Однородное

состояние возможно при у=1, Еь=0, то есть при п(«о = п(0>й, и^) = ]1(-е)п'^й, Еъ=0; 7 -постоянная величина плотности электронного тока.

Генерация пространственно - периодических стационарных структур происходит при уф 1. Если же то необходимо £ь^0. Параметр

нейтрализации у зависит от свойств системы и определяет период структуры, равный 2/Т При у<\ максимальные значения скорости Ктах>1//, а минимальные - ^„=1. Если у>\, то колебания переменной V происходят в области У< 1.

Если электроны не являются холодными и УтФ0, то генерация структур происходит при \ то есть у2У2т<1. Численное интегрирование (1.4) и

изучение фурье - спектров, полученных реализаций при разных у, £ь -дает информацию о пространственных реализациях и об увеличении числа высших

гармоник при увеличении |£ь| или отклонении у от единицы. Пространственно -периодические структуры постоянного электронного тока являются

1

и

ангармоническими. Для того, чтобы изучить процесс формирования структур,

когда поле £ь не является заданным, а самосогласованным образом зависит от переменных в транспортируемой области, рассматривается стационарная

модель диода Пирса. В традиционной модели диода 8Ь=0. В отличие от нее,

поле на эмиттере £ь и другие переменные, зависящие от Еь, рассматриваются совместно. Для этого модель диода Пирса модифицируется путем введения дополнительного уравнения - закона сохранения энергии. Закон сохранения энергии выражает распределение между энергией электрического поля и кинетической энергией электронов в межэлектродном пространстве, обусловленное работой электродвижущей силы источника по перемещению электронов в межэлектродном пространстве. Уравнение, выражающее баланс ЭНерГИЙ, МОЖНО ПреДСТЭпи-п. п чипе

При этом, как и в традиционной модели диода Пирса, в плоскоста инжекции заданы плотность пь, скорость иь. Нормированные величины определяются через плотность иь, иь и их комбинации: г/исТ=8ИСТ /(E5k-¡), £ист -электродвижущая сила источника; L - длина межэлектродного

пространства. Учитывая определение V=dCJdz, можно перейти от переменных С,

КГ.

Из уравнений (1.4.) при VT=0, %=0 и (1.5) решения для 8,V, CL и Sb можно представить в виде

F=l//f(l-l/» cosy1/2r- (I/7)1/2 Eb sin/12г, £=(1-1/7) y1'2 sin/1'2 т+ £bcos712r,

íL=TL/y+(l-l/y)(l/yw)sin y^+^yXcosyMT.-l), a0 E^+a^+a2Eb+a}=0. (1.6)

Четвертое уравнение (1.6) связывает £b с Мист, коэффициенты а0, а„ а,, аъ зависят от тригонометрических функций с аргументом т.е. от процессов в межэлекгродном пространстве. Анализ решений замкнутой системы (1.6) проведен при различных параметрах модели, когда реализуются периодические

решения и переход к однородным состояниям. Если у=\, 8Ь=±1, то при //2г=(±1/2+2^)/Т, I - целых решения для V имеют нулевые значения, а N -разрывы. Получаемые здесь результаты оправдывают более простую модель,

когда задается £ь в плоскости инжекции.

Анализ уравнений (1.1), (1.2) для полуограниченной модели транспорта с заданными граничными условиями проводится как в линейном приближении, так и численно. Включение временных производных и процессов при стационарных граничных условиях представляет более полную постановку

с

:;(1.5)

проблемы и позволяет исследовать переход к стационарным решениям и соответствующим им стационарным состояниям. Двукратное преобразование Лапласа линеаризованной системы (1.1), (1.2) и обращение его позволяет получить решение для в виде:

К1(Сд)=еь{[1-0(г-О]5тт+0(г-О8тС}. (1-7)

Здесь 0 (т~0 - ступенчатая функция Хевисайда, равная 1 при х>С, и 0 при т<£; У^т) - малая добавка к равновесной однородной скорости Ич>=1. Из (1.7) следует, что пространственно - периодическое распределение по координате С, устанавливается при т> С,.

Временные колебания можно рассматривать как переходный процесс при т<С Численное интегрирование (1.1), (1.2) и анализ фурье-спекгров координатной зависимости скорости К(£,г) в разные моменты времени, расчеты числа степеней свободы дискретного спектра М и среднеквадратичных отклонений позволяют выяснить влияние переходных временных процессов на формирование пространственных структур. При малых временах г и, соответственно, малых транспортных длинах, на которые успевает распространиться пространственно - неоднородное возмущение, свойства пространственных структур заметно зависят от переходных процессов. Фурье-спектры - широкополосны; основная фурье-компонента и высшие гармоники размазаны. Наоборот, при достаточно больших временах т и, соответственно, больших транспортных длинах, на которых укладывается много периодов распределения, свойства реализаций и фурье- спектров приближаются к свойствам решений стационарных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Закономерности формирования пространственных структур электронного тока усложняются, если распределение нейтрализующего фонового заряда становится неоднородным. В этой связи особый интерес представляют пространственные резонансы электронного тока. Во второй главе представлены результаты исследования пространственных резонансов при различных профилях распределения положительного заряда в зависимости от координаты С,. Если неоднородное распределение фонового положительного заряда имеет однородную компоненту п/у> и гармоническую добавку п^1ко&к,ух, то нормированное распределение для плотности имеет форму

Л^гО+АсобгО. (2.1)

1

Здесь h ~ nd") / Hdw); r=kfjkp ndw - амплитуда неоднородности, 2тг/ kr> - период неоднородности с "пространственной частотой" ка. Из уравнений (1.4) при

условии (2.1) путем исключения N, £ можно получить нелинейное дифференциальное уравнение относительно V. В линейном приближении при малых h и Vw«V<«ü имеем уравнение для колебаний V<v> в виде

{\-yWS)&VmldQ+riydVm/dt,-:ryWm=-r*h(\+ yVw)cosrt;. . (2.2)

Первое слагаемое в правой части можно интерпритировагь как внешнее вынуждающее воздействие, а второе определяет параметрическое изменение пространственной частоты колебаний. Свойства решений (2.2) и исходного нелинейного уравнения зависят от соотношения между /32 и г, а также от величин h, 77 и VT.

Резонансные механизмы исследованы при у= 1, Sb= 0; у =1, Еьф 0; yf 1,

0. Резонансный механизм чувствителен к очень малым h, даже при 77 ф 0.

Например, при й=0.001, у ЪГ1=г=\, 77=0.01, еь=0 происходит медленный линейный рост амплитуды колебаний на значительной длине ¿¡е(0; 250). Значительно возбуждается основная гармоника FN{r) внешнего воздействия.

Отображение Пуанкаре dV/dQ=j{V) при Е=0 представляет отрезок лиши с не очень равномерным заполнением точками. С увеличением h и расстояния С проявляются нелинейные свойства. Форма колебаний деформируется, становится пульсирующей, происходит ограничение роста. На фазовой

плоскости (V,S) это соответствует сгущению спиральных линий и приближению их к предельной. Отображение Пуанкаре отличается от решений с непрерывным секулярным ростом. Здесь фазовые точки разрежаются и распределяются на левом и правом концах отрезка в очень малых областях и лишь несколько точек находятся в средней части между этими областями.

Распределения N(Q, V(Q, £(£) характеризуют свойства формирующихся структур. Фурье-спектр резонансной структуры содержит значительное число спектральных линий FV(i г), i-l.,2.,3,.....; FV(l г) - фурье-компонента скорости.

Пространственный резонанс и формирование структуры при у ф 1 рассматривается для режима движения, характеризующегося параметрами

0.8, £ь=-0.05, /¡=0.1, FT=0, т=0.1. Собственная частота пространственных колебаний у У2=0.7156 при rj=0. Частота внешнего воздействия изменяется в соответствии с формулой г=у3/2 (1+/Г Ar), К=0, ±1 ... ±4. Изучение резонансных свойств проведено на основе эволюции спектров для фурье-компоненты скорости FV(q). Спектры содержат линию пространственной частоты внешнего воздействия и ее высшие гармоники, пики частоты пространственных колебаний собственной структуры и комбинации этих частот. Наиболее

г-----------------------------------------------------------------Ъ

выражены спектральные линии FV(q) при значениях аргумента q , равных г, 2 г, Ъг, у 3/2 и комбинации г±у 312. По мере приближения к резонансу (т.е. при уменьшении К) амплитуда FV(r) увеличивается, при резонансе она сливается с пиком FV(y ш), а фурье-компонента FV(r+y 3 2) сливается со спектральной линией FV(2r); одновремсшю при этом возрастают высшие гармоники FV{2r), FV(3r)... . Комбинационные пространственные частоты определяют модуляцию. Если г и у3,2 не близкие значения, то спектральные линии FV(¿¡r) и широкие пики FF(4 у3'2) разделяются; 11Я= 1,2,... . Проведены также расчеты при

Система уравнений допускает резонансные решения, подобные решениям уравнения Матье. Это происходит, когда выполняется условие г=2у3/2. Для режима, характеризующегося параметрами у=1, И,=0, Tf= 0, r= 1, 8b=-0,05, АО,2 пространственные колебания, образующие структуру, имеют период 2 л. При малых значениях С, имеют место две последовательности максимумов. С увеличением С, большие максимумы растут, а малые уменьшаются, пока не исчезнут совсем; форма колебаний упрощается.

