Аналитические методы в задачах теории упругости со смешанными граничными условиями и их приложения в механике разрушения

Сметанин, Борис Иванович

Аналитические методы в задачах теории упругости со смешанными граничными условиями и их приложения в механике разрушения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Сметанин, Борис Иванович АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Аналитические методы в задачах теории упругости со смешанными граничными условиями и их приложения в механике разрушения»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические методы в задачах теории упругости со смешанными граничными условиями и их приложения в механике разрушения"

На правах рукописи

Смстшшн Борис Иванович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ростов-на-Дону - 2007

003064930

Работа выполнена в федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» (ЮФУ)

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Александров Виктор Михайлович

академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор Бабешко Владимир Андреевич

доктор технических наук, профессор Бескопыльный Алексей Николаевич

доктор технических наук, профессор Ильин Владимир Александрович

ГОУВПО

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

Защита состоится «24» октября 2007 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.058.03 в ГОУ ВПО Донском государственном техническом университете (ДГТУ) по адресу: 344010, г. Росгов-на-Дону, пл. Гагарина 1, аудитория № 252.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ДГТУ.

Автореферат разослан « » оЬ-Ъ^ Ш ¿1 2007

года

Ученый секретарь диссертационного совета ^ Соловьев АН.

Общая характеристика работы •„..;.

Актуальность темы. Все реальные конструкции содержат дефекты (полости, отверстия, включения и др.), которые являются концентраторами напряжений. Анализ напряженно-деформированного состояния в окрестности концентратора напряжений с последующим использованием обычных критериев прочности в ряде случаев не позволяет получить адекватное заключение о несущей способности конструкции. Разрушение конструкции может происходить путем развития трещины. При этом многие используемые в инженерной практике материалы разрушаются по квазихрупкому механизму: при развитии трещины вблизи ее поверхности образуется узкая область пластических деформаций. В соответствии с предложешшм Ирвиным и Орованом критерием квазихрупкого разрушения для определения критической длины трещины достаточно провести анализ поля напряжений и деформаций в теле с трещиной в рамках модели линейно упругого тела. Пластическая деформация окрестности трещины учитывается определяемыми экспериментально постоянными материала, которые входят в критерий локального разрушения в окрестности контура трещины.

Реферируемая диссертация посвящена разработке эффективных алгоритмов решения задач со смешанными граничными условиями (смешанных задач) о тонких концентраторах напряжений в упругих телах (трещинах, включениях и др.) и получению с их помощью вспомогательного теоретического материала для заключения о работоспособности конструкций. В связи с вышеизложенным, тема диссертации представляет актуальную научную и инженерную проблему.

Целью работы является: 1. разработка приближенных асимптотических методов решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений смешанных задач для упругих тел с тонкими концентраторами напряжений, позволяющих

строить расчетные формулы в простом, удобном для инженерной практики виде; • •

2. разработка методов сведения плоских и осесимметричных задач указанного типа к системам алгебраических уравнений с целью установления границ применимости полученных асимптотическими методами расчетных формул и для расширения диапазона их применимости;

3. получение приближенного решения пространственных задач в форме двукратного интеграла по области, занимаемой копцентратором напряжений;

4. исследование на основе указанных методов совокупности новых плоских, пространственных осесимметричных и неосесимметричных задач с целью получения справочного материала, необходимого для анализа условий разрушения тел;

5. исследование трещиностойкости тел с микротрещинами, длина которых не позволяет использовать теорию Ирвина-Гриффитса.

Методика исследования. Применение метода интегральных преобразований приводит рассматриваемые смешанные задачи для упругих тел в виде полосы, слоя, цилиндра, полупространства и пространства к решению одномерных интегральных уравнений, либо двумерных интегро-дифференциальных уравнений. Исследование свойств ядер полученных уравнений позволило определить структуру решения этих уравнений и алгоритм его нахождения.

Научная новизна. Для смешанных задач о тонких концентраторах напряжешш в упругих телах разработаны новые модификации асимптотических методов, развитых при исследовании контактных задач теории упругости. В основе этих методов лежит получение погранслоевого и «внутреннего» решений, либо разложение искомой функции в ряд по малому параметру. Необходимость в создании новых модификаций

асимптотических методов связана с существенным различием свойств ядер интегральных уравнений контактных задач и задач о тонких концентраторах напряжений.

Методы сведения интегральных уравнений к линейным алгебраическим системам уравнений обобщены для интегральных уравнений плоских и осесимметричных задач о тонких концентраторах напряжений. При этом разработана новая модификация метода сведения интегрального уравнения к алгебраическим системам, эффективная при малых значениях входящего в ядро параметра X и при любых значениях этого параметра.

Получена новая форма главной части оператора интегро-дифференциального уравнения статических пространственных задач рассматриваемого типа, более удобная для реализации приближенных методов решения уравнения. Эта форма позволила получить приближенное решение пространственной задачи при некоторых условиях на ограничивающий область концентратора напряжений контур в виде двукратного интеграла. Получен алгоритм, позволяющий провести уточнение этого решения.

Исследована трещиностойкость упругих тел с микротрещинами в диапазоне изменения их длины, в котором теория Ирвина-Гриффитса неприменима.

Исследована совокупность новых задач для упругих тел с трещинами, отслоившимися включениями, либо накладками.

Практическая значимость работы. Развитые в реферируемой работе методы решения смешанных задач представляют собой вклад в теоретическую базу приближенных методов решения задач для упругих тел при наличии тонких концентраторов напряжений. Значительная часть результатов при исследовании конкретных задач получена в форме,

удобной для инженерной практики. Некоторые из этих результатов включены в монографии справочного характера:

1. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с. (С. 534,535, 561).

2. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 444 с. (С. 132,133,179, 216, 217).

3. Развитие теории контактных задач в СССР // Цод ред. Галина JI.A. М.: Наука, 1976. 493 с. (С. 168).

4. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с. (С. 176 - 182).

5. Fracture: A Topical Encyclopedia'of Current Knowledge // Edited by G.P. Cherepanov. Melbourne (U.S.A.): Krieger Publishing Company, 1998. 950 pp. (Pp. 388-396).

Полученные в диссертации расчетные формулы могут быть использованы для создания норм дефектности элементов конструкций, а также для прогноза работоспособности конструкции при наличии в ней дефектов в период ее эксплуатации.

Отдельные результаты, полученные в диссертации, внедрены в учебный процесс на факультете математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Достоверность приведенных в диссертации результатов обеспечивается строгостью применяемых математических методов, корректностью постановок рассматриваемых задач, физичностью полученных результатов, а также совпадением некоторых частных случаев найденных решений с результатами других авторов.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм построения приближенного решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений смешанных задач для упругих тел с

гонкими концентраторами напряжений, в основе которого лежат новые модификации асимптотических методов «больших и малых Л» (по терминологии монографии: Воровнч И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 е.).

2. Алгоритм построения приближенного решения интегральных уравнений, в основе которого лежат новые модификации методов сведения задач указанного типа к системам алгебраических уравнений.

3. Метод построения приближенного решения пространственных статических задач в форме двукратного интеграла по области, занимаемой концентратором напряжений.

4. Алгоритм определения критической длины микротрещин в упругих телах, для которых теория Ирвина-Гриффитса неприменима.

5. Результаты исследования совокупности новых плоских, пространственных осесимметричных и неосесимметричных задач указанного выше типа.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на III,V-УП Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Москва, 1968 г., Алма-Ата, 1981 г., Ташкент, 1986 г., Москва, 1991 г.), на VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966 г.), на 1-1У Всесоюзных конференциях «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Ростов н/Д, 1977 г., Днепропетровск, 1981 г., Харьков, 1985 г., Одесса, 1989 г.), на П Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984 г.), на II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе, 1985 г.), на П Всесоюзном симпозиуме по механике разрушения (Киев, 1985 г.), на Симпозиуме «Современные проблемы механики контактных взаимодействий» (Ереван, 1992 г.), на VIII Международном конгрессе по механике разрушения (Львов, 1993 г.), на XIV Международной

конференции «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2006 г.), на семинарах кафедры теории упругости МГУ (1985 г.), кафедры пластичности МГУ (1985 г.), в полном объеме на семинарах кафедры теории упругости РГУ (1985 г., 1993 г.) и кафедры теоретической гидроаэромеханики ЮФУ (1993 г., 2007 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано:

1. Монография «Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах». М.: Наука, Физматлит, 1993. 224 с. (в соавторстве с В.М. Александровым и Б.В. Соболем).

2. Глава 20 в кн.: Fracture: A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Melbourne (U.S.A.): Krieger Publishing Company, 1998. Pp. 388 -396 (в соавторстве с B.M. Александровым).

3. Параграф 7 главы 2 в кн.: Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. С. 158 - 168 (в соавторстве с АС. Соловьевым).

4. Глава 3 в коллективной монографии под редакцией И.И.Воровича: Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1983. С. 54 - 66.

5. 48 научных работ, из них 22 в центральной академической печати.

В работах [1, 2] Александрову В.М. принадлежит постановка задач,

идея метода решения, Сметанину Б.И. принадлежит получение новой модификации метода «малых Я» и ее практическая реализация.

В работе [8] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи, выбор метода решения, получение расчетных. формул. Результаты вычислений принадлежат Великотному A.B.

В работе [9] Соловьеву A.C. принадлежит обзор работ по накладкам и включениям в упругих телах, Сметанину Б.И. принадлежит обзор работ по расклиниванию упругих тел.

В работах [11, 12, 15] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задач, выбор методов решения, обоснования Соболю Б,В. принадлежит

практическая реализация методов решения. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени.

В [13, 16] Александрову В.М. принадлежит постановка задач, идея методов решення. Сметанину Б.И. принадлежит аналитическая и численная реализация этих методов.

В [18, 19, 21] Александрову В.М. принадлежит идея метода решения задач. Сметанину Б.И. принадлежит практическая реализация метода, анализ полученных результатов, основные выводы.

В [20] Сметаниным Б.И. написаны главы 2 и 3.

В [22] Сметанину Б.И. принадлежит идея преобразований основного функционального и интегрального уравнений, Александрову В.М. принадлежит практическая реализация метода решения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 10 глав, заключения, списка литературы из 193 наименований и приложения. Полный объем диссертации составляет 278 страниц, в том числе 29 рисунков и 9 таблиц.

Во введении отмечена актуальность диссертационной работы, дан обзор литературы, касающейся темы диссертации, изложено ее краткое содержание. Указано, что большой вклад в развитие методов решения смешанных задач теории упругости, либо в исследование приложений этих задач в механике разрушения внесли ученые: Б.А. Абрамян, С.М. Айзикович, В.М. Александров, А.Е. Андрейютв, В.А. Бабешко, Р.Д. Банцури, A.B. Белоконь, Т.Н. Белянкова, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Л.А: Галин, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, Р.В. Гольдштейн, Э.И. Григолюк, А.Н. Гузь, А.П. Дацышин, В.М. Ентов, A.A. Ильюшин, А.Ю. Ишлимский, В.В. Калинчук, Л.И: Качанов, Г.С. Кит, Е.В. Коваленко, Б.А. Кудрявцев, А.И. Лурье, Е.М. Морозов, Н.Ф. Морозов, В.И. Моссаковский, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, Ю.Н. Работнов, М.П. Саврук, М.Г. Селезнев, Л.И. Слепян, Б.В. Соболь, А.Н. Соловьев, М.А. Сумбатян, А.Ф. Улитко, Ю.А.

