Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Редукция к задаче выпуклого программирования.

§ 1. Некоторые свойства нормы.

§ 2. Свойства вспомогательных функций R(x) и рА(х).

§ 3. Доказательство выпуклости функции Р(х) и вывод формулы ее субдифференциала.

§ 4. Формулы взаимного уклонения оцениваемого компакта и шара. Теорема о редукции.

Глава II. Некоторые свойства решения.

§ 5. Необходимое и достаточное условие решения.

§ 6. Теорема о пересечении множества решений с оцениваемым компактом.

§ 7. Случай включения множества решений в оцениваемый компакт

§ 8. Условие единственности решения.

§9. Случай евклидовой нормы.

§ 10. Свойства функции h0(D) и многозначного отображения X(D)

Глава III. Приближенное решение.

§11. Случай сведения к задаче линейного программирования.

§ 12. Оценка погрешности решения при аппроксимации компакта многогранником.

§13. Замечания к реализации метода Келли.

§ 14. Схема метод а.

§15. Обоснование метода.

1. Негладкий анализ и недифференцируемая оптимизация развивались в трудах Р.Т.Рокафеллара, Б.Н.Пшеничного, В.Ф.Демьянова, А.М.Рубинова, Ф.Кларка, Ж.-П.Обена, И.Экланда, Н.З.Шора, М.С.Никольского, Е.С.Половинкина ( [20], [18]- [19], [2]- [4], [11], [14]-[15], [21], [18], [16]) и других математиков.

Одним из направлений негладкого анализа является получение оценок и аппроксимаций достаточно сложных множеств множествами простой структуры. Такие задачи находят обширные приложения в естествознании, а также в самой математике. Можно указать на многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними элипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (см., напр., работы Н.З.Шора [21], Ф.Л.Черноусько [22] и др.). Известны работы по внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениям (см., напр., [1]). Е.С.Половинкиным ( [16]) рассматривались внутренние и внешние многогранные аппроксимации выпуклых множеств.

Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, как в геометрическом смысле, так и по числу задающих параметров, относится шар любой нормы. Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы, которая заключается в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащего оцениваемый компакт, рассматривалась Б.Н.Пшеничным в [18]. Понимаемая по аналогии задача о внутренней оценке заданного выпуклого компакта рассматривалась С.И.Дудовым в работах [5], [6].

2. Рассмотрим следующую задачу. Пусть задан непустой выпуклый компакт D из конечномерного действительного пространства Rp, функция п(х) удовлетворяет на MP аксиомам нормы, р(А, В) = sup inf п(х — у) есть уклонение множества А от множества В h(A, В) = шах{р(А, В), р(В, Л)} есть расстояние Хаусдорфа между множествами А и В в норме п(-) Обозначим через шар в норме п(-) с центром в точке х и радиусом г. Тогда задачу о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром нормы п(-) в метрике Хаусдорфа, порожденной этой нормой, можно записать в виде

Задача (0.1) впервые была поставлена и рассмотрена в работе М.С.Никольского и Д.Б.Силина [13] для случая, когда п(-) является евклидовой нормой. В этой работе доказаны существование и единственность решения, получено необходимое условие решения. Там же отмечено, что получение результаты нетрудно перенести на случай более общей "эллипсоидальной" нормы, ввиду простой связи решений задач для этих норм. Заметим, что задача (0.1) рассматривалась авторами в рамках более общей задачи о наилучшем приближении элемента пространства непустых выпуклых компактов с метрикой Хаусдорфа элементами его подпространства, которое представляет из себя всевозможные линейные комбинации фиксированного набора элементов данного пространства.

Цель диссертации - исследование задачи (0.1) для случая произвольной нормы п(-).

3. На задачу (0.1) интересно посмотреть в сравнении с задачей о построении шара нормы п(-) с наименьшим радиусом, содержащего компакт D: и задачей о построении шара наибольшего радиуса, содержащегося в D

Вп(х, r) = {y eRp : п(х -у) < г} h(D, Bn(x.r)) —> min . хеш,г> о

0.1)

0.2) рп(х) = minn(cc — у) —max,

0.3) где Q = W> \ D - замыкание дополнения множества D до Rp. Задачи (0.2) и (0.3) являются соответственно задачами о внешней и внутренней оценке множества D шаром нормы гг(-). С этой точки зрения задачу (0.1) можно назавать задачей о равномерной оценке.