Анализ фурье-спекгров различных режимов движения показывает, что при резонансе значительно возбуждается спектральная компонента FV{y 3 2) и ее гармоники. Неравенство FV(y3'2) > FV(r) является характерным для резонанса.

Тепловое движение при V-¡2«V2 не оказывает существенного влияния на резонансы, хотя пространственная частота собственных колебаний изменяется. В изотермическом приближении при / =1, и, соответственно, у 32=1, когда равновесная скорость И°я) =1, решение F=l+V<», где Vw определяется как:

Ии =-sb sin [U V-Л 1/2 - 38bV4 )] г. (2.3)

Второе слагаемое определяет изотермическую поправку и изменение пространственной частоты, равной единице в приближении холодных электронов. При адиабатическом описании, когда транспортная скорость V и температура Г связаны степенной зависимостью, поправка имеет сходную форму с предыдущем рассмотрением. Если же FT2 приближается к V2, то роль температурных эффектов может быть существенной. При условии FT2« V резонансы исследованы в широких пределах изменения параметров системы. Наряду с параметрическим резонансом, когда г=2 у3/2, возможен резонанс при условии г=0,5уш.

Если процессы рассеяния существенны и включаются в анализ, то для реализации параметрических резонансов необходимо выполнить определенные пороговые условия. В зависимости от соотношения между h и 77 возможны режимы колебаний с постоянной амплитудой или очень мало меняющейся на конечных транспортных длинах, при этом T]=rjc¡:, т]С! - критическая величина

частоты рассеяния. При т] <7jcr и остальных неизменных параметрах происходит рост амплитуды колебаний. Детально изучены режимы движения при r= 1; ^=0,5; 0.25; 0.125; 0,0625 и соответствующих им ^„=0,076; 0,00975; 0,0015; 0. Например, для режима движения, характеризующегося параметрами ^=0,62996

или у м=0,5, r= 1, ^=0,076, 8b=-0,05, h=0,2 решение для N имеет., почта постоянную амплитуду колебаний, и очень слабую крупномасштабную вариацию, секулярный рост отсутствует, сильно возбуждается фурье-компонента FN(y 3'2), FN(r)<0,5 FN(y 3 2); высшие гармоники сильно спадают. Если ij<tjc: , то имеет место секулярный рост амплитуды колебаний. Наоборот, при tj>tjci ,например, для 77=0.1 амплитуда колебаний слабо затухает

на длине Сь - 250. В фазовой плоскости (F,S) происходит сгущение точек вблизи И«» = 1.6 или притяжение траекторий. При последующем удвоении периодов колебаний и подборе т]сг имеют место идентичные картины процессов. При у}12=0.0625, т}ст ~ 0 реализация для N(Q имеет систему острых пиков, а зависимость 8(Q имеет наклон вправо в областях, где меняет знак.

Фурье-спектр имеет множество гармоник FN(t у3'1), ¿=1,2,.....20, отображение

Пуанкаре соответствует периодическому процессу с периодом 2к!уш-100.

В диссертации, наряду с гармонической неоднородностью, рассмотрены более сложные профили распределения нейтрализующего заряда. В этой главе -это регулярные неоднородности с треугольными или прямоугольными профилями. Общее число гармоник при задании профиля могло варьироваться от 15 до 25; для прямоугольного профиля - это нечетные гармоники. Форма распределения динамических переменных от координаты, фурье - спектры реализаций становятся более сложными, чем при гармонической неоднородности. При разных профилях и столкновительном транспорте амплитуды резонансных колебаний плотности могут быть значительными. Таким образом, в полупроводниках и газовой плазме при помощи пространственных резонансов можно формировать области с высокой плотностью электронов, являющиеся аналогами виртуального катода в вакуумном диоде. Экспериментальное изучение вольт-амперных характеристик дырочного Ge диода с однородным ионным фоном при оуЪ-~6 х10_3, тр=Ю-10с, ¿е(0.1;1.5) мм было проведено в статьях [1]. Эту методику можно использовать для исследования резонансов в диоде с неоднородным ионным фоном.

Если резонансные условия не выполняются, то возможны разнообразные модуляционные режимы. Например,для режима движения, характеризующегося

параметрами: у-1, г= 10,77=0.2, Кт=0.01, £ь=-0,05 пространственные реализации

[lJ.Zitter R.N.... J. Appl. Phys. 1992. V.71. № 4. P.2045; 1993. V.73.№12.P.8628.

------

представляют мелкомасштабные колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия (г=10); они промодулированы собственными затухающими (крупномасштабными) колебаниями с частотой Свертывание фазовой траектории (полосы) обусловлено затуханием собственных пространственных колебаний. Если у :,/2=1, г=0.1 и неизменны осталыше параметры, то возможна пространственная реализация в виде периодической последовательности импульсов с расстоянием между ними 20л; между соседними импульсами распределяются мелкомасштабные колебания с периодом 2к, которые затухают. Картина распределения затухающих колебаний повторяется на каждом фрагменте в 20 л". При вариации частоты рассеяния т] от 0.01 до 2 фурье-амплитуды высших гармоник FK(¿ г) изменяются по разному: FF(0.1) имеет максимум, FF(0.2) монотонно спадает, FF(0.3) - возрастает. Здесь мы имеем комбинацию свободных и вынужденных колебаний, как в системах с самовозбуждением. Эти реализации представляют модуляционные структуры при наличии диссипации. Недиссипативные (при 77=0) структуры характеризуются отсутствием затухания. Например, для режима движения,

характеризующегося параметрами у=1, /рО, г=0.1, £ь=-0.05 и /г=0.2; 0.4; 0,555. Крупномасштабные колебания с периодом 20я- промодулированы собственными колебаниями с периодом 2гг. При /г=0.2 соседние максимумы N(11) одинаковы и картины распределения повторяют себя через 20п. Однако, при й=0.4; 0,555 максимумы модуляционной структуры могут значительно отличаться друг от друга. Пространственные структуры, обусловленные эффектом модуляции при несоизмеримых частотах у 3/2 и г, рассчитывались

при у™ = 0.5, г=0.5 х 2>я, 8Ь—0,05; И е (0.2; 0.399); 77=0, либо ц $ Модуляционные структуры и их фурье-спектры усложняются при несоизмеримых у3/2 и г.

Проведены исследования резонансного механизма формирования структур в неоднородном полупроводнике с кейновским законом дисперсии, а также биений на комбинационных частотах. Наряду с неоднородным распределением фонового заряда, рассматривается транспорт и структуры во внешнем магнитно-периодическом поле.

Детальные исследования резонансного механизма, фурье-спектров пространственных структур также были проведены на основе уравнений в частных производных (1.1), (1.2) при (2.1) и заданных стационарных граничных условиях. Решения, выражающие зависимость переменных от координат в фиксированные моменты времени, сопоставлялись и сравнивались с решениями обыкновенных дифференциальных уравнений для стационарных процессов. Сходство и различие в свойствах анализировались.

В последнем разделе второй главы трехмоментные гидродинамические уравнения применяются для анализа температурной расстройки резопансов. В приближении с постоянными временами релаксаций их можно представить как:

Ус1У1с1Г = - Е - (МЫ) ¿(М) / сК - т]У, гашс + (2/3)/УШ; = (1/3) V* (2т]- Т]г). (2.4)

Здесь т]с- нормированная частота релаксации по энергии. Приближенный анализ показывает, что собственная пространственная частота

линейно зависит от координаты Численное интегрирование (2.4), (1.2) для в виде (2.1) проводится при

граничных заданных условиях Иъ=1, Уъ-1, Еь =-0,05, ГЬН) и параметрах у=1, г=1, 7 6(0.0034-0.03), т]<<7], Ае(0.001-г0.01).

Электронная температура линейно увеличивается с координатой и одновременно испытывает вариации в виде колебаний относительно прямой роста. Среднее значение скорости роста температуры может быть малым и ее влияние может быть существенным на значительных транспортных длинах, когда тепловая энергия близка к энергии направленного движения. Изучены реализации N(0, Г(£). Возможны пространственные резонансы и переход к биениям. Биения для температуры слабее, чем для электронной плотности. Фурье-спектры имеют вид широких пиков,медленно спадающих справа от максимума. Выбором специального профиля распределения нейтрализующего зарада, например, в виде развернутой косинусоиды, можно ослабить расстройку резонансного механизма и достичь значительной амплитуды колебаний плотности заряда.

