Равновесные распределения в некоторых задачах символической динамики со счётным числом состояний тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.217:519.53:517.938

Поляков Антон Борисович

РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ СИМВОЛИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ СО СЧЁТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

(01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2004

Работа выполнена на кафедре математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Б.М. Гуревич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор A.M. Степин

кандидат физико-математических наук, научн. сотр. СВ. Савченко

Ведущая организация

Институт Проблем Передачи Информации РАН

Защита диссертации состоится " О " Марты 2004 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертационного совета

Д.501.001.85 в МГУ,

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Символическая динамика занимается изучением динамических систем, у которых в качестве точек фазового пространства фигурируют бесконечные наборы символов, принадлежащих конечному или счётному алфавиту, или, как ещё говорят, множеству состояний. При этом наиболее распространённым и во многих случаях естественным преобразованием, задающим динамику, является сдвиг; вместе с тем, зачастую возникает необходимость рассматривать и другие преобразования (это относится, например, ко второй главе диссертации). Методы символической динамики играют важную роль при изучении классических динамических систем гиперболического типа, в частности, геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны, (см. М И Ю М). Существует также тесная связь между символическими системами и решётчатыми моделями статистической физики^ И

Систематическое исследование символических систем со счётным множеством состояний началось сравнительно недавно, в конце 70-х — первой половине 80-х гг. Необходимо отметить, что наличие у символической динамической системы счётного (а не конечного) числа состояний и связанная с этим некомпактность фазового пространства существенным образом усложняют её изучение и приводят к возникновению целого ряда новых задач, которые не актуальны или даже не имеют смысла в случае конечного числа состояний. В то же время подобные системы естественным образом появляются, например, при рассмотрении рассеивающих биллиардов М. Источником значительного числа задач символической динамики со счётным множеством состояний служит термодинамический формализм — совокупность идей и понятий, пришедших в теорию динамических систем из статистической физики (выделим здесь работы^ И t10l).

'ЧСнвай Я.Г. Марковские разбиения к У-диффеоморфизмы. Фуикц. анализ и его прил., 2 (1968), N1, 64-89.

Plßoy» Р. Методы символической динамики. — М.: Мир, 1979.

I3' Lalley S. Renewal theorems in symbolic dynamics with applications to geodesic flows, non-Euclidean tesselations and their fractal limit sets. Acta Mathematica, 163 (1990), 1-55.

(''Bedford Т., Keane M., Señes С. (Eds). Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces. — Oxford

P'Ruelle D. Thermodynamic formalism. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1978.

Iе!Keller G. Equilibrium states in ergodic theory. — Cambridge Univ. Press, 1998.

[^Бувимоввч Л.А., Синай Я.Г., Чернов Н.И. Марковские раэбкеиия для двумерных гиперболических бил-

Р'Гуреввч Б.М., Савченко С.В. Термодинамический формализм дли символически* цепей Маркова со счетным числом состояний. УМВ, 53 (1998), вып. 2, 3-106.

'''Sarig О.М. Thermodynamic formalism for countable Markov shifts. Ergod. Th. and Dynam. Sy»t., 19(1999),

(l0'Yuri M. Multi-dimensional maps with infinite invariant measures and countable state sofic shifts. Indttg. Math.,

В рамках термодинамического формализма одним из основных является понятие равновесного распределения. Пусть заданы топологическая динамическая с и с т А ([У,Т) (т.е. топологическое пространство Г с непрерывным отображением Т : К —> У) и непрерывная функция / : У М. Тогда на Т-инвариантных борелевских вероятностных мерах ц на Т можно рассмотреть функционал = + //¿А1? где ЛДХ1) — энтропия преобразования Т

относительно меры /х, причём мы вначале берём только те меры, для которых сумма энтропии и интеграла имеет смысл. В случае некомпактного пространства У, когда могут возникнуть "плохие" меры /х, т.е. меры с ЛМ(Т) = с», / /(1(1 = —оо, иногда удаётся продолжить 'Р(-) и на них. (см. М М). Меры, на которых достигается верхняя грань функционала 7>(*), называются равновесными распределениями (относительно /). При / = 0 равновесные распределения — это меры с максимальной энтропией. Среди наиболее важных вопросов, возникающих в связи с вариационной задачей для функционала выделим следующие: о существовании и единственности равновесного распределения; о возможности охарактеризовать равновесное распределение как гиббсовскую меру (другими словами, вопрос о справедливости вариационного принципа Гиббса); вопрос о предельном поведении последовательностей равновесных распределений, отвечающих исчерпывающим последовательностям "конечных подсистем" исходной системы.

В диссертации рассматриваются три задачи символической динамики, в которых главным предметом исследования является понятие равновесного распределения в контексте сформулированных выше вопросов.

В первой главе диссертации рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бернулли со счётным числом состояний. Под локальным возмущением понимается результат удаления конечного множества рёбер в соответствующем графе. Первая задача заключается в том, чтобы найти достаточные, а если возможно, то и необходимые условия существования (единственной) меры с максимальной энтропией для специального потока 5/, построенного по любому локальному возмущению счётной топологической схемы Бернулли и по функции /, определённой на фазовом пространстве этой схемы Бернулли. Таким образом, изучается устойчивость свойства потока иметь меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока.

ln'Gurevich B.M. A variational characterization of one-dimensional countable state Gibba random fields. Z. Wahr-teheinlichkeüttheorie vera. Gebiete, OS (1984), 205-242.

l1J'Walteis P. Invariant measures and equilibrium states for some mappings which expand distances. 7Vmu. Amer.

Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Мар -кова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались в работе!15) СВ. Савченко. Его результаты используются в первой главе диссертации, где в качестве функции /, определяющей поток, берутся функции нескольких типов. В случае, когда / зависит только от нулевой координаты Уо последовательности у — (у,*) из базы потока, получены необходимые и достаточные условия устойчивости в указанном выше смысле. Для локально-постоянных функций / и функций с суммируемыми вариациями приводятся достаточные условия устойчивости. Применение полученных результатов иллюстрируется на примере исследования геодезического потока на модулярной поверхности'14)

Вторая глава диссертации посвящена вопросам, побудительным мотивом к изучению которых была работа Фихтнера^16'. В связи с некоторыми математическими проблемами квантовой статистической механики в '161 использовался специальный класс случайных перестановок счётного множества 2.. Не вдаваясь в точное описание модели Фихтнера (которое приводится ниже), отметим, что в ней фигурирует неотрицательная матрица а = (а*,у)х,уег с <*XlX = 1 и для каждого конечного z С z строится случайная перестановка множества , распределение которой определяется по а в соответствии с заданным правилом. Фихтнер исследовал предельные точки последовательностей таких случайных перестановок при монотонном стремлении отвечающих им конечных множеств к Z. Оказалось, что на а можно наложить дополнительное ограничение, при котором предельные точки указанных последовательное -тей окажутся случайными перестановками множества , разложимыми на конечные циклы, а их распределения будут гиббсовскими мерами со спецификацией, которая выражается через матрицу а.

В качестве множества z в главе 2 диссертации берётся одномерная целочисленная решётка Z и ставится задача, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве перестановок целых чисел класс вероятностных мер, которые в известном смысле можно считать равновесными распределениями, а затем исследовать эти меры с точки зрения термодинамического формализма. При этом важно подчеркнуть два момента. Во-первых, на множестве перестановок целых чисел необходимо ввести подходящее преобразование Т,

["'Савченко С.В. Специальны« потом, построенные по счётным топологический neaiu Маркова. Функц.

("'KatoV S. Coding of closed geodesies after Gauss and Morse. Geimctrioe dedicate, вЗ (1996), 123-145.

("iGurevich B.M., Katok S. Arithmetic coding and entropy for the positive geodesic flow on the modular surface.

["iFichtner K. -H. Random permutations of countable sets. Prob. Theory and JUL Fields, 80 (1991)» 35-60.

отличное от сдвига (сдвиг для наших целей не годится, поскольку множество перестановок Z, которые разлагаются на конечные циклы, относительно сдвига неинвариантно). Предлагается определить действие преобразования Т на перестановки д : Z —> Z по правилу (Тд)(х) = 5(х+1) — 1, х £ Z. Во-вторых, требуется подобрать "правильный" класс матриц а, которые "согласованы" с преобразованием Т. По этой причине в работе рассматривается класс men-лицевых матриц а.

