Распространение упругих волн и резонансные эффекты в слоистых материалах с дефектами

Голуб, Михаил Владимирович

Распространение упругих волн и резонансные эффекты в слоистых материалах с дефектами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Голуб, Михаил Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Распространение упругих волн и резонансные эффекты в слоистых материалах с дефектами»

Автореферат диссертации на тему "Распространение упругих волн и резонансные эффекты в слоистых материалах с дефектами"

На правах рукописи

ГОЛУБ Михаил Владимирович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН И РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ С ДЕФЕКТАМИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2007

003056862

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования „Кубанский государственный университет"

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Глушкова Наталья Вилениновна

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор

Ватульян Александр Ованесович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Ратнер Светлана Валерьевна

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Институт проблем машиноведения РАН, г. Санкт-Петербург

Защита состоится 11 мая 2007 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета Д212.101.07 при ГОУ ВПО „Кубанский государственный университет", 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО „Кубанский государственный университет".

Автореферат разослан 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного сове'

Евдокимов А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование дифракции упругих волн на внутренних препятствиях имеет большое значение для ультразвуковой дефектоскопии, сейсмологии, геофизики, медицинской томографии и многих других областей науки и техники. Анализ структуры отраженного и рассеянного поля дает информацию как о внутренней структуре зондируемого материала, так и о самом препятствии (дефекте).

К наиболее опасным относятся трещиноподобные дефекты, так как при статическом или динамическом воздействии у их краев происходит рост напряжений, приводящий к неконтролируемому росту трещины и катастрофическим разрушениям. Практически все конструкции содержат дефекты типа трещин, наличие которых существенно ухудшает их прочностные свойства. Таким образом, изучение взаимодействия упругих волн с внутренними и приповерхностными трещинами является актуальной проблемой как с точки зрения дефектоскопии, так и для оценки возможного разрушения.

Известно, что резкий рост динамических напряжений происходит только на определенных, резонансных частотах, зависящих, от размеров, формы и расположения дефекта, а также от упругих свойств и строения волновода. В силу данного свойства проявляться только при определенных условиях такие скрытые дефекты получили название вирусов вибропрочности (В.А. Бабешко, 1994 г.). Тем самым актуальной является задача исследования конкретных резонансных характеристик дефектов различных типов.

Наряду с ростом коэффициентов интенсивности напряжений, резонансный отклик может сопровождаться захватом и локализацией волновой энергии в окрестности дефектов в форме ловушечных мод (trapped modes). Изучение механизма возникновения ловушечных мод в различных системах также является современной актуальной задачей, привлекающей интерес широкого круга исследователей.

Результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены в ходе выполнения научного плана Кубанского государственного университета, ряда проектов РФФИ и международного проекта INTAS, что также указывает на актуальность темы исследований.

Цель работы:

1) разработка эффективной математической модели, описывающей распространение упругих волн в слоистых волноводах и их дифракцию как на горизонтальных интерфейсных, так и на наклонных полосовых прямолинейных трещинах;

2) разработка методов решения и их реализация в виде пакета программ, обеспечивающих быстрый параметрический анализ волновых и энергетических характеристик;

3) анализ зависимости характеристик прохождения и отражения нормальных мод от размеров, расположения и ориентации трещины, а также от частоты колебаний и параметров волновода;

4) определение динамических коэффициентов интенсивности напряжений и исследование их зависимости от указанных факторов;

5) изучение резонансных и блокирующих свойств полосовых трещин в слоистых волноводах, а также исследование спектральных свойств упругих волноводов, содержащих внутренние полосовые трещины, и характер локализации волновой энергии на частотах собственных колебаний.

Методика исследований. С помощью интегральных преобразований проблема анализа волнововых полей в упругих волноводах с внутренними полосовыми трещинами сводится к интегральным уравнениям. Их решение в общем случае строится по схеме Галеркина. В случае горизонтальных трещин это интегральные уравнения Винера-Хопфа, которые могут быть сведены к бесконечным алгебраическим системам (решение представляется в виде суперпозиции нормальных мод). Точки спектра соответствующей краевой задачи аппроксимируются корнями характеристического уравнения линейной алгебраической системы, к которым интегральное уравнение сводится при дискретизации. Они определяют частоты, на которых происходит захват и локализация энергии, проявляющиеся в образования энергетических вихрей с высокой плотностью циркулирующей в них энергии. Для анализа распределения энергии привлекается понятие осредненной плотности потока энергии гармонических колебаний и строятся линии тока энергии.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. На основе интегрального подхода построена и реализована в виде пакета программ математическая модель, описывающая процессы распространения упругих волн и их дифракцию на полосовых трещинах произвольной ориентации в слое, полупространстве или пакете слоев, включающая в себя описание волнового поля источника, решение задачи дифракции и анализ волнового поля для всего волновода в целом.

2. Метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений применен к задаче о дифракции упругих волн на горизонтальных интерфейсных трещинах, предложены различные схемы регуляризации получающихся систем.

3. Для построенной модели разработаны и реализованы в виде пакета программ алгоритмы построения линий тока энергии, определения коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения и отражения, а также определения резонансных полюсов в комплексной плоскости частоты.

4. Изучены два механизма блокирования прохождения трещиной рэлеевской волны (резонанс и гашение в противофазе), для резонансного блокирования трещиной набегающих упругих волн выявлены захват и локализация энергии.

5 Для широкого диапазона изменения размеров и глубины залегания трещины проанализирована зависимость характеристик отраженных волн от вида падающего поля, соотношения упругих свойств волновода и частоты колебаний.

6. Получено распределение резонансных полюсов рассеяния в зависимости от геометрии трещины и проанализировано их влияние на прохождение и отражение упругих волн, а также на коэффициенты интенсивности напряжений.

7. Обнаружены чисто вещественные точки дискретного спектра в задаче о гармонических колебаниях слоя, ослабленного горизонтальной трещиной, построены соответствующие им собственные формы колебаний, описывающие локализацию волнового процесса.

На защиту выносятся

1) разработанные математические модели для дифракции нормальных мод в однородном упругом волноводе с полосовой трещиной произвольной ориентации и двухслойном волноводе с горизонтальной интерфейсной полосовой трещиной;

2) методы решения интегральных уравнений в применении к задачам о дифракции упругих волн на полосовых интерфейсных и наклонных трещинах;

3) результаты исследования структуры линий тока энергии, коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения и отражения нормальных мод, а также выявленные закономерности распределения резонансных полюсов рассеяния в зависимости от геометрии полосовой трещины и ее положения в волноводе;

4) факт наличия чисто вещественных точек дискретного спектра в задаче о гармонических колебаниях слоя, ослабленного горизонтальной трещиной.

Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью их использования при решении широкого круга актуальных проблем дефектоскопии материалов и соединений, акустоэлектроники, геофизики, сейсмологии и машиностроения.

Работа выполнена при поддержке администрации Краснодарского края, фонда поддержки науки, культуры, образования и здравоохранения О. Дерипаска "Вольное дело", Российского фонда фундаментальных исследований (проекты No. 03-01-00520, 04-01-00801, 06-01-96607, 03-01-96618-р2003-а), гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов вузов федерального агентства по образованию А04-2.10-838 и гранта Международной ассоциации INTAS (проект No. 05-1000008-7979).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics "(St. Petersburg, 2004), 2nd Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena (Vaxjo, Sweden, 2005), International Workshop "Research in Mechanics of Composites 2006"(Bad Herrenalb, Germany, 2006), IX и X международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды"(г. Ростов-на-Дону, 2005-2006), VII международной

конференции "Mathematical Problems of Mechanics of Non-homogeneous Structures" (Львов, Украина, 2006), международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики"(Харьков, Украина, 2006), всероссийской конференции "Волновая динамика машин и конструкций "(Нижний Новгород, 2004), заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края "р2003юг"(Сочи, 2005), V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела"(Саратов, 2005), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), а также на семинарах кафедры численного анализа КубГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы общим объемом 133 страницы, включающим в себя 57 рисунков и 130 наименований литературных источников.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 работ, основные из которых приводятся в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, обсуждается ее актуальность и обзор достижений в изучаемой предметной области, формулируется цель и указываются основные этапы исследования.

На практике, прежде чем решать вопрос о возможности развития трещины, необходимо сначала определить ее геометрию, то есть форму и ориентацию в пространстве. Эффективная идентификация дефекта по измеренным на поверхности рассматриваемого тела полям составляет предмет дефектоскопии. Такие задачи относятся к классу некорректных задач математической физики, для решения которых производится замена некорректно поставленной задачи близкой ей корректной, использующей дополнительную информацию о решении (В.Я. Арсенин, Ю.И. Бобровницкий, А.О. Ватульян, А.Н. Тихонов).

