Решения кооперативных динамических игр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОРНИЕНКО Елена Алексеевна

РЕШЕНИЯ КООПЕРАТИВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ИГР

Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003 г.

Работа выполнена на кафедре Математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета Прикладной математики — процессов управления Санкт - Петербургского Государственного Университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Петросан Леон Аганесович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гарнаев Андрей Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Уланов Владимир Алексеевич

Ведущая организация:

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (г. Петрозаводск)

Защита состоится" ЯЗ " ¿Jid 2003 г. в час. на заседании дис-

сертационного совета К-212.232,07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук наук при Санкт- Петербургском государственном университете по адресу: 190004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д.ЗЗ, ауд. Ж..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ им. А.М. Горького по адресу: С.Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "Я " UUbiuMjuj 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

В.Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы определяется необходимостью построения математических моделей кооперативного поведения в условиях наличия угроз, затрат гивакнцих интересы большого числа участников конфликта. При этом особо актуальны динамические модели, поскольку реальные конфликты развиваются во времени. Важное значение имеет вопрос об условиях, при которых игроки будут вступать в соглашение, а также сохранение условий кооперации на всем протяжения многошаговой игры.

Теория динамических кооперативных игр отличается множественностью принципов оптимальности, привнесенных из классической кооперативной теории. Основа теории построена JI.A. Петросяном, в развитие теории свой вклад в различное время внесли H.H. Воробьев, А.Ю. Гарнаев, В.В. Захаров, H.A. Зенкевич, В.И. Жуковский, А.Ф. Клейменов. H.H. Красовский, A.B. Кряжимский, O.A. Малафеев, C.B. Чистяков, Е.В. Яновская. За рубежом кооперативной теорией занимались Р. Ауманн, Дж. Заккур, С. Йоргенсен, М. Машлер, А. Ори, Дж. А. Филар, JI. Шепли, Д.В.К. Янг. Зарубежные авторы в основном использовали принципы оптимальности статической теории. Однако попытка переноса "ста-тических"принципов оптимальности в динамические модели требует разработки особого механизма, учитывающего особенности динамического процесса принятия решений. Таким механизмом является концепция динамической устойчивости принципов оптимальности.

Динамическая устойчивость решения означает, что любой отрезок оптимальной траектории от данного текущего состояния до конечного определяет оптимальное движение относительно соответствующих начальных состояний. Отсутствие динамической устойчивости приводит к возможности отказа от ранее принятого плана действий в некоторый текущий момент. В связи со сказанным при исследовании динамических кооперативных игр важное значение имеет построение динамически устойчивых решений. Исследованиям динамической устойчивости решений в дифференциальных играх были посвящены работы Р. Виллингера, Дж. Заккура, В.В. Захарова, С. Йоргенсена, JI.A. Петросяна, Д.В.К. Янга. Однако в большинстве работ не рассматривались дискретные кооперативные многошаговые игры.

В данной работе исследуется динами

БИБЛИОТЕКА |

юнняя дина-

СП етерфург г>л {

РЭ Щ) «n)QJ I

мическая устойчивость принципов оптимальности в многошаговых играх с иерархическими играми, разыгрываемыми на каждом шаге многошаговой игры.

Основной целью работы является исследование кооперативных динамических игр, построение уравнений эволюции характеристической функции в многошаговых кооперативных иерархических играх, исследование свойств динамической устойчивости и внутренней динамической устойчивости принципов оптимальности указанного класса игр, исследование возможности построения принципа оптимальности, для которого всегда выполнялось бы свойство внутренней динамической устойчивости, вывод достаточных условий существования сильного равновесия.в повторяющихся играх распределения ресурсов специального вида.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые были исследованы вопросы динамической устойчивости решений для многошаговых кооперативных иерархических игр, предложен способ построения новых принципов оптимальности, для которых выполнялось бы свойство внутренней динамической устойчивости, выведены уравнения эволюции характеристической функции, получены достаточные условия существования сильного равновесия (равновесия, устойчивого относительно отклонения коалиций игроков) в бескоиечношаговых повторяющихся играх, с иерархическими играми распределения ресурсов на каждом шаге.

Практическая ценность. Исследуемые в диссертации иерархические игры являются удобными моделями для описания систем распределения материальных, финансовых и трудовых ресурсов и имеют применение в области экономики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построение многошаговых динамических кооперативных игр на основе вывода новых уравнений, определяющих эволюцию характеристической функции в процессе игры.

2. Исследование для указанного класса игр динамически устойчивых и внутренне динамически устойчивых принципов оптимальности. Иллюстрация указанного подхода на примерах иерархических игр распределения ресурсов и ромбовидных иерархических игр.

3. Вывод достаточных условий существования сильного равновесия для повторяющихся иерархических игр распределения ресурсов специального вида.

4. Определение оптимальной доли отчислений на эволюцию системы с целью достижения максимального выигрыша за определенное число шагов.

Апробация работы. Научные и практические результаты докладывались на конференциях "Процессы управления и устойчивость"в Санкт-Петербургском Государственном университете в 1999, 2000, 2003 гг, на 10 Международном симпозиуме по динамическим играм и приложениям <1ЭВС-2002> (Санкт-Петербург, 2002 г.), на семинарах Центра теории игр при факультете ПМ-ПУ СПбГУ, на семинаре в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (г. Петрозаводск).

Публикации работы. Материалы исследований опубликованы в [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (10 параграфов) и списка используемой литературы. Общий объем диссертации 119 страниц. Список используемой литературы включает 57 наименований. Работа содержит 10 диаграмм, 2 рисунка.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, поставлена цель исследований, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы положения, выносимые на защиту, показаны теоретическая ценность и практическая значимость представленных в работе материалов.

В первой главе приводится постановка задачи. Описывается процесс построения многошаговой игры, с использованием выигрышей игроков, полученных на предыдущих шагах. Вводятся уравнения, описывающие эволюцию характеристической функции в процессе игры, на примере иерархической кооперативной древовидной игры.

В §1.1 рассматривается многошаговая игра С, на каждом шаге к которой разыгрывается одношаговая иерархическая древовидная игра (п + 1)-го игрока Г*, к = 0,1,...,т.

