Вложения многообразий в Евклидовы пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

§

На правах рукописи УДК 515.1

»

Скопенков Аркадий Борисович

ВЛОЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ В ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2002

у

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-Математического Факультета и на кафедре математики Специализированного Учебно-Научного Центра Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. П. Соловьев. ^

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. С. Мищенко, доктор физико-математических наук, профессор В. М. Нежинский, доктор физико-математических наук М. А. Штанько.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское Отделение МИР АН.

Защита диссертации состоится "28" февраля 2003 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им М. В. Ломоносова, механико-математический факультет. аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан

2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета . при МГУ

доктор физико-математических наук, £"7

профессор В.Н.Чубариков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Классической проблемой топологии явллется проблема классификации вложений (с точностью до изотопии) данного п-мерного пространства N в евклидово пространство Е™ данной размерности т. Эта проблема уже сыграла выдающуюся роль в развитии топологии. Для решения этой проблемы (а также близкой проблемы о существовании вложений) были созданы различные методы такими классиками как Дж. Александер, П. С. Александров, Е. Ван-Кампен, К. Куратовский, С. Маклеин, Л. С'. Понтрягпн, Р. Том, X. Уитни, X. Хопф, и другими. В настоящее время исследование этой проблемы переживает новый расцвет.

В В этой работе рассматривается в основном случай вложений в коразмерности более двух, т. е. т — п > 3. Классическими результатами для этого случая являются теоремы классификации зацеплений, вложений сфер и вложений ¿-связных многообразий К"1 для т > 2п — (1 (Р. Пенроуз, Дж. Г. К. Уайтхед, К. Зиман, М. Ирвин, Дж.. Левин, Дж. Хадсон, А. Хефлигер М. Хирш). Проблема классификации вложений считается очень трудной, поскольку других случаев, для которых было бы получено конкретное описание (непустого) множества вложений с точностью до изотопии, нет. В то же время было получено много примеров, связанных с проблемой классифнкации'вложе-нпи. Некоторые из них использовали заузленные торы, т.е. вложения декартовых произведений сфер (Дж. Хадсон, Р. Тинделл, Ж. Беша, А. Хефлигер, Р. Мильграм и Э. Рис).

Изучение вложений методом хирургии (В. Браудер, Дж. Левин, С. П. Новиков, А. Хефлигер и др.) дает хорошие результаты для простейших многообразий, но йатал-кивается на вычислительные трудности для более сложных многообразий. Найболее сильный общий метод (в коразмерности более двух), позволяющий получать конкретные результаты — метод инварианта Хефлигера-Ву, или взрезанного квадрата (§1.5). Он является проявлением ободематематических идей 'дополнения до диагоналей' и 'отображения Гаусса', появившихся в работах К. Борсука и С. Лефшеца [УавОЗ]. Этот метод в применении к теории вложений развивался в работах Е. Ван К'ампена, А. Шаппро, В. Ву, А. Хефлигера, К. Вебера и Л. С. Харриса [НаебЗ, \Veb67, НагбЭ]. В 1060-е годы была доказана теорема Хефлигера-Вебера (теорема 1.6.1) о полноте (т.е. биективности) инварианта Хефлигера-Ву для вложений п-мерных полиэдров и ^щогообразий в пространство Нт при метастабилъном размерностном ограничении

2т > Згс + 4.

Поскольку инварианты вложений, полученные применением хирургии или высших взрезанных степеней, трудно вычислимы, то изучение вложений при 2т < Зп-»-$ естественно приводит к проблеме нахождения условий полноты инварианта Хефлигера-Ву при отсутствии метастабильного размерностного ограничения. Интере.с к-этой фундаментальной проблеме объясняется большим количеством ее геометрических следствий, а также возможностью выявить связи с другими областями математики. А. Хефлигер доказал, что это размерностное ограничение можно ослабить дял'кеза-мкнутых многообразий и гладкого случая. В 1900-е годы были построены примеры, показывающие неослабляемостъ метастабильного размерностного ограничения для замкнутых многообразий и гладкого случая (даже при дополнительном предтМоже-шш высокой связности). Они принадлежат Ж. Беша, К. Зиману, Дж. Левину, В. Сяну, А. Хефлпгеру и Р. Щарбе. Хотя некоторые результаты о кусочно-линейных

вложениях первоначально были получены при метастабильном размерностном' ограничении, а затем и в коразмерности больше двух, однако примеры М. Фридмана, В. Крушкаля, П. Тайхнера, Дж. Сегала, С. Спеша и автора рКТ94, 33398] показали, что метастабильное размерностное ограничение не может быть ослаблено и для полиэдрального случал. Ввиду указанных примеров проблема классификации вложений произвольных замкнутых многообразий при 2т < Зп+4 считается особенно трудной.

Проблемы существования и классификации вложений являются частными случаями общей проблемы о существовании и классификации отображений с заданными ограничениями на самопересечения: погружений, сингулярных зацеплений, почти вложений [РКТ94], квазивложений (фактически рассматривавшихся М. Хирщем другими), а также вложений, аппроксимирующих данное отображение [ЗсБ183, йеБкД АкЬОО]. Эту общую проблему естественно изучать в совокупности с проблемой вложений, поскольку они используют близкие методы. Поэтому в настоящей работе рассматриваются не только вложения, но и погружения, сингулярные зацепления, квазивложения и т.д. Однако поскольку случай вложений наиболее известен и.наибо-лее сложен, а также поскольку наиболее яркие результаты работы относятся.именно к этому случаю, в ее названии упоминаются только вложения.

Проблема классификации погружений сводится к алгебраическим проблемам при помощи теоремы Смейла-Хирша. Для многих вопросов теории погружении оказывается полезной другая классификация погружений — в терминах инварианта Хефлигера-Хцрша (аналога инварианта Хефлигера-Ву). Такая классификация содержала 'метастабильное' раэмерностное ограничение (теорема 1.7.3) [НаШ62, Наг69]. Было известно, что его можно ослабить для гладкого случая и незамкнутых'многообразий, и нельзя ослабить для замкнутых многообразий. Оставалось невыясненным, возможно ли такое ослабление для кусочно-линейного случая и незамкнутых- многообразий. Похожая ситуация сложилась с решением проблемы Смейла о модификации погружения во вложение в терминах инвариантов Хефлигера-Хирша и Хефлигера-Ву [НаебЗ, \Veb6~, Наг69]. Имеется большое количество других результатов о погружениях, не связанных с инвариантом Хефлигера-Хирша.

Сингулярные зацепления были введены Р. Фоксом и Дж. Милнором [МП54];, Инвариант Массл-Рольфсена сингулярных зацеплений (аналога инварианта Хефлигера-Ву) применялся в работах У. Кайзера, У. Кошорке, У. С. Масси, Дж. П. Скотта, Д. Рольфсена и Н. Хабеггера. Для сингулярных зацеплений важную роль нграю^ другие инварианты (в частности, обобщения инварианта Масси-Рольфсена) ™

Указанные в этом разделе результаты автора не включены в докторскую диссертацию, поскольку содержатся в кандидатской.

Цель работы. Нахождение размерностных условий полноты инварианта Хефл^гера-Ву для многообразий с заданными размерностью и порядком связности (в куСочно-линринон категории). Создание метода устранения самопересечений, работающего без метастабильного размерностного ограничения для классификации вложений, погружений и их обобщений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Главным из основных результатов диссертации является теорема полнотьмшва-рпанта Хефлигера-Ву для многообразий с заданными размерностью и порядков связности при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в ку.е'очно-лннейной категории).

2. Проведены вычисления инварианта Хефлигера-Ву заузленных торов. В результате при помощи первого основного результата получена полная классификация заузленных торов в терминах гомотопических групп многообразий Штифеля (при некоторых размерностных ограничениях).

3. Получены результаты о заузленных торах, показывающие, что в первом рснов-ном результате размерностное ограничение нельзя отбросить.

4. Доказана теорема полноты инварианта Хефлигера-Хирша для погружений многообразий с краем при более слабом размерностном ограничении, чем метастабяльное (в кусочно-линейной категории). Похожий результат получен для проблемы.Смейла о модификации погружения во вложение. Эти результаты необходимы для доказа-

Рельства первого основного результата.

5. Для доказательства первого основного результата введено понятие квазивложения (а также более общее понятие ^-отображения). Построен инвариант Хефлягера-Ву квазивложений и доказана его полнота при более слабом размерностном. ограничении, чем метастабильное.

6. Доказана полнота инварианта Масси-Рольфсена (аналога инварианта Хефлигера-Ву) сингулярных зацеплений произвольных полиэдров при ослабленных метастабиль-ных размерностных ограничениях. Получены следствия о сингулярных зацеплениях, образованных высокосвязными многообразиями.

Методы исследования. Основные результаты получены путем синтеза и развития идей, методов и результатов кусочно-линейной топологии и теории гомотопий. Создан новый метод постепенного устранения самопересечения данного отображения — метод разведения, основанный на идеях трюка Уитни, пальцевые движения Ван Кампена и их обобщениях, полученных Хефлигером и Вебером. Разработан новый метод построения кусочно-линейных погружений, основанный на методе разведения.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в алгебраической топологии, геометрической топологии, теории групп Ли и динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах:

в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова, на механико-математическом факультете: кафедральном семинаре кафедры дифф. геометрии Щ приложений под руководством академика РАН А. Т. Фоменко (1996-2002); семинаре по алгебраической топологии под руководством проф. М. М. Постникова, проф. Ю. П. Соловьева, проф. А. В. Чернавского (1995-2002); семинаре-'-Современные геометрические методы' под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, проф. А. В. Болсинова и проф. В. В. Трофимова (1998); семинаре по топологии и анализу под руководством проф. А. С. Мищенко (1995-2002); семинаре по алгебраической топологии под руководством проф. В. М. Бухштабера (1996); семинаре кафедры общей топологии под руководством проф. В.В. Федорчука (1398, 2000); на заседаниях Московского математического общества (1997, 2001); в Математическом Институте им. В. А. Стеклова РАН под руководством д, ф. м. н. П. М. Ахметьева, проф. А. Н. Дранишникова и проф. Е. В. Щепина (1991-2002);

в Независимом Московском Университете под руководством член-корр. РАН В. А. Васильева (1997-2002);

в Петербургском Отделении Математического Института РАН: на общеинститутском семинаре (2002); семинаре под руководством проф. В. М. Нежинского и проф. Н. Ю. Нецветаева (1998, 2002); семинаре 'Маломерная математика' под руководством к.ф.-м.н. С. А. Дужина (2002);

в Университете г. Женевы (Швейцария) под руководством проф. А. Хефлигера, М. Кервера и К. Вебера (2001);

в Университете г. Уппсалы (Швеция) под руководством проф. О. Я. Виро (2002); в университетах Германии под руководством проф. У. Кошорке (Зиген), проф. М. Крека (Хайдельберг), проф. В. Метцлера и проф. Ц. Хог-Ангеяони (Франкфурт-на-Майне), проф. Г. Циглера (Берлин) и проф. X. Цишанга (Бохум) (2001, 2002);

в университетах Великобритании под руководством проф. Р. Лпкориша -(Ке:.^| бридж), проф. Э. Риса (Эдинбург), проф. Н. Рэя и проф. П. Экклеса (Манчестер™ проф. Р. Леви и М. Уайса (Абердин), проф. А. П. Веселова (Лафборо) (2002):

в Математическом Институте г. Варшавы (Польша) под руководством проф. X. Торунчика (1997, 2001, 2002);

в Университете г. Будапешта (Венгрия) под руководством проф. А. Сюча (*1996); в Университете г. Загреба (Хорватия) под руководством проф. 3. Мардёшича (199S, 1999, 2001);

в Университете г. Любляны (Словения) под руководством проф. И. Врабца и проф. Д. Реповша (1993-2002).