Зачастую при решении обратных задач используется решение прямых задач. Среди численных методов решения задач с трещинами выделяют такие, при которых решаются уравнения теории упругости в трехмерной постановке, и такие, в которых уравнения предварительно сводятся на границу тела и затем уже решаются граничные уравнения (метод граничных интегральных уравнений). К числу первых относятся

метод конечных разностей и метод конечных элементов (МКЭ), получивший наибольшее распространение в инженерных приложениях и продолжающий активно развиваться. Ко второй группе относятся метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностный метод и др. МГЭ по сравнению с МКЭ приводит к системам меньшей размерности, поскольку дискретизируется только поверхность тела. В то же время он приводит к более сложным сингулярным интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям. Однако МГЭ позволяет более эффективно решать задачи динамики как для плоских, так и для криволинейных трещин.

Применение метода граничных интегральных уравнений с дискретизацией скачка смещений берегов трещины по ортогональным полиномам позволяет исследовать трещины круговой формы: в работах S. Krcnk и Н. Schmidt было изучено рассеяние объемных волн, падающих на круговую трещину под произвольным углом. A. Böstrom, Р. Bövik, S.K. Datta, A. Eriksson и T. Kundu, представляя решение в виде суперпозиции сферических волн, построили решение задач о колебании двух круговых трещин и группы трещин. При анализе колебаний прямоугольных трещин L. Guan и A. Norris, а также S. Itou использовали аналогичную схему. При рассмотрении дефекта произвольной формы J.D. Achenbach, D. Budrck, L. Кеег, W. Lin использовали сеточную аппроксимацию, главный недостаток которой - наличие многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами, возникающих при дискретизации.

Хорошо разработанный математический аппарат позволил решить ряд спектральных задач для внутренних трещин. Для дифракции на пространственных трещинах к настоящему времени значения резонансных частот для круговых и эллиптических трещин получил A.S. Eriksson, а для трещин сложных форм С. Alves, A.B. Капцов и Е.И. Шифрин, Е В. Глушков и Н.В. Глушкова. Помимо практических приложений анализ колебаний бесконечно протяженных тел с внутренними или поверхностными неоднородностями на резонансных частотах представляет и чисто научный интерес с точки зрения изучения спектральных свойств краевых задач и соответствующих сингулярных интегральных операторов. Волновые явления, связанных с такими собственными решениями, известны под названиями резонанса неоднородных волн, собственных решений, соответствующих изолированным точкам спектра, вирусов вибропрочности, ловушечных мод и np.(F. Ursell, D.V. Evans, С.M. Linton, B.A. Бабешко, И.И. Ворович, Д.А. Индейцев и др.).

В диссертационной работе рассматриваются задачи об установившихся гармонических колебаниях волновода толщины Я (при И — ос - полуплоскость) с полосовой трещиной ширины 2а и изучаются спектральные свойства таких волноводов. Полученные гармонические решения «(х,ш) могут быть использованы далее как частотный спектр решения соответствующих нестационарных задач:

и(х,1) - -Не [(1) к I

Трещина моделируется разрезом нулевой толщины, на берегах которого терпят разрыв перемещения. Рассматриваются двухслойный волновод с интерфейсной горизонтальной трещиной на стыке слоев (рис.1а) и однородный слой, содержащий трещину, образующую с поверхностью волновода угол в. в общем случае отличный от пулевого (рис. 16).

Рис. 1. Геометрия задачи. Двухслойный иол новой с интерфейсной горизонтальной полоеотгай трещиной (а), однородный слой с наклонной полосоиой трещиной (б).

Для построения решения указанных задач предварительно строятся поля смещений и напряжений, возникающих в однородном Слое без трещины под действием некоторых нагрузок, приложенных к его поверхностям. 11оэтому первая глава носит вспомогательный для последующего изложения характер. Здесь рассматривается обобщённая постановка динамических краевых задач теории упругости и формулируются принципы, обеспечивающие его единственность.

В линейной теории упругости перемещения, деформации и напряжения связаны уравнениями движения

, д Ч av,i h ~ Р Qt2 '

которые для гармонических колебаний в отсутствии объемных сил сводятся к уравнениям Ламе относительно комплексной амплитуды м(х):

(А + M)Vdiv u + /tAu + pu2 u = 0. (2)

Решение для упругого слоистого волновода строится с помощью интегрального преобразования Фурье. Схема построения поля перемещений и напряжений для однородного упругого слоя и полуплоскости и обсуждение необходимых для дальнейшего изложения дисперсионных свойств волноводов также приводятся в первой главе.

Во второй главе рассматриваются установившиеся гармонические колебания u(x,z) упругого изотропного двухслойного волновода, занимающего область {|х| < оо, ~Н < z < 0} и вводятся необходимые в дальнейшем характеристики. Нижний Si — {|ж| < сю,-Я < z < -d} и верхний S-2 = {|*| < оо,—d < z < 0} слои предполагаются жестко сцепленными, что обеспечивается условием непрерывности перемещений и напряжений при переходе от одного слоя к другому. Волновод со свободной от напряжений нижней границей г = —Н содержит горизонтальную полосовую трещину П = {|я| < a, z = —с?}, на берегах которой терпят разрыв перемещения и и отсутствуют напряжения т = {т12,<722}, связанные с перемещениями посредством оператора напряжений Т. т = Tu.

На поверхности волновода в Пц = {z = 0, \х — < Ь} располагается источник гармонических колебаний qo(cc)e~'u,<, остальная часть волновода свободна от напряжений (далее гармонический множитель e~ÎWt). Заданная нагрузка т(х, 0) = Чо(^) возбуждает в волноводе без трещины поле «о- Рассматривается также набегание на трещину нормальных мод, приходящих из бесконечности: в этом случае qo(x) = о, а щ берется в форме бегущей волны с волновым числом Q :

u0{x,z) = ak{z)é^x. (3)

Колебания волновода с интерфейсной трещиной представляются в виде суммы поля uq и отраженного трещиной поля «с Интегральное

представление для и0 имеет вид:

щ(х, z) = i- J К(а, z)Q0{a)e-mxda. (4)

Здесь Qo(a) = Тх [qo(.T)] — Фурье-символ напряжений, заданных на К(а, z) матрица Грина двухслойного волновода,

[ Kt(a, z) + К\{а, z)L(a)Kï(a, -d), -d < z < 0, K[a,z) = <

[ K£(a, z)L(a)Kf(a, -d), -H < z < -d,

L{a) = -d) - K{(a, -d))~\

где К* - символы матриц Грина слоев толщиной du H — d, верхний индекс соответствует верхней (+) и нижней (-) поверхностям волновода.

Рассеянное трещиной поле ис также удовлетворяет уравнениям Ламе (2) и не нарушает условия отсутствия напряжений тс на верхней и нижней границах. Кроме того, оно должно быть построено таким образом, чтобы берега трещины Q были свободны от напряжений:

(то + тс) = 0. (5)

Добиться выполнения условия (5) можно выбором скачка смещений на берегах трещины

V = u|z=_rf_0 -«U-rf+O-

Для ис как для поля смещений, создаваемого напряжением между слоями, выводится интегральное представление через матрицы Грина К{ и Фурье-символ скачка V = Tx[v\.

ис(х, z) = ± / Ща, z)V(a)e~toxda, (6)

f Kr(a,z)L(a), -d < z < 0 N(a,z) = <

( K£(a, z)L(a), -H < z <-d

Применение к интегральным представлениям (4) и (6) оператора напряжений и последующая подстановка в условие отсутствия напряжений на трещине (5) приводит к интегральному уравнению Винера-Хопфа относительно неизвестной функции раскрытия берегов трещины v:

£v = Jl{x-Qv(Ç)dÇ = f(x), |x|<a, (7)

—а

с гиперсингулярным ядром

1(х) = i- f L(a)e~iaxda 2тг J;

и правой частью

f(z) = -r0|2=-d •

Далее рассматривается распределение волновой энергии. Полученное решение должно удовлетворять закону сохранения энергии, согласно которому средняя за период колебаний энергия, поступающая в среду от поверхностного источника колебаний Ео, должна быть равна суммарной энергии, уходящей на бесконечность через боковые сечения влево Е~ и вправо Е+ от источника колебаний. Численная проверка этого условия, также как и граничных условий, является главным критерием корректности проводимых расчетов. В этой главе вводятся коэффициенты распределения энергии нормальных мод ц* = E±/Eq, а для полуплоскости также и коэффициент трансформации энергии в объемные волны /¿„ = Еи/Eq, для определения которого значение энергии объемных волн Ev получается интегрированием вектора плотности потока энергии по нижней полуокружности.