Одношаговая иерархическая древовидная игра моделирует конфликтно управляемую систему с иерархической структурой. На первом уровне иерархии находится административный центр Ао, который распределяет материальные и трудовые ресурсы между подчиненными ему производственными подразделениями В,, 1-1,...,п.

Нормальная форма игры Г* имеет вид:

Г* = (ЛГ; ик, УМ), • • -. Я* я*,..., я*}, 5

где N = (Ао,В1,...,В„) - множество игроков, Л) - административный центр, и i — 1 ,п, - подчиненные производственные подразделения, находящиеся на втором уровне иерархической системы. Игрок Ао выбирает вектор ик 6 I/*, где

(7* = {„* = .,«*), «*>0,

ик - множество стратегий игрока Ао, вектор и* - набор ресурсов I наименований, выделяемых центром Ао для ¿-го производственного подразделения. Каждый из игроков В^ зная выбор Аъ выбирает х* € ^(и*), где

У*(и?) = е Ят : < «? + а?, ^ > 0, » = 1,...,я}, (2)

- множество стратегий игрока В;, г' = 1,п, вектор я* - это производственная программа центра В<, Л* - производственная или технологическая матрица 1-го производственного подразделения, (А* >0); а* - вектор имеющихся ресурсов центра (а? > 0).

Определим функции выигрышей для каждого из игроков в игре Г*. Для игрока Ао функция выигрыша имеет вид

Я0*(«*, *?(•)■ - • •. *£(•)) = £<£*?(«?), «=(3) ¡=1

где 6 Я™ - полезность для центра Л), от продукции выпускаемой подразделениями В{, { = 1,п.

Для производственного подразделения B^ функцию выигрыша полагаем равной

Н?(ик, **(•), ■ • -, **(•)) = («?), i = (4)

где € Я™ - полезность выпускаемой продукции для центра В{.

Предполагается возможность кооперации игроков и строится характеристическая функция 1^(5) игры Г*.

Многошаговая игра <3 строится следующим образом.

Предположим, что на первом шаге реализовалась игра Г° с характеристической функцией 1>°(5) и принципом оптимальности СПусть т° = (т§, 7?,..., т®) дележ, принадлежащий принципу оптимальности С0, То — компонента, соответствующая административному центру .До, т? — компонента, относящаяся к г-му

производственному подразделению. На первом шаге игры игроки инвестируют дележ на развитие системы на следующем шаге. Предполагается, что административный центр Ад может направить свою компоненту дележа на увеличение ресурсов системы и свои собственные нужды, аналогично на каждом шаге любой из центров 2?< может инвестировать свой доход у* на улучшение производительности, увеличение запаса собственных ресурсов центра и на личные нужда. Такое инвестирование приведет к изменению параметров задачи, а значит на втором шаге мы получаем новую характеристическую функцию с1 (5) и новый принцип оптимальности С1.

Введем обозначения: и*(5) — характеристическая функция одношаговой игры Г*, реализовавшейся на & шаге, С* — принцип оптимальности в игре Г*, 7к еСк - дележ, принадлежащий принципу оптимальности С*.

Действуя аналогично, предположим, что на шаге (£ — 1) реализовалась игра Г*-1 с характеристической функцией vk~1(S) и принципом оптимальности С*-1. Тогда на ¿-ом шаге игра Г* строится с использованием дележей из принципа оптимальности С*-1 игры т*-1 следующим образом(идею предложили Петросяя Л.А., Филар Дж. А.). Возьмем на шаге Л — 1 дележ 7*-1 = 7?. •., 7п~') € С*-1. Компоненты этого дележа распределяются так же, как в игре Г°, игрок Л) получает 7о~\ игроки Вполучают 7*-1, г = 1,..., п. На шаге (к — 1) административный центр Ао может вложить свою компоненту дележа на увеличение ресурсов системы на ¿-ом шаге и свои собственные нужды, каждый из центров £< может инвестировать свой доход на улучшение производительности, увеличение запаса собственных ресурсов центра на ¿-ом шаге, на личные нужды. Это приведет к изменению параметров задачи, а значит на шаге к мы получим новую характеристическую функцию ик(8) и новый принцип оптимальности Ск.

Исходя из этих рассуждений, мы можем определить динамику изменения характеристической функции

= ЯК«*-1^),^-1), к = 1,... ,т,

где в С N есть неотрицательная вектор-функция. Поскольку ьк - это характеристическая функция в Г*, тогда для функции Гз должно выполняться, ^иа^Ч&ий),'т*-1) > Ш^-Ч&Хт^НЗД'-'О&И*-1). для коалиций

51!, С ^ П 5*2 = 0, и ^0(1/*-1(0), т*-1) = 0. Определим характеристическую функцию многошаговой игры следующим образом:

т

"(«) = ЕЛ*) (6)

для всех Б С N. Эта функция будет суперадцитивной.

В данном параграфе также приводятся определения процедуры распределения дележа 7 € С, динамически устойчивого и внутренне динамически устойчивого принципа оптимальности.

Показана справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Вектор Шепли многошаговой игры, построенный по формуле

к=0

будет внутренне динамически устойчивым принципом оптимальности.

В §1.2 проводится исследование динамической устойчивости и внутренней динамической устойчивости принципа оптимальности многошаговой игры, описанной в §1.1, отличие рассматриваемой модели будет заключаться в том, что все параметры модели принадлежат К1. Здесь получены явные аналитические формулы для оптимального дележа, эволюционные уравнения для характеристической функции, и в явном виде построена характеристическая функция многошаговой игры. Процесс построения многошаговой игры такой же, как в предыдущем параграфе.

Строится последовательность дележей 7 = {7*}^

I, и соответствующая траектория V = {и*})^1. Вводится обозначение: ^(7) принцип оптимальности, порожденный последовательностью 7. Пусть £ дележ, принадлежит принципу оптималь-

т

ности <7(7). Для дележа £ строится процедура распределения дележа £ = У^Зд,

*=1

г = 0,1..., п. В нашем случае каждая из Д* совпадает с Используем последовательность дележей £ — вместо 7 = {Т*}*»™-1 ПРИ построении характеристической функции многошаговой игры. Обозначим новую функцию многошаговой игры, построенную при помощи дележа через гГ*(5).