Для случая евклидовой нормы, как доказано в статье [13], центр шара наилучшего приближения хо для компакта D в задаче (0.1) является единственным решением задачи

При этом радиус искомого шара есть го = (R(xо) + рп(хо))/2, а

Поэтому в данном случае можно говорить об эквивалентности задач (0.1) и (0.4). Последняя, с геометрической точки зрения, является задачей о построении шарового слоя "наименьшей толщины", содержащего границу выпуклого компакта D. До настоящего времени задача (0.4) рассматривалась только для случая, когда п(-) - евклидова норма. Впервые близкая по постановке задача рассматривалась в [23], где был предложен способ построения кругового кольца наименьшей ширины, содержащего заданное конечное семейство точек, и в [24], где при решении поставленных там задач наилучшего приближения рассматривается задача о построении кольца "наименьшей толщины", содержащего границу 2-мерного выпуклого множества. Позднее T.Bonnesen ( [25]) для задачи на плоскости и N.Kriticos ( [29]) для задачи в трехмерном пространстве получили необходимое и достаточное условие решения и доказали единственность решения.

Свойства минимального кольца, содержащего границу двумерного выпуклого компакта изучались в связи с другими экстремальными задачами по оценке того же компакта (см. [26] - [28]). Так в работе I.Vincze ( [27]) оценивается соотношение минимального радиуса круга содержащего выпуклый компакт D С К2: шш{й(х) : х 6 D} и внешнего-радиуса кольца "наименьшей толщины", содержащего границу компакта D :

0.4) го {D) = min h(D,Bn(x,r a;e®P,r>0

R(xо) - pn(xо) 2

R(xо), а также соотношение максимального радиуса круга, содержащегося в D : тах{рп(ж) : х € D} и внутреннего радиуса кольца "наименьшей толщины": рп(хо). Получены следующие оценки mm{R(x) : х Е D} \/3 шал{рп{х) : х е D} ^ Рп(х о)

Для задачи (0.4) в пространстве произвольной размерности необходимое и достаточное условие было получено только в 1988 году I.Barany ( [30]). Заметим, что в работе [30] существенным образом были задействованы средства выпуклого анализа. Дело в том, что функция R(x) является выпуклой на всем пространстве К7', а функция рп(%) - вогнутой на выпуклом компакте D. Поэтому целевая функция Ф(я) = R(x) — рп(х) задачи (0.4) является выпуклой на D. В работе [30] также доказано, что при р > 3 имеет место точная оценка: min {R(x):xeD} 1. 2 1

- > -( COS «о + cos aQ — 1 н-

2 cos ад

R(x о)

7Г, где «о £ [0, —] и является решением уравнения sin2 а — 2 cos3 а = 0, а величина тах{рп(ж) ■ х е D] рф о) может быть сколь угодно большой.

4. Диссертация состоит из трех глав, содержащих 15 параграфов. Нумерация параграфов сквозная. При изложении, кроме уже введенных, используются следующие обозначения: A, int А, со А, дА, А0 - соответственно замыкание, внутренность, выпуклая оболочка, граница и поляра множества А;

А + В = {а + Ъ:аеА) b е В], А - В = {а - Ъ : a G A, b £ В]

- алгебраическая сумма и разность множеств А и В; xi,x-2] — со {хъх2} ~ отрезок, соединяющий точки Х\ и Х2]

V 1 с|| = (XXх ~ евклидова норма элемента х £ г=1 р х, у) = х^у^ - скалярное произведение элементов х,у G ' г=1

К(А) = {г; G 1р : За > О,а Е A, v . = cm} - конус, натянутый на множество А;

К+ = {w ЕШР : {v, w) > 0 ,\fv Е К} - конус, сопряженный к конусу К\ К(х, А) - конус возможных направлений множества А в точке х Е А, то есть К(х, А) = у(х, А), где j[x, А) = [д £ Ш? : Зад > 0, х + ад Е А, а Е (0,а5)}, дп(х) - субдифференциал нормы п(-) в точке ж; п*{х) = max - норма полярная к п(-);

7l(v)<l

QP{x,D) = {у Е D : pD(x) = - у)}; = {у Е Q : рп(ж) = п{х - у)}; = ED:R(x) = n(x-y)}. Первая глава диссертации содержит §§1-4. Основной результат этой главы - сведение задачи (0.1) к некоторой эквивалентной ей задаче выпуклого программирования.