При рассмотрении дифракции на трещине набегающих волн вводятся коэффициенты прохождения и отражения к*. Различие между к± и можно пояснить простым примером: в волноводе без дефекта для поверхностного источника = 1/2, а коэффициенты прохождения и отражения нормальных мод соответственно к+ = 1 и к~ = 0 и Е0 -энергия, переносимая волной и вида (3). В этой же главе определяются коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) которые связаны с наличием точек геометрической сингулярности, которыми являются края трещины.

Третья глава посвящена методам решения интегрального уравнения (7). Проводится сравнение областей их применимости и эффективности. По схеме Галеркина неизвестный скачок смещений берегов трещины аппроксимируется рядом базисных функций Рк(х), который затем редуцируется

v{x) « vN(x) = £ cLpk(x). (8)

k=(l

Неизвестные коэффициенты разложения сд. определяются из решения

системы линейных алгебраических уравнений

£ а1кск = й, (9)

ы о

Щк = (Срк, 4>1)ьг[-а,а) ^ = (/. <МХ))х,2[-а,а] ■ Рассматривается сведение граничного интегрального уравнения относительно скачка смещений к бесконечной алгебраической системе и возможные способы ее регуляризации. Суть метода заключается в том, что неизвестная функция V на отрезке |а:| < а раскладывается по нормальным модам (собственным функциям). После применения преобразования Фурье интегральное уравнение переводится в функциональное уравнение относительно V. Условие отсутствия особенностей у целой функции V приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Первый способ регуляризации заключается в разложении неизвестной функции по полиномам, учитывающим особенности поведения перемещений в окрестности краев трещины. Второй способ предполагает использование асимптотики неизвестных коэффициентов, зависящих от характера сингулярности решения на краях трещины.

В конце главы приводятся результаты тестирования комплекса программ, реализующих предлагаемые методы, тестовое сопоставление с известными результатами и сравнительный анализ каждого из них между собой и с МКЭ. Преимуществами использования метода Галеркина в сравнении с методом бесконечных систем являются отсутствие необходимости вне независимости от размера трещины 2а, глубины ее залегания в, и круговой частоты ш вычислять большое количество полюсов, а также меньшее количество неизвестных. Кроме того, на малых частотах метод Галеркина более точно рассчитывает поля в дальней зоне. К недостаткам можно отнести увеличение количества базисных функций одновременно с ростом полуширины трещины и частоты, а также необходимость вычисления контурных интегралов а^.

Наконец, указывается способ определения резонансных частот и>„. В случае использования метода Галеркина, задача сводится к системе (9) относительно вектора коэффициентов разложения с = (с],сг,..,Сдг)т, с матрицей А = и правой частью £ = (^Дг,..,^). Резонансные

полюса шп (точки спектра интегрального оператора С) аппроксимируются

корнями характеристического уравнения

<МА(ш) = 0. (10)

Соответствующие точкам дискретного спектра собственные решения и„ выражаются через обобщенные собственные векторы с„, которые удовлетворяют уравнению (9) с правой частью f = 0.

В четвертой Главе исследуются волновые явления, возникающие в волноводе при дифракции упругих яолн на горизонтальной трещине в полуплоскости и слое. Анализируется влияние места, приложения поверхностной нагрузки на ¡вид отраженного трещиной поля.

Рис, 2. Линии уровня поверхности коэффициента прохождения ii) для рэлееиекой РОЛИК, избегающей на трещину. В ceptvi.nn« рисунка на черном фоне белым цветом обведены области, пиутри которых < 0.01, а внутри последних белым же цветом закрашены области, внутри которых к1 < 0.001.

Анавизируется дифракция на горизонтальных трещинах воли Рэлея в том числе и при различных коэффициентах Пуассона v (см. к+(и>, d) на рис. 2). Независимо от и на поверхности «+(aj,d) имеется значительная область, и которой к+ <g: 1. В этой области имеются точки, в которых коэффициент прохождения обращается в нуль, т.е. набегающая рэлеевскн.я волна гасится за счет того, что поле ис возбуждается в противофазв с Wij- Рис. 3 иллюстрирует одну из тех ситуаций, когда рэлосвская волна экранируется полностью (Zï+ = 0), а переносимая сю энергия отражается и трансформируется в энергию объемных волн.

Рис1. 3. Резонансное блокирование набегающей на трещину слепи рэ^еенской полны — 1.945. <} -- 0.2Ш (С) общий план линий тока энергии; (а) - увеличенный план окрестности трещины; (в) поверх г I ость амплитуды плотности потока энергии \е[х,?,)\.

ю -5 о I , ю

Рис. 4. Полное не резонансное гашение набегающей слева на трещину рал те некий волны (и = 3.508, <1 - 0.333): (а) линии тока энергии; (б) линии уровня плошостн потока энергии |е{.-Е, г)|.

Совместный анализ коэффициентов трансформации коэффициента отражения и прохождения рэлеевской волны указывает на то, что колебания трещины на частотах, близких к резонансным, преимущественно трансформируют рэлеевскую волну в объемные волны. Поверхность к+(ш,с1) имеет также многочисленные узкие и глубокие провалы (каньоны), появляющиеся, если частота колебаний и) близка к комплексной резонансной частоте и„. Дно таких каньонов не касается плоскости к+ = 0, хотя именно в этих точках плоскости (и, й) достигается максимальное значение к~. На рис. 4 приведены линии тока энергии, для одной из точек, взятой на дне таких каньонов, соответствующей резонансному блокированию рэлеевской волны.

На поверхности КИН ¿0 нет аналога широкой котловины,

имеющейся у к+(ш,<1), однако поверхность с0 также имеет

характерные неровности, связанные с близкими к вещественной оси резонансными полюсами и>п. Но это уже не каньоны, а протяженные холмы, проекции которых накладываются на проекции каньонов к+{ш,(1). По мере того как 1ти>п —> 0, сужаются каньоны поверхности к+(ш,с1) и соответственно холмы поверхности ¿^(ш, (1). Следует также отметить, что при с? —» 0 точки спектра и>п практически выходят на вещественную ось.

Рис. 5. Зависимость от глубины расположения трещины й ближайших к вещественной оси полюсов Г1еа>п(с0 и 1то>„(й) при а = 1.

Наличие дополнительной границы у слоя усложняет анализ волновых процессов (увеличивается число независимых параметров за счет

размера трещины 2а). Если в случае полуплоскости резонансные полюса и>п с ростом (I монотонно удаляются от вещественной оси 1пш - 0, то в случае слоя траекторий заметно меняют свой вид (см., например ш„{с1) при а = 1 на рис. 5), На интервале 0 < с1 < 1/10 поведение полюсов для слоя во многом идентично случаю Н = оо. здесь мнимая часть резонансных полюсов монотонно убывает, а вещественная соответственно возрастает (исключение составляет ). Приблизительно при Н -■= !/4 достигается минимум 1тш„(с!) для всех приведенных полюсов кроме ш7, и дальше все полюса уже приближаются к вещественной оси, а при с1 = 1/2 резонансные частоты располагаются ближе всего к дарственной оси.

Анализ влияния полуширины трещины а на спектр краевой задачи при различной глубине показал наличие двух групп резонансных частот. Траектории изменения вещественной части Яе^,, полюсов первой группы близки к гиперболам, а мнимая часть при а > 3/2 прижимается к оси Гтт1 - - 0. Они не пересекаются межлу собой, но зато их пересекают траектории движения резонансных частот второй группы, мнимая часть которых зачастую изменяется по закону, близкому к синусоидальному

Рис. 0. Амплитуды собстнеииой формы колебаний г)\ слоя с горизонтальной срединной трещиной полуширины а —■ 1.39 на частоте ш4 — 2.16"),

Часть полюсов обоих типов касаются оси 1гпш 0 в

некоторых тачках, становясь чисто вещественными. Для таких значений параметров {и,а,<1. П — 1) имеет место случай смешанного спектра (с точкой дискретного, лежащей на непрерывном вещественном спектре),

предсказанный И,И. Воров и чем. В качестве примера на рис. б приведена поверхность амплитуды собственной формы колебаний и(х,г) для одной из спектральных точек, показывающая характер локализации волнового процесса вокруг трещины в этом случае.

