Равновесия в многошаговых и повторяющихся играх тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Г Л А В А I. Новые классы равновесий по Нэшу в повторяющихся играх.

§1. Повторяющаяся биматричная игра.

§2. Повторяющаяся игра п лиц.

Г Л А В А II. Сильное равновесие по Нэшу в многошаговых и повторяющихся играх.

§1. Бесконечная многошаговая игра.

§2. Бесконечная повторяющаяся игра.

ГЛАВА III. Новые классы равновесий по Нэшу в общих многошаговых играх.

§1. Псевдоповторяющаяся игра п лиц

§2. Равновесие в многошаговой игре двух лиц.

ГЛАВА IV. Исследование повторяющихся игр типа поиска.

§1. Простой неантагонистический поиск.

§2. Игра поиска с выигрышем прячущего \г —

§3. Неантагонистический поиск парами.

§4. Неантагонистическая игра псевдопоиска.

Основой проблематики теории игр является выработка применительно к тому или иному классу игр принципов оптимальности и установление связей между математическими свойствами игр и их классов, с одной стороны, и математическими свойствами реализаций для них этих принципов оптимальности — с другой[4].

Наиболее слабой формой таких связей является реализуемость принципов оптимальности, а наиболее сильной формой — полное перечисление таких реализаций, которые и являются "решениями" игр в соответствующем смысле. Решение задач каждого из этих типов — описание оптимальности, установление ее реализуемости и нахождение свойств реализаций, вплоть до исчерпывающего перечисления этих реализаций, — требует преодоления значительных математических трудностей как концептуальных, так и технических [5].

Основой большинства принципов оптимальности в бескоалиционных играх является устойчивость в игре. Ситуация х в игре Г называется устойчивой для коалиции К С I (или иначе — ^-оптимальной), если одновременное отклонение игроков из коалиции К от их стратегий, входящих в множество X, не улучшает положения коалиции К. При этом возможны различные варианты понимания этого неулучшения: неувеличения выигрыша сразу для всех игроков, входящих в К; неувеличение суммарного выигрыша игроков из К; возможность увеличения выигрыша одних игроков из К (оптимальность по Парето для коалиции К). Если коалиция К состоит из единственного игрока г, то все варианты приемлемости совпадают.

Если набор состоит из всех отдельных игроков, то устойчивая ситуация называется равновесной (по Нэшу)[4].

Каждый принцип оптимальности, сформулированный для того или иного класса игр, представляет для каждой конкретной игры из этого класса практический интерес лишь в том случае, когда он реализуем, то есть когда в этой игре существуют исходы, удовлетворяющие этому принципу оптимальности. Именно поэтому один из теоретических вопросов, относящихся к использованию принципа оптимальности в данном классе игр, состоит в выяснении реализуем ли он для каждой игры из этого класса или нет и при соблюдении каких дополнительных условий эта реализуемость будет иметь место. .

В теории игр имеется широкое семейство принципов оптимальности. Одним из наиболее распространенных в некооперативной теории игр является равновесие по Нэшу.

Дадим определение равновесия по Нэшу, сформулированное им в 1950 году [23,33], поскольку данная работа посвящена нахождению классов равновесий по Нэшу.

Определение. Определим бескоалиционную игру как систему в которой N — {1,2,. ,п} — множество игроков, Х{ — множество стратегий игрока г, Н.{ — функция выигрыша игрока г, определенная на декартовом произведении множеств стратегий игроков X = ПГ=х ^ (множество ситуаций игры).

Упорядоченный набор стратегий х — (жх,. , хг, £¿+1,. ,хп) — называется ситуацией бескоалиционной игры. Построим ситуацию, которая отлична от х только тем, что стратегия Хг игрока г заменена на стратегию х\.

В результате получаем ситуацию (жх,. , х[, £¿+1,. ,хп), которую будем обозначать через х\\х\.

Определение. Ситуация х* = (х\,. , ж*,. , ж*) называется ситуацией равновесия по Нэшу, если для всех Х{ Е i = 1,. , п имеет место неравенство

Щ{х*)>Щ{х*\\х{).

