Распределение Коши на абелевых группах и его характеризация тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОШИ НА АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ И ЕГО ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ

ОГ .01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Габриелян Саак Саркисович

ХАРЬКОВ - 1992

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур им. Б.И.Веркина АН Украины

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Фельдман Г.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Азарин В.СДИИГ,Харьков/

кандидат физико-математических наук доцент Ильинский А.И/ХГУ,Харьков/

Ведущая организация - Институт химической физики п/о Черноголовка, Московская обл., Ногинский р-н.

Защита состоится " 5~" 1993 г« в 15й часов

на заседании специализированного Совета К 053.06.02 в Харьковском государственном университете по адресу:

310 077, Харьков, пл. Свободы, 4, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета.

Автореферат разослан "Л" уекайр-х 199% г.

Ученый секретарь специализированного Совета К 053.06.02 кандидат физ.-мат. наук, доцент

СБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теш. Отдал аз наибспее известных и вааных распределений за числовой прямой ¡R , наряду о гаусс овскнм распределением, является распределение Каш, т.е. распределение _/« с характеристической функцией

и плотностью

Это распределение возникает в целсм ряде задач молекулярной, атсгдной, ядерной физике, физике элементарных частиц, радиотехнике и электронике и др., и подробно исследовалось в различных аспектах (см., напр., монографии: Кагаа А.М., Ленник Ю.В., Рао С.Р. "Харак-теризационные задачи математической статистики"; Зсаотарёв В.М. " Ощсыврные устойчивые распределения"; Лукач Е. "Характернстичео-кне функции"; работы Й.И. ¿.¿.«¿^Р.й.Ки^^ и др.).

Распределением Кали в В?и называется распределение ум характеристическая функция которого имзет вад

= ехр /1 <х,у> - ]" | < % {>/ /ЦЫц/ (I)

£

где М(<1() конечная мера на сфере (- Н ^ .Это распределение возникает, в частности, в ряде задач фазшш, теории случайных матриц и др. (см,, напр., вышеупсшшутую шграфш В.М.Зсдотарё-ва]. Распределение Ксши в 3?", м >2, изучено существенно меньше чем на 3? , но, тем не менее, достаточно подробно исследованы некоторые подмнсаества множества распределений Ксши, а именно, типы следующих распределений с плотностями

_ й+1- А

(л +1/кг) а

*) типом игры называется мнскество сдвигов аетсыорфных образов этой меры.

и-Х

исследованво свойств которых посвящены рабсяы I.-Ь. Опием Í/. SemUem, F.û. киа^ Р. А/Че*er , Hassen^orclef ,

S.G. ù(K*t и др., при этом, в частности, важность этих типов определяется тем свойством, что они является единственными инвариантами при некоторых преобразованиях пространства .

В настоящее время значительно вырос интерес к вероятностным мерам на группах, при этда основное внимание уделялось либо общим свойствам безгранично делимых распределений, либо гауссовскиш распределениям (см., напр., монографии Х.Хейера "Вероятностные меры на локально компактных группах" и Г.М.Фельдмана "Арифметика вероятностных распределений ж характеризациашше задачи на абеле-вых группах".).

Что же касается других семейств безгранично делимых распределений, отличных от гауссовского, то на локально ксшактных абеле-вых сепарабельных метрических грушах (L С fi группах), эти вопросы почти не изучались. Отметим лишь, что Г. М. Фельдман см был предложен некоторый аналог распределения Кож на ЬСД группах (групповой аналог типа ъеры с платностью f4<x'j) и исследованы некоторые его свойства в случае когда размерность компоненты нуля равна единице (ill) .

С другой стороны, стимулирующее значение для изучения распределения Ксши на £ сfl группах является, поставленная в вышеупомянутой монографии Кагана A.M., Линника Ю.В., Pao O.P., задача построения теории равнораспределенности линейных ферм на алгебраических структурах.

эгшл определяется актуальность теш диссертации.

Цель исследования. Целью диссертациоыней, работы является: определение распределения Ксши на LCfl группах и исследование его свойств; решение ряда характеризационных задач для распределения Ксиш на группах.

Научная новизна результатов работы. В работе Г.М.йельдиана fil было предложено некоторое определение распределения Ксши на L С ft группах, а именно: распределение /V называется распределением Ci] «¿яьдмьш г.м.—"Рииирелдонк каш на абёяёшх грушах н eïo ' характеризация",- Докл. АН СССР, т.309, 1(1989), с. 46-49

Ксши, если его характеристическая функция представила в виде /»нц /- /Тщ 4 .гДе -квадратичная форма на ^ ,

шснсество которых обозначим через > и исследованы некоторые

его овойства в случае когда размерность компоненты нуля равна единице.