Построим принцип оптимальности при помощи функции

Для построенного таким образом принципа оптимальности СГ(£) выполняется свойство: дележ подыгры С?* будет принадлежать <?**(£), здесь (?**(£) - ядро подыгры <7*, построенное при помощи дележа

Доказана теорема о внутренней динамической устойчивости дележей конкретного вида, принадлежащих ядру многошаговой игры.

Теорема. Дележ | € (7(7) будет внутренне динамически устойчивым.

В §1.3 исследуется вопрос, можно ли построить такой принцип оптимальности, для которого всегда будет выполняться условие внутренней динамической устойчивости? Его построить достаточно сложно. Одним из способов является построение пересечения принципов оптимальности многошаговой игры, порожденных различными дележами.

Для этих целей рассмотрим одношаговую иерархическую игру Г, имеющую такую же структуру, как в §1.2.

На первом шаге рассмотрим характеристическую функцию vl(S) и С"-ядро одношаговой игры, построенное с помощью функции у1(3). Возьмем некоторое конечное множество дележей Д = {£}, • • •) £ С1. Используя метод построения характеристической функции многошаговой игры и динамику характеристической функции, описанные в §1, с помощью этого множества дележей построим мно-

т

жество характеристических функций многошаговой игры £,•) = С®! )>

к= 1

3 = 1,... ,р. Соответственно на шаге т мы имеем множество многошаговых игр С], каждой из которых соответствует свой принцип оптимальности

Рассмотрим пересечение множеств Обозначим его через М:

(7)

Рассмотрим некоторое подмножество множества дележей Д, обозначим его через Ь — {£,'1,..., ] = 1,..., р, Ь С Д. Ставится вопрос о том, будет ли множество Ь принадлежать пересечению М.

Проверка принадлежности множества Ь пересечению М заключает в себе некоторую сложность, поскольку надо проверить принадлежность дележа з = 1,..., 4, каждому из множеств, входящих в пересечение.

Для того, чтобы обойти эту трудность, введем новую функцию м^), которая имеет вид

w(S,ej) = maXvJ(S,Zj). (8)

Построенная таким образом функция может не быть сунераддитивной.

Дележ € Ь, для которого будет выполняться следующее условие

= (и,С/О: > «>(5). 5 С ЛГ,

,ба (9)

будет принадлежать М и для него будет выполняться €

Также в данном параграфе приводится пример, который показывает трудность проверки условия (9), а также нетривиальность его выполнения даже в простейших случаях.

Во второй главе рассматривается бесконечношаговая игра С с кооперативной иерархической игрой Г, разыгрываемой на каждом шаге. Для этой игры строится сильное равновесие по Нэшу (равновесия устойчивого к отклонению коалиций игроков) с использованием механизма регуляризации. Определяются "кооперативная траектория", предыстория и функции выигрыша игроков для игры <7 и подыгр С, начинающихся с шага к = 0,1,2,... этой игры. Вводится процедура распределения дележа, и на этой основе проводится регуляризация игры вдоль кооперативной траектории. Вводятся стратегии, которые включают возможность наказания игроков, отклоняющихся от заранее оговоренной траектории. Формулируются достаточные условия, при выполнении которых эти стратегии образуют сильное равновесие по Нэшу для случаев, когда мгновенная игра, разыгрываемая на каждом шаге имеет древовидную или ромбовидную структуру.

В §2.1 приводятся постановка задачи и основные определения. Рассматривается бесконечношаговая повторяющаяся игра (7 иерархической древовидной игрой (п -+- 1)-го игрока на каждом шаге. Обозначим ее через Г.

Вводятся следующие понятия. Пусть т = 0,1,... — номер шага бесконечной повторяющейся игры (7, пусть (ит,х™(-),... ,х%(-)) - набор выборов игроков на шаге т. Введем обозначение (и,х) = (и, Ха(-),...,£„(•))• Обозначим через

Н°° = ((и°,х0), (и1, х1).....(ит,хт),...) траекторию в игре в. Определим через

Лт = ((«°, з°), (и1, х1),..., («т-1, хт~1)) отрезок траектории Л°°, соответствующий первым то реализациям одновременной игры Г, при этом ЬР = 0. Выборы игроков являются функциями предыстории, и на шаге т их можно записать в виде ит = ит(Лт"1), х? = х^(Лт-1).

Определение 1. Функцию выигрыша игрока А> игры G(h°) определим следующим образом:

Я0(«,х) = £^Я0(«',а:,)) (1)

ио

где Sg € (0,1) — коэффициент дисконтирования игрока доопределение 2. Функции выигрыша игроков В и i = 1, —, п, игры G{h°) определим следующим образом:

Я,(«, х) = £$Я4(«', х1), t = 1,..., п, (2)

¡=о

где Si е (0,1) — коэффициент дисконтирования игрока В{.

Рассмотрим любую кооперативную траекторию порожденную выборами игроков на каждом шаге {(й°, 2°), (ff1,2F1),..., (В™, 2"*),...}, на которых суммарный выигрыш игроков максимален (предполагаем, что такая траектория существует)

ittfmS) ......*")."> (3)

= v(h°;N).

Обозначим через GihT) = £7m подыгру вдоль кооперативной траектории игры G(hP), начинающуюся с шага тис предысторией 7Г" \

Определение 3. Функцию выигрыша игрока Ло подыгры G(Km) определим следующим образом:

Яо(Г) = £<^тЯо(и',Л (4)

l=sm

Определение 4. Функции выигрыша игроков t = 1,..., п подыгры <?(7Г") определим следующим образом:

*<(П = Е Л «' = 1. • • •, п. (5)

i*m

Далее вдоль кооперативной траектории строятся вспомогательные кооперативные подыгры (л(ИГ). Для каждой из таких кооперативных подыгр строится характеристическая функция V(F*; S), S CN, и ядро C(F"). Введем обозначения: у = {и, ж,,..., аг„}, = j € 5}.

Для каждой из подыгр строится новая характеристическая функция

VXK"1; 5) по формуле

5) = тах{£ ЯГЧГЖ)} + ^(Г+ЧЬГ1); S). (6)

<es

При помощи характеристической функции V(F"; S) строится ядро CQjT).