В диссертации для теплицевых матриц с конечным числом ненулевых диагоналей вычисляются распределения соответствующих предельных случайных перестановок множества Z. Доказано, что эти распределения Т-инвари-антны и что они являются подходящими кандидатами на роль искомых равновесных распределений на множестве перестановок целых чисел. Изучены свойства полученных равновесных распределений.

Задача, которой посвящена третья глава диссертации, состоит в том, чтобы обобщить понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

Исходя из классификации неразложимых цепей Маркова со счётным числом состояний по ассимптотическому поведению их переходных вероятностей, Вир-Джонс t17l l13¡ дал определение возвратной, нуль-возвратнои и положительно-возвратной бесконечной неотрицательной матрицы. Сариг!") I19) распространил эти понятия на случай действительнозначных функций, определённых на пространстве односторонне-бесконечных путей счётного графа; оказалось, что функции и матрицы из аналогичных классов обладают во многом схожими свойствами. Более узкое понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы было введено Б.М. Гуревичем в^. Выяснилось, что устойчивая возвратность играет важную роль в вопросах сходимости равновесных распределений, отвечающих конечным подматрицам бесконечной неотрицательной матрицы (см. Р1! Так, устойчивая возвратность бесконечной неотрицательной матрицы А, в отличие от положительной возвратности, гарантирует сходимость последовательности равновесных распределений, построенной по исчерпывающей последовательности неприводимых конечных подматриц матрицы А, к равновесному распределению, отвечающему А.

PlVere-Jone« D. Geometrie ergodicity ш ¿enumerable Markov chaina. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 13 (1962),

("lVere-Jonej D. Ergodic properties of nonnegative matrices 1. Pacific J. Math., 22 (1967), 361-386-

WSarig О •M. Thermodynamic formalism for null reccurent potentials. Israel J. Math., 121 (2001)» 285*311.

Р°'Гуреаич Б.М. Устойчиво-возвратные неотрицательные матрицы. УМН, 51 (1996), вып. 3, 195-196.

'"'Гуревич Б.М. Конечные аппроксимации бесконечных неотрицательных матриц и сходимость равновесных распределений. ДАН, 347 (1996), №6, 732-735.

Данное в диссертации определение устойчиво-возвратной функции выражается в терминах радиусов сходимости производящих функций локальных статистических сумм. Показано, что свойства устойчиво-возвратных функций аналогичны основным свойствам устойчиво-возвратных матриц.

Цель работы: исследовать устойчивость структуры множества мер с максимальной энтропией для специальных потоков, построенных над счётной топологической схемой Бернулли, при локальных возмущениях базы потока; получить на множестве перестановок целых чисел класс равновесных распределений и изучить эти распределения в контексте термодинамического формализма; обобщить понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Получен критерий устойчивости структуры множества мер с максимальной энтропиейдля специального потока, построенного над счётной топологической схемой Бернулли по функции вида , при локальных возмущениях базы потока.

2) Для более общей по сравнению с предыдущим пунктом ситуации локально-постоянных функций / и функций / с суммируемыми вариациями найдены достаточные условия устойчивости.

3) На множестве перестановок целых чисел с помощью предельного перехода построен естественный класс вероятностных мер и установлено, что эти меры представимы в виде равновесных распределений.

4) Для полученных равновесных случайных перестановок множества Ъ доказана справедливость вариационного принципа Гиббса.

5) Понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы обобщено на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

6) Доказано, что основные свойства устойчиво-возвратных функций аналогичны свойствам устойчиво-возвратных матриц.

Методы исследования. В работе используются: метод производящих функций, методы и результаты теории дискретных марковских цепей и теории неотрицательных матриц, комбинаторные методы теории вероятностей, метод трансфер-матрицы, результаты теории динамических систем и функционального анализа, а также стандартные аналитические и вероятностные методы.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации но-

сят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам, работающим на стыке теории вероятностей, статистической физики, теории динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории вероятностей и статистической физике механико-математического факультета МГУ (под рук. проф. Б.М. Гуревича и проф. В.И. Оселедца), на Колмогоровских чтениях (Москва, 2000) и на Конференции молодых учёных в МГУ (2001).

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы [1-3], список которых приведён в конце настоящего автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объём диссертации составляет 139 страниц.

Содержание диссертации

Во введении даётся краткое описание рассматриваемых задач и связанных с темой диссертации известных фактов, а также приводится обзор основных результатов, полученных в диссертации.

Глава 1. Пусть С — ориентированный связный граф с конечным или счётным множеством в е рта У((7) и множеством рёбер £(6) С X У(С) Путем в Сг, ведущими V 6Е в г/ £ У(С), бу; называть такую последовательность В ИН 7 = («0,^1, • • • »"я), П > 1 ЧТО Го = V, Уп = у' и € при < к < п — 1. Связность графа <? означает, что для любых двух его вершин оио' существует шути,, который ведёт из и в г/ Рассмотрим множество

У(С) = {у = (у,),ег : К 6 У(С), (И.И+г) 6 Е(С), г € Ъ)

двусторонне-бесконечных путей в графе £7. Снабдим множество У((?) дискретной топологией и зададим на У [С) С У(С?)2 топологию, индуцированную топологией прямого произведения. Конечномерные цилиндры {у € У{С*) : У«» — к = 1,...,п} образуют базу этой топологии и порождают на У (О) борелевскую <7-ашгебру.

Преобразование щвига 5: У {С) —У У (С*) в у е т по формуле: (Бу){ = У»+1| * € 2. О ч е но, ,$У(С) = У(С) и 5е т с я гомеоморфизмом. Динамическая система (У(С1),3) называется птопологической цепью Маркова

(ТЦМ). Если же Е(в) = У((?) X т.е. У (С?) = У(в)г, то такал ТЦМ

носит название топологической схемы Бернулли (ТСБ).

Определение. Динамическую систему (У(С),5) будем называть локальным возмущением счётной Т > (У((?о)| 5);сли найдётся такое конечное множество I? С .Е(Сго), что графбЛрцжедаЕется равен ЦС^), Е{&) = \ В.

Пусть задана ТЦМ (У,'(О), 5). Рассмотрим на У(С?) непрерывную положительную функцию /, удовлетворяющую условию

Е п&у) = £ /(5-*у) = 00, у € У(С). (1)

Введём множество

= {(у.«): у е г (О), о < « < /(у)},

в котором отождествим т (у,/(у)) и (5у,0) При 0 < и,и + Ь < /(у) положим = (у, «+£); для отазшшжй€о®оФфажевние5^: У/(С) —► У/(Сг)

определяется тем, что {5^} — однопараметрическая группа преобразований и указанным отождествлением (при этом используется условие (1)). Семейство преобра5/ = {£/}> 4 € К называется специальным потоком, построенным по ТЦМ (У(С),5) И функции /, а множество У(С) называется базой дотока Б/.

П уь множество всех инвариантных эргодических относи-

тельно Sf вероятностных борелевских мер н У/(<3). Обозначим через Л„(£у)

энтропию преобразования^ оитносительно фы V € ?Р(У/(0))- По определению энтропия Л„(5/) потжка5огносительно меры равна Положим

А(5/) = вир{Л„(5/): * € Ф(У/(С))} (2)

Величину Л(5/) будем называть топологической энтропией потока 5/. Меры, на которых достигается верхняя грань в правой части (2), называются мерами с максимальной энтропией потока

Основная задача этой главы — найти достаточные, а если возможно, то и необходимые условия на функцию /, при которых для специального потока Б/, построенного по счётной ТСБ и /, существует (единственная) мера с максимальной энтропией и это свойство сохраняется при локальных возмущениях базы потока 5/. Исследование такой устойчивости структуры множества мер с максимальной энтропией проводится для нескольких классов функций

/

П 7 = (го,гг1,...,гг„))риентированном графе О называется, и-циклом, если Го = — г-циклы, для которых V,- ф V при г ф- 0,п, будем

называть простыми. Обозначим через множество всех простых у-

циклов в графе (7.

