Распределение граничных функционалов от сумм случайного числа дискретно распределенных слагаемых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНІ? ^ ОД ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Фі-У І3£з

На пргшак рукопису РОЗУМЕНКО Анатолій Михайлом мп

РОЗПОДІЛ ГРАНИЧНИХ ФУНКЦІОНАЛІВ ВІД СУМ ВИПАДКОВОГО ЧИСЛА ДИСКРЕТНО РОЗПОДІЛЕНИХ ДОДАНКІВ

01.01.05 —‘ теорія ймовірності та

математична статистико

Автореферат дисертації на г> до буття наукового сгупег(« кандидата фіоиао-мптематігптх иауй

Д;іс.:о?таціею е руьспис.

Робс? ггаонана у відділі теорії Ймовірності га матеме— тпчної статистики Інституту математики НАН України. '

Науковий керівник : доктор фтзнко-математичних наук, професор

• ГУСАК Д.В. . .

Офіційні опоненти : доктор фіоикоч^агонагичних тук,

■ професор

КЛРТЛШОВ М.В. ■

кандидат фізико-математичтк наук' КАІ1ЛАІІ Б. І.

Прлвірю .урганізація: Інститут прикладної математики та механіки НАН України, м. Донецьк

.^9хі!гл' відбудеться " ” ДУХОО |995 р_

п 'і ^__годині на засіданні спеціалізованої ради Д 01.66.01

>!£И Інституті :.ні7тзти;о! НАН України за адресою : гМїШ Київ 4, Ш1, еул. Теращенківськв, З,

У яггге'ртяцгь’ю ткт ознайомитись в бібліотеці інституту.

Аяі'>ре9**ррг ровісячирЛ " " с.<.тлі-Ч_____ 1995 р.

Нче»і'їі! ссіеретвр. спеціалізованої ради

ГУСЖ Д.В.

І, Загальна характеристике роботи.

Актуйльнїсть теми. Граничні задачі для випадкових блукань і процесів знаходять широко застосування и теорії масового обелу-говувпння, теорії надійності, управлінні запасами, статис'лгці. Різні прикладиі задачі сприяли прогресу дослідження граничних задач для процесів'з незалежними приростами, процесів нв лінщю-гах Марково та напівмарківськи;: процесів.

• Значний вклад в дослідження вказаних граничних :)адач внесли Е.А.Андерсен, Г.Крамер, П.Леві, Ф.Спітцер, Л.Тикач, 0.0.Боровков, В.С.Королю», А.В.Скороход, Б.О.Рогооіи, Д.В.Гусок, В.М.Зо-лотарьсв, В.М.Шуренков та інші.

Однією з ііаіі'іільга важливих з прикладної точки зору являються задача знаходження розподілів граничних функціоналів від сум і процесів, а само: супремуму і інфімуму, моменту і величини першого перестрибу рівня, часу перебування в заданій множині та

І|Ь

Летально досліджені граничні задачі для однорідних процесів з незалежними приростами методами факторизації в роботах 0.0.Бо-ровкова, Б.О.Рогозіна, Д,В.Гусака, М.С.Ератійчука.

В.С.Королюк запропонував оригінальний підхід до вивчення розподілу граничних функціоналів випадкового блукання на суперпозиції двох процесів відновлення, який розвивевся в роботах М.С.Рра-тійчука, Б.Пірлівва, Б.Пірджанова.

В даній роботі розглядається схема роиітчатих непікіарківсь-ких випадкових блукань, в якій моменти стрибків утворюють суперпозиція пуасонівського та довільного процесів відновлення.

Мета роботи. Дослідити граничні задачі для випадкових процесів, що визначаються сумами випадкового числа дискретно розподілених доданків, і встановити співвідношення для перетворень розподілів різних граничних функціоналі». -

Методи дослідження. Основні твердження в роботі отримані на основі аналізу інтегральних рівнянь, які виводяться з стохае-тичних представлень граничних функціоналів, із застосуванням факторчзаційного методу, який раніше розвивався для однорідних Процесів та процесів на ланцюгах Маркова.