В диссертационной работе рассмааривается другое определение распределения Ксши на иСА группе, а именно: распределение /к называется распределением Каш, если - безгранично делимо и каждым характером переводится в распределение Ксши на тсре Т , при этсы псд распределением Каш на тсре понимается образ распределения Кади на Р при естественном гомоморфизме р. -Т Множество распределений Ксши на группе X обозначим через КГ)?) В работе показано, что К,,(Х)екЭД, при этом, как показал Зельд-ыан Г.М. СП . К<р(Х) - \СЩ т°гда и только тогда, когда размерность ксшсненты нуля не больше единицы.

В диссертационной работе ограничение на размерность компоненты нудя отсутствует и, крсмз того, рассматривается целый рад свойств распределений Коли, их множества КСХ), характеризационные теоремы для распределения Каш на ¡.СД группе X , которые, в случае когда X / йи. ранее не рассматривались.

Таким об разом, все основные результаты диссертации являются новыми.

Научное значение результатов работы заключается в тем, что

1. Введено определение распределения Ксши на ис/} грушах. Показано, что любое распределение Каш является сдвигом гомоморфного образа в линейном пространстве, исследованы его свойства и структура.

2.Получены необходимые и достаточные условия которым дашхна удовлетворять груша чтобы на ней были справедливы групповые аналоги классических характеризационных теорем для распределения Коти на вещественной прямей.

Методика исследования. Основными методами исследования являлись структурная теория локально компактных абелевых групп, теория двойственности Псшрягина и гармонический анализ на 1.СЙ группах (теория характеристических функций).

Основные пояснения вынесенные на защиту.

I. Шределение распределения Каш. Теорема о тем, что любое распределение Каш на группе является сдвигал гомоморфного образа

распределения Кспш в линейнсы пространстве. Списание всех групп для которых все распределения Каш характеризуются одним из своих свойств.

2. Структурные теоремы для распределения Каш.

3. Теп алогические свойства шс&ества распределений Ксвш.

4. Основная; характеризационная теорема дая распределения Каш.

5. Групповые аналоги характеризации распределения Ксши равнораспределенностью одночлена и линейной формы.

Апробация работы. Из л еженные в работе результаты докладывались на семинаре И.В. Островского в ХГУ, семинаре В.Я.Голодца в ХГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесн. статей С1-61.

ОЗъём работы. Диссертационная работа с ост сит из 139 страниц машинагисного текста. Ваблиография содержит 35 наименований.

Структура и содержание рабою. Диссертация состоит из введения я трёх глав. Во введении излагается постановка рассматриваемых вопросов, их история, основные результаты диссертации. В нулевой гааве излагаются предварительные сведения необходимые для понимания работы.

Первая глава посвящена определению распределения Каши на грушах в исследованию его свойств.

Во второй главе решается рад характеризацианных задач для распределения Каш на ¿.Сй грушах.

ОСНОВНЫЕ РВЗЖЬТАНЫ РАБШЫ.

На протяжении всей работы под группой X понимается сепера-бедьная, метрическая, абелева, лскалбно компактная груша, ^У* её груша характеров.

МНскество всех распределений на группе X обозначим через У^ОО- Пусть а ^¿У , через у (/*) обозначим образ

распределения р\ на одномерном торе Т под действием характера у , т.е. для любого бсредевскаго множества ЕсТ .

(Йсзначим через выревденное распределение сосредоточен-

вое в точке хе X - Шскество вырсвщенных распределений обозначим через Ь (X) . Через Т (X) обозначим множество сдвигов мер Хаара **« компактных подгрупп К группы X •

Распределение ум . называется безгранично делимым, если для любого и е А/ существует х„£ X и распределение уки , такие, что /к = /ч«,*11

Элемент х £ X называется неограниченно делимым, если V /Ч е А' 3 , , I х*Х - '"х-х

Обозначим через компоненту нуля группы X .

ШАВА I.

В § I вводится определение распределения Кссш. Пусть Х=Т - одномерный тор, тогда У - 2; • Распределением Ксши уи на торе будем называть образ распределения Кади на при естественней гомоморфизме й?/^ «-7* , т.е.