• Обозначим?°(У(С)) совокупность ф у У (С?) —> (0, оо), удовлетворяющих условию (1), для которых /(у) зависит только от уо- Каждую функ-ц и / € 5°(У(С)) н о отождествить с функцией, определённой на мно-жест®е У (б), для которой мы будем употреблять тот же символ /. Если С — другой граф с У(С?) = У{С), то функции и5°(У(0))ж н о считать определёнными и на У(С).

Определение. Производящей функцией специального потока 5/, построенного по ТСБ (У((?о)|<?) с множеством состояний V = У((?о) и функции. / € (У(Со)), назовём ряд

= Е г>0.

Если.V — счётное множество и ряд ^-/(¡с) сходится не только в нуле, то существует такое число Я/, у £ (0,1], что п 0 < х < Я/,у[ Д сходится, а при х > Я/,у расходится. Величин/^гтествсншнно назвать радиусом сходимости ряда Р/гу(х). Когда расходится при всех л; > О,

положим Я/,у = 0. Если 7 = («0,1/1,..., г/„) — путь в <? , то для / £ 3°(У(С)) положим /'(7) = Е?=оХ /(доопределение. Производящей функцией простых у-циклов относительно специального потока 5/, построенного по ТЦМ (У(0),5) и функции / € , назовём ряд

В главе 1 диссертации показано, что если поток Sf построен по локальному возмущению (У(0),8) счётной ТСБ (У((?о),5) с множеством состояний V = У(Со) и функции / € 5в(У(Со)), то ¡рс,/,<,(%) можно явно выразить через производящую функцию ^/,у(х) "невозмущённого" потока и производящие функции, отвечающие конечному графу, порождённому "возмущёнными" вершинами в С?. Чтобы точно сформулировать соответствующую теорему, введём ряд обозначений.

Обозначим через

Ус - {и е V: Зи' £ У такое, что (г;,и') £ £(£)}

совокупность "возмущённых" вершин графа <7 и для V € Уа положим = {т/ € V: (у, у') £((?)}. Очевидно, множество Уд конечно и при каждом V й УЬ множество Л^» конечно и непусто.

Зафиксируем вершину ад € Ус- Пусть С?ш — подграф графа £7, порождённый множеством вершин Ус\{ад}, т.е. У(С1Ш) = и £((?„) = {(и,и') € £((?) : V,у' € У(СШ)}. Граф конечен и, быть может, несвязен, а в случае Ус = {ад} пуст. Определим матрицу В^"(х) = у,ь' £ У{бщ), зависящую от параметра х > 0, равенством

ь&Ф»!*™' если К"')е

] О в противном случае .

Обозначив через ^В^' (х)] ^ элемент п-ой степени матрицы В^", отвечающий паре («,«'), п — 0,1,..., введём функции

1(»)

(если Ус = {ш} и граф (?ш пуст, то положим (х) = 0 при всех и, и*). Зададим также конечный подграф С графа С?, порождённый множеством вершин Ус. Наконец, введём обозначения:

■ Г/уЛ*) = Г/А*) - Е

= Е Е [/С

/.«(*) = Е Е /&-(*)

(и",ш)б£(С)

Теорема 1.1. Пусть (У(С), 5) — локальное возмущение счетной ТСБ (У(Со),5) с множеством состояний У и / 6 5°(У(С)). Тогда длят 6 Цу

«ц»М - »а,,м + }+_ . ^ 6мЛг) (3)

при тех х > 0, для которых знаменатель последней дроби положителен.

Следствие. В условиях теоремы 1.1 ¡рс,/,ш(х) представляет собой рациональную функцию с целыми коэффициентами от переменных Г/у(х) « {х^"'}, где уе % I) и Асу.

Уо

Формула (3) может применяться для точного или приближённого вычисления топологической энтропии специальных потоков, построенных по локальным возмущениям счётной ТСБ и функциям / £

Использование формулы (3) вместе с результатами из работы позволяет получить следующий критерий устойчивости.

Теорема 1.2. Пусть заданз ТСБ (У(Со), 5) со счетным множеством состояний V — У(Сто) и Зункция / € 5в(У(Со)) Пусть Б/ — специальный поток, построенный по (У(Со)|5) и /. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) < оо и для любого локального возмущения (У(С), 5) ТСБ (У(Со), 5) (и, в частности, для самой (У(С7о),5)) специальный поток, построенный по (У(0),5) и /, обладает (единственной) мерой с максимальной энтропией; (и) > 0 и с» при х — 0.

В главе 1 также изучаются структура и свойства мер с максимальной энтропией относительно специальных потоков, фигурирующих в теореме 1.2.

Пусть О — ориентированный связный граф. Функцию / : У(С?) К. назовём локально-постояянной, если найдутся такие 1,т £ X, I < т, что /(у) = Ну1) да л у = (у<)ш, у' = е у которых у{ = у[

при / < г < т. Обознанимчирез Зо,(У(б!)) совокупность пишоишггельных локально-постоянных функций /, в определении которых 1 = 0, а т > 1 — фиксированное число.

Для / € 5о,(У(С)) положим

Щ/) = зир{|/(у) - Ну') I: у,у' е У (С), уо = у'о}.

Заметим, что условие Уо(/) < оо не влечёт ограниченности функции /. При определим на множестве функцию равенством

Следующий результат содержит достаточные условия устойчивости для класса локально-постоянных функций.

Теорема 1.3. П у |(У(Оо),5) — ТСБ со счетнъи множеством состояний V. Пусть задана Оушкщия / Е ЗоЧУ^о)), т > 1, такая, что Уо(/) < со Предположим, > 0 и Ре}у(х) со при х -4 11в,у — 0 Тогда

топологическая энтропия Л(5/) спецшышто потока 5/, пжтроенного по (У((?о),£) и /, конечна и существует (единственная) мера с максимальной энтропией. То оке самое верно и для потока 8Р определенного над произвольным локальным возмущением (У(С), 5) ТСБ (У(С?о),

О б о з н а ч Зо°(У(С)) сова н о с т ь положительных функций / : У(С) —> Е., для которых /(у) = /(у1), если у,' = у| при всех г > 0. Для / 6 5§°(У(Сг))

положим

Говорят, что / имеет суммируемые вариации, если V(/) < оо. Всякая функция с суммируемыми вариациями непрерывна, но не обязательно ограничена.

Пусть граф G отвечает локальному возмущению ТСБ со счётным множеством состояний V. Для простоты будем считать, что V С N. Пространство Y(G) некомпактно относительно введённой на нём топологии и его необходимо компактифицировать. Для этого определим ориентированный граф Goo, добавив к К новую вершину v<x> , а к E{G) — новые рёбра (focf«), (Voo,v) и (v,Voo)) v G V. Очевидно, граф GTO связен. Зададим на У(<Зсо) метрику р^ по формуле

Роо{у, у') = 2уО, у, у' G у (Goo),

где d(v,tf) = — кроме того, по определению, ~~ = 0. Множество Y(G) вкладывается в компактное метрическое тостранство (y(GTO), pw) а к всюду плотное подмножество. Обозначим через Ж = [—оо, +Оо]юомпакотфикацию действительной прямой точками

Достаточные условия устойчивости для функций с суммируемыми вариациями имеют следующий вид.

Теорема 1.4. П у (У(Go), 5) — ТСБ со счетнъии множеством состояний V и пусть функция / € 5о°(УХФ))) с V{f) < оо такова, что ее можно продолжить до такой положительной р^-непрерывной функции y((Go)oo) R и {+оо}, что /<»(у) = +оо, е у0 = ум, где R U {+оо} понимавшем как подмножество в R. Предположим» что R$,y > 0 и iifiy(i) —► оо при х —> Rff,,v — 0. Пусть Sf — специальный поток, построенный по (У (Go), 5) и/. Тогда h(Sf) < оо и для любого локального возмущения (У (G), S) ТСБ (y(Go),S) (и в частности, для самой (y(Go), S)) специальный поток, построенный по (Y(G),S) и f, обладает [единственной) мерой с максимальной энтропией.

Глава 2. Эта глава посвящена вопросам, возникшим в связи с работой Фихт-нера^16'. Опишем вкратце ряд элементов модели Фихтнера, которые понадобятся нам далее.