-0.2

-0.4

а)

-0.6

-0.8

0.08

б)

[¡#,¡5)1

Рис. Полное блокирование энергии от вертикальной нагрузки Щ = {0,+ 5)} (а = 1.49, ш = 0.963, & — 0.399, < 10~6): (а) ■ линии тока энергии; (б) линии уровня плотности потока энергии е(.т.

Зависимости (¡) для слоя также представляют собой

поверхности с ярко выраженными узкими провалами, идущими вдоль линий, вычерчиваемых на плоскости Щ,щ вещественными частями спектральных точек 11еа>„(^) (рис. 5). Установлено, что минимум к+ достигается на самих траекториях Яси,,.^), и чем ближе и>п к вещественной оси, тем каньоны уже и глубже. Дно таких каньонов может достигать плоскости = 0, то есть в слое также возможно полное блокирование бегущих волн трещиной, которое имеет резонансную природу и сопровождается образованием энергетических вихрей, полностью перегораживающих слей (рис. 7).

Установившиеся гармонические колебания и упругого свободного слоя {|х| < оо;—Я < z < 0} с полосовой прямолинейной трещиной, образующей угол 9 с поверхностью волновода, рассматриваются в пятой главе. Для волновых полей выводятся интегральные представления, и проблема построения решения и в слое с наклонной трещиной также сводится к определению неизвестного скачка смещений берегов трещины v. Прямая подстановка интегральных представлений для волновых полей в условие отсутствия напряжений на берегах трещины, записанное в локальной системе координат, приводит к интегральному уравнению

£i«(a:i) + jC2v(xi) = f(xj), Ы < а, (11)

где в правой части

ffai) = ~To(a:i, ~d), |a:i| < а.

Первый интегральный оператор с разностным ядром соответствует рассеянному трещиной полю щ:

—а

а второй - переотраженному между поверхностью и трещиной г^:

—а

Интегральное уравнение (11) решается по аналогии с (7) по схеме Галеркина путем дискретизации скачка перемещений (базисные функции и проекторы - полиномы Чебышева 2-го рода). Коэффициенты разложения С); определяются из системы уравнений

£ (4 + 4) с, = fb (12)

к=О

ah = (¿lPk, <Pi)l2, afk = (CiPk, ¥>i)l2-

Анализируются блокирующие свойства трещины и распределение резонансных частот, определяемых условием (10), при повороте ее на угол в. Оказывается, в относительном масштабе Rewn мало зависит от в, в то время как все |Im wn|, кроме о>з, увеличиваются с ростом 9, т.е. при наклоне трещины и>п(в) удаляются от вещественной оси.

Резонанс горизонтальной трещины в слое связан с локализацией волновой энергии в прямоугольных блоках между дефектом и

поверхностью волновода, тогда как при наклоне трещины зона возможной локализации волновой энергии сильно расплывается и вероятность резонанса резко уменьшается при наклоне дефекта. Численный эксперимент показал ожидаемое удаление спектральных точек первого типа от вещественной оси и убывание |1тиц| (полюс второго типа) с увеличением угла между поверхностью и трещиной .

О 0.2 0.4 0.6 и.Х 0.8 1.6 3,4 2.2 4

Рис. 8. Линии уропш: коэффициента прохождения с1) (н,,и) и КИ11 /г/ (ш, (I) (б,г)

дня набегающей кулевой антисимметричной нормальной моды во (а,б) и набегающей нулевой симметричной нормальной моды «о (в.г).

При набегании на горизонтальную трещину нулевой антисимметричной моды Оо блокирование наблюдается только в окрестности иол юса Шд второго типа. При Набегании же нулевой симметричной моды «о, наоборот, блокирование происходит на всех и)„ первого типа. Интересный эффект наблюдается при наклоне трещины уже при в - 4.5° вее "спящие"до этого гюлюеа первой группы дают резонансное блокирование моды а(1, тогда как «з никак не проявляется на графиках КИП и в этом случае.

Дополнительную информацию дают поверхности к+(0,и>) и kf(6,u)), построенные для тех же набегающих фундаментальных мод ао и so На рис. 8 эти поверхности показаны линиями уровня и шкалой оттенков серого цвета. Темным зонам на рис. 8а, 8в соответствует режим запирания волновода, а на рис. 86 и 8г - рост КИН. Результаты, приведенные на рис. 8а, 86 показывают, в частности, что резонансное блокирование за счет полюса сиз, как и рост КИН за счет полюсов первого набора, прослеживается примерно до в = 15°. В то же время, проявляющиеся не сразу блокирующие свойства первого набора сохраняются вплоть до в — 30°, когда поперечное сечение волновода полностью перекрывается наклонной трещиной (asin0 = d).

В зависимости от типа резонансной частоты изменяется и амплитуда вертикальных поверхностных перемещений. На частотах первого типа амплитуды колебаний при небольшом наклоне трещины возрастают непосредственно над трещиной. Для колебаний на резонансных частотах второго типа характерно плавное затухание колебаний поверхности без локализации над трещиной. Численные эксперименты показывают, что в некоторых случаях трещина может оставаться прозрачной для прохождения волновой энергии даже при перегораживании до 95% толщины слоя.

В заключении дана краткая сводка основных результатов, указано их научное и практическое значение.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование и локализация энергии в упругих слоистых волноводах с дефектами // Акустический журнал. 2006. Т. 52. Вып. 3. С. 314-325. '

2. Glushkov Е., Glushkova N., Golub М., Bostrom A. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack // Journal Acoustical Society of America. 2006. V. 119. N. 6. PP. 3589-3598.

3. Glushkov E., Glushkova N., Golub M. Real natural frequencies and resonance wave localization in an elastic waveguide with a horizontal crack // 2nd Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena, Vaxjo, Sweden, 14-19 August, 2005. AIP Conference Proceedings. Vol. 834. Melville, New York, USA 2006. PP. 160-166.

4. Глушков Е.В., Глушкова H.В., Голуб М.В. Блокирование уиругих волн наклонными полосовыми трещинами // Труды X Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. Изд-во ООО "ЦВВР". 2006. Т. 1. С. 71-75.

5. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Собственные формы локализации волнового процесса в упругом слое с горизонтальной трещиной. // Труды Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г. Изд-во ООО "ЦВВР". 2005. Т. 1. С. 58-62.

6. Glushkov Е., Glushkova N., Golub M., Shapar E. Rcsonanse phenomena in layered structures with defects. XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". Books of abstracts. Saint Petersburg (Rcpino), June 24 - July 1, 2004. p. 48-49.

7. Глушков E В., Глушкова H.В., Голуб М.В. Резонансные эффекты в волноводах с приповерхностными трещинами //' Материалы V Российской конференции с международным участием. Саратов, 23-25 августа 2005 г. Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 86-88.

8. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Golub M V, Kvasha O.V. Mode selection, wave trapping and energy localization in layered structures with defects // List of abstracts International Workshop "Research in Mechanics of Composites 2006", Bad Herrenalb, Germany, November 26-29, 2006. P. 14.

9 Глушков E.B., Глушкова H.В., Голуб М.В. Исследование режимов резонансного блокирования прохождения поверхностных и каналовых волн через зоны сейсмических разломов // Наука Кубани, 2004. N3(1). с.113-115.

10. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Резонансная локализация волнового процесса в упругом слое с горизонтальной трещиной // Наука Кубани, 2005. N4. с.11-14.

11. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., М.В. Голуб. Резонансные частоты упругого волновода с внутренней трещиной // Труды VII международной конференции "Математические проблемы механики неоднородных структур". Львов, Украина, 20-23 сентября 2006 г. ВКП "ВМС". Под. ред. Г.С. Кита, P.M. Кушнира. С. 37-39.

ГОЛУБ Михаил Владимирович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН И РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ С ДЕФЕКТАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 23.03.2007. Формат 60х841/16. Уч.-изд. л. 1,27. Усл. печ. л. 1,39. Бумага Maestro. Печать трафаретная. Тираж 110 экз. Заказ № 7071.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика. 350059 г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел./факс: 239-68-31.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Голуб, Михаил Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

§1.1. Уравнения и граничные условия динамической теории упругости

§1.2. Техника интегральных преобразований

§1.3. Матрицы Грина для свободного слоя.

§1.4. Волны Рэлея-Лэмба

ГЛАВА 2. ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ В ДВУХСЛОЙНОМ

ВОЛНОВОДЕ С ИНТЕРФЕЙСНОЙ ТРЕЩИНОЙ.

§2.1. Волновое поле поверхностного источника колебаний.

§2.2. Волновое иоле, отраженное горизонтальной трещиной.

