Расщепление фотона и электронные петли во внешнем однородном электромагнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

институт ядерной физики им. г.и. Будкера со ран

* (•,>__

" - На правах рукописи

ШАИСУЛТАНОВ Рашид Жумажанович

РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА И ЭЛЕКТРОННЫЕ ПЕТЛИ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1998

Работа выполнена в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

(НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Байер — доктор физико-математических наук,

Владимир Николаевич профессор, Институт ядерной физики

им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Сербо — доктор физико-математических наук,

Валерий Георгиевич профессор, Новосибирский

государственный университет, г. Новосибирск.

Шапиро — доктор физико-математических наук,

Давид Абрамович Институт автоматики и электрометрии

СО РАН, г. Новосибирск.

ВЕДУЩАЯ — Институт математики СО РАН,

ОРГАНИЗАЦИЯ: г. Новосибирск.

Защита диссертации состоится " 23 " .ft-Vp.fi. 1998 г. и\4,Ъ0" часов на заседании диссертационного совета Д.002.24.01 Институте ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан " 2-1 " О 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор < B.C. Фад

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы успешно развивается квантовая теория процессов в интенсивном внешнем электромагнитном поле. Проявляемый к ней интерес связан с быстрым прогрессом техники получения интенсивных полей в лазерах и пучков электронов и фотонов высоких энергий в ускорителях, а также с открытием сверхсильных магнитных полей вблизи пульсаров. В отличие от случая электромагнитных взаимодействий свободных частиц здесь принципиально необходим выход за рамки теории возмущений: нужен точный учет взаимодействия частиц с сильным внешним полем. Как известно, виртуальное рождение и аннигиляция электрон-позитронных пар индуцирует нелинейное самодействие электромагнитного поля. Характерным процессом нелинейной квантовой электродинамики является рассеяние света на свете. Во внешних полях становится возможным также расщепление фотона на два фотона (7 —> 71+72)- Этот процесс рассматривался в ряде работ как возможный механизм образования линейно поляризованных фотонов в полях пульсаров ( при условии, что магнитные поля пульсаров Я ~ Н0 = = 4.41 • 1013 Гс ) . Также расщепление фотона учитывается при анализе гамма-излучения пульсаров.

Виртуальное рождение и аннигиляция электрон-позитронных пар индуцирует также взаимодействие фотонов с нейтрино. В настоящее время хорошо известно, что в астрофизике часто встречаются ситуации когда поглощение, излучение или рассеяние нейтрино происходит в присутствии сильного магнитного поля. В настоящее время изучение процессов с участием нейтрино в магнитном поле вызывает большой интерес. Одним из таких процессов является образование пары нейтрино-антинейтрино при столкновении двух фотонов 7 7 V V.

Целью настоящей работы являлось вычисление амплитуды расщепления фотона в сильном однородном и постоянном электромагнитном поле общего вида, вклада петли с N фотонными концами во внешнем

электромагнитном папе и вычисление амплитуды процесса 7 7 -> и V магнитном поле.

Научная новизна. Основными результатами диссертации являют ся вычисление амплитуды расщепления фотона в постоянном электрс магнитном поле общего вида; численный анализ расщепления фотона энергией ы < 2т в сильном магнитном поле; анализ расщепления фоте на в поле осей монокристалла; методом континуального интегрировани; по траекториям найдено явное выражение для вклада петли с N фотон ными линиями во внешнем поле; найдены амплитуда и сечение процесс; 7 7 —> V V в магнитном поле. Эти результаты являются новыми и суще ственны для астрофизики.

Практическая ценность результатов работы. Полученные 1 диссертации результаты имеют практическую значимость для ряда исследований. Знание амплитуды расщепления фотона в магнитном пол< существенно для рассмотрения гамма-излучения пульсаров.

Вычисленные амплитуда и сечение процесса 7 7 —> и V в магнитнод^ поле могут быть использованы в астрофизике, например для анализа потери энергии нейтронными звездами и их охлаждения.