Определение 5. Последовательность векторов /3 = А,...,/?;,... (Д = /?ц,..., /?„í) называется динамически устойчивой процедурой распределения дележа 7 (IDP) если выполняются следующие условия

7i = f>á', Í€7V, (7)

í=0

= ¿eJV, (8)

i=m

где 7m = (7om, 7Г. • • •, 7?) € (7(7Г").

Далее в этом параграфе проводится регуляризация игры G. Рассматривается многошаговая игра Gp, которая отличается от S значениями функций выигрыша, определенных вдоль кооперативной траектории. В Gp мы полагаем, что в каждой одношаговой игре Гт = Г, тп = 0,1,..., выигрыш в ситуации ут — (йт,х™,х™) определен как

Й((йт,х?,...,х!?)=&т, т = 0,1.....1 = 0,1,....п.

Для всех других ситуаций (ит, х™,..., х™) выигрыш не меняется: Щ{ит, x?,..., х?) = Щит, х?.....х™), ¿ = 0,1,..., п.

Определяются стратегии игроков в игре Gp. Пусть дь(-) — стратегия игрока A») 9í(')i * = 1, • • • > n - стратегии игроков B¡. Стратегия %(•), i = 0,1,..., п, есть правило, по которому каждой предыстории hm, т — 0,1,..., ставится в соответствие выбор г-го игрока, t е {Aq, В\,..., Вп}, в одношаговой игре Г, которая происходит на шаге т. То есть на шаге к,к = 0,1,2... выполняется: Qo(hk) — ы*+1,

q¡(hk) = i — 1.....п. Обозначим через Qj множество таких стратегий для

j'-ro игрока, j = 0,1,..., п, а через Q = n¿€s Qj ~ ситуацию в игре Gp.

Определение 6. Ситуация ?*(•) = (gÓ(-),?í(-)i • ■ • 1?£(•)) называется сильным равновесием по Нэшу (SNE) в Gp, если

£W(-))>£W(-))IM-)) (9)

ies ies

для всех S С N, qs(-) G П Qi-jes

Показана справедливость следующей теоремы.

Теорема. В игре существует сильное равновесие по Нашу (ЭЫЕ).

В §2.2 рассмотрен случай бесконечношаговой повторяющейся игры £? с иерархической древовидной игрой (п + 1)-го игрока на каждом шаге. Описание модели одношаговой игры дано в §1.1 первой главы. Отличие этой модели заключается в том, что параметры игры принадлежат Я1.

Аналогично §2.1 проводится регуляризация игры б, и для регуляризованной игры <?-, выводятся достаточные условия существования сильного равновесия.

Теорема. Если выполняется условие

\m-wm-• (10)

тяг/ ri\ v* (Ci+^K+^i) Л

где W(S) - V --—-, тогда в игре G-, существует сильное равновесие

Îts а<

по Нэшу.

Здесь также приводятся явные аналитические формулы для процедуры распределения дележа.

В §2.3 рассмотрен случай бесконечно шаговой повторяющейся игры G с иерархической ромбовидной игрой четырех игроков на каждом шаге.

Приведем описание модели иерархической ромбовидной игры. Считаем, что на первом шаге ходит игрок Aq и выбирает стратегию и = (щ, «г) из некоторого множества U', где U' — множество стратегий игрока Aq. Элемент (стратегия) и € U1 ограничивает возможности выборов игроков В\, 2?г на следующем шаге. Таким образом, множество выборов игрока В[ оказывается функцией параметра щ (обозначим его через В[(щ)), и, аналогично, множество выборов игрока Bi оказывается функцией параметра и2 (обозначим его через В'3(щ)). Параметры o>i е В[(иi) ИЫ] € В2(112), выбираемые игроками Bi и В2, задают ограничения на множество выборов игрока С" на третьем шаге игры, то есть это множество оказывается функцией параметров и и>2. Обозначим его через C'(w 1,0*2), а элементы этого множества (производственные программы) — через v. Нормальная форма ромбовидной игры выглядит так:

Г = (N, U', В[, В'2, С, НиН2, Я3, Я4).

Здесь N = (Ai, Bi,B2, С) — множество игроков, U',B[, В'3,С' — множества

стратегий игроков, функции выигрыша имеют вид

ЯКи.о'гО), «*(•). КО) = МК^Ы.^аЫ)).* = 1.2,3,4.

Мы считаем, что выигрыши всех игроков Ао, В\, Вг, зависят только от производственной программы и, выбираемой игроком С.

Для определенности предполагаем, что множества стратегий 17', В[, В'г, С имеют вид:

17' = {и | щ > 0, г = 1,2, в!«! + оги2 < Л}, Щ = {Ш1 | и>1 > 0, ЬгШг < иг};ц;1 е Я1, ^

В'2 — {ша I ш2 > О, Ьдо < Иа}; шг € Я1, С = {и | и > О, Л/ < Ш1 + иг}, и е Я1, здесь Л > 0,Л,«1,и2 6 Я1, А — это ограничения на ресурсы центра Ао, ац, Ог, 61, 62, й € Я1 — это коэффициенты производительности, все числа 01, а2, 61, 621 ^ неотрицательны.

Формулируется теорема, о существовании сильвого равновесия для регуляри-зованной игры (?7, которая строится аналогично §2.1 и §2.2.

Теорема. Если выполняются условия

Н 1 3 >0 — < —•

¿(«161) ' Ьг к' (12)

2а1*>1 01 £2 4 '

' Ь? 61 или

202&2 02

^ 0161 ' Ьг 61'

Л 1

(13)

¿(азЫ ~ ' Ь V

тогда в игре СУ7 существует сильное равновесие по Нэщу.

