Псевдогомотопическая классификация многомерных сингулярных зацеплений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Предисловие.

§1. Введение.

1.1. Основные определения.

1.2. Краткое содержание работы.

1.3. Расположение материала.

ГЛАВА 1. СИНГУЛЯРНЫЕ (г, к, р)-ЗАЦЕПЛЕНИЯ.

§2. Множество М(г, к,р).

2.1. Структуры в множестве М(г,к,р).

2.1.1. Материал, нужный для п. 2.1.2 и 2.1.3.

2.1.2. Групповая структура в множестве М( 1, к,р).

2.1.3. Действие группы 0М(Ц,р) в множестве М(г,к,р). 17 2.1.4• Материал, нужный для п. 2.1.5. 18 2.1.5. Групповая структура в множестве М(г,к,р) при р<2к-1.

2.2. Редукция проблемы из 1.1 к ее частным случаям.

2.2.1. Разложение множества М(г, к,р).

2.2.2. Отображение 8.

2.2.3. Добавление.

2.3. Замечание.

§3. Группа бР{г, А).

3.1. Определение группы 0Р(г, А).

3.2. Разложение группы @р(г, А).

3.3. Вычисление группы 0).

3.4. Короткая последовательность для группы 0р(г, А).

3.5. Добавление к п. 3.4.

§4. Гомоморфизмы Л и £ и отображения 7г и р.

4.1. Гомоморфизм Л.

4.2. Гомоморфизм

4.3. Материал, нужный для п. 4.4. 31 4-3.1. Множество С (г, к) и отображение Л. 32 4-3.2. Базисные вложения. 33 4-3.3. Периферические вложения. 34 4-3.4- Основная лемма.

4.4. Отображение 7г и множество

4.5. Отображения р^ и р.

4.6. Добавление к п. 4.5 и замечание.

4.7. Отображение тт(и).

4.8. Короткая последовательность для множества

4.9. Применение.

§5. Доказательства, пропущенные в

§2.

5.1. Доказательство леммы из 2.1.1.

5.2. Лемма, нужная для п. 5.3.

5.3. Доказательство теоремы 2.2.1.

§6. Доказательства, пропущенные в

§3.

6.1. Доказательство теоремы 3.2.

6.2. Доказательство лемм 1-3 и теоремы из п. 3.4.

6.2.1. Теорема, из которой следуют леммы и теорема п. 3.4.

6.2.2. Материал, нужный для доказательства теоремы 6.2.1.

6.2.3. Первый этап доказательства: последовательность для группы 7г' (р, г, А).

6.2.4■ Второй этап доказательства: последовательность для группы тт" (р, г, А).

6.2.5. Завершение доказательства теоремы 6.2.1.

6.2.6. Следствие.

§7. Доказательства, пропущенные в

§4.

7.1. Доказательство леммы 4.3.4.

7.2. Материал, нужный для п. 7.3.

7.2.1. Пространство У.

7.2.2. Гомотопическая структура пространства У.

7.2.3. Применение.

7.3. Доказательство леммы 4.4.1.

7.4. Доказательство первой части теоремы 4.7. 85 7.4-1- Подготовительный материал. 85 7.4-2. Основная лемма. 86 7.4-3. Доказательство основной леммы.

7.5. Завершение доказательства теоремы 4.7.

7.5.1. Две леммы.

7.5.2. Вывод взаимной однозначности отображения 7г(гг) из лемм предыдущего подпункта.

7.5.3. Доказательство леммы 7.5.1.2.

7.6. Доказательство теоремы 4.2.

ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ 1. Псевдогомотопические инварианты сингулярных (г, &,р)-зацеплений.

ГЛАВА 2. ЗАЦЕПЛЕНИЯ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ

БОЛЬШИХ ДВУХ.

§8. Основные результаты главы 2.

8.1. Группы ?и Р.

8.2. Гомоморфизм Ед.

8.3. Гомотопический материал.

8.3.1. Группа пр.

8.3.2. Сведения о группе ттр.

8.3.3. Гомоморфизм Es. 111 8.3.4■ Сведения о гомоморфизме Es.

8.4. Гомоморфизм

8.5. Гомоморфизм As.

8.6. Связь гомоморфизма с Х\.