Апробация работы. Работы, положенные в основу диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах е ведущих отечественных и зарубежных научных центрах, таких как ИЯФ СО РАН (г. Новосибирск), Институт ядерной физики (Лион, Франция), Коллеж де Франс (Париж, Франция) и опубликованы в работах [1-6].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 15 рисунков и 60 наименований библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность задач, рассматриваемых в диссертации, дан обзор литературы, приводится краткое описание содержания работы.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению процесса расщепления фотона 7 —> 71 + 72 в однородном и постоянном электромагнитном поле общего вида. Рассмотрение проводится в коллинеарном приближении. Для малых энергий фотона (ш -С т) процесс расщепления может быть рассмотрен с использованием эффективного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера. Однако для произвольных энергий фотона и напряженностей поля необходимо проводить точный (по полю) расчет. Этот расчет и его результаты описываются в первой главе, состоящей

У

из трех разделов. В первом разделе производится вычисление амплитуды расщепления фотона с помощью операторной диаграммной техники. Найдены явные выражения для амплитуд процесса в однородном и постоянном электромагнитном поле общего вида, когда оба инварианта Т = = \ (е2 - Я2) и д = -^¿„Р"" = ЕЙ отличны от нуля. Во втором разделе проводится анализ расщепления фотона в магнитном поле. Получено новое представление для амплитуды процесса. Приведено выражение для сечения процесса в условиях поглощения фотона. Исследован поляризационный оператора фотона во внешнем магнитном поле с энергией ш ниже порога рождения е+е~. С точки зрения распространения электромагнитных волн область пространства, занятая магнитным полем, может рассматриваться как среда с отличным от единицы показателем преломления. Численно исследовано поведение показателей преломления для фотонов с обеими поляризациями.

Проведены численные расчеты и анализ амплитуды расщепления при о/ < 2т. Также исследовано поведение амплитуды в поле, значительно превышающем критическое. В третьем разделе проводится анализ расщепления фотона в электрическом поле. Получено представление амплитуд в квазиклассическом приближении. Проведен анализ расщепления фотона в поле осей монокристалла.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению вклада петли с N фотонными концами во внешнем постоянном и однородном электромагнитном поле. Случай N = 3 соответствует рассмотренному в предыдущей главе расщеплению фотона, а N = 2 дает поляризационный оператор фотона во внешнем поле. С этой целью проводится обобщение развитой Берном и Косовером техники вычислений однопетлевых амплитуд в калибровочных теориях на случай присутствия внешнего электромагнитного поля. Для этого используется формулировка техники Берна и Косовера с помощью континуальных интегралов по траекториям. В первом разделе главы кратко описывается данный формализм. В качестве примера показывается, как проводится вычисление однопетлевой ЛГ-фотонной амплитуды рассеяния. Во втором разделе проводится обобщение на случай с внешним полем и вычисляется вклад петли с N фотонными концами в скалярной КЭД в постоянном и однородном электромагнитном поле . Также кратко обсуждается случай спинорной КЭД.

Третья глава содержит рассмотрение процесса рождения пары нейтрино-антинейтрино при столкновении двух фотонов 7 7 —> и V в магнитном поле. Этот процесс в вакууме в отсутствие магнитного поля был впервые рассмотрен Чиу и Моррисоном в качестве одного из механизмов

ч.

потери энергии звездами. Хорошо известно, что процессы с излучением нейтрино, несмотря на их малое сечение, играют весьма существенную роль в эволюции звезд. Причина состоит в том, что потеря энергии звездами за счет образования нейтрино может оказаться, вследствие огромной разницы проникающих способностей нейтрино и фотонов при больших плотностях и температурах, большей, чем потеря энергии за счет излучения фотонов. К сожалению, амплитуда процесса 7 7 —> и и в вакууме оказывается сильно подавленной. Гелл-Манн показал, что в У—А теории амплитуда в точности равна нулю в первом порядке по константе Ферми Ср ■ Основная причина состоит в том, что, согласно теореме Ландау, система из двух фотонов не может находиться в состоянии со спином 1. Следовательно амплитуда оказывается подавленной дополнительными множителями и/туу , где и это энергия фотона и т;у масса IV бозона . Например, в случае безмассовых нейтрино амплитуда 71/ —> 71/ в стандартной модели подавлена фактором 1 /тп%у . Хорошо известно, что в астрофизике часто встречаются ситуации когда поглощение, излучение или рассеяние нейтрино происходит в присутствии сильного магнитного поля. В этой главе проводится вычисление амплитуды процесса 7 7 —> V V при низких энергиях и> << тпе в однородном постоянном магнитном поле . Оказывается, что сечение процесса 7 7 —)■ и V в сильном магнитном поле существенно превышает сечение в отсутствии магнитного поля. Также дастся оценка энергии, уносимой нейтрино из единицы обьема в 1 сек благодаря данному процессу.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Получены явные выражения для амплитуд расщепления фотона в постоянном электромагнитном поле общего вида.