В третьей главе рассматривается кооперативная многошаговая динамическая игра С. На каждом шаге многошаговой игры разыгрывается одношаговая иерархическая кооперативная игра Г. Рассматриваются две модели одношаговых иерархических игр, с древовидной и ромбовидной структурами. Многошаговая кооперативная игра с древовидной игрой на каждом шаге подробно описана в первой главе. Описание иерархической ромбовидной игры дано во второй главе. Многошаговая игра строится следующим образом. На каждом шаге игроки отчисляют какую-то долю от заработанного дохода на развитие системы, а другую часть

оставляют на собственные нужды. Под развитием системы понимаем закупку ресурсов, улучшение производства. На каждом следующем шаге параметры нашей задачи строятся с использованием отчислений от выигрышей игроков, заработанных на предыдущем шаге. Отличие этой главы от главы 1 состоит в том, что нас интересует, какую именно долю от собственного выигрыша игроки должны отчислять на развитие системы, для получения максимального дохода, тогда как в первой главе доля отчислений от выигрыша игроков использовалась только для построения многошаговой игры.

В §3.1 приводится описание древовидной модели игры четырех игроков. Строятся характеристическая функция и вектор Шепли для данной игры.

В §3.2 описывается процесс построения многошаговой игры и вычисляется оптимальная доля отчислений игроков на развитие системы.

Процесс построения многошаговой игры в данном параграфе отличается от главы 1 принципом оптимальности, используемом на каждом шаге.

Предположим, что на шаге к— 1 реализовалась игра Г*-1 с характеристической функцией и вектором Шепли Фк_ь Фк-Х = {фк-\{Ао), фк-х{В{), фк^(В2),

Фк-\(С)). Тогда игра Г* строится с использованием компонент вектора Шепли игры 1\_1 следующим образом. Предполагается что административный центр Ао может вложить свою компоненту вектора Шепли на увеличение ресурсов системы и на свои собственные нужды, аналогично на каждом шаге каждый из центров В{ может инвестировать свою компоненту вектора Шепли на увеличение производительности, увеличение запаса личных ресурсов и на собственные нужды. Таким образом, на шаге к мы получаем новую характеристическую функцию Vk(S) и новый вектор Шепли Ф*.

Обозначим долю отчислений через р и предположим, что она не зависит от шага.

Общая сумма отчислений выглядит следующим образом

71-1 = (фк-1(Ло) + фк^(В{) + фк-1{В2) + ФЫВ3))р = vк-1(N)p, (1)

N - коалиция всех игроков, р е [0,1].

Предположим, что на шаге к величина Тк-\ инвестируется игроками на развитие системы. Значение (1 — р)ук{М) центры будут оставлять для своего собственного развития. Это и будет выигрыш всех игроков иа каждом шаге. Суммарный

доход игроков за m шагов обозначим через WP(N) = É (1 —p)vk(N). Будем искать такое значение р" при котором функция WT(N) будет максимальна после m шагов. Для этого находим значение функции Vk(N) на каждом шаге по следующей формуле

Vk{N) --^-^1-ii-2 52 // +

ао(с* + 4) aoté + 4) . ,

~I z I Т j К — 1, • . . , /»I.

«2 а3

(2)

На каждом шаге выигрыш каждого игрока равен его компоненте вектора Ше-пли. В этом случае значение (1—р)г^(ЛГ) распределяется между центрами на к-ом шаге.

Соответственно, общий выигрыш каждого центра равен сумме компонент вектора Шепли, полученных на каждом шаге, то есть

Ф'(Ао) = Е Ф*(М = Е Фк(Вг), ф'{В2) = Е Фн(В2), ф-(В3) = Е фк(В3). к= 1 к= 1 к=1 *=1

Нашей целью является нахождение значений рд*, р^*, рд*, Рд*, на которых

ф*(Ао), ф*(В{), ф*(Вг), Ф*(В3) будут максимальны после го шагов и значение р*, на котором суммарный выигрыш игроков \VpiN) достигает максимума через т шагов.

В данном параграфе так же приводится численный пример, в котором рассматривалась игра продолжительностью пять шагов. Для нее найдено значения р*, на котором достигает максимума. Так же найдены значения р"0, р^*,

Рв, > Рв,- Результаты иллюстрируются пятью диаграммами.

В §3.3 приводится описание ромбовидной модели четы рюх игроков. Строятся характеристическая функция и вектор Шепли для данной игры.

В §3.4 строится многошаговая игра, аналогично §3.2. Ищется доля отчислений от выигрыша, которую необходимо отдавать игрокам на развитие системы, чтобы суммарный доход был максимален. Приводится численный пример, результаты которого проиллюстрированы диаграммами.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ

РАБОТЫ:

1. Корниенко Е. А. (2003). Построение сильного равновесия в повторяющихся иерархических играх. Процессы управления и устойчивость. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, с. 537-541.

2. Korniyenko Е. А. (2002). Cooperative Multistage Hierarchycal Game on a Tree. Proceedings of the Tenth International Symposium on Dynamic Games and Applications, Vol.1, pp. 440-445.

3. Корниенко E. A. (2000). Эволюция вектора Шепли в динамической иерархической ромбовидной игре. Процессы управления и устойчивость. НИИ Химии СПбГУ, с. 447-450.

4. Корниенко Е. А. (1999). Эволюция характеристической функции в ромбовидной иерархической игре. Процессы управления и устойчивость. НИИ Химии СПбГУ, с. 461-465.

Отпечатано когофовалъво-мвожителыгеш участком отдела обеяуяагоашю учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ №71/1 от 14.05.03. Подписано в печать 17.09,03 с оригинал макет» заказчика. Ф-т 80x42/4. Усл. печ. я. 1,25, Уч.-иэд.д. 1,0. Тираж 100 экз., Заказ *Ю24/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, дЗ, тел. 428-43-00.

л*

2<ъо j -А

»1472 3

h

i

Введение

1 Кооперативные динамические игры

1.1 Эволюционное уравнение для характеристической функции в специальном классе многошаговых кооперативных игр

1.2 Исследование динамической устойчивости и внутренней динамической устойчивости принципов оптимальности в многошаговой кооперативной игре с древовидной структурой.

1.3 Исследование возможности построения внутренне устойчивого принципа оптимальности в многошаговой кооперативной игре

2 Построение "сильного"равновесия в повторяющихся иерархических играх

2.1 Сильное равновесие по Нэшу в повторяющейся иерархической древовидной игре.

2.2 Построение "силы-юго"равновесия.

2.3 Построение "сильного"равновесия в повторяющейся ромбовидной игре.