§2.3. Расчет волновых полей с использованием теории вычетов —

§2.4. Энергетические характеристики волновых полей

§2.5. Показатели сингулярности у краев трещин при соединении разномодульных соединений

§2.6. Коэффициенты интенсивности напряжений

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГИУ ДЛЯ СЛОИСТОГО

ВОЛНОВОДА С ИНТЕРФЕЙСНОЙ ТРЕЩИНОЙ.

§3.1. Схема Галеркина

§3.2. Сведение ГИУ к бесконечной системе

§3.3. Регуляризация бесконечной системы

§3.4. Сравнительный анализ методов

§3.5. Спектр краевой задачи

ГЛАВА 4. ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ,

СОДЕРЖАЩЕМ ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ТРЕЩИНУ

§4.1. Анализ влияния места приложения поверхностной нагрузки на отраженное трещиной поле

§4.2. Дифракция волн Рэлея

§4.2.1. Анализ резонансных частот

§4.2.2. Анализ влияния глубины залегания трещины на блокирование рэлеевской волны

§4.3. Дифракция волн Лэмба

§4.3.1. Спектральные свойства слоя с горизонтальной трещиной

§4.3.2. Собственные формы локализации волнового процесса

§4.3.3. Блокирование набегающих волн

ГЛАВА 5. ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА

НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНЕ

§5.1. Интегральные представления для волновых полей

§5.2. Интегральное уравнение для наклонной трещины

§5.3. Численный анализ

Введение диссертация по механике, на тему "Распространение упругих волн и резонансные эффекты в слоистых материалах с дефектами"

Дифракция упругих волн на внутренних препятствиях используется в ультразвуковой дефектоскопии, сейсмологии, геофизике, медицинской томографии и многих других областях науки и техники. Анализ структуры отраженного и рассеянного ноля дает информацию как о внутренней структуре зондируемого материала, так и о самом препятствии (дефекте). Из всех типов неоднородностей наиболее опасны именно трещиноподобные дефекты, так как при статическом или циклическом воздействии у краев дефекта происходит рост напряжений, что может приводить к росту трещины и вызывать катастрофические разрушения.

У истоков механики разрушения стояли JI. да Винчи и Г. Галлилей, в дальнейшем А. Сен-Венан и О. Мор положили начало теории предельного равновесия, а А. А. Гриффите - теории хрупкого разрушения [72, 62]. На настоящий момент механика трещин уже являет собой обширный раздел механики сплошной среды, коему посвящено большое количество работ, см. например, монографии Н.Ф. Морозова [58], Дж.Ф. Нотта [59], В.В. Па-наскжа [61], В.З. Партона [62], Л.И. Слепяна [68], Г.П. Черепанова [72], Е.И. Шифрина [73], L.B. Freund [95] и др.

По Гриффитсу [104], существующая трещина станет лавинообразно распространяться, если скорость освобождения энергии упругой деформации превзойдет прирост поверхностной энергии трещины. Позже были предложены другие, более общие критерии разрушения, основанные на анализе характеристик поля раскрытия трещины у се кончика. Согласно [72] трещина растет при достижении коэффициентом интенсивности напряжений критического значения, но вязкость разрушения зависит от скорости нагружения. Иначе говоря, во многих приложениях для решения вопроса о развитии трещины необходимо из чисто упругой задачи найти коэффициенты интенсивности напряжений [95].

На практике, прежде чем решать вопрос о возможности развитии трещины, необходимо сначала определить ее геометрию, то есть форму и ориентацию в пространстве. Эффективная идентификация дефекта по измеренным на поверхности рассматриваемого тела полям составляет предмет дефектоскопии. Такие задачи относятся к классу некорректных задач математической физики, для решения которых производится замена некорректно поставленной задачи близкой ей корректной, использующей дополнительную информацию о решении (В.Я. Арсенин, Ю.И. Бобровницкий, А.Н. Тихонов). Так, задача об определении неизвестных поверхностных сил, действующих на упругое тело конечных размеров, по измеренному полю смещений на части поверхности решена Ю.И. Бобровпицким в [8, 9]. Методы определения размеров плоских приповерхностных трещин приводятся С. Alves, Т. На Duong в [78], а интерфейсных и криволинейных А.О. Ватульяном в [13].

В неразрушающих методах контроля для идентификации дефектов зачастую используют ноля смещений в дальней от дефекта зоне. В [106] было показано, что дальние поля выражаются через интегралы от скачков смещений по области трещины [73]. Иначе говоря, в задачах о колебаниях трещин необходимо определять функцию раскрытия берегов трещины, моделируемой, как правило, тонким математическим разрезом. Такая постановка задачи приводит к решению уравнений теории упругости с соответствующими граничными условиями, решение которых сопряжено с весьма серьезными математическими проблемами. Наиболее универсальными методами решения задач теории упругости для тел с трещинами являются, по-видимому, численные методы. Среди них выделяют такие, при которых решаются уравнения теории упругости во всем трехмерном теле [73], и такие, в которых уравнения предварительно сводятся на границу тела и затем уже решаются граничные уравнения (метод граничных интегральных уравнений).

К числу первых относятся метод конечных разностей, который не нашел широкого применения в приложении к механике трещин и метод конечных элементов (МКЭ), получивший наибольшее распространение в инженерных приложениях и продолжающий активно развиваться но сей день. К достоинствам МКЭ относятся слабая чувствительность к усложнению геометрии тела, ленточная структура матрицы системы, а также ясный механический смысл. Недостатки МКЭ - большие вычислительные затраты и трудности, возникающие при вычислении коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для задач динамики. Последняя проблема частично решается применением гибридных схем МКЭ, которые вблизи контура трещины используют сингулярные элементы. Например, при решении задач статики в работах S.N. Atluri и К. Kathiresan [79, 80] использовались гибридные элементы в перемещениях, в работах М. Кипа - смешанные гибридные элементы [111]. Сингулярные и полосовые элементы использовали в [117] G.R. Liu и J.D. Achenbach для задачи о гармонических колебаниях слоя, ослабленного полосовой трещиной.

Ко второй группе относятся лучевые методы, метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностный метод и др. Лучевые методы, разработанные в 60-70 гг. XX века [7, 11] и адаптированные для практического применения R.K. Chapman [91], являются простыми и физически наглядными, но могут использоваться только для плавно неоднородных сред и гладких участков границы дефекта, характерный размер которого должен быть больше длины волны. МГЭ не имеет такого недостатка, а ио сравнению с МКЭ имеет меньшую размерность задачи, поскольку дискретизируется только поверхность тела, но в то же время приводит к более сложным сингулярным интегральным и интегродифференциальным уравнениям. Кроме того, МГЭ позволяет более эффективно решать задач динамики как о плоских [77, 108, 118, 122] так и о криволинейных трещинах [14]. Так, А.О. Ватульян [14], В.В. Михаськив [57] и др. в своих исследованиях упрощали задачу, примененяя к уравнениям преобразования Фурье или Лапласа, а, например, S. Hirose и J.D. Achenbach [107] записывали и решали граничные интегральные уравнения (ГИУ) относительно пространственных и временной переменных.

Дифракция упругих волн имеет многочисленные приложения в неразрушающих методах контроля и определении характеристик материала [8, 9, 10, 15]. Так как преобразование Лапласа но временной переменной переводит нестационарную задачу в гармоническую и наоборот, то построение гармонической можно считать основным этапом получения нестационарной задачи. Для более полного осмысления физической сути явлений естественно прибегать к аналитическим или иолуаиалитическим методам решения. Именно таким методом является метод граничных интегральных уравнений, как правило, использующий разложение скачка смещений на берегах трещины по ортогональным полиномам или сводящийся к МГЭ.

Наиболее простым случаем гармонических колебаний являются SH-волны - в этом случае уравнения движения в упругом материале сводятся к скалярному уравнению Гельмгольца. Решение задачи о SH-колебаниях слоистого изотропного полупространства и изотропного двухслойного волновода с одной и двумя интерфейсными трещинами дано F.L. Neerhoff [121] и Т. Kundu [112, 113], а трещины круговой формы изучены Yang Y. и Norris А. [129]. Анизотропная трехслойная пластина с наклонной трещиной рассмотрена Т. Grahn [103], а радиально-аиизотропное полупространство с круговой трещиной в [87]. Рассмотрение P-SV волн, приводящее к решению уравнений относительно векторных величин, выполнено H.J. Yang и D.B. Bogy для слоистого полупространства с интерфейсной трещиной [128], для интерфейсной трещины между двумя полупространствами S. Iton [109], а круговые трещины рассмотрены в [130].