Результаты диссертации докладывались на воронежской зимней школе по современному анализу, где автор был приглашенным лектором (Воронеж, январь. 2000), и на следующих международных конференциях:

1) франко-русском геометрическом коллоквиуме (Москва, май 1993);

2) международной топологической конференции, посвященной 100-летиюП. С. Александрова (Москва, май 1996);

3) международной топологической конференции памяти Борсука и Куратовского (Варшава, Польша, май 1996);

-1) русско-немецком геометрическом коллоквиуме, посвященном 85-летию акад. А. Д. Александрова (С.-Петербург, сентябрь 1997);

5) международной конференции 'Салигоны, геометрия и топология', посвященной 60-лети» акад. С. П. Новикова (Москва, июнь 1998);

6) международном коллоквиуме по топологии (Дюла, Венгрия, август 1998); Л

7) Международном Математическом Конгрессе (Берлин, Германия, август 1998™ S) международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения йкад. Л.

С. Понтрягина (Москва, август 1998);

9) международной конференции по маломерной топологии и геометрической теории групп (Миасс, август 1999);

10) международной конференции 'Топология и динамика', посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина (С.-Петербург, август 1999);

11) первой европейско-средиземноморской топологичекой конференции (Барселона, Испания, июль 2000);

12) двенадцатой бразильской топологической конференции (Нитерой, Бразилия, август 2000);

13) международном конгрессе по дифференциальной геометрии памяти А. Грея (Бидьбао. Испания, сентябрь 2000);

14) международной конференции 'Узлы, зацепления и многообразия' (Зиген. Германия, январь 2001).

15) международной конференции 'Топология, анализ и смежные вопросы', посвященной 60-летию со дня рождения А. С. Мищенко (Москва, август 2001);

16) международной конференции 'Фундаментальная математика сегодня', посвященной 10-летию НМУ (Москва, декабрь 2001);

17) Международном Математическом Конгрессе (Пекин, Китай, август 2002);

18) международной конференции по алгебраической топологии (Сучжоу, Китай, август 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовало семнадцать работ, список которых приведен в конце автореферата. Прилагаются сведения о вкладе автора в совместные работы, подтвержденные справками от соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав, разделенных на 22 параграфа, списка публикаций, списка литературы и 35 рисунков. Объем диссертации — 171 страница. Список литературы содержит 199 названий.

Благодарности. Автор благодарит своего научного консультанта проф. К). П. Соловьева, чл-корр. РАН В. А. Васильева, проф. П. М. Ахметьева, проф. "А. В. Болсинова, проф. К. Вебера, проф. М. Крека, проф. М. М. Постникова, проф. А. Сюча, проф. А. Хефлигера, проф. Е. В. Щепина, д. ф. и. н. А. Ю. Воловикова, С. А. Мелихова и М. Б. Скопенкова за полезные обсуждения и замечания по; теме работы, А. Мельниченко за приятный сюрприз и Российский Фонд Фундаментальных Исследований за предоставление грантов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА I. Введение и основные результаты. В главе 1 приводятся неформальные (1.1.) и четкие (1.2.-1.8.) формулировки основных проблем, ранее известных результатов и основных результатов работы.

1.1. Введение. Содержание этого параграфа кратко отражено в пунктах 'актуальность темы', 'цель работы', 'научная новизна' и 'методы исследования'. Приводятся такжен некоторые ссылки на литературу по близким вопросам геометрической топологии и по некоторым приложениям теории вложений и отображения Гаусса, а также рписание некоторых совместных результатов автора по теме диссертации, не являющихся основными [КЭБЭЗ, Г1еЗк95, 113396, 115397, ВИБЭЭ, ИеЗкОО, АКБ01, 011301].

1.2. Основные определения. Полиэдр N называется кусочно-линейно (РЬ). вло-жимым в Кт, если существует кусочно-линейное (РЬ) инъективное отображение / : N —► Гладкое многообразие N называется гладко (ОПТ) вложимым в Кш, если существует гладкое (БИ-Т) инъективное отображение / : N Кт, для которого <1} невырождено в каждой точке. Такое отображение / называется вложением N в Ет (в соответствующей категории). Два вложения : N -» Кт называются объ-емлемо изотопными, если существует такой гомеоморфизм на Р : К"1 х I К'" х I, что

Л</. 0) = (у, 0) для любого у е К"1,

гг), 1) = (д(х),1) для любого х 6 и х {<}) = Кт х {¿} для любого t е I.

Ь

Для m > п + 3 обозначим через EmbQAT{N) множество CAT вложений N ->'Rm с точностью до объемлемой CAT изотопии. Через CAT обозначается гладкая (DIFF) или кусочно-линейная (PL) категория. Если утверждение верно в обеих категориях, то CAT опускается. Всюду в этой работе равенство между множествами обозначает существование взаимно-однозначного соответствия между ними.

1.3. Зацепления и заузленные торы. Большинство теорем о вложениях сводит решение проблем вложимостц и изотопии к алгебраическим задачам. Проделать конкретные вычисления для этих алгебраических задач часто непросто. В этом и следующем параграфах мы приводим большинство известных (в частности, полученных автором) 'явных' результатов по проблемам вложимости и изотопии в коразмерности _ выше двух. fl

Теорема 1.3.1.а Хефлигера-Зимана. EmbTn(5'1 U S') = для р < q и

2т > 3<j + 4.

Основная теорема 1.3.2. [Sko02] Пусть р < q. Предположим, что m > +р + 2 или пг > H£±2l 4- 2 для PL или DIFF категорий, соответственно. Тогда

Embm(S* х 5«) = ff,(Vm_,,p+I) © 1р(Ут_р,,+1).

Здесь через Vx,y обозначается многообразие Штифеля ¡/-реперов в Rr. Основная теорема 1.3.2 является классическим результатом для случая р = 0 или m > 2q+p+1. В остальных случаях этот результат является новым даже для m > -f 2. За-

метим, что 7rp(Vm_Pi,+i) = 0 при m > 2р + q + 2 (что выполняется автоматически при m > -)- 2). Ссылки на вычисления группы nt(Vab) приводятся в диссер-

тации. Основная теорема 1.3.2 позволяет получить следующую таблицу значений | Emb'^S1 х 5«)| при тп > или ш > для PL и DIFF категорий, соответственно (результаты таблицы являются новыми для ш < 2q + 1).

m : > 2q + 3 : 2q + 2 : 2q + 1 : 2q : 2q - 1 : 2q - 2 : 2q - 3

q четно : 1 :oo:2:4:4:24:l

q нечетно : 1 : 2 : со : 4 : 48 2 : 1

1.4. Вложения высокосвязных многообразий. В этом пункте приводятся след-^ ствия теоремы Хефлигера-Вебера и первого основного результата диссертации (см. ниже) о вложимости в Кт и о классификации вложений в Ет для п-мерных многообразий, порядок связности которых равен примерно 2n — m.

1.5. Инвариант Хефлигера-Ву вложений. Взрезанным квадратом N топологического пространства N называется его произведение на себя без диагонали':

N = {(*,») 6 N х N | г ф у}.

Пусть теперь / : N -» Rm — вложение полиэдра N в евклидово пространство Rm. Тогда корректно определено отображение / : N -> Sm~1, задаваемое формулой

1/(*)-/(У)Г

б

Это отображение эквивариантно по отношению к инволюции t(x,y) = (у, х) на. N и антиподальной инволюции а на 5"1-1. Обозначим через множество экви-

вариантных отображений N 5т_1 с точностью до эквивариантной гомотопии. Введем инвариант Хефлигера-Ву а(/) = [/] € к™"1 (IV). Инвариант Хефлигера-Ву определяет отображение

а = а%АТ(Ю : ЕтЬ^ЛГ) »^(ЛГ).

1.6. О полноте инварианта Хефлигера-Ву.

К'еорема 1.6.1 Хефлигера-Вебера. Если N —п-полиэдр или гладкое п-многооб-азие, то от(Ы) биективно при 2т > Зп + 4 и сюръективно при 2т > Зп + 3 [НаебЗ, УГеЫ7, ср. Бко98].

Метастабильные ограничения на размерность, встречающиеся в теореме Хефлигера-Вебера, присутствовали также в кусочно-линейных версиях классических теорем о вложениях многообразий высокой связности и комплексов Пуанкаре. В последних результатах эти ограничения могут быть ослаблены до т > п + 3. Относительно же теоремы Хефлигера-Вебера было известно, что метастабильные ограничения точны не только в гладком случае, но и для полиэдров [РКТ94, ЭБЭЗЗ]. Узлы и зацепления дают много других примеров неинъективности и несюръективности отображения а. Например, любой нетривиальный в категории САТ узел 5" —> Кт показывает, что а не инъективно (заметим, что из примера с участием зацепления рут ем

добавления дуги, соединяющей компоненты зацепления, мы можем получить пример с участием полиэдра высокой связности). Тем более неожиданным является первый из наших основных результатов, утверждающий, что метастабильные ограничения на размерности могут быть ослаблены в версии теоремы 1.6.1 для замкнутых кусочно-линейных п-многообразий высокой связности:

Основная теорема 1.6.3. [Бко02] Если N — замкнутое ¿-связное кусочно-линейное п-ыногообразие и т > п + З, то Ор/,(Л') биективно при 2т > Зп + 3 — 6 и сюръективно при 2т > Зп + 2 — ¿.

При (1=1 достаточно потребовать лишь гомологической односвязности.

^ Размерностное ограничение 2т > Зп 4- 2 — <1 для сюръективности в основное тео-^реме 1.6.3 равносильно условию (Зп — 2т + 2)-связности многообразия N. Такое же условие встречалось в теореме Хадсона о гомотопности РЬ вложению произвольной гомотопической эквивалентности между РЬ многообразиями коразмерности больше 2. Позднее Кэссон, Сулливан, Уолл и Хефлигер показали, что условие связности в теореме Хадсона можно отбросить. Поэтому естественно было бы ожидать, что предположение о связности излишне и в основной теореме 1.6.3. Однако, наш третий основной результат состоит в том, что это предположение существенно.

Основной пример 1.6.4. [Бко02] ¡) аек(5р х не инъективно при р < к\

э) ат(51 х 5"-1) не сюръективно, если т — п > 3 нечетно и : тгп_1 (5771"") не эпиморфно, например

п 7 10 13 14 15

т 10 = ^ 13 = ^ 18 = ^ 19 = ^ 22 = ^

г

Основной пример 1.6.4 показывает, что a^L(N) может быть не инъективным при 2т = Зп — Zd и не сюръективным при d = О, 2т < Зп — 1.

Введем понятие квазивложения, используемое для редукции основной теоремы 1.6.3. Мы отождествляем Вт и Rm. Отображение f : N —г Вт PL многообразия N является квазивложением, если его множество самопересечений Е(/) = С1{я £ Л' : |/~'/х| > 2 содержится в некотором n-шаре Вп С iV. Два квазивложения /, д : N -» Вт называются PL квазиконкордантными, если имеется PL квазпвложе-ние i7 : N х / -»• ßm х / = Bm+I для которого

F(x, 0) = (/W,0) и Яг,1) = (з(х),1).

Для PL многообразия Аг (замкнутого или незамкнутого) обозначим через QEmbm(A'^ множество собственных PL квазивложений N Вт, сужение которых на гр_аницу является вложением, с точностью до квазиконкордантности. Через q : Embm(7V) QEmbm(jV) обозначим естественное отображение. Следующая теорема неявно Доказана Хиршем.

Теорема 1.6.7.q. Пусть N — гомологически d-связное PL п-многообразпе (замкнутое пли незамкнутое) и m > п + 3. Отображение q биективно при 2m > Зп +-.3 — d и сюръективно при 2т > Зп + 2 — d.

Определим теперь инвариант Хефлигера-Ву <5 : QEmbm(iV) 7r™_1(iV) Если / : N —> Bm является квазивложением, то отображение / : N — Bn —> Sm_1 корректно определено. Определим ä(/) как эквивариантный гомотопический класс композиции эквцвариантной ретракции N -t N — Вп и отображения /. Очевидно, что 5.0 j = а.

Основная теорема 1.6.7.5. Если N является замкнутым d-связным PL п-многооб-разнем, d > 0 и m > п + 2, то äpL(N) биективно при 2т > Зп + 2 — d и сюръективно яри 2т > Зп + 1 - d.