Регулярные неоднородности, рассмотренные во второй главе, являются наиболее простыми моделями распределения нейтрализующего фонового заряда. Более сложные формы исследованы в третьей главе. Как один из вариантов рассматривается формула п^п^н-п^х), где и^0) - однородная компонента, а п^Щх) - аппроксимируется случайной функцией типа белого шума. В этом варианте отрезок оси, равный транспортной длине Ь, делится на одинаковые элементарные отрезки Ах. При этом функцию пй можно задать таким образом, чтобы ординаты, проведенные через левую и правую границы одного и того же элементарного отрезка, были одинаковыми, а для разных отрезков представляли случайные величины. Таким образом, фигура, ограниченная функцией пл, ординатами х~0, г=£ и отрезком Ь на оси х оказывается ступенчатой, состоящей из элементарных прямоугольников. При другой аппроксимации ординаты, проведенные через левую и правую границы элементарного отрезка, являются различными и случайными величинами. Если вершины соседних ординат соединить прямыми, то получим ломаную линию или фигуру в виде линейных трапеций. Случайный сигнал может быть

биполярным, тогда среднее значение >,, на длине Ь приблизительно

равно нулю. Фурье-спектр случайного сигнала является широкополосным, амплитуды спектральных линий имеют приблизительно одинаковые значения. Если л<5<°>=0, то п^(х) - униполярный сигнал. Во втором варианте моделирования функция пА представляет последовательность униполярных прямоугольных импульсов одной и той же высоты, но расстояния между соседними импульсами - случайные величины. Кроме того, проведены расчеты для гармонического случайного процесса, когда косинус имеет случайную фазу с равномерным распределением вероятностей. Плотность пй нормируется, как и раньше, на величину пь. Численное интегрирование системы уравнений (1.1), (1.2) было проведено при указанных моделях распределения Л^. Наряду с классическим уравнением движения применялось квазиклассическое описание. Расчеты выполнены для параметров электронного транспорта в Са/Ь п - типа при случайном распределении доноров. Независимо от выбора модели распределения доноров отклик электронного газа зависит от малого числа параметров, выявление которых следует из анализа фурье-спектров решений для Результат для резонансного отклика определяется < А^ >ь, а

также наличием необходимых фурье-компонент в спектре сигнала Резонансный отклик является существенным, основная и высшая гармоники пространственных колебаний электронного тока резко возбуждаются по сравнению с широкополосным шумом инициирующего сигнала. Фурье-компоненты гармоник имеют форму пиков и заметно уширяются к основанию, т.е. включают широкополосный спектр. Величина М уменьшается почти на порядок для электронов по сравнению с ее значением для фонового заряда. Вариации плотности нейтрализующего заряда или флюктуации вызывают переход в структурированное состояние, характеризующееся достаточно выраженными периодическими свойствами. Для случайной неоднородности резонансный механизм менее эффективный, чем для для регулярной.

В третьей главе рассматривается модельная пороговая формула скачка частоты рассеяния, она характеризуется конечной длительностью действия сильного рассеяния и имеет вид:

Т=17,+»ЬТО, (3.1)

7]{ - постоянная компонента, зависимость %{У,0 определяет скачок при

пороговой V* в точке ^ действие скачка на промежутке и

выключение его при ■¿¡=£ск+£0. Транспорт электронов исследуется на основе уравнения движения:

(У1-Ут1) с/УМ; = -8У- [щ+Пг (^,01 V\ Уг«1.

(3.2)

для среды с модулированной Л^ в форме (2.1). Рассматривается процесс формирования пространственных структур при конкуренции резонанса и рассеяния, а также эффекты модуляции, утроения и упятерения периодов, возможность стохасгазации. Фурье спектры пространственных реализаций

содержат набор спектральных линий FF(¿ г), ¿=1.2.3......Кроме того, возникают

спектральные пики скачка диссипации. Они связаны с продолжительностью действия сильного рассеяния Со и соответствующей частоты г*=2лпри этом возникает воздействие колебаний с г* и г. Подробно исследованы реализации

Е(С), фазовые портреты Е(У), фурье-спекгры и числа степеней свободы дискретных спектров М при разных ; вычислены ляпуновские показатели. Модели рассеяния с постоянным временем релаксации или скачкообразным изменением частоты рассеяния могут оказаться недостаточными. В этой связи исследован транспорт квазибаллистических электронов при конкретных механизмах рассеяния в ОаАэ п - типа. Это - рассеяние на продольных оптических фотонах, ионизованных донорах, при взаимодействии через акустический и оптический деформациошшй потенциалы. В приближении холодных электронов нелинейное уравнение колебаний для скорости V содержит диссипативный член в виде (с1У!с1С,), обусловленный

процессами рассеягшя; определяет суммарную частоту рассеяния. Свойства колебаний зависят не только от г]\ , но и производной (1т]Ц1йУ. Вблизи пороговой скорости величина , обусловленная рассеянием на продольных оптических фононах, увеличивается скачком; при этом (1гряШУ резко возрастает, в зависимости от V имеет форму пика, а затем достаточно быстро спадает. Проведен качественный анализ и численное моделирование совместного действия различных механизмов рассеяния на колебания и резонансы квазибаллистических электронов, когда рассеяние является слабым на части периода и сильным на другой части. Действие сильного рассеяния ограничивает секулярный рост и амплитуду колебаний при определенных параметрах и транспортных скоростях в промежутке (4.2н-5.2)х107 см/с. Несмотря на сложный характер рассеяния, пространственные резонансы являются эффективным механизмом раскачки колебаний плотности заряда. При увеличении /г можно достичь необходимой амплитуды. При исследованных режимах движения, кроме высших г армоник, возможны бифуркация удвоения и генерация субгармоник. Эти процессы синхронизируются с периодом модуляции плотности доноров. Возникновение мелкомасштабных колебаний может привести к стохастизации величин амплитуд крупномасштабных колебаний с периодом 2тг/(0.5г).

Глава четвертая посвящена взаимодействию волн электронного тока с волнами электрозвука, внешней цепи, а также с неоднородным фоновым зарядом и пространственно - периодическим световым полем. Активная роль

столкновений или диссипации в когерентных волновых процессах была исследована на основе анализа дисперсионных уравнений . Столкновительный механизм усиления электрозвука электронным током установлен на основе численного решения дисперсионного уравнения для волн в пьезополупроводнике. В режиме доминирующих столкновений величина 1тк принимает максимальное значение при , когда выполняется соотношение

ю|1-и0/и«')5!=й^, бУм=й)р(4.1)

Условие равенства смещенной частоты и частоты максвелловой релаксации обеспечивается при усг; о'°>5 - скорость звука. При других параметрах пьезополупроводника возможна монотонная зависимость инкремента от частоты столкновений, где столкновения играют "пассивную" роль. При транспорте электронного пучка в столкновительной плазме возможна неустойчивость электронной циклотронной волны. На основе численного решения дисперсионного уравнения устанавливается немонотонная зависимость инкремента от частоты столкновений и активная роль столкновений в процессе возбуждения волны. Роль вязкости во взаимодействии волны плотности электронного тока с полем внешней цепи рассматривается на основе одномерной модели движения, включающей самосогласованное электрическое поле и электрическое поле внешней цепи. При выполнении черенковских условий возбуждение волны внешней цепи обусловливается вязкостным механизмом.

Влияние граничных условий, зависящих от времени, на пространственно -временные процессы при неоднородном распределении нейтрализующего фонового заряда проанализировано на основе уравнений (1.2), (1.2) для электронного транспорта в полупространстве при заданной плотности в виде (2.1). Граничные условия, зависящие от времени, в плоскости 0=0 имеют форму

Щ0,т)=ПЫ1ш ыпПг. (4.2)

Если переменным сигналом в 0=0 является электрическое поле, то

£(0,г)-£ь+81ь (4.3)

Здесь О =<ц/£»р, со - размерная частота процесса. Для анализа линейного отклика применялось двукратное преобразование Лапласа при (4.2) или (4.3). Пространственно-временные процессы рассматривались при г>0 и г<С для

разных параметров:/, Л,г.Численные решения для У,В в зависимости

от при фиксированных т, фурье-спекгры, среднеквадратичные отклонения <ту, числа степеней свободы спектра М дают представления о характере волн электронного тока в условиях с пространственными резонансами. Пространственные резонансы представляют механизм для возбуждения волн

г

плотности и ускорения электронного газа. В пятой разделе дагаюй главы рассматривается транспорт электронного газа во внешнем пространственно -периодическом световом поле. Электрическое световое поле гармонически зависит от времени и определяется в виде последовательности локализованных импульсов вдоль координаты х в соответствии с формулой:

Яе = £теАоып(®0 р-(х-гл0). (4.4)

Здесь частота со находится в оптическом диапазоне или равна разности оптических частот и а2, Х0- характерный период между локализованными импульсами в пространстве. Разложение координатного множителя (4.4) в ряд Фурье содержит постоянную составляющую и пространственные гармоники с одной и той же амплитудой. Для изучения отклика рассматривается система уравнений (1.1), (1.2) для исследования транспорта в полупространстве, причем

электрическое поле в уравнении движения имеет заданную компоненту Ее и

самосогласованную Б, а Ут=0, В линейном приближении Е=В<!>, а

нормированные величины N.. V имеют вид

_/у=ДГ(еч) 5 У=У1«д +У( 1) ,

где Л^), У («и - равновесные величины при 8е=0; М"\ И1', 8(>> зависят от С, г,

обусловлены 8е и являются малыми, если 8е мала. Двукратное преобразование

Лапласа позволяет получить выражение для 8('). Одно из слагаемых этого выражения в моменты т является резонансным. При точном условии резонанса оно выражает секулярный рост амплитуды от координаты С, и имеет вид

(-1/2)/2 ¿2-" £теСсо8(/2г-Уагд;

здесь £2 =а)/а>р г~к/кр, к0 2изХа, уа - номер гармоники. Таким образом, возможна эффективная связь между световым полем и электронами, генерация волн плотности и реализация механизма ускорения электронов.