Устинов, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков, Г.П. Черепанов, С. Atkinson, F. Erdogan, А.Д. Griffith, G.R. Irwin, M. Isida, M.K. Kassier, A.S. Kobayashi, M. Lowengrub, Y. Murakami, A. Nisitani, E.O. Orowan, P.C. Paris, R. Shah, G.C. Sin, S.F. Smith и другие.

В первой главе исследована структура решения интегральных уравнений плоских и осесимметричных смешанных задач о тонких концентраторах напряжений в упругих телах и интегро-дифференциальных уравнений пространственных смешанных задач. Приведена более удобная для реализации приближенных методов решения по сравнению с традиционно используемой форма интегро-дифференциального уравнения задачи о трещине в упругом пространстве

о)

дхду%(£-х)(т)-у)

Здесь £2 - плоская область, занимаемая трещиной, R = л](£-х)2 + (tj- у)2 .

Вторая глава посвящена изложению новых модификаций аналитических методов решения указанных уравнений. Рассмотрено интегральное уравнение плоской смешанной задачи теории упругости в виде

= (М<1) (2)

Ядро этого уравнения представимо интегралом

g(t) = ]L(u)sinutdu = - + F(i) (3)

о '

L{u) = 1 + 0(е~ки); к >0, « оо,

где F(t) - регулярная часть ядра. Если f{x)sHa{-1,1), а > 0, то

асимптотическое решение уравнения (2) при Л > шахСЛ,^) дается

формулой

<pU) =

JT-.

I7~0

(4)

Л.=-

'0 + 2G\

, Gm = max|/7<m)(i)[, /e[o,oo] (5)

лг 21

Получена система интегральных уравнений простой структуры, из которой последовательно находятся функции <р„(х). При

f(x) = f0= const (6)

<рп(х) - многочлены степени 2п +1 (и > 1). Для увеличения диапазона применимости по Я полученного решения используется аппроксимация Паде.

Если /(х)е Я" (-1,1), а: > 0, а ядро интегрального уравнения (2) имеет вид

g(0 = -ln|i|-|sig«i + F(0,

то решете этого уравнения при Я > тахСЛ,^) дается формулой [14]

<Р(х) = -

3/ Г/

I — rV'

(1 + jc)^ (1 — л)

я-0

(7)

Gf + %G2)

При выполнении условия (6) функции <р„(х) в (7) являются многочленами степени п. Для задач об отслоившихся включениях в упругих телах функция <р{х) в форме (7) является вспомогательной. Функции, имеющие непосредственный физический смысл, выражаются через эту функцию.

В случае осесимметричных задач для кольцевой трещины в упругом пространстве ядро уравнения (2) имеет вид

Я(0 = -1п|г| + ед + 1п|г|^2(г) Параметр Я связан с радиусами внутренней и внешней окружностей кольца а к Ь формулой

Л = 211П-"1 а

Если /(л)еЯ"(-Щ а>0.5, п> 1, а Л>Л3, где А,- корень уравнения

_1_ 2А2

тах|Ф!(/)| - \2 - 1п2А|тах|Ф2(Г)|

+ -

тах|Ф'2(0|

= 1

Фг(0 = ^'(0 + Ф2(г) = 1^(0,

то ограниченное решение уравнения (2) имеет вид

,-2 N N

= ЛП-х2 £ А + 0(Л~2Ы'11лЛ Л)

ет=0я=0

(8)

Осесимметричные задачи об отслоившихся включениях в упругих телах сводятся к решению интегрального уравнения [17]

мф *\¡¿Мгг)*=/{х)

где <р{х) - некоторая вспомогательная функция.

При /(х)еН"(-1Д), 1/4 < а <1 и А>тах(А,,А4), где

А4

ограниченное при х = -1 решеш1е уравнения (9) имеет вид

ф)=(^Т\±<рп{х)Л-» + о(л-^)

(9)

(10)

Пространственная задача для упругого тела с плоской трещиной, занимающей область П, сводится к решению штгегро-дифференциального уравнения [20]

АЦ^сП = ~2тг[ + , (х,у)еЛ. (11)

О К Л £2 чАу

Здесь А - оператор Лапласа но переменным г и у. Пусть /(х,_у)е Н"(0), а > 0, кривизна ограничивающего область О контура Ь, рассматриваемая как функция дуги я, принадлежит пространству Н"(ь), а >0, а регулярная часть ядра /•'(') раскладывается в ряд по степеням Тогда при Я> 1 асимптотическое решение уравнения (11) дается формулой

Г(Х,у)=-ЖУ) (12)

где 1(х,у)= 0 - уравнение контура Ь. Функции у„(х,у) («= ОД,2,...) последовательно определяются из уравнений

= 0 (13)

а " а

и т.д.

Главный член асимптотики решения интегрального уравнения (2), эффективного при малых значениях параметра Л, имеет вид [2]

-1

Л )

, 1~х\ (2 + © - -ю —

л) и;

(14)

Функции а>(() и и(х) являются соответственно решениями интегральных уравнений

}®(гМг-/)/г = ^/(Л-1), (0 < * < оо);

—ао ^ '

М<«

(15)

(16)

В случае уравнения (11) отдельно строится решение для «внутрешгах» точек области О и погранслоевое решение. Если £2 -

односвязная ограниченная область, то при малых значениях параметра к = И/тш{а0,г0), (2а0 - минимальный отрезок нормали к контуру Ь, соединяющий две точки контура; г0 - минимальный радиус кривизны; И = Ла) внутреннее решение имеет вид

у{х,у) = АИ{[ - тгИ2Л + тъНАА(17) где А, г,, г3 - постоянные, определяемые свойствами образа ядра уравнения.

При малых значениях X получено интегральное уравнение, определяющее главный член асимптотики решения уравнения (11).

При условии (6) это уравнение преобразуется в интегральное уравнение Винера-Хопфа. В случае выпуклой области О приближенное решение этого уравнения имеет вид

у(х, у) = ЛЛ/0 [сг/^(х, у)!И - VI - Д1/Я2 X 18)

хехр(-Я1П(х,у)/11)егГ^2 -К,)п{х,у)11г\ п(х,у) - отрезок нормали, соединяющий рассматриваемую точку с контуром Ь; Ях,Я2 - параметры аппроксимации образа ядра.

Разработаны методы ортогональных многочленов решения интегрального уравнения (2), эффективные при малых значениях параметра Л, либо при любых его значениях. В первом случае функция <р(х) ищется в виде

Для определения функции у{х) получено интегральное уравнение Винера-Хопфа на полубесконечном промежутке, решение которого строится с использованием квазиспектрального соотношения

а>(г)=>/ 1-е-®-; m = 0,1,2,...; 0<r<«>, (20)

g„(t) - главная часть ядра g(t) уравнения (2), учитывающая его основные свойства. При этом функция (у(г) ищется в виде разложения по многочленам Чебышева второго рода Uп(z)

(21).

Для коэффициентов этого разложения получена система линейных алгебраических уравнений второго рода. Численные расчеты показали, что при Л <2 в разложении (21) достаточно ограничиться двумя-тремя членами ряда.

Во втором случае из ядра интегрального уравнения (2) также следует выделить его главную часть g0(t), а решение уравнения нужно строить в виде разложения по многочленам Чебышева первого рода Tn{z) 1,

ср\ ±\п(Ет] + В) = (22)

V1 - 772 И^О

Для коэффициентов Xп разложения (22) получена квазивполне регулярная при А > 0 система линейных алгебраических уравнений. Непосредственные вычисления в конкретных случаях показали, что для получения практически точного решения при Де(0,со) в разложении (22) молено ограничиться пятью-семью членами ряда.

Разработан метод приближенного решения интегро-дифференциального уравнения для достаточно произвольной области П. Пусть это уравнение записано в форме

Л,ХЫ} = 2 хг{х,у). (23)

Решение уравнения (23) ищется в виде произведения двух функций г{х,у)=г.(х,у)ю(х,у),

где Г.(х,у) * решение уравнения (23) для предельного значения параметра Я. Для определения функции оу{х,у) строится рекуррентный процесс по схеме [12]

М(х,у) (24)

(и =0,1,2,4

Показана сходимость процесса по схеме (24) для эллиптической области £2' для произвольной области Q с двумя взаимно ортогональными осями симметрии, ограниченной гладким контуром L, приближенное значение функции /,{х>у) ПРИ условии (6) и Я = со имеет вид

В третьей главе рассмотрены плоские задачи о продольных трещинах в упругой бесконечной полосе и упругом бесконечном клине. Трещины расположены симметрично относительно граней полосы, клина и паходятся в раскрытом состоянии под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности д, приложенной к их берегам. При построении решения задач используется известное общее решение уравнений равновесия в перемещениях в форме интегрального преобразования Фурье, либо Меллина. В случае полосы граничное условие на берегах трещины берется в виде

ay = -q = const, г„ = 0 (у = ±0, |л'|<а).

На гранях полосы, при y-±h, |jr|<°o, рассматривается три варианта граничных условий:

а) о = 0, г,,. - и - контакт упругой среды с гладкими жесткими основаниями;

б) и = и = 0 - грани полосы скреплены с жесткими основаниями;

в) ау = гу = 0 - грани полосы свободны от нагрузки.

Задача о трещине в полосе рассматривалась Маркузоном И.А. (1963 г.), Александровым В.М. (1965 г), Ловенгрубом М. (1966 г.). Указанными авторами решение задачи получено лишь для больших значений относительной толщины полосы Л. В работах [1-3] получено решение этой задачи для малых значений Л,- Это решение позволило определить коэффициент интенсивности пормальных напряжений К1 для условий а) и б) в виде

К, = <7Л/2М (0 < Л < 2), (26)

где 2 И - толщина полосы; для условий а) Л = 0,5; для условий б)

у4 = (1-2у)[2(1-у)2]^1, V - коэффициент Пуассона [1,3]. Для условий в) на гранях полосы [2] К, = 2дл/Зй(о,1267 + 0,6733/Г1 +1/2 Л'2 + с) (0<А<2). (27)

Из (4) следует формула для нахождения К, при больших значениях Л (а - полудлина трещины) [3, 20]

К! =ц4ал

(28)

5>Л1)л-2"+о(*-2*-2)-

_п=0

На рис. 1 приведена зависимость приведенного коэффициента интенсивности нормальных напряжений К, = \cj4airj1К1 от Л для условий на гранях полосы а), б) и в), полученная на основании формул (26), (27) и (28).

X »■

Рис.1.

Асимптотический метод «больших Л» применен в [7] для решения задачи о двух продольных трещинах равной длины, расположенных на средней линии упругой полосы.

В [3, 5] рассмотрена плоская задача о трещине, расположенной на биссектрисе угла бесконечного упругого клина при условиях а) и в) на его гранях. Решение интегрального уравнения задачи относительно функции нормальных перемещений точек берегов трещины у{г) получено в виде

Здесь а и Ъ - расстояния концов трещины до вершины угла клина, 0 упругая постоянная,

с!п - постоянная, зависящая от угла раствора клина 2¡5 и граничных условий на гранях клина. Коэффициент интенсивности нормальных

{л>мр).