Для дифракции упругих волн на полосовых трещинах в изотропной полуплоскости на основе различных подходов J.H.M.T. Van der Hijden и F.L. Neerhoff [126, 127], Achenbach J.D. [74, 75], P. Bovik и A. Bostrom [89], B.A. Бабешко [3], В.А. Александров, И.И Ворович [17] получили эффективные методы решения. Для анизотропных материалов аналогичная проблема также была успешна решена Т. Grahn [103] и в более общем случае криволинейной трещины А.О. Ватульяном [14].

С использованием разложения скачка смещений берегов трещины по ортогональным полиномам были исследованы и трещины круговой формы. В работах Krenk S. и Schmidt Н. [110] было изучено рассеяние объемных волн, падающих на круговую трещину под произвольным углом; A. Bostrom, P. Bovik, A. Eriksson, S.K. Datta и Т. Kundu, представлявшие решение в виде суммы сферических волн, построили решение задач о колебаниях двух круговых трещин [86] и группы трещин [94], в случае анизотропии такой подход развит Kundu Т. [114]. При рассмотрении прямоугольных трещин L. Guan и A. Norris [105], а также S. Itou [108] использовали схему аналогичную примененной к задаче о полосовой трещине в [89], приближая неизвестную функцию скачка смещений полиномами Чебышсва по каждой из пространственных координат [84].

В случае произвольной формы дефекта J. Achenbach, D. Budrek [90], L. Keer, W. Lin [115], C. Alves, T. Ha-Duong [76, 77] используют сеточную аппроксимацию, но при дискретизации возникают трудности из-за многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами. Вариационно-разностный метод, предложенный Р.В. Гольдштейном, И.С. Клейном и Г.И. Эскиным [44] для решения двумерных интегральных уравнений типа свертки и хорошо зарекомендовавший себя при решении динамических контактных задач, модифицирован в работах В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой и других [5, 6, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 82, 101] для пространственных трещин произвольной формы.

Одной из основных задач ультразвуковой дефектоскопии является определение размеров и формы дефекта по отраженному волновому нолю (см. например [41, 88]). При решении такой задачи, являющейся по сути обратной, на каждом шаге минимизации некоторой целевой функции решается прямая задача. Кроме того, обратные задачи относятся к классу некорректных, требующих специальной регуляризации, основанной на сужении допустимых форм трещины [92]. Такое сужение возможно путем учета информации о распределении резонансных полюсов рассеянного поля в комплексной плоскости частоты. Поэтому объем информации, необходимый для идентификации формы трещины по рассеянному полю, может быть резко уменьшен, если 1) предварительно получить распределение полюсов в зависимости от формы, 2) уметь выделять резонансные частоты из регистрируемого отраженного сигнала.

Данные соображения легли в основу так называемого метода сингулярных разложений (Singularity Expansion Method - SEM), первоначально возникшего в связи с задачами локации объектов электромагнитными волнами в исследовании С.Е. Baum [81]. В 70-80-е годы XX века появилось множество работ, предлагающих различные способы использования резонансных частот рассеяния скалярных электромагнитных и акустических волновых полей для определения формы и свойств рассеивателя (см. обзор [124]). Позже G. Bollig и K.J. Langenberg [83] развили метод для упругих волн, однако достигнутые здесь успехи значительно скромнее, что в первую очередь объясняется сложностью решения соответствующих прямых задач.

При этом резкий рост напряжений происходит только на резонанс-пых частотах, зависящих от размеров, формы и расположения дефекта, а также от упругих свойств и строения волновода. Поэтому такие объекты получили название "вирусов вибропрочности", разрушительное действие которых не проявляется до тех пока не сложатся благоприятные условия

В.А. Бабешко). Наряду с ростом коэффициентов интенсивности напряжений, резонансный отклик может сопровождаться захватом и локализацией волновой энергии в окрестности дефектов в форме ловушечных мод (trapped modes [125]). Изучение механизма возникновения ловушечных мод в различных системах является актуальной задачей, привлекающей интерес широкого круга исследователей. Это явление известно также под названиями резонанса неоднородных волн, "вирусов вибропрочности", собственных решений, соответствующих изолированным точкам спектра (В.А. Бабешко, И.И. Ворович [18, 4, 19], Д.А. Индейцев [48], F. Ursell, D.V. Evans, С.М. Linton [116, 125]).

Цель работы.

1) разработка эффективной математической модели, описывающей распространение упругих волн в слоистых волноводах и их дифракцию как на горизонтальных интерфейсных так и на наклонных полосовых прямолинейных трещинах;

2) реализация разработанных методов в виде пакета программ, обеспечивающих быстрый параметрический анализ волновых и энергетических характеристик;

5) изучение резонансных и блокирующих свойств полосовых трещин в слоистых волноводах;

6) исследование спектральных свойств упругих волноводов, содержащих внутренние полосовые трещины и характер локализации волновой энергии на частотах собственных колебаний.

В первой главе диссертации дается общая постановка краевых задач динамической теории упругости. Излагается техника применения интетральных преобразований для построения решения на основе матриц Грина для слоя, на поверхностях которого заданы нагрузки. Обсуждаются дисперсионные свойства слоя и полуплоскости.

Вторая глава посвящена построению с использованием интегрального подхода волновых полей для двухслойного волновода с горизонтальной интерфейсной полосовой трещиной, построению для них же асимптотик в дальней зоне и выводу ГИУ относительно скачка смещений на берегах трещины. Вводятся коэффициенты прохождения и отражения, указывается особенность поведения решения в окрестности краев трещины, соответственно вводятся коэффициенты интенсивности напряжений.

В третьей главе приводятся методы решения ГИУ для интерфейсной трещины: метод Галеркипа и схема сведения к бесконечным алгебраическим системам. Дается сравнительный анализ эффективности использования каждого из методов в зависимости от параметров задачи. В случае метода Галеркина описана эффективная схема определения резонансных частот слоя с трещиной.

Четвертая глава содержит анализ прохождения и дифракции упругих волн в однородном волноводе с горизонтальной трещиной для разных типов падающих воли. Рассматривается возможность блокирования рэле-евской волны приповерхностной трещиной в зависимости от глубины ее залегания и частоты колебаний. Для слоя производится сравнение блокирующих свойств трещины для набегающей симметричиой и антисимметричной нормальных мод. Устанавливается связь между резонансом волновода, содержащего трещину, ростом коэффициентов интенсивности напряжений и блокированием падающего волнового поля.

В пятой главе выводятся интегральные представления для колебаний однородного изотропного волновода, ослабленного наклонной трещиной, сведение проблемы к ГИУ и схема решения последнего. Проверяется работоспособность полученной модели сопоставлением с моделью, описанной во второй главе, и другими известными результатами. Также обсуждаются резонансные и блокирующие свойства наклонной трещины. В частности, рассматриваются закономерности прохождения упругих воли мимо вертикальных трещин.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. На основе интегрального подхода построена и реализована в виде пакета программ новая математическая модель, описывающая процессы распространения упругих волн и их дифракцию на полосовых трещинах произвольной ориентации в слое, полупространстве или пакете слоев, включающая в себя описание волнового поля источника, решение задачи дифракции и анализ волнового поля всего волновода в целом.

2. Метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений применен к задаче о дифракции упругих воли па горизонтальных интерфейсных трещинах, предложены различные схемы регуляризации получающихся систем.

3. Для построенной модели разработана и реализована в виде пакета программ схема построения линий тока энергии, определения коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения, а также определения резонансных полюсов в комплексной плоскости частоты.

4. Изучены два механизма блокирования прохождения трещиной рэ-леевской волны (резонанс и экранирование), для резонансного блокирования трещиной набегающих упругих воли выявлена локализация и захват энергии.

5. Для широкого диапазона изменения размеров и глубины залегания трещины проанализирована зависимость характеристик отраженного поля от вида падающего поля, соотношения упругих свойств волновода и частоты колебаний.

6. Получено распределение резонансных полюсов рассеяния в зависимости от геометрии трещины и проанализировано их влияние на прохождение упругих волн, а также па коэффициенты интенсивности напряжений.

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [26, 27, 28, 29, 30, 31, 36, 37, 38, 39, 97, 99] и докладывались па XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"(St. Petersburg, 2004)[100], 2nd Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena (Vaxjo, Sweden, 2005) [97], International Workshop "Research in Mechanics of Composites 2006"(Bad Herrenalb, Germany, 2006)[98], на IX и X международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды"(г. Ростов-на-Дону, 2005-2006) [31, 35], VII международной конференции "Mathematical Problems of Mechanics of Non-homogeneous Structures"(г. Львов, Украина, 2006) [33], международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (г. Харьков, Украина, 2006) [34], на Всероссийской конференции "Волновая динамика машин и конструкций"(г. Нижний Новгород, 2004) [27], па заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края "р2003юг"(г. Сочи, 2005), V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (г. Саратов, 2005) [30], па IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006) [32] и на семинарах кафедры численного анализа Кубанского государственного университета.

