Расклинивание упругой среды с образованием отрывных зон тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра газовой и волновой динамики

На правах рукописи УДК 539.3

00501724°

Ромашов Григорий Александрович

РАСКЛИНИВАНИЕ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ

ОТРЫВНЫХ ЗОН

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат 1 д [ ¡

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2012

005017215

Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Звягин Александр Васильевич

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Молодцов Игорь Николаевич

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Рыбакин Борис Петрович

Ведущая организация: Институт проблем механики

им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится «8» июня 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.91 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «25» мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.91, доктор физико-математических наук, профессор

С.В. Шешенин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования обусловлена возможностью её использования в задачах высокоскоростного проникания. Задачи о проникании в твердых телах возникают при производстве таких работ, как обработка почвы в сельском хозяйстве, бурении, при землеройных работах и в приложениях военно-технического характера. Одним из важных направлений современных исследований являются методы и технологии, основанные на глубоком проникании ударников. Такие задачи возникают при исследовании планет и астероидов, вулканической и сейсмической деятельности. При этом в опытах по внедрению симметричных ударников в различные среды часто наблюдались эффекты искривления траектории движения даже при незначительном нарушении симметрии движения (что иногда приводило к развороту ударника и его последующему выбросу из мишени). В особенности, неустойчивость движения проявляется при внедрении длинных ударников, несмотря на высокую скорость движения (~ 1 км/с). При контактном разрушении важным является определение возможных зон отрыва среды от поверхности тела, поскольку их наличие резко меняет баллистические характеристики внешних сил и моментов, действующих на тело со стороны среды.

Цель диссертационной работы. Целями данной работы являются:

1) Построение аналитического решения задачи о расклинивании упругой среды тонким твердым асимметричным телом в дозвуковом и трансзвуковом диапазонах скоростей движения тела.

2) Определение и исследование поведения зон отрыва при движении асимметричного тела в упругой среде.

3) Качественное исследование устойчивости движения асимметричного тела в зависимости от его геометрии и скорости.

Научная новизна. В существующих подходах в задачах проникания не учитываются зоны отрыва среды от тела с «наветренной» стороны его поверхности. Полученные в работе аналитические решения указывают на наличие таких зон отрыва. Получено, что при движении тела в упругой среде с трансзвуковой скоростью существует особая скорость, равная корень из двух на

скорость поперечных волн. Впервые предпринята попытка изучить причины появления этой скорости. Показана связь этой скорости с поверхностными волнами в условиях стесненной деформации.

Научная и практическая значимость. Полученные результаты в виде аналитических решений задач движения тела в твердой деформируемой среде имеют как теоретическое так и практическое значение, поскольку могут найти применение в практических задачах, связанных с прониканием ударников в твердые среды.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена строгой математической постановкой и использованием точных аналитических методов решения, корректностью вычислений, соответствием расчетов в предельных случаях известным результатам, подтверждением качественных результатов теории экспериментальными данными.

Работа выполнена при поддержке РФФИ ( фант 09-08-00396-а). Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

- Конференция «Ломоносовские чтения». Секция механики. 2009, 2010 и 2011 гг., Москва, МГУ

- Конференция «Ломоносов». Секция механики. 2010 и 2011 гг., Москва, МГУ

- Научная международная междисциплинарная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Шевченковская весна». Секция механики. 2010, Киев, Украина

- Международная конференция «Актуальные проблемы механики сплошной среды». 2010, Ереван, Армения

- Международный научный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина «Упругость и неупругость». 20-21 января 2011 г, Москва

- Научно-исследовательские семинары кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ (руководители: академик РАН Е.И. Шемякин, академик РАН Р.И. Нигматулин)

- Научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ (руководитель профессор Б.Е. Победря)

- Научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ (руководитель член-корр. РАН Е.В. Ломакин)

- Научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ (руководитель профессор И.А. Кийко)

- Семинар лаборатории механики прочности и разрушения материалов и конструкций института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (руководитель член-корр. РАН Р.В. Гольдштейн)

Публикации. По работе имеется 12 публикаций, в том числе четыре в журналах из перечня ВАК.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 27 рисунков, 4 таблицы, 86 библиографических ссылок. Общий объем диссертации составляет 68 страниц.

Во введении описываются цели работы, обосновывается ее актуальность и практическая значимость, проведен обзор публикаций по теме диссертации, перечисляются основные результаты работы.

В первой главе рассматривается задача о плоско-параллельном движении с постоянной скоростью тонких твердых асимметричных тел конечной длины в неограниченной упругой среде с плотностью р и упругими модулями (Рис. 1). Тело движется с постоянной скоростью Уд относительно неподвижной системы координат охххУ1 в направлении, противоположном оси х,, и движение среды плоскопараллельное. Отрыв среды от тела происходит в точке А с абсциссой /, для верхней части контура и В с абсциссой /2 для нижней. Углы

у*,у~ являются малыми и у~ <у'. Приближение упругой среды дает оценку сверху искомым параметрам напряжений и перемещений, поскольку в реальности

среда является более мягкой. В системе координат, связанной с телом, движение среды можно считать установившимся. Такое допущение оправдано тем, что время движения тела от момента удара до полной остановки очень велико, а время установления достаточно мало. Тем не менее, данный подход позволяет учесть силы инерции, которые являются существенными при движении тела с большой скоростью.

Рис 1. Движение тонкого твердого асимметричного тела в неограниченной

упругой среде.