8.7. Дополнение к п. 8.5 и 8.6.

8.7.1. Гомоморфизмы Xs

8.7.2. Связь гомоморфизмов \t £ Xs

8.7.3. Связь гомоморфизмов с As.

8.8. Результаты, имеющиеся в литературе, и их связи с основными результатами п. 8.1-8.7.

§9. Пропущенные доказательства.

9.1. Характеристика элементов группы KerPs.

9.2. Доказательство корректности определения гомоморфизма Es.

9.3. Эпиморфность отображения

9.4. Корректность определения гомоморфизма As.

ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ 2. Псевдогомотопические инварианты зацеплений коразмерностей больших двух.

ГЛАВА 3. СИНГУЛЯРНЫЕ ЗАЦЕПЛЕНИЯ ТИПА

2к + 1,р) В 4к + 2-СФЕРЕ.

§10. Основные результаты главы 3.

10.1. Группа Mi(к,р).

10.2. Группа ПР(А;).

10.3. Отображение д.

§11. Материал, нужный для доказательства теоремы 10.3.

11.1. Отображения S2k+1 -)> S4k+2.

11.1.1. Теорема аппроксимации.

11.1.2. Теорема существования.

11.1.3. Теорема. 134 11.1.4• Теорема.

11.2. Отображения S2k+1 х I ->> S4k+2 х I.

11.2.1. Теорема аппроксимации.

11.2.2. Теорема существования.

11.2.3. Теорема.

11.3. Замечания о теоремах 11.1.1, 11.1.2 и 11.2.1.

11.4. Доказательство теоремы 11.1.3.

11.5. Доказательство теоремы 11.1.4.

11.6. Элементарные модельные отображения f^2\ f(3\

11.7. Обозначения, нужные для п. 11.8 и 11.10.

11.8. Доказательство теоремы 11.2.2.

11.9. Лемма.

11.10. Доказательство теоремы 11.2.3.

§12. Доказательство теоремы 10.3.

12.1. Предварительный материал.

12.2. Корректность определения, данного в п. 12.1.

12.3. Эпиморфность отображения

12.4. Инъективность отображения

Теория сингулярных зацеплений относится к топологии многообразий. Она содержит в качестве своей важной части теорию классических (т.е. несингулярных) зацеплений, но не сводится к ней.

Основы современной теории сингулярных зацеплений были заложены около пятидесяти лет назад работами Р. Фокса [2] и Дж. Мил-нора [24]. За прошедшие годы усилиями топологов в первую очередь Англии, Германии, России и США в этой теории было получено много содержательных результатов. Тем не менее, в настоящее время положение в ней вряд ли следует считать удовлетворительным: методы недостаточно разработаны и, как следствие этого, многие результаты разрознены и иногда весьма специальны.

Псевдогомотопическая теория — одна из главных ветвей теории сингулярных зацеплений. Она возникла на стыке теории конкордиз-мов классических зацеплений, с одной стороны, и теории гомотопий, с другой. Основные результаты, содержащиеся в литературе, относятся к трем разделам псевдогомотопической теории, связанным друг с другом сравнительно слабо.

Первый раздел изучает множество псевдогомотопических классов одномерных классических и сингулярных зацеплений в К3 и 53. Он был разработан Милнором, А. Пленсом, Дж. П. Левином, Ш.-С. Ли-ном и Н. Хабеггером.

Второй раздел теории относится к классическим и сингулярным сферическим зацеплениям в Мп и в71, все компоненты которых имеют коразмерность большую двух. Результаты принадлежат главным образом У. Кошорке, У. С. Масси, Д. Ролфсену, Дж. П. Скотту, В. Г. Тураеву, Хабеггеру, У. Кайзеру, автору.

Наконец, третий раздел посвящен изучению двухкомпонентных 7 сингулярных сферических зацеплений в Мп и5п, по крайней мере одна компонента которых имеет коразмерность не большую двух. Этот раздел теории развит в первую очередь работами П. Кирка, Кошорке, Г.-С. Ли, П. Тайхнера, Р. Фенна, Ролфсена, автора.

Имеется еще один, четвертый, раздел теории, изучающий сингулярные сферические зацепления в многообразиях и сингулярные зацепления многообразий и полиэдров в Кп. Результаты, относящиеся к этому разделу, содержатся в работах Кирка, Кошорке, Милнора, А. Б. Скопенкова, Фокса.)