2. В сильном магнитном поле проведен анализ процесса расщепления фотона с энергией ы < 2тп .

3. Получено представление амплитуд расщепления фотона в квазиклассическом приближении.

4. Проведен анализ расщепления фотона в поле осей монокристалла.

5. Методом интегрирования по траекториям найдено явное выражение для вклада петли с N фотонными линиями во внешнем постоянном электромагнитном поле.

6. Получены амплитуда и сечение процесса 7 7 —> и V в магнитном поле. Показано, что сечение процесса в сильном магнитном поле существенно превышает сечение в отсутствии магнитном поля.

Основные результаты диссертации опубликованы в следую-

(X работах:

1. Байер В.Н., Мильштейн А.И., Шайсултанов Р.Ж. Расщепление фотона в сильном электромагнитном поле // ЖЭТФ.—1986.— Т.90.— С.1141-1153.

2. Baier V.N., Milstein A.I., Shaisultanov R.Zh. Photon splitting in a strong electromagnetic field and the possibility of its observation in single crystals // Phys.Lett—1987—Vol.l20A—P.255-258.

3. Baier V.N., Milstein A.I., Shaisultanov R.Zh. Photon splitting in a very strong magnetic field // Phys.Rev.Lett.—1996,—Vol.77.—P.1691-

4. Shaisultanov R.Zh. On the string-inspired approach to QED in external field // Phys.lett.—1996.—Vol.378B.—P.354-356.

5. Байер B.H., Мильштейн А.И., Шайсултанов Р.Ж. Расщепление фотона в сверхсильном магнитном поле // ЖЭТФ.—1997.

— Т.111—С.52-62.

6. Shaisultanov R.Zh. Photon-neutrino interactions in magnetic fields // Phys.Rev.Lett.—1998—Vol.80.—P.1586-1587.

1694.

/ г V ' / / \ •

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера

на правах рукописи

Шайсултанов Рашид Жумажанович

РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА И ЭЛЕКТРОННЫЕ ПЕТЛИ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ.

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор В.Н.Байер

Новосибирск - 1998

Оглавление

Введение. 4

1 Расщепление фотона в сильном электромагнитном поле 11

1.1 Вычисление амплитуды расщепления фотона................11

1.2 Расщепление фотона в магнитном поле........................19

1.2.1 Амплитуда и правила отбора: общий случай..........19

1.2.2 Поляризационный оператор в'^агййтном поле и правила отбора при и> < 2т . . .'' / '.'....................21

1.2.3 Расщепление фотона в магнитном поле при со < 2т 26

1.3 Расщепление фотона в электрическом поле ..................35

1.3.1 Квазиклассическое приближение......................35

1.3.2 Расщепление фотона в полях осей монокристалла . 41

2 Интегралы по траекториям и

вклад петли во внешнем поле с N фотонными линиями. 46

2.1 Эффективное действие и интегралы по траекториям ... 46

2.2 Вклад петли во внешнем поле..................................49

3 Фотон-нейтринное взаимодействие в магнитном

поле 53

Заключение.

58

Литература.

59

Введение.

В последние годы успешно развивается квантовая электродинамика процессов в интенсивном внешнем поле. Проявляемый к ней интерес связан, с одной стороны, с быстрым прогрессом лазерной техники, позволяющей получать волны с весьма высокой напряженностью электромагнитного поля ( до 109 В/см ) и появлением пучков электронов и фотонов сверхвысоких энергий, а с другой стороны, с открытием сверхсильных магнитных полей вблизи пульсаров (до 1013 Э ) [1]. Также КЭД во внешнем поле необходима для изучения электромагнитных процессов при высокой энергии в монокристаллах [2]. В отличие от случая электромагнитных взаимодействий свободных частиц здесь принципиально необходим выход за рамки теории возмущений: нужен точный учет взаимодействия частиц с сильным внешним полем. Значительная часть результатов, полученных многими авторами в квантовой электродинамике во внешнем поле, изложена в книгах и обзорах [3, 4, 5, 6].