Из определения ситуации равновесия по Нэшу следует, что ни один из игроков i не заинтересован в отклонении от стратегии ж*, входящей в эту ситуацию (его выигрыш при использовании стратегии Х{ вместо х* разве лишь уменьшиться при условии, что остальные игроки придерживаются стратегий, образующих ситуацию равновесия ж*).

Дадим определение сильного равновесия по Нэшу из [31]. Определение. Ситуация х* = . , ж*) называется сильным равновесием по Нэшу в игре Г если

Яг(ж*||ж5) íes ies для всех S С N,xik,ik Е S( где xs = {xik : ik E 5}).

Сильное равновесие по Нэшу означает, что никакая коалиция S С N не заинтересована в отклонении от сильного равновесия по Нэшу, поскольку всегда найдется один игрок из 5, не увеличивающий своего выигрыша при отклонении.

Бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях неполной и меняющейся во времени информации, называется позиционной игрой.

Процесс позиционной игры состоит в последовательном переходе из одного состояния игры в другое. Состояния игры называются позициями, а возможные выборы в каждой позиции — альтернативами. Множество позиций можно представить в виде древовидного упорядоченного множества, которое называется деревом игры.

Актуальность темы. Теория многошаговых и повторяющихся игр представляет собой бурно развивающийся в настоящее время раздел теории игр. Повторяющиеся и многошаговые игры более адекватно моделируют общественные, экономические, экологические и другие процессы, характеризующиеся последовательным переходом из одного состояния в другое. Для повторяющихся игр состояние повторяется, а для многошаговых состояние изменяется от шага к шагу.

Вопросу построения равновесия в многошаговых и повторяющихся играх посвящены многочисленные исследования отечественных и зарубежных авторов. Так, в работах [7, 36, 39, 40] рассматриваются многошаговые игры. В работах [37, 38, 41-48, 50, 54, 56, 58-60, 62, 63, 68, 70, 78, 79, 81, 83, 84, 88-91, 94-96, 98, 101, 102, 110, 111, 114, 116, 122, 124] исследовались модификации повторяющихся игр. Бесконечноповторя-ющиеся игры с дисконтированием исследовались в работах [55, 56, 66, 68, 91]. Исследования равновесия по Нэшу проводились в [47,49, 52, 61, 62, 65, 75, 76, 80, 82, 92, 104, 105, 108, 118, 121, 122, 126], а исследования многошаговых игр с п игроками в [72, 73, 89, 94, 126]. В работах [53, 73, 74, 79, 83, 87, 99, 117, 120] предлагаются решения задач типа Дилеммы Заключенного. Идея стратегий наказания используется во многих работах, например, в [79]. На основе "народной теоремы" предлагаются решения разных классов игр [37, 66, 71, 112, 113, 125, 126]. Но часть работ носит лишь качественный характер, или предлагаются решения, полученные эмпирическим путем.

Цель диссертационной работы. Основная цель диссертационной работы состоит в исследовании неантагонистических многошаговых и повторяющихся игр на предмет обнаружения новых классов равновесии по Нэшу.

В настоящей работе решались следующие задачи:

- исследовать новый класс равновесий по Нэшу в биматричных повторяющихся играх;

- исследовать новый класс равновесий по Нэшу в повторяющихся играх п лиц;

- исследовать вопрос существования сильного равновесия в бесконечных многошаговых играх;

- исследовать вопрос существования сильного равновесия в бесконечных повторяющихся играх;

- исследовать новый класс равновесий по Нэшу в псевдоповторяю-щихся играх п лиц;

- исследовать новый класс равновесий по Нэшу в общих биматричных многошаговых играх;

- исследовать новый класс равновесий по Нэшу в многошаговых играх типа поиска с различными типами игр происходящими на шагах.