Работа выполнена при поддержке администрации Краснодарского края, фонда поддержки науки, культуры, образования и здравоохранения О. Дерипаска "Вольное дело", Российского фонда фундаментальных исследований (проекты NN. 03-01-00520, 04-01-00801, 06-01-96607, 03-01-96618-р2003-а), гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов вузов федерального агентства по образованию А04-2.10-838 и Международной ассоциации INTAS (проект No. 05-1000008-7979).

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках выполнения диссертационной работы были получены следующие результаты:

2. Метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений применен к задаче о дифракции упругих волн па горизонтальных интерфейсных трещинах, предложены различные схемы регуляризации получающихся систем.

3. Для построенной модели разработана и реализована в виде пакета программ схема построения линий тока энергии, определения коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения и отражения, а также определения резонансных полюсов в комплексной плоскости частоты.

4. Изучены два механизма блокирования прохождения трещиной рэлеевской волны (резонанс и экранирование), для резонансного блокирования трещиной набегающих упругих волн выявлена локализация и захват энергии.

Примечание. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в публикациях [26, 27, 28, 29, 30, 31, 35, 36, 37, 38, 39, 97, 100] и получены автором совместно с Е.В. Глушковым и Н.В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованием осуществляли Н.В. Глушкова и Е.В. Глушков. Автор также благодарит С.Н. Сошенкова за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Голуб, Михаил Владимирович, Краснодар

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: теория и методы. М.: Мир, 1983. Т.1. 520 с.

2. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. 224 с.

3. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел. ДАН СССР. 1989. Т. 307. N 2. С.324-328.

4. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. // Изв. АН СССР. Сер. ММТ. 1990. N. 3. С. 74.

5. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проблеме динамических контактных задач в произвольных областях // Известия АН СССР МТТ. 1978. N.3. С. 61-67.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. -М.: Наука, 1989.

7. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотический метод в задачах дифракции коротких волн: Методы эталонных задач. -М.: Наука, 1972.

8. Бобровницкий Ю.И. Задача восстановления поля в структурной ин-тепсиметрии: постановка, свойства, численные аспекты // Акустический журнал. 1994. Т.40. N.3. С.367-376.

9. Бобровницкий Ю.И., Короткое М.П., Кочкин А.А., Томилина Т.М. Постановка и решение задачи восстановления волнового поля в упругой конструкции // ДАН. 1998. Т.359. N.2. С.190-193.

10. Боев Н.В., Зотов В.М., Троян Э.А. Реконструкция дефекта сложной формы но известному времени прихода отраженной ультразвуковой волны // Акустический журнал. 2003. Т.49. N.5. С.585-589.

11. И. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 338 с.

12. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. 1993. Т. 333. N. 3. С. 312-314.

13. Ватульяи А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде // Прикладная математика и механика. 2004. Т.68. Вып.1. С.180-188.

14. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортотропиой полуплоскости с криволинейной трещиной // Изв. РАН. МТТ. 2002. N.5. С. 83-90.

15. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде // Акустический журнал. 2000. Т.46. N.4. С.451-455.1G. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

16. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 285 с.

17. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. -М.: Наука, 1979.

18. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. Т. 245. N.5. С. 1076-1079.

19. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. Т. 245. N.4. С. 817-820.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих воли на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ. 1996. Т.60. Вып.2. С. 282-289.

21. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -Краснодар, КубГУ, 1990.

22. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К определению динамической контактной жесткости упругого слоя // Прикл. математика и механика. 1990. Т. 54. N.3. С. 474-479.

23. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об особенностях поля напряжений в окрестности вершины клиновидной пространственной трещины // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1992. N.4. С. 82-86.

24. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // ПММ. 1998. Т.62. Вып. 5. С. 866-870.

25. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование и локализация энергии в упругих слоистых волноводах с дефектами // Акустический журнал, 2006. Т. 52. Вып. 3. С. 314-325.

26. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Исследование режимов резонансного блокирования прохождения поверхностных и каналовых волн через зоны сейсмических разломов. Наука Кубани, 2004. N3 (ч.1). с.113-115.

27. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Резонансная локализация волнового процесса в упругом слое с горизонтальной трещиной. // Наука Кубани, 2005. N4. с.11-14.

28. Е. В. Глушков, Н.В. Глушкова, Голуб М.В. Резонансные эффекты в волноводах с приповерхностными трещинами. Материалы V Российской конференции с международным участием/ Под. ред. акад. Н.Ф. Морозова.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 86-88.

29. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Блокирование упругих волн наклонными полосовыми трещинами // Труды X Международнойконференции "Современные проблемы механики сплошной среды", г. Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. Т. 1. С. 71-75.

30. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Исследование режимов резонансного блокирования прохождения поверхностных и канало-вых волн через зоны сейсмических разломов. Отчет о НИР No. TP 01200313963. Ипв No. 022200500615.

31. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В. Исследование особенностей прохождения поверхностных и каналовых волн через зоны сейсмических разломов. Отчет о НИР No. TP 01200313963. Инв No. 0220.0602399. (заключительный). 51 с.

32. Глушков Е.В., Голуб М.В. Исследование распространения волн и резонансных эффектов в слоистых материалах с дефектами. Отчет о НИР. No. TP 01200501135. Инв No. 02200602960. (заключительный). 33 с.

33. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Голуб М.В., Кваша О.В. Анализ волновых полей в упругих волноводах с поверхностными и внутренними дефектами. Отчет о НИР. No. TP 01200501135. Инв No. 02 20.06 05749 (заключительный). 49 с.

34. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

35. Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Ехлаков А.В. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин. // Прикладная математика и механика 2002, Т. 66. N.5. С. 147-156.

36. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Шапарь Е.М. О блокировании рэлеев-ской волны приповерхностной трещиной // Доклады РАН. 2004. Т. 398. N. 6. С. 764-770.

37. Глушкова Н.В. Определение и учет сингулярных составляющих в задачах теории упругости Докт. диссертация. Краснодар, КубГУ, 2000.

38. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегродифференциаль-ных уравнений трехмерных задач теории упругости // Препринт No. 33. ИПМ АН СССР. М. 1973. 55 с.

39. Гринченко В.Г., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова Думка, 1981. 284 с.

40. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 543 с.

41. Зильберглейт А.С., Нуллер Б.М. // ДАН СССР. 1977. Т. 234. N.2. С. 333-335.

42. Индейцев Д.А., Сергеев А.Д., Литвин С.С. Особенности резонансных колебаний упругих волноводов с инерционными включениями // Журнал технической физики. 2000. Т. 70. Вып. 8. С. 8-15.

43. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 495 с.

44. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

45. Капцов А.В., Шифрин Е.И. Решение динамических задач об эллиптической трещине в упругом пространстве с помощью аппроксимаций Паде // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 511-519.

46. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками / Труды Моск. матем. Об-ва, 16, 1967.

47. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

48. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). М.: ТОО "Янус", 1995. 520 с.

49. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972.

50. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. М.: Наука, 1978.

51. Михаськив В.В., Станкевич В.Э., Хай М.В. Граничные интегральные уравнения трехмерных задач об установившихся колебаниях полупространства с плоскими трещинами // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. N.6. С. 44-53.

52. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255 с.

53. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М., Металлургия, 1978. 256 с.

54. Островский JI.A., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

55. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. 246 с.

56. Партон В.З. Механика разрушения: От теории к практике. М.: Наука, 1990. 240 с.

57. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

58. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

59. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.2. Специальные функции. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

60. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. Интегральные уравнения динамических задач для многослойных сред, содержащих систему трещин // Прикладная математика и механика. 2005. Т.69. Вып.2. С. 345-351.

61. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции но теории функций комплексного переменного М.: Наука. 1989. 480 с.

62. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

63. Сиеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

64. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

65. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

66. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. -М.: Наука, 1974.

67. Шифрин Е.И. Пространственные задачи линейной механики разрушения. -М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2002. 368 с.

68. Achenbach J.D., Brind R.J. Scattering of surface waves by a sub-surface crack // J. Sound and Vibration. 1981. V.76(l). P. 43-56.