Основная теорема 1.6.3 следует из теоремы 1.6.7.q и основной теоремы 1.6.г.<5. Аналогично инварианту Хефлигера-Ву, используя высшие степени вместо-квадрата, можно определить обобщенный инвариант ас Хефлигера-Ву. Основная теорема 1.C.7.Ö показывает, что в ее условиях при 2т = Зп + 2 — d этот инвариант не дает ничего нового для классификации вложений:

из a(f) = a[g) вытекает, что аа{/) = «g(<7)- |

1.7. Инвариант Хефлигера-Хирша погружений. Основная теорема 1.6,7.<5 доказывается при помощи погружений. Гладкое отображение / : N ROT многообразия N называется погружением, если df(x) невырожден для любой точки х £ N. Кусочно-линейное отображение полиэдра называется PL погружением, если оно локально инъективно. Два погружения f,g : N —> Rm называются регулярно канкор-Оантнымп, если существует такое погружение

F : N х I Rm х что F(x, 0) = (Дх), 0) и F(x, 1) = (g(x), 1),

Обозначим через lmmcAT(N) множество САТ погружений N —> Rm с точностью до САТ регулярной конкордантности.

Наряду с теоремой Смейла-Хирша о классификации гладких погружений и' ее аналогом для кусочно-линейных многообразий, доказанным Хефлигером и Поэнару, для

S

многих вопросов теории погружений оказывается полезным другая классификация погружений, основанная на идее взрезанного квадрата [НаШ62]. Для достаточно малой окрестности ОД диагонали Д в N х N обозначим 5АГ = ОД — Д. В случае, когда N является полиэдром, эквивариантный гомотопический тип пространства 5Л,Г не зависит от ОД, если окрестность ОД достаточно мала. Для погружения /? : N -» К"1 отображение Н корректно определено на SN. Определим инвариант Хефлигера-Хирша

Р = Рсат(Ю : 1тт?АТ{И) ^(БМ)

Кюрмулой {¡(к) = [Л] 6 По теореме 3.2.2, /3 действительно является инва-

иантом конкордантности при т> п + 2.

Теорема 1.7.3 Хефлигера-Хирша. 0о1рр) Если N —замкнутое гладкое п-многообразие, то биективно при 2т > Зп + 2 я сюръективно при 2т > Зп + 1 [НаШ62, §4].

0рь) Если N является п-полиэдром, то /Зрх(.Л0 биективно при 2т > Зп + 3 и сюръективно при 2т > Зп + 2.

[30) Если N — компактное гладкое п-многообразие с краем и пара (N,дN) ¿гомологически й-связна, то биективно при 2т > Зп + 1 — ё и сюръективно при 2т > Зп — с! [НаШ62, замечание в §5].

Теорема 1.7.3./?р£ при несколько более сильных размерностных ограничениях была доказана в [НагбЭ, следствие 1, теорема 2, подстрочное примечание на стр. 3] и по сути доказана в [\Veb67, §6]. Мы приводим новое доказательство теоремы 1:7.4.(3 в указанной выше сильной форме.

Нашим четвертым основным результатом является кусочно-линейная версия теоремы 1.7.3./39 Хефлигера-Хирша.

Основная теорема 1.7.4. (Зд) Еслит > п+2 и N —компактное РЬ п-многообразие с краем, имеющее (п — (1— 1)-мерньш слайн, то В'р^Ы) биективно при 2т > 3п -у 2 -с1 и сюръективно при 2т > Зп + 1 — А.

Заметим, что доказательство теоремы 1.7.3./39 Хефлигера-Хирша не переносится ^ на кусочно-линейный случай. Размерностные ограничения точны для инъекты'чйости В в теореме 1.7.3./?о/г.г, для инъективности в теореме 1.7.3.¡Зрь и для сюръектийности в теореме 1.7.3./?р£ вследствие примера 1.7.5.

Доказательства теорем 1.6.1 Хефлигера-Вебера и 1.6.7.6 состоят из двух шагов: построения погружения (теорема 1.7.4.03) и деформации погружения в квазпвложе-ние или вложение. Второй из этих шагов дает редукцию проблемы Смейла (какие погружения регулярно гомотопны вложениям?) к алгебраической проблеме.. Здесь мы изложим второй шаг и связанные с ним интересные результаты.

Мы говорим, что am(N) уважает погружения, если для любого погружения И : N —> и такого эквнвариантного отображения

Ф:Лг->5т-\ что Ф~е, Л на ¿Я,

отображение Л регулярно гомотопно некоторому вложению / : N —> Кт, для'которого / Ф. Мы говорим, что ат(Лг) уважает регулярные гомотопии, если для.

любых вложений /о,/1 : N Кш, эквивариантной гомотопии : N х I —5т_1 между /о и /1 и регулярной гомотопии Я : N х / —► Кт между /о и /1, для которой

H\sNxi\в.gI рЫлгх/ ге1 5ЛГ х {0,1},

отображение Я регулярно гомотопно некоторой конкордантности между /о и /1.

Теорема 1.7.8.а//3. Если N — п-полиэдр или гладкое п-многообразие, то а/0т[Ы) уважает регулярные гомотопии при 2т > Зп + 4 и уважает погружения при 2т > Зп + З [НаебЗ, теорема 2\ \Veb67, теорема 8}.

Очевидно, что из уважения погружений инвариантом а и сюръективности /3 следует сюръектпвность а. Таким образом, теорема 1.6.1 Хефлигера-Вебера по-.суще-^| ству следует из теорем 1.7.3./? и 1.7.8.а/р.

Определение уважения погружений инвариантом ат(¿V) получается из определения уважения погружений инвариантом ctm(N) путем замены 'вложения' на 'квазивложение' и '/ Ф' на '/ Ф на N — Вп\ Определение уважения регулярных гомотопий инвариантом 6т(Л') получается из определения уважения регулярных гомотопий инвариантом атп(Лг) путем замены 'конкордантности' на 'квазикднкор-дантность'. Аналогом теоремы 1.7.8.а//? ниже метаетабидьного ранга является следующий результат диссертации.

Теорема 1.7.8.5//?. Если N является замкнутым д.-связным РЬ п-многообразием и (2 > 0, то а[Рр1{Ы) уважает регулярные гомотопии при 2т > Зп + 2 — 2с1 и уважает погружения при 2т > Зп + 1 — 2(1.

1.8. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений. Фиксируем набор К = {К\,..., К,) пространств и обозначим \К\ = А'1 и ••• и Ка. Сингулярным зацеплением называется такое отображение

/ : |А'| -> К"1, что /А", Г) = 0 при всех 1 ф 3.

Два сингулярных зацепления /о, /1 : |А'| -¥ сингулярно конкордантны, еслр;суще-ствует такое сингулярное зацепление

Р : \К х 1\ - Кх х /и • • • и К, х I Кт х I, что

Г(*,0) = (/о(*),0) и F(z, 1) = (/1(2), 1). |

Задача классификации сингулярных зацеплений с точностью до сингулярной конкордантности (точнее, сингулярной гомотопии) была поставлена в [МП54].

Назовем А' = и,<;А', х К} взрезанным квадратом набора К. Для сингулярного зацепления / : А' определим отображение

/:А'-^5т-1 формулой }{х,у)~ ^

I /«-/»!"

Обозначим через а(/) = [/) £ 7гт-1 (А') обобщенный инвариант Масси-Рольфсена сингулярного зацепления /. В классическом случае, когда А',- = мы имеем [5"''" х БР', 5т-1] = Мы полагаем = 0 при I < 0. Обозначим через а :

-> 7гт-1(А*) соответствующее отображение из множества классов сингулярной конкордантности (оно корректно определено по лемме 1.8.1).

Ю

Теорема 1.8.2.а. Пусть р < я < т - 2. Тогда а : -» биективно

при 2р + 2<? < Зт - 5 и сюръективно при 2р Jr2q < 3т — 4 [НаКа98 и др./.

Основная теорема 1.8.3. [БкоОО] Пусть К = (С, Лг) — тройка полиэдров размерностей ц, р и п таких, что п<р<д<т — 2>1. Для фиксированных т и q обозначим Дг = 2т — 2 — 2г — q.

а) а : £М™ -+ л,7П-1(/\) сюръективно, если

Д„ > 1 и либо Д„ > 1, либо д = 2?п - 2р - 2 £ {2,6,14}.

Р^) а : -V тгт-1(А') биективно, если Д„ > 2 и Др > 1.

Основная теорема 1.8.3 интересна тем, что дает условия полноты о-инварианта для произвольных многообразий (и даже полиэдров). Для сингулярных зацеплений важную роль играют инварианты, усиливающие инвариант Масси-Рольфсена (в частности, инварианты, аналогичные обобщенному (?-инварианту Хефлигера-Ву, см. теорему 1.8.2.Ь). Согласно теореме Мелихова 'сингулярная конкордантность" влечет сингулярную гомотопность', при 5 < т - 3 в основной теореме 1.8.3.Ь множество ЬМ'[" можно заменить на множество классов сингулярной гомотопности.

В [ЕеЗк02] для некоторых случаев построен более сильный инвариант сингулярных зацеплений, чем инвариант Масси-Рольфсена (его денадстройка).

ГЛАВА 2. Метод разведения и его применения.

Вторая глава посвящена методу разведения и его применениям к доказательствам полноты (точнее, сюръективности) инвариантов Хефлигера-Ву, Хефлигера-Хирша и Масси-Рольфсена. На примере этих доказательств рассказывается о классических и построенных в работе методах геометрической топологии. Заметим, что эти методы применяются не только для изучения вложений. Так как эти методы недостаточно освещены в литературе, то для удобства читателя выбран исторический подход к их изложению, при котором основные шаги в развитии метода разведения сначала иллюстрируются на простейших частных случаях, и только потом этот метод Цриме-няется в полной мощи. При этом специалист может начать изучение доказательств основных результатов сразу с §2.4.

^ Вторая глава начинается с введения обозначений и соглашений (§2.0). Затем ме-

Вгод разведения иллюстрируется на частных случаях, приводится конструкция препятствия Ван Кампена (§2.1—§2.2). Далее приводится обобщение метода разведения, достаточное для доказательства основной теоремы о полноте инварианта Хефлигера-Ву в простейшем случае <1 <2 (§2.3). Затем, наконец, приводится общая теорема о разведении (§2.4).

Для отображения / : N -»■ Кт через Д(/) = С1{(г,у) € N х N : /.г = /у. х ф у} обозначим его множество самопересечений. Отображение / : N —> К"1 назовем ^-отображением, если Е П Д(/) = 0. Путем правильного выбора Е можнр получить определения вложения, погружения, квазивложения (как в классическом смысле, так и в смысле настоящей работы), почти вложения, сингулярного зацепления-и т.д. Доказательство большинства основных результатов работы основаны на следующей теореме о ^-отображениях.

Теорема 2.4.1 о разведении. [Бко021 Пусть даны

полиэдр N с фиксированной триангуляиией Т,

подкомплекс А комплекса. Т,

такие эквпвариантные подкомплексы Ео С Еi комплекса Т х Т, что Ех — Ео С Т

DAXA'UJVXACÜ,

эквивариангное отображение Ф : П Т 5m_1,

такое кусочно-линейное отображение ho : N —¥ В'п, что

h^dBm = А, Д(/г0) П = 0 и = Ф на Е0 П f.

Предположим, что для любых таких симплексов

ap,T4,vn£T, что p<q, ч X т С Cl(£i - Е0) и u х т С Elt |

выпо,1Няется р + q + п < 2т — 3 и q < т — 2.

Тогда существует такая PL гомотопия

ht-.N-t Bm reí А, что ht(N - А) С Bm при всех t,

(2.4.1.1) Д (h,) ПЕо = 0 для любого til Ы^ч) П Ех = 0,

(2.4.1.2) гомотопия ht между Ф = ho и h\ на ЕоПТ продолжается до гомотопна между Ф и hi на Ei П Т.

Из этой теоремы в §2.4 выводится доказательство сюръективности в теореме 1.6.7.а с использованием основной теоремы 1.7.4./33. После этого приводятся версии метода разведения, необходимые для доказательства полноты инварианта Масси-Рольфсена (§2.5 и §2.6). Вторая глава заканчивается доказательством основной теоремы 1.7.4.8д о полноте инварианта Хефлигера-Хирша, использующем метод разведения (§2.7).