На поверхности движущегося тела считаются выполненными условие безотрывности обтекания и закон Кулона-Мора о наличии сухого трения между средой и телом.

Vn =V0 -siny(x), апт =-ксг„„ (1)

где у(х) - угол между осью ОХ и касательной к контуру тела, к - коэффициент трения, спг,<тпл- компоненты тензора напряжений. В работе Велданова В.А. и Федорова C.B. (Велданов В.А., Федоров C.B. Особенности поведения фунта на границе контакта с недеформируемым ударником при проникании // Прикл. мех. и техн. физ. - 2005. - 46. - № 6) обоснована правомочность выбора данных

граничных условий для тонких тел. Предполагая угол у малой величиной, граничные условия на поверхности контакта линеаризуются и сносятся на ось Ох, сохраняя только величины первого порядка малости:

Уу=У0-Уа(х),сгху=-кстуу (2)

где у = у0{х) - уравнение контура тела, у{х) ~ у'а(х). Данные условия предполагаются физически реализуемыми (сжатие в месте контакта), что равносильно выполнению дополнительного требования в области контакта

&ГШ ~ сг)у ^ 0 (3)

После возможного отрыва среды от поверхности тела должны выполняться условия на свободной поверхности апп =0, сгпт - 0, или после линеаризации

= 0, аху = 0 (4)

Также должны быть выполнены условия излучения (отсутствие волн, идущих из бесконечности), обеспечивающие единственность решения:

при Г = V*2 + у1 -» 00

г,=оф. ст„=оф. ^=0ф, ^=0( 1) (5)

Ыг ыг дг у/г дг V г

Задача сводится к решению двух волновых уравнений

1 а у _ дУ эу

а2 а2 а*,2 + Зу2' ¿2 Э/2 ~ дх! (6)

для продольных и поперечных волн, скорости которых равны соответственно

а= I + ^ и Ь= I— . Здесь <р = <р(х1,У1,0 и у/ =р(х1,уи1) - потенциалы

V Р \Р

вектора перемещений и = {их,иу}.

Используя представление Ламе, в системе координат ОХУ, связанной с носом тела, в которой движение является установившемся,, волновые уравнения (6) примут вид:

V2 д2<р д2<р

у2 эV зV

и а2'дх2 ду2 ' 1 ь2'дх2 ду2

= 0

(7)

Компоненты тензора напряжений и скорости запишутся в виде:

К = К

гд2ср ЭУ дх2 дхду

2( д2<р эу

V = V

> уу

/

^йхду йс2

\д2(р д2(р д2цг

дх ду

дхду

д2(р | ау эу

йсду Эу2 ас2

. (8)

эу

Граничные условия примут вид:

о-ху=ка}у,Уу=У0у- при у' =0, 0 < х </,; <7^ = -Ао-^,, К, = УоГ+ при у+ = 0, 0<х <12;

(9)

= 0, сг =0 при =0, х>1{ и у+ =0, х>12.

При движении со скоростью, меньшей скорости распространения поперечных волн оба уравнения (7) являются эллиптическими:

2 д2(р д2(р п1 д2у/ д2и/ „

ох ду дх ду

2 V2 2 V2

где а =1--—, р =1—Уравнениям (10) удовлетворяют функции

а Ь

(р = ЯеФСг,),цг = Яе^Сгг), где Ф(г,),Ч'(г2)-аналитические функции своих

комплексных аргументов г, = х + /ау, г2 = х +

Компоненты скоростей и тензора напряжений (8) выражаются через введенные функции в следующем виде:

V „ V

ЯеФ -/ЗГтЧ' , — = -а1тФ"-ЛеЧ'", К„ V

^ = (2а2 +1-/92)кеф" -2/Пт«Р\^- = -2а 1тФ"-(1 + Д2)^^'' (11)

Решение сводится к задаче для верхней полуплоскости 1т\у>0. Конформное отображение \и = из плоскости (х,у) в плоскость (г<, V), переводит плоскость с разрезом вдоль действительной полуоси X > 0 в полуплоскость 1гту > 0. С учетом выражений (11) и граничных условий (9), для определения аналитических функций получается следующая

краевая задача:

при V = 0, - ^ < и < 0

Г- 2а 1т Ф (и) - (1 + = *(- (1 +/?2)11еФ"(и) + 2/Лт «?"(«))

[- а 1тФ"(и) - КеТ"(г<) = у~(и) приу = 0, 0<и<^ (12)

- 2а ЬпФ"(и) - (1 + /32)кеЧ>" {и) = (1 + /?2)яеФ» + 2(51т'(и)) при V = 0, и < —-у/ТТТ и >

- 2а 1шФ"(м) - (1 + (и) = О

- (1 + р2)кеФ{и) + 2р1тЦ>\и) = О

Таким образом математически задача сводится к определению двух гармонических функций во внешней области, ограниченной контуром тела и разрезом, по заданным на контуре соотношениям между вторыми производными искомых функций. Далее определение решения сводится к задаче сопряжения Римана-Гильберта для полуплоскости. При исследовании решения, анализ условия (3) показал, что в носовой части границы тела на щеке с меньшим углом наклона

Рис 2. Зависимость компонент тензора напряжений ^(и), сг^(м) на нижней и верхней щеках тела соответственно от величины и.

Это приводит к необходимости введения зоны отрыва с заранее неизвестной длиной. Таким образом в постановку задачи вводится новый неизвестный параметр I - равный длине зоны отрыва ОС (Рис. 3).