Предыдущие четыре главы посвящены классическим динамическим процессам: резонансам, структурам и волнам; квантовые волновые свойства при этом игнорировались. Если дебройлевская длина соизмерима с пространственными масштабами неоднородностей, то учет квантовых волновых свойств становится существенным. В пятой главе представлены результаты исследования самосогласованных динамических процессов, включающие квантовые волновые свойства. Для анализа используются квантовые уравнения моментов, основанные на кинетическом уравнении Вигнера-Больцмана, а также гидродинамические уравнения Маделунга. Введение квантовых слагаемых в гидродинамические уравнения необходимо для учета квантовой дифракции и

интерференции, влияния квантовых свойств на классические плазменные и оценок применимости классического описания на микроскопических масштабах. Формулы квантовых слагаемых выражают пространственные производные от квантовых потенциалов. В уравнениях моментов - это потенциал Вигнера Ок, в уравнениях Маделунга - это потенциал Бома. Двухмоментные квантовые гидродинамические уравнения представляют уравнение непрерывности и уравнение движения. Для одномерного бесстолкновительного транспорта уравнение движения имеет вид:

Зо/дм-о Ъи/Ъ Х- (-е/т) Е - (2/3 тп) Ь (пО^/д х - (щУп) дп/Ьх. (5.1)

Здесь потенциал Вигнера определяется как

= (- Шт) Ьг(пШЪх\ (5.2)

где й - постоянная Планка. Из уравнений непрерывности и движения можно установить закон сохранения энергии электронного газа в форме:

д(пптУ2 )/дмд( ппю2 и/2)/дх = - епмЕ - яиРф

где ¥ч = - до?/ д х - квантовая сила. Второе слагаемое правой части обусловлено квантовой силой и выражает квантовое самодействие. Гидродинамический характер самодействия проявляется через квантовую силу . В классическом пределе второе слагаемое отсутствует, а первое слагаемое для газа остается и выражает работу электрической силы.

В разработках лазеров на "свободных" электронах используют различные механизмы возбуждения коллективных колебаний элеюронов. Транспортные или потоковые неустойчивости являются перспективными для этой цели. Двухпотоковая неустойчивость в плазме газов или твердого тела является подходящим механизмом генерации электронных колебаний и излучения. Дисперсионное соотношение, основанное на уравнениях (5.1) и (1.1), (1.2) для двух потоков, имеет четвертый порядок относительно частоты и восьмой порядок относительно волнового числа. Для частного случая оз2р=а>1р=о)р, и2<ес1)=0, и^Ф =и0, ип=ит,-ит (равных плазменных частот и тепловых скоростей двух потоков) дисперсионное соотношение приводится к биквадратному относительно £2

РСЯ-др-а]"^ [2(П+я¥ -а]"1 = 1, (5.3)

где П={со-кх></2)/2™ юр, ц = (/си0/2)(21/2юр), а = (ЬЬ)/(\2т2ар) + (^ит2>42 .

Уравнение (5.3) имеет четыре корня. Пара вещественных корней Ц2 характеризует колебания с постоянной амплитудой. Вторая пара

34 = ± г {{2ц1 (а + 1) + (1/4)]ю - {(р + (а + 1)/2]« } и

является комплексно - сопряженной, когда выражение под первым корнем является положительным. Величина 1мД,<0 определяет неустойчивость и нарастание колебаний во времени. Игнорируя тепловое движение, решение для комплексной частоты имеет вид:

Д = (/со0/2) - Исор {[2( коД^ю^У ( Ыч\2пРсогр + 1) + 1/4] ^ -- [(коД™ ®р)2 + тфкЧПтга^+Щ™ }1/2.

Для классического приближения существует ограничение на максимальные вещественные к при к=к^ , к^=23/г ®р/и0; при этом 1тоз= 0 и неустойчивость отсутствует. Однако, при учете квантовых эффектов /отю4 = О при кгк^, если выполняется неравенство (mv02/2) > (2/3)фау'2). Данное неравенство определяет пороговое условие неустойчивости. Если имеет место равенство (пю07/2) - (2/3)(йсо^2), то 1тсо4-0 и неустойчивость отсутствует. Величина инкремента имеет экстремум при условии ти02/2 = (128/21)« и решение для комплексной частоты <а4 = 2тсор (1 - г/4). Учет теплового движения модифицирует пороговое условие неустойчивости. Однако, изменение этого условия мало, если (от/и0)2«1/4. В диссертации приводятся и другие решения для £2, а также возможность реализации эффектов для баллистического транспорта в полупроводниках. Экспериментальное изучение механизма неустойчивости может быть проведено в приборе с туннельным барьерным эмиттером и базой из ОаЛя п-типа при температуре жидкого гелия. Параметры электронного тока: пе(Н10)х1016слг3, п^-п^/2, и<4.2х107 см/с или 5.2x107аи/с<и<108слг/с. Действие механизма рассежшя на продольных оптических фононах можно игнорировать, если транспортные скорости не принадлежат интервалу (4.2^5.2) х 101см!с. При 5.2х 107си/с<и<108с.и/с легче соблюдать режим и>ит на субмикронной длине базы. Для взаимодействия волны плотности с внешней волной можно использовать металлическую решетку, расположенную перпендикулярно к направлению плотности электронного тока. Период решетки и длина волныо плотности должны совпадать, при указанных параметрах это 500А - 600А и раза в два, три превосходит дебройлевскую длину волны.

Уравнения Маделунга как гидродинамические одномерные уравнения можно представить в виде:

дл/д(+д(т>Удх = 0, (5.4)

т(д и/д 0 + и 3 и/ В х)= -еЕ - ЪО) 3 х. (5.5)

Здесь п - плотность вероятности, и-квантовая гидродинамическая скорость; (5.5) включает электрическое поле Е и производную квантового потенциала Бома Q. Квантовый потенциал Бома О определяется как

Q =( - Ь/2m (l/n ''2 /3jc2).

(5.6)

Плотность вероятности электронного заряда - р = - en, а плотность вероятности электронного тока - j = -eno. Выполняя дифференцирование в формулах для Qw , Q, и сопоставляя их, можно заметить существенное сходство в форме, незначительное отличие определяется численными коэффициентами перед производными в полученных выражениях. Поэтому уравнения Маделунга, как и уравнения моментов, могут быть использованы для приближенного анализа динамических свойств. Для стационарных процессов временные производные равны нулю, уравнения (5.4), (5.5) упрощаются и зависят лишь от координаты. Моделируемый транспорт реализуется в полупространстве шш в области конечных размеров с ионным фоном. Плотность ионного фонового заряда является постоянной или зависящей от координаты. Уравнения (5.4), (5.5) объединяются с уравнением (1.2), в котором плотность -еп имеет смысл плотности вероятности электронного заряда. Переход от размерных величин к нормированным проводится при помощи яь,иь, задаваемых в плоскости инжекции ¿¡=0. Как и в классическом приближение переменные n,v,E заменяем на нормированные N,V,E. Кроме того, в плоскости £=0 могут быть заданы дополнительные

условия. Например, £ь или условие компенсации силы электрического поля действием квантовой силы. Нормированный квантовый потенциал Q и соответствующая ему квантовая сила Fq определяются как

Стационарное уравнение движения имеет интеграл движения. Раскладывая переменные на равновесные величины и малые добавки к ним, линеаризуя исходные стационарные уравнения, можно получить линейные дифференциальные уравнения. Характеристическое уравнение, соответствующее им является биквадратным. Его корни ха, Хр можно представить в виде

Ха2 = +Ф+\ Хр2---ФД ф±2 = [1±(1 (5.7)

Характер решений дифференциального уравнения зависит от знака подкоренного выражения \-2fxy5. Параметры ц и у, удовлетворяющие условию 1-2цуь = 0, определяют кратные корни и являются бифуркационными. При у=1, Atoq) Иеч) =1 в размерном виде это условие означает mvb2/2= fioj^2. Для периодического решения исходного уравнения кинетическая энергия в плоскости инжекции должна быть больше нулевой энергии плазмона. Общее решение зависит от пространственных частот Ф+, Ф_; оно анализировалось при различных граничных условиях. Для области конечных размеров

использовалось условие зарядовой нейтрализации. Дифференцирование функции N1'2 по координате С, и замена производной dN/'dC через у приводит к выражению для и в виде

u = {-fl2N+dyldQI2N.

Учитывая выражение для и, исходную систему стационарных уравнений можно представить в виде уравнений первого порядка:

dyklC, = 2Nu + y</2N, duldQ = (S - у!Щ!ц, (5.8)

d£idt; = -N+y, dNid^y.