распределение ум с характеристической функцией

/мАСм) = едр/-, «¿О, Ч

Шскество распределений Ксши на торе обозначим через X (Т)

Определение. Распределение р* на группе X называется распределением Каш, если

1. к (Г) 1 \ZyfY.

2. уи - безгранично делимо.

Множество распределений Каш на группе X обозначвм через

Класс распределений Кади в совпадает с классом распре-

делений характеристическая функция которых пред ставима в ввде (I)

Рассмотрим топологическую группу тогда ецределение

распределения Кади сохраняет силу множество которых обозначим через К (в?"*). Шеет место разленение: если /ч^к^вз*') ,то ^М'Руцуио , где таково, что , ^е (8г")*

Пусть ¿ъекак11), Ч * оо , если ук таково, что /Л»>о то уч назовём симметричным. Через Кх(&'г) , 2 , обозначим шскество симметричных распределений Ксши в , тогда

К(вг)*ь(к2)*к*<в*) , г-^гсб (2)

Отметим, что б «77*; , , есдл и ТОпбко если, ха-

- в -

рактеристическая функция /шу не обращается в ноль при ¡/^У и удовлетворяет системе уравнений

Ач) = ГК'^Г .«¿А.^У

Введем обозначения:

КМ:> = Л мл;

/У

Основными результатами § I являются сведущие утверадения. Предл о к е н и е I. Пусть А7 - открытая подгруппа в У и ум„с Н*) . Тогда

Те орема1.("о линеаризации"). Пусть Х~ ~ Ч?у™а> ^оо- Тогда существует непрерывный гсысмсрфизм р: обладающий свойствам: Урек(%) 3 Х^еХ ЗМ с

Следующая теорема полностью списывает те группы, для которых условие 2 (безграничная делимость) в агредедении распределения Ксши вытекает из первого условия.

Те о р е м а 2. Следующее утвервдениа эквивалентна:

1. =

2. Группа X удовлетворяет сднсыу из условий:

(¿) любая ненулевая фактср-группа группы У содержит неограниченно делимый элемент. (¡1) С)с * Т

Из Тесреш I и (2) вытекает, что если /ь £ , то

* р(М') >Где /Ч'е К* (К1) . распределение на-

зовём симметричным, а их мнсаество обозначим через К4(Х),тогда

1<т--ых)* кЧх)

В § 2 изучается распределение Кали-федиера на группах, вве-

денное Г.М.Фелъдмансм fil .

Определение. Распределение ju на груше X называется распределением Ксши-геллера, если его характеристическая функция представила в ввде

где xfX .а У'У' - непрерывная неотрицательная функция на У удовлетворяющая уравнению

H'hi^J + f - Z[Wî)]

Множество распределений Ксшп-Феллера обозначим через Kç>00 Тогда К^(Х) с К(Х).Отетш, чго, как показал Г.М.Фельдман Ci] , i<f>(X) » KÎX) тоцца и только торца, когда th'tuCK ¿i

Предл о ж е н и е 2. Пусть груша X связна, d^X'f <*о Пусть p*t K<f> (X) , тогда yu и 0 либо взаимно абсолютно непрерывны, либо взаимно сингулярны.

Распределение ^ называется собственным делителем распределения ju , если ? Ф й(Х) и существует распределение DfX| такое, что ju Y . Распределение е< называется неразлаш-мым, если оно не ткет собственных делителей.

Предл ожениеЗ. Пусть ipynna X связна, ^¿►«Х1*' <•» тогда любое /ч £ К^ОО содержит неразлс&ишй делитель.

Предлокение з спирается, в частности, на сдедущую теорему

Те оремаЗ. Пусть р : Xi -*Хг - непрерывный гомоморфизм, а уи безгранично делимое распределение с мерой Лева F , тогда р(/*) - безгранично делило с мерой Лева р (F) .

Б § 3 исследована структура распределения Каш Спредпсиагаем чго оно не вырождено). -

Пре-дд окение 4. Пусть груша X связна, /ч £ КШ Тогда разложение Лебега меры уч не имеет дискретной калпсненты.

Предл о ж е н и е 5. Пусзъ xpynna X связна, но не локально связна. Если уче UCX) , то уч сингулярно.

Пусть X связна и локально связна, тогда если X ^ 50 то любое ум 6 КОО либо абсолютно непрерывно, либо сингулярно.