Пусть 2 — счётное м н о УkZ^,Zг С 2 и совокупность всех

взаимно однозначных отображений из Z\ в Отображение д £ Ег,г естественно назвать перестановкой множества Z С 2. Каждой паре х € Z и д £ Ег,г сопоставляется «/-орбита С(х,д) = {^"(х): п 6 Z}. Е сZлQsйи то положим

ПМ) = {де ЕХи2х : 0{х,д) = Ух £ г2)

Обозначим через Е% множество перестав^ Ег,г , которые разлагаются на конечные циклы, т.е;. таких д, что р-орбита 0(х,д) всякой точки х € 2 конечна. На м н о ж2г = {/: 2—Ь 2} въа м цилиндрическую а -алгебру ■7Г(2). Нетрудно видеть, что Яг,г» Ег £

Пусть а = (о;х,у)х,убг — матрица, удовлетворяющая условиям

(а) ах,у > 0; х,у £ 2, (Ь) = 1; х £ 2

Для всякого конечного Z с 2 на множестве Zz = (д : Z Z} определяется вероятностная мера по формуле

П <ч»м

Рг{{д}) =

Е П °ч»м

о,

9 е Ег,г,

9 <£

Предположим также, что для матрицы выполняется следующее условие

компактности

Тогда, как показано в для всякой последовательности конечных

подмножеств 2 такой, ч "I- 2, существуют подпоследовательность {Я/,}^ и вероятностная мера Р на (2г,Р(2)) такие, что Р = Пт,_юоР^ в смысле сходимости всех конечномерных распределений. Отметим, что предельная мера Р может зависеть от подпоследовательности В работе!16! уста-

новлено, что мера Р сосредоточена на множестве перестановок Ег и является гиббсовской мерой со спецификацией, которая определяется матрицей а. А именно, для любого конечного Л С 2 и любого отображения <71 : Л —> 2 при Р-п.в. / £ 22 справедливо равенство

здесь — цилиндрическая <7-алгебра, отвечающая внешности множест-

ва Л. Наконец, Фихтнер показал, что если условие (с) несколько усилить, то существует ровно одна вероятностная мера Р на (2^,^(2)) такая, что Р(Ег) — 1 и Р является гиббсовской мерой в смысле (6).

Задача, которой посвящена глава 2, состоит в том, чтобы, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве перестановок целых чисел класс вероятностных мер, которые можно считать равновесными распределениями. С этой целью в качестве 2 рассматривается одномерная целочисленная решетка Z. Положим П = Zz, 7- = Т^Е) и зададим преобразование Т : П —> П равенством

Тогда Т — взаимно однозначное отображение, Т и Т~1 измеримы, а множества перестановок И Ех инвариантны относительно Т.

Возьмём в качестве а теплицеву матрицу («х,у)*,уб2, У которой по определению огх,у = оуу> и у — х = у' — х*,. Вместо аХ)У будем писать а,', если у — х = } £ Z. Очевидно, ау — это число, стоящее на ]-ой диагонали матрицы а. П /(а) = {] € Z : а,- ф 0} — совокупность номерв ненулевых диагоналей а. В силу условия |Ь) ац = 1 и 0 € ¿(а)' Положим

Ех(а) = {д£ЕТ: д{х) - х е Ца), хеХ}

Назовём теплицеву матрицу а тривиальной, если С 0 £ 2 : > 0}

или ./(а) С {;' 6 2 : < 0}. Всюду далее предпоиилаотнячто матрица а

нетривиальна.

Пусть Г — конечный ориентированный связный граф с множеством вершин V. Неотрицательную м а т р А = на: ё м весовой для Г, если о»,' > 0 тогда и только тогда, когда пара является ребром в Г. Так как граф Г связен, то всякая весовая матрица А неразложима. Пусть А(Л) > 0 — максимальное собственное значение'22! А г) = (и»)»еУ — максимальный собственный вектор матрицы А, а в — (А^еУ — максимальный собственный вектор матрицы, сопряжённой к А, причём будем считать г) и в выбранными так, что = 1* Зададим на пространстве последовательностей V2 = : Щ € V} марковскую вероятностную меру цА с переходными вероятностями р(у,т?) = а^т]^ /\(А)г}п , г>, г>' € V и начальным (стационарным) распределением р(и) = € V. Меру Ца будем называть А-равновесной'2Ч; она сосредоточена на множестве У(Г) двусторонне-бесконечных путей графа Г.

1"'Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Науха, 1967.

Множество , будем называть

отрезком на Z.

Определение. Пусть J С Z, п > 1. Будем говорить, что последовательность (ji,ji.....jn), ji £ J, является J-допустимой, если существуют т £ N,

т > п., и перестановкаg отрезкаiV[l,n] такие, чтор(»)—t £ J, Vi 6 iVjl,m]; 2) найдётся отрезок Лф"о,го + п ~ 1] С N[l,m] т а кщ,что g(i) — г = ji-i,+1 V¿£ jV[í0,i0 + n-l].

Пусть а = (o¡x,y)*,yeZ — теплицева матрица, имеющая конечное число ненулевых диагоналей, т.е. . Положим

</(<*)}• По матрице а построим конечный ориентированный граф Г(а), взяв в качестве множества его вер еУ(Г(с*)) с е J(а)-допустимые последова-т е л ь й = («i,ií2.....i¿2*) длины а в качестве рёбер — такие пары (й,й') вершин й = (uii«í2,л.,Щк) ü' = («'ц"г,•••,"«)» что и2 = u'v щ = v¡¡,...,U2t = «24-1 и после /Льность (щ,и2,... ,it2jt,u'2k) является ^(а)-допустимой. В диссертации показано, что граф Г(а) связен. Определим матрицу , полагая для ,

«' = КХ,...,т4)€У(Г(а))

о---(а) = í0"»' еСЛИ й') ~ ребр0 В [О в противном случае.

Из определения видно, что >1(а;) — весрвая матрица для графа Г(а)

Для теплицевых матриц с конечным числом ненулевых диагоналей в диссертации вычисляется предельная мера Р. В частности, показано, что в этом случае предельная мера не зависит от последовательности а

определяется только матрицей .

Теорема 2.1. П у а = (atx,y)x,y€Z " теплицева матрица, удовлетворяющая условиям (а)-(с) u #•/(<*) < со. Тогоа существует такая

Т-инвариантная вероятностнаямера Ра, что Ра{Е^[ос)) = 1 u lim Pz, — Ра

I—+00

(в смысле сходимости конечномерных распределений) для всякой последовательности конечных множеств Zi t Z. Динамическая система (Ez(a),T,Pa) изоморфна с и с (y(r(a)),S,¿»x(Q)), где Рл(а)—А(а)-равш а я марковская мера. Инъективное отображение ф : Ez(a) —> У(Г(а)), осуществляющее изоморфизм, имеет вид:

Следующий результат обеспечивает наличие достаточно большого запаса теплицевых матриц а, для которых выполняется условие (с).

Лемма. Е а = (<*x,y)x,y€Z теплицева матрица со свойствами (а)-(Ь) и для некоторого q £ (0, j) справедливо неравенство dj < j £ Z, то а удовлетворяет условию (с).

Далее в главе 2 показано, что предельные меры Ра, полученные в теореме 2.1, можно охарактеризовать как равновесные распределения на множестве перестановок целых чисел. Обозначим *грез M.(Ez(ct),T)i е с т в о всех Т-инвариантных вероятностных мер на , для которых

Теорема 2.2. Пусть теплицева матрица а = (осх>у)Хгу^х удовлетворяет условиям (а)-(с) u#J(a)<oo. Тогда

велЖмл \.hQ{T)+klaa^ = 1пА(а)' (б)

г <?А(а) максимальное собственное значение матрицы Л(а). Предельная мера Ра из теоремы 2.1 является единственным равновесным распределением относительно функции Inс*г(0) на множестве перестаВ%(&§, т.е. на мере Ра и только на ней достигается верхняя грань в (7).