Численное интегрирование (5.8) проводилось методом Рунге-Купа при заданных граничных условиях. Граничное условие для «(0) устанавливалось при помощи интеграла движения. Анализ решений (5.8), фурье-спектров полученных реализаций, отображений Пуанкаре был проведен для различных

параметров у, /л, Sb и вариантов граничных условий. Расчеты проводились для , обычно С,ь = 250; для отображений Пуанкаре iL было значительно больше этой величины. Характер анализируемых решений существенно зависит от соотношения между Ф+ и Ф_ или от двух пространственных периодов Т+ = 2л!Ф+, Т_ ~ 2я/Ф_. В точке бифуркации имеем двукратно вырожденный корень алгебраического уравнения (5.7). Для /¿= 0.5, у= 1 величины Ф+, Ф_ совпадают и равны 2т. В числешых расчетах, когда "включаются" нелинейные свойства, происходит расщепление корня и снятие вырождения. Фурье-спектр решений системы исходных дифференциальных уравнений имеет две близкие спектральные линии FN (1.4112), FN (1.4726), их аргументы близки к

21/2=1.41421. Реализации N(Q, S(Q представляют биения; мелкомасштабные колебания промодулированы крупномасштабной огибающей. На длине CL = 250 укладывается три целых крупномасштабных фрагмента и часть четвертого. При

£ь=у(0), /я<( 0)=0 и изменении £ь происходят изменения свойств квазипериодических колебаний. Отображения Пуанкаре характеризуют возможность перехода к синхронизированным колебаниям. При малых р. решения по своим свойствам могут быть достаточно простыми, классическая и квантовая ветви колебаний менее связанными и очевидными. Периоды колебаний, соответствующие ветвям, сильно различаются. Например, при // = 0.01, у = 1 корень дисперсионного уравнения Ф_=1.0025 соответствует классическим колебаниям, а Ф+ = 14.1065 - квантовым. При таком соотношении между Ф_ и Ф+ различие в пространственных периодах двух ветвей становится выразительным. Числешюе интегрирование уравнений проведено при условии зарядовой нейтрализации, и = 0.01, у= 1 и граничных

условиях £ь = 0.002, >(0) = 6.053611, ы(0)= 1.5, Сь = 250. ДляДГ(С), ^(О

мелкомасштабные колебания с периодом 2я/Ф+ имеют крупномасштабную огибающую, период которой близок к 2л/Ф_ и соответствует классическому

плазменному масштабу. Зависить £(£), наоборот, можно интерпретировать как модуляцию крупномасштабных классических колебаний мелкомасштабными квантовыми колебаниями. Фурье-спектры, соответствующие реализации дают дополнительную информацию о характере модуляции. Они содержат спектральную "классическую" линию и ее вторую гармонику. "Квантовая" спектральная линия т.е. соответствующая Ф+, не выражена непосредственно. Зато выражена линия при д0 = 14.650, причем разница q0 - 0.5Ф_ близка

к расчетной величине Ф+. Слева и справа от размещены боковые линии, их аргументы отличаются на величину, близкую Ф_.

Модуляционные режимы движения без роста амплитуды, рассмотренные в диссертации, являются наиболее простыми. С другой стороны, при других значениях параметров возможны неустойчивости и резонансы. Например, при //-0.32 и, соответственно, Ф+/Ф_=2 происходит внутренний

параметрический резонанс. При очень малой величине Еь происходит медленная раскачка пространственных колебаний на достаточно больших

транспортных длинах. С увеличением 8Ь или транспортной длины происходит резкое увеличение скорости роста амплитуды. Для участка с медленным ростом амплитуды фурье-спектр имеет интенсивные спектральные линии кЪ\Ф_) и РА'(Ф+), причем ЩФ>ЩФ+). Для полного интервала, включающего также участок быстрого роста, может выполняться равенство ЕМ(Фу=РМ(Ф+). Быстрый рост может носить взрывной характер. Фурье-спектр для такого процесса является широкополосным.

Если распределение фонового положительного заряда задается в виде модельной формы (2.1), то в системе, наряду с Ф_, Ф+, появляется дополнительная пространственная частота г. Для изучения резонансов исследованы режимы движения при Ф+=г, Ф_=г, а также при других соотношениях между пространственными частотами. Решения системы уравнений очень чувствительны к вариациям параметров.

Очень малые изменения г или И могут привести к расстройке, к прекращению секулярного роста амплитуды колебаний и возникновению биений. Если выполняется соотношение Ф+/Ф_ = 2, Ф+ = г, то в процессе роста амплитуды колебаний характер резонанса может изменяться: колебания с периодом 2я/Ф+ переходят в колебания с периодом 2 л/Ф_. После определенного числа циклов происходит обратный переход к колебаниям с периодом 2я/Ф+ и более резкий рост амплитуды колебаний. Подобная картина процессов также имеет место, если Ф+/Ф = 2, Ф_- г. В отличие от предыдущего режима процессы идут быстрее. При выполнении соотношения Ф+1Ф_ = 4 и

равенств г = Ф+, либо г=Ф_ возможна раскачка пространственных колебаний и взрывной характер процессов. Результаты численного моделирования дают представления о многообразии свойств, характеризуют внутренние резонансы и резонансы на неоднородностях, квазипериодические колебания и биения; однако они не исчерпывают множества других типов процессов.

В проведенных расчетах колебаний квантовый потенциал Q, квантовая сила Fq, электрическое поле Б и суммарная сила через определенные промежутки равны нулю. Если квантовая сила Fq=0, то в этих точках £ -решения уравнений являются классическими, а величина N имеет смысл классической плотности. Для слоистых сред с пространственной зависимостью эффективной массой электрона также формулируются уравнения Маделунга и квантовый потенциал, рассматривается возможность параметрической пространственной неустойчивости плотности вероятности электронного заряда. Наряду с численным интегрированием стационарных уравнений Маделунга и Максвелла, проведен качественный анализ уравнений с частными производными для волн плотности вероятности электронного заряда. Дисперсионное уравнение для волн имеет формальное сходство с уравнением для колебаний балки на упругой основе и анализируется аналогичным образом. Решение дисперсионного уравнения для волн плотности вероятности заряда несущественно отличается от решения для волн плотности заряда, основанного на квантовых уравнепиях моментов для холодных электронов.

ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Для исследования пространственно-временных и стационарных пространственных процессов в диссертационной работе применяются двух- и трехмоментные транспортные гидродинамические уравнения. Как известно, они широко используются не только тогда, когда выполняются условия их справедливости, но и в более широкой области параметров, когда эти условия могут не выполняться. Поэтому предпринятое исследование в данной работе позволяет провести полезный качественный анализ, а при выполнении соответствующих условий и количественный анализ. Для изучения динамических процессов на масштабах, соизмеримых с дебройлевской длиной волны, использовались моменты квантового кинетического уравнения и уравнения Маделунга.

Одна из основных моделей, рассматриваемых в диссертации, - инжекция и транспорт электронов в полупространстве. В модели с полупространством задаются граничные условия. При различных параметрах среды рассматривается отклик электронного газа. Модель с полупространством является базовой. При помощи ее исследуются разнообразные процессы. Существенное внимание уделяется стационарным сценариям динамических

процессов, основанных на стационарных уравнениях. Наряду с ними проводится изучение пространственно - временных процессов на основе уравнений в частных производных, зависящих от координаты и времени.

В диссертации рассмотрены нелинейные процессы, амплитуды которых соизмеримы с однородными равновесными значениями переменных, а также слабые сигналы. При этом знак гидродинамической скорости оставался неизменным, хотя в отдельных точках скорость была нулевой. Несмотря на разнообразие задач и вопросов, изложенных в диссертации, они являются выражением универсальных закономерностей: переходов из однородных состояний в структурированные, пространственных резонансов, модуляции и самомодуляции, волновых взаимодействий и неустойчивостей. Эти исследования являются развитием работ автора по волнам плотности и сверхвысокочастотному полупроводниковому диоду при низких температурах [2].

В модели бесстолкновительной среды проведен точный анализ волн плотности с неизменным профилем и переход к стационарным структурам. Для бесстолкновительного транспорта в полупространстве с однородным фоновым зарядом происходит генерация стационарных пространственно - периодических структур, если переменные в плоскости инжекции отличаются от равновесных однородных величин. При слабых отклонениях от равновесия Фурье-спеетр имеет резко выраженную основную гармонику. С увеличением отклонения растет число высших гармоник и их интенсивность. Амплитуда и период пространственных структур определяются через параметр нейтрализации.

Диод Пирса, как модель ограниченной системы, применяется не только в радиоэлектронике, но и в физике, химии. В диссертации предлагается модифицированная модель диода, включающая самосогласованное определение граничного поля на эмиттере и динамических переменных, зависящих от него. При определенных параметрах в диоде Пирса можно сформировать области с высокой плотностью электронов, являющиеся аналогами виртуальных катодов в вакуумном диоде.