Л = 2(1пЬ/а)'1,

(30)

напряжений для точек г = а и г - Ь, соответственно, определяется формулами

Рассмотрен частный случай, когда трещина начинается из вершины угла клина. Для этого случая методом Винера-Хопфа получено точное значение коэффициента интенсивности нормальных напряжений при г — Ъ в виде

Функция #((£") и постоянные Е, О определяются образом ядра интегрального уравнения задачи.

Получено также простое приближенное решение рассматриваемых задач для трещины в упругом клине в форме определенного интеграла с помощью аппроксимации образа ядра интегрального уравнения.

Рассмотрена задача о продольной трещине в предварительно напряженном упругом слое из нелинейно-упругого материала при различных условиях на гранях слоя. Материал слоя описывается упругим потенциалом гармонического типа. Условие малости возмущений напряжений, вносимых трещиной, позволило линеаризовать задачу. Интегральное уравнение задачи решено методами больших и малых Я. В случае, когда грани слоя свободны от нагрузки (условие в)), величина К1 получена в виде [22]

К, = дл/ал^ + 0,5523гг"2 -0,4153гГ4 +0,388&Г6 -0,3624гГ8 +о(г~10)). (32)

(31)

к, = ч-Ль{\ + Е)[Л+он_ (- ¡)У,

где

£ ~ Н/а,

3<£<<а;

Для условий а) и б) на гранях слоя получены аналогичные результаты. На рис. 2 приведена зависимость значения приведенного коэффициента интенсивности нормальных напряжений К, от е. Сплошная линия соответствует формуле (33), пунктирная линия - формуле (32).

Рис.2.

Четвертая глава диссертации посвящена осесимметричным задачам о трещинах в упругом пространстве и упругом слое. Осесимметричные задачи о кольцевой трещине в упругом пространстве при малых значениях Л рассматривались Губенко B.C. и Филимоновым И.Ф. (1964 г.), Гринченко В.Т. и Улитко А.Ф. (1965 г.), Канвалом Р.П. и Паша М.Л. (1974 г.). В [4, 20], в отличие от указанных работ, решение интегрального уравнения задач относительно функции перемещения для любых Л получено в простом, удобном для приложений виде. В случае, когда к берегам трещины, при a <,r£b, 0</р<2лг, z = 0, приложена касательная нагрузка г^ = fixг, перемещения точек берегов трещины определяются формулой

где Л имеет вид (30), Фл{х) соответствует разложению точного решения интегрального уравнения в логарифмически-степенной ряд по малому параметру А . Коэффициент интенсивности касательных напряжений К,п

для точек внутреннего и внешнего контуров трещины имеет соответственно вид

КШа = Г//МЧН), Кть = щМ'е'^ФМ

Для малых значений параметра Л 2 Ьт4Ьц

8=ь'

(35)

Кц/а -'

(1-Зе2+йЛп —+ 6е ' 1-Е

(36)

Ъяыяе

Кшь = (¿4я\12ТЬ4Ь/1{2 - О.) (О <Л< 4) При растяжении упругого пространства, ослабленного кольцевой трещиной, нормальными напряжениями интенсивности с/ коэффициент интенсивности нормальных напряжений К, определяется формулами

л/Лехр(-2,5/Л)

=•--1п

1Я

Ге

а "

1-е) •>

л/Хехр(2,5/Я)

(37)

ыя ч. я \-е)

(38)

В табл. 1 даны значения приведенных величин перемещений точек берегов трещины у. и коэффициентов интенсивности напряжений Ка и Кь, вычисленных по формулам для больших и малых значений параметра Л при Л = 4 (формулы (34) - (36)) и при Л = 2 (формулы (37), (38)).

Таблица 1

У. к* Кь Номера формул

0,152 0,584 0,663 (34), (35)

0,152 0,578 0,680 (36)

0,276 1,13 0,95 (37)

0,277 1,14 0,96 (38)

Задача о круглой трещине, расположенной в срединной плоскости упругого слоя, исследована асимптотическими методами больших и малых А. Формула для определения коэффициента интенсивности нормальных напряжений К, для условия а) с учетом аппроксимации Паде получена в виде (0,9 < А < со)

^ 0,260А-(1 + 1,811А-Г+ф-9)1 09)

1а ^ [ 1 + 1,042А V ; V V ^

Для условий б) и в) формулы, определяющие К,, имеют аналогичный вид. Для условий а) и б)

К,=д^2АИ (0 < А ¿0,9) (40)

Для условия в)

К1 = 2<7-"/ЗЛ(0,1267+0,6733/Г1 +0,5А~2 +С) (0<А<0,5> (41) На рис. 3 представлена зависимость приведенного коэффициента К, от А для граничных условий на грапях слоя а), б) и в).

Рис.3.

Методы решения интегральных уравнений, развитые в диссертационной работе, применены в пятой главе для исследования цикла задач о расклинивании упругих тел [3, 5-7, 9, 10, 16, 20]. В этой главе

диссертации рассмотрены следующие задачи: расклинивание упругого бесконечного клина, расклинивание упругой полуплоскости клиновидной пластинкой, расклинивание упругой полосы продольным клином конечной длины, расклинивание упругой полосы движущимся с дозвуковой скоростью клином, сверхзвуковое расклинивание упругой полосы. Результаты исследования такого типа задач находят применение в теории резания металлов.

Рис.4.

На рис. 4 и 5 показаны схемы расклинивания для некоторых из этих случаев. В задачах о расклинивании упругих тел с образованием трещины в окрестности конца клина в соответствии с теорией Ирвина коэффициент интенсивности нормальных напряжений К! определяет связь длины трещины с другими параметрами задач. В задаче о расклинивании упругого бесконечного клина формулы для определения величины К1 получены в виде

К1 = у[ЛИ®Ф6)Г' - для больших значений Я, К 2 = 42ЬР)&

В задаче о расклинивании полосы клином конечной длины формулы, определяющие К,, имеют вид

- для больших значений Я,

гт/Ч/х

+ -

л/су

■ для малых значений Я,

(42)

„ Рх4тс0 „ , ....

К, = —■■ ..... - для малых значении Л. (43)

- Р)ахИ2аЬ

При расклинивании упругой полосы движущимся с дозвуковой скоростью клином получена следующая формула

(44)

л/ш5(Г2-1).

1-К'СГ' , г = -Л-Г С-Г , Я = —, 2а - длина трещины, 2Л -

ширина полосы, V - скорость движения клина, С, и С2 - скорости распространения продольных и поперечных волн в упругой среде, соответственно.

В задаче о продольном расклинивании бесконечной упругой полосы тонким жестким гладким клином, движущимся со сверхзвуковой скоростью, установлено, что перед клином трещина не образуется. Получено условие, при котором происходит отрыв упругой среды от поверхности клина:

Шестая глава диссертации посвящена смешанным задачам теории упругости для тел с жесткими включениями и накладками. В рассмотренных задачах необходимо применять обобщенное интегральное преобразование. Установлено, что вид контура интегрирования при использовании формул интегрального преобразования зависит от условий нагружения упругого тела. Даны рекомендации по выбору контура интегрирования для различных видов граничных условий на бесконечности [13]. Рассмотрены следующие задачи [20]:

1) о растяжении упругой полосы при наличии жесткой накладки на еь грани, либо жесткого включения внутри полосы;

2) о взаимодействии жесткой накладки с упругим бесконечным клином;

3) о кручении упругого цилиндра двумя жесткими накладками.

Во всех случаях получено приближенное решение, на основании которого найдены формулы для определения контактных напряжений. Для третьей задачи также получена формула, выражающая связь между величиной момента М, приложенного к каждой накладке, и углом ее поворота 3:

В седьмой главе рассмотрен цикл статических задач об отрыве упругой среды от жестких включений [14, 15, 17]:

1) односторонний отрыв упругой среды при кручении жесткой круглой пластинки, расположенной в упругом полупространстве;

2) отслоившаяся жесткая круговая пластинка в упругом полупространстве под действием центральной силы;

3) односторошшй продольный отрыв среды от жесткой полосы, расположенной в упругом слое;

4) круглая отслоившаяся пластинка в срединной плоскости упругого

слоя.

Отличием этих задач от ранее рассмотренных является то, что напряжения в области контакта упругой среды с пластинкой имеют неклассическую особенность , где .V - расстояние точки пластинки до ее контура. В первой задаче упругая среда занимает полупространство г < Л. Граничные условия задачи рассматриваются в виде

АТ(/) - полный эллиптический интеграл первого рода.

(г = Л, 0<г<от)

иф = -аг (г = +0, 0йгйа)

г^-0 (2 =-О, 0<г<а)

Решение интегрального уравнения, к которому сводится эта задача, полученное методом больших Я, имеет вид

•дв

(г,+0)=

2л/2аац с! |

с£с

Г л Л015

'м- £ •

кЛ.

Зависимость угла поворота а от крутящего момента М, приложенного к пластинке, и значение коэффициента при особенности контактных напряжений N получены в виде

а--

2М

5 яца

, 5 1 15 1

1 +--Т+--Т- +

128 Я 1024 Я4

оИ

Аг =

5ж а ^а

1/4

1 +

35 1 2048 Я4

+о{л~5)

(45)

(46)

<Л<°о

Для Я ^ — применен метод ортогональных многочленов. При этом

функция Фн(£) ищется в виде разложения по многочленам Якоби:

(47)

Коэффициенты Хт определяются из квазивполне регулярной системы алгебраических уравнений. На рис. 6 и 7 даны зависимости, определяемые соответственно формулами (45) и (46).

Рис.6.

N / N „

Рис.7.

Аналогичные результаты получены для задач 2)-4). На рис. 8 приведен график зависимости коэффициента при особенности контактных напряжений И* = Ы/Ыао от е = Л~1, на рис. 9 приведен график зависимости перемещения полосы <?,= с> от е для задачи 3).

/у*

0 5 . Рис .8. 2

Рис,9,

Восьмая глава посвящена пространственным задачам о трещинах в упругом слое толщиной 2Л, расположенных в его срединной плоскости. К берегам трещин приложена равномерно распределенная нормальная нагрузка интенсивности д. Для случая эллиптической трещины метод больших Я позволил получить функцию нормальных перемещений точек берегов трещины у(х, у) в виде

у{х,у)=ЧЬ[®Е{к)Х\\\-

0{х,у)=\

ЪЕ{к)£

Ь2

а Ъ

0{х,у)

(48)

ЪН{к)

я=-, k =

Формула для определения коэффициента интенсивности нормальных напряжений К,, полученная на основании (48), имеет вид

К. = K¡ / К Ix = D(a eos <р, b sin q>). (49)

При Л <1,5 к интегро-дифференциальному уравнению задачи (11) применен метод Ритца. При этом решение этого уравнения ищется в виде (48), где

X со/ятЛо/яиД (50)

т=0п=0 \ а) \ о)

Методом малых Я найдено

ÁT, = (x = ±cr,j = 0); (51)

K, = 4hE{k%í^fl (х = = ±b)\ - (52)

В табл. 2 и 3 приведены значения приведенного коэффициента интенсивности нормальных напряжений К,, вычисленные в точках х = ±а,

у = 0 и у = ±Ь, х = 0, соответственно.