Как известно, виртуальное рождение и аннигиляция электрон-пози-тронных пар индуцирует нелинейное самодействие электромагнитного поля. Характерным процессом нелинейной квантовой электродинамики является рассеяние света на свете. Во внешних полях становятся возможными также расщепление фотона на два фотона (у 71 + 72) и отклонение (когерентное рассеяние ) фотона (7 —у у1). Для малых энергий фотона (и < га) процесс расщепления может быть рассмотрен с использованием эффективного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера (см., напр.[7]). Для произвольных энергий фотона и напряженностей поля необходимо проводить точный ( по полю ) расчет. Расщепление фотона в постоянном и однородном внешнем поле рассматривалось в работах [8, 9, 10, 11, 12], там

же имеются ссылки на более ранние работы, оказавшиеся ошибочными. В работе Биляницких-Бируля [8] и Адлера и др. [9] расщепление фотона было рассмотренно с применением эффективного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера, в [9] получены также правила отбора по поляризациям, в частности с учетом дисперсии. Адлер [10] провел детальный анализ процесса во внешнем магнитном поле и получил амплитуду разрешенного перехода для общего случая произвольной энергии фотона, выражение для этой амплитуды оказалось очень громоздким, что затрудняет ее дальнейшее использование. В рассмотрении использовалась функция Грина электрона во внешнем магнитном поле в представлении собственного времени

Швингера [13]. Папанян и Ритус [11, 12] провели рассмотрение расщеп—» —»

ления фотона в т.н. скрещенном поле Е _1_ Н ,Е = Н, также с использованием функции Грина электрона в представлении собственного времени. Другое представление для амплитуды расщепления фотона в магнитном поле было получено в [14] с использованием иного представления функции Грина электрона.

В общем случае вероятность расщепления фотона зависит от трех безразмерных инвариантов ( используется система единиц 7г = с = 1 )

Ео тг V ; Щ т1 \ /

зе - (0.1)

т3

где

Т = = ^(Ё2-Н<

Я = = М ^ = (0.2)

есть полевые инварианты; Ео , Щ - критическое поле квантовой электро-

динамики

тп^

Но = — = 4.41 • 1013 Э

е

171 1с

Е0 = — = 1.32 • 1016 В/см

тп

е

(0.3)

Поля Е и Н в (0.1) есть электрическое и магнитное поле в специальной системе отсчета, где Ё || Н. Если инварианты ^г, малы по сравнению с единицей и зависящим от энергии фотона инвариантом эе, то ими можно, пренебречь, что эквивалентно переходу к случаю скрещенного поля ( или квазиклассическому приближению, см. [3], стр.68). Для применимости результатов, полученных в постоянном и однородном поле, необходимо, чтобы поле мало менялось на длине (за время) формирования процесса. Для рассматриваемого процесса длина формирования [3]

Расщепление фотона в однородном и постоянном электромагнитном поле при произвольных значениях обоих полевых инвариантов Т. <3 было рассмотрено позднее в работе [15]. В этой работе использовалась операторная диаграммная техника развитая Байером,Катковым и Страховен-ко [16], что позволило существенно упростить решение этой технически весьма непростой задачи. Амплитуды, полученные для частного случая равного нулю электрического (или магнитного) поля, имеют гораздо более компактную форму, чем найденные в [10]. В предельных случаях, когда со т и (или) Н <С Но, амплитуды найденные в [15] согласуются с соответствующими величинами в [8]-[10]. Если в [10] численные расчеты проводились для энергий фотона ниже порога рождения электрон-позитронной пары, то в [15] был рассмотрен случай си т. Авторов интересовала возможность наблюдения расщепления фотона в сильных электрических полях ориентированных монокристаллов при высокой энергии

(0.4)

[17]. Во всех цитированных работах использовались релятивистски кова-риантные и калибровочно инвариантные формулировки квантовой электродинамики.

Недавно процесс расщепления фотона был рассмотрен еще раз в [18]. Мотивацией этой работы послужили новейшие достижения рентгеновской астрономии. Расчет в [18] проводился с использованием нековариантной теории возмущений и калибровки Ландау. Результаты этой работы полностью противоречат всем найденным в предыдущих работах. Тем не менее уже появились попытки приложения результатов, найденных в [18], к астрофизике [19]. Результаты работ [18] и [19] подвергались жесткой критике в [20].