Наукова новизна. Всі основні результати дисертаційної роботи в новими:

- Отримані представлення для твірних функцій екстремумів процесу; знайдені розподіли екстремумів процесу п випадку відсутності пуясонівської компоненти і геометричності розподілу

Сірибківі

- отримані лредзтввлошя для твірних функцій сумісного розподілу пргцесу ТО ІкН’О екстремумів, моменту і-величини першого пере, пгрибу додатного (від’ємного) рівня; знайдені розподіли абсолют--нчх еколрємунів процесу прй певних обмеженнях,

- встановлена співвідношення для твірної функції часу перзбу-

ул.чнл процесу в фіксованому стані. '

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарі відчілу теорії ймовірності та матема-ітчної статис'”їіки Інституту математики АН України, на третій Донецькій міжнародній конференції "ймовірнісні моделі процесів в • управлінні і чгдійності” (вересень, 1993 р.).'

Публікації:. Оснсьні результати дисертаційної роботи опубліковані в роботах 1-4 , с них Z у співавторстві з науковим ке-гіїннком, якому належить 'вільга? постановка ьадяч. •

Структуро іу.ісоріації. Ддсортація втшлдепа на 97 сторінках І сг’гздазться зі рстуцу, двох розділів (по 3 параграфи в кожному), тя сгшсУу літератури, цо містить 42 найменування. .

іі, Зміст роОоуи. ' " •

V пацпі до дисертації сформульовано проблему дослідження, по— Л«чо сумі’. основних результатів, які вииоси'іься на захист.

В гічрг.счгу розділі описано випадковий процес і вивчаються гра-•’?’яїі -їупйдіонали, пов’язані з розподілами екстремальних значень.

ОснсіЧі'.ій огі’скг дослідження - випадковий процес

Процес не залежить вії; "£(1) і гадається за допомогою

стрибків ^ .довільного 31» Ку '

• І X '•■-ічччі 14 11Н ^ •

,Т«м- Чі*).-

К\>*) * Є» Сг< С-4') - 0 - куцуляпгя процесу (+) .

- з -

Рід**Фft,,і-н*-*. EiJ’-pC") , m-і..

Час між стрибками нас довільнії?: неперервний розподіл

Goa-P^M # t*o., 3w е^1 -1е'Ла&(^

, sv- ±и,ч^ Ч

В термінах випадкових напівиарківських блукань процес "^(і) являється нипівмарківськнм випадковим блуканням на суперники! Ч пуасонівсьісого іь. довільного процесів відновлення.

Такі процесе використовуються для опису функціонування систем теорії масового обслуговування, де ~т: - послід івність заявок, які поступають на обслуговування в систему, т& складається З одного пристрою, через показниково розподілені н'їНети часу . < , a -Т**і інтерпретується j-k кількість обслужим:-,

заявок не інтервалах З довільним розподілом.

Для вивчення граничних функціоналів процесу намі їво-

днться допоміжний процес і

T.w-sf-. т: •т.-тЛіо,

в термінах комгпіієїіт векторизації виражаться гпр*ікт'фгс" Тики основних граничних функціоналів.

Важливу роль в нашому дослідженні відіграє функція

к м - і- fwас-ы)- е^;8'.?(--й

або в термінах допоміжного процесу <

ЁчТ-СеТ) ’ .

’яка допускає факторизаційний розкяа/1

O'^W) К-С*.1*) , Ы- І,

_ *с*<*л)

KtCvO - к*ем) '

<-(vo * {*• § і Е U3' ь , s; ^ о] j і ы| < і,

«.зд • «fV-1.4 EUi5 е'к,ы<оі! ві.і, (s:- t-iri

Ь § 1.1 вивчається допоміжний процес , для якого

встановлено рял тверджень, основний з ягсих є теорема 1.2, Теорема 1.2. Для твірної функції процесу Т* (£) справедливий факторизаційний розклад г у, (9.) г ХГ(Є,) г Т»@«)

. Ь_и Ьи, .

Твірні функції розподілу максимуму ^«(*)“ Т» 0),

та мінімуму ~~у~ (Ч) - Т*С0 процесу Т¥&) визначаються співвідношеннями ‘

Г ТЛе*) -77-і, у \

Ьи “ і»ОіЧ> »

г* Т*С°») К-6,0 -г-і , ч

Ьч.