Если Л«иХ»«к> ,то X" £ кифТ*°, и построены абссямно непрерывное распределение /ч« «^(Х) на 7"° , и сингулярное распределение такое, что «-(^«Т00 (с^?) - носитель 9) .

Так как К (тО подполугруппа, то естественно возникает вспрос: зашшута ли сна, а если нет, то что является замыканием К (X) в М^Х) 1 Ответу на этот всцрос, а также анализу связи между КТ(Х) и \С(Х) посвящен § 4.

Обозначим через К0 00 подполугруппу, в ^ (X) соотсящую из распределений ввда

Н

где /4 = & , Р/ С % - непрерывные г ал ал ор-

физмы, г»17Й" .

Теорема 4. Класс IX) плотен, в тшсиогии слабой сходимости, в К (X) .

Если £/<«ч Сх $2 , то класс к^>(Х) не является базиссы в К00 , т.е. существует /»^КОН такое, что не представи-ма в виде конечной или бесконечной свёртки распределений у&г £

03 означим через Г* (X) Т 09 /1 К^Д) • Тогда *<к £ (X) если и только если подгруппа К связна.

Те оремаб. Для произвольной группы X верно равенство

КОГГ- КШ

Следствие. Класс КОС) замкнут в тспсяогии слабой сходимости тогда и только тогда, когда х £>и .

Те оремаб. Сй едущие утверждения эквивалентны:

1. ¡<00 =К«,<У)

2. В группе Сх* любые два не неограниченно делимых элемента зависимы.

ШАВА 2.

В § 5 доказаны групповые аналоги основной характеризациснной теоремы для распределения Ксши на К . Прежде чем её сформулировать введём обозначения:

'<и1ИгО<)=кЙ1<Х|ПКИ1СХ) , Г^ОО-ГГХЧЛК^СХ)

Тогда верш включения

Пусть Р - мнскество простых чисел. Обозначим через PCX) множество ь'аких чисел Р* , что группа С % не содержит элемента порядка р . 03 означим через ^

tun.r-2-; И Pi* Р1Х) Г

Пусть и4 , "г е Пару назовём делустимой, если

и - иррационально. Мнскество допустимых пар обозначим

через ft)

Как доказал Ю.ВЛннник, на числовой прямой JR справедлива следующая основная характеризацианная теорема для распределения Ксши.

Теорема Л . f («j,«,) * Я? КИ<И} Гй) = К (V?)

Замечание. Тесрецу й можно сформулирован, в терминах случайных величин оледующим образом: пусть (i - невыракден-ные независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением уч , тогда, если и^ и ^ .,равнораспре-делены при двух значениях и , nt^ и и-иг , таких, что

С* и щ>рационадьно, то /ч - распределение Каш.

Ооновнымн результатами § 5 являются следущие теоремы.

Те о р е м а 7. Пусть (<Лъ,*г)ёТП . Сйедумцие утверждения эквивалентны:

1. Kn^tXJ-I^^iXbKW

2. Jk*,«, tZ. : а) ИдЧиГ'б^^

<3) и^-и/' <1

Пусть /К5) - группа линейно зависимых (над "20 от у элементов в У , рассматриваемая в дискретной тсиодогии.

Те о р е и а 8. Пусть (¡ч,«»)«^. Сяедуйцие утверждения эквивалентны:

1. сХ) =

2. Дня любой связной подгруппы Ха^Х существует такой, что удовлетворяет условию 2 Теоремы 7.

Те о р е м а 9.Для произвольней группы X верны равенства

М1(Х) * К(Х)

_ (»Ч.и^е)«

= |<<Х)

В § 6 доказаны некоторые групповые аналоги характеризации распределения Ксши на числовой прямой равнораопредеденностью одночлена а линейной статистики.

Множество й' / ^ целых чисел называется дшустишм

для Группы X .если X ( ¿--¿Г¡(Х'^/иМ) .где /„м*"*)

СИ означим через Т^Х) оовоокупность дшустимых для группы

X мнокеств , , удовлетвершщих условию:

"л,..., - взаимно просты и

где, по крайней мере, одна пара чисел I ^г I ~г1

1 Цо I 5 ' * Но 1

несоизмерима.

Полским Ъ'НОК^ЩГщ]^ >т>е. е(ЯШ /}етю

и « делится на р" , р*Р , тона р* делятся число

<1/ 6 Л , при этем «с и Я взаимно просты. Обозначим через ,4 (а) множество простых делителей числа я .