Рис. 3. Движение тонкого твердого асимметричного тела в неограниченной упругой среде с учетом зоны отрыва на носу тела.

Размер свободной поверхности Ь определяется численно из условия (3) и непрерывности скорости в точке отрыва. Для этого вычисляется (и),

постепенно от 0 увеличивая I, контролируя выполнение в точке отрыва условия непрерывности скорости. Параметр I считается найденным, когда на всем участке - ^ <и < выполняется условие ауу < 0. При исследовании решения получено, что даже малое нарушение симметрии движения тела при больших дозвуковых скоростях ведет к образованию зоны отрыва в носовой части тела на стороне меньшего угла, которая стремится к нулю с уменьшением асимметрии. При отсутствии трения длина зоны отрыва является практически постоянной для различных дозвуковых скоростей движения тела. С ростом коэффициента трения длина зоны отрыва уменьшается. С увеличением скорости движения тела длина зоны отрыва уменьшается, оставаясь конечной вплоть до скорости поперечных волн (Рис 4).

0.08

0.075

0.07

О О

0.065

*

0.06

0.055

0.05

0.045

- к=0.0

- к=0.05

- к=0.1

0.04

0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

М

Рис 4. Зависимость длины Ь зоны отрыва ОС от числа Маха М при значении углов ■у~ =л/60, у* =7г/55 для тела клиновидной формы.

Во второй главе та же задача об установившемся движении тонкого твердого тела в упругой среде при наличии асимметрии рассматривается в «трансзвуковом» диапазоне скоростей, когда скорость движения тела больше чем скорость поперечных волн в среде, но меньше, чем скорость продольных волн. Задача изначально решается с учетом существования зоны отрыва среды от тела со стороны меньшего угла наклона. В данном случае первое из уравнений (7) является эллиптическим, второе - гиперболическим:

(13)

По сравнению с дозвуковым режимом, характер движения изменяется.

Появляются три характерных области движения, ограниченные линиями тангенциального разрыва х = ±Рху, отходящими от точек О, А, В. Область перед телом, ограниченная линиями разрывов, отходящими отточки О есть область чисто продольных возмущений. Область, ограниченная линиями тангенциального разрыва х = Р{у, отходящими от точек О и А, и линиями разрывов * = , отходящими от точек О и В, является областью продольно-поперечных возмущений. Область за телом - область разгрузки. Так как движение дозвуковое по отношению к продольным возмущениям, то потенциал (р ищется в виде

(р = Яе Ф(г,), где Ф(2,) - аналитическая функция аргумента г, = х + ¡осу. Поскольку движение является сверхзвуковым по отношению к поперечным возмущениям, решение ищется в верхней полуплоскости для потенциала Ц/ в виде цг = Н(:2)Ч'(:2), гг=х-Ду; для нижней полуплоскости - у/ - Н(21)Ц>(2г), г3 = х + /?|у, где Н(1) - функция Хевисайда. В итоге получается следующая краевая задача:

- при у" = 0, ^ < х <

- 2а ГшФ''(х) -(1 -Д2 (х) = к(-(1 -Д2 )ЯеФ"(х)- 2 Д У'(*))

- а 1тФ"(х) - Ч^Ос) = у~{х)

- при у* = 0, 0 <х<12

- 2а 1т Ф» - (1 - 0?}¥~(х) = -к(- (1 - Д2 )яе Ф» + 2ДЧ> "(х)) -а1тФ"(;с)-Ч,''(*) = Г+(*) (14)

- при у~ = 0, л: > /, и у~=0,0<х<Ь

- 2а 1т Ф" (*) - (1 - Д2 )Р" (х) = О

- (1 - Д2 )ЯеФ"(х) - 2Д1Р(х) = О при у+ = 0, х > /2

- 2а 1т Ф" (*) - (1 - Д2}?" (х) = О

- (1 - Д2 )яе Ф\х) + 2ДЧ>» = О

Задача (14) решается методами теории функций комплексного переменного аналогично задаче из главы 1. Из полученных результатов следует, что для всего диапазона скоростей длина зоны отрыва на носу тела при увеличении скорости движения тела уменьшается. Длина зоны отрыва при переходе скорости тела через значение скорости распространения поперечных возмущений не терпит разрыва. Далее, с увеличением скорости движения тела, свободная поверхность резко сокращается, что вызвано прекращением влияния на среду перед телом поперечных возмущений. Затем ее размер медленно уменьшается до нуля. Увеличение коэффициента трения приводит к уменьшению длины зоны отрыва во всем рассматриваемом диапазоне скоростей (рис 5).

М

Рис 5. Зависимость длины зоны отрыва I от числа Маха М для тела клиновидной формы при различных коэффициентах трения.

Отдельный интерес представляет собой обтекание тела оживальной формы (контур носовой части тела имеет постоянный радиус кривизны, который непрерывно стыкуется с частью тела, которая имеет постоянную толщину). Анализ условия (3) в окрестности скорости поперечных волн (Рис. 6) показывает, что при переходе через скорость распространения поперечных возмущений отрыв среды из точек А, В перемещается ближе к вершине, образуя в диапазоне скоростей

У0 е (6, 1.016) отдельные, быстро исчезающие при увеличении скорости, зоны отрыва АА^ВВ^ и дальнейший отрыв среды происходит от точек конца оживальной носовой части О и Е.