Поскольку возможны важные астрофизические приложения рассматриваемого процесса (см.,напр., [21]), в [22, 23] были проведены численные расчеты и анализ амплитуды расщепления фотона, основываясь на результатах аналитических вычислений, полученных нами в [15]. Была рассмотрена наиболее интересная область энергий со < 2т в магнитном поле Н.

В кратком виде результаты были представлены в [22]. После ознакомления с этими результатами, появились работы [24] и [25]. В работе [24] предложен еще один вывод выражения для амплитуды процесса, полученного в [10]. Кроме того указывается, что в выражениях для амплитуды процесса в [10], [14] и [22], являющихся аналогичными интегральными представлениями, подинтегральные функции численно совпадают. В работе [25] признается, что в работе [18] содержится ошибка, а новый расчет согласуется с нашей работой [22].

Во первой главе диссертации, основанной на работах [15, 17, 22, 23],

рассматривается процесс расщепления фотона в сильном электромагнитном поле общего вида. Рассмотрение проводится в коллинеарном приближении. В §1.1 найдены явные выражения для всех амплитуд процесса при произвольных значениях параметров Т ж (}. В §1.2 проводится анализ расщепления фотона в магнитном поле. Выписано явное выражение для амплитуды процесса. Приведено выражение для сечения процесса в условиях поглощения фотона. Исследован поляризационный оператора фотона во внешнем магнитном поле с энергией со ниже порога рождения е+е~. Проведены численные расчеты и анализ амплитуды расщепления при ш < 2т. Также исследовано поведение амплитуды в поле, значительно превышающем критическое. Полученные нами результаты справедливы, когда П2,з — 1 <С 1, где П2,з - показатели преломления.

В §1.3 проводится анализ расщепления фотона в электрическом поле. Получено представление амплитуд в квазиклассическом приближении. Проведен анализ расщепления фотона в поле осей монокристалла. К настоящему времени довольно детально исследовано рождение электрон-позитронных пар фотонами большой энергии ( см. например [2]) и установлено, что если угол влета фотона ( угол между импульсом к и осью монокристалла ) во <С Уо/т , где Уо - масштаб потенциала оси, образованной цепочкой атомов монокристалла, то применимо приближение постоянного поля. Поэтому мы вправе использовать приближение постоянного поля также для рассмотрения расщепления фотона в поле осей монокристалла.

В главе 1 мы занимались вычислением вклада петли с тремя фотонными концами. Оказывается возможным получить также компактные выражения для вклада петли с N фотонными концами, используя модификацию формализма Берна и Косовера. В последние годы Берн и Косовер

заметно развили технику вычислений однопетлевых амплитуд в калибровочных теориях. В 1991 они вывели [26] новые правила из теории струн и применили их для вычисления четырех-глюонной однопетлевой амплитуды. Берн и Дунбар показали [27], что эти правила ( весьма отличные от фейнмановских) полностью эквивалентны фейнмановским. Далее Страс-слер показал как вывести эти правила, используя первично-квантованный формализм, имеющий дело с континуальными интегралами по траекториям релятивистких частиц [28]. Ранее подобные результаты были найдены Поляковым [29]. Этот метод применялся, например, для вычисления эффективных лагранжианов [30, 31], был обобщен на случай многих петель [32] и т.д.. Интегралы по траекториям также использовались для вычисления пропагаторов ( см. напр. [6, 29]). В §2.1 мы кратко опишем данный метод , следуя в изложении статье Страсслера [28]. В §2.2 мы проведем обобщение на случай с внешним полем и вычислим вклад петли с N фотонными концами в скалярной КЭД. Также мы кратко обсудим случай спинорной КЭД. Материал §2.2 основан на результатах работы [33]. Отметим, что позднее Адлер и Шуберт использовали аналогичный подход в работе [24] при рассмотрении расщепления фотона.