Научная новизна работы. Заключается в том, что в ней:

1. предложен новый класс равновесий по Нэшу в повторяющихся биматричных играх;

2. предложен новый класс равновесий по Нэшу в повторяющихся играх п лиц;

3. построены сильные равновесия по Нэшу в бесконечных многошаговых играх;

4. построены сильные равновесия по Нэшу в бесконечных повторяющихся играх;

5. предложен новый класс равновесий по Нэшу в общих псевдопо-вторяющихся играх;

6. предложен новый класс равновесий по Нэшу в общих биматрич-ных многошаговых играх;

7. построен новый класс равновесий по Нэшу в общих многошаговых играх типа поиска.

Практическая ценность. Работа носит теоретическую направленность. Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес. Основная практическая ценность определяется многочисленными экономическими и социальными приложениеми теории неантагонистических, многошаговых и повторяющихся игр. Так, например, результаты рассматриваемой работы могут быть применены для исследования процессов принятия решений. Найденное в работе семейство равновесий по Нэшу позволяет прогнозировать различные сценарии развития конфликтно-управляемой системы. Особое значение имеет построение сильных равновесий в многошаговых играх.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. предлагаются новый класс равновесий по Нэшу в повторяющихся играх;

2. предлагаются новые сильные равновесия по Нэшу для широкого класса бесконечных повторяющихся и многошаговых игр;

3. предлагается новый класс равновесий по Нэшу в псевдоповторя-ющихся играх;

4. предлагается новый класс равновесий по Нэшу в многошаговых биматричных играх;

5. предлагается новый класс равновесий по Нэшу в повторяющихся играх типа поиска.

Отдельные результаты работы докладывались на семинаре по теории игр (Санкт-Петербург), на Научно-практической конференции "Молодые ученые Якутии в стратегии устойчивого развития Российской Федерации", Санкт-Петербург, 31 мая 2000г., на 11 International Workshop IFAC "Control Application of Optimization", July 3-6, 2000, Санкт-Петербург, на First World Congress of the Game Theory Society "GAMES 2000", July 24-28, 2000 - Bilbao (Spain).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11]-[13], [102], [103].

Структура и объем работы. Перейдем к изложению содержания диссертационной работы, состоящей из настоящего введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

В главе I в первом параграфе формулируется теоретико-игровая модель многошаговой повторяющейся биматричной игры в нормальной форме. Вводятся определения исхода, пути, предыстории и пучка ранга к. Описывается биматричная повторяющаяся К-шаговая игра на графе. Описывается структура графа. Предлагаются стратегии, сочетающие в себе процедуру наказания и нэшевское поведение в одновременных играх на нескольких последних [К — s) шагах игры. Предлагается и доказывается теорема о том, что ситуация, образованная представленными новыми стратегиями, при выполнении определенных условий на число s, является равновесием по Нэшу в повторяющейся биматричной игре. Рассматривается аналитический пример неантагонистической игры заданного вида. Рассматриваются конкретные численные примеры с различным пороговыми значениями s.

Во втором параграфе строится повторяющаяся неантагонистическая игра п лиц. Аналогично предыдущему случаю вводятся стратегии, включающие в себя процедуру наказания и нэшевское поведение в одновременных играх на нескольких последних (К — s) шагах. Формулируется и доказывается теорема о том, что ситуация, образованная представленными стратегиями, при выполнении определенных условий

Во второй главе сформулирована теоретико-игровая модель бесконечной многошаговой игры. Определяются "кооперативная" траектория, кооперативный вариант игры с характеристической функцией. Определяется ядро игры, вводятся вспомогательные антагонистические игры, и вводится процедура распределения дележа. Производится регуляризация игры вдоль кооперативной траектории, которая заключается в замене выигрыша на оптимальной траектории частями распределенного дележа из ядра. Вводятся стратегии, сочетающие в себе процедуру наказания отклонившихся коалиций. Формулируется и доказывается теорема о том, что ситуация образованная представленными стратегиями, при выполнении определенных, однако достаточно общих условий является сильным равновесием по Нэшу.

Во втором параграфе эти результаты конкретизируются для повторяющихся игр. Находится сильное равновесие по Нэшу в бесконечно-шаговой игре "Дилемма Заключенного" трех лиц.