J

Рис. 6. Схема обтекания оживала в диапазонах скоростей: (1) - дозвуковой, (2)- У0 е (¿,1016), (3) - >1.016.

Из полученных результатов (Рис 6-7, Табл. 1) следует, что при движении со скоростью, большей скорости поперечных волн существует предельная величина

скорости V — л/2Ъ, при которой исчезают зоны локального отрыва среды от тела и силы, действующие на тело, не зависят от его формы, а определяются

тг*

параметрами ударника и среды. При скоростях, больших V , обтекание становится безотрывным.

Г яг/61 л-/65 я/100 л-/2000 /г/10000 тг/100000 тг/100000(

м клин 1.205 1.3359 1.3877 1.41046 1.41256 1.41369 1.41405

оживал 1.072 1.2993 1.3764 1.40888 1.41186 1.41348 1.41398

Таблица 1. Зависимость предельного значения меньшего угла Ух от числа Маха М

поперечных волн, при котором зона отрыва отсутствует.

Рис. 7. Зависимости подъемной силы , силы сопротивления от числа Маха М для поперечных волн для тел в форме клина и оживала.

В третьей главе дана попытка объяснить природу особой скорости. В литературе данная скорость встречается в задачах о распространении трещин моды II со сверхзвуковой скоростью и в контактных задачах в трансзвуковом диапазоне скоростей.

Рассматривается задача о волнах, бегущих вдоль поверхности упругой среды у < 0, ограниченной жесткой плоскостью у = 0. Упругая среда считается

о о гт

предварительно напряженной, то есть в ней заданы напряжения a ,cr ^. На границе считаются выполненными равенство нулю компоненты перемещений иу и линейную связь между малыми возмущениями на данной поверхности

>> = 0, иу= 0, ^+/<7^=0 (16)

где а «а0 , а «ст° , / - неизвестный коэффициент.

XV ху >у уу

Равенство нулю вертикальной компоненты перемещения достигается благодаря предварительно напряженному состоянию упругой среды. Внутреннее давление не дает частицам среды оторваться от жесткой границы. В случае отсутствия напряжений, это условие приняло бы вид иу < 0.

Решение данной задачи ищется в виде волн, бегущих вдоль поверхности с неизвестной, но постоянной скоростью с. Метод решения аналогичен классическому решению задачи о волнах Релея. Решение ищется в форме, обеспечивающей затухание продольных возмущений на бесконечности.

В ходе решения показано, что существуют поверхностные волны в исследуемом трансзвуковом диапазоне скоростей, распространяющиеся со скоростью с = -Jib. Их скорость определяется только упругими модулями среды и плотностью. Они, как и волны Рэлея не имеют дисперсии и реализуются в условиях стесненной деформации, например, как волны разгрузки при выполнении дополнительного требования f = 0 или / = 1. Условие / = 0 означает гладкий контакт между упругой и твердой полуплоскостью. Данные волны, как и волны Рэлея, должны проявлять себя при решении динамических контактных задач и

задач разрушения в сдвиговых трещинах, поскольку в этих задачах деформация является заведомо стеснённой.

Далее исходная задача, поставленная в главе 1, решается в трансзвуковом диапазоне скоростей, при скорости движения тела, большей с = лJib. Для этого используется метод разложения решения по малому параметру. Искомая функция Ф (и) раскладывается в окрестности точки /?, = 1 по малому параметру 1

ф"(и) = ф0(м) + £ф,(м) (17)

где Ф0 (и) - решение для скорости V = 4гъ, а Ф, (и) - неизвестная функция. В случае «грунтового приближения» (коэффициент Пуассона v = 0.25), параметр с, можно считать «малым» на всем диапазоне рассматриваемых скоростей

-Jib <V <а, поскольку в данном случае скорость продольных волн равна корень из трех на скорость поперечных волн, то есть а « 1.76. Следовательно, рассматриваемый интервал скоростей составляет примерно 0.36.

Сначала определяется функция Ф0(ы), затем, из граничных условий (9) находится функция Ф,(ы).

Получено, что метод разложения по малому параметру хорошо состыкуется с ранее полученным решением для диапазона скоростей b < V < -Jib и может применяться для решения контактных задач в диапазоне скоростей V > -J2b (Рис. 8). В окрестности критической скорости V = л/2b для всех величин (сил и моментов) существует участок, где их значения почти постоянны, далее с увеличением скорости движения тела характер изменения их величин резко меняется.

Рис .8. Зависимость силы сопротивления , подъемной силы и крутящего момента К относительно носа тела от числа Маха М

Зависимость сил и моментов от трения незначительна, и изменение коэффициента трения почти не влияет на их поведение в данном диапазоне скоростей. Сила сопротивления возрастает с увеличением скорости на всем трансзвуковом диапазоне скоростей, Подъемная сила, наоборот, убывает. Крутящий момент резко убывает при стремлении скорости движения к скорости продольных возмущений, что позволяет сделать вывод о более устойчивом движении тела при больших скоростях движения.

Основные результаты и выводы

1. В работе показано, что при учете сил инерции при движении ассиметричного тела в среде со сдвиговой прочностью появляются зоны отрыва среды с «наветренной» стороны поверхности тела.