ГЛАВА 3. Вычисления взрезанного квадрата и их применения.

Третья глава посвящена вычислениям инварианта Хефлигера-Ву (точнее, того множества, в котором он принимает значения) и их применениям к дoкaзáтeль-ству его полноты (точнее, инъективности), а также к получению конкретны« геометрических следствии этой полноты. Сначала вычисляется взрезанный квадрат (в смысле сингулярных зацеплений) произведения на отрезок и доказывается инъектив-| ность инварианта Масси-Рольфсена (§3.1). Затем аналогично вычисляется взрезанный квадрат произведения на отрезок и доказывается инъективность инварианта Хефлигера-Ву (§3.2). Далее приводятся вычисления для заузленных торов и доказательства основного результата о них (§3.4). Затем приводятся более глубокие результаты о заузленных торах, при помощи которых получаются примеры неполноты инварианта Хефлигера-Ву (§3.5). Третья глава завершается вычислениями, дающими классическое доказательство теоремы Хефлигера-Хирша о погружениях и обсуждением трудностей, связанных с попытками аналогичного доказательства основного результата диссертации о погружениях.

Проблеме аппроксимации вложениями посвящен §3.3. В нем вычисляется взрезанный квадрат цилиндра отображения и доказывается контролируемая версия тебремы Хефлигера-Вебера. В работе [ARS02] приведены результаты и гипотезы о критерии взрезанного квадрата для аппроксимируемости вложениями отображений графов в плоскость и его переформулировках. В работе [ReSkOl] получено новое более простое

доказательство существования n-мерных стягиваемых компактов, не вложимых в R2" (этот пример интересен в связи с трудной проблемой Борсука о вложимости произвольного n-мерного абсолютного ретракта в R2"). В работе [Sko94] доказана эквивалентность аппроксимируемости вложениями данного отображения графа в плоскость и утолщаемости цилиндра этого отображения.

ЛИТЕРАТУРА

[AkhOO] П. М. Ахметьев, Вложения компактов, стабильные гомотопические группы сфер и теория особенностей, Успехи Мат. Наук 55:3 (2000), 3-62.

fKT94] M. H. Freedman, V. S. Krushkal and P. Teichner, Van Kampen's embedding obstruction is incomplete for 2-complexes in R4, Math. Res. Letters 1 (1994), 167-176.

[HaKa9S]N. Habegger and U. Kaiser, Link homotopy in S-metastable range, Topology 39 (1998).

[Hae63j A. Haefliger, Plongements differentiables dans le domain stable, Comment; Math.

Helv. 36 (1962-63), 155-176. [HaHi62] A. Haefliger and M. W. Hirsch, Immersions in the stable range, Ann. of Math. 75:2 (1962), 231-241.

[Har69j L. S. Harris, Intersections and embeddings of polyhedra, Topology 8 (1969), 1-26. [MÎ154] J. Milnor, Link groups, Ann. of Math. 59 (1954), 177-195.

[ReSk98]D. Repovs and A. B. Skopenkov, A deleted product criterion for approximability

of a map by embeddings, Topol. Appl. 87 (199S), 1-19. ¡ScSt83] E. В. Щепин и M. А. Штанько, Спектральный критерий вложимости компактов в евклидовы пространства, Труды Ленингр. Междун. Топол. Конф. (1983), Наука, Ленинград, 135-142. [Sko98] А. В. Skopenkov, On the deleted product criterion for embeddability in Rm, Proc.

Amer. Math. Soc. 126:8 (1998), 2467-2476. [SSS98] J.Segal, A.Skopenkov and S.Spiez, Embeddings of polyhedra in Rm and the-deleted

product obstruction, Topol. Appl. 85 (1998), 225-234. [Vas92] V. A. Vassiliev, Complements of discriminants of smooth maps: Topology and applications, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992; (рус. перевод: В. A.

. Васильев, Топология дополнений к дискриминантам, Фазис, Москва, 1997).

*Veb67) С. Weber, Plongements de polyèdres dans le domain metastable, Comment. Math.

W Helv. 42 (1967), 1-27.

Список работ автора по теме диссертации.

[Sko02] A. Skopenkov, On the Haefliger-Hirsch-Wu invariants for embeddings and immersions, Comment. Math. Helv. 77 (2002), 78-124. [Sko97] A. B. Skopenkov, On the deleted product criterion for embeddability of manifolds

in Rm, Comment. Math. Helv. 72 (1997), 543-555. [SkoOO] A. Skopenkov, On the generalized Massey-Rolfsen invariant for link maps, Fund.

Math. 165 (2000), 1-15. [ReSk99] Д. Реповш и А. Скопенков, Новые результаты о вложениях полиэдров и

многообразий в евклидовы пространства, УМН 54:6 (1999), 61-109. [Sko94] А. Скопенков, Геометрическое доказательство теоремы Нойвирта об утол. ■щаемости 2-мерных полиэдров, Мат. Заметки 56:2 (1994), 94-9S.

[ReSk99")Д. Реповш и А. Скопенков, Кольца Борромео и препятствия к вложимости,

Труды МИРАН 225 (1999), 331-338. [RSS93] D. Repovs, А. В. Skopenkov and Е. V. Scepin, A characterization of С)-homogeneous subsets of the plane, Boll. Unione Mat. Ital. 7-A (1993), 437-444. [ReSk95] D. Repovs and A. B. Skopenkov, On homogeneous compacta in Euclidean space and the classical Hilbert-Smith conjecture, in: Proc. of the Second Asian-Math. Conf. (ed. S.Tangmanee, E.Schulz) (1995), 222-226. [RSS96] D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V. Scepin, Cl-homogeneous compacta m R" are C1 -submanifolds of E", Proc. Amer. Math. Soc. 124:4 (1996), 1219-1226. [RSS97] D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V. Scepin, Group actions on manifolds and smooth ambient homogeneity, Jour, of Math. Sci. (New York) 83:4 (-1997a 546-549.

[BRS99] D. Repovs, N. Brodsky and A. B. Skopenkov, A classification of S-thicketimgs of

%-polyhedra, Topol. Appl. 94 (1999), 307-314. (ReSkOO] D. Repovs and A. Skopenkov, Cell-like resolutions of polyhedra by special ones,

Colloq. Math. 86:2 (2000), 231-237. [ARS01] P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov, Embedding products of low-dimensional manifolds in Mm, Topol. Appl. 113 (2001), 7-12. [ReSkOl] D. Repovs and A. Skopenkov, On contractible n-dimensional compacta, non-

embeddable into R2rl, Proc. Amer. Math. Soc. 129 (2001), 627-628. [ORSOlj A. Onischenko, D. Repovs and A. Skopenkov, Resolutions of 2-polyhedra by fake

surfaces and embeddings into R4, Contemporary Math. 288 (2001), 396-400. [ARS02] P. Akhmetiev, D. Repovs and A. Skopenkov, Obstructions to approximating maps

of n-manifolds into R2n by embeddings, Topol. Appl. 123 (2002), 3-14. [ReSk02] D. Repovs and A. Skopenkov, On projected embeddings and desuspensidn of the a-invairant, Topol. Appl. 124 (2002), 69-75.

Этот список не содержит тезисов докладов на конференциях (см. апробацию) и работ, составляющих кандидатскую диссертацию (результаты которых не пересекаются с результатами докторской диссертации).

В обзоре [ReSk99] А. Б. Скопенковым написаны §§4-6, 9-12.

В работе [RSS96] А. Б. Скопенкову принадлежат Лемма 3.3 и §4.

В работе [RSS93] А. Б. Скопенкову принадлежит глава 'Proof of the Theorem , стр. 441-443. A

В обзорг [ReSk95] А. Б. Скопенковым были написаны §§3,4. ™

В работе [RSS97] А. Б. Скопенковым был написан §2.

В работе [BRS99] А. Б. Скопенкову принадлежат Следствия 1.1 и 1.2 с доказательствами, третий шаг в доказательстве Леммы 2.1 и Лемма 2.3.

В работе [ReSk99"J А. Б. Скопенковым были написаны §§3,4.

В работе [ReSkOO] А. Б. Скопенкову принадлежит Теорема l.b и ее доказательство.

В работе [ARS01] А. Б. Скопенкову принадлежит доказательство вложимости в теореме 1.

В работе [ReSkOl] А. Б. Скопенкову принадлежат второй и третий абзацы доказательства.

В работе [ORSOl] А. Б. Скопенкову принадлежат Теоремы 1 и 2.

В работе [ARS02] А. Б. Скопенкову принадлежат Теорема 1 и §3.

В работе [ReSk02] А. Б. Скопенкову принадлежат Теорема 1 ц ее доказательство.

ГЛАВА I. Введение и основные результаты

1.1. Введение

1.2. Основные определения

1.3. Зацепления и заузленные торы

1.4. Вложения высоко связных многообразий

1.5. Инвариант Хефлигера-Ву вложений

1.6. О полноте инварианта Хефлигера-Ву

1.7. Инвариант Хефлигера-Хирша погружений

1.8. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений

ГЛАВА 2. Метод разведения и его применения

2.0. Обозначения

2.1. Когомологическое препятствие Ван Кампена

2.2. Теорема Вебера

2.3. Простейший случай усиления теоремы Вебера

2.4. Общая теорема о разведении

2.5. Леммы о разведении и реализации

2.6. Сюръективность инварианта Масси-Рольфсена

2.7. Построение погружения

ГЛАВА 3. Вычисления взрезанного квадрата и их применения

3.1. Инъективность инварианта Масси-Рольфсена

3.2. Инъективность инварианта Хефлигера-Ву

3.3. Теорема о псевдоизотопии

3.4. Заузленные торы

3.5. Примеры неполноты инварианта Хефлигера-Ву

3.6. Доказательство теоремы Хефлигера-Хирша

Мотивировки.

Многие теоремы в математике утверждают, что любое пространство из данного абстрактно определенного класса всегда является подпространством некоторого "стандартного" пространства из этого класса. Это такие теоремы, как теорема Кэли о вложении конечных групп в симметрическую группу, теорема о существовании точного линейного представления компактных групп Ли, теорема Урысона о вложении нормальных пространств со счетным базисом в гильбертово пространство, теорема общего положения о вложении конечномерных полиэдров в Мт, теорема Менгера - Небелинга - Понтрягина о вложении конечномерных компактов в 1£т, теорема Уитни о вложении гладких многообразий в М.т, теорема Нэша о вложении римановых многообразий в М.т, теорема Громова о вложении симплектических многообразий в М.2п и т.д. Решение тринадцатой проблемы Гильберта А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом можно также сформулировать на языке вложений. Эти теоремы вложимо-V» сти интересны не только сами по себе, но и как сильные инструменты для решения других задач. Одной из главных классических проблем топологии является более тонкая проблемы существования вложения данного пространства в для данного т. Как писал Е. К. Зиман, три классические проблемы топологии — проблемы вложимости, заузливания и гомеоморфизма — требуют найти условия того, чтобы данное пространство N было вложимо в М.т для данного т; найти условия того, чтобы данные вложения /,д : N —» были изотопны (а также описать множество изотопических класов вложений N Ет); найти условия того, чтобы данные два пространства N и М были гомеоморфны (а также описать множество гомеоморфических классов многообразий из заданного класса, например, заданной размерности п).

Проблемы вложимости и заузливания уже сыграли выдающуюся роль в развитии топологии. Для решения проблем вложимости и заузливания были созданы различные методы такими классиками ц* как Дж. Александер, П. С. Александров, Е. Ван-Кампен, К. Куратовский, С. Маклейн, Л. С. Понтрягин, Р. Том, X. Уитни, X. Хопф, и другими. В настоящее время исследование этих проблем переживает новый расцвет.