Таблица 2

2 1,5 1 0,5 0,25

(49) 0,979 0,952 - - -

(24), (25) 0,984 0,969 0,931 0,822 - -

(50) 0,982 0,964 0,921 0,838 0,672

(51) - - - - 0,683

Таблица 3

. 2 1,5 1 0,5 0,25

(49) 0,978 0,946 - - -

(24), (25) 0,981 0,962 0,902 0,715 -

(50) 0,981 0,960 0,902 0,704 0,472

(52) - - - 0,683 0,483

В случае прямоугольной трещины, расположенной в срединной плоскости слоя, приближенное решение интегро-дифференциалыгого уравнения (11) ищется в виде

л \

0{х,у),

(53).

где й(х,у) по-прежнему берется в форме (50). Коэффициенты Хтп здесь определяются из системы уравнений

М\ м2 2

" я тп (т = 0,1,...,М1; и = 0,1,...,М2). Проведено исследование особенности решения в окрестности угловых точек контура трещины:

Г(х,у)~Н(с?Хр/аГ1\

где р,(р - полярные координаты с полюсом в вершине угла.

На рис. 10 и 11 даны значения приведенного коэффициента

интенсивности нормальных напряжений при с = Ь/а = 0,5 на меньших и,

соответственно, на больших сторонах прямоугольника. К М,

Л = °0

Рис.10. Рис.11.

В случае двух эллиптических трещин, расположенных в срединной плоскости слоя, методом больших Я получено

-ф-%

За 3

8з , хХ'с™ <Р Е(к) 0,3

1(х,у) =

а2 й2

5 =

21 - расстояние между центрами эллипсов.

В девятой главе рассмотрены задачи об установившихся колебаниях берегов трещины. В случае крутильных колебаний берегов круглой трещины в упругом пространстве методом больших Л получено следующее решение задачи [20]

Кш Яе^У"*},

Л =

—, охг'

(54)

со - круговая частота колебаний, а - радиус трещины, г - мнимая единица. На рис. 12 дана зависимость величины N. - тах,[К„,//С№] от Я.

Рис.12.

Решение задачи о колебаниях берегов трещины нормального разрыва в упругой плоскости строится в виде разложения в логарифмически-степенной ряд по параметру Я-1. Расчетные формулы получены в виде [8]

.43

coso/+ А

sino?

К, =д0-ч/агг{1-^[д(1)со8й^ + д,(1)8ш<и?]|. (55)

На рис. 13 приведена зависимость величины / = (1 + (1 + ) от

Я , где /242(1). Сплошная кривая соответствует значению

X = 0,25, штриховая - значению % = 0,5.

1,04

1,00

г / / / у

У У . / У

/ >

0,2

0,4

Рис.13.

Рис. ¡4.

Исследована задача о продольных колебаниях берегов полосовой трещины в упругом слое. Здесь также решение строится в виде разложения в логарифмически-степенной ряд по параметру Л"1. В данной задаче Л = к/а, где 2И-толщина слоя. Расчетные формулы имеют вид [11]

Кш = }. (56)

На рис. 14 приведены результаты вычислений величины К, = {т^аж)' гпях, Кт, полученные по формуле (56) (штриховая линия) и методом Ритца (сплошная линия).

Для трещины длиной 2а в упругой плоскости, к берегам которой приложена нормальная нагрузка интенсивности р, в соответствии с теорией Ирвина-Гриффитса связь между параметрами критического состояния дается формулой

Р = (57)

л/СГЖ

где К - постоянная материала.

Из (57) следует, что при малых значениях длины трещины величина критической нагрузки р может превысить предел прочности. Это свидетельствует о том, что формула (57) для микротрещин не применима. В рамках модели Александрова-Кудиша (Александров В.М., Кудиш И.И. Асимптотические методы в задаче Гриффитса // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 665-671) в десятой главе диссертации проведено исследование условий разрушения тела с трещиной с учетом молекулярных сил сцепления в концевой области трещины. Это исследование позволило сделать вывод о том, что величина критической нагрузки не превышает значения теоретического предела прочности при любой длине трещины [18-21]. Указанная проблема была сведена к решению нелинейного интегро-

дифференциального уравнения относительно функции раскрытия трещины. На рис. 15 приведены результаты вычисления значений предельной нагрузки р для задачи Гриффнтса. Кривая 1 соответствует асимптотическому решению уравнения для трещины малого раскрытия, кривая 2 - для трещины относительно большого раскрытия. Кривая 3 получена в результате решения исследуемого уравнения методом последовательных приближений. Параметр Я определяется формулой

Л = ~ А, = 0,1125, 4 а

где Ъ - нормальное межатомное расстояние.

Основные результаты и выводы 1. Для интегральных и интегро-дифференциалышх уравнений смешанных задач о тонких концентраторах напряжений в упругих телах разработаны новые модификации асимптотических методов решения, в основе которых лежит построение погранслоевого решения, «внутреннего» решения, либо разложение искомой функции в ряд по малому параметру

Л"1 Получена новая форма главного члена асимптотики решения интегрального уравнения задач при малых значениях Л. Установлена структура решения этих уравнений, доказана их однозначная разрешимость. Разработан алгоритм, позволяющий строить решение в аналитической форме, удобной для непосредственного применения в инженерных расчетах.

2. Разработаны новые модификации метода сведения интегральных уравнений задач рассматриваемого типа к алгебраическим системам, эффективные для малых значений входящего в ядро уравнения параметра Л, либо для любых значений этого параметра. Данный метод в совокупности с асимптотическими методами, как правило, позволяет перекрыть весь диапазон изменения параметров задачи, а также установить достоверность и границы применимости асимптотических решений.

3. Получена новая, более удобная для реализации приближенных методов решения форма интегро-дифференциального уравнения пространственной задачи. В симметричном случае эта форма позволила получить простое приближенное решение задачи в виде двукратного интеграла по области, занятой концентратором напряжений. Для уточнения этого решения построеп рекуррентный процесс.

4. Разработан алгоритм определения критической длины микротрещины в упругом теле в диапазоне изменения основных параметров задачи, в котором теория Ирвина-Гриффитса неприменима. При этом более детальный учет действующих в концевой области трещины молекулярных сил сцепления проводился в рамках модели Александрова-Кудиша.

деформированное состояние упругих тел. С учетом силового критерия Ирвина эти формулы определяют критическую нагрузку, при которой упругое тело с трещиной начнет разрушаться. Наличие свободной границы у тела приводит к снижению величины критической нагрузки, наличие на границе жестких оснований увеличивает величину критической нагрузки по сравнению со случаем безграничной области, занятой упругой средой. Во всех рассмотренных случаях критическая нагрузка пропорциональна вязкости разрушения. Следовательно, для увеличения трещиностойкости необходимо выбирать материал с большим значением вязкости разрушения.

6. Исследован класс задач о расклинивании упругих тел. При дозвуковом движении клина, либо при отсутствии движения перед клином образуется трещина. Значения параметров задачи, при которых трещина начнет катастрофически развиваться, могут быть определены с использованием критерия Ирвина. При сверхзвуковом движении клина перед ним трещина не образуется.

7. Рассмотрены задачи о концентраторах напряжений в виде жестких накладок, либо отслоившихся жестких включений в упругих телах. В этих задачах исследованы напряжения, возникающие в области контакта накладки, либо включения с упругой средой. Отличием задач об отслоившихся включениях в упругих телах от задач для упругих тел с трещинами является наличие неклассической особенности у контактных напряжений в концевой области включения. Особенностью несимметричных задач о накладках на упругой среде является необходимость использования при решении задач обобщенного интегрального преобразования. Сформулированы рекомендации о выборе контура интегрирования для получения физически приемлемого решения задачи.

Основные публикации по теме диссертации

1. Александров В.М., Сметанин Б.И. Равновесная трещина в слое малой толщины // ПММ. 1965. Т. 29. Вып.4. С. 782-785.

2. Александров В.М., Сметанин Б.И. О равновесных продольных трещинах в пластинах // Теория пластин и оболочек. М.: Наука. 1966. С. 20-24.

3. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое // Инж.ж., МТТ. 1968. № 2. С. 115-122.

4. Сметанин Б.И. Задача о растяжении упругого пространства, содержащего плоскую кольцевую щель // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 3. С. 458-462.

5. Сметанин Б.И. Об одной смешанной задаче теории упругости для клина //ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 708-714.

6. Сметанин Б.И. О расклинивании упругого бесконечного клина // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 935-940.

7. Сметанин Б.И. Две щели в полосе конечной толщины // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 366-369.

8. Великотный A.B., Сметанин Б.И. К задаче об установившихся колебаниях плоскости с разрезом // ПММ. 1975. Т. 39. Вып 1. С. 189192.

9. Сметанин Б.И., Соловьев A.C. Смешанные задачи теории концентрации напряжений И Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука. 1976. С. 158-168.

10. Сметанин Б.И. Задачи о расклинивании упругих тел // Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов н/Д: Изд-во Ростовского ун-та. 1983. С. 54-66.

11.Сметанин Б.И., Соболь Б.В. О продольных колебаниях берегов полосовой трещины в упругом слое // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 694-700.

12. Сметании Б.И., Соболь Б.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного плоскими трещинами // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 869-977.

13. Александров В.М., Сметанин Б.И. О симметричных и несимметричных контактных задачах теории упругости // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 1. С. 137-142.

14. Сметанин Б.И. Об одном интегральном уравнении и его приложении к задачам о тонких отслоившихся включениях в упругих телах // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 5. С. 784-790.

15. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Отслоившееся включение в упругом полупространстве // Изв. АН СССР, МТТ. 1985. № 6. С. 71-78.

16. Александров В.М., Сметанин Б.И. Сверхзвуковое расклинивание упругой полосы // ПММ. 1990. Т. 54. Вып.5. С. 825-830.

17. Сметанин Б.И. Об интегральном уравнении осесимметричных задач для упругого тела, содержащего включение // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 456-460.

18. Александров В.М., Сметанин Б.И. К задаче Гриффитса И Изв. РАН, МТТ. 1993. №3. С. 177-183.

19. Александров В.М., Сметанин Б.И. Анализ задачи Сака при детальном учете межатомных сил сцепления // ПМТФ. 1993. № 5. С. 122-127.

20. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, Физматлит. 1993.224 с.

21. Alexandrov V.M. and Smetanin B.I. The Griffith and Zack Problems with an Account of the Interatomic Cohesion Forces Between Crack Banks // Fracture: A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Melbourne (U.S.A.): Krieger Publishing Company. 1998. Pp. 388-396.

22. Александров B.M., Сметанин Б.И. Продольная трещина в преднапряженном тонком упругом слое со свободными границами // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. ]. С. 150-159.

В печать 8. О8. О?.

ОбъемЗ/^усл.п.л. Офсет. Формат 60x84/16.

Бумага тип №3. Заказ №^232 Тираж №0.

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, г.Ростов-на-Дону, пл.Гагарина,!.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора технических наук, Сметанин, Борис Иванович

Введение.

Глава 1. Свойства решений некоторых интегральных уравнений смешанных задач теории упругости.

1.1. О структуре решения некоторых сингулярных интегральных уравнений.

1.2. О структуре решения некоторых интегральных уравнений осесимметричных задач теории упругости.

1.3. О структуре решения некоторых интегральных уравнений пространственных смешанных задач теории упругости.

Глава 2. Аналитические методы решения смешанных задач теории упругости.

2.1. Асимптотический метод больших Я

2.2. Асимптотический метод малых Я

2.3. Метод ортогональных полиномов.

2.4. Метод выделения разностного множителя.