Для электронного транспорта в однородной среде, когда рассеяние является слабым и описывается постоянной частотой столкновений, колебания плотности электронов медленно затухают; динамические переменные стремятся к своим однородным равновесным значениям. Если в приближении с постоянной частотой столкновений диссипативная сила пропорциональна скорости, а ее производная по скорости постоянна, то для конкретных

[2] Санин А.Л. Электронное приборостроение. Энергия. Ленинградское отделение. 1968. В.5. С.136 - 147.

механизмов рассеяния ситуация может быть иной. Здесь диссипативная сила может нелинейным образом зависеть от гидродинамической скорости. При этом в уравнении колебаний диссипатавный член имеет переменный коэффициент в виде производной по скорости, влияющий на формирование диссипативных структур. При совместном действии разных механизмов рассеяния (продольные оптические фононы, взаимодействия через деформационный потенциал, ионизованные доноры) как раз возможно формирование диссипативных структур электронного тока в полупроводнике.

Проблема пространственных резонансов электронного тока является центральной; она изложена во второй главе, а также во многих разделах других глав. Пространственные резонансы электронного тока в неоднородных средах (плазме и полупроводниках) являются эффективным механизмом генерации колебаний как для стационарного тока, так и для зависящего от времени. Они могут быть реализованы в широком диапазоне параметров, для разных форм распределения положительного фонового заряда и при различных механизмах рассеяния. При вариациях плотности нейтрализующего заряда (т.е. искусственной или естественной модуляции) существенным является характер ее Фурье-спектра. От этого зависят свойства резонанса и его интенсивность. Стационарные уравнения для резонанса представлены в двух видах. В одном из них динамическая переменная зависит от координаты; в другом - координата от времени. Если распределение имеет однородную компоненту и периодическую добавку, то при совпадении периодов (пространственных частот) собственных колебаний и добавки, возможен обычный резонанс. При слабой неоднородности и умеренных транспортных длинах секулярный рост для скорости и поля - линейный, пропорционален амплитуде добавки. При кратных периодах и диссипации возможны параметрические резонансы с пороговым условием. Инкремент параметрической неустойчивости можно скомпенсировать и сформировать пространственную структуру в виде периодической последовательности виртуальных катодов. Пространственные резонансы могут быть использованы для возбуждения волн плотности электронного тока, для ускорения заряженных частиц, в разработках лазеров на свободных электронах и в других целях.

Для квазибаллистического транспорта в арсениде галлия при совместном действии разных механизмов рассеяния проявляются субгармонические резонансы и стохастизация, обусловленная рассеянием на продольных оптических фононах. Влияние рассеяния на продольных оптических фононах быстро ослабевает, если скорость электронов превосходит пороговую на определенную величину. Им можно пренебречь в явлении двухпотоковой неустойчивости для определенного интервала транспортных скоростей. Хотя длины свободного пробега электронов в полупроводниках могут превышать десятки микрон, реализация транспорта без столкновений, нагрева и перехода к

диффузионному режиму является целью. В этой связи проведено исследование инжекции холодных электронов, транспорта и нагрева в неоднородной среде; на основе простой модели установлен темп и характер роста электронной температуры в условиях резонанса и расстройки. Фурье-спектр содержит интенсивные пикообразные спектральные линии. В отличие от режимов с постоянной температурой, они смещены вправо относительно исходных значений. Как и во всех транспортных режимах высшие гармоники обусловлены нелинейными эффектами.

.Волновые неустойчивости электронного тока, обусловленные столкновениями; экстремумы инкремента в зависимости от частоты столкновений характеризуют конструктивную роль диссипации в коллективных процессах. Квантовые волновые свойства становятся существенными на микромасштабах, при переходе к коротким длинам волн плотности и оптическому диапазону частот. На основе моментов квантового кинетического уравнения предсказывается двухпотоковая неустойчивость в оптическом диапазоне. .При соблюдении ряда допущений впервые проводится качественный анализ и численное интегрирование уравнений Маделунга и Максвелла; формулируется закон сохранения энергии, включающий квантовое самодействие. Генерация струетур, связанная с плазменной и дебройлевской частотами; квазипериодичность и самомодуляция, внутренние резонансы, резонансы на неоднородностях фонового заряда и с вариациями эффективной массы электрона открывают дополнительные возможности управления динамическими свойствами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л. Электронная синергетика. Л. ЛГУ. 1989. 250с.

2. Привалов В.Е., Санин А.Л. Пространственная релаксация электронов в . газоразрядных лазерах.// Оптика и спектроскопия. 1993. Т. 74. В. 5. С.

1009-1012.

3. Привалов В.Е., Санин А.Л. Стационарные волны и пространственно-периодические структуры в плазме лазера.// Оптика и спектроскопия. 1994. Т. 76. №3. С. 514-519.

4. Санин А.Л. Диод Пирса с частичной нейтрализацией заряда.// Научное приборостроение. 1992. Т. 2. №2. С. 30-36.

5. Санин А.Л. Причинность и формирование упорядоченных структур тока в полупроводниках.// Моделирование на ЭВМ структурных дефектов в кристаллах. АН СССР ФТИим. Иоффе А.Ф. Л. 1988. С. 195.

6. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л., Яковлев Д.Р. Структуры частично нейтрализованного потока электронов.// Современные методы расчета электронно-оптических систем. Материалы VIII Всесоюзн. семинара. Л. 1986. С. 130.

7. Сашш А.Л. Структуры и хаос - проблемы физики. Л. Знание. 1985. 32 с.

8. Санин А.Л. Распределение энергий электронов, поля в стационарном режиме диода Пирса.// Научное приборостроение. 1997. Т.7. № 1-2. С.58-63.

9. Санин А.Л. Самосогласованная диодная модель газоразрядного лазера.// БГТУ. Росс, центр лазерной физики. "Лазеры и современное приборостроение". Тез. докл. четвертой школы-семинара-выставки. С.-Пб. 30-31.1.1995. "Российский центр лазерной физики". С.-Петербург. 1996. С. 9.

10. Милешкияа Н.В., Санин А.Л. Влияние распределения электрического поля и дрейфа электронов в полупроводнике на электронную эмиссию.// Электроника поверхности. Межвузовский сборник. Л. ЛГУ. 1982. С. 119-124.

11. Ермолаев Ю.Л., Румянцев А.А, Санин А.Л., Яковлев Д.Р. Волны резонансных структур в плазме.// VI Всес. конф. по физике низкотемпер. плазмы. Тезисы докл. Л. 1983. Т. 1. С. 375-377.

12. Санин А.Л., Ермолаев Ю.Л., Мизандронцев Д.Б. Структуры электронного тока в неоднородных системах.// Изв. ВУЗ. Прикладная нелинейная динамика. Саратов. 1993. Т. 1. №1,2. С. 109-116.

13. Санин А.Л. Приборы СВЧ с периодическими стационарными полями: Автоматизация проектирования устройств и систем СВЧ.// Матер. Всесоюз. совещания-семинара. Красноярск. 1984. С. 136-137.

14. Ермолаев Ю.Л., Лобанов М.Н., Молодых А.А., Санин А.Л. Электронные структуры и неустойчивости в полупроводниках.// Одшшадцатое совещание по теории полупроводников. Ужгород. 1983. С. 197-198.

15. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л., Яковлев Д.Р. Моделирование на ЭВМ пространственно-периодических токовых структур в полупроводниках.// Всесоюз. конф. "Радиационная физика полупроводников и родственных материалов". Ташкент. 1984. С.137-138.

16. Санин А.Л. Электронные структуры в неоднородных полупроводниках и диэлектриках.// Тез. докл. конф. Сер. 6. Матер. В. 5(281). Электрофизика слоистых структур. ЦНИИ "Электроника". 1988. С. 92-95.

17. Sanin A.L. Ermolaev Yu.L. Electron stream structures in inhomogeneous active mediura.//Lasers and modem instrument engineering. Proc. school-seminar-exhibition. Rus. Ac. Sci. Inst. Analyt. Instrum. S.Petersburg. 1992. P. 231-238.

18. Санин А.Л., Ермолаев Ю.Л. Транспорт, нагрев и структуры электронного газа в неоднородных средах.// Фундаментальные исследования в технических университетах. Материалы научно-технической конференции 16-17 июня 1997. Санкт-Петербург. 1997. С. 223-224.

19. Санин А.Л. Влияние случайно распределенных доноров на динамику баллистических электронов.//Физика и техника полупроводников. 1993. Т. 27. В.5 С. 895-906.

20. Санин А.Л., Мизандронцев Д.Б. Микроскопическое моделирование переноса электронов в полупроводниках.// Моделирование на ЭВМ дефектов и процессов в металлах. ФТИ им.Иоффе А.Ф. Л. 1990. С. 91-92.

21. Saiiin A.L., Mizandrontsev D.V. Spatial structures of ballistic electrons in inhomogeneous semiconductors.// XV семинар Северо-западного региона. "Физические и химические явления на поверхности полупроводников и границах раздела." Новгородский политехнический институт. Ленинградский политехнический инстшут. Физическое общество СССР.Новгород. 1990. С. 40-41.

22. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л. Спектры структур тока баллистических электронов.// Двенадцатое совещание по теории полупроводников Киев. 1985. Ч. 1.С. 249-250.

23. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л., Фурье-спектры электронных структур при квазибаллистическом переносе.// Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах. Тез. докл. ПВсес. совещания. Ярославль. 1988. С. 66.

24. Ермолаев Ю.Л., Санин А.Л., Солдатов А.Е. Модели рассеяния электронов при баллистическом переносе.// Моделирование на ЭВМ структурно-чувствительных свойств кристаллических материалов. ФТИ АН СССР им. Иоффе А.Ф. Л. 1986. С. 75-76.

25. Санин А.Л., Ермолаев Ю.Л. Динамика и резонансные колебания баллистических электронов в неоднородном полупроводнике.// Физика и техника полупроводников. 1995. Т,29. В.7. С. 1277-1287.

26. Санин А.Л., Ермолаев Ю.Л. Реконструкция структур тока при рассеянии электронов на ионизованных донорах и фононах в неоднородном полупроводнике.// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т.З. №5. С. 55-64.

27. Санин А.Л. Резонансные свойства резистивной неустойчивости.// Физика тв. тела. 1973. Т. 15. №3. С. 752-754.

28. Ровинец O.E., Санин А.Л. Столкновительный механизм усиления акустических волн.// Физика тв. тела 1974. Т. 16. №7. С. 1907-1910.

29. Рыков В.А., Санин А.Л. Вязкостное затухание колебаний дрейфующей плазмы.//Журн. техн. физики. 1978. Т. 48. В. 7. С. 1532-1533.

30. Санин А.Л., Юдин С.Ф. Анализ нарастающих поверхностных волн.// Физика и техника полупроводников. 1973. Т. 15. В. 8. С. 1593-1596.

31. Агапьев Б.Д., Санин А.Л., Яковлев Д.Р. Высокочастотные волны периодически неоднородного полупроводника.//1 Всесоюзная конференция по интегральной электронике СВЧ. АН СССР. Мин. ВУЗ

РСФСР. Новгород. 1982. С. 17.

j-----------------------------------------------------------------------------

I

32. Санин A.JI. Волны в плазме с периодически неоднородным внешним полем.//1 Всесоюзная конференция по интегральной электронике СВЧ. АН СССР. Мин. ВУЗ РСФСР. Новгород. 1982. С. 18.

33. Санин А.Л. Взаимодействие периодически локализованного светового поля с электронами.// Оптика и спектроскопия. 1993. Т.74. В.2. С.315-321.

34. Санин А.Л. Квантовый транспорт электрона в пространстве с однородным положительным зарядом и световой волной.// Оптика и спектроскопия. 1994.1.11. №5. С. 822-826.

35. Санин А.Л. Уравнения Маделунга и Максвелла-Лоренца для электрона с переменной эффективной массой.// Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 80. №4. С. 540-543.

36. Санин А.Л. Квантовые уравнения Маделунга.// ГК РФ С.-Пб. ГТУ. Российская научно-техническая конференция "Инновационные наукоемкие технологии для России". 25-27.IV-95. Тез. докл. 4.5. С.-Петербург. 1995. С. 155.

37. Sanin A.L. Quantum electron hydrodynamics under charge neutralization conditions.// Proc. of Intern. Conference "New Ideas in Natural Sciences". Part.I. Physics. Russian Sci.Acad. St.Petersburg. 1996. P. 151-156.

38. Ермолаев Ю.Л., Carom А.Л. Яковлев Д.Р. Волны и стохастичностъ структур тока.// IV Всесоюзный симпозиум по миллиметровым и субмиллиметровым волнам. Т.П. Харьков. 1984. С. 105-106.

39. Санин А.Л. Неустойчивость и плазменные колебания электронного транспорта в инфракрасной области спектра.// Оптика и спектроскопия. 1995. Т.79. №1. С. 32-35.

40. Sanin A.L. Electron synergetics: Quantum hydrodynamic view-point.// Internat. workshop on new approaches to hi-tech materials 97. Nondestructive testing and computer simulations in materials science and engineering NDTS-97. Program, abstracts. 9-13 June 1997. St. Petersburg, Russia. B-10. Proceedings SPIE - The International Society for Optical Engineering. January 1998. V.3345. P. 122 - 128.

Лицензия ЛР №020593 от 9.05.9^ .

Подписано в печать Jb.04.SZ- Объем в пл. Z.0 . Тираж {00 ■ Заказ № .

Отпечатано в Издательстве СПб ГТУ 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

/ /1 67

/

Санкт — Петербургский Государственный технический университет

На правах рукописи

г). . ^

4

Санин .Щедрей Леонардович

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РЕЗОНАНСЫ, СТРУКТУРЫ И ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОННОГО ТОКА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальности: 01. 04. 03. — радиофизика,

01. 04. 04. — физическая электроника

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт — Петербург 1997

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение ............................................................4

Глава I. Нелинейные пространственно — временные процессы

электронного газа ..........................................13

1.1. Транспортные гидродинамические уравнения ..................13

1.2. Циклоидальные свойства нелинейных электронных волн .... 21

1.3. Пространственно — периодические структуры электронного тока 31

1.4. Переход к стационарному состоянию ................45

1.5. Баланс энергий и граничное поле в диоде Пирса ..............57

Глава II. Пространственные резонансы и структуры ..................67

2.1. Основные резонансы электронного потока ....................67

2.2. Электронный отклик при вариациях периода и формы распределения нейтрализующего заряда........................81

2.3. Нелинейное изменение частоты и параметрические уравнения 100

2.4. Резонансы при временных переходных процессах..............105

2.5. Температурная расстройка электронных резонансов и биения 121

Глава III. Баллистический транспорт в неоднородных полупроводниках 131

3.1. Влияние случайно распределенных доноров на динамику баллистических электронов ....................................131

3.2. Модельная формула скачка диссипации и реализации..........144

3.3. Фурье — спектры при скачках диссипации ......................153

3.4. Ляпуновские показатели ......................................162

3.5. Реконструкция структур тока при рассеянии электронов на ионизованных донорах и фононах ...................167

Глава IV. Транспортные неустойчивости электронного газа и взаимо —

действие с внешними полями ..............................180

4.1. Диссипативные неустойчивости ..............................180

4.2. Столкновительный механизм усиления акустических волн ... 186

4.3. Вязкостное затухание волн токовой плазмы ....................191

4.4. Нестационарные граничные условия и структуры ..............194

4.5. Резонансный механизм ускорения электронов в пространственно — периодическом световом поле ................................209

Глава V. Квантовый потенциал в уравнениях гидродинамики для

электрона и газа ............................................216

5.1. Уравнения Маделунга и Максвелла — Лоренца ..................216

5.2. Граничные условия и одномерный транспорт....................222

стр.

5.3. Численное интегрирование стационарных уравнений............233

5.4. Волны плотности заряда ........................................254

5.5. Моменты квантового кинетического уравнения и неустойчивости 259

Заключение ............................................................265

Приложения ..........................................................268

П.1. Моделирование стационарных и пространственно — временных

процессов ..................................................268

П.2. Метод быстрого преобразования Фурье ......................270

П.З. Вычисление Ляпуновских показателей . .....................272

Литература ............................................................274

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Транспорт электронного газа в средах с распределенным положительным зарядом является объектом интенсивных исследований в современной физике и радиоэлектронике. Особый интерес представляет нелинейный динамический отклик электронного газа на полевые воздействия или структурные вариации параметров среды. Несмотря на многолетнюю историю и достигнутые результаты, интенсивные теоретические и экспериментальные исследования, компьютерное моделирование продолжаются. Особый интерес к проблеме связан с развитием фундаментальной науки неравновесных и нелинейных процессов, а также многочисленными приложениями. Электронный ток, обусловленный транспортом, может быть функцией координат и времени, либо оставаться постоянным. Динамический отклик может выражаться через пространственно — временные изменения динамических переменных в виде различных типов колебаний и самоорганизующихся структур.

Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании пространственных резонансов, механизмов генерации структур и пространственно — временных колебаний электронного тока в неоднородных средах. Неоднородные свойства определяются пространственной модуляцией плотности нейтрализующего фонового заряда, эффективной массы электрона или внешним неоднородным полем. Эти исследования мотивируются внутренней логикой развития радиофизики и электроники, теории колебаний и синергетики; они составляют фундаментальную основу в разработках приборов на сверхвысоких и оптических частотах. Для реализации этой цели используются аналитические методы и компьютерное моделирование.