2. Проведено исследование влияние скорости и геометрии тела на величину зоны отрыва. Получено, что при движении тела под углом атаки на носовой части тела образуется зона отрыва. Ее длина при переходе через скорость распространения поперечных возмущений ведет себя непрерывно. Далее, с увеличением скорости движения, длина области отрыва резко уменьшается, что вызвано отсутствием влияния на среду перед телом поперечных возмущений, и затем ее размер медленно уменьшается до нуля при скорости, равной произведению корня из двух на скорость поперечных волн.

3. В случае движения тела оживальной формы при переходе через скорость распространения поперечных возмущений, образуются несколько отдельных, быстро исчезающих при увеличении скорости, зон отрыва.

4. При увеличении скорости в трансзвуковом диапазоне моменты внешних сил уменьшаются. Отсюда следует, что движение с большими скоростями более устойчиво. Этот качественный результат в целом согласуется с имеющимися экспериментальными данными, согласно которых резкие повороты тела происходят в диапазоне малых дозвуковых скоростей движения.

5. Получено, что при движении тела в упругой среде с трансзвуковой скоростью существует особая скорость, равная корень из двух на скорость

поперечных волн. Показана связь этой скорости с поверхностными волнами в условиях стесненной деформации.

Публикации по теме диссертации

1. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Расклинивание упругой среды несимметричным телом // Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2009 года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. - С. 78.

2. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Образование отрывных зон при наличии асимметрии движения тела в упругой среде // Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. - С. 88-89.

3. Ромашов Г.А. Образование отрывных зон при наличии асимметрии движения тела в упругой среде // Ломоносов. Научная конф. Математика и механика. - М.: МАКС Пресс, 2010. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM). - С. 1.

4. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Ассиметричное расклинивание упругой среды с образованием отрывных зон // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Труды И международной конференции. - Ер.: ЕГУАС, 2010. 2. - С. 99-102.

5. . Звягин A.B., Ромашов Г.А. Образование отрывных зон при наличии асимметрии движения тела в упругой среде // Шевченковская весна, материалы научной международной междисциплинарной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - К.: Логос, 2010. 8. - С. 104-105.

6. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Ассиметричное расклинивание среды с образованием отрывных зон // Упругость и неупругость. Материалы Межд. научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. - С. 359-362.

7. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Образование отрывных зон при наличии асимметрии движения тела в упругой среде // Изв. РАН. МТТ. - 2011. - № 3. -С. 122-132.

8. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Расклинивание упругой среды с образованием отрывных зон // Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 2011. - JV» 4. - С. 33-38.

9. Звягин А.В., Ромашов Г.А. Критическая скорость в контактных задачах // Вести. ЧПГУ им. И. Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. — 2011.-№1(9).-С. 102-106.

10. Zvyagin A.V., Romashov G.A. Asymmetric wedging of elastic material with the formation of séparation zones II Acta Astronáutica. - 2011. - V. 68. -№ 11-12. - P. 1681-1685.

11. Звягин A.B., Ромашов Г.А. Поверхностные волны в условиях стесненной деформации // Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Тезисы докладов. - M.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. - С. 64.

12. Ромашов Г.А. Поверхностные волны в условиях стесненной деформации II Ломоносов. Научная конф. Математика и механика. - М.: МАКС Пресс, 2011-1 электрон, опт. диск (CD-ROM). - С. 1.

Подписано в печать 24.04.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1215 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

61 12-1/826

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.

РАСКЛИНИВАНИЕ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ОБРАЗОВАНИЕМ

ОТРЫВНЫХ ЗОН

Специальность 01.02.04 Механика Деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Ромашов Григорий Александрович

Научный руководитель — Доктор физико - математических наук

А.В.Звягин

Москва-2012 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................3

Глава 1. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ В УПРУГОЙ СРЕДЕ С ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АСИММЕТРИИ С УЧЕТОМ ОТРЫВА СРЕДЫ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА......................8

1. Постановка задачи ...............................................................8

2. Построение решения для дозвуковой скорости движения..............13

3. Решение с учетом зоны отрыва на носу тела..............................22

Глава 2. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ В УПРУГОЙ СРЕДЕ С ТРАНСЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АСИММЕТРИИ С УЧЕТОМ ОТРЫВА СРЕДЫ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА......................33

1. Построение решения для трансзвуковой скорости движения...........33

2. Результаты.........................................................................38

Глава 3. ОСОБАЯ СКОРОСТЬ В ТРАНСЗВУКОВОМ ДИАПАЗОНЕ СКОРОСТЕЙ...............................................................................44

1. Введение ............................................................................44 •

2. Особая скорость ...................................................................46

3. Решение задачи при скоростях,близких к скорости продольных волн 51

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............ . . ..............................................................61

ЛИТЕРАТУРА............. ^...............................................................62

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа представляет собой исследование дозвукового и трансзвукового движения жестких тел в упругой среде при наличии асимметрии.

Задачи о проникании и движении тел в различных средах возникли в механике сплошных сред в самом начале ее развития. Классическими задачами такого типа являются задачи гидро и аэродинамики. Задачи о проникании в твердых телах возникают при производстве таких работ, как обработка почвы в сельском хозяйстве, бурении, при землеройных работах и в приложениях военно-технического характера. Наиболее ранними являются работы Ньютона, в которых был впервые предложен метод локального взаимодействия и Эйлера [69], где предложены основы проникания в предположении постоянства силы сопротивления. В работе 1941 года [77] изложены экспериментальные и теоретические исследования механики проникания.