5 1,2 присвячено вивченню екстремумів процесу (-1) . Представленій! для твірної функції максимуму процесу ЕГ\ц^в^ те функції . ^ ч « иг -в'СЧ*) ■

ке . У»Ш.

нн лснг'гі стохастичних співвідношень для *£*00 встановлюй Теоремо 1.3. Твірна функція визначається співвідношенні» г Т.4^ 5(“Ч^ ( Гп®, V л*, лі

л5„(*,ч) - Ь Ц, ч-м, \Ц>С*.ч)- Ч+См)^

0с»л)* - -£Г^с5 (^Ч*-К<л) “01

Твірна функція максимуму процесу ТО) має вигляд

Еигм‘ і-ит:м^[о:^-сг,м1.

Відповідні твердження для нижніх функціоналів встановлюються в теоремі 1.4. . и '

Тгопга 1.4. Твірно функція & , /^\-»£ /

*С*(^* и{ ^1’. “^(Л) , /*<0 / визначається співвідношен-

«*- -4» * ит;{,‘)и’-(‘.-'>- ММ], •

а:^-ь^№0ЦО-чт")є-!'Л,чо].

Таірнр чун.-сція мінімуму процесу у(Ь) мас виглад

Е «.гсвд -1- ф [ Ш- К.<*.,)}.

Представляв інтерес розглянути деякі частинні випадки.

1. У випадку С,- *.і>) а О . тобто (ДІ'^ОО-^СО для твірні функцій екстремумів справедливі представлення

г Т*&) , У зФ____________________

^ ■ *гд«Сьо;с»д*\9:см>) '

0 (*.ч) * £ ^ (р+ (<)- ^ 0»)) ;

сЛ”(^с _

ь Т- V*? *а: (мо-а:<м) '

А (*.>) - £ і? ^ [((*- ії) іУ, т, < °] * Е ^{в,) 3С‘) («- ?-(?))

йііцо крім цього /рдптні стрибки процесу 'Т*(у Геометрично розподілзні, тобто твірна функція стрибка

1ї""аі” -в. М • р, т^; Е (Гт№> .

досить легко обертається гш « тобто

£ аг<‘’. ІЧг<ч> 4 - (, Е г'т™|:рігсч-і!

Аналогічно, яК'До в цьо>.у випадку / С< « ^Ч) о О / вгл* гм1’і стрибки процесу Ті<0 мають геометричний розподіл

то з представлення для твірної функції

«.м-^Є^туЕ,^

ПІСЛЯ обернення ПО и. ЗНПХОШЇКО .

еЛігМ-?- , С-У

2. і] =■ і-о:'*'5 . тобто ^»)«

е О^НОрІДНИМ Ііумсонівськия Процесії» З Куіг)г.<-Л7'Т)

К Сч) - + СД- - *) .

'•Твірні функції екстремумів в цьому випадку визначаються співвідношеннями .

Е. ч} ^ - ОХ4. А]) ,

О^/ч) " “ ^ ^(л);

^ и* ^ & * ^‘гС»)С А’(у) - А!о.і)]) ,

Д^)* І ^(9^ (Дт,м,(М <о] -

- рад ,т, (в^иУ < -Тч}').

2нчй:ієио тйипж представлення для харгктеристик граничних' <£у:ш-іігоналів їмстрзмуків процесу у' випадках, коли стрибки пуаоонів-кьклго процесу приймають лише значення +і, а процес "Т* ОО маа лу.чє стрибки, та коли стрибчи процесу ~?Х(Ь) а додатною

(’'■'’Еірчісі'о приймають лише енячнння -1 /р*-о , К*-і / .

Д-і Г’б’-і. в останньому випадку одержуємо представлення для функ-цН 'О-'.'*»'") у вигляді

Ї.-ПТ.-І

я«? ко^ия обернути по и. і тобто знайти

Нгл-ол:«и-М. с*<°)-

? 1.3 ирисглчений вивчонно сумісних роегюділів процесу у(±)

•Т{| І'/'ГО ЄКСірСиум!в.

Існіьчі результати гр>ого параграфу сформульовані в наступних 'і! ~і-х теоремах.