В главе 3 мы рассмотрим процесс 7 7 —»■ V V в магнитном поле. Этот процесс в вакууме в отсутствие магнитного поля был впервые рассмотрен Чиу и Моррисоном [34] в качестве одного из механизмов потери энергии звездами. Хорошо известно, что процессы с излучением нейтрино, несмотря на их малое сечение, играют весьма существенную роль в эволюции звезд [1]. Причина состоит в том, что потеря энергии звездами за счет образования нейтрино может оказаться, вследствие огромной разницы проникающих способностей нейтрино и фотонов при больших плотностях и температурах, большей, чем потеря энергии за счет излу-

чения фотонов. К сожалению, амплитуда процесса 7 7 —>• V V в вакууме оказывается сильно подавленной. В [35] Гелл-Манн показал, что в У-А теории амплитуда в точности равна нулю в первом порядке по константе Ферми (^р . Основная причина состоит в том, что, согласно теореме Ландау, система из двух фотонов не может находиться в состоянии со спином 1. Следовательно амплитуда оказывается подавленной дополнительными множителями ш/туу , где ш это энергия фотона и тцг масса ]¥ бозона [35, 36, 37, 38, 39]. Например, в случае безмассовых нейтрино амплитуда 71/ 7^ в стандартной модели подавлена фактором 1 /т,цг

[40] . В результате для со = 100 кэВ , например, сечение рассеяния равно 2 х Ю-72 см2, т.е. ничтожно малой величине. Дикусом и Репко в работе

[41] были рассмотрены процессы 771/, 77 —> ^ут) и ий —У 777 , сечения оказались гораздо большими чем 7^) для энергий фотонов со > 1 кэВ. В настоящее время хорошо известно, что в астрофизике часто встречаются ситуации когда поглощение, излучение или рассеяние нейтрино происходит в присутствии сильного магнитного поля [1, 42]. Много процессов с участием нейтрино в магнитном поле было рассмотренно к настоящему времени. Среди них, например, излучение фотона V ^7 [43] и аннигиляция пары нейтрино-антинейтрино г/ +г/ —у е+ + е~ [44].

В этой главе мы покажем, что сечение процесса 774 р V в магнитном поле оказывается большим чем сечение в вакууме на фактор ~

4 2

(тцг /ше) (В/Вс) . Также мы дадим оценку энергии, уносимой нейтрино из единицы объема в 1 сек благодаря данному процессу. Материал главы 3 основан на результатах работы [45].

1 Расщепление фотона в сильном электромагнитном поле

1.1 Вычисление амплитуды расщепления фотона

Рассмотрим амплитуду расщепления фотона (к —¥ к\ + во внешнем постоянном и однородном электромагнитном поле для которого к = к\ + -На массовой поверхности к2 — к\ = к\ = 0 , к = (ш, к ) и т.д. Строго говоря, во внешнем электромагнитном поле возникает дисперсия, т.е. фотон приобретает массу, зависящую от его поляризации. Эта масса определяется из поляризационного оператора в данном поле (см. [16, 49]). Однако приобретаемая масса оказывается малой и сказывается фактически на правилах отбора по поляризации. Этот вопрос будет проанализирован ниже. Анализ можно проводить (ср. [7, 8, 9, 10, 11]) на массовой

—* —>

оболочке в так называемом коллинеарном приближении к || к\ || тогда полезно ввести вектор

к к\ ко г*9 л о х

л = - = — = — ; л2 = 1 , А2 = 0 (1.1)

и) (¿2

Рассмотрение удобно выполнять в специальной системе отсчета, в которой Н || Ё (значения полей Е и Н в этой системе даются формулами ( 0.1, 0.2). Выберем обшее направление этих векторов в качестве оси 3 декартовой системы координат. Тогда тензор поля может быть представлен в виде (см. [50])

= С^гу Е + Н (1.2)

Здесь

Сц» = я1я1- 9\ я1 , В^ = д*д1- ^ д£ (1.3)

где д^ -метрический тензор.

+ перестановка !<£*+•

Рис. 1: Диаграмма расщеплений фотона во внешнем электромагнитном поле

Мы используем операторную диаграммную технику, развитую в работе [16]. Амплитуду процесса в низшем порядке теории возмушений по взаимодействию с фотонами, изображаемую диаграммой на Рис.1, где двойная линия есть пропагатор электрона во внешнем поле, запишем в виде

1 1 1

Г1 = -(47га)3/25р(0

о

(1.4)