В настоящей работе проведены обширные исследования транспорта и динамических пространственных структур при различных режимах движения и распределений фонового положительного заряда. Как известно, одно из простых распределений представляет модель желе. Для этой модели плотность фонового положительного заряда не зависит от координат и является однородной. В других моделях принимают точечное распределение ионов и описывают их при помощи 5— функций. Кроме того, используется модель распределенных в пространстве малых сфер с радиусами атомных размеров. Современная технология позволяет создавать различные распределения ионов в полупроводниках. Учитывая существующие модели и технологические возможности, в настоящей работе рассматриваются распределения с вариациями плотности фонового заряда. Два типа вариаций обсуждаются: пространственно —периодические и случайные типа "белого шума". Для описания электронного газа двух— и трехмоментные транспортные гидродинамические уравнения применяются совместно с уравнениями

Максвелла. Вывод гидродинамических уравнений основывается на классическом уравнении Больцмана и квантовом кинетическом уравнении Вигн ера — Больцмана. Таким образом, пространственно — временная динамика исследуется на разных масштабах, включая микроскопические. Процессы рассеяния учитываются как при помощи модельных интегралов столкновений, так и посредством детального описания. Совместный учет различных механизмов рассеяния выполняется для квазибаллистического транспорта электронного газа в полупроводниках. Эффект нагрева электронного газа и рост электронной температуры влияют на соотношение между тепловой скоростью и скоростью направленного упорядоченного движения и определяют критическое условие, при котором характер движения качественно изменяется.

Диссертация состоит из пяти глав. Первые четыре из них посвящены классическим динамическим эффектам. В них рассматриваются условия, при которых однородные состояния электронного газа уже при однородном распределении фонового положительного заряда переходят в структурированные и происходит формирование пространственно — периодических структур. Проводится анализ пространственно — временных изменений динамических переменных (волн плотности электронного заряда) с неизменным профилем и постоянной амплитудой на основе точных аналитических решений, устанавливается циклоидальный характер зависимости переменных от координат и времени. Эти волны могут трансформироваться в стационарные пространственные структуры. Переход в стационарные состояния и структуры также рассматривается для полуограниченного пространства при заданных стационарных граничных условиях. Переходные пространственно — временные процессы при стационарных граничных условиях исследуются аналитически при помощи двукратного преобразования Лапласа, а также на основе численного моделирования управляющих уравнений.

Эти исследования подтверждают справедливость стационарных сценариев динамических процессов, которые широко используются в исследованиях и в данной работе. Для диода Пирса формулируется дополнительное уравнение к основным уравнениям, которые традиционно применяются в различных исследованиях. Это уравнение баланса энергий, оно включает энергии источника питания, кинетическую — электронного газа и электрического поля. В результате самосогласованным образом найдено граничное электрическое поле в плоскости эмиттера и рассмотрено точное решение для динамических переменных в межэлектродном пространстве. Модель диода Пирса получает дальнейшее развитие. Таким образом, нелинейный анализ пространственно — периодических процессов выполнен как для

неограниченных, полуограниченных, так и для конечных областей транспорта электронного газа.

Электронная подсистема чувствительна к вариациям плотности фонового заряда. При вариациях плотности фонового заряда возможны пространственные резонансы на неоднородностях. Они имеют место как при регулярных вариациях плотности, так и при случайных. Резонансный механизм формирования пространственно — неоднородных структур на вариациях плотности фонового положительного заряда открывает возможности управления электронными потоками в плазменных средах, искусственных системах с ионами и применения в электронных приборах, лазерах на свободных электронах. Это представляет интерес для объяснения структур в космической плазме, а также для баллистического транспорта электронного газа в полупроводниках с модуляцией плотности доноров. При определенных соотношениях между пространственными периодами собственных колебаний и варьируемого фонового заряда возможен интенсивный секулярный рост амплитуды резонансных колебаний. Проведены обширные численные исследования управляющих уравнений, изучены фурье — спектры решений, отображения Пуанкаре.

На основе трехмоментных гидродинамических уравнений и уравнений Максвелла для электронного газа проведен анализ роста электронной температуры и влияния температурных эффектов на расстройку резонансов, возникновение биений. При очень высоких температурах электронного газа тепловая скорость сравнивается со скоростью направленного движения и режим движения может качественно измениться — перейти к диффузионно—дрейфовому. Путем выбора профиля фонового положительного заряда можно ослабить или устранить расстройку резонанса. Изучение резонансов на случайных неоднородностях фонового положительного заряда показывает, что определяющим параметром является среднее значение фоновой плотности по длине. Оно определяет собственную пространственную частоту колебаний, которые "подбирают" колебания с соответствующей частотой в спектре частот случайной неоднородности и самоорганизует резонанс с достаточно выраженными свойствами. Такая реакция электронного газа, транспортируемого через дискретно распределенный в пространстве фоновый заряд, оправдывает модель желе с однородной плотностью заряда.

Рассеяние электронного газа рассматривается в приближении с постоянным временем релаксации. Для пороговых механизмов рассеяния, как например рассеяние на продольных оптических фононах в полупроводниках, предложена модельная формула скачка рассеяния. Проведены исследования фурье — спектров, ляпуновских показателей электронного отклика для такого модельного механизма. Баллистический транспорт электронного газа и

формирование пространственных структур моделируется не только для данных простых приближений механизмов рассеяния, но и при конкретных микроскопических механизмах. Детальные исследования проведены для баллистического транспорта в СаАв п — типа при учете совместного действия различных механизмов рассеяния: на ионизованных донорах, продольных оптических фононах, акустических фононах. В системе формируются диссипативные структуры с постоянной амплитудой колебаний при однородной фоновой плотности. Если плотность доноров промодулирована, зависит от координаты, то возможны резонансные механизмы и секулярный рост амплитуды, а также другие режимы синхронизации и колебаний. Кроме регулярных, возможны стохастические процессы.

Конструктивная роль столкновений электронного газа в развитии транспортных неустойчивостей при выполнении черенковских условий рассматривается на ряде примеров. Они демонстрируют области параметров, где столкновения играют "активную" или "пассивную" роль. Пороговые нелинейные механизмы формирования пространственно — периодических процессов возможны при определенных соотношениях между амплитудой неоднородности фонового заряда и параметром рассеяния. При этом однородная компонента плотности фонового заряда может быть много меньше электронной плотности в плоскости инжекции.

Резонансный механизм пространственных колебаний возможен при однородном фоновом заряде, но при периодически—неоднородном внешнем электрическом поле. Внешнее электрическое поле может быть создано двумя или системой лазеров. Резонансный механизм является эффективным способом ускорения электронного газа.

Машинное моделирование динамических процессов проведено при помощи стандартных методов: Рунге — Кутта — Фельберга, дифференциально — разностной аппроксимации, быстрого преобразования Фурье, вычисления ляпуновских показателей и отображений Пуанкаре. В первых четырех главах представлены результаты в классическом приближении, где используются классические гидродинамические уравнения. В последней пятой главе учитываются квантовые эффекты. На основе квантовых гидродинамических уравнений Маделунга, а также моментов квантового кинетического уравнения совместно с уравнениями Максвелла проведены анализ и численное моделирование динамических структур и волн как отдельного электрона, так и газа для пространства с распределенным фоновым зарядом.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе,

заключается в следующем:

1. Сформулированы условия перехода из однородного состояния электронного тока в структурированные.

2. Установлен циклоидальный характер зависимости переменных от аргументов для волн плотности с неизменным профилем и стационарных структур.

3. Сопоставлены пространственные зависимости решений уравнений в частных производных с решениями соответствующих стационарных обыкновенных дифференциальных уравнений, изучены переходные временные процессы и формирование пространственных стационарных структур электронного тока.

4. Модифицируется стационарная модель диода Пирса и формулируется самосогласованная процедура отыскания граничного поля на эмиттере совместно с переменными для межэлектродного пространства.

5. Хотя исследования электронного газа во внешних полях проводятся давно, проблема самосогласованных нелинейных транспортных процессов, включающая пространственные резонансы и сложные реализации в неоднородных средах, явления синхронизации, Фурье — спектры все еще является малоизученной. Выполнение такой программы исследований при разных видах регулярных и случайных неоднородностей, для бесстолкновительного и диссипативного транспорта, в приближении с постоянными временами релаксаций по импульсу и энергии, с конкретными механизмами рассеяния, учете нагрева было проведено в диссертации и определяет новизну и оригинальность результатов.

6. Нелинейные свойства, проявляющиеся в генерации высших— и субгармоник, самомодуляции, а также стохастизации при процессах рассеяния с пороговым механизмом, на продольных оптических фононах изучены с достаточной полнотой впервые.

7. Результаты исследования резонансов являются фундаментальным вкладом в развитие научных представлений, планирование эксперимента в этой области радиофизики и физической электроники, а также других отраслей знания.

8. На основе найденных экстремумов инкрементов неустойчивостей как функций частоты столкновений устанавливается конструктивная роль диссипации в формировании когерентных волновых процессов электронного тока.

9. Проведены оригинальные аналитические и компьютерные исследования волн плотности в условиях резонансов на неоднородностях.

10. Предлагается механизм ускорения электронов при помощи пространственного резонанса во внешнем периодически-неоднородном световом поле.

11. Впервые проведен качественный анализ и численное интегрирование замкнутой системы уравнений Маделунга и Максвелла-Лоренца для квантовой жидкости, транспортируемой в пространстве с распределенным положительным зарядом.

12. Сравнение уравнений Маделунга с квантовыми уравнениями моментов для холодных электронов показывает их существенное сходство, если квантовая гидродинамическая плотность отождествляется с плотностью газа. Так как квантовая сила, обусловленная квантовым потенциалом, через определенные пространственные промежутки равна нулю, а система переходит к классическому пред