Тглрет І.Б.' Твірна функція сумісного розподілу процесу ТС-0

чь і’-іго шчснмуиу ^ (>)

Е І_^т<0>'1 1 ,-?+(в») < , (ц *4> >,*)

ї ЬОіПЧиї.ТЬСЯ спгбеідиошенням

ймч - Е«ЯМ ^ (Є. и • К (‘■“Я

Й-.л'.С і)Е їт,(,‘)

Частинні розподіли максимуму процесу і його доповнення TW-мають ьиглял

Теорема 1.6. Твірна функція сумісного розподілу процесу ~^(к) та його мінімуму ~f~H) »

V с [J™7*, Т"(е.) > *],(иі <1,ИЬі)

визначається співвідношенням

* г ТіСво ^■sk»-*w) <s г т:(0«) г

Частинні розподіли мінімуму процесу і його доповнення ^ (-і)”

№ЙТЬ вигляд

Е *T(eJ - Е »TWJ

Г ТМ Г 1Ле‘і г ТІ(М

ся *си —bv, .

Яіс;;о порівняти розподіли і а також f*(в») і 7*^

ТО ВИПВЛГ.ОТЬСЯ, іЦО вони не ідентичні. Тобто для процесу TW не 1 виконується властивість "взаенодопоццюваності" екстремальних значень. Але вказані розподіли відповідно збігаються у деяких частинних рипадках, наприклад: .

І/ Єч-ПчЧ«0 : 'tC^-TxW ; .

2/ і l^€Z • В фону випадку процес ~f і*)

може розглядатись як складний пуасонівський процес з куиулянтою

Щ - і) .

Простота обох вказаних випадків поясняється тим, що функція

&+ м - £ uw ({- і)_

не залежить від щ / I/ls^Cv») = (.Vй) « /.

Т^му обчислення проекцій для в обох випадках тривіальне.

Як наслідки з доведених теорем гзнаРдено розподіли абсолютних екстремумів процесу ~У (Д) при певних гібмекешях.

Наслідок І. Як to існус невироджеииЯ розподіл ебсоімтного максимуму ДОПОМІЖНОГО процесу ” ііт. ~^т (J0 / /[пстаткьп,

:ЦОб Е 7*<: О /, ТО *•*’**

- ь -

Наслідок 2. йсіцо існує невироджєниі: розподіл абсолютного иініму-му допоміжного процесу -г* (±) / достатньо, .

щоб Є -7* >0 /, то ’

Е.^\ и £ ^Хо,).

* £ ^ - Ь* С - е~ [ 1 &.<?)}_ + [6* <$]* \ (

а Б» * Я? ^ " ‘ кЬ (і' (' *4$ - і) Е. И’ .

Другий роо,.їм дисертації присвячено вивченню функціоналів, пов'язаних з досягненням процесом т <*> фІКСОБеІІПГО рівня / момент та величина першого перестрибу рівня /яс додатного , так і від'ємного/: 'С’Ч*}, Щі: 7(*>гк] ,

'С'ЬО* М|*-Т. ^'О). *- (к < °) » величина стртбка, ,г>

накриває рівень : у* - *• V» & * X* ^ **' {

момент першого, досягнення рівня та відповідна величино перестрибу {V. » У^Ч*) * *Т Ч1^ ; час перебу-

вання процесу б фіксованому стані {, (А) - ] £ (^М •»'у)4и, .

V \ в .

В 5 2Л. вивчаються "верхні" функціонали /функціонали, пор'я-яйні я досягненням процесом податного рівня/.

Для твірної функції сумісного розподілу моменту і величини першого перестрибу додатного рівня

^Лчч*)- £.^іг ^ -в* (к) 1, (ц* ^ \$і < о

пстгмое.!.єно справедливість твердження. .

Теорія >-с.І. Твірна функція визначається співвідношенням

лг ■ ОЬ.у*)-+ г5мч(?,Й-?Л^(^С‘-«бф- <)1,

Цікавим здасться аналіз цього $акту в деяких частинних випадках. Тни,з ■ останньої формули при тЗ ' І отримаємо предстпвльн-* ня ,'імп функції (»,■»«) Аоореі'-'ї І.З /.