Проблемы вложения и заузливания являются частными случаями общей проблемы топологии о существовании и классификации отображений с заданными ограничениями на самопересечения: погружений, сингулярных зацеплений, почти вложений [ГКТ94], квазивложений (фактически рассматривавшихся М. Хиршем и другими), а также вложений, аппроксимирующих данное отображение. Эту общую проблему естественно изучать в совокупности с проблемой вложений, поскольку они используют близкие методы. Поэтому в настоящей работе рассматриваются не только вложения, но и погружения, сингулярные зацепления, квазивложения и вложения, аппроксимирующие данное отображение. Однако поскольку случай вложений наиболее известен и наиболее сложен, а также поскольку наиболее яркие результаты работы относятся именно к этому случаю, в ее названии упоминаются только вложения.

Краткое описание классических результатов о вложениях, погружениях и сингулярных зацеплениях.

Наиболее известным частным случаем проблемы заузливания является теория вложений в коразмерности два (в частности, классическая теория узлов). В этой же работе рассматривается в основном случай вложений в коразмерности более двух (т. е. га — с!1т 7X7" > 2). Классическими результатами для этого случая являются теоремы классификации зацеплений, вложений сфер и вложений ¿/-связных многообразий в 1К.т для га > 2п — й (Р. Пенроуз, Дж. Г. К. Уайт-хед, К. Зиман, М. Ирвин, Дж. Левин, Дж. Хадсон, А. Хефлигер М. Хирш). Проблема классификации вложений считается очень трудной, поскольку других случаев, для которых было бы получено конкретное описание (непустого) множества вложений с точностью до изотопии, нет. В то же время было получено много примеров, связанных с проблемой классификации вложений. Некоторые из них использовали заузленные торы, т.е. вложения декартовых произведений сфер (Дж. Хадсон, Р. Тинделл, Ж. Беша, А. Хефлигер, Р. Мильграм и Э. Рис).

Изучение вложений методом хирургии (Браудер, Левин, Новиков, Хефлигер и др.) дает хорошие результаты для простейших многообразий, но наталкивается на вычислительные трудности для более сложных многообразий. Наиболее сильный метод (в коразмерности более двух), позволяющий получать конкретные результаты — метод инварианта Хефлигера-Ву (см. определение в §1.5). Он является проявлением общематематических идей 'дополнения до диагоналей' и 'отображения Гаусса', появившихся в работах К. Борсука и С. Лефшеца около 1930 [Уаэ92]. Этот метод в применении к теории вложений развивался в работах Е. Ван Кампена (1932), А. Шапиро (1957), В. Ву (1957-59), А. Хефлигера (1962-63), К. Вебера (1967) и Л. Харриса (1969). Классическая теорема Хефлигера-Вебера утверждает полноту (т.е. биективность) инварианта Хефлигера-Ву для вложений п-мерных полиэдров и многообразий в пространство при метастабильном размерностном ограничении

2т > Зп + 4 см. подробности в теореме 1.6.1 ниже).

Поскольку инварианты вложений, полученные применением хирургии или высших взрезанных степеней, трудно вычислимы, то изучение вложений при 2га < Зп + 4 естественно приводит к проблеме нахождения условий полноты инварианта Хефлигера-Ву при отсутствии метастабильного размерностного ограничения. Интерес к этой фундаментальной проблеме объясняется большим количеством ее геометрических следствий, а также возможностью выявить связи с другими областями математики. А. Хефлигер доказал, что это размерностное ограничение можно ослабить для незамкнутых многообразий и гладкого случая. В 1960-е годы были построены примеры, показывающие неослабляемость метастабильного размерностного ограничения для замкнутых многообразий и гладкого случая (даже при дополнительном предположении высокой связности). Эти примеры принадлежат Ж. Беша, Е. С. Зиману, Дж. П. Левину, 3. Мардешичу, Дж. Сегалу, В. Сяну, А. Хефлигеру и Р. Щарбе (см. примеры 1.6.2 ниже). Хотя некоторые результаты о кусочно-линейных вложениях первоначально были получены при метастабильном размерностном ограничении, а затем и в коразмерности больше двух, однако примеры М. Фридмана, В. Крушкаля, П. Тайхнера, Дж. Сегала, С. Спеша и автора рКТ94, 88898] показали, что метастабильное размерностное ограничение не может быть ослаблено и для полиэдрального случая. Этот результат автора не включен в докторскую диссертацию, поскольку содержится в кандидатской. Ввиду указаннных вычислительных трудностей и примеров проблема классификации вложений произвольных замкнутых многообразий при 2т < Зп + 4 считается особенно сложной.

Проблема классификации погружений сводится к алгебраическим проблемам при помощи теоремы Смейла-Хирша. Для многих вопросов теории погружений оказывается полезной другая классификация погружений — в терминах инварианта Хефлигера-Хирша (аналога инварианта Хефлигера-Ву). Такая классификация была получена А. Хефлигером, М. Хиршем и Л. Харрисом и тоже содержала 'метастабильное' размерностное ограничение (теорема 1.7.3 ниже) [НаН162, Наг69]. Было известно, что его можно ослабить для гладкого случал и незамкнутых многообразий. Оставалось невыясненным, возможно ли такое ослабление для кусочно-линейного случая и незамкнутых многообразий. Похожая ситуация сложилась с решением проблемы Смейла о модификации погружения во вложение в терминах инвариантов Хефлигера-Хирша и Хефлигера-Ву, полученном А. Хефлигером, К. Вебером и Л. Харрисом [НаебЗ, \Veb67, Наг69]. В литературе имеется большое количество других результатов о погружениях, не связанных с инвариантом Хефлигера-Хирша.

Сингулярные зацепления были введены Р. Фоксом и Дж. Милно-ром [МП54]. Инвариант Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений (аналог инварианта Хефлигера-Ву), применялся в работах У. Кайзера, У. Кошорке, У. С. Масси, Дж. П. Скотта, Д. Рольфсена и Н. Хабеггера. Для сингулярных зацеплений важную роль играют другие инварианты (в частности, обобщения инварианта Масси-Рольфсена).

Краткое описание основных результатов диссертации.

Основной целью работы является нахождение размерностных условий полноты инварианта Хефлигера-Ву вложений многообразий с заданными размерностью и порядком связности (в кусочно-линейной категории). Первым основным результатом является теорема полноты инварианта Хефлигера-Ву для многообразий с заданными размерностью и порядком связности при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в кусочно-линейной категории). Более точно, для замкнутых п-мерных й-связных многообразий инвариант Хефлигера-Ву биективен в кусочно-линейной категории при

2га > Зп + 3 — (I см. подробности в основной теореме 1.6.3 ниже). Этот результат выглядит неожиданно на фоне контрпримеров, упомянутых в предыдущем разделе. Ограничение на порядок связности многообразия естественно, часто выполнено и поэтому встречалось еще в работах Хефлигера-Хирша и других авторов по вложениям. Благодаря этому из первого основного результата оказалось возможным вывести много конкретных следствий (например, нижеследующие теоремы 1.4.3.ссК, теорема 1.4.5.а' и случаи ш<у + 1иш< Зп±з теорем 1.4.6.а и 1.4.6.Ь, соответственно, теорема 1.6.9, см. также утверждения (1) и (2) в начале §1.6). Методы, разработанные для его доказательства, находят применение и для классификации вложений при 2га < Зп + 3 — Л [Бко01]. Они позволяют также получить новую аппроксимационную изотопическую версию теоремы Хефли-гера-Вебера (теорема 3.3.1).

Вторым основным результатом являются вычисления инварианта Хефлигера-Ву заузленных торов. В результате при помощи первого основного результата получена полная классификация заузленных торов в терминах гомотопических групп многообразий Шти-феля при некоторых размерностных ограничениях (основная теорема 1.3.2).

Третьим основным результатом являются теоремы о заузленных торах (§3.4 и §3.5), показывающие, что в первом основном результате размерностное ограничение нельзя отбросить (основные примеры 1.6.4 ниже). Как и сам первый основной результат, эти примеры являются неожиданными. Действительно, аналогичное ограничение уже возникало в знаменитой работе Дж. Хадсона о кусочно-линейных вложениях (использующей близкие методы). Но А. Хефлигером, А. Кэссоном, Д. Сулливаном и Ч. Уоллом доказано (с использованием хирургии), что это условие в теореме Хадсона можно отбросить.

Четвертым основным результатом является теорема полноты инварианта Хефлигера-Хирша для погружений многообразий с краем при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в кусочно-линейной категории). См. основную теорему 1.7.4.¡Зд ниже. Похожий результат получен для проблемы Смейла о модификации погружения во вложение. Эти результаты необходимы для доказательства первого основного результата.

Для доказательства первого основного результата введено понятие квазивложения (а также более общее понятие £7-отображения) и построен инвариант Хефлигера-Ву квазивложений. Пятым основным результатом является доказательство его полноты при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (основная теорема 1.6.7.а ниже).

Шестым основным результатом является полнота инварианта Мас-си-Рольфсена (аналога инварианта Хефлигера-Ву) для сингулярных зацеплений произвольных полиэдров при ослабленных метастабиль-ных размерностных ограничениях (основная теорема 1.8.3 ниже). Получены следствия о сингулярных зацеплениях, образованных высокосвязными многообразиями.

Основные результаты были получены за счет синтеза и развития методов и результатов кусочно-линейной топологии (относительные регулярные окрестности, поглощение, теоремы о незауз-ленности, контроль, пальцевые движения Ван Кампена и Кэссона) и теории гомотопий (произведения Уайтхеда, теорема Хилтона о гомотопических группах букетов, эквивариантные препятствия и их вычисления). Создан новый метод постепенного устранения самопересечения данного отображения — метод разведения, работающий без метастабильного размерностного ограничения для классификации вложений, погружений, сингулярных зацеплений и их обобщений. Этот метод основан на идеях трюка Уитни, пальцевых движений Ван Кампена и их обобщениях, полученных Хефлигером и Вебером.

Заметим, что существовавшие методы построения кусочно-линейных погружений не позволяли получить необходимое усиление теоремы Хефлигера-Хирша-Харриса. Поэтому для доказательства указанного усиления пришлось создать новый метод построения кусочно-линейных погружений (основанный на методе разведения). Этот новый метод дал также новое доказательство самой теоремы Харриса и окончательный ответ на вопрос о необходимости метастабильного размерностного ограничения в этой теореме. Этот метод — наиболее трудная часть работы (§2.7).

Формально, результатами диссертации являются все результаты, приведенные без ссылок или со ссылками на список работ по теме диссертации. При этом основные результаты называются основными теоремами или основными примерами.

О близких проблемах геометрической топологии.

Приведем некоторые ссылки на литературу по близким вопросам геометрической топологии и по некоторым приложениям теории вложений и отображения Гаусса, а также описание совместных результатов автора по теме диссертации, не являющихся основными.

Так как результаты диссертации о проблеме аппроксимируемости данного отображения вложениями не являются основными, то краткий обзор этой проблемы помещен в §3.3. О задаче устойчивости пересечения компактов, связанной с сингулярными зацеплениями и аппроксимациями вложениями, см. [Бр190, Б11891, 8рТо91, БИБЭЗ] и ссылки в этих работах.

О вложимости косых произведений и групп Ли см. [11ее71]. В [А11801] найдена наименьшая размерность евклидова пространства, в которое вложимо заданное прямое произведение многообразий размерностей не выше 3.

В [НеБкОО] доказаны теоремы о разрешимости двумерных полиэдров до специальных, посредством отображений со стягиваемыми слоями. Эти теоремы проявляют неожиданную связь между теориями специальных 2-полиэдров и клеточноподобных резольвент. Одним из следствий является редукция проблемы Уайтхеда об асферичности к случаю ложных поверхностей. Другие следствия о вложениях двумерных полиэдров в К4, которые были основной мотивировкой теорем разрешимости, содержатся в [011801]. Некоторые из этих следствий касаются вложений полиэдров в различные (т.е. не фиксированные заранее) многообразия, изучавшейся в [\Уа166, Кеи68, 1л8169]. В работе [В11899] получена классификация вложений данного 2-полиэдра в различные 3-многообразия, являющиеся его регулярными окрестностями, и приведены некоторые интересные следствия. В работе [ЫеЭкЭЭ] классифицированы некоторые специальные вложения поверхности в 3-многообразие (сечения Зейферта). Этот результат применен к обобщению теоремы Болсинова-Фоменко о траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем [Ле8к99, СБЗОО] на случай наличия критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Работы [Ые8к99, СЯ800] не включены в докторскую диссертацию.