3 Исследование параметров кооперативного поведения в многошаговых играх

3.1 Описание игры, разыгрываемой на каждом шаге.

3.2 Определение оптимальной доли отчислений на развитие системы в многошаговой кооперативной древовидной игре.

3.3 Описание ромбовидной игры, разыгрываемой на каждом шаге.

3.4 Определение оптимальной доли отчислений на развитие системы в многошаговой кооперативной ромбовидной игре.

Актуальность проблемы определяется необходимостью построения математических моделей кооперативного поведения в условиях наличия угроз, затрагивающих интересы большого числа участников конфликта. При этом особо актуальны динамические модели, поскольку реальные конфликты развиваются во времени. Важное значение имеет вопрос об условиях, при которых игроки будут вступать в соглашение, а также сохранение условий кооперации на всем протяжении многошаговой игры. Различным аспектам динамических кооперативных игр посвящены работы [4, 7, 19, 21, 25, 33, 38, 46, 55].

Теория динамических кооперативных игр отличается множественностью принципов оптимальности, привнесенных из классической кооперативной теории [3, 11, 23, 29, 33, 34, 50, 51]. Однако, попытка переноса ,,статических"принципов оптимальности в динамические модели требует разработки особого механизма, учитывающего особенности динамического процесса принятия решений. Таким механизмом является концепция динамической устойчивости принципов оптимальности. Динамическая устойчивость решения означает, что любой отрезок оптимальной траектории от данного состояния до конечного определяет оптимальное движение относительно соответствующих начальных состояний. Отсутствие динамической устойчивости приводит к возможности отказа от ранее принятого плана действий в некоторый текущий момент. В связи со сказанным, при исследовании динамических кооперативных игр важное значение имеет построение динамически устойчивых решений. В разное время исследованиям динамической устойчивости решений были посвящены работы [13, 14, 33, 46, 52].

В данной работе исследуется динамическая устойчивость и внутренняя динамическая устойчивость принципов оптимальности в многошаговых иерархических играх, выводится эволюционное уравнение для характеристической функции в многошаговых кооперативных иерархических играх. В разное время исследованию иерархических игр были посвящены работы [6, 20, 33].

Для данного класса игр строится сильное равновесие по Нэшу. Выводятся аналитически условия существования сильного равновесия для повторяющихся иерархических игр с древовидной и ромбовидной структурами.

Основной целью работы является исследование кооперативных динамических игр, построение уравнений эволюции характеристической функции в многошаговых кооперативных иерархических играх, исследование свойств динамической устойчивости и внутренней динамической устойчивости принципов оптимальности указанного класса игр, исследование возможности построения принципа оптимальности, для которого всегда выполнялось бы свойство внутренней динамической устойчивости, вывод достаточных условий существования сильного равновесия в повторяющихся играх распределения ресурсов специального.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые были исследованы вопросы динамической устойчивости решений для многошаговых кооперативных иерархических игр, предложен способ построения новых принципов оптимальности, для которых выполнялось бы свойство внутренней динамической устойчивости, выведены уравнения эволюции характеристической функции, получены достаточные условия существования сильного равновесия (равновесия, устойчивого относительно отклонения коалиций игроков) в бесконечношаговых повторяющихся играх с иерархическими играми распределения ресурсов на каждом шаге.

Практическая ценность. Исследуемые в диссертации иерархические игры являются удобными моделями для описания систем распределения материальных, финансовых и трудовых ресурсов и имеют применение в области экономики.

Основные положения выносимые на защиту:

1. Построение многошаговых динамических кооперативных игр на основе вывода новых уравнений, определяющих эволюцию характеристической функции в процессе игры.

2. Исследование для указанного класса игр динамически устойчивых и внутренне динамически устойчивых принципов оптимальности. Иллюстрация указанного подхода на примере иерархических игр распределения ресурсов и ромбовидных игр.

3. Вывод достаточных условий существования сильного равновесия для повторяющихся иерархических игр распределения ресурсов специального вида.

4. Определение оптимальной доли отчислений на эволюцию системы с целью достижения максимального выигрыша за определенное число шагов.

Апробация работы. Научные и практические результаты докладывались на конференциях "Процессы управления и устойчивость"в Санкт-Петербургском Государственном университете в 1999, 2000, 2003 гг, на 10 Международном симпозиуме по динамическим играм и приложениям <ISDG-2002> (Санкт-Петербург, 2002 г), на семинарах Центра теории игр при факультете ПМ-ПУ СПбГУ, на семинаре в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (г. Петрозаводск).

В первой главе приводится постановка задачи. Описывается процесс построения многошаговой кооперативной игры, с использованием выигрышей игроков, полученных на предыдущих шагах. Выводятся уравнения, описывающие эволюцию характеристической функции в процессе игры, на примере иерархической кооперативной древовидной игры.

В §1.1 рассматривается многошаговая игра G на каждом шаге которой разыгрывается одношаговая иерархическая древовидная игра (п + 1)-го игрока. Описывается процесс построения многошаговой кооперативной игры, выводятся уравнения эволюции характеристической функции в процессе игры. В данном параграфе приводятся определения процедуры распределения дележа, динамически устойчивого и внутренне динамически устойчивого принципа оптимальности.

В §1.2 проводится полное исследование динамической устойчивости и внутренней динамической устойчивости принципа оптимальности многошаговой игры, описанной в §1.1, отличие рассматриваемой модели заключается в том, что все параметры модели принадлежат R1. В результате получены явные аналитические формулы для оптимального дележа, эволюционные уравнения для характеристической функции, в явном виде построена характеристическая функция многошаговой игры.

В §1.3 исследуется вопрос, можно ли построить такой принцип оптимальности, для которого всегда будет выполняться свойство внутренней динамической устойчивости? Построение такого принципа достаточно сложно. Делается предположение, что один из способов заключается в нахождении пересечения принципов оптимальности многошаговой игры, порожденных различными дележами.