Глава 3. Плоские задачи о трещинах в упругой полосе и упругом клине.

3.1. Продольная трещина в полосе, заключенной между жесткими основаниями.

3.2. Продольная трещина в полосе со свободными гранями.

3.3. Две трещины в полосе.

3.4. Внутренняя трещина, расположенная вдоль биссектрисы угла упругого клина.

3.5. Симметричная трещина, выходящая к вершине упругого клина.

3.6. Плоская задача о продольной трещине в нелинейноупругом слое при конечных начальных деформациях.

3.7. Плоская задача о продольной трещине в нелинейноупругом слое со свободными границами.

Глава 4. Осесимметричные задачи о трещинах в упругом пространстве и упругом слое.

4.1. Кручение упругого пространства, ослабленного плоской кольцевой трещиной.

4.2. Растяжение упругого пространства, ослабленного плоской кольцевой трещиной.

4.3. Круглая трещина в упругом слое.

Глава 5. Смешанные задачи теории расклинивания.

5.1. Расклинивание упругого бесконечного клина.

5.2. Расклинивание упругой полуплоскости клиновидной пластинкой.

5.3. Расклинивание упругой полосы клином конечной длины.

5.4. Расклинивание упругой полосы движущимся клином.

5.5. Сверхзвуковое расклинивание упругой полосы.

Глава 6. Смешанные задачи теории упругости для тел с жесткими включениями и накладками.

6.1. Жесткая накладка на границе, либо жесткое включение внутри упругой полосы.

6.2. Жесткая накладка на поверхности упругого клина.

6.3. Кручение упругого цилиндра двумя жесткими накладками.

Глава 7. Задачи об отрыве упругой среды от жестких включений.

7.1. Односторонний отрыв среды при кручении жесткой круглой пластинки, расположенной в упругом полупространстве

7.2. Отслоившаяся жесткая круговая пластинка в упругом полупространстве под действием центральной силы.

7.3. Односторонний продольный отрыв среды от жесткой полосы, расположенной в упругом слое.

7.4. Круглая отслоившаяся пластинка в срединной плоскости упругого слоя.

Глава 8. Продольные плоские трещины в упругом слое.

8.1. Эллиптическая трещина в упругом слое.

8.2. Прямоугольная трещина в упругом слое.

8.3. Две эллиптические трещины в упругом слое.

Глава 9. Динамические задачи теории трещин.

9.1. Крутильные колебания берегов круглой трещины в упругом пространстве.

9.2. Нормальные колебания берегов трещины в упругой плоскости.

9.3. Продольные колебания берегов полосовой трещины в упругом слое.

Глава 10. Учет молекулярных сил сцепления в концевой области трещины при исследовании условий разрушения упругого тела.

10.1. К задаче Гриффитса.

10.2. Анализ задачи Сака при детальном учете межатомных сил сцепления.

Введение диссертация по механике, на тему "Аналитические методы в задачах теории упругости со смешанными граничными условиями и их приложения в механике разрушения"

Задачи теории упругости со смешанными граничными условиями (смешанные задачи) привлекали к себе внимание многих исследователей. Объясняется это тем, что решение целого ряда важнейших практических вопросов, возникающих в инженерной и строительной практике, можно свести к решению смешанных задач теории упругости. К числу таких задач могут быть отнесены контактные задачи теории упругости. Эти задачи находят применение, например, при расчетах на прочность и жесткость деталей инженерных конструкций (зубчатых колес, подшипников, прессовых посадок и т.д.), при расчетах фундаментов и оснований, в вибросейсморазведке.

Смешанные задачи теории упругости являются теоретической базой некоторых расчетов в теории разрушения. Реальные тела имеют большое число дефектов структуры (трещин, полостей, включений), являющихся концентраторами напряжений. При определенных условиях эти дефекты ведут к развитию трещин и могут вызвать разрушение тела. Известные критерии квазихрупкого разрушения тел с трещинами [167] основаны на анализе напряженного состояния в окрестности контура трещины. Такой анализ можно выполнить, решив соответствующую смешанную задачу теории упругости. Полученные с помощью теории квазихрупкого разрушения выводы позволяют сделать заключение о возможности эксплуатации конструкции при наличии в ней трещин.

Можно выделить два основных этапа развития методов решения смешанных задач теории упругости. Первый этап начат работами Г. Герца и Я. Буссинеска. На этом этапе с помощью методов теории потенциала, конформных отображений, теории сингулярных интегральных уравнений был решен ряд простейших смешанных задач теории упругости.

Начало второго этапа (середина 50-х годов прошлого столетия) связана со значительным повышением интереса к смешанным задачам теории упругости. Здесь можно выделить несколько основных направлений развития новых методов решения этих задач. В первом из этих направлений (А. А. Баблоян, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Ю. А. Устинов, Я. С. Уфлянд и др.) с использованием методов парных или тройных интегральных уравнений (рядов) задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Далее используется какой - либо приближенный метод решения этого уравнения.

Методы непосредственного сведения исходной краевой задачи к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений составляют второе направление (Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян, А. А. Баблоян, Г. М. Вавилов, С. М. Мхитарян и др.).

В работах третьего направления (В. М. Александров, И. И. Ворович, А. И. Каландия, И. Я. Штаерман и др.) используются методы коллокации.

Авторы четвертого направления исследуемые задачи сводят к интегральному уравнению первого рода. Решение этого уравнения ищется в виде разложения по собственным функциям (ортогональным полиномам) главной части интегрального оператора. Для коэффициентов этого разложения строится бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Значительное развитие этот метод получил в работах Г. Я. Попова [114, 117-120], В. М. Александрова [5, 11], В. М. Александрова и В.А. Кучерова [21] и др. При этом полученные решения являются эффективными в определенной области изменения параметров задачи. В работах [27, 51] использованы в совокупности методы малых X и ортогональных полиномов. В работах [18, 50, 52] применен метод ортогональных полиномов, эффективный при любых значениях параметров задачи.

Асимптотические методы составляют пятое направление. Метод больших X был предложен для решения смешанных задач теории упругости в работах И. И. Воровича и Ю. А. Устинова [68], В. М. Александрова и И. И. Воровича [16]. Этот метод позволяет строить разложение точного решения исследуемых задач в виде асимптотического ряда по отрицательным степеням параметра X. В работе В. М. Александрова [10] построена логарифмически-степенная асимптотика. Решение, полученное методом больших X, может быть использовано лишь в определенной области изменения параметра X. Метод малых X, развитый В. М. Александровым при исследовании контактных задач [4], позволяет строить главный член асимптотики решения при малых значениях параметра X.

Решения, полученные методами больших и малых X, в ряде случаев обеспечивают перекрытие всего диапазона изменения этого параметра. Если такого перекрытия нет, возникает необходимость строить полную асимптотику при малых значениях X, либо достраивать решение задачи в области промежуточных значений X третьим методом. Общий метод построения полной асимптотики развит в работах В. М. Александрова [11-13, 15], В. А. Бабешко [39, 40, 42, 44]. Полная асимптотика для малых X при исследовании некоторых смешанных задач построена также в работах [115, 189]. Систематическое изложение методов больших и малых X дано в работе [66].

Контактным задачам посвящены монографии [22, 37, 66, 67, 70, 92, 100, 122, 123, 125, 126, 162, 169], вопросы теории хрупкого разрушения изложены в монографиях [38, 53, 82, 85, 95, 108-111, 127, 162, 167, 190], новые результаты исследований по теории интегральных уравнений изложены в [112]. Сведения об обзорных статьях по контактным задачам имеются в [66], по теории хрупкого разрушения - в [110]. Вопросы существования и единственности решения интегральных уравнений, возникающих в смешанных задачах теории упругости, рассмотрены в [42, 43, 65-67] и других работах.

В последнее время интенсивно начали развиваться исследования по обратным задачам, в которых по заданному на границе упругого тела волновому полю отыскивается форма и местоположение концентратора напряжений (А.О. Ватульян, А.Н. Соловьев и др. [56-63]).

Настоящая диссертация посвящена обобщению и дальнейшему развитию асимптотических методов больших и малых X, разработке новых методов решения интегральных уравнений смешанных задач теории упругости, изучению структуры их решения, а также конкретным приложениям.

В главе 1 диссертации исследуется структура решения интегральных уравнений некоторых смешанных задач теории упругости. При этом особое внимание уделяется малоизученному случаю наличия у символа ядра интегрального уравнения двукратного полюса на вещественной оси, установлению неклассических особенностей решения интегральных уравнений и некоторым другим вопросам.

В главе 2 излагаются методы решения интегральных уравнений, возникающих в смешанных задачах теории упругости. Методы больших и малых X, развитые при исследовании контактных задач теории упругости, обобщаются на класс задач для тел с плоскими остроконечными концентраторами напряжений, порождающих интегральные уравнения с ядрами неисследованной в [66] структуры.

Рассматриваются некоторые модификации ортогональных полиномов. Так, совместное применение специальной аппроксимации ядра интегрального уравнения плоских смешанных задач, методов малых X и ортогональных полиномов позволило построить более эффективное решение при малых X, по сравнению с главным членом асимптотики. Использование этой аппроксимации дало также возможность разработать метод ортогональных полиномов, эффективный при любых значениях параметров задачи. Этот метод особенно удобен при исследовании многопараметрических задач.

Выделение разностного множителя под знаком особого интеграла использовалось для облегчения вычисления этого интеграла [84]. Выделение разностного множителя в подинтегральном выражении ядра интегрального или интегро-дифференциального уравнений в комбинации со специальной схемой метода последовательных приближений позволило построить приближенное решение исследуемых уравнений плоских или пространственных смешанных задач в простой по структуре форме.

Решение задачи, построенное методом больших X, имеет ограниченный диапазон применимости. В работе предложен способ преобразования рядов, полученных с помощью метода больших X, который позволяет увеличить диапазон их применимости.

В главе 3 рассматриваются плоские задачи о продольных, симметрично расположенных трещинах в упругой полосе, и о трещинах, расположенных на биссектрисе угла упругого клина. Здесь (а также в других главах диссертации в задачах о трещинах) определяются перемещения точек берегов трещин и коэффициент интенсивности напряжений. Найденные значения этого коэффициента позволяют определить параметры критического состояния трещины с помощью критерия локального разрушения, который для трещин нормального разрыва имеет вид [167]

К j = К1С

Здесь К1С - постоянная материала, называемая вязкостью разрушения. Задача о трещине в полосе рассматривается в линейной постановке, либо при наличии начальных конечных деформаций упругой среды с условием малости возмущений, вносимых трещиной. В случае нелинейно-упругой среды установлено явление потери устойчивости.

Задача о продольной трещине в полосе при различных условиях на гранях полосы рассматривалась в работах [7, 25, 26, 75, 98, 129, 179, 180,

185, 193]. При получении решения в работах [7, 98, 107, 129, 185] использовался метод больших X, в работах [25, 26, 129] - метод малых X. В работах [179, 180] решение этой задачи получено с использованием разложений функций в ряды Лорана, в работе [75] - с помощью метода Ритца. Случай двух трещин рассмотрен в работах [133, 157]. Задача о внутренней трещине, расположенной на биссектрисе угла клина, рассматривалась в работах [93, 129, 131], о трещине, выходящей к вершине угла клина - в работах [46, 131, 164, 165, 175, 191].