В §1 приводятся факты, касающиеся свойств произвольной нормы п(-) пространства Жр. Некоторые из этих фактов относятся к строго квазивыпуклой норме. Для случая, когда шар нормы п(-) является многогранником, получен вид поляры единичного шара Вп(0р, 1).

При изучении задачи (0.1) важную роль играют следующие вспомогательные функции:

R(x) = maхп(х-у) - функция, выражающая радиус наименьшего шара yeD с центром в точке х, содержащего компакт D;

Ра(х) = minn(rc — у) - функция, выражающая расстояние от точки х до ySA замкнутого множества А. В §2 обсуждаются свойства этих функций, а так же приводятся их дифференциальные характеристики.

§3 посвящен изучению поведения функции Р(х) = pd{%) ~ Рп{%)> гДе О, = Ш \D. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 3.1. Если D - выпуклое замкнутое множество, то функция Р(х) является выпуклой и конечной на причем ее субдиффереиццал можно записать в виде дР(х) = { д<х ~z)n D)>v*G Qp(x>D)> . xi со{г; G -K+(z,D) : n*(v) = 1, z e Qp(x,Q)}, x e D.

0.5)

Как было отмечено ранее, для случая евклидовой нормы задача (0.1) эквивалентна задаче (0.4), и центр единственного шара наилучшего приближения содержится в оцениваемом компакте D. Следует так же отметить, что задача (0.4) является задачей выпуклого программирования. Однако для случая произвольной нормы задачи (0.1) и (0.4) могут быть не эквивалентными. Как показывают примеры, среди шаров наилучшего приближения могут быть такие, центры которых не содержатся в D. К тому же решение может быть не единственным. И все же при любой норме п(-), как доказано в §4, задача (0.1) эквивалентна одной задаче выпуклого программирования, которая несколько отличается от (0.4). А именно, справедлива следующая имеющая принципиальное значение

ТЕОРЕМА 4.1. Задача (0.1) эквивалентна задаче

Ф(х) ее R(x) + Р(х) min. (0.6)

4 v ' w xeRp

Причем, если пара (£о> го) является решением задачи (0.1), то точка ссо является решением задачи (0.6) и tq — (R(xо) — Р(хо))/2. И наоборот, если точка xq - решение задачи (0.6), то пара (хо, го), где 7*0 = {P(xq) — Р(хо))/2, является решением задачи (0.1). При этом h/n п { \\ КЫ) + Р(х0) mm h(D,Bn[x,r)) ==—-—--1— xgmp, r>o v v n 2

Основную роль в доказательстве этой теоремы играют формулы взаимного уклонения оцениваемого компакта и шара с заданным центром и радиусом, полученные в леммах 4.1 - 4.3. При решении эстремальной задачи важную роль играют свойства целевой функции. Доказанная в §3 выпуклость функции Р{х) говорит о том, что задача (0.6) является задачей выпуклого программирования, а теорема 4.1 дает возможность использовать для исследования задачи (0.1) средства выпуклого анализа.

5. Вторая глава диссертации включает в себя §§5 - 10 и посвящена исследованию свойств решения задачи о равномерной оценке выпуклого компакта шаром произвольной нормы.

Найденные в §§2 - 3 формулы субдифференциалов функций R(x) и Р(х) и теорема 4.1 позволили в §5 получить необходимое и достаточное условие решения задачи (0.1):

ТЕОРЕМА 5.1. Для того, чтобы пара (жо, то) была решением задачи (0.1) необходимо и достаточно, чтобы

0Р е £Ф(яг0) = ШЫ + Ш®о), (0-7) где dR(x) = со{5п(ж — z) : z € QR(x,D)}; су б дифференциал дР(х п) определяется формулой (0.5), а го = (R(xo) — Р{%о))/2

В качестве примеров использования соотношения (0.7) для решения задачи (0.1) рассмотрены случаи, когда множество D является отрезком и произвольным выпуклым компактом, имеющим центр симметрии.