Во второй главе рассматривается бесконечношаговая игра G с кооперативной иерархической игрой Г на каждом шаге. Для этой игры строится сильное равновесие по Нэшу с использованием механизма регуляризации [47, 48]. Определяется "кооперативная траектория", предыстория и функция выигрыша игроков для игры G и подыгр Gk, начинающихся с шага к = 0,1,2,. этой игры. Вводится процедура распределения дележа и на этой основе проводится регуляризация игры вдоль кооперативной траектории. Вводятся стратегии, которые включают возможность наказания игроков, отклоняющихся от заранее оговоренной траектории. Формулируются достаточные условия, при выполнении которых эти стратегии образуют сильное равновесие по Нэшу для случаев, когда мгновенная игра, разыгрываемая на каждом шаге имеет древовидную или ромбовидную структуру.

В §2.1 приводится постановка задачи, определение сильного равновесия по Нэшу, определение выигрыша в бесконечношаговой игре. Рассматривается бесконечношаговая повторяющаяся иерархическая игра G, выводятся условия существования сильного равновесия по Нэшу в повторяющейся иерархической древовидной игре.

В §2.2 рассмотрен частный случай бесконечношаговой повторяющейся игры G с иерархической древовидной игрой (п + 1)-го игрока на каждом шаге. Выводятся условия существования сильного равновесия в явной аналитической форме.

В §2.3 рассматривается частный случай бесконечношаговой повторяющейся игры G с иерархической ромбовидной игрой четырех лиц, разыгрываемой на каждом шаге. В данном параграфе также получены условия существования сильного равновесия по Нэшу в аналитической форме.

В третьей главе рассматривается кооперативная многошаговая динамическая игра G. На каждом шаге многошаговой игры разыгрывается одношаговая иерархическая кооперативная игра Г. Рассматриваются две модели одношаговых иерархических игр с древовидной и ромбовидной структурами. Многошаговая кооперативная игра с древовидной игрой на каждом шаге подробно описана в первой главе. Описание иерархической ромбовидной игры дано во второй главе. Многошаговая игра строится следующим образом. На каждом шаге игроки отчисляют какую-то долю от заработанного дохода на развитие системы, а другую часть оставляют на собственные нужды. Под развитием системы понимаем закупку ресурсов, улучшение производства. На каждом следующем шаге параметры нашей задачи строятся с использованием отчислений от выигрышей игроков, заработанных на предыдущем шаге. Отличие этой главы от главы 1 состоит в том, что нас интересует, какую именно долю от собственного выигрыша игроки должны отчислять на развитие системы, для получения максимального дохода, тогда как в первой главе доля отчислений от выигрыша игроков использовались только для построения многошаговой игры.

В §3.1 приводится описание древовидной модели игры четырех игроков. Строятся характеристическая функция и вектор Шепли для данной игры.

В §3.2 строится многошаговая игра, с использованием отчислений игроков от полученного выигрыша на развитие системы. Отличие процесса построения многошаговой игры заключается в том, что в качестве принципа оптимальности на каждом шаге используется вектор Шепли. Для данной модели была получена оптимальная доля отчислений игроков, направляемая на развитие системы. Приводится численный пример, результаты примера иллюстрируются диаграммами.

В §3.3 приводится описание ромбовидной модели четырех игроков. Определяются новые стратегии игроков, строятся характеристическая функция и вектор Шепли.

В §3.4 строится многошаговая игра, с использованием отчислений игроков от полученного выигрыша на развитие системы. Здесь также качестве принципа оптимальности на каждом шаге используется вектор Шепли. Выводятся аналитические формулы для вектора Шепли многошаговой ромбовидной игры. Вычисляется оптимальная доля отчислений игроков, направляемая на развитие системы. Приводится численный пример, результаты которого проиллюстрированы диаграммами.

1. Вилкас, Э. Й. (1972). Формализация проблемы выбора теоретико-игрового критерия оптимальности. Математические методы в социальных науках. Вып.2. Вильнюс, 1972.

2. Вилкас, Э. Й. (1976). Понятие оптимальности в теории игр. Современные направления теории игр. Вильнюс: Минтис, 1976.

3. Вилкас, Э. Й. (1990). Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990.

4. Данилов, Н. Н. (1986). Связь между методом динамического программирования и принципом динамической устойчивости в кооперативных играх. Многошаговые, иерархические, дифференциальные и кооперативные игры: Сб. научн. тр. Калинин, 1986.

5. Жуковский В.И. (1999). Кооперативные игры при неопределенности и их приложения. М.: Эдиториал УРСС.334 с.

6. Клейменов А.Ф.(1985). К теории иерархических дифференциальных игр двух лиц: Прпринт. Свердловск: Ин-т мат. и мех. УНЦ АН СССР, 67 с.

7. Клейменов А.Ф. (1990). К кооперативной теории бескоалиционных позиционных дифференциальных игр. Доклады АН СССР, 1990, Т.32, N 1.

8. Корниенко Е. А. (1999). Эволюция характеристической функции в ромбовидной иерархической игре. Процессы управления и устойчивость. НИИ Химии СПбГУ, с.461-465.

9. Корниенко Е. А. (2000) Эволюция вектора Шепли в динамической иерархической ромбовидной игре. Процессы управления и устойчивость. НИИ Химии СПбГУ, с.447-450.

10. Корниенко Е. А. (2003). Построение сильного равновесия в повторяющихся иерархических играх. Процессы управления и устойчивость. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, с.537-541.

11. Мулен Э. (1985). Теория игр с примерами из математической экономики. М.:Мир.

12. Петренко, И. В. (1999). Древовидные кооперативные иерархические игры. Процессы управления и устойчивость, pp. 488-495.

13. Петросян Л. А. (1977). Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками. Вестник Ленинградского университета, 1977, N 19, Вып. 4.

14. Петросян Л. А. (1977). Дифференциальные игры преследования. Л., 1977.

15. Петросян Л. А. (1978). Неантагонистические дифференциальные игры. В кн.: Вопросы механики процессов управления. Управление динамическими системами. Л., 1978.

16. Петросян Л. А. (1979). Решение неантагонистических дифференциальных игр п лиц. В кн.: Динамическое управление. Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Свердловск, 1979.

17. Петросян JI.A., Захаров В.В. (1996). Математические модели в экологии. СПб: Изд. СПбГУ, 1996, 253 с.

18. Петросян JI. А., Данилов Н. Н., (1979). Устойчивость решений в неантагонистических дифференциальных играх с трансферабель-ными выигрышами. Вестник Ленинградского университета, 1979, N 1.