Отображение Гаусса применялось к характеризации гладко вложенных подмногообразий в [С1иб8]. Новое применение отображения Гаусса и связанного с ним понятия геометрической производной (введенного Е. В. Щепиным) получено в работах [118893, Ые8к95, ИБЗЭб, 118897]. В них доказана характеризация гладко вложенных подмногообразий посредством условия гладкой объемлемой однородности. Следствием (принадлежащим Д. Реповшу и Е. В. Ще-пину) является новое простое доказательство гипотезы Гильберта-Смита для действий диффеоморфизмами, ранее доказанной Монтгомери и Циппиным.

В проблемах вложимости и изотопии пространство М.т может быть заменено на другое пространство У. Случаи, когда У - многообразие или произведение деревьев были наиболее широко рассмотрены [Нис169, §11, С1Ыо92, 2Ьо94, СМ1194]. О вложениях с точностью до кобордизма см. [Вго71, 1ли75]. О вложениях с точностью до гомотопии см. ^а, \Val66, Соо69, Wal70, §11, Нис170Т, CoWi78, НаЬ84]. О базисных вложениях см. [Б1е89, БкоЭб, КеБкЭЭ, §5] (результаты работ [Бко95, ИеЭкЭЭ, §5] не включены в докторскую диссертацию, поскольку относятся к кандидатской).

План диссертации.

В первой главе формулируются проблемы, которым посвящена диссертация, излагается история вопроса и приводятся результаты диссертации. При этом в каждом параграфе присутствуют как классические, так и полученные в диссертации результаты, но они четко отделены друг от друга.

В начале первой главы напоминаются основных определения и обозначения (§1.2). Далее формулируются и обсуждаются классические результаты о классификации зацеплений и основной результат диссертации о классификации заузленных торов (§1.3). Затем приводится список большинства других конкретных результатов о вложениях, многие из которых являются следствиями полноты инварианта Хефлигера-Ву (§1.4). Здесь же (а также в §2.1) приводятся исторически предшествовавшие инварианту Хефлигера-Ву его 'частные случаи' — препятствия Ван Кампена и Уитни. После этого определяется инвариант Хефлигера-Ву (§1.5). Далее приводятся результаты о полноте и неполноте инварианта Хефлигера-Ву (§1.6). В частности, формулируются и обсуждаются основные результаты диссертации о полноте инварианта Хефлигера-Ву вложений для многообразий с заданными размерностью и порядком связности при более слабом размерностном ограничении, чем ме-тастабильное (в кусочно-линейной категории), а также о его неполноте при отсутствии этого размерностного ограничения. Затем приводятся результаты о полноте и неполноте инварианта Хефли-гера-Хирша погружений (§1.7). В частности, формулируется и обсуждается основной результат диссертации о полноте инварианта Хефлигера-Хирша погружений для многообразий с краем при более слабом размерностном ограничении, чем метастабильное (в кусочно-линейной категории). Там же формулируются результаты о связи вложений и погружений. После этого приводятся результаты о полноте и неполноте инварианта Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений (§1.8). В частности, формулируется и обсуждается основной результат диссертации о полноте инварианта Масси-Рольфсена сингулярных зацеплений, образованных произвольными полиэдрами. Результаты §1.4 доказаны в конце тогог же параграфа §1.4. Ссылки на доказательства остальных результатов диссертации приводятся в конце §2.0.

Вторая глава посвящена методу разведения и его применениям к доказательствам полноты (точнее, сюръективности) инвариантов Хефлигера-Ву, Хефлигера-Хирша и Масси-Рольфсена. На примере этих доказательств рассказывается о классических и полученных в работе методах геометрической топологии. Заметим, что эти методы применяются не только для изучения вложений. Так как эти методы недостаточно освещены в литературе, то для удобства читателя выбран исторический подход к их изложению, при котором основные шаги в развитии метода разведения сначала иллюстрируются на простейших частных случаях, и только потом этот метод применяется в полной мощи. Формально, можно начать изучение доказательств основных результатов сразу с §2.4, поскольку доказательства основных результатов не опираются на результаты §2.1-§2.3. Однако, поскольку доказательства основных результатов являются обобщениями методов §2.1-§2.3, разобрать их трудно без предварительного знакомства с частными случаями. Кроме того, изложение известных методов доказательств позволяет продемонстрировать новизну методов диссертации.

Вторая глава начинается с введения обозначений и соглашений и модификации известных результатов (§2.0). Затем приводится конструкция препятствия Ван Кампена (§2.1). Она позволяет продемонстрировать метод разведения в одном из простейших частных случаев — на примере доказательства теоремы Ван Кампена-Шапиро-Ву о полноте препятствия Ван Кампена (§2.1). Эта конструкция также указывает на то, как идея взрезанного квадрата применяется к проблеме аппроксимации вложениями [АИ802, §4]. Дальнейшее усовершенствование метода разведения иллюстрируется путем доказательства теоремы Вебера, т. е. сюръективности в уже упомянутой теореме Хефлигера-Вебера для кусочно-линейного случая (§2.2). При этом сначала разбирается простейший и очень наглядный случай т = 2п + 1. Далее приводится дальнейшее обобщение метода разведения, достаточное для доказательства основной теоремы о полноте инварианта Хефлигера-Ву в простейшем случае в, < 2 (§2.3). Затем, наконец, приводится общая теорема о разведении (§2.4). Из нее и основной теоремы о полноте инварианта Хеф-лигера-Хирша выводится основная теорема о полноте инварианта Хефлигера-Ву в общем случае (§2.4). После этого приводятся версии метода разведения, необходимые для доказательства полноты инварианта Масси-Рольфсена (§2.5 и §2.6). Вторая глава заканчивается доказательством основной теоремы о полноте инварианта Хефлигера-Хирша, использующим метод разведения (§2.7).

Третья глава посвящена вычислениям инварианта Хефлигера-Ву (точнее, того множества, в котором он принимает значения) и их применениям к доказательству его полноты (точнее, инъективно-сти), а также к получению конкретных геометрических следствий этой полноты. Сначала вычисляется взрезанный квадрат (в смысле сингулярных зацеплений) произведения на отрезок и доказывается инъективность инварианта Масси-Рольфсена (§3.1). Затем аналогично вычисляется взрезанный квадрат произведения на отрезок и доказывается инъективность инварианта Хефлигера-Ву (§3.2). Далее вычисляется взрезанный квадрат цилиндра отображения и доказывается контролируемая версия теоремы Хефлигера-Вебера (§3.3). После этого приводятся вычисления для заузленных торов и доказательства основного результата о них (§3.4). Затем приводятся более глубокие результаты о заузленных торах, при помощи которых получаются примеры неполноты инварианта Хефлигера-Ву (§3.5). Третья глава завершается вычислениями, дающими классическое доказательство теоремы Хефлигера-Хирша о погружениях и обсуждением трудностей, связанных с попытками аналогичного доказательства основного результата диссертации о погружениях (§3.6).

Благодарности.

Автор благодарит своего научного консультанта проф. Ю. П. Соловьева, чл-корр. РАН В. А. Васильева, проф. П. М. Ахметьева, проф. А. В. Болсинова, проф. К. Вебера, проф. М. Крека, проф. М. М. Постникова, проф. А. Сюча, проф. А. Хефлигера, проф. Е. В. Щепина, д. ф. м. н. А. Ю. Воловикова, С. А. Мелихова и М. Б. Скопенкова за полезные обсуждения и замечания по теме работы, А. Мельниченко за приятный сюрприз и Российский Фонд Фундаментальных Исследований за предоставление грантов.

1. Ada93. М. Adachi, Embeddings and Immersions, Transl. of Math.

2. Monographs 124, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1993.

3. Akh96S. П. M. Ахметьев, Об изотопической и дискретной реализации отображений п-мерной сферы в евклидово пространство, Мат. Сборник 187:7 (1996), 3-34.

4. Akh96T.n. М. Ахметьев, Отображ:ение п-сферы в 2п-пространст,во:его реализация, Труды МИР АН 212 (1996), 37-45.

5. AkhOO. П. М. Ахметьев, Вложения компактов, стабильные гомотопические группы сфер и теория особенностей, Успехи

7. Aki69. Е. Akin, Manifold phenomena in the theory ofpolyhedra. Trans.

8. Amer. Math. Soc. 143 (1969), 413-473.

9. Bau75. D. R. Bausum, Embeddings and immersions of manifolds in

10. Euclidean space, Trans. AMS 213 (1975), 263-303.

11. BKK. M. Bestvina, M. Kapovich and P. Kleiner, Van Kampen's embedding obstruction for discrete groups, preprint (2000).

12. Boe71. J. Boechat, Plongements differentiables de varietes de dimension Ak dans IR6'=+^ Comment. Math. Helv. 46:2 (1971), 141-161.

13. BoHa70. J. Boechat and A. Haefliger, Plongements differentiables de varietes de dimension 4 dans IR*^ , Essays on topology and related topics (Springer,1970) (1970), 156-166.

14. ВогЗЗ. К. Borsuk, Uber stetige Abbildungen der euklidischen Rdume,

16. BrMi99. R. L. Bryant and W. Mio, Embeddings of homology manifoldsin codimension > 3, Topology 38:4 (1999), 811-821.

17. BrMiOO. R. L. Bryant and W. Mio, Embeddings in generalized manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 352:3 (2000), 1131-1137.

18. Bro71. R. L. Brown, Immersions and embeddings up to cobordism,

19. Canad. J. Math 23 (1971), 1102-1115.

20. Bry72. J. L. Bryant, Approximating embeddings of polyhedra in codimension 3, Trans. Amer. Math. Soc. 170 (1972), 85-95.

21. Cas86. A. Casson, Three lectures on new infinite constructions in 4dimensional manifolds, (рус. перевод в сборнике: В поисках утраченной топологии, ред. Л. Гийу, А. Марен, Москва,

22. Мир, 1989), А 1а Recherche de la Topologie Perdue, Progressin Mathematics, 62 (L. Guillou, A. Marin, eds.), Birkhauser,

24. Che65. A. В. Чернавский, Топологические вложения полиэдров вевклидовы пространства^ ДАН 6 (1965), 1606-1610.

25. Che69. А. В, Чернавский, Кусочно-линейная аппроксимация вложений клеток и сфер в коразмерности больше двух, Мат.

26. Сборник 80 (1969), по. (122), 339-364.

27. С1а34. S. Claytor, Topological immersions of peanian continua in aspherical surface, Ann. of Math. 35 (1934), 809-835.

28. Cla37. S. Claytor, Peanian continua not embeddable in a sphericalsurface, Ann. of Math. 38 (1937), 631-646.

29. C0FI6O. P. E. Conner and E. E. Floyd, Fixed points free involutionsand equivariant maps, Bull. Amer. Math. Soc. 66 (I960), 416-441.

30. CoGo83. J. H. Conway and C. M. A. Gordon, Knots and links in spatialgraphs, J. Graph Theory 7 (1983), 445-453.

31. Coh69. M. M. Cohen, A general theory of relative regular neighbourhoods, Trans. Amer. Math Soc. 136 (1969), 189-230.

32. Coh85. R. L. Cohen, The immersion conjecture for differentiable manifolds, Ann. of Math. 122 (1985), 237-328.

33. Coo69. G. Cooke, Embedding certain complexes up to homotopy in

34. Euclidean space, Ann. of Math. 90 (1969), 144-156.

35. CoWi78. F. X. Conolly and B. Williams, Embedding up to homotopy andgeometric suspension of manifolds, Quart. J. Math. Oxford (2) 29 (1978), 385-401.

36. CRS98. A. Cavicchioli, D. Repovs and A. B. Skopenkov, Open problemson graphs, arising from geometric topology, Topol. Appl. 84 (1998), 207-226.

37. CRSOO. A. Cavicchioli, D. Repovs and A. B. Skopenkov, An extensionof the Bolsinov-Fomenko theorem on classification of Hamiltonian systems. Rocky Mount. J. Math. 30;2 (2000), 447-476.