Теорема 2.3. Пусть а = (arx,y)x,yeZ— теплицева матрица, удовлетворяющая условиям (а)-(с) ti #J(a) < оо. Тогда существует ровно одна вероятностная мера Q на (П,.?") со следующими свойствами:

1) ЯШ*)) =1

2) Q инвариантна относительно Т;

3) для всякого конечного множества Л С Z и всякого д\ : Л —> Z при Q-'п.в. f £ О справедливо равенство (6) {где надо подставить Z = Z). Мера, для которой выполнены условия 1)-3), совпадает с равновесным распределением .Ра.

Замечание. Основное содержание теоремы 2.3 — это утверждение о единственности Т-инвариантной гиббсовской меры на Е%(а) со сгецификацией вида (6). Отметим, что для теплицевых матриц а = (o^y^yez, за исключением тривиальных, упомянутое выше усиленное условие "компактности" Фихтне-ра, гарантирующее единственность гиббсовской меры, никогда не выполняется. Из теорем 2.2-2.3 вытекает справедливость вариационного принципа Гиббса на множестве перестановок Ег{а), отождествляющего равновесные и гиббсовские меры.

В качестве примера подробно разбирается случай трёх-диагональных теп-лицевых матриц, для которых явным образом в терминах а вычисляются равновесные распределения

Глава 3. В данной главе понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы обобщается на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа.

Пусть G — ориентированный связный граф с конечным или счётным множеством вершин V(G) и Y+(G) — множество последовательностей у = (у<).>о, для к yie V(G), (yi,yi+1) e E(G), i = 0,1,.... Ha K+(G) л e ~н сдвиг S, переводящий у £ Y+(G) в ¡/ = (yj)«>0, где у- = y,-+ь Очевидно, 5y+(G) = y+(G). Пусть Fix,, = {y 6 Y+(G) :Sny = y}— совокупность периодических точек преобразования S, имеющих период п. Зафиксируем вершину v Е V(G) и введём множества

c(v) = {у 6 Y+{G): уо = г}, с„(«) = ф) П {у G r+(G): у, ф v, i = 1,

Для произвольной функции

/,*>)= Е exp

yec(»)nFix. = £ exp

,n-l}, n>l.

положим при

n-1

E f(Sy)\

1=0 n-1

E f(sky)

k=0

I(6c.(»)nFuc.

(если c(v) П Fix„ = 0 и Cn(u) П Fixn = 0, то соответгвующая сумма считается равной нулю). Величины (¡n{G, называют локальными статистическими суммами ("локальность" связана с фиксацией и), которые ассоциируются соответственно с v-циклами и простыми v-циклами длины п в графе G. Впредь будем предполагать, что функция / допустима, т.е. для всех и сумма конечна (а значит, и . Введём производящие функции

QtA*) = Е ?*(<?,/, v)xn, <f>f<v(x) = £ q°n(G,f,v)xn

п=1 П=1

(7)

и отвечающие им радиусы сходимости Д/>в и г/>в. Нетрудно видеть, что Яд» <

Нам потребуются различные классы функций, заданных на пространстве Пусть м н о ж су(с), т > 0, состоит из таких / : К+(С) К, для которых /(у) = /(у*),если (уо,..., ут) = (Уо> • • • > У|п) (функции, входящие

16

в ит>оС™(С), называются локально-постоянными) ;U{G) — из равномерных пределов локально-постоянных функций и B(G) — из функций вида / = /i + /2,где Л € ¿¿(G), h € U{G) и supy6y+(G) |/2(у)| < оо

Предложение. Если f G B(G), то R/iV не зависит от v.

Поскольку ниже рассматриваются лишь функции из B(G), будем вместо RftV писать Rf. Отметим также, что в этом случае R/ < оо

Определение 3 . функция / € B{G) называется возвратной,

если найдётся такое v G , что Qf,v{Rf) — оо, и — положительно -

возвратной, если для некоторого v 6 V(G) <ln{G, f,v)[Rj\n -л 0 при п -4 оо Для функции / : У+(£?) —> R при п = 1,2,... положим

Будем говорить, что / имеет суммируемые вариации, ели var(/) < 00 (ср. с гл. 1). Обозначим через <SV(G) совокупность всех ф :ций / : Y+(G) Rc суммируемыми вариациями. Несложно проверить, что <SV(G) С B[G). Предложение. Если / G <SV(G), то каждое из условий

ii) qù(G, f,v)[Rf\n 0 при п-> оо

выполняется или не выполняется для всех v G V(G) одновременно.

Основным в этой главе является следующее определение. Определение 3.2. Назовём фусцию / € «SV(G)ï ч ив о - в озер a m н о й, если найдётся такое v € V'(G), что Rf < г/>е.

Замечание. Понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы было введено в работе'20' (см. также'8'). Связь между понятием устойчиво-возвратной матрицы и определением 3.2 заключается в следующем. Нетрудно проверить, что функция / G Cj)(G) устойчиво-возвратна в смысле определения 3.2 тогда и только тогда, когда устойчиво-жтаавратна матрица Af == (а{„>), v,v' G V(G), где afvv, = если (v,v') G E[G), и afvv> = 0, если (v,t/) £

E(G).

Замечание. В работе '23' вводится понятие сильной положительной рекуррентности, которое, как можно показать, равносильно выполнению условия Rj < r/iV. Однако, необходимо отметить, что это понятие определяется в классе функций, более узком по сравнению с классом функций с суммируемыми вариациями.

'"'Sarig O.M. Thermodynamic formalism for countable Marltov shifts. — Ph.D. thesis, Tel-Aviv University, 2000.

Излагаемые ниже результаты главы 3 направлены на обоснование естественности предложенного определения устойчиво-возвратной функции.

Вначале рассмотрим устойчивую возвратность в классе локально-постоянных функций. П /£ С™(С), где т > 2. Ясно, что / можно считать заданной на п о с л>ностях(уо.2/1|--.,Ут). Т.е./(у) = /(у0,У1,...,Ут) Определим ориентированный связный граф с множеством вершин состоящим из всех путей й = (ио,^,..,, ит_1) длины т — 1 в графе (7, и множеством рёбер, состоящим из всех таких пар (й,й'), й,й' £ У(С?(т)), что щ = ПРИ ^ = ■ 1,...,т — 1. Зададим неотрицательную матрицу А/ — (а£й,), , полагая для

Теорема 3.1. Пусть f £ Co*(G), где т>2, и var(/) < оо. Тогда функция f устойчиво-возвратна в том и только том случае, когда устойчиво-возвратна матрица А/

Укажем далее ряд свойств устойчиво-возвратных функций, аналогичных свойствам устойчиво-возвратных матриц.

Теорема 3.2. Если граф G конечен, то всякая функция f £ «SV(G) устойчиво-возвратна.

Теорема 3.3. Всякая устойчиво-возвратная функция / £ «SV(G) является возвратной.

Следующая теорема говорит о том, что устойчивая возвратность из определения 3.2 подчиняется "принципу солидарности".

Теорема 3.4. Если f £ SV(G) устой-возвратна, то неравенство R¡ < гд» выполняется Идшвсех v £ V(G)

Теорема 3.5. Если функция f £ sv{g) устойчиво-возвратна, то она положительно-возвратна.

Наконец, приводимый ниже результат подтверждает оправданность употребления самого термина "устойчиво-возвратная функция".

Теорема 3.6. Функция / £ <SV(G) устойчиво-возвратна тогда и только тогда, когда найдется такое е > О, что всякая функция g £ «SV(G), для которой ||/~з||оо ^ является возвратной, где ||/~ í?l¡oo = SuPy+(G) |/(у) ~

е^"01"1.....если (С, б') — ребро в

О в противном случае.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Б.М. Гуревичу за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения в процессе их решения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Поляков А.Б. О равновесных распределениях на множестве перестановок целых чисел. УМЕ, 54 (1999), вып. 2, с. 183-184.

[2] Гуревич Б.М., Поляков А.Б. Устойчиво-возвратные функции на пространстве путей счётного графа. УМН, 54 (1999), вып. 6, с. 157-158.

Полякову А.Б. принадлежат доказательства теорем 2-3, предложения 3 и второй части теоремы 1.