19. Петросян Л. А., Данилов Н. Н., (1985). Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск, 1985.

20. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А. Семина Е. А., (1998). Теория игр. М.: Высш. шк., Книжный дом "Университет", 1998.- 304 с.:ил.

21. Петросян Л. А., Кузютин Д. В., (2000). Игры в развернутой форме. Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 2000 г.

22. Печерский С. Л., Соболев А. И., (1983). Проблема оптимального распределения в социально-экономических задачах и кооперативные игры. Л.: Наука, 1983.

23. Розенмюллер И., (1974). Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974.

24. Соболев А. И., (1975). Характеризация принципов оптимальности кооперативных игр посредством функциональных уравнений. Математические методы в социальных науках, N 6, под ред. Н.Н.Воробьева. Вильнюс, 1975.

25. Чистяков С. В., (1993). Динамический аспект решения классических кооперативных игр. Докл. РАН. Т.ЗЗО, N6.

26. Яновская Е. Б., (1972). Бесконечные антагонистический игры. В кн.: Теория вероятностей. Математическая статистика. Математическая кибернетика. Т.10. М., 1972, с. 75-106.

27. Яновская Е. В., (1999). Аксиоматическая характеризация редуцированных игр. Вопросы механики и процессов управления, Сер."Управление в социально- экономических системах", 7V20. Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 1999.

28. Aumann R., Maschler М., Е., Streams., Repeated Games with Incomplete Information. Games and Economical Behavior, 16, 1996, pp. 347 -352.

29. Banzhaf J. F. (1965). Weighted voting does not work: A mathematical analysis. Rutgers Law Review, 19.

30. R. van den Brink, G. van der Laan (1998). Axiomatization of the normalized Banzhaf value and the Shapley value. Social Choice and Welfare, 15. Springer-Verlag, 1998.

31. Driessen T.S.H. Radzik T. R.G. Wanink (1996). Potential and consistency: a uniform approach to values for TV-games. Memorandum No. 1323, Department of Applied Mathematics, University of Twent, Enschede, The Netherlands.

32. Funaki Y., Yamato T. (2001) The Core and Consistency Properties: A General Characterization. International Game Theory Review Vol. 3 No. 2 & 3, June & September.

33. Filar, G. A. and L. A. Petrosjan (2000). Dynamic Cooperative Games. International Game Theory Review. Vol. 2, No. 1, pp. 47-66.

34. Gillies D. B. (1953). Some theorems on n-person games. Ph.D. thesis, Princeton University Press, Princeton, NJ.

35. Hart S. Mas-Colell'A. (1989). Potential, Value and Consistency. Econometrica, 57.

36. Kalai E., Smorodinsky M. (1975). Other solutions to the Nash's bargaining problem. Econometrica, 43.

37. Korniyenko E. A. Cooperative Multistage Hierarchycal Game on a Tree. Proceedings of the Tenth International Symposium on Dynamic Games and Applications, Vol.1, 2002, pp. 440-445, St.Petersburg.

38. Kuzutin D. (1996). One approach to the construction of time consistent optimality principles in n-person differential games. Game Theory and Applications (eds. L. Petrosjan and V. Mazalov). NY: Nova Science Publishers, 1996.

39. Maschler M. Peleg B. L.S. Shapley (1972). The kernel and bargaining set for convex games. International Journal of Game Theory, 1.

40. Nagahisa R. Yamato T. (1992). A simple Axiomatization of the Core of Cooperative Games with a Variable Number of Agents. Toyota University.

41. Nash, J. (1950). Equilibrium points in n-person games. Nat. Acad. Sci. U. S. 36, 48 49.

42. J. Von Neumann, O. Morgenstern (1944). Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton, NJ.

43. Owen, G. (1986). Game Theory. W. B. Saunders Company. Philadelphia London - Toronto.

44. Pechersky S.L. (1998). Note on the Core and Quasicore of Cooperative Games. Game Theory and Applications, Vol.4. NY, Nova Science Publishers, 1998.

45. Peleg B. (1989). An axiomatization of the core of market games. Math. Oper. Research, 14.

46. Petrosjan L. A. (1995). The Shapley Value in Differential Games. Annals of the International Society of Dynamic Games, Greet van Olsder editor, vol. 3.

47. Petrosjan L.A., Grauer L.V. (2002). Strong Nash Equilibrium In Multistage Games. International Game Theory Review, Vol. 4, No. 3, pp. 255-264.

48. Petrosjan, L.A., Egorova, A.A. (2000). New class of solutions for repeated bimatrix games. Proceedings of the 11th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization 2000. Pergamon, 2, 617 622.

49. Raiffa H. (1953). Arbitration schemes for generalized two-person games. Contributions to the Theory of Games. Ann. Math. Studies, Vol.1, N 28.

50. Shapley L.S. (1953). A value for n-person games. In Contributions to the Theory of Games II (Eds. H. Kuhn and A.W. Tucker). Ann. Math. Stud. 28, Princeton University Press. Prinecton, NJ.

51. Tijs S.H. (1981). Bounds for the Core and the т-Value. Game Theory and Mathematical Economics (eds. O. Moeschlin and D. Pallasche). North-Holland Publishing Company, Amsterdam.

52. Villiger R. and L.A. Petrosjan (2001). Construction of time-consistent imputations in differential games. Proceedings of the 2nd International Conference "Logic, Game Theory and Social Choice", St. Petersburg, Russia.

53. Yanovskaya E. (1999). Strongly consistent solutions to balanced TU games. International Game Theory Review, 1999, Vol.1, N 1.

54. Zakharov V. (1996). About selectors of the core in dynamic games. Proceedings of the 7th ISDG symposium on Dynamic Game and Applications, Kanagawa, Japan.

55. Zakharov V., O-Hun Kwon. (1997). Linear programming approach in cooperative games J. Korean Math. Soc. 1997. Vol.34, no.2. P.423-435.

56. Zhukovsky V.I., Molostvov V.S., and K.S.Vaisman. Non-Cooperative Games under Uncertainity. Game Theory and Applications. Eds. by L.A.Petrosjan and V.V.Mazalov, Vol. III.