38. Dav86. R. J. Daverman, Decompositions of manifolds, Academic Press,1. New York, 1986.

39. Don87. S. K. Donaldson, The orientation of Yang-Mills moduli spacesand 4-manifold topology, J. Diff. Geom. 26 (1987), 397-428.

40. DoPa97. T. J. Dodson and P. E. Parker, A User's Guide to Algebraic

41. Topology, Kluwer, Doldrecht-Boston-London, 1997.

42. DRS91. A. N. Dranisnikov, D. Repovs and E. V. Scepin, On intersection of compacta of complementary dimension in Euclidean space, Topol. Appl 38 (1991), 237-253.

43. DRS93. А. N. Dranisnikov, D. Repovs and E. V. Scepin, On intersection of compacta in Euclidean space: the metastable case,

44. Tsukuba J. Math. 17 (1993), 549-564.

45. Edw75. R. B. Edwards, The equivalence of close piecewise linear embeddings, General Topology and its Applications 5 (1975), 147180.

46. Fan94. F. Fang, Embedding four manifolds in R'^ , Topology 33:3 (1994),447-454.

47. Fan02. F. Fang, Orientable 4-'^(^^ifolds topologically embed into R^,

49. FKT94. M. H. Freedman, V. S. Krushkal and P. Teichner, Van Kampen's embedding obstruction is incomplete for 2-complexes in R"*,

50. Math. Res. Letters 1 (1994), 167-176.

51. Flo34. A. Flores, Uber n-dimensionale Komplexe die im £'2"+i absolute Selbstverschlungen sind, Ergeb. Math. Koll. 6 (1934), 4-7.

52. FuSc59. Д. Б. Фукс и A. Шварц, Циклические степени полиэдрови проблема вложения, ДАН СССР 125 (1959), 285-288.

53. Gal92. М. Galecki, On embeddability of CW-complexes in Euclidean; space, preprint, Univ. of Tennessee, Knoxville, 1992.

54. GiRo92. D. Gillman and D. Rolfsen, 3-manifolds embed in small 3complexes. Intern. J. Math. 3 (1992), 179-183.

55. Git71. S. Gitler, Embedding and im,mersion of manifolds, Proc. Symp.

56. Рига Appl. Math., AMS, Providence 22 (1971), 87-96.

57. Glu63. H. Gluck, Unknotting S^ in 5^, BAMS 69:1 (1963), 91-94.

58. Glu68. H. Gluck, Geometric characterisation of difjerentiable manifolds in euclidean space, II, Michigan Math. J. 15:1 (1968), 33-50.

59. GMR94. D. Gillman, S. V. Matveev and D. Rolfsen, Collapsing andreconstruction of manifolods, Contemp. Math. 164 (1994), 35-39.

60. Gor72. С M. A. Gordon, Embeddings of PL-manifolds with boundary,

61. Proc. Camb. Phil. Soc. 72 (1972), 21-25.

62. GoSk02. D. Goncalves and A. Skopenkov, Embeddings highly-connectedm,anifolds with boundary, preprint.

63. Gro86. M. Громов, Дифференциальные соот^ношения с частнымипроизводными. Мир, Москва, 1990. , НаЬ84. N. Habegger, Obstruction to embedding disks II: a proof of a conjecture by Hudson, Topol, Appl. 17 (1984). 1. Т-,

64. Насб8. D. D. J. Hacon, Embeddings of S^ in S^ x 5^ in the metastablerange, Topology 7 (1968), 1-10.

65. HaeGl. A. Haefliger, Plongements differentiables de varietes dans varietes, Comment. Math. Helv. 36 (1961), 47-82.

66. Наеб2А.А. Haefliger, Knotted {4k — \)-spheres in 6k-space, Ann. of1. Math. 75 (1962), 452-466.

67. Hae62B. A. Haefliger, Plongements de varietes dans le domain stable,

69. Hae62T. A. Haefliger, Differentiable links, Topology 1 (1962), 241-244.

70. НаебЗ. A. Haefliger, Plongements differentiables dans le domain stable, Comment. Math. Helv. 36 (1962-63), 155-176.

71. НаеббА. A. Haefliger, Differentiable embeddings of 5 " in 5"^ "*"^ for q >2, Ann. Math., Ser.3 83 (1966), 402-436.

72. НаеббС. A. Haefliger, Enlacements de spheres en codimension superiurea 2, Comment. Math. Helv. 41 (1966-67), 51-72.

73. Hae67. A. Haefliger, Lissage des immersions-I, Topology 6 (1967),221-240.

74. Hae. A. Haefliger, Lissage des immersions-II, preprint (1966).

75. Hae68. A. Haefliger, Knotted spheres and related geometric topic, In:

76. Proc. of the Int. Cong. Math., Moscow, Mir (1968), 437-445.

77. HaHi62. A. Haefliger and M. W. Hirsch, Immersions in the stable range,

79. HaHi63. A. Haefliger and M. W. Hirsch, On existence and classificationof differential embeddings. Topology 27 (1963), 129-135.

80. HaKa98.N. Habegger and U. Kaiser, Link homotopy in 2-metastablerange, Topology 37:1 (1998), 75-94.

81. HaPo64. A. Haefliger and V. Poenaru, La classification des immersionscombinatoires, Publ. Math. IHES 23 (1964), 75-91.

82. Har69. L. S. Harris, Intersections and embeddings of polyhedra, Topology 8 (1969), 1-26.

83. Hir59. M. W. Hirsch, Immersions of manifolds. Trans. Amer. Mat.1. Soc. 93 (1959), 242-276.

84. Hir65. M. W. Hirsch, On embedding 4-inanifolds in М7, Proc. Camb.1. Phil. Soc. 61 (1965).

85. Hir66. M. W. Hirsch, Embeddings and compressions of polyhedra andsm,ooth manifolds, Topology 4:4 (1966), 361-369.

86. HLS65. W. C. Hsiang, J. Levine and R. H. Sczarba, On the normalbundle of a homotopy sphere embedded in Euclidean space.

88. Ног69. К. Horvatic, Embedding manifolds with low-dimensional spine,

89. GlasnikMat. 4(24):1 (1969), 101-116.

90. Hor71. K. Horvatic, On embedding polyhedra and manifolds, Trans.1. AMS 157 (1971), 417-436.

91. Hu59. S. T. Hu, Homotopy Theory, (рус. перевод: Ц. Ху, Теориягомотопий, Москва, Мир, 1964), Academic Press, New York, 1959.

92. Hu60. S. T. Hu, Isotopy invariants of topological spaces, Proc. Royal

94. Hud63. J. F. P. Hudson, Knotted tori, Topology 2 (1963), 11-22.

95. Hud66. J. F. P. Hudson, Extending piecewise linear isotopies, Proc.1.ndon Math. Soc. (3) 16 (1966), 651-668.

96. Hud67. J. F. P. Hudson, PL embeddings, Ann. of Math. 85:1 (1967),1-31.

97. Hud69. J. F. P. Hudson, Piecewise-Linear Topology,, Benjamin, New1. York, Amsterdam, 1969.

98. Hud70A.J. F. P. Hudson, Concordance, isotopy and diffeotopy, Ann. of

100. Hud70T.J. F. P. Hudson, Obstruction to embeding disks. In: Topologyof manifolds (1970), 407-415.

101. Hud72. J. F. P. Hudson, Embeddings of bounded manifolds, Proc. Camb.

103. HuLi71. J. F. P. Hudson and W. B. R. Lickorish, Extending piecewiselinear concordances, Quart. J. Math. (2) 22 (1971), 1-12.

104. HuZe64. J. F. P. Hudson and E. C. Zeeman, On regular neighborhoods.

105. Correction to 'On regular neighborhoods', Proc. Lond. Math.

106. Soc. (3), 21 (1970) 513-524., Proc. Lond. Math. Soc. (3) 14(1964), 719-745. 1.w65. M. C. Irwin, Embeddings of polyhedral manifolds, Ann. of

108. Jam54. I. M. James, On the iterated suspension. Quart. J. Math. Oxford 5 (1954), 1-10.

109. Kam32. E. R. van Kampen, Komplexe in euklidische Raum,en, Abb.

110. Math. Sem. Hamburg 9 (1932), 72-78; berichtigung dazu,152-153.

111. Kat69. M. Kato, A concordance classification of PL homeomorphismsofSP X 5 ^ Topology 8 (1969), 371-383.

112. Кег59. M. Kervaire, An interpretation of G. Whitehead's generalization ofH. Hopf's invariant, Ann. of Math. 62 (1959), 345-362.

113. Кегб9. М. А. Kervaire, Smooth homotopy spheres and their fundamental groups, Trans, Amer. Math. Soc. 144 (1969), 67-72.

114. Kea79. C. Kearton, Obstructions to embeddings and isotopy in themetastable range, Math. Ann. 243 (1979), 103-113.

115. KeMiGl. A. Kervaire and J. W. Milnor, On 2-spheres in ^-'manifolds,

116. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 47 (1961), 1651-1657.

117. KeWi85. J. KeesHng and D. C. Wilson, Embedding T^-like continua in

118. Euclidean space, Topol. Appl. 21 (1985), 241-249.

119. Kir84. R. Kirby, 4-'1^о,'1^Ф^^ problems, Contemp. Math. 35 (1984),513-528.

120. Kir90. P. Kirk, Link homotopy with one codimension-two component.

121. Trans. Amer. Math. Soc. 319:2 (1990), 663-688.

122. Kos62. A. Kosinski, On Alexander's theorem and knotted tori, In:

123. Topology of 3-Manifolds, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Ed.

125. Kos88. U. Koschorke, Link maps and the geometry of their invariants,

126. Manuscripta Math. 61:4 (1988), 383-415.

127. Kos90. U. Koschorke, On link maps and their homotopy classification.

129. Kos92. U. Koschorke, Homotopy, concordance and bordism of linkmaps, Univ. of Siegen (1992), preprint.

130. KruOO. V. S. Krushkal, Embedding obstructions and ^-dimensionalthickenings of 2-complexes, Proc. Amer. Math. Soc. 128:12 (2000), 3683-3691.

131. Si69. W. В. R. Lickorish and L. C. Siebenmann, Regular neighborhoods and the stable range, Trans. AMS 139 (1969), 207-230. 1.u75. A. Liulevicius, Immersions up to cobordism, Illinois J. Math 19 (1975), 149-164.

132. MaRo86.W. Massey and D. Rolfsen, Homotopy clasification of higherdimensional links, Indiana Univ. Math. J. 34 (1986), 375-391.

133. Mas60. W. S. Massey, On the Stiefel-Whitney classes of a manifold,1, Amer. J. Math 82 (I960), 92-102.

134. Mas62. W. S. Massey, On the Stief el-Whitney classes of a manifold,2, Proc. AMS 13 (1962), 938-942.

135. Mas90. W. S. Massey, Homotopy classification of 3-component links ofcodimension greater than 2, Topol. Appl 34 (1990), 269-300.

136. MaSe67. S. Mardesic and J. Segal, e-mappings and generalized manifolds, Michigan Math. J. 14 (1967), 171-182.

137. MaTh95.M. Mahowald and R. D. Thompson, The EHP Sequence and

138. Periodic Homotopy, in: Handbook of Algebraic Topology, ed.

139. M. James (1995), Elsevier Science B. V..

140. McAd41.S. McLane and V. W. Adkisson, Extensions of homeomorphisms on the spheres, Michig. Lect. Topol. (1941), Ann Arbor, 223-230.

141. Mcc67. M. C. McCord, Embedding P-like compacta in manifolds, Canad.

143. MelOO. C. Мелихов, Псевдогомотопия влечет, гомотопию для сингулярных зацеплений в коразмерности > 3, УМН 55:3 (2000), 183-184.

144. Ме102. S. Melikhov, On maps with unstable singularities, Topol. Appl.120 (2002), 105-156.