В §6 и §7 изучаются свойства множества центров шаров наилучшего приближения X(D), т.е. множества решений задачи (0.6). В §6 показано, что центр хотя бы одного шара наилучшего приближения содержится в оцениваемом компакте D, а именно имеет место ТЕОРЕМА 6.1. Выполняется соотношение

X(D)nDj^0, причем, если хо £ X(D) и xq ^ D, то co{x0,Qp(x0,D)}cX(D).

В качестве следствия из теоремы 6.1 зафиксировано, что если точка хо лежит на границе D и является центром шара наилучшего приближения компакта D, то xq является одновременно и центром шара наименьшего радиуса, содержащего множество D, т.е.

R{x0) = mmR(x). (0.8)

Если же intD = 0, то точка xq, удовлетворяющая (0.8), является решением задачи (0.1), т.е. в этом случае соотношение (0.8) является необходимым и достаточным условием решения задачи (0.1).

Приведенный пример 6.1 показывает, что центры шаров наилучшего приближения могут находиться вне оцениваемого компакта D. Однако при выполнении некоторых условий можно гарантировать включение множества X{D) в компакт D. В §7 доказана следующая ТЕОРЕМА 7.1.Если выполняется хотя бы одно из условий

1) п(-) - гладкая норма;

2) п(-) - строго квазивыпуклая норма;

3)р = 2, то выполняется включение

X{D) С D.

В §8 рассматривается вопрос о единственности решения. Получено следующее достаточное условие единственности решения задачи (0.1):

ТЕОРЕМА 8.1. Если гг(-) - строго квазивыпуклая норма, то задача (0.1) имеет единственное решение.

Строгая квазивыпуклость нормы означает строгую выпуклость ее шаров. Теорема 8.1 говорит о том, что наилучшее приближение выпуклого компакта строго выпуклым шаром имеет единственное решение. Приведенный пример 8.1 показывает, что решение задачи о наилучшем приближении строго выпуклого компакта шаром нормы, которая не является строго квазивыпуклой, может быть неединственным.

В §9 задача (0.1) рассматривается для случая, когда используемая норма п(-) является евклидовой. Из теоремы 8.1 непосредственно следует доказанная ранее в [13] единственность шара наилучшего приближения, а полученный в этой же статье факт принадлежности центра шара наилучшего приближения оцениваемому компакту вытекает из теоремы 7.1. В теореме 9.1 доказывается, что если intD ф 0, то центр шара наилучшего приближения принадлежит внутренности компакта D. Доказательство этого факта, в отличии от приведенного в работе [13], непосредственно использует необходимое и достаточное условие решения (0.7). Учет специфики евклидовой нормы позволил конкретизировать необходимое и достаточное условие решения:

ТЕОРЕМА 9.2. Пусть int D ф 0, а п(-) = || • || - евклидова норма. Для того, чтобы точка xq была центром шара наилучшего приближения, необходимо и достаточно, чтобы xq Е int D и выполнялось соотношение е со!*0"17. : У е QR{XO,D)}-CO{^-^ : 2 Е (0.9)

IF0 — У\\ \\xo-z\\

В качестве примера применения соотношения (0.9) получен общий вид решения задачи о наилучшем приближении произвольного треугольника на плоскости евклидовым шаром.

В §10 вводится в рассмотрение определенная на пространстве всех непустых выпуклых компактов Kv(W) функция hn(D) = min h(D,Bn(x,r)), x£rp, r>0 осуществляющая отображение Kv(MP) —> IR1 и многозначное отображение X{D) : Kv(W) —> 2®Р, которое каждому элементу D Е Kv(Жр) ставит в соответствие X(D) - множество центров всех шаров наилучшего приближения для D. Доказано, что функция /io(-) является липши-цевой, а многозначное отображение X(D) полунепрерывным сверху на Эти утверждения обобщают результаты статьи [13], полученные для евклидовой нормы, на случай произвольной нормы. Рассмотрен также вопрос о влиянии сдвигов и растяжений оцениваемого компакта на решение задачи (0.1).