Современные исследования, посвященные проблемам строительства и обработки грунтов [9, 33, 34, 35] показывают, что задачи о проникании не потеряли актуальность в наше время. Одним из важных направлений современных исследований являются методы и технологии, основанные на глубоком проникании ударников [1, 20, 67]. Такие задачи возникают при исследовании планет и астероидов [19], вулканической и сейсмической деятельности [51]. При этом в опытах по внедрению симметричных ударников в различные среды часто наблюдались эффекты искривления траектории движения даже при незначительном нарушении симметрии движения [17, 25, 50] (что иногда приводило к развороту ударника и его последующему выбросу из мишени). В особенности, неустойчивость движения проявляется при внедрении длинных ударников, несмотря на высокую скорость движения 1 км/с) [71]. В работах [5, 42, 47, 49] показано, что при контактном разрушении важным является определение возможных зон отрыва среды от поверхности тела, поскольку их наличие

резко меняет баллистические характеристики внешних сил и моментов, действующих на тело со стороны среды.

Таким образом, в задачах о проникании на большие глубины принципиально важными являются вопросы расчета проникания, получение картины обтекания тела средой и анализа устойчивости его движения в прочной среде.

Отечественными и зарубежными авторами был решен большой класс задач по прониканию и движению тел в прочной среде [58, 59]. Задачи о проникании тел в грунты рассмотрены в монографиях [44, 45], причем рассматривался как прямой, так и наклонный вход. В монографии [22] рассмотрен большой диапазон контактных задач и методы их решения в дозвуковом диапазоне скоростей. В работах [53, 54] были решены задачи об обтекании твердых тел упругопластическим потоком в до- и трансзвуковом диапазонах скоростей. Большой объем работ по прониканию выполнен под руководством Бивина Ю.К,.: изучалась каверна при входе твердых тел в упругопластическую среду [12], исследовалось движение тела в глиняной среде [14, 16], проникание твердых тел в различные среды с до-, транс- и сверхзвуковыми начальными скоростями входа [10, 16], были предложены методы для определения динамических свойств грунтов методом пенетрации [13, 15]. Проникание тел вращения в упругопластические среды и оптимизация их формы исследовались в работах [4, 6, И, 36, 41, 81]. В [78, 84] исследовалось проникание твердых тел в полубесконечную и конечную упругопластическую среду.

Большой интерес представляют задачи о проникании под углом атаки, поскольку в реальности осуществить симметричное проникание практически невозможно. И.В. Симоновым рассмотрены задачи о стационарном движении с дорелеевской скоростью вдоль границы раздела двух сред под углом атаки [48] и колебания иглы в упругопластической среде при движении под углом атаки [52]. В работе [5] исследуется задача о наклонном, проникании жесткого тела в мягкую грунтовую среду на основе метода

локального взаимодействия. Авторами отмечается, что использование гипотезы несжимаемости среды в пренебрежении отрывом потока для оценки максимальных значений сил сопротивления приводит к большим ошибкам. Учет сжимаемости позволяет заметно уточнить силы сопротивления и удовлетворительно оценить отклонения траекторий тел от первоначального направления движения.

В [40, 42] рассматривается модель пространственного движения тела вращения в малопрочной среде типа грунта с учетом несимметричного отрыва потока. В работе [18] показано существенное влияние угла атаки на глубину проникания тонких тел. Даже незначительный наклон тела (около 3 градусов) приводит к динамическому изгибу стержня и, как следствие, к его деформации и разрушению.

В большинстве работ задачи решались численными или полуаналитическими методами. Это вызвано тем, что их решение в точной постановке, как правило, вызывает непреодолимые трудности [25]. Поэтому для получения аналитического решения принимаются различные допущения. Так, одним из наиболее популярных приближений является принятие среды, в которой двигается тело, за упругую. Приближение упругой среды дает оценку сверху искомым параметрам напряжений и перемещений, поскольку в реальности среда является более мягкой. Следующее популярное приближение - считать скорость тела постоянной, а движение -установившимся. Такое допущение оправдано тем, что время движения тела от момента удара до полной остановки очень велико, и подобный расчет требует громадных вычислительных ресурсов. Тем не менее, данный подход позволяет учесть силы инерции, которые являются существенными при движении тела с большой скоростью. Недостатки подобных допущений компенсируются возможностью получения точного аналитического решения, удобного для анализа. Эти приближения приняты в диссертации.

Задачи о проникании острых тонких симметричных тел с постоянной до-, транс- и сверхзвуковой скоростью в упругую среду рассматривались в

работах [2, 3, 7, 26-29, 38, 43, 55, 56, 60]. В данных работах рассматривалось преимущественно прямолинейное движение без угла атаки. Классом задач о проникании, в которых скорость движения тела почти не изменяется, являются задачи о пробивании тонких преград и резании. Подобные задачи рассмотрены в [8, 33, 35, 46].

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассматривается задача о плоско-параллельном движении с постоянной сверхрелеевской скоростью тонких твердых асимметричных тел конечной длины в неограниченной упругой среде. На поверхности движущегося тела считаются выполненными условие безотрывности обтекания и закон Кулона-Мора о наличии сухого трения между средой и телом. В работе [21] обоснована правомочность выбора данных граничных условий для тонких тел. В системе координат, связанной с носом тела, его движение можно считать установившимся.