V — т V + к\— т "V + к — т

где Р = 7м (г<9ц — еАм) , А^ - вектор-потенциал внешнего поля, е>-

(к), е^ = (&п) - вектора поляризации фотонов. К амплитуде (1.4) надо добавить амплитуду Тг = Т\ {к\ <—у , е\ <—> еъ), Т = Т\ + Тг. В рамках используемого подхода основная задача состоит в вычислении среднего по состояниям х = 0 : (0|...|0), содержащего внутри совокупность некоммутирующих операторов а процедура вычисления основывается на замкнутости алгебры операторов [Р^Тр] = —ге-Р^. Однако непосредственное применение правил операторной диаграммной техники [16] к вычислению амплитуды (1.4) приводит к чрезвычайно громоздким

выражениям. Поэтому существенным элементом нашей работы является преобразование выражения (1.4). Проведем квадрирование электронных пропагаторов и используем тождества

ёЦТ + к + тп) = + ^ + =

- (V + кг - т) е*2 + ё*2к2 + 2(е\Т) + 2{е*2кх)

- (V - т) ё* + е[кх + 2(е*Р) (1.5)

тогда амплитуда (1.4) запишется в виде

Тг = - (4тга)*/2Бр

О

ёР-

1

(ё^2 + 2(е;р))

Р2 — т2 1

+ 2(е*Р))

(Р + ^)2 - т?

(Р + &)2 - т?

О -

(1.6)

-1° -/о

ёР-

л* :е1е2"

Р2-т2 1 (Р + &)2 — т2 ^ло1 0(ё^2 + 2(еУ))

1

р2

гал

(Р + к)2 - т2

О

где опущены члены с нечетным числом 7-матриц, учтено, что в кол-линеарном приближении е^к^ — 0 . Целью проведенного преобразования было уменьшение числа 7-матриц в членах с оператором Т^ в числителе, которые дают наиболее громоздкий вклад в амплитуду процесса. В результате выражение для амплитуды ( 1.7) , несмотря на кажущееся усложнение, заметно упростилось и дальнейшие вычисления можно проводить непосредственно с помощью правил диаграммной техники [16].

Приведем явные выражения для средних, встречающихся в настоящем расчете после проведения экспоненциальной параметризации пропагаторов,

№ Л^, = (0 1(1, V» , , Т^Тх) ©I 0) (1.7)

где

© = е^2*1 е{(:Р+к1)282 е^г+к)283

(1.8)

Введем обозначения, позволяющие заметно упростить запись выражений:

у = eEt$ , 2/1,2 = eE(2tij2 ~ ¿з) , Уз = У + У\ ~ Уз ; (1-9)

х = eHt3 , £i;2 = eH(2t1>2 - t3) , х3 = х + xi - х3 ;

где ti — si,t2 = si + S2,t3 = si + S2 + S3. Величина N была вычислена в [16] (формулы (2.43),(2.47)):

еЕ еН

N = -iR е1^ , R = ЯЕЛя , Re = 7—7- , = -;—:— ; (1.10)

Ait shy 4-7Г sm ж

Здесь фаза

ф = Фе+Фн , (1-11)

Фе = 2eEshy ^ _ ^^ ~ ~ uu2chy2 + а;1а;2с%з] ,

фн = —-i(w2 — ^1^2) cos я: — awi cos жх — шси2 cos х2+

2eHsmx LV '

-\-Ш\Ш2 COS £3]

где a2 = AC2 А - ЛБ2Л = 1 - A2.

Величины N^, N^, Njlv\ выражаются через N согласно формулам (2.26)-(2.28), (2.14), (2.46) в [16]:

Nц = Qp N , N^ = [Q^Qv - iU~l\ N , AW . = [QmQ^Qa - - iQvU$ - iQxU~i\ N ;

Qm = - [U-1 (С/" (f3 - ii) h + и (t3 - t2) k2)]M , (1.12)

-2eFs _ 1

U = f/fe) , 17(e) = eF

Процедура вычисления амплитуды (1.7) состоит в экспоненциальной параметризации электронных пропагаторов, преобразовании выражений с использованием формул

eisp2V, e-isV2 = (<,-2eFsV, e~^Fs = (7 e2eFs)^ (1.13)

где = , <тмг/ = | , 7г/], в вычислении следов матриц и после-

дующем использовании формул ( 1.7 - 1.12). Второй и третий члены в (1.7) содержат только два электронных пропагатора, и соотоветствующие формулы можно получить из общей, обратив в нул