69. Achenbach J.D., Lin W., Keer L.M. Surface waves due to scattering by a near-surface parallel cracks // IEEE Trans. Sonics Ultrason. 1983. V.30. P. 270-276.

70. Alvcs C.J.S., Ha Duong Т. Numerical resolution of the boundary integral equations for elastic scattering by a plane crack // Int. J. Num. Mech. Eng. 1995. V.38. P. 2347-2371.

71. Alves C.J.S., Ha Duong T. // Inverse problems 1997. V.13. N.5. P. 11611176.

72. Atluri S.N., Kathiresan K. 3d analyse of surface flaws in thick-walled reactor pressure-vessels using displacement-hybrid finite element method // Nuclear engineering and design. 1979. V.51. N.2. P. 163-176.

73. Atluri S.N., Nakagaki M., Kathiresan K. Hybrid-finite-element analysis of some nonlinear and 3-dimensional problems of engineering fracture mechanics // Computers & Structures. 1980. V.12. N.4. P. 511-520.

74. Baum C.E. The singularity expansion method // Transient Electromagnetic Fields / Ed. L.E.Felsen. N.Y.: Springer-Verlag, 1976. P. 129-179.

75. V. A. Babeshko, A. V. Pavlova, S. V. Ratner, and R. T. Williams. Problems on the Vibration of an Elastic Half-Space Containing a System of Interior Cavities // Doklady Physics, Vol. 47, No. 9, 2002, pp. 677Ц679.

76. Bollig G., Langenberg K.J. The singularity expansion method as applied to the elastodynamic scattering problem // Wave Motion. 1983. V. 5. No 4. P. 331-354.

77. Bostrom A. Acoustic scattering by a sound-hard rectangle //J. Acoust. Soc. Am. 1991. 90(6). P. 3344-3347.

78. Bostrom A., Johansson M., Svedberg T. Elastic wave propagation in a radially anisotrpoic medium // Geophys. J. Int. 1994. V.118. P. 401-410.

79. Bostrom A., Wirdelius H. Ultrasonic probe modelling and nondestructive crack detection // J. Acoust. Soc. Am. 1995. V.97(5). P. 2836-2848.

80. Bovik P., Bostrom A. A model of ultrasonic nondestructive testing for inertial and subsurface cracks //J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 102. N.5. P. 2723-2733.

81. Budrek D.E., Achenbach J.D. Scattering from threedimensional planar cracks by the boundary integral equation method // J. Appl. Mech. 1988. Vol.55. P. 405-412.

82. Chapman R.K. A system model for the ultrasonic inspection of smooth planar cracks // J. Nondestr. Eval. 1990. V. 9. P. 197-211.

83. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Berlin, etc.: Springer, 1992. 305 p.

84. Eriksson A.S. Natural frequencies of a penny-shaped crack with spring boundary condition // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. No 1. P. 59-63.

85. Eriksson A.S., Bostrom A., Datta S.K. Utrasonic wave propagation through a cracked solid // Wave Motion. 1995. P. 297-310.

86. Freund L.B. Dynamic Frature Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. 1998.

87. Glushkov E.V., Glushkova N.V. Blocking property of energy vortices in elastic waveguides // J. Acoust. Soc. Ain. 1997. V.102(3) P. 1356-1360.

88. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Bostrom A. Natural resonance frequencies, wave blocking, and energy localization in an elastic half-space and waveguide with a crack // J. Acoust. Soc. America. 2006. V. 119. N6. P. 3589-3598.

89. Glushkov E., Glushkova N., Golub M., Shapar E. Resonanse phenomena in layered structures with defects. XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". Books of abstracts. St. Petersburg (Repino), June 24 July 1, 2004. p. 48-49.

90. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Munz D., and Yang Y.Y., Analytical solution for bonded wedges under thermal stresses // International Journal of Fracture. 2000. V. 106. P. 321-339.

91. Grahn T. Scattering of elastic waves from inhomogencities in solids-application to ultrasonic NDT. PhD Thesis, Calmers Univ Tech. Goteborg. 2002.

92. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Philosophical Transaction of The Royal Society. A221. 1920. P.163-198.

93. Guan L., Norris A. Elastic wave scattering by rectangular cracks // Int. J. Solids Structures. 1992. V.29(12). P. 1549-1565.

94. Gubernatis J.E., Domany E., Krumhansl J. A. Formal aspects of the theory of the scattering of ultrasound by flaws in elastic materials // Journal of applied physics. 1977. V.48. N.7. P.2804-2811.

95. Hirose S., Achenbach J.D. Time-domain boundary element analysis of elastic wave interaction with a crack // International journal for numerical methods in engineering. 1989. V.28. N.3. P. 629-644.

96. Itou S. Transient analysis of stress waves around two rectangular cracks under impact load // Engineering fracture mechanics. 1981. V.14. N.4. P. 685-695.

97. Itou S. Transient stress around an interface crack // Engineering fracture mechanics. 1986. V.25. P. 475-482.

98. Krenk S., Schmidt H. Elastic wave scattering by a circular crack // Phil. Trans. Roy. Soc. London 1982. Ser.A. Vol. 308. N.1502 P. 167-198.

99. Кипа M., Zwicke M. A mixed hybrid finite element for three-dimensional elsatic crack analysis // International jounal of fracture. 1990. V.45. N.l. P. 65-79.

100. Kundu T. Dynamic interaction between two interface cracks in a three layered plate. // Int. J. Solids Struct. 1998. V.24. P. 27-39.

101. Kundu T. Transient response of an interface-crack in a layered plate // ASME J. Appl. Mech. 1986. V. 53. P. 579-585.

102. Kundu Т., Bostrom A. Elastic wave scattering by a circular crack in a transversely isotropic solid // Wave Motion. 1992. V.15. P. 285-300.

103. Lin W., Keer L. M. Scattering by a planar three-dimensional crack //J. Acoust. Soc. Am. 1987 Vol.82. N.4. P. 1442-1448.

104. Linton C.M., Evans D.V. Trapped modes above a submerged horizontal plate // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1991, V.44(3). P.487-506.

105. Liu G.R., Achenbach J.D. Strip element innethod to analyze wave scattering by cracks in anisotropic laminated plates // ASME J. Appl. Mech. 1995. V.62. P.607-613.

106. Lin W., Keer L.M. Scattering by a planar three-dimensional crack // J. Acoust. Soc. Am. 1987. V.82(4). P. 1442-1448.

107. Liu G.R. A combined finite element/strip element method for analyzing elastic wave scattering by cracks and inclusions in laminates // Computational Mechanics 2002. V.28. P.76-81.

108. P.D. Wilcox, M.J.S. Lowe, P. Cawley. Mode and Transducer Selection for Long Range Wave inspection // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2001. V.12. P. 553-565.

109. Neerhoff F.L. Diffraction of Love waves by a stress-free crack of finite width in the plane interface of a layered composite // Appl. Sci. Res. 1979. V.35. P. 237-249.

110. Sladek J., Sladek V. Dynamic stress intensity factors studied by boundary integro-differential equations // International journal for numerical methods in engineering. 1986. V.23(5). P. 919-928.

111. Sommerfeld A. Speziele Losungen des Problems der Eigenschwingung beim Quader und Wtirfel // Bayer Akad. Wiss. Abhand. 1945. Math. Naturwiss klasse, s. 81-88.

112. Uberall H., Moser P.J., Murphy J.D., Nagl A., Igiri G., Subrahmanyam J.V., Gaunaurd G.C., Brill D., Delsanto P.P., Alemar J.D., Rosario E. Electromagnetic and acoustic resonance scattering theory // Wave Motion. 1983. V. 5. No 4. P. 307-329.

113. Ursell F. Trapping modes in the theory of surface waves. // Proc. Cainb. Phil. Soc. 1951. V. 47. P. 347-358.

114. Van der Hijden J.H.M.T., Neerhoff F.L. Diffraction of elastic waves by a sub-surface crack (in anti-plane motion) //J. Acoust. Soc. Am. 1984. V.75(6). P. 1694-1704.

115. Van der Hijden J.H.M.T., Neerhoff F.L. Scattering of elastic waves by a plane crack of finite width // ASME J. Appl. Mech. V.51. P. 646-651.

116. Yang H.J., Bogy D.B. Elastic wave scattering from an interface crack in a layered halfspace // ASME J. Appl. Mech. V. 52. P.42-49.

117. Yang Y., Norris A.N. Shear-wave scattering from a debonded fibre //J. Mech. Phys. Solids. 1991. V.39. P. 273-294.

118. Yang Y., Norris A.N. Longitudinal-wave scattering from a partially bonded fiber // Wave Motion. 1992. V. 15. P. 43-59.