[3] Поляков А.Б. О мере с максимальной энтропией для специального потока над локальным возмущением счётной топологической схемы Бернулли. Матем, сб., 192 (2001), №7, с. 73-96.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. МБ. Ломоносова. Подписано в печать 02, 20Qtyl,

Формат 60x90 1 /16 . Усл. печ. л. ¿S

Тираж 100 экз. Заказ //

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

Введение 3 Предварительная информация: ориентированные графы.

1 О мере с максимальной энтропией для специального потока над локальным возмущением счётной топологической схемы Бернулли 1С|

1.1. Введение к главе 1.

1.2. Производящие функции специальных потоков, построенных по локальным возмущениям счётной ТСБ и функциям из класса 5°(У(Сг)).

1.3. Критерий устойчивости.

1.4. Меры с максимальной энтропией.

1.5. Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ и локально-постоянным функциям.

1.6. Специальные потоки, построенные по локальным возмущениям счётной ТСБ и положительным функциям с суммируемыми вариациями.

2 Равновесные распределения на множестве перестановок целых чисел

2.1. Введение к главе 2.

2.2. Комбинаторная лемма.

2.3. Вычисление предельной случайной перестановки для теплицевой матрицы с конечным числом ненулевых диагоналей.

2.4. Равновесные случайные перестановки.

2.5. Вариационный принцип на множестве перестановок 2?г(а).

2.6. Пример: трёх-диагональные матрицы.

3 Устойчиво-возвратные функции на пространстве путей счётного графа

3.1. Введение к главе 3.

3.2. Устойчивая возвратность в случае локально-постоянной функции.

3.3. Функции с суммируемыми вариациями на пространстве путей конечного графа.

3.4. Возвратность устойчиво-возвратных функций.114)

3.5. Теорема солидарности.

3.6. Положительная возвратность устойчиво-возвратных функций.

3.7. Возмущения возвратных функций.

Символическая динамика занимается изучением динамических систем, у которых в качестве точек фазового пространства фигурируют бесконечные наборы символов, принадлежащих данному не более чем счётному алфавиту или, как ещё говорят, множеству состояний. При этом наиболее распространённым и во многих случаях естественным преобразованием, задающим динамику, является сдвиг; вместе с тем, помимо сдвига, в некоторых разделах символической динамики, например в теории клеточных автоматов, рассматриваются и другие преобразования. Символические динамические системы исследуются в достаточно широком контексте, который включает в себя теорию вероятностей, статистическую физику, функциональный анализ, эргодическую теорию и другие направления. Методы символической динамики играют важную роль при изучении классических динамических систем гиперболического типа, в частности, геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны и гиперболических диффеоморфизмов гладких многообразий (см. [2], [5], [21], [6], [36]). Следует также подчеркнуть тесную связь между символическими системами и решётчатыми моделями статистической физики (см. [24], [25], [14], [22]).

Необходимо отметить то обстоятельство, что наличие у символической динамической системы счётного (а не конечного) числа состояний существенным образом усложняет её изучение, а иногда приводит к возникновению целого ряда новых задач, которые неактуальны или даже не имеют смысла в случае конечного числа состояний. Такое положение вещей обусловлено, как правило, тем, что счётный алфавит зачастую порождает некомпактность фазового пространства относительно некоторой естественной топологии. Активное исследование символических систем со счётным множеством состояний началось сравнительно недавно, в конце 70-х - первой половине 80-х гг. Такие системы (более точно, специальные потоки над счётными топологическими цепями Маркова) появляются, например, при рассмотрении рассеивающих биллиардов (см. [7]). Источником значительного числа задач символической динамики со счётным множеством состояний служит термодинамический формализм — совокупность идей и понятий, близко соприкасающихся со статистической физикой (выделим здесь работы [17], [18], [26], [37]).

В рамках термодинамического формализма одним из основных является понятие равновесного распределения. Пусть имеется динамическая система (не обязательно символическая) (У, Т) с фазовым пространством У, наделённым борелевской ст-алгеброй по отношению к заданной топологии или метрике, и с непрерывным преобразованием Т : У —>■ У, а также непрерывная функция (потенциал) / : У К. Тогда на Т-инвариантных борелевских вероятностных мерах ц на У можно рассмотреть функционал давления = /г/4(Т)+// (1ц, где Л,,(Т) — энтропия преобразования Т относительно меры /г, причём мы берём только те меры, для которых сумма энтропии и интеграла имеет смысл; в случае некомпактного пространства У, когда как раз и могут возникнуть "плохие" меры /I, например, с Ьц(Т) = оо, //с?/х = — оо, иногда удаётся построить продолжение функционала что позволяет принять во внимание меры, порождающие ситуацию неопределённости вида 'Р(ц) = оо — оо (см. [18], [35], [26]). Меры, на которых достигается верхняя грань функционала давления, называются равновесными распределениями на У относительно потенциала /. Если / = 0, то в этом частном случае равновесные распределения носят название мер с максимальной энтропией. Среди наиболее важных вопросов, возникающих в связи с изучением вариационной задачи для функционала давления, выделим следующие: о существовании единственного равновесного распределения для данной системы или, говоря в терминах статистической физики, вопрос о фазовых переходах; о возможности охарактеризовать равновесные распределения как гиббсовские меры, или вопрос о справедливости вариационного принципа Гиббса; а также вопрос о предельном поведении последовательностей равновесных распределений, отвечающих исчерпывающим последовательностям "конечных подсистем" исходной системы.

В настоящей работе рассматриваются три задачи символической динамики (их темы можно обнаружить в названиях соответствующих им глав), в которых главным предметом исследования является понятие равновесного распределения с точки зрения сформулированных выше вопросов. Мы объединяем здесь эти задачи вместе, поскольку у них можно отметить несколько общих характерных особенностей, что делает их близкими по своему духу и содержанию. Во-первых, в основном контексте каждой из задач фигурирует символическая динамика со счётным числом состояний. Во-вторых, на протяжении данной работы мы будем постоянно иметь дело с такими объектами, как топологические цепи Маркова — это символические динамические системы, порождённые сдвигом на множестве последовательностей, которые отождествляются с бесконечными путями конечного или счётного ориентированного графа. Так, топологические цепи Маркова фактически присутствуют уже в начальной постановке двух задач (см. главы 1 и 3), а в одной задаче (глава 2) они возникают непосредственно по ходу исследования. Наконец, при решении задач, представленных в этой работе, мы придерживаемся общего подхода, который носит главным образом комбинаторный характер и основывается на анализе различных совокупностей конечных путей в ориентированном графе, которые задаются определённым набором условий, и локальных статистических сумм (возможно, зависящих от параметра), отвечающих этим совокупностям.

Структура настоящей работы подчиняется следующему порядку. Каждой задаче посвящена отдельная глава. Каждая глава разбита на разделы, занумерованные двумя цифрами, первая из которых обозначает номер соответствующей главы, а вторая — порядковый номер данного раздела внутри этой главы. Все выделяемые формулировки (теоремы, леммы, определения и т.д.) снабжены номерами вида п.ш, где п — номер главы, a in — порядковый номер данной формулировки внутри своего класса.

Перейдём теперь к краткому описанию каждой из задач и обзору основных результатов, содержащихся в данной работе.

В главе 1 рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бернулли со счётным числом состояний, и меры с максимальной энтропией для таких потоков. Под локальным возмущением понимается удаление конечного множества рёбер в соответствующем графе. Основная задача этой главы — найти достаточные, а если возможно, то и необходимые, условия (в терминах функции /, определяющей поток) того, что существует (единственная) мера с максимальной энтропией одновременно для специального потока 5/, построенного по / и счётной топологической схеме Бернулли, и для специального потока 5/, определённого над произвольным локальным возмущением этой схемы Бернулли. Таким образом, будет изучаться устойчивость свойства потока 5/ иметь (единственную) меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока.

Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Маркова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались C.B. Савченко в работе [29]. В частности, там показано, что для соответствующих потоков не может существовать более одной меры с максимальной энтропией, и приводится критерий существования такой меры. Эти утверждения играют существенную роль в наших рассуждениях.