Решение осесимметричных задач о плоской кольцевой трещине в упругом пространстве и о круглой трещине, расположенной в срединной плоскости упругого слоя, строятся в главе 4. Пространство с кольцевой трещиной подвержено либо растяжению, либо кручению. К берегам трещины, расположенной в слое, приложена нормальная нагрузка. Задача о кольцевой трещине в упругом пространстве рассматривалась в работах [77, 78, 130, 182]. В [130], в отличие от других работ, решение этой задачи для всех значений параметров получено в форме, удобной для инженерной практики. Задача о круглой трещине в слое рассматривалась в работах [7, 25,26, 105, 106, 129, 161, 174,181, 184, 192].

Глава 5 посвящена задачам о симметричном расклинивании упругого бесконечного клина и упругой полосы тонкой жесткой гладкой пластинкой. Особенностью этого класса задач является наличие области контакта расклинивающей пластинки с упругой средой и трещины, появляющейся в среде на линии продолжения пластинки. В случае клина пластинка внедряется в среду вдоль биссектрисы его угла [69, 132, 134]. В случае полосы рассматривается задача для неподвижной расклинивающей пластинки конечной длины [133], а также задача о движении клина в полосе [52, 134].

В главе 6 приводятся решения задач о контакте упругой полосы, клина, либо цилиндра с жесткими включениями или накладками [36, 156].

В главе 7 исследуются задачи об отслоившихся жестких включениях в упругом полупространстве и упругом слое. Особенностью этих задач является неклассическая структура контактных напряжений на включении [138, 143, 153, 155]. Ранее эта структура была установлена для более простого случая отслоившихся включений в упругом пространстве [122].

Исследованию пространственной задачи о трещинах нормального разрыва, расположенных в срединной плоскости упругого слоя, посвящена глава 8. Слой зажат между гладкими жесткими основаниями. В качестве примеров рассматривается прямоугольная трещина, одна, либо две эллиптические трещины в слое [153]. В случае прямоугольной трещины проводится дополнительное исследование решения в окрестности угловой точки ее контура. Задача об одной эллиптической трещине в слое со свободными гранями рассматривалась в [72, 183].

В главе 9 дается решение следующих задач теории упругости об установившихся колебаниях точек берегов трещины: осесимметричной задачи о крутильных колебаниях берегов круглой трещины в пространстве, плоской задачи о нормальных колебаниях берегов прямолинейной трещины в плоскости и антиплоская задача о продольных колебаниях берегов полосовой трещины в слое [64, 151]. При построении решения этих задач используется принцип предельного поглощения [67].

В главе 10 в рамках модели Александрова-Кудиша [20] проведено исследование условий разрушения тела с трещиной с учетом молекулярных сил сцепления в концевой области трещины. Это исследование позволило сделать вывод о том, что величина критической нагрузки не превышает значения теоретического предела прочности при любой длине трещины [32,33, 171, 172].

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 48 научных работах, в числе которых - четыре монографии коллективов авторов.

В работах [25,26] Александрову В.М. принадлежит постановка задач, идея метода решения, Сметанину Б.И. принадлежит получение новой модификации метода «малых X» и ее практическая реализация.

В работе [64] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи, выбор метода решения, получение расчетных формул. Результаты вычислений принадлежат Великотному A.B.

В работе [156] Соловьеву A.C. принадлежит обзор работ по накладкам и включениям в упругих телах, Сметанину Б.И. принадлежит обзор работ по расклиниванию упругих тел.

В работах [149-153,155] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задач, выбор методов решения, обоснования. Соболю Б.В. принадлежит практическая реализация методов решения. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени.

В работах [147,148,154] Соболю Б.В. принадлежит постановка задач, вывод основных соотношений, реализация метода решения задач. Сметанину Б.И. принадлежит выбор метода решения интегральных уравнений.

В работах [27-31] Александрову В.М. принадлежит постановка задач, идея методов решения. Сметанину Б.И. принадлежит аналитическая и численная реализация этих методов.

В [32,33,171,172] Александрову В.М. принадлежит идея метода решения задач. Сметанину Б.И. принадлежит практическая реализация метода, анализ полученных результатов, основные выводы.

В [35] Сметаниным Б.И. написаны главы 2 и 3.

В [34] Сметанину Б.И. принадлежит идея преобразований основного функционального и интегрального уравнений, Александрову В.М. принадлежит практическая реализация метода решения.

В работе [36] Александрову В.М. принадлежат идеи по построению решений интегрального уравнения рассматриваемой задачи, Сметанину Б.И. принадлежит аналитическая и численная реализация методов решения задач для упругих тел с трещинами, Соловьеву A.C. принадлежит реализация метода решения задач для упругих тел, подкрепленных гибкими накладками, либо включениями.

В работах [51,52] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задач, метод решения, Белокопытову Н.М. принадлежат результаты численного исследования задач.

В работе [69] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи и выбор метода решения. Сируяном В.Х. выполнен вывод основных соотношений, Галаджевой М.Р. выполнены численные расчеты. Анализ результатов счета проводился авторами в равной степени.

В работе [157] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи и выбор метода ее решения, Сычаве В.Я. принадлежит реализация предложенного метода решения задачи.

В работах [145,146] Сметанину Б.И. принадлежит постановка задачи о трещине в предварительно напряженном нелинейно-упругом слое, идея метода решения задачи, Воротынцевой И.В. принадлежит реализация метода решения задачи.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на III,V-VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Москва, 1968 г., Алма-Ата, 1981 г., Ташкент, 1986 г., Москва, 1991 г.), на VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (Баку, 1966 г.), на I-IV Всесоюзных конференциях «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Ростов н/Д, 1977 г., Днепропетровск, 1981 г., Харьков, 1985 г., Одесса, 1989 г.), на II Всесоюзной конференции по теории упругости (Тбилиси, 1984 г.), на II Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (Фрунзе, 1985 г.), на II Всесоюзном симпозиуме по механике разрушения (Киев, 1985 г.), на Симпозиуме «Современные проблемы механики контактных взаимодействий» (Ереван, 1992 г.), на VIII Международном конгрессе по механике разрушения (Львов, 1993 г.), на XIV Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Новороссийск, 2006 г.), на семинарах кафедры теории упругости МГУ (1985 г.), кафедры пластичности МГУ (1985 г.), кафедры теории упругости РГУ (1985 г., 1993 г.), кафедры теоретической гидроаэромеханики ЮФУ (1993 г., 2007 г.).

Результаты работ автора использовались и развивались в кандидатских диссертациях Н.М.Белокопытова и Б.В.Соболя, выполненных под руководством В.М.Александрова и автора.

Исследования проводились в рамках научно-исследовательской работы РГУ по теме: «Смешанные задачи механики сплошной среды» (№ 76082607 гос. Регистрация, 1976 г.), а также в рамках Координационного плана АН СССР по проблеме «Механика деформируемого тела» (1.10.2) на 1981-1985 г.г. Шифр: 1.10.2.2. Основные задачи: решение контактных задач для тел сложной формы, в том числе для тел конечных размеров и неограниченных тел с полостями и включениями, а также для тел со сложными физико-механическими свойствами (исполнитель: НИИМ и ПМ РГУ).

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для интегральных и интегро-дифференциальных уравнений смешанных задач о тонких концентраторах напряжений в упругих телах разработаны новые модификации асимптотических методов решения, в основе которых лежит построение погранслоевого решения, «внутреннего» решения, либо разложение искомой функции в степенной (или логарифмически-степенной) ряд по малому параметру ЯГ1. Получена новая форма главного члена асимптотики решения интегрального уравнения задач при малых значениях Л. Установлена структура решения этих уравнений, доказана их однозначная разрешимость. Разработан алгоритм, позволяющий строить решение в аналитической форме, удобной для непосредственного применения в инженерных расчетах.

5. Рассмотрен класс новых плоских, пространственных статических и динамических задач о трещинах в упругой полосе, клине, полуплоскости, слое, пространстве. Получены формулы для определения формы трещины и коэффициента интенсивности напряжений на ее контуре, исследовано влияние геометрических и физических параметров задач на напряженно-деформированное состояние упругих тел. С учетом силового критерия Ирвина эти формулы определяют критическую нагрузку, при которой упругое тело с трещиной начнет разрушаться. Наличие свободной границы у тела приводит к снижению величины критической нагрузки, наличие на границе жестких оснований увеличивает величину критической нагрузки по сравнению со случаем безграничной области, занятой упругой средой. Во всех рассмотренных случаях в соответствии с критерием Ирвина критическая нагрузка пропорциональна вязкости разрушения. Следовательно, для увеличения трещиностойкости необходимо выбирать материал с большим значением вязкости разрушения.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ДУ - дифференциальное уравнение;

ИДУ - интегро-дифференциальное уравнение; СИУ — сингулярное интегральное уравнение; С(£) - пространство непрерывных в 8 функций;

Сп (£) - пространство функций, имеющих в Б непрерывные производные порядка п;

5 (х) - дельта-функция Дирака; А - оператор Лапласа;

Е (ф, к) — эллиптический интеграл второго рода; Е{к) -полный эллиптический интеграл второго рода; erf (х)- интеграл вероятности; F (фД) - эллиптический интеграл первого рода;

Н„ (S) - пространство функций, п - я производная которых удовлетворяет в S условию Гельдера с показателем а; i - мнимая единица;

In(z), Kn(z) - цилиндрические функции мнимого аргумента; Jn(z) - функция Бесселя;

К(к) - полный эллиптический интеграл первого рода;

Кj - коэффициент интенсивности нормальных напряжений;

Кщ - коэффициент интенсивности касательных напряжений;

La (S) - пространство функций, абсолютно суммируемых в S со степенью а;

M"(S) - пространство функций, п - е производные которых в S ограничены; ¡л - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона;

1, т = п

- символ Кронекера;

О, т Ф п

0=ц.(1-у)"1- упругая постоянная; полиномы Якоби; П (ф,Л:,х) - эллиптический интеграл третьего рода;

7 2 2

-х) +(г]-у) - расстояние между точками (х,у) и //); г,ф,г - цилиндрические координаты; р - плотность среды; стх, сту, ог, гх>;, г^, - компоненты тензора напряжений в декартовой прямоугольной системе координат;

Тп (х) - полиномы Чебышева первого рода; ип (х) - полиномы Чебышева второго рода; их,иу,и2- компоненты вектора смещений в декартовой прямоугольной системе координат; иг,Ыф,и2 - компоненты вектора смещений в цилиндрической системе координат; х, у, г- декартовы прямоугольные координаты; г)п=(г)о = 1.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора технических наук, Сметанин, Борис Иванович, Ростов-на-Дону

1. Абрамян Б.Л., Арутюнян Н.Х., Баблоян A.A. О симметричном давлении круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцепления // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 1. С. 143-147.

2. Айзикович СМ. Асимптотические решения контактных задачтеории упругости для неоднородных по глубине сред // ПММ. 1982. Т.46. Вып. 1.С. 148-158.

3. Александров В.М. О приближенном решении одного типа интегральных уравнений // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 5. С. 934-943.

4. Александров В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости // ПММ 1963. Т. 27. Вып. 5 С. 970-972.

5. Александров В.М. О приближенном решении одного класса интегральных уравнений // Изв. АН Арм.ССР. Физ.-мат. науки. 1964. Т. 17. №2. С. 3-8.