Пусть Де ЖХ). Обозначим через (X) мнскество распределений" удовлетворяющих уравнению

А 5 *

/и(а^) =

Полоши: 1Л(Х) = Г(Х)Л Кл IX) } Ол«)-Ь«)ЛКл(Х)

1</(Х) -{/не КА ОС) ; рпу

(Невидно, верш включения

^оо« к4(Х)«=к/ш

Озновной в спрос: когда верны раведства

«А(1СЫ^СХЬк^Х) (з)

к/(Х) = 0/)(Х)* к*гх) (4)

Как доказал Ю.ВЛшник, если = , то верны равенства (3) и (4) (в терминах случайных величин этот результат можно сформулировать следующим образом: пусть

^ ,5^2,- независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением р , тогда, если линейные формы «с^ и +„,*■ 'Н , где £ У?Ш) , одинаково распределены, то ^ - распределение Кали).

Для произвольных групп псяучены следующие основные результаты.

Те о р е м а 10. Для того чтобы на группе X выполнялось равенство (3) для /? е Л(Х), не обходимо чтобы выполнялись условия:

1. Для любой кшпактной подгруппы к <= X > дая которой К'"-'= К , К* не содержит элемента порядка ре А •

2. £е$(Х) , т.е. /

Замечание. Если группа X удовлетворяет условию I Тесреш 10, то для любой компактной подгруппы К<?Х .такой что КГг(,,| = К , гомоморфизм /д : К -> X , .является автоморфизмом группы

К и, в части ости, группа X не содержит элементов порядка р £Д

Те о р е м а II. Для того чтобы на группе X имело место равенство (4) для й еТ? С К) , необходимо чтобы выпсинялись условия:

1. X не содержит элементов порядка р^Д(д).

2. Для любой связной псдхруппы группы X , группа X* содержит элемент такой, что

<4

* к*,..., к« е 5 Щ& *ГУ (>°)

1

Те о р е м а 12. Для того чтсх 1 при некотором е ШУ,) имело место равенство (3), необхсц -ло и достаточно, чтобы груша X удовлетворяла условию:

I. Р1Х)Ф0

Те ор е м а 13. Для того чтобы на груше К имело место равенство (3) при шобсм Й £ #00 » необходимо и достаточно, чтобы 1руппа X удовлетворяла одному из условий:

1. X х К Ь , и ь О , в _ дискретная груша без кручения.

2. Л'^'/б?/ , где р -простое число.

Отметим, что Теорема 12, в случае когда 1, доказана

Г.М.Фельдманш Г4.] , а сами Теоремы 12 Ш 13 аналогичны соответствующим теоремам для гауосавского распределения (см. вышеупомянутую монографию Г.М.Фельдмана).

полшим:«^^)-^^«) _ 1А„ш~та)/\кЙяа)

Отметим, что если груша X не конечного порядка, то »4,61, (}П

I/ * Я"*1

если и только если, груша к связна.

Те о р е м а 14. Сйедушдие утверждения эквивалентны:

2. Су* состоит из неограниченно делимых элементов.

I И 1 Е т У Р А.

1. Габриелян С. С. О распределении Кади на абелевых группах.-ДсповШ АН Укра1ни, 9(1990), с. 12-13.

2. Габриелян С. С. О распределении Кали на абелевых группах.-деп. в ВИНИТИ, 1991, № 3779-В91, с. 1-21.

3. Габриелян С. С. О характеризации распределения Каш на абелевых грушах.- ДотовГдГ АН УйраГни, 10(1991), с. 43-45.

4. Габриелян С. С. О характеризации распределения Каш на абелевых группах.- дел. В ВИНИТИ, 1991, № 4140-В91, с. 1-21.

5. Габриелян С. С. О распределении Ксши, в смысле Урбаника, на абелевых группах.- деп. в ВИНИТИ, 1991, & 4641-В91, с. 1-16.

6. Габриелян С. С. К характеризации распределения Каш на абеле-

вых группах.- Динамические системы и комплексный анализ, Киев, Наукова Думка, 1992 г. „ с. 163_ 168.

ГАЕРИ01ЯН СААК САРКИССИН

Ответственный за выпуск и.о. руководителя отдела 8« 25 доктор физико-математических наук Г.М.Фельдман

Подписано к печати 8.12.92 заказ й 167.Объём - I усл.п.л. Тираж 100 экз.

Ротапринт ФТИНТ АН 7краины, ЗЮ 164, ХаРьков-1б4,прЛенина, 47