Распознавание конечных групп по свойствам множества порядков элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Обозначения и предварительные результаты

2 Конечные группы с множеством порядков элементов как у группы Uz(q)

3 Конечные простые группы с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса

Множество порядков элементов конечной группы несет богатую информацию о самой группе. Подтверждением этого является факт существования конечных групп, которые восстанавливаются с точностью до изоморфизма по своему множеству порядков элементов. Характер изменения этого множества при расширении групп является популярным предметом изучения. Классическим примером служит известная работа Ф. Холла и Г. Хигмана [24], в которой в связи с ослабленной проблемой Бернсайда изучались порядки р-элементов в накрытии G р-разрешимой группы Н = G(N для случая, когда N — элементарная абелевар-группа и Н действует точно на N при сопряжении в G. Холл и Хигман доказали, что при таких условиях G, как правило, содержит р-элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы Н. Недавняя работа А.Е. Залесского [53] о конечных линейных квазипростых группах с циклической силовской р-подгруппой продолжает исследования Холла и Хигмана. Эта работа нашла хорошее применение при изучении распознаваемости конечных простых групп (см., например, [10]).

Пусть G — конечная группа. Обозначим через cj(G) множество всех порядков элементов группы G. Скажем, что конечная группа Н распознаваема по множеству если для любой конечной группы G из равенства со(Н) = сo{G) следует изоморфизм Н и G. Нетрудно показать, что любая группа, содержащая нетривиальную разрешимую нормальную подгруппу, не является распознаваемой. Поэтому проблема распознаваемости представляется естественной для конечных почти простых и, в частности, простых групп. Вопросам распознаваемости таких групп посвящено довольно много работ. Доказано, что следующие конечные простые группы распознаваемы: L2{q), 3 < q ф 9 [16],[37],[38],[40],[42], группы Сузуки Sz(2м) = 2Б2(22т+1) [46], группы Ри Re(32m+l) = 2G2(32m+1) [15] и 2F4(22m+1), где m > 1 [20], L3(4) [39], L3(8) [31], L3(7), L4(3), 2F4(2)/ [30], L5(3) [19], C/4(3) [47], t/6(2) [28], 08"(2), [49], спорадические группы, отличные от J2, [28],[29],[42],[43],[44],[45],[48], знакопеременные группы Aiq, Ar, Ar+i, Ar+2, где г ^ 7 — простое число [4],[5],[7],[8],[14], [19],[35],[41] группы L3(2™), ^з(2га) [11], 54(32m+1), где т > 0, С/3(9), 3D4(2), G2(4), 56(3), F4(2), 2Е6(2) [10], G2(3m) [3], [30]. Обзор результатов можно найти в [10], [32].

Множество uj{G) частично упорядочено относительно делимости и потому определяется подмножеством ^(G) своих максимальных по делимости элементов. Для натурального числа п через тг(п) обозначим множество всех простых делителей числа п и положим n(G) — 7r(|G|). Множество co(G) определяет граф Грюнберга-Кегеля, или граф простых чисел, GK{G) группы G, множеством вершин которого служит n(G). и две вершины р, q из тт(G) соединены ребром, если G содержит элемент порядка pq. Обозначим через тгу = ^(G), где i = 1,., t(G), г-ю связную компоненту графа GK(G). Для группы G четного порядка положим 2 Е 7г4. Обозначим через = /^(G) множество тех п <Е /i(G), для которых тг(?г) С пг.

Доказательство распознаваемости большинства конечных групп с несвязным графом простых чисел использует следующую теорему.

Теорема Грюнберга-Кегеля (теорема А в [52]). Если G . конечная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, то верно одно из следующих утверждений: а) G — группа Фробениуса; б) G = ABC, где А, АВ — нормальные подгруппы группы G, и АВ, ВС — группы Фробениуса с ядрами А, В и дополнениями В, С соответственно; в) G является расширением, tti^G)-группы N посредством группы А, где Р ^ А ^ Aut(P), Р — простая неабелева группа с несвязным графом GK{P), А/Р — i\\ (G)-zpynna.

Диссертация посвящена изучению распознаваемости конечных простых групп по свойствам множества порядков элементов. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава носит вспомогательный характер, в ней приводятся обозначения и предварительные результаты.

1. Белоногов В.А. Малые взаимодействия в группах SL^(q), SUs(q), PSLs(q) и PSUs(q) // Труды Института математики и механики УРО РАН. 1998. № 5. С.3-27.

2. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука, 1968.

3. Васильев А.В. Распознаваемость групп G2(3П) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. 2002. Т.42, Ш 2. С.130-142.

4. Заварницин А.В. Порядки элементов в накрытиях групп Ln(q) и распознаваемость знакопеременной группы А\§. Новосибирск, 2000. (Препринт/ ИДМИ; № 48).

5. Заварницин А.В. Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени г + 1 и г -Ь 2 для простого г и группы степени 16 // Алгебра и логика. 2000. Т.39, № 6. С.648-662.

6. Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб. 1989. Т.180, № 6. С.787-797.

7. Кондратьев А.С., Мазуров В.Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. мат. журн. 2000. Т.41, № 2. С.359-370.

8. Мазуров В.Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. 1997. Т.36, N°-1. С.36-53.

9. Мазуров В.Д. Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов // Алгебра и логика. 1998. Т.37, № 6. С.651-666.

10. Мазуров В.Д. Распознавание конечных простых групп S4(q) по их множеству порядков элементов // Алгебра и логика. 2002. Т.41, № 2. С.166-198.

11. Мазуров В.Д., Су М.Ч., Чао Ч.П. Распознавание конечных простых групп Ьз(2т) и /з(2т) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. 2000. Т.39, № 5. С.567-586.

12. Спрингер Т.А., Стейнберг Р. Классы сопряженных элементов // Семинар по алгебраическим группам; Пер. с англ. М.: Мир, 1975. С.162-244.

13. Aschbacher М. Finite group theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1986. 274 p.

14. Brandl R., Shi W. Finite groups whose element orders are consecutive integers // J. Algebra. 1991. V.143, № 2. P.388-400.

15. Brandl R., Shi W. A characterization of finite simple groups with abelian Sylow 2-subgroups // Ricerche di Mat. 1993. V.42, № 1. P. 193198.

16. Brandl R., Shi W. The characterization of PSL(2,q) by its element orders // J. Algebra. 1994. V.163, № 1. P.109-114.

17. Carter R. W. Conjugacy classes in the Weyl group // Compositio. Math. 1972. V.25, № 1. P. 1-59.

18. Conway J. H., Curtis R. Т., Norton S. P. , Parker R. A., Wilson R. A. An atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

19. Darafsheh M. R., Moghaddamfar A. R. A characterization of some finite groups by their element orders // Algebra Colloq. 2000. V.7, № 4. P.467-476.

20. Deng H .W., Shi W. J. The characterization of Ree groups 2F^(q) by their element orders // J. Algebra. 1999. V.217, № 1. P.180-187.

21. Deriziotis D. I. Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type // Vorlesungen Fachb. Math. Univ. Essen. 1984. Heft 11. 148 p.

22. Feit W. Characters of finite groups. New York, Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1967.

23. Gorenstein D., Lyons R. The local structure of finite groups of characteristic 2 type. Providence, Rl: Arner. Math. Soc., 1983.

24. Hall P., Higrrian G. The p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc., III. Ser. 1956. V.6. P. 1-42.

25. Harris M. E. Finite groups containing an intrinsic 2-component of Chevalley type over a field of odd order // Trans. Airier. Math. Soc. 1982. V.272, № 1. P.1-G5.

26. Huppert B. Singer-Zyklen in klassischen Gruppen // Math. Z. 1970. V.117, № 1-4. P. 141-150.

27. Jansen С., Lux К., Parker R., Wilson R. An atlas of Brauer characters. Oxford: Clarendon Press, 1985.

28. Li H. L., Shi W. A characteristic property of Mn and PSU(6, 2) (in Chinese) // Acta Math. Sin. 1989. Y.32, № 6. P.758-764.

29. Li H. L., Shi W. A characteristic property of some sporadic simple groups // Chinese Ann. Math. Ser. A. 1989. V.14, № 2. P.144-151.

30. Lipschutz S., Shi W. Finite groups whose element orders do not exceed twenty // Progress in Natural Sci. 2000. V.10, № 1, P.ll-21.

31. Liu F. J. A characteristic property of projective special linear group Lz(8) (in Chinese) //J. Southwest-China Normal Univ. 1997. V.22, № 2. P.131-134.

32. Mazurov V. D., Shi W. J. Groups whose elements have given orders // London Math. Soc. Lecture Note Series. 1999. V.261. P.532-537.

33. Mitchell H. H. Determination of the ordinary and modular ternary linear groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1911. V.12. P. 207-272.