6. Александров В.М. О двух новых методах решения контактных задач для упругой полосы // В кн.: Научные сообщения Ростовского ун-та за 1964 г. Серия точн. и естеств. н. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1965. С. 56-59.

7. Александров В.М. К теории равновесных трещин в упругом слое // В кн.: Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1965. Вып. 1.С. 39-45.

8. Александров В.М. Об одной контактной задаче для упругого клина // Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1967. Т. 20. № 1. С. 3-14.

9. Александров В.М. Контактные задачи для упругого клина // Инж.ж. МТТ. 1967. №2. С. 120-131.

10. Ю.Александров В.М. Осесимметричная задача о действии кольцевого штампа на упругое полупространство // Инж. ж. МТТ. 1967. № 4. С. 108-116.

11. П.Александров В.М. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 6. С. 1171 1131.

12. Александров В.М. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости для неклассических областей // В кн.: Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1968. Вып. 2. С.14-24.

13. И.Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости //ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 672-683.

14. Н.Александров В.М. Асимптотическое решение контактной задачи для тонкого упругого слоя//ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 1. С. 61-73.

15. Александров В.М. О плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или трения // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 246-257.

16. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины //ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 2. С. 323-333.

17. Александров В.М., Коваленко Е.В. Периодические контактные задачи для упругой полосы // Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1977. Т. 30. №4. С. 18-33.

18. Александров В.М., Коваленко Е.В. О двух эффективных методах решения линейных смешанных задач механики сплошных сред // ПММ. 1977. Т. 41. Вып. 4. С. 688-698.

19. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 334 с.

20. Александров В.М., Кудиш И.И. Асимптотические методы в задаче Гриффитса//ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 665-671.

21. Александров В.М., Кучеров В.А. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости // ПММ. 1970.

22. Т. 34. Вып. 4. С. 643-652.

23. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

24. Александров В.М., Серов М.В. Задачи теории трещин для предна-пряженных упругих тел // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов Научн. конф. Секция механики. М.: Изд-во МГУ, 2006. С. 16-17.

25. Александров В.М., Сметанин Б.И. Равновесная трещина в слое малой толщины // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 782-785.

26. Александров В.М., Сметанин Б.И. О равновесных продольных трещинах в пластинах // В кн.: Теория пластин и оболочек. М.: Наука, 1966. С. 20-24.

27. Александров В.М., Сметанин Б.И. Об одном эффективном методе решения неклассических смешанных задач теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 1. С. 80-87.

28. Александров В.М., Сметанин Б.И. Некоторые эффективные методы решения задач теории упругости для тел с трещинами // Трещино-стойкость материалов и элементов конструкций. Тезисы докладов II Всес. симпозиума по механике разрушения. Киев, 1985. Т. 1 С. 6.

29. Александров В.М., Сметанин Б.И. Задачи теории упругости для тел с тонкими концентраторами напряжений // Тезисы докладов IV Всес. конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела». Ч. 1. Одесса, 1989. С 17.

30. Александров В.М., Сметанин Б.И. К задаче Гриффитса // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 3. С. 177 183.

31. Александров В.М., Сметанин Б.И. Анализ задачи Сака при детальном учете межатомных сил сцепления // ПМТФ. 1993. № 5. С. 122 — 127.

32. Александров В.М., Сметанин Б.И. Продольная трещина в предна-пряженном тонком упругом слое со свободными границами // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 1. С. 150 159.

33. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука. Физматлит, 1993. 224 с.

34. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соловьев A.C. Эффективные методы решения сложных смешанных задач теории упругости, связанных с вопросами концентрации напряжений // В кн.: Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1971. Вып. 3. С. 5-10.

35. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 304 с.

36. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наукова думка, 1982. 348 с.

37. Бабешко В.А. Об одном асимптотическом методе при решении интегральных уравнений теории упругости и математической физики //ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 732-741.

38. Бабешко В.А. Об одном эффективном методе решения некоторых интегральных уравнений теории упругости и математической физики // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 80-89.

39. Бабешко В.А. Асимптотические свойства решений одного класса интегральных уравнений, возникающих в теории упругости и математической физике // Докл. АН СССР. 1969. Т. 186. № 6. С. 12731276.

40. Бабешко В.А. Асимптотические свойства решений некоторых интегральных уравнений // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. № 3. С. 535537.

41. Бабешко В.А. О единственности решений интегральных уравнений динамических контактных задач // Докл. АН СССР. Т. 210. № 6. С. 1310-1313.

42. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

43. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.

44. Банцури Р.Д. Решение первой основной задачи теории упругости для клина, имеющего конечный разрез // Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. №6. С. 1256-1259.

45. Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. О расклинивании хрупких тел // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 4. С. 667-682.

46. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. 502 с.

47. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966. Т. 2. 296 с.

48. Бережницкий JI. Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка, 1979. 400 с.

49. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфмэн Р. Аэроупругость. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 800 с.

50. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 287 с.

51. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 1. С. 180-188.

52. Ватульян А.О. Обратные задачи теории трещин // Труды III Всерос. конф. по теории упругости с межд. участием. Ростов-на-Дону, 2004. С. 104-106.

53. Ватульян А.О., Баранов И.В. Об определении конфигурации трещины в анизотропной упругой среде // Акустический журнал. 2005. № 4. С. 456-462.

54. Ватульян А.О., Булгурян О.В. Асимптотический анализ обратных задач теории трещин // Теоретическая и прикладная механика. Донецк: Изд-во Донецкого Нац. университета, 2005. Вып. 40. С. 179183.

55. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Обратные задачи теории трещин в твердых телах // Изв. Вузов Сев. Кав. per. Спецвыпуск «Математика и механика сплошной среды», 2004. С. 74-80.

56. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. О реконструкции плоских трещин вупругом теплопроводном теле с учетом взаимодействия их берегов // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 1. С. 149-160.

57. Ватульян А.О., Явруян О.В. Реконструкция наклонных трещин в слое // Изв. Вузов, Сев. Кав. per. 2005. № 2. С. 36 39.

58. Ватульян А.О., Явруян О.В. Асимптотический подход в задачах идентификации трещин // ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 714 724.

59. Великотный A.B., Сметанин Б.И. К задаче об установившихся колебаниях плоскости с разрезом // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 1. С. 189192.

60. Ворович И.И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы // В кн.: Третий Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. М.: Наука, 1968. С. 80.

61. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

62. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

63. Ворович И.И., Устинов Ю.А. 0 давлении штампа на слой конечной толщины // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 3. С. 445-455.

64. Галаджева М.Р., Сирунян В.Х., Сметанин Б.И. 0 расклинивании упругой полуплоскости // Изв. АН Арм.ССР. Механика. 1974. Т. 27. № 2. С. 38-45.

65. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоу пру гости. М.: Наука, 1980. 303 с.

66. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

67. Гольдштейн Р.В. Некоторые вопросы механики квазихрупкого разрушения конструкций // В кн.: Механика твердого деформируемого тела и расчет конструкций. Ташкент: ФАН, 1979. С. 19-28.

68. Гольдштейн P.B. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 3. С. 111-126.

69. Гольдштейн Р.В. Разрушение при сжатии // Успехи механики. 2003. Т. 2. №2. С. 3-20.

70. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., Зазовский А.Ф. Решение смешанных краевых задач прямым вариационным методом. М.: Препринт. Ин-т проблем механики АН СССР, 1976, № 78. 54 с.

71. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

72. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослабленного кольцевой трещиной // Прикл. механика. 1965. Т. 1. Вып. 10. С. 61-64.

73. Губенко В.С, Филимонов И.Ф. Плоский кольцевой разрез в упругом пространстве // В кн.: Тр. Днепропетровского ин-та инженеров ж. д. транспорта. Днепропетровск: Изд-во ДИИЖТа. 1964. Вып. 50. С. 165-168.

74. Гузь А.Н. Комплексные потенциалы плоской линеаризированной задачи теории упругости (сжимаемые тела) // Прикл. механика. 1980. Т. 16. №5. С. 72-83.

75. Гузь А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наук. Думка, 1983. 295 с.

76. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 467 с.

77. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел. М.: Металлургия, 1971. 264 с.

78. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. № 5. С. 3-41.

79. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

80. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

81. Кизима Я.М., Грилицкий Д.В. К осесимметричной задаче о давлении плоского круглого штампа на упругое полупространство при наличии сцепления // Прикл. механика. 1964. Т. 10. Вып. 3. С. 297304.

82. Койтер В. Бесконечный ряд параллельных трещин в неограниченной упругой пластине // В кн.: Проблемы механики сплошных сред. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 202-214.

83. Крейн М.Г. Об одном новом методе решения линейных интегральных уравнений первого и второго рода // Докл. АН СССР. 1955. Т. 100. №3. С. 413-416.

84. Куликов A.A., Назаров С.А. Трещины в пьезоэлектрических и электропроводящих телах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8. №> 1. С. 70 87.

85. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

86. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М,- Л.: Физматгиз, 1963. 358 с.

87. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гос-техиздат, 1955. 492 с.

88. Лутченко С.А., Целиков Г.С. Об одной плоской задаче теории упругости для клина со щелью // В кн.: Судостроение и морские сооружения. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1973. Вып. 20. С. 85-88.

89. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

90. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. -М.: Мир, 1970. 444 с.

91. Маневич Л.И., Павленко A.B., Шамровский А.Д. К решению плоской задачи теории упругости для ортотропной среды // В кн.: Вопросы прочности, надежности и разрушения механических систем. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та, 1969. С. 15-25.

92. Маркузон И. А. О расклинивании хрупкого тела клином конечной длины//ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 2. С. 356-361.

93. Маркузон И. А. Равновесные трещины в полосе конечной ширины // ПМТФ. 1963. № 5. С. 69-76.

94. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.512 с.

95. Моссаковский В.И., Гудрамович В.С, Макеев Е.М. Контактные задачи теории оболочек и стержней. М.: Машиностроение, 1978. 247 с.

96. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

97. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968. 512 с.

98. Никишин В.С: Осесимметричные контактные задачи теории упругости для неоднородных сред // Сообщения по прикладной механике. Вып. 3. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1976. 103 с.

99. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 280 с.

100. Пальцун Н.В. Критические напряжения для слоя, ослабленного плоской круглой щелью // В кн.: Материалы межвуз. конф. молодых ученых-матем. Харьков. 1966. С. 106-109.

101. Пальцун Н.В. Осесимметричная задача теории упругости для слоя, ослабленного плоской круглой щелью // В кн.: Некоторые вопросы прикладной математики. Киев: Наукова думка, 1967. Вып. 3. С.153-164.

102. Пальцун Н.В. Плоская задача для бесконечной полосы, ослабленной щелью // В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1967. Вып. 6. С. 84-90.

103. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Hayкова думка, 1968. 248 с.

104. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик С.Е. Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1977. 278 с.

105. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 444 с.

106. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. 416 с.

107. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

108. Попов Г.Я. К решению плоской контактной задачи теории упругости при наличии сил сцепления или трения // Изв. АН Арм.ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1963. Т. 16. № 2. С. 15-32.

109. Попов Г.Я. Некоторые свойства классических многочленов и их применение к контактным задачам // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 5. С. 821-832.

110. Попов Г.Я. Об одном приближенном способе решения интегрального уравнения дифракции электромагнитных волн на полосе конечной ширины // Журнал технической физики. 1965. Т. 35. Вып. 3. С. 381-389.