Математически задача сводится к определению двух гармонических

1 с и к/

функции во внешней области, ограниченной контуром тела, по заданным на контуре соотношениям между вторыми производными искомых функций. Используя конформные отображения, определение решения удалось свести к задаче сопряжения Римана-Гильберта для полуплоскости. Применяя методы решения таких задачи, изложенные в [39], получаем общее решение поставленной задачи в квадратурах. При исследовании решения было получено, что на носу тела, со стороны меньшего угла наклона образуется зона отрыва, длина которой при увеличении скорости движения остается конечной вплоть до скорости поперечных волн. Проведено исследование зависимости длины зоны отрыва от скорости движения тела, его формы и коэффициента трения. Основные результаты первой главы опубликованы в работах [30,31, 85].

Во второй главе эта же задача об установившемся движении тонкого твердого тела в упругой среде при наличии асимметрии рассматривается в трансзвуковом диапазоне скоростей. Задача решается с учетом

существования зоны отрыва среды от тела со стороны меньшего угла наклона. Проведено исследование зависимости поведения зон отрыва, сил и моментов, действующих со стороны среды на тело, от скорости движения тела, его формы и коэффициента трения. Подробно рассмотрено обтекание тела оживальной формы (контур носовой части тела имеет постоянный радиус кривизны, который непрерывно стыкуется с частью тела, которая имеет постоянную толщину), в частности, показано существование отдельных, быстро исчезающих с увеличением скорости зон отрыва на обеих сторонах тела в окрестности скорости распространения поперечных возмущений. Показано существование особой скорости, равной корень из двух на скорость поперечных волн, при переходе через которую меняется режим обтекания - оно становится безотрывным. Основные результаты второй главы опубликованы в работах [30, 31, 85].

Третья глава посвящена обсуждению выявленной в главе 2 особой скорости. Приведен обзор литературы, в которой упоминается данная скорость. Предложена возможная связь этой скорости с поверхностными волнами в условиях стесненной деформации. Для решения задачи о об установившемся движении тонкого твердого тела в упругой среде при наличии асимметрии для трансзвуковых скоростей, превышающих данную скорость, применен метод разложения решения по малому параметру. Малый параметр представляется в виде два минус число Маха поперечных волн в квадрате. Полученное решение выражается в виде двойных интегралов типа Коши. Показано, что данный метод приводит к результатам, полученными в главе 2. Проведено исследование зависимости поведения сил и моментов, действующих со стороны среды на тело, от скорости движения тела и коэффициента трения. Показано, что при скоростях, близких к скорости продольных волн, движение тела максимально устойчиво в трансзвуковом диапазоне скоростей/Основные результаты третьей главы опубликованы в работе [32].

ГЛАВА 1.

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ В УПРУГОЙ СРЕДЕ С ДОЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АСИММЕТРИИ С УЧЕТОМ ОТРЫВА СРЕДЫ ОТ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА

В данной главе рассматривается движение асимметричного тонкого твердого тела в неограниченной упругой среде в дозвуковом сверхрелеевском диапазоне скоростей. Показано, что на носу тела, со стороны меньшего угла наклона образуется зона отрыва, длина которой при увеличении скорости движения остается конечной вплоть до скорости поперечных волн. Проведено исследование зависимости длины зоны отрыва от параметров задачи.

1.1 Постановка задачи.

Рассмотрим задачу о движении тонкого жесткого тела в упругой изотропной среде с плотностью р и упругими модулями Я, ¡и. Будем считать, что тело движется с постоянной скоростью Уо относительно неподвижной системы координат охххух в направлении, противоположном оси , и движение среды плоскопараллельное.

Отрыв среды от тела происходит в точке А с абсциссой 1Х для верхней части контура и В с абсциссой /2 для нижней. Также будем считать углы малыми и у~ <у+ (фиг. 1).

Фигура 1. Движение тонкого твердого асимметричного тела в неограниченной упругой среде. Граничные условия. В рассматриваемой задаче, в области контакта тела со средой должно быть выполнено условие безотрывности обтекания и закон трения Кулона-Мора

= апт =-кстш

где ^(х) - угол между осью Ох и касательной к контуру тела. Предполагая угол у малой величиной, граничные условия на поверхности контакта можно линеаризовать и снести на ось Ох, сохраняя только величины первого порядка малости:

% =Щ-Уо(х), % ^-ксТуу, (1.1.1)

где у = у0(л;) - уравнение контура тела, у(х)« ^(х). Условия (1.1.1) предполагаются физически реализуемыми (сжатие в месте контакта), что равносильно выполнению дополнительного требования в области контакта

^«^О. (1.1.2)

После возможного отрыва среды от поверхности тела должны выполняться условия на свободной поверхности опп = 0, опт = 0, или после линеаризации

°УУ =Q> (1.1.3)

Также должны быть выполнены условия излучения (отсутствие волн, идущих из бесконечности), обеспечивающие единственность решения:

при г = у1х2+у2 4-00 vt =0(4=), or у =0(4=), ^- = о(4=)»

л//" Л/Г Vr

дг л] г

Основные уравнения. Задача сводится к решению двух волновых уравнений:

1 д2(р с2(р t д2(р 1 Э V _ д2у/ oV /1 in

+ —-—, (1.1.4^

я2 dt2 дх2 ду2' Ъ2 dt2 dx'f dyf

для продольных и поперечных волн, скорости которых равны

соответственно а= \ + ^ и 6 = |— . Здесь (p = q>{xx,yxit) и

V Р VP

у/ = y/(xxiyx,t) - потенциалы вектора перемещений и = {их,и }.