6. В третьей главе диссертации, состоящей из §§11-15, предлагается метод приближенного решения задачи (0.1) и его обоснование.

В §11 рассматривается достаточно простая для решения ситуация, когда и оцениваемый компакт, и шар в используемой норме п(-) являются многогранниками, заданными в виде

D = {у Е № : (Ai,y) 4- а{ > 0, г = Т^}, где Ai Е а* € К1, г = 1/т, где Bj G bj Gl1, bj > 0, j = 1, l. Показано, что в этом случае задача (0.1) эквивалентна следующей задаче линейного программирования

2 = —» mill, х(р+1) ф. q, х) - dj + а > 0, г = lTm, j = lj, xeD,

В■ A■ где Dj = dj = max.{Dj,y), Q = ^щ, bj

Cs =

СЧ n*(Ai)'

В §12 рассматривается вопрос о погрешности решения задачи в смысле оптимального значения целевой функции, при аппроксимации компакта D многогранником. При этом использовались результаты статьи Е.С. Половинкина [16], которые, в частности, позволяют, в случае если выпуклый компакт D задан своей опорной функцией, строить по задан» ной сетке точек на единичной сфере внешние аппроксимации компакта D многогранником и оценивать погрешность этой аппроксимации.

В §13 обсуждается возможность применения к решению задачи (0.1) известного метода Келли или метода отсекающей гиперплоскости (см., напр., [2], [17]). Специфика задачи, решаемой методом Келли, играет определенную роль, прежде всего, при нахождении многогранника, содержащего хотя бы одно решение, и при вычислении элементов субдифференциала (субградиентов) целевой функции. Поэтому в §13 приводятся некоторые факты, поясняющие реализацию этих построений для рассматриваемой задачи.

В §14 дается описание метода решения задачи (0.1), в котором принципиальная схема построения последовательности приближений выглядит следующим образом.

Пусть на к-ои шаге получена тройка объектов {Т&, Mk, хВ ней Т\ и Mk являются многогранниками, содержащими соответственно множества D и Вп(0р, 1), а точка х^ является решением задачи

- рк{х) min, (0/10) ' . х£Тк где Rk{x) = maхпМк(у - х), пМк(х) — inf{ot > 0 : х е ыМк] - функция y£D ,

Минковского множества Mk, Рк(х) = minп(х — у), = ШР\ТПри уепк к = 0 выбор многогранников То D D и Mq D Вп(0р, 1) осуществляется произвольно. Сразу заметим, что задача (0.10) приемом приведенным в §11, сводится к задаче линейного программирования. Переход к новой тройке {Tjfc+i, Mk+i, Xk+i} происходит следующим образом.

Построение Tk+i- Если хк £ D, то в любой точке у к G Qp(xk, П) строим опорную гиперплоскость п(ук) к D. Если же хk D, то берем любую точку г/k £ Qp{xk, D) и строим гиперплоскость 7г (?/&), разделяющую множества D и Bn(xk} ро{хк)) и проходящую через точку у к. Построенная гиперплоскость к(ук) вместе с гранями многогранника Тк образуют новый многогранник Тк+1 D D.

Построение Mfc+i. Берем любую точку Zk £ QR(xk,D) и в точке г^—-^-г строим опорную гиперплоскость 7г(^) к 2?п(0в, 1). Вместе с n{zk -хк) Г гранями многогранника она образует новый многогранник

Мк+1 D Вп{0Р11).

Теперь в качестве хк+\ берется решение задачи (0.10) при к :— к + 1.

Приведенный метод видимо является некоторой модификации метода Келли для задачи (0.1). Однако ввиду затруднений в проведении прямой аналогии, в §15 дается прямое обоснование приведенного метода. В частности показано, что предел любой сходящейся подпоследовательности из построенной последовательности приближений содержится в компакте D и является центром шара наилучшего приближения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32]- [41].

1. Абрамов О.В., Здор В.В., Супоня А.А. Допуски и номиналы систем управления. М.:Наука, 1976.

2. Демьянов В.Ф., Васильев JT.B. Недифференцируемая оптимизация. М.:Наука, 1981.

3. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.:Наука, 1972.

4. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.:Наука, 1990.

5. Дудов С.И. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нор*мы// Ж.вычисл. матем. и метем, физики.1996. Т.36, №5. С.153-159.

6. Дудов С.И. Максимин функции разности аргументов. Диссертация на соискание уч.ст. доктора физ.-матем. наук. Саратов. 1997.

7. Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Матем. заметки. 1997. Т.61. № 4. С.530-542.

8. Дудов С.И. Дифференцируемость по направлениям функции расстояния // Матем. сб. 1995. Т. 186. № 3. С.29-52.

9. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.:Наука, 1964.

10. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.'.Наука, 1974.

11. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.:Наука, 1988.

12. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.:Наука, 1985.

13. Никольский М.С., Силин Д.Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Труды МИРАН. 1995. Т.211. С.338-354.it. uoerj. Ж.-iL, о>клаыд n. прикладной нелинейный анализ. М.:Мир, 1988.

14. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические проиложения. М.:Мир, 1988.

15. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Матем. сб. 1996. Т.187. № 2. С.102-130.

16. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.:Наука, 1983.

17. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.:Наука, 1980.

18. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.:Наука, 1982.

19. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.:Мир, 1973.

20. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев.: Наукова думка, 1979.

21. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем: Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

22. D'Ocagne М. Sur certaine figures minimales // Bull. Soc. Math. France. 1884. Vol.12. P. 168-177.

23. Lebesgue H. Sur quelques questions de minimum, relatives and courbes orbiformes, et sur leurs rapports avec le calcul des variations // J. Math. Pures Appl. 1921. Vol. 4. P. 67-96.

24. Bonnesen T. Uber das isoperimetrische Defizit ebener Figuren, Math. Ann. 91(1924). S. 252-268.

25. Bonnesen Т., Fenchel W. Theory der konvexen Korper. Berlin: Springer Verl., 1934.

26. Vincze St. Uber den Minimalkreisring einer Eiline //Acta Sci. Math. Acta Univ. Szeged. 1947. Bd. 11. N 3. S. 133-138.

27. Vincze I. Uber Kreisringe, die eine Eiline einschlissen // Studia Sci. Math. Hungarica, 1974. Bd. 9. N 1/2. S. 155-159.

28. Kritikos N. Uber konvexe Flachen und einschlissende Kugeln // Math Ann. 1927. Bd. 96. S. 583-586.

29. Barany I. On the minimal ring containing the boundary of convex body // Acta Sci. Math. Acta Univ. Szeged. 1988. Vol. 52. № 1/2. P.93-100.

30. Zucco A. Minimal shell of a typical convex body // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 109. N 3. P. 797-802.

31. Дудов С.И., Златорунская И.В. О наилучшем приближении выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Тез. докладов Воронежской весенней матем. школы "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения X". 3-9 мая 1999. С.92.

32. Дудов С.И., Златорунская И.В. Наилучшее приближение выпуклого компакта шаром произвольной нормы: свойства решения // Материалы школы-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казань. 13-18 сентября 1999. С.88-91.

33. Дудов С.И., Златорунская И.В. К решению одной задачи выпуклого программирования // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. трудов Саратов. Издательство Саратовского университета. 1999. С.27-29.

34. Дудов С.И., Златорунская И.В. К решению одной выпуклой экстремальной задачи // Тез. докладов 10-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и приближения". Саратов. 27 января-2 февраля 2000. С.51.

35. Дудов С.И., Златорунская И.В. О минимальном шаровом слое, содержащем границу выпуклого компакта // Тез. докладов Воронежской весенней матем. школы "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения XI". 3-9 мая 2000. С.67.

36. Дудов С.И.,Златорунская И.В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Матем. сб. 2000. Т.191. № 10. С. 13-38.

37. Дудов С.И., Златорунская И.В. Алгоритм наилучшего приближения выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Математика, механика: Сб. науч. трудов Саратов. Издательство Саратовского университета. 2001. Вып.З. С.43-46.

38. Златорунская И.В. О решении задачи наилучшего приближения выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Тез. докладов 11-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов. 28 января-4 февраля 2002. С.51.