В третьей главе в первом параграфе формулируется теоретико-игровая модель /Г-шаговой псевдоповторяющейся неантагонистической игры п лиц в нормальной форме, отличающаяся от игр в первой главе тем, что на каждом новом шаге разыгрывается новая игра, (отсюда название псевдоповторяющаяся игра). Предлагаются стратегии, сочетающие в себе процедуру наказания и нэшевское поведение в одновременных играх на нескольких последних [К — в) шагах. Формулируется и доказывается теорема о том, что ситуация, образованная представленными стратегиями, при выполнении условий на число й, является равновесием по Нэшу. Приведены простейшие численные примеры с двумя игроками по три стратегии у каждого.

11

В параграфе 2 представлена теоретико-игровая модель многошаговой биматричной игры в нормальной форме. Аналогично предыдущему случаю вводятся стратегии, включающие в себя процедуру наказания и нэшевское поведение в одновременных играх на нескольких последних (К — в) шагах. Формулируется и доказывается теорема о том, что ситуация, образованная представленными стратегиями, при выполнении определенных условий на число в, является равновесием по Нэшу. Приводится простейший численный пример с двумя игроками.

В четвертой главе рассматриваются неантагонистические повторяющиеся игры типа поиска с конечным числом шагов, на каждом шаге которых разыгрывается игра: в первом параграфе игра простого неантагонистического поиска, во втором параграфе игра неантагонистического поиска с выигрышем прячущегося \г — j\, в третьем параграфе игра неантагонистического поиска парами, в четвертом параграфе неантагонистическая игра псевдопоиска. Все данные игры исследуются на предмет нахождения новых классов стратегий, образующих равновесие по Нэшу. Исследование проводится на основе результатов параграфа 1 главы 1. В заключении подытоживаются полученные результаты.

В диссертационной работе использована двойная нумерация формул, теорем, замечаний. Первая цифра означает номер параграфа, вторая — номер в параграфе. Параграфы пронумерованы для каждой главы отдельно. При ссылке на другую главу рядом с номером формулы указывается номер главы. Литература приведена в алфавитном порядке. Для рисунков используется сквозная для всей работы нумерация.

1. Абчук В.А., Суздаль В.Г. Поиск объектов. М., 1977.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры.- М.: Мир, 1967.

3. Альсведе Р., Вегенер И. Задачи поиска: Пер. с нем.- М.: Мир, 1982.

4. Воробьев Н. Н. Основы теории игр: Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984.

5. Воробьев H.H. Теория игр для экономистовкибернетиков. М.: Наука, 1985.

6. Гермейр Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

7. Данилов H.H. Игровые модели принятия решений. Кемерово: Изд-во КГУ, 1981.

8. Данилов H.H. Кооперативные многошаговые игры с побочными платежами// Изв. Вузов. Мат., 1991, N2, С. 33-42.

9. Данилов H.H., Зенкевич H.A. Неантагонистические игры двух лиц.: Учебное пособие. Кемерево: КемГУ, 1990.

10. Дюбин Г. Н., Суздаль В. Г. Введение в прикладную теорию игр. -М.: Наука. Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1981.

11. Егорова A.A. Неантагонистическая игра поиска с бесконечным числом стратегий// Процессы управления и устойчивость: Труды XXX научной конференции. СПб: НИИХ СпбГУ, 1999.

12. Егорова A.A. Одновременные неантагонистические игры поиска// Математические заметки ЯГУ. Том 5, Якутск, 1999г, С.5.

13. Егорова A.A. Повторяющаяся биматричная игра неантагонистического поиска// Научно-практическая конференция "Молодые ученые Якутии в стратегии устойчивого развития Российской Федерации". Тезисы докладов. СПб.: НИИХ СпбГУ, 2000.

14. Еськова В.А. Регуляризация динамических задач многокритериальной оптимизации// Дифференциальные, многошаговые, бескоалиционные и иерархические игры. Калинин, 1985. С.47-52.

15. Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх// ДАН СССР. 231 N 2. С.285-288.

16. Кукушкин H.H., Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. -М.: МГУ, 1977.

17. Кумер Б. Игры на графах: Пер. с нем. М.: Мир, 1982.