У випадку 0,.Ч^О : а функція ^+(^Л'в) набуиае вигляду

Щ'&і) " «гіг ^ 71^5 С^^л«) '.^1 О.м)).-

А якщо крім цьогм ще вважати, яр додатна частина стрижів процесу 7*Ф геометрично розподілена, то в останній формулі легко обчисляються проекції, і замість неї ножна записати:

, ( -ч _2І1С -?-(«.) г 7+(®0

Порівнюючи з відповідним представленням для 17*. (.V») , иоянв зробити висновок, іцо в цьому гзипадку

■зЛч'О.

Пстаннс представлення для Функції чЗДч,^-*)»

можна легко обернути т * , а „тік і , } анай«

представлення для твірної 4ункції '

Е [*“™ ьіьйіі Е р-т-« .

'|Ьг

Порівнюючи останнє з твірною функцією £еГ*х ^ /в аналогічному випадку/, ми робимо еиснобок про незалежність'випадкових вс-зичин і ц^Су) :

Е [є!14 СЦ>, 1(4^1’ £ еЛ ^ • 0-$ Р* \

Знайдено також представлення для функції’ Фл.Си.г/З? у випадках, коли й (О » \- 6,"с*-і' ; коли стрибки процесу прийкв-

ють лише від’ємні значення/р+М-О /, а стрибки луасонівського процесу приймають лише значення +1.

В останньому випадку ^(цдті)- а.

В § 2.2 встановлюються відповідні твердження .для нижніх функціоналів /«функціоналів, пов'язаних з досягненням процесом від'ешого рівня/.

Основний результат цього параграфу-виратае настуїше твсрлтіш. Теорема 2.4. Твірна функція к - г . .

1?. (.ЧЧО) * ^5^ ^ ^ \Jrtll**, ІОІ Н_)

визначається співеідношєнняу

Якщо покласти в останній формулі -0- і , одержимо представлення для твірної функції і£.С*»ч) /теорема 1.4 /.

У випадку с, - к(.Ч>» О

£ (і) иТ1). 1'(<01 - (?_ Ш ~ ^_Са)). ’

Якщо, крім 1$>ОГО, стрибки процесу мають геометричний

розподіл /від'ємна частина/, функція і}, (ч.ь.хг) набуває вигляду

Порівнюючи з ві/інові^ним представленням для й-СЧ1*) » можна гробити висновок, що в цьому Еинадку

тГ-О*.^) - ■£.(*.*) .

ПІСЛЯ обернення СПІВІЗІ.іНОІЯЄННЯ ДЛЯ ї.\®"іХ ^ ^*^3

по ^ , а потім і по и. , знаходимо представлення для Твірної

№м"1’ -

Порівнюючи останнє а твіррмю функцією Е еи*"Х , ми робимо

висновок про незалежність, в цьому випадку, випадкових величин ' Ч-'О-) { ^‘09 ; __ | .*г*С*» 1 г -іГСС*-) . ги

Ь{®' , Ь’Є- .

Знайдена також представлення для функції у випадку,

ч'тли стрибки процесу 1^) з додатнш {імовірністю приймать ічіпа значення -І.

В останньому випадку ії. - 'З. '3. 1

В заключному параграфі /? 2.З./ встановлено співвідношення *і'іп тріріпї функції . Основні результати формулюються

І^рмІНих функцій %Х. п

Ь («луУ ^ «ч і)г(*, у) -1, (*> $, И- і .

Тсо№?<т‘. ^.5. Для процесу -у(4) твірна функція чпсу

гтерей^ьокня в фіксованому стані їигначяоться співвідношенням . Г Л.С»*).- ,

ь <М}Ь 77^ 1 Н'ЧНі- ^ - 4- ^ ♦

* тЛщ- а0-«* - ^5------------------

(у> • ^*-««9 иі, де Ксу4

Твірна функція послідовності перших иомзнтів

^ * [ р (о\. І^-і) '

2—и Ь ьз«- і-*чо •

Теорет 2.6. У випьдку с,-»к.(<)яО / у - Т4(Л) /, твірна

функція Ь*(*,*. ї>) має вигляд

в'<*•**) ” тг3Ї9 [с^й - ^*) 1.4*$ + —■ ($»♦ й - о] ,

Д9 С(мЬ і?у-^-0 Р{.те - -т] *

- [<-^) -(і«- $<?*$Р^-УІІ"1

/випадкова величина ^ однаково розподілена з і не а*ло*

жить від ук / /.