Основные результаты главы 1 заключаются в следующем. Мы рассматриваем несколько типов функции /. В случае, когда функция / зависит только от нулевой координаты уо последовательности у = (у,-) в базе потока, будут получены необходимые и достаточные условия, при которых имеет место устойчивость в указанном выше смысле (см. теорему 1.2). Одним из главных инструментов доказательства этого результата служит выведенная в разделе 1.2 формула (см. теорему 1.1), которая показывает, что производящая функция, связанная с "локальным" классом замкнутых орбит потока 5/, построенного над локальным возмущением схемы Бернулли по функции / = /(уо), рациональным образом выражается через аналогичную функцию, отвечающую невозмущённому потоку, и производящие функции конечного графа, порождённого возмущёнными вершинами. Упомянутая формула также может эффективно применяться для точного или приближённого вычисления топологической энтропии соответствующих потоков. В случае, когда / зависит от конечного числа координат последовательности у = (у,-), т.е. имеет вид /(у) = /(уа,у1, •. •■¡Ут), т будут приведены достаточные условия устойчивости (теорема 1.3). Что же касается функций / с "бесконечной памятью",то мы ограничимся рассмотрением функций с суммируемыми вариациями и для этого класса приведём достаточные условия устойчивости (теорема 1.4). Полученные результаты сопровождаются примерами специальных потоков, которые возникают при исследовании замкнутых геодезических на модулярных поверхностях.

Глава 2 посвящена вопросам, побудительным мотивом к изучению которых явилась| работа Фихтнера [10], где он в контексте квантовой статистической механики для построения случайных разложений на конечные кластеры случайных точечных конфигураций на К.'' использовал специальный класс случайных перестановок счётного множества. Отметим схематически ряд элементов модели Фихтнера (подробности см. в разделе 2.1). Пусть 2 — счётное множество и пусть задана матрица а = {ах,у)х,уег, удовлетворяющая условиям (а) ах<у > О, (Ь) ах<х = 1. Для каждого конечного подмножества Z С 2 определяется вероятностная мера Рг на множестве отображений : 2 2 по правилу: Г -1

Рг{{д}) = П ах,д(х) X) П » если д — перестановка множества Z (т.е. д — биекх^г ' к хег ция), где Н пробегает множество всех перестановок Z, и Рг({д}) = 0 в противном случае. В [10] показано, что если матрица а удовлетворяет дополнительному условию "компактности", то для всякой исчерпывающей последовательности конечных подмножеств 2 существуют подпоследовательность и вероятностная мера Р на множестве 22 = {/ : 2 —> 2} такие, что Р = Игп^оо РгПк) в смысле сходимости всех конечномерных распределений. Заметим, что предельная мера Р зависит от матрицы а и от, вообще говоря, подпоследовательности Далее, всякая предельная мера Р обладает следующими свойствами: во-первых, она является распределением вероятностей случайной перестановки множества 2, которая разлагается на конечные циклы; во-вторых, её можно считать в определённом смысле гиббсовской мерой, спецификация которой определяется только матрицей а. Наконец, если на матрицу а наложить некоторое усиленное условие "компактности", то существует ровно одна гиббсовская случайная перестановка с соответствующей спецификацией, что одновременно гарантирует и единственность предельной меры Р.

В настоящей работе будем рассматривать одномерную целочисленную решётку Z и множество перестановок Z, разлагающихся на конечные циклы. Основная задача главы 2 заключается в том, чтобы, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве Ех класс вероятностных мер, которые в известном смысле можно считать равновесными распределениями, и исследовать эти меры с точки зрения термодинамического формализма. В связи с этим важны два аспекта. Во-первых, на множестве Ех необходимо ввести подходящее преобразование. Дело в том, что преобразование сдвига для наших целей не годится, поскольку множество относительно сдвига не является инвариантным. В качестве преобразования, задающего динамику на множестве возьмём преобразование Т, действующее на перестановку д : Ъ —» Ъ по правилу (Тд)(х) = д(х + 1) — 1, ж € тогда ТЕх = Во-вторых, необходимо подобрать такой класс матриц а, которые в некой роде "инвариантны" относительно Т. Поэтому в этой работе будет рассматриваться класс тпеплицевых матриц а = {(Хх,у)х,у£.г, т.е. таких, что ах<у = ах'уУ>, когда?/ —ж = у' — х'. Итак, на роль Т-инвариантных равновесных мер будут претендовать предельные точки последовательностей {Рг,}, Zl^\ Z, где меры Рг построены по теплицевам матрицам а.

Мы ограничимся подробным изучением случая теплицевых матриц а = {ах<у)хл^2. с конечным числом ненулевых диагоналей: :у — х = ]=$> ах>у > 0} < оо. Оказывается, в этом случае предельную меру можно вычислить, что составляет центральный результат главы 2 (см. теорему 2.1). А именно, пусть а — теплицева матрица с конечным числом ненулевых диагоналей, удовлетворяющая условиям (а)-(Ь) и условию "компактности", а Ег{а) — множество всех перестановок д € Ех, для которых осх,д(х) > 0, ж € 2. Тогда существует Г-инвариантная вероятностная мера Ра на Zz такая, что Ра(Е%(а)) = 1 и для всякой последовательности Т 2, конечных подмножеств Z справедливо равенство 1ипгюо Рг, = Ра в смысле сходимости всех конечномерных распределений; динамическая система (Е%(а),Т, Ра) изоморфна (по модулю множеств меры нуль) некоторой марковской системе, причём будут выписаны её начальные и переходные вероятности, а сам изоморфизм предъявлен в явном виде. Далее будет показано, что предельная мера Ра является единственным равновесным распределением на множестве перестановок Ez{o^) относительно функции г;„(<7) = 1п а0,э(о), одновременно в данной ситуации будет вычислено топологическое давление (теорема 2.2). Наконец, мы докажем, что на множестве Ez(a) существует ровно одна вероятностная Т-инвариантная гиббсовская мера с фихтнеровской спецификацией, построенной по матрице «, причём эта мера совпадает с равновесным распределением Ра (см. теорему 2.3). Отметим, что для теплицевых матриц а = (сих,у)х,уег? за исключением тривиальных, усиленное условие "компактности" никогда не выполняется, а потому соответствующий результат Фихтнера о единственности предельной меры и единственности случайной гиббсовской перестановки к нашему случаю просто не применим. Содержащиеся в главе 2 результаты будут проиллюстрированы на примере трёх-диагональных теплицевых матриц.

Глава 3 посвящена задаче обобщения понятия устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа. Исходя из классификации неразложимых цепей Маркова со счётным числом состояний по ассимптотическому поведению их переходных вероятностей, Вир-Джонс [33], [34] дал определения возвратной, нуль-возвратной и положительно-возвратной бесконечной неотрицательной матрицы и занимался подробным изучением свойств таких матриц. Более сильное понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы было введено Б.М. Гуревичем в [15]. Выяснилось, что устойчивая возвратность играет важную роль в вопросах исследования сходимости равновесных распределений, отвечающих конечным подматрицам бесконечной неотрицательной матрицы (см. [16], [17]). В работах [26], [27] Сариг распространил понятия возвратности, нуль-возвратности и положительной возвратности на случай действительнозначных функций, определённых на пространстве последовательностей, отождествляемых с односторонне-бесконечными путями счётного графа; при этом оказалось, что функции и матрицы из аналогичных классов обладают во многом схожими свойствами. В настоящей работе мы сосредоточимся на обобщении понятия устойчивой возвратности. Наш подход в своей технической части отличается от подхода, используемого в [26], [27], и основывается на комбинаторном анализе степенных производящих функций.

Определение устойчиво-возвратной функции даётся в разделе 3.1 (см. определение 3.4). Остановимся на некоторых важных составляющих этого определения. Пусть С? — ориентированный связный граф с конечным или счётным множеством вершин, (У+(С),5) — соответствующая ему топологическая цепь Маркова и задана функция / : У+(£т) —> К. Предполагается, что / имеет суммируемые вариации. Для / и каждой вершины V при и > 1 рассматриваются два вида локальных статистических сумм ("локальность" связана с фиксацией г;): д„(С, /, г/) и д*((2, /, у), в которых суммируются величины ехр[££=1 /{Бку)] по множеству периодических точек у = (у;)»>о периода п для сдвига Я (5"у = у), у которых в первом случае у0 = V, а во втором случае уо = V, но у,- ф V при г = 1, .,?& — 1. Далее оо оо вводятся производящие функции ¿?/,„(ж) = X) <7п(<?,/,г/)жп, Ф/Ах) — X) <7п(£>Л Ока

П=1 П=1 зывается, радиус сходимости Я/ ряда (?/,г,(ж) не зависит от вершины V (см. предложение 3.2), чего нельзя сказать о радиусе сходимости ряда ф/<ь(х), причём 72/ — г/." ПРИ всех V. Назовём функцию / устойчиво-возвратной, если для некоторой вершины v имеет место строгое неравенство Я/ < г¡<у. На самом деле, будет доказано, что данное определение устойчивой возвратности обладает свойством солидарности относительно v, т.е. соотношение Я/ < т^» либо выполняется для всех v, либо не выполняется ни для одного v (теорема 3.4).