18. Льюс Р. Д., Райфа X. Игры и решения. Введ. и краткий обзор. -М.: Ин. лит., 1961.

19. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. -М.: Мир, 1985.

20. Нейман Дж. фон. К теории стратегических игр// Сб. Матричные игры,- М.: Физматгиз, 1961, С. 173-204.

21. Нейман Дж. фон., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

22. Ногин В. Д. Элементы теории оптимизации и математической экономики. -JL: ЛПИ, 1988.

23. Нэш Дж. Бескоалиционные игры// Матричные игры. Сб. научн. трудов. М.: Физматгиз, 1961.

24. Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.

25. Партхасаратхи Т. Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. М.: Мир, 1974.

26. Петросян JI. А., Данилов Н. Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1985.

27. Петросян JI. А., Данилов Н. Н. Устойчивость решений в неантагонистических дифференциальных играх с трансферабельными выигрышами. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1979, N 1, с. 52-59.

28. Петросян Л.А. Гарнаев А.Ю. Игры поиска. СПБ.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1992.

29. Петросян Л.А. Матричные игры поиска// Динамика систем и управление. Саранск, 1986.

30. Петросян Л.А. Одновременная игра поиска и случайное распределение точек на плоскости//Вестник Ленингадского ун-та. Сер. мат., мех., астрон., Вып.1, 1985.

31. Петросян Л.А. Полукооперативные игры// Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер. мат., мех., астрон., Вып.1, 1997.

32. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии.-СПб.: Изд-во С.-Петпрбургского университета, 1997.

33. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А.Теория игр.: М.: Высш. шк., Книжный дом "Университет", 1998.

34. Петросян Л.А., Зенкевич H.A. Оптимальный поиск в условиях конфликта. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.

35. Петросян Л.А., Скитович В.В. Поиск неподвижного объекта на сфере// Вестник Ленингадского ун-та. Сер. мат., мех., астрон., Вып.1, 1986.

36. Слобожанин Н. М. О существовании ситуации равновесия в бесконечных позиционных играх п лиц// Вопросы механики и процессов управления. Вып. 2,- Л., 1978, С. 213-219.

37. Abreu, D., P.K. Dutta and L. Smith. The Folk Theorem for Repeated Games: A NEU Condition// Econometrica, 62, 1985, pp.939-948.

38. Aumann M. B, Maschler, R. E. Stearns. Repeated Games with Incomplete Information// Games and Economic Behavior, 16, 1996, pp. 347352.

39. Aumann, R. and Shapley, L. Long-Term Competition: A Game Theoretic Analysis//Essays in Game Theory : edited by N.Megiddo, SpringerVerlag, 1994, pp. 1-15.

40. Baliga , S. Implementation in Ecomomic Environments with Incomplete Information: The Use of Multistage Games// Games and Economic Behavior, 27, 1999, p.173.

41. Banks J. S., and Sundaram, Rangarajan K., Repeated Games, Finite Automatia, and Complexity// Games and Economic Behavior, 2, 1990, p.97,

42. Benoit, J-P. and V. Krishna. Nash Equilibria of Finitely Repeated Games// International Journal of Game Theory, 16, 1987, pp. 197-204.

43. Benoit, J-P. and V. Krishna. Finitely Repeated Games// Econometrica, 53, 1995, pp.905-922.

44. Bernheim, B. D. and A. Dasgupta. Repeated Games with Asymptotically Finite Horizons,// Journal of Economic Theory, 67, 1995, pp.129152.

45. Bernheim, B.Douglas, and Ray, Debraj, Collective Dynamic Consistency in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 1, 1989, p.295.

46. Blume, A. Intraplay Communication in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 6, 1994, p.181.

47. Caputo, Michael R., the Envelope Theorem and Comparative Statics of Nash Equilibria// Games and Economic Behavior, 13, 1996, p.301.

48. Chen, Kong-Pin, Compensation Principle in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 16, 1996, p.l.

49. Cheng, Leonard K., and Zhu, Min, Mixed-strategy Nash Equilibrium Based upon Expected Utility and Quadratic Utility// Games and Economic Behavior, 9, 1995, p. 139.