Для першого моменту часу перебування в стані X- слроволотве представлення г . , і пс , 1

У випадку, коли (Ц-0" І-в 1 (і* о) процес У Iі) в одного боку в сумо» двох складних гіуасонівських процесів ! Тх(^) і

а з другого боку - являється однорідним процесом з незалежними приростами з кумулянтою

<и) - У^)V »Ч«Й ' ') * 0

а твірна функція Ь(<іЬіО визначається співвідношенням .

^лщ^г^1(в0

Відповідно, £- ^ ^ _ 4-£^(Є,).

1*-“* *■

Розглядається також ситуація, коли функція «■(<=) 0 кпи-*

позицією і$ експонент і вказується можливість вккличенчя в представленні для &Г(^Л,^ залежюсті від И, (,*//0 •

Пізніше розглядається можливість виключення такої .залеяїності і а загальному вкладку ( теорема 2.5 ), хоча це й не а просто» операціап.

Основні’ положення дисертації опубліковані в роботах: '

1. Гусак Д.В., Розуменко Д.М. Факторизационные тождества для решетчатых блужданий, описываемых суммами случайного числа слагаемых//Случайтае эволюции: теоретические н прикладные задачи.-[СиеаМн-т математики АН Украины, 1992.- С. 17-26.

2. Роёумзнко А.М. Момент і величина перескоку через рівень процесів, кіо задаються сумами випадкового числа додятів//Допов.

Ж України.- 1994,- » 10.- С. 23-26.

3. Gusatc D.Y.* EoEuraenko А.II» Tlie sojourn-time in fixed ata-tefl of processes defined Ъу sumo of a random number of dioorts-teiy distributed eddecda // Асгаштотмчний аналіз випадкових

еволедій—Київ: Ін-т математики АН України, 1994,- С. 74-93.

4. Розуменко А.М. Про екстремуми решітчатих процесів, які визначаються сумами випадкового чиала доданкІв//Суми: СУЛІ* 1996.- 23 с,- Дсп. в ДІГГБ України

Розуменко A.M.

Распределение граничных функционалов от сумі случайного числа дискретно распределенных слагаемых. Рукопись. Диссертация па соискание ученой степени кандидата фиаико-мотемотических наук по специальности 01.01.05,- Теория вероятностей и математическая етотиг-тика. Институт математики НАН Украины. Киев 1904.

Диссертация посвящена граничным задачам для схеми репотчатык полумарковских случайных блужданий, в которой моменты прыжков по-разуют суперпозиция пуассоиовского и произвольного процессов рос-становления. Основные результати диссертации устанавливаются и і утверждениях, в которых получены представления для провдзодяшх <$ункці;Л совместного распределения процесса и его экстремумов, момента и воличины первого перескока уровня, времени пребывания пр;>г иесса в фиксированном состоянии и некоторых предельных значений функционалов. ■

Нозшпепко А.К, .

The diatribution of boundary funktionals of auras of n гаглЗ.оги number of discretely distributed addenda. Manuscript. Гйєзії for a degree of Candidate of Science ( J’h. I). ) in Гігузіса and f'sthc-matics, speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathemt.tiftai Statistics. Institute of Mathematics of Academy of Scieneefl of . Ukraine. Kiev. 1994. .

Tlie theoia are devoted to boundn.vy problems for the scheme of le.t ІІ08 semi-Marcov random walks, in which the momenta of Jumps form the superposition of the Poiason process nnd ел arbitrary renewal process. The assertions about the representations for generating functions of the joint distribution of the process and ita extrema, the moment and the value of the first overjump, the sojoum-time in fixed states and acme limit values of functi- . onals are obtained.

Ключові слова: напівмарківські випадкові блукання, фвкторизацій-ний розклад, компонента факторизації, граничні функціонали.

Лідп. до друку . Формат 60x84/16. Папір друк. Офс. друк.

Ум. Друк. арк. 0.93. Ум. фарбо-відб. 0.93. Обл.-вид. арк.0.6 Тираж 100 пр. Зам. ІЬ . -

Підготовлено і віддруковано в Інституті математики НАН Укроїш* 252 G0I Київ 4, МСП, вул. Тєрекенківсьна, 3.