34. Passman D. S. Permutation Groups. New York: Benjamin, 1968.

35. Praeger С. E., Shi W. A characterization of some alternating and symmetric groups // Commun. Algebra. 1994. V.22, № 5. P.1507-1530.

36. Seitz G. M. On the subgroup structure of classical groups // Commun. Algebra. 1982. V.10, № 8. P.875-885.

37. Shi W. A characteristic property of PSL2{7) // J. Austral. Math. Soc. (Ser. A). 1984. V.36, № 3. P.354-356.

38. Shi W. A characterization of some projective special linear groups (in Chinese) // J.Southwest-China Teachers Univ. Ser. B2. 1985. P.2-10.

39. Shi W. A characterization of some projective special linear groups // J. Math. (PRC). 1985. V.5. P. 191-200.

40. Shi W. A characteristic property of Л5 (in Chinese) //J. Southwest-China Teachers University. 1986. V.3. P. 11-14.

41. Shi W. A characteristic property of As // Acta Math. Sin., New Ser. 1987. V.3. P.92-96.

42. Shi W. A characteristic property of J\ and PSL2(2n) (in Chinese) // Adv. in Math. 1987. V.16. P.397-401.Литература65

43. Shi W. A characteristic property of Mathieu groups (in Chinese) // Chinese Ann. Math. 1988. V.9A, № 5. P.575-580.

44. Shi W. A characterization of the Conway simple group C02 , / J. Math. Res. Expo. 1989. № 9. P.171-172.

45. Shi W. A characterization of the Higman-Sims group // Houston J. Math. 1990. V.16, № 4. P.597-602.

46. Shi W. A characterization of Suzuki simple groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.114, № 3. P.589-591.

47. Shi W. A characterization of the finite simple group £/4(3) // Analele Universitatii din Timisoara. Ser. Stiinte Mat. 1992. V.30, X5 23. P.319-323.

48. Shi W. The characterization of the sporadic simple groups by their element orders // Algebra Colloq. 1994. V.l, № 2. P.159-166.

49. Shi W., Tang C. J. A characterization of some orthogonal groups // Progress in Natural Science. 1997. V.7, № 2. P.155-162.

50. Srinivasan B. The characters of the finite symplectic; group Sp(4, q) // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V.131, № 2. P.488-525.

51. Thompson J. G. Normal ^-complements for finite groups // Math. Z. 1960. V.72, № 2. P.332-354.

52. Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. V.69, № 2. P.487-513.

53. Zalesskii A. E. Minimal polynomials and eigenvalues of p-elements in representations of quasi-simple groups with a cyclic Sylow p-subgroup // J. bond. Math. Soc., II. Ser. 1999. V.59, № 3. P.845-866.

54. Zassenhaus H. Kennzeichnung endlicher linearean Gruppen als Permutationsgruppen // Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1936. V.ll. P. 17-40.

55. Zassenhaus H. Uber endliche Fastkorper // Abhandl. Math. Semin., Univ. Hamburg. 1936. V.ll. P. 187-220.

56. Zsigmondi H. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math, und Phys. 1892. V.3. P.265-284.Литература.66Работы автора по теме диссертации

57. Aleeva М. R. On recognizability of groups U3(q). q odd // Low-Dimensional Topology and Combinatorial Group Theory: Abstracts of talks. Chelyabinsk, 1999. P. 12.

58. Алеева M.P. О конечных неразрешимух группах с множеством порядков элементов как у группы U$(q) для нечетного q // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 31-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 2000. С.З

59. Алеева М.Р. К вопросу о распознаваемости групп U3(q) по множеству порядков элементов // Междун. конференция "Симметрия и дифференциальные уравнения": Сб. тез. Красноярск, 2000. С.11

60. Алеева М.Р. Распознаваемость групп и расширения посредством унитарных групп // Low-Dimensional Topology and Combinatorial Group Theory: Proc. Intern. Conf. (Chelyabinsk, 1999). Kiev, 2000. P.20-27.

61. Алеева М.Р. О конечных группах с множеством порядков элементов как у группы Us(q) для нечетного q // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург, 2001. С.З

62. Алеева М.Р. О композиционных факторах конечных групп с множеством порядков элементов как у группы U3(q) для нечетного q // Сиб. мат. ж. 2002. Т.43, № 2. С.249-268.

63. Алеева М.Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Тез. межд. семинара по теории групп. Екатеринбург, 2001. С. 7-8.

64. Алеева М.Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Мат. заметки (принята к печати).