111. Попов Г.Я. Плоская контактная задача теории упругости с учетом сил сцепления или трения // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 3. С. 551563.

112. Попов Г.Я. 0 применении многочленов Якоби к решению интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1966. № 4. С.77-85.

113. Попов Г.Я. Применение методов Винера-Хопфа и ортогональных многочленов к контактным задачам // В кн.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М.: Изд-во НИИМАШ, 1969. С. 7-14.

114. Попов Г.Я. О методе ортогональных многочленов и контактных задачах теории упругости // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 3. С. 518531.

115. Попов Г.Я. 0 сведении интегральных уравнений теории упругости к бесконечным системам // ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 4. С. 672681.

116. Попов Г.Я. Об одном способе решения задач механики для областей с разрезами или тонкими включениями // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 1. С. 122-135.

117. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М: Наука, 1982. 342 с.

118. Развитие теории контактных задач в СССР // Под ред. Л.А.Галина. М.: Наука, 1976. 493 с.

119. Рвачев В.Л. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 248-254.

120. Рвачев В.Л., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. 236 с.

121. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова думка, 1976. 284 с.

122. Слепян Л.И. Механика трещин. Ленинград: Судостроение,1981. 296 с.

123. Сметанин Б.И. Некоторые задачи теории трещин // В кн.: Третий Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. М. 1968. С. 79.

124. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое // Инж. ж. МТТ. 1968. № 2. С. 115-122.

125. Сметанин Б.И. Задача о растяжении упругого пространства, содержащего плоскую кольцевую щель // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 3. С. 458-462.

126. Сметанин Б.И. Об одной смешанной задаче теории упругости для клина // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 708-714.

127. Сметанин Б.И. 0 расклинивании упругого бесконечного клина // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 935-940.

128. Сметанин Б.И. Две щели в полосе конечной толщины // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 366-369.

129. Сметанин Б.И. Задачи о расклинивании упругих тел // В кн.: Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1983. С. 54-66.

130. Сметанин Б.И. О двух новых методах решения некоторых смешанных задач теории упругости. Ростов-на-Дону. 1984. 22 с. Рукопись представлена Ростовским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 18 апреля 1984. № 2418-84 Деп.

131. Сметанин Б.И. Об одном методе решения интегральных уравнений пространственных задач теории упругости для тел с трещинами // В кн.: Вторая Всес. конф. по теории упругости. Тезисы докл. Тбилиси, 1984. С. 257-258.

132. Сметанин Б.И. Продольные колебания отслоившейся полосы в упругом слое // Тезисы докладов III Всес. конф. «Смешанные задачи механики деформируемого тела». Харьков, 1985. С. 227.

133. Сметанин Б.И. Об одном интегральном уравнении и его приложении к задачам о тонких отслоившихся включениях в упругих телах // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 5. С. 784 790.

134. Сметанин Б.И. Кручение упругого пространства, ослабленного кольцевой, либо круглой трещиной // Ростов-на-Дону, Деп. В ВИНИТИ 15.11.89 № 6905-В89. 25 с.

135. Сметанин Б.И. Крутильные колебания отслоившейся пластинки в упругом слое // Проблемы контактного взаимодействия, трения и износа .Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: изд. РТУ, 1990. С. 108.

136. Сметанин Б.И. Метод аппроксимаций Паде в смешанных задачах теории упругости // Современные проблемы механики контактных взаимодействий. Днепропетровск: Изд. ДГУ, 1990. С. 81 -84.

137. Сметанин Б.И. О структуре решения интегральных уравнений, возникающих в задачах об отслоившихся включениях в упругих телах// Аннотации докладов VII Всес. съезда по теоретической и прикладной механике. М., 1991, С. 321.

138. Сметанин Б.И. Об интегральном уравнении осесимметричных задач для упругого тела, содержащего включение // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 456-460.

139. Сметанин Б.И. Удар жесткой пластинки о поверхность несжимаемой жидкости // В сб.: IV Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». Ростов-на-Дону: Изд-во ЦВВР, 2006. С. 273.

140. Сметанин Б.И., Воротынцева И.В. Некоторые смешанные задачи для упругого слоя с потенциалом гармонического типа // Ростов н/Д, 1985. 16 с. Рукопись представлена Ростовским ун-том. Деп. в ВИНИТИ 23.05.85. № 3555-85 Деп.

141. Сметанин Б.И., Воротынцева И.В. Некоторые смешанные задачи для нелинейных преднапряженных сред. Тезисы докладов II Всес. конф. по нелинейной теории упругости. Фрунзе: Изд-во Илим, 1985. С. 77-78.

142. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Растяжение упругого полупространства с трещиной, расположенной перпендикулярно к его поверхности // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 5. С. 940-943.

143. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Растяжение упругого полупространства с двумя симметричными эллиптическими трещинами, лежащими в плоскости, перпендикулярной к его границе. В кн.: Пятый Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. Алма-Ата, 1981. С. 324.

144. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. О практической реализации метода Ритца решения интегральных уравнений смешанных задач теории упругости // В кн.: Школа-семинар «Теория упругости и вязкоуп-ругости». Тез. докл. Ереван, 1982. С. 64-65.

145. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. О продольных колебаниях берегов полосовой трещины в упругом слое // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 694-700.

146. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного плоскими трещинами // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 869877.

147. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Отслоившееся включение в упругом полупространстве // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 6. С. 71-78.

148. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного плоской поперечной трещиной // Аннотации докладов VI Всес. съезда по теор. и прикл. механике. Ташкент: Изд-во ФАН, 1986. С. 573.

149. Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Задача кручения пространства, содержащего цилиндрическое отслоившееся включение // В кн.: Современные проблемы механики контактных взаимодействий (тезисы докладов на Симпозиуме). Ереван: Изд-во АН Арм.ССР, 1992. С. 107.

150. Сметанин Б.И., Соловьев A.C. Смешанные задачи теории концентрации напряжений // В кн.: Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. С. 158-168.

151. Сметанин Б.И., Сычава В.Я. Равновесие упругой полосы, ослабленной двумя трещинами // В сб.: Пути повышения экономичности и качества сварочного производства. Ростов-на-Дону: Изд-во РИСХМа, 1979. С. 163-165.

152. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 660 с.

153. Соловьев A.C. Об одном интегральном уравнении и его приложениях к контактным задачам теории упругости с учетом сил трения и сцепления // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 6. С. 1042-1050.

154. Сумбатян М.А. Об одном аналитическом подходе к пространственным контактным задачам теории упругости // ПММ. 1982. Т. 46, Вып. 3. С. 488-493.

155. Уфлянд Я.С. Концентрация напряжений в упругом слое, ослабленном круглой щелью // Научн.-техн. информ. бюлл. Ленингр. политехи, ин-та, физ.-мат. науки. 1959. № 8. С 56-61.

156. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Ленинград: Наука, 1967. 404 с.

157. Уфлянд Я.С. Некоторые задачи о кручении упругих тел, ослабленных соосными круговыми щелями // В кн.: Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1971. Вып. 3. С. 177-181.

158. Храпков А.А. Некоторые случаи упругого равновесия бесконечного клина с несимметричным надрезом в вершине под действием сосредоточенных сил // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 4. С. 677-689.

159. Храпков А.А. Задачи об упругом равновесии бесконечного клина с несимметричным надрезом в вершине, разрешимые в замкнутой форме//ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 6. С. 1062-1069.

160. Чебаков М.И. Контактная задача для круглой плиты, лежащей на Винклеровском основании // В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл. Всес. научн. конф. Часть I. Ростов-на-Дону, 1977. С. 99.

161. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

162. Черепанов Г.П. Хрупкая прочность сосудов под давлением // ПМТФ. 1969. № 6. С. 90-101.

163. Штаерман И .Я. Контактная задача теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1949. 270 с.

164. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1968. 344 с.

165. Bazant Z. Three- dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: A general numerical method // Int. J. Eng. Sci. 1974. V. 12. № 3. Pp. 221- 243.

166. Collins W.D. Some axially symmetric stress distributions in elastic solids containing penny-shaped cracks. I. Cracks in infinite solid and a thick plate // Proc. Roy. Soc. 1962. V. A266. № 1326. Pp. 359-386.

167. Doran H.E. The wedge with a symmetric crack at the vertex in plane elastostatics // J. Inst. Math, and Appl. 1969. V. 5. № 4. Pp. 363372.

168. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. 1920. A221. Pp. 163-198.

169. Irwin G.R. Fracture dynamics // Fracturing of metals. Cleveland: ASM, 1948. Pp. 147-166.

170. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. 1957. V. 24. Pp. 361-364.

171. Isida M. Effect of width and length on stress intensity factors of internally cracked plates under various boundary conditions // Int. J. Fract. Mech. 1971. V. 7. №3. Pp. 301-316.

172. Isida M. Method of Laurent series expansion for internal crack problems // In: Methods of analysis and solutions of crack problems. Leyden: Noordhoff Intern. Publ. 1973. Pp. 56-130.

173. Kalaba R.E., Zagustin E.A. Exact solution for the stress concentration in a slot // Int. J. Eng. Sci. 1972. V.10. № 6. Pp. 491-502.

174. Kanwal R.P., Pasha M.L. Axially symmetric stress distributions in elastic solids containing ringsheped cracks under torsion // Trans. ASME. 1974. Ser. E. V. 41. № 2. Pp. 516-517.

175. Kobayashi A.S., Ziv M., Hall L.R. Approximate stress intensity factor for an embedded elliptical crack near two parallel free surfaces // Int. J. Fract. Mech. 1965. V. 1. № 2. Pp. 81-95.

176. Lowengrub M. Stress in the vicinity of a crack in a thick elastick plate // Quart. Appl. Math. 1961. V. 19. № 2. Pp.119-126.

177. Lowengrub M. A two-dimensional crack problem // Int. J. Eng. Sci. 1966. V. 4. № 3. Pp. 289-299.

178. Nisitani A., Murakami Y. Stress intensity factors of an elliptical crack or a semi-elliptical crack subjected to tension // Int. J. Fract. Mech. 1974. V.10. № 3. Pp. 353-368.

179. Orowan E.O. Fundamentals of brittle behavior of metals // Fatigue and Fracture of Metals. New York: Wiley, 1950. Pp. 139-167.

180. Shah R.C., Kobayashi A.S. Stress intensity factors for an elliptical crack approaching the surface of a semi-infinite solid // Int. J. Fract. Mech. 1973. V. 9. № 2. Pp. 133-146.

181. Smith S.F. On a flat punch indenting on elastic layer in plane strain // Quart J. Math. 1964. V.15. № 59. Pp. 223-237.

182. Sneddon I.N., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory of elasticity. New-York; London: Wiley, 1969. 222 p.

183. Srivastav R.P., Narain P. Certain two-dimensional problems of stress distribution in wedge shaped elastic solids under discontinuous loads // Proc. Camb. Phil. Soc. 1965. V. 61. № 4. Pp. 945-954.

184. Tsai Y.M. Stress distribution crack shape and energy for a penny-shaped crack in a plate of finite thickness // Eng. Fract. Mech. 1972. V.4. № l.Pp. 155-169.

185. Wu Ting-Shu, Pao Y.C., Chiu Y.P. Analysis of a finite elastic layer containing a Griffith crack // Int. J. Eng. Sci. 1970. V. 8. № 7. Pp. 575582.