Воспользуемся представлением Ламе для вектора перемещений:

дер дш д(р ду/

их= — + —, и = —--—

дх{ ду1 ду1 дх1

Наряду с неподвижной системой координат введем связанную с телом подвижную систему координат оху, (фиг. 1) х = х{+¥0 ^, у = у1 , где t -время.

Считая, что в подвижной системе координат движение является установившимся, получим следующие выражения операторов дифференцирования:

_д_=д_ _д_=д_ д_^у д_

дхх дх' ду{ ду' дt 0 дх

При установившемся движении уравнения (1.1.4) для потенциалов ср,у/ перепишутся в форме

а2 дх2 ду2 Ь2 дх2 ду2

(1.1.5)

Компоненты скоростей в установившейся системе координат можно выразить при помощи введенных потенциалов (р,у/ в следующем виде:

х 3/ ■ 0

(д2<р | аV >

дх2 дхду

ди

Г -52..Л

У

дг<р ЭУ

дхду дх1

(1.1.6)

Определим компоненты тензора деформации £ц:

дих д 2(р д2у/

+ ■

дх дх2 ' дхду' **

£ху ~ 2

ди^+диу) 1 ду дх

диу _ д2<р Э V

ду ду2 дхду' 2..Л

Г ' д2ср д2у/ д*у/ дхду ду2 дх:

Бы - £„ +£,„, =

д2(р д2ср

+

•кк - "хх^^уу ' -л 2

дх ду'

С помощью закона Гука для изотропной среды (Ту = Я£ккду + 2¡ие^ выразим компоненты тензора напряжений через потенциалы (р,цг:

_ \д2Ф -д2(р _ д2\1/

дх. ду'

дхду

\

дхду ду дх"

(1.1.7)

, д2(р _ \д2Ф ^ д2и/

Учитывая (1.1.1), (1.1.3), Получим следующие граничные условия:

о\д, = кст^, Уу =Г0у при у = 0, 0 < х < 1Х;

аху = ~кстуу> ГУ = ¥оГ+ при у+ = 0, 0 < X < /2;

(7ХУ =0, о- =0 при у~ = 0, х>11ъ у+ - 0, х>12.

(1.1.8)

Таким образом, необходимо решить уравнения (1.1.5) с граничными условиями (1.1.8), с учетом выражений (1.1.6), (1.1.7) для скорости и напряжений.

1.2. Построение решения для дозвуковой скорости движения.

Рассмотрим движение со скоростью, меньшей скорости распространения поперечных волн. В этом случае оба уравнения (1.1.5) являются эллиптическими.

дх2 ду2 дх ду-

где а2=1-^,

а Ъ

Уравнениям выше удовлетворяют функции (р = КеФ(г1),^' = КехР(г2), где ), хР(г2) - аналитические функции своих комплексных аргументов гх= х + г осу, г2 = х + 1(3у. Отметим, что производные функций (р,у/ в силу условий Коши-Римана будут следующими:

ОХ оу ОХ су

^-у = КеФ"(г,), = |^- = -а1тФ"(г,), (1.2.1)

дх ду охду

дх ду дхду

Тогда компоненты скорости (1.1.6) можно выразить при помощи введенных функций комплексного переменного, используя (1.2.1):

V V

V .и гг " ч) и »1

-^- = КеФ -в\тЧ> , — = -а 1шФ - Яе

У0 К

Также выразим компоненты тензора напряжений (1.1.3) при помощи введенных функций комплексного переменного, используя (1.2.1). Для этого сперва выведем следующие выражения:

Я + 2 /л а'

а2-\_/32-\ а2 -1

Я _Я + 2/л 0_р2-1а2+\ — —

М

а2-1

V/ и

С их помощью найдем компоненты тензора напряжении:

&хх Я + 2(л д (р Я д (р „д2у/ /32-\тл ^ 01-2сс2+ \ хх - ^ • +--V- + 2—— = —„-ЯеФ +-

/л у. дх2 ¡л ду2 дхду а2-1

^отЛтг" (Р2~Х-агр2+а2 2а4-2а2) -2р\тЦ! = --„ -+

а2 -1

(~а2Яе Ф")-

а2 -1

а2 -1

ЯеФ -2у?1тЧ/ =

= (1 -Р2 + 2а2)яеФ" -г^Ь-п^"

<7

( а2

2..Л

Э (р | Э у/ 8 у/

дхду ду2 дх2

= -2а 1тФ -(1 + ^2)ке¥"

^ ЯЭ> я + 2цд1(р ' а> У? ~2сГ + 1 /Г-1

— = ——+ --— —7Г-: - 2—— = --—-ЯеФ -

а -1

/л ¡л дх2 ¡л ду2 дхду а2 -1 У-2а2 +1-а2/?2+сГ4

(-а2ЯеФ )

+

+ =

а2-1

ЯеФ +2у01тхР

= -(1 + /?2 )яеФ + 2у0

В итоге, компоненты скоростей и тензора напряжений выражаются через введенные функции в следующем виде:

— = Яе Ф - 1тЧ'", — = -ес1тФ -Яе4!'

Го Уо

= {2а2 + \- /З2)яеФ - 2/? 1т,—- -2а 1т Ф - (1 + 2 )ые¥ (1.2.2)

¡л ¡л

<у

УУ

= -(1 + /?2)яеФ + 2/?1тЧ'"

Сведем решение к задаче для верхней полуплоскости 1ш>у > 0. Для