Фундаментальная проблема состоит в построении единой псевдогомотопической теории сингулярных зацеплений, содержащей в качестве составных частей упомянутые разделы.

Построению многомерной теории, включающей, насколько это оказалось возможным, упомянутые выше результаты, развивающей их и составляющей вместе с теорией Фокса-Милнора одномерных сингулярных зацеплений единое целое, и посвящена, в первую очередь, настоящая работа.

Основные результаты этой работы были опубликованы в [27]—[40].

§1. Введение

Сингулярное зацепление типа (р\,. ,рг) в многообразии ]¥ — это упорядоченный набор непрерывных отображений в Ш сфер б^1, ., 3Рг, образы которых попарно не пересекаются.

Теория сингулярных зацеплений начинает с того, что для любого разбивает сингулярные зацепления одного типа на классы гомотопности, псевдогомотопности, кобордантности и т. д. и организует их, когда это возможно, в группы посредством покомпонентного связного суммирования. После этого главной задачей становится изучение и вычисление этих множеств (соответственно групп) классов, нахождение связей между ними.

Есть лишь несколько ситуаций, в которых эта задача решена полностью или частично; см. [ 5, 6, 12, 13, 15, 16, 19, 21, 47], а также п. 8.8 настоящей работы.

Как правило, решения подчинены схеме, которая стала в топологии уже классической. Она состоит в том, что исходная задача редуцируется к некоторой гомотопической задаче, к которой в свою очередь применяется аппарат алгебраической топологии. Главная трудность связана с отсутствием развитой методики построения редукции. Это объясняется сложностью самого предмета, а часто и отсутствием в литературе тех разделов теории гомотопий, на которые опираются соответствующие геометрические исследования.

Целью настоящей работы является создание метода изучения многомерных сингулярных зацеплений и применение этого метода к задаче псевдогомотопической классификации сингулярных и классических зацеплений. (В случае одномерных сингулярных зацеплений такой метод имеется: это метод Фокса-Милнора, основанный на использовании группы Фокса-Милнора одномерного зацепления, см. 9

2, 24].)

1. Браудер В., Перестройки односвязных многообразий, М., 1984.

2. Fox R. H., Knots in 3-dimenswnal manifolds, Bull. AMS 51 (1945), no. 7, 526.

3. Гийу Л., Марен А., В поисках утраченной топологии,, Мир, М., 1989.

4. Gugenheim V. К. A. M., Semisimplicial homotopy theory, Studies in modern topology. Studies in Math. 5 (1968), 99-133.

5. Habegger N., Kaiser U., Link homotopy in the 2-metastable range, Topology 37 (1998), 75-94.

6. Habegger N., Lin X.-S., The classification of links up to link-homotopy, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 2, 389-419.

7. Ilaefliger A., Plongements dijférentiables de variétés dans variétés, Comment. Math. Helvetici 36 (1961), no. 1, 47-82.

8. Haeffiger A., Differentiable embeddings of Sn in Sn+q for q > 2, Ann. Math. 83 (1966), 402-436.

9. Haeffiger A., Enlacements de spheres en codimension supériore à 2, Comm. Math. Helv. 41 (1966), 51-72.

10. Hilton P., On the homotopy groups of the union of spheres, J. London Math. Soc. 30 (1955), 154-172.

11. Хирш M., Дифференциальная топология, Мир, M., 1979.

12. Kaiser U., Link homotopy in 1R3 and S3, Pacif. J. Math. 151 (1991), no. 2, 257-264.

13. Kirk P., Link homotopy with one codimension two component, Trans, of the Amer. Math. Soc. 319 (1990), no. 2, 663-688.

14. Koschorke U., Higher order homotopy invariants for higher di159mensional link maps, Lecture Notes in Math. 1172 (1984), 116128.

15. Koschorke U., On link maps and their homotopy classification, Math. Annalen 286 (1990), 753-782.

16. Koshorke U., Homotopy, concordance and bordism of link maps, Global Análisis (1993), 283-299.

17. Koshorke U., A generalization of Milnor's p-invariants to higher-dimensional link maps, Topology 36 (1997), no. 2, 301-324.