145. Mel. S. Melikhov, Link concordance implies link homotopy in codimension > 3, preprint.

146. Mil54. J. Milnor, Link groups, Ann. of Math. 59 (1954), 177-195.

147. Milg72. R. J. Milgram, On the Haefliger's groups, Bull, of the Amer.1. Math. Soc. (1972).

148. Mill72. R. T. Miller, Approximating codimension 3 embeddings, Ann.of Math 95 (1972), 406-416.

149. Mil75. K. C. Millett, Piecewise linear embeddings of manifolds, Illinois

151. Min97. P. Mine, Embedding simplicial arcs into the plane, Topol. Proc.22 (1997), 305-340.

152. MiRe71. R. J. Milgram and E. Rees, On the normal bundle to an embedding, Topology 10 (1971), 299-308.

153. MiSt74. J. W. Milnor and J. D. Stasheff, Characteristic Classes, Ann.of Math. St. 76, (рус. перевод: Дж. Милнор, Дж. Сташефф, Характеристические классы, Москва, Мир, 1979),

154. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974.

155. MoTa68.R. E. Mosher and M. C. Tangora, Cohomology operations andapplications in homotopy theory Ergebn. der Math. 69, Harper and Row publishers, New York-Evanston-London, 1968.

156. MRS02. J. Malesic, D. Repovs and A. Skopenkov, Embeddings into Ш.^and the deleted product obstruction, submitted.

157. Neg98. S. Negami, Ramsey-type theorem for spatial graphs, Jour. Comb.

159. Neu68. L. Neuwirth, An algorithm for the construction of 3-manifoldsfrom 2-complexes, Proc. Camb. Phil. Soc. 64 (1968), 603613.

160. Nez98. B. M. Нежинский, Аналог группы Милнора зацепления втеории многомерных зацеплений, Записки науч. сем. ПОМИ 252 (1998), 175-190.

161. Nov61. П. Новиков, Вложения односвязных многообразий в евклидовы пространства, ДАН СССР 138 (1961), 775-778.

162. Nov64. П. Новиков, Гомотопически эквивалентные гладкие многообразия, Изв. АН СССР, сер. мат. 28 (1964), 365-474.

163. Рае56. Paechter, On the groups 7Гг{Утп), Quart. J. Math. Oxford,

164. Ser.2; /7:28 (1956), 249-265; / / 9 :33 (1958), 8-27; / / /10:37(1959), 17-37; IV 10:40 (1959), 241-260; V 11:41 (1960), 1-16.

165. Pon42. JI. C. Понтрягин, Характеристические циклы гладких многообразий, ДАН СССР 35:2 (1942), 35-39.

166. Pos85. М. М, Постников, Теория гомотопий клеточных пространств, Наука, Москва, 1985.

167. Pri66. Т. М. Price, Equivalence of embeddings of к-complexes in E^forn>2k + l, Michigan Math. J. 13 (1966), 65-69.

168. PWZ61. R. Penrose, J. H. C. Whitehead and E. С Zeeman, Embeddingsof manifolds in a Euclidean space, Ann. of Math. (2) 73 (1961), 613-623.

169. Ree71. E. Rees, Some embeddings of Lie groups in Euclidean spaces,

171. ReeQO. E. Rees, Problems concerning embeddings of manifolds^ Advances in Math. 19:1 (1990), 72-79.

172. ReSk96. D. Repovs and A. B. Skopenkov, Embeddability and isotopyof polyhedra in Euclidean spaces, Trudy Math. Inst. Ross.

173. Akad. Nauk 212 (1996); Proc. of the Steklov Inst. Math.212 (1996), 173-188.

174. ReSk98. D. Repovs and A. B. Skopenkov, A deleted product criterionfor approximability of a map by embeddings, Topol. Appl. 87 (1998), 1-19.

175. ReSk99'.Д. Реповш и A. Скопенков, Теория препятствий для расслоений Зейферппа и классификация интегрируемых гамилътоновых систем, УМН 54:3 (1999), 183-184.

176. Roh65. В. А. Рохлин, Вложение неориент,ируемых трехмерных многообразий в пятимерное евклидово пространство, ДАН 1. СССР 160 (1965), 549-551.

177. Ros93. W. Rosicky, On embeddability of cones in euclidean space, Colloq. Math. 64:1 (1993), 141-147.

178. RoSa72. C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to Piecewise

179. Linear Topology, Ergebn. der Math. 69, Springer-Verlag,

180. Berlin, 1972; (рус перевод: К. П. Рурк, Б. Дж. Сандерсон. Введение в кусочно-линейную топологию, Москва, 1. Мир, 1974).

181. RSS95. D. Repovs, А. В. Skopenkov and Е. V. Scepin, On uncountablecollections of continua and their span, CoUoq. Math. 69:2 (1995), 289-296.

182. RSS95'. D. Repovs, A. B. Skopenkov and E. V. Scepin, On embeddability of X X I into Euclidean space, Houston J. Math 21 (1995), 199-204.

183. RST95. N. Robertson, P. D. Seymor and R. Thomas, Sachs' linklessembedding conjecture, J. Combin. Theory, Ser. В 64:2 (1995), 185-227.

184. Rus73. T. B. Rushing, Topological Embeddings, Academic Press, New1. York, 1973.

185. Sac81. H. Sachs, On spatial representation of finite graphs, in: Finiteand infinite sets, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, North

187. Sar91I. K. S. Sarkaria, A one-dimensional Whitney trick and Kuratowski's graph planarity criterion, Israel J. Math. 73 (1991), 79-89.

188. Sar91T. К. S. Sarkaria, Kuratowski complexes, Topology 30 (1991),67-76.

189. Say99. P. Ф. Саяхова, Гомот-опическал классификация сингулярных зацеплений типа ( 1 , . . . , 1, т ; 3) с тп > 1, Записки науч. сем. ПОМИ 261 (1999), 229-239.

190. Sch77. М. Scharlemann, Isotopy and cobordism, of homology spheres inspheres, J. London Math. Soc, Ser. 2 16:3 (1977), 559-567.

191. Sco68. G. P. Scott, Homotopy links, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 32 (1968), 186-190.

192. ScSt83. E. B. Щепин и М. A. Штанько, Спектральный критерийвлоэюимости компактов в евклидовы пространства, Труды Ленингр. Междун. Топол. Конф. (1983), Наука, Ленинград, 135-142.

193. Ser53. J. P. Serre, Groupes d'homotopie et classes de groupes abeliens,

195. SeSp90. J. Segal and S. Spiez, On transversely trivial maps, Questionsand Answers in General Topology 8 (1990), 91-100.

196. SeSp92. J. Segal and S. Spiez, Quasi embeddings and embeddings ofpolyhedra in ШГ, Topol. Appl. 45 (1992), 275-282.

197. Sha57. A. Shapiro, Obstructions to the embedding of a complex in a

198. Euclidean space, I, The first obstruction, Ann. of Math. (2)66 (1957), 256-269.

199. Sie69. K. Sieklucki, Realization of mappings. Fund. Math. 65 (1969),325-343.

200. Sko95. A.Skopenkov, A description of continua basically embeddablein R^, Topol. Appl. 65 (1995), 29-48.

201. Sko98. A. B. Skopenkov, On the deleted product criterion for embeddability in W^, Proc. Amer. Math. Soc, 126:8 (1998), 24672476.

202. SkoOl. A. Skopenkov, The Whitehead torus, the Hudson-Habegger invariant and classification of embeddings S^xS^ —^"^J, preprint (2001).

203. Sko. M. Skopenkov, A criterion for approximability by embeddingsof cycles in the plane, preprint (2000).

204. Sko'. M. Skopenkov, Embedding products of graphs into R"^, preprint(2001).

205. Sma59. S. Smale, The classification of imm,ersions of spheres in Euclidean spaces, Ann. of Math. (2) 69 (1959), 327-344.

206. Spa66. E. Spanier, Algebraic topology, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1966.

207. Spi90. S. Spiez, Imbeddings in R^"^ of m-dimensional compacta withdim(X xX)< 2m, Fund. Math. 134 (1990), 105-115.

208. SpTo91. S. Spiez and H. Torunczyk, Moving compacta in R"* apart,

210. SSS98. J.Segal, A.Skopenkov and S.Spiez, Embeddings of polyhedrain R"^ and the deleted product obstruction, Topol. Appl. 85 (1998), 225-234.

211. Sta63. J. Stallings, On topologically unknotted spheres, Ann. of Math.(2) 77 (1963), 490-503.

212. Sta. J. Stallings, The embedding of homotopy type into manifolds,mimeographed notes, Princeton Univ. (1965).

213. Ste89. Y. Sternfeld, Hilbert's 13thproblem, and dimension, Lect. Notes1. Math 1376 (1989), 1-49.

214. Szu82. A. Sziics, The Gromov-Eliashberg proof of Haefliger's theorem,,

215. St. Sci. Math. Hung. 17 (1982), 303-318.

216. Tan95. K. Taniyama, Homology classification of spatial embeddings ofa graph, Topol. Appl. 65 (1995), 205-228.

217. Tin69. R. Tindell, Knotting tori in hyperplanes, in: Conf. on Topology of Manifolds, Prindle, Weber and Schmidt (1969), 147153.

218. Tod82. X. Тода, Композиционные методы в теории гомотопических групп сфер, Наука, Москва, 1982.

219. Vas92. V. А. Vassiliev, Complements of discrim,inants of smooth maps:

220. Topology and applications, Amer. Math. S o c , Providence, RI,1992; (рус. перевод: В. A. Васильев, Топология дополнений к дискриминантам, Фазис, Москва, 1997).

221. Vra77. J. Vrabec, Knotting a k-connected closed PL m-manifolds inj^2m-fe^ Trans. Amer. Math. Soc. 233 (1977), 137-165.

222. Wal64. C. T . C. Wall, Differential topology, IV (theory of handle decom,positions), Cambridge (1964), mimeographed notes.

223. Wal65B. C. T . C. Wall, All 3-manifolds imbed in 5-space, Bull. Amer.

225. Wal65P. C. T. C. Wall, Unknotting spheres in codimension two andtori in codimension one, Proc. Camb. Phil. Soc. 61 (1965), 659-664.

226. Wal66. C. T . C. Wall, Classification problems in differential topology,1., Thickenings, Topology 5 (1966), 73-94.

227. Wal70. Т. Wall, Surgery on compact manifolds^ Academic Press,1.ndon, 1970.

228. Web67. C. Weber, Plongements de polyedres dans le domain m,etastable,

229. Comment. Math. Helv. 42 (1967), 1-27.

230. Web74. C. Weber, в-applications dans une variete, Comment. Math.1. Helv. 49 (1974), 125-135.

231. Whi44. H. Whitney, The self-intersections of a smooth n-manifolds in2n-space, Ann. of Math (2) 45 (1944), 220-246.

232. Wu58. W. T. Wu, On the realization of complexes in a euclideanspace, /, Sci Sinica 7 (1958), 251-297; //, Sci Sinica 7 (1958), 365-387; ///, Sci Sinica 8 (1959), 133-150.

233. Wu59. W. T. Wu, Science Record, N.S. 3 (1959), 342-351.

234. Wu65. W. T. Wu, A Theory of Embedding, Immersion and Isotopy of

235. Polytopes in an Euclidean Space, Science Press, Peking, 1965.

236. Zee60. E. C. Zeeman, Unknotting spheres, Ann. of Math. (2) 72(I960), 350-360.

237. Zee62. E. С Zeeman, Isotopies and knots in manifolds, In: Topologyof 3-Manifolds, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Ed. M. K. Fort, 1. N.J. (1962).

238. Zee63. E. C. Zeeman, Unknotting combinatorial balls, Ann. of Math.78 (1963), 501-526.

239. Zee66. E. C. Zeeman, Seminar on combinatorial topology (notes), I. H.

240. E. S. (Paris) and Univ. of Warwick (Coventry) (1963, revised1966).

241. Zho94. L. Zhongmou, Every 3-manifold with boundary embeds in THodx

242. Triodxl, Proc. AMS 122:2 (1994), 575-579.

243. Zhu75. A. B, Жубр, Классификация односвлзных спинорпых 6-многообразий, Известия АН СССР 39:4 (1975), 839-856.

244. Zhu80. А. В. Жубр, Классификация односвязпых 6-многообразий,

245. Доклады АН СССР 255:6 (1980), 1312-1315.