50. Cho, In-Koo, Perceptrons Play Repeated Games with Imperfect Monitoring/ / Games and Economic Behavior, 16 , 1996, p.22.

51. Chou, C-F. and J. Geanakoplos. The Power of Commitment orthcoming., Yale University// Journal of Economic Theory, 7, 1988.

52. Chun, Youngsub, and Thomson, W. Nash solution and Uncertain Disagreement Points// Games and Economic Behavior, 2, 1990, p.213.

53. Cooper,Russel, DeJoung, Douglas V., Forsythe, Robert, and Ross, Thomas W., Cooperation without Reputation: Experimental Evidence from Prisoner's Dilemma Games// Games and Economic Behavior, 12, 1996, p.187.

54. Cripps, Martin W., and Thomas, Jonathan P., Reutation and Perfection in Repeated Common Interest Games// Games and Economic Behavior, 18, 1997, p.141.

55. Cronshaw Mark B., and Luenberger, David G., Strongly Symmetric Subgame Perfect Equilibria in Infinitely Repeated Games with Perfect Monitoring and Discounting// Games and Economic Behavior, 6, 1994, p.220.

56. Dasgupta P., and Maskin, E., The Existence of Equilibrium in Discontinuous Economic Games// I. Theory, Rev. Econ. Stud. 53, 1986, pp.1-26.

57. Davis, Douglas D., and Holt, Charles A., Equilibrium Cooperation in Three-Person, Choice-of-Partner Games// Games and Economic Behavior, 7, 1994, p.39.

58. De Meyer B, Repeated games and multidimensional normal distribution, CORE Discussion Paper, 1989, p.8932

59. Domansky V, Kreps V, Repeated games and multinomial distribution// Mathhem. Meth. Operat. Res. 42, 1995, pp.275-293.

60. Domansky V., V. Kreps, Repeated games with incomplete information and transportation problems. Mathematical Methods of Operations Research, 49, 1999, pp.283-298.

61. Dubey P. Inefficiency of Nash Equilibria/ / Mathematics of Operations Research, 11, 1986, pp.1-8.

62. Evans R. and Maskin, Eric, Efficient Renegotiation-Proof Equilibria in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 1, 1989, p.361.

63. Farrel, Joseph, and Mskin, Eric, Renegotiation in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 1, 1989, p.327.

64. Fitzgerald C.B. The princess and monster differential game// SIAM J. Cont. and Optimiz. 1979. Vol.17.

65. Forges, Francoise, and Minelli, Enrico, A Property of Nash Equilibriua inRepeated Games with Incomplete Information// Games and Economic Behavior, 18, 1997, p.159.

66. Friedman, James W., and Samuelson, Larry, An Extension of the "Folk Theorem" with continious Reaction Functions// Games and Economic Behavior, 6, 1994, p.83.

67. Fudenberg, D. and E. Maskin. The Folk Theorem for Repeated Games with Discounting or with Incomplete Information// Econometrica, 54, 1986, pp.533-554.

68. Fudenberg, D. and E. Maskin. On the Dispensability of Public Randomization in Discounted Repeated Games// Journal of Economic Theory, 53, 1991, pp.428-438.

69. Gal S. Search games. N.Y. 1980.

70. Gilboa, Itzhak, and Schmeidler, David, Infinite Histories and Steady Orbits in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 6, 1994, p.370.

71. Gossner, 0. The Folk Theorem for Finitely Repeated Games with Mixed Strategies// International Journal of Game Theory, 24, 1995, pp.95-107.

72. Guth, Wherner, Kirchsteiger,Georg, and Ritzberger, Klaus, Imperfectly Observable Commitments in n-Plyer Games// Games and Economic Behavior, 23, 1998, p.54.

73. Hamburger, Henry, N-person prisoner's dilemma// Journal of Mathematical Sociology 3, 1973, pp.27-48.

74. Harrington, Josrph E., Cooperation in One-Shot Prisoners' Dilemma// Games and Economic Behavior, 8, 1995, p.364.

75. Harsanyi, John C., A New Theory of Equilibrium Selection for Games with Complete Information// Games and Economic Behavior, 8, 1995, p.91.