18. Levine J. P., An approach to homotopy classification of links, Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988), no. 1, 361-387.

19. Li G.-S., Link homotopy in dimension four, Preprint, 25 p.

20. Lin X.-S., On eqivalence relations of links in 3-manifolds, Preprint, 14 p.

21. Massey W. S., Homotopy classification of 3-component links of codimension greater than 2, Topology and its Appl. 34 (1990), no. 3, 269-300.

22. Massey W. S., Rolfsen D., Homotopy classification of higher dimensional links, Indiana Univ. Math. J. 34 (1985), no. 2, 375391.

23. Melikhov S., Link concordance implies link homotopy in codimension > 3, Preprint, 13 p.

24. Milnor J., Link groups, Ann. of Math. 59 (1954), no. 2, 177-195.

25. Милнор Дж.„ Теорема об h-кобордизме, М., 1969.

26. Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, Мир, М., 1979.

27. Нежинский В. М., Обобщение теоремы Зимана-Хефлигера озацеплениях, Успехи мат. наук 35 (1980), no. 1, 235-236.160

28. Нежинский В. М., Некоторые вычисления в теории многомерных зацеплений, Сибирский мат. журнал 24 (1983), по. 4, 104-115.

29. Нежинский В. М., Надстроечная последовательность в теории зацеплений, Известия АН СССР сер.математическая 48 (1984), по. 1, 127-154.

30. Нежинский В. М., Зацепления отобраоюений, Бакинская ме-ждунар. топол. конференция. Тезисы II (1987), Баку, 215.

31. Нежинский В. М., Группы классов псевдогомотоппых сингулярных зацеплений, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 168 (1988), 114-124.

32. Нежинский В. М., Гомотопическая теория для классификации сингулярных зацеплений, Зап. науч. семинаров ЛОМИ 193 (1991), 101-118.

33. Нежинский В. М., Псевдогомотопия зацеплений коразмерностей больших двух, Заи. науч. семинаров ПОМИ 208 (1993), 136-151.

34. Нежинский В. М., Сингулярные зацепления типа (р,2к+1) в 4к+2 -мерной сфере, Алгебра и анализ 5 (1993), по. 4, 170-190.

35. Нежинский В. М., Сингулярные зацепления типа (р,2к+1) в 4к+2 -мерной сфере.II, Зап. науч. семинаров ПОМИ 231 (1995), 191-196.

36. Нежинский В. М., Аналог группы Милпора заг^епления в теории многомерных зацеплений, Зап. науч. семинаров ПОМИ 252 (1998), 175-190.

37. Nezhinskij V. М., Analogue of Milnor link group for higher dimensional link theory, Международная конференция, посвя161щенная девяностолетию со дня рождения JI. С. Понтрягина. Тезисы докладов. Алгебра, Геометрия и топология (1998), Москва, 88-89.

38. Нежинский В. М., Сингулярные зацепления сфер размерностей к,. ,к,р в 2к+1 -мерной сфере, Алгебра и анализ 11 (1999), no. 1, 171-243.

39. Нежинский В. М., Псевдогомотопические инварианты сингулярных зацеплений, Успехи мат. наук 54 (1999), по. 3, 175176.

40. Nezhinskij V. М., Pseudo-homotopy classification of higher-dimensional singular links, Международная конференция, посвященная восьмидесятилетию со дня рождения В. А. Рохлина. Тезисы докладов. (1999), Санкт-Петербург, 51-52.

41. Plans A., Contribution to the homotopy of systems of knots, Rev. Mat. Hisp. Amer. 17 (1957), 224-237.

42. Постников M. M., Лекции no алгебраической топологии. Теория гомотопий клеточных пространств, М., 1985.

43. Scott G. P., Homotopy links, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 32 (1968), no. 3/4, 186-190.

44. Serre, J.-P., Lie algebras and Lie groups, New York-Amsterdam, Benjamin, 1965.

45. Smale S., On the structure of 5-manifolds, Ann. Math. 75 (1962), no. 1, 38-46.

46. Спеньер Э., Алгебраическая топология, M., 1971.

47. Teichner P., Pulling apart 2-spheres in 4~sVacei Preprint, 13 p.