76. Harsanyi, John C., A New Theory of Equilibrium Selection for Games with Incomplete Information// Games and Economic Behavior, 10, 1995, p.318.

77. Holzman, Ron, and, Law-Yone, Nissan, Strong Equilibrium in Congestion Games// Games and Economic Behavior, 21, 1997, p.85.

78. Israeli, Eitan, Sowing Doubt Optimally in Two Person Repeated Games// Games and Economic Behavior, 28, 1999, p.203.

79. Jones M. The Effect of Punishment Duration of Trigger Strategies and Quasifinite Continuation Probabilities for Prisoner's Dilemmas// Int. J. Game Theory , 28, 1999, pp.533-546.

80. Kahn, Charles M., and Mookherjee, Dilip, The Good, the Bad, and the Ugly: Coalition Proof Equilibrium in Infinite Games// Games and Economic Behavior, 4, 1992, p. 101.

81. Kandori, M. Repeated Games// Games and Economic Behavior, 22, 1992, p.30.

82. Keiding, Hans, On the Maximal Number of Nash Equilibria in an n x n Bimatrix Game// Games and Economic Behavior, 21, 1997, p.148.

83. Knoblauch, Vicki, Computable Strategies for Repeated Prisoners Dilemma// Games and Economic Behavior, 7, 1994, p.381.

84. Kohelberg, E. Optimal Strategies in Repeated Games with Incomplete Information// Int. J. Game Theory 4, 1975, p.24.

85. Koopman B.O. Search and screening. N.Y., 1980.

86. Koopman B.O. Theory of search. Part II,III// Oper.Res. Vol. 4. 1956.

87. Kreps, D., P. Milgrom, J. Roberts and R. Wilson. Rational Cooperation in the Finitely Repeated Prisoners' Dilemma// Journal of Economic Theory, 27, 1982, pp.245-252.

88. Lehrer, E. and Smorodinsky R. Repeated Large Games with Incomplete Information// Games and Economic Behavior, 18, 1997, p.167.

89. Lehrer, E. Finitely Many Players with Bounded Recall in Infinitely repeated Games// Games and Economic Behavior, 7, 1994, p.390.

90. Lipman, Barton L., and Srivastava, Sanjay, Informational Requirements and Strategic complexity in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 2, 1990, p.273.

91. Mayberry, J.P., Discounted Repeated Games with Incomplete Information, in Report of the U.S. Arms Control and Disarmament agency, ST-116, Chapter V, 1967, pp.435-461.

92. McClendon, J. F., On Nash Equilibrium// Games and Economic Behavior, 6, 1994, p.283.

93. McKinsey J.C. Introduction to the theory of games, N.Y., 1952.

94. McLennan, A. and Park, In-Uck, Generic 4x4 Two Person Games Have at Most 15 Nash Equilibrium// Games and Economic Behavior, 26, 1999, p.lll.

95. Mertens, J.-F., Sorin S., and, Zamir, S., Repeated Games, CORE D.P., 1994, 9420,9421,9422.

96. Mertens, J.-F.,The Speed of Convergence in repeated games with Incomplete Information on One Side, CORE D. P., 1995, p.9506.

97. Moldovanu, Benny, Coalition Proof Nash Equilibria and the Core in Three-Player Games// Games and Economic Behavior, 4, 1992, p.565.

98. Neymann, Abraham, and Okada, Daijiro, Strategic Entropy and Complexity in Repeated Games// Games and Economic Behavior, 29, 1999,

99. Nowak, Andrezej S., and Sigmund, Karl, Invasion Dynamic of the Finitely Repeated Prisoners Dilemma// Games and Economic Behavior, 11, 1995, p.364.

100. Osborne, M. and A. Rubinstein. A Course in Game Theory, Cambridge: MIT Press. Overlapping Generations of Players// Review of Economic Studies, 59, 1994, pp. 81-92.

101. Pearce, D. Repeated Games: Cooperation and Rationality Chapter 4 in Advances in Economic Theory: Sixth World Congress, Vol. 1 edited by J-J. Laffont, Econometric Society Monographs,Cambridge University Press, Cambridge, 1992, pp. 13.

102. Petrosjan L., and A. Egorova, New Class of Solutions for Repeated Bimatrix Games// 11th IFAC International Workshop Control applications of optimization, Saint-Petersburg, Vol.2, СПб.: ООП НИИ Химии, 2000, pp.158-161.

103. Petrosjan Leon.A, Egorova Anastassia, Strong Nash Equilibria in n person Games// Atlas Mathematical Conference Abstracts, http:// at.yorku.ca/ cgi-bin/ amca/ caez-01, 2000.

104. Radner, R. Collusive Behavior in Noncooperative Epsilon Equilibria of Oligopolies with Long but Finite Lives// Journal of Economic Theory, 22, 1980, pp.136-154.

105. Radzik, Tadeusz, Pure-Strategy e -Nash Equilibrium in Two-Person Nonzero-Sum Games// Games and Economic Behavior, 3, 1991, p.356.

106. Rockafellar, R. Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton NJ, 1970.

107. Rubinstein, A. Comments on the Interpretation of Game Theory// Econometrica, 59, 1991, pp. 909-924.

108. Rubinstein, A. Equilibrium in Supergames// Essays in Game Theory,

109. Salant, David J., A Repeated Game with Finitely Lived Overlapping Generations of Players// Games and Economic Behavior, 3, 1991, p.244.

110. Shalev, Jonathan, Nonzero-Sum Two-Person Repeated Games with In-completet Information and Known-Own Payoffs// Games and Economic Behavior, 7, 1994, p.246.

111. Smith, L. Folk Theorems in Overlapping Generations Games, Games and Economic Behavior, 4, 1992, pp. 426-449.

112. Smith, L. Necessary and Sufficient Conditions for the Perfect Finite Horizon Folk Theorem// Econometrica, 63, 1995, pp.425-430.

113. Sorin, S. Repeated Games with Complete Information, Chapter 4 in Handbook of Game Theory, Volume 1, edited by R. Aumann and S. Hart, North-Holland, 1993, pp. 71-107.

114. Sorin, S. Cooperation Through Repetition: Complete Information, in Cooperation: Game Theoretic Approaches,edited by S. Hart and A. Mas-Colell, Springer-Verlag, 1996, pp. 169-198.

115. Sorin, Sylvain, A Note on Repeated Extensive Games// Games and Economic Behavior, 9, 1995, p.116.

116. Stahl, Dale O., The Graph of Prisoners'Dilemma Supergame Payoffs as a Function of the Discount Factor// Games and Economic Behavior, 3, 1991, p.129.

117. Stanford, William, A Note on the Probability of k Pure Nash Equilibriain Matrix Games// Games and Economic Behavior, 9, 1995, p.238.

118. Strafin F.D. The theory games and strategy., N.Y., 1993.

119. Stuart, Harbone W., Common belief of Rationality in the Finitely Repeated Prisoners' Dilemma// Games and Economic Behavior, 19, 1997,p.133.

120. Tan, K.K., Yu, J, and Yuan, X.Z, Existence Theorems of Nash Equilibrium for Non-cooperative n-Person Games// Int. J. Game Theory 24, 1995, pp.217-222.

121. Tomala. Tristan, Nash Equilibria of repeated Games with Observable Payoff Vectors// Games and Economic Behavior, 28, 1999, p.310.

122. Watson, Joel, Cooperation in the Infinitely Repeated Prisoners' Dilemma with Perturbations// Games and Economic Behavior, 7, 1994, p.260.

123. Watson, Joel, Reputation in Repeated Games with No Discounting// Games and Economic Behavior, 15, 1996, p.82.

124. Wen, Q. The 'Folk Theorem' for Repeated Games with Complete Information// Econometrica, 62, 1994, pp. 949-954.

125. Ziad A. Pure-Strategy e-Nash Equilibrium in n-Person Nonzero-Sum Discontinuous Games// Games and Economic Behavior, 20, 1997, pp. 238249.