Полученные в главе 3 результаты направлены на обоснование того, что приведён-] ное определение устойчиво-возвратной функции является правильным в том смысле, что устойчиво-возвратные функции обладают рядом свойств, которые аналогичны основным свойствам устойчиво-возвратных матриц. Сначала понятие устойчивой возвратности изучается в классе локально-постоянных функций, т.е. функций вида /(у) = /(уо, у%,., ут), ттг > 2. Каждой такой функции можно поставить в соответствие некоторую неотрицательную матрицу, и будет показано, что устойчивая возвратность локально-постоянной функции равносильна устойчивой возвратности соответствующей ей матрицы (теорема 3.1). Последнее утверждение играет существенную роль в дальнейшем исследовании функций общего вида, поскольку оно позволяет прибегнуть к методу аппроксимаций локально-постоянными функциями. При помощи этого метода, в первую очередь, будет доказано, что всякая устойчиво-возвратная функция является возвратной (теорема 3.3), а затем установлено, что устойчивая возвратность влечёт и положительную возвратность (теорема 3.5). Кроме того, мы покажем, что в случае, когда граф конечен, всякая функция с суммируемыми вариациями устойчиво-возвратна (см. теорему 3.2). В заключение обосновывается использование самого термина "устойчивая возвратность" в определении 3.4: будет установлено, что устойчиво-возвратные функции — это такие возвратные функции, которые сохраняют свойство возвратности при равномерно малых возмущениях (теорема З.б).

Предварительная информация: ориентированные графы

Прежде чем перейти к основному изложению, приведём здесь некоторые понятия и терминологию, касающиеся ориентированных графов. Данная терминология будет использоваться на протяжении всей этой работы.

Ориентированный граф С? задаётся конечным или счётным множеством вершин V = К(С?) и множеством рёбер Е(С) С V х V. Последовательность 7 = (г>о, ^ъ., где п > 1, называется путем длины /(7) := п в графе (7, если г;,- 6 V при г = 0,1 ,.,п, и (г;,-,г;,-+1) € £((?) при г = 0,1,. ,п — 1. При этом будем говорить, что путь 7 начинается (соответственно заканчивается) в вершине у €Е V, если у0 = у (соответственно уп = г;). Путь, начинающийся в вершине у 6 V и заканчивающийся в вершине у' € V, будем называть ведущим из у в у'. В случае, когда V,- = у для некоторого г ф 0,п, мы говорим, что путь 7 проходит через вершину у. Путь проходит через множество IV, где 1V С V, если он проходит через какую-либо вершину го 6 IV. Если у0 = уп = у, то замкнутый путь 7 будем называть у-циклом; и-циклы, у которых V,- ф V при всех г ф 0,п, называются простыми.

Пусть 7 = (г>0,г>1,.,г>п)> 7' = (ьо ? • • • — ПУТИ в причём у'0 = уп. Тогда последовательность 77' = ., уп, у'ц . ,у'к) также является путём в (7; путь 77' будем называть произведением путей 7 и 7'; для него, очевидно, имеем /(77') = ¿(7) + ^(7')* Ясно, что всякий г>-цикл представим (притом единственным образом) в виде произведения простых и-циклов.

Ориентированный граф С называется подграфом графа (7, если У(С) С V и Е(С) С ■Е(С). Будем говорить, что С — полный подграф графа (7, порождённый подмножеством вершин V' С V, если У{С) = V' и Е(С) = {(г/, у") € Е(в) : у',у" в V'}.

Граф является связным, если для любых двух его вершин у, у' найдётся путь, ведущий из у в у'. Граф (7 называется апериодическим, если для любых двух вершин у,у' (Е V существует ЛГ„„' € N такое, что для всякого п > N„„1 в (7 найдётся путь длины п, ведущий из у в у'. Очевидно, апериодический граф всегда связен.

Пусть С? — связный граф. При тп> 2 определим ориентированный граф С7(т) с множеством вершин У((?(т)), состоящим из всех тех последовательностей й = (и0,щ,., ит1), которые являются путями длины т — 1 в графе (7, и множеством рёбер, состоящим из всех таких пар (й,й'), й,й' 6 У"((7(т)), что ик = 1 < к < т — 1, и (ит-1»«т-х) € Легко видеть, что граф связен. Будем называть редукцией порядка т или, проще говоря, т-редукцией графа (7 [17].

Пусть (7 — ориентированный граф с конечным или счётным множеством вершин V и пусть на V х V задана функция А, принимающая неотрицательные значения. Занумеровав элементы множества V в произвольном порядке (всё дальнейшее от этого порядка зависеть не будет), можно рассматривать А как неотрицательную матрицу: А = (а««')«."'€V-Предположим, что А — весовая матрица для графа (7, т.е. а> 0, если {у,у') является ребром в С, и а„„' = 0 в противном случае. Весом пути 7 = (г;0,г;1,. ,уп) относительно весовой матрицы А назовём произведение п-1

7) = П о

Обозначим через элемент матрицы Л", стоящий на (г;,г/)-м месте. Тогда при| всех п > 1 и у,у' € V справедлива следующая простая, но одновременно и очень полезная, формула, которая составляет основу комбинаторной части так называемого метода трансфер-матрицы [8]:

5>Л7) = (А»)*, 1 где сумма берётся по всем путям 7 длины п в графе (7, ведущим из вершины V в вершину г/. Это равенство практически сразу вытекает из определения матричного умножения и неотрицательности весовой матрицы А. В дальнейшем, ссылаясь на метод трансфер-матрицы, мы будем иметь в виду приведённую только что формулу.

Если V — конечное или счётное множество и А = — неотрицательна^ матрица, то поставим в соответствие А ориентированный граф Стд с множеством вершин V и множеством рёбер Е(Са)» состоящем из всех таких пар вершин (г;,г/'), что а> 0. Ясно, что А является весовой матрицей для С а и, значит, неразложимость матрицы А равносильна связности графа С а- Матрица А называется апериодической, если для любых у,у' (Е V найдётся такое Л^', что при всех п > N„„1 имеем {Ап)уу! > 0. Несложно понять, что А апериодична тогда и только тогда, когда апериодичен граф С а

Г;

1. Абрамов Л. М. Об энтропии потока. ДАН СССР, 128 (1959), №5, 873-875.

2. Bedford Т., Keane М., Series С. (Edtrs). Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces. — Oxford University Press, Oxford, 1991.

3. Bhatia R., Eisner L., Krause G. Bounds for variation of the roots of polynomial and the eigenvalues of a matrix. Linear Algebra and Appl., 142 (1990), 195-209.

4. Bowen R. Topological entropy for noncompact sets. Trans. Amer. Math. Soc., 184 (1973), 125-136.

5. Bowen R. Symbolic dynamics for hyperbolic flows. Amer. J. Math., 95 (1973), 429-460.

6. Bowen R. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeornorphisms. Lecture Notes in Mathematics, 470 (1975), Springer, New York.

7. Бунимович JI. А., Синай Я. Г., Чернов Н. И. Марковские разбиения для двумерных гиперболических биллиардов. УМН, 45 (1990), вып. 3, 97-134.

8. Cvetcovic D. М., Doob М., Sachs Н. Spectra of graphs. — New York: Academic Press, 1980.

9. Добру шин P. Л. Гиббсовские случайные поля — общий случай. Функционал, анализ и его прил., 3 (1969), №1, 27-35.

10. Fichtner К.-Н. Random permutations of countable sets. Prob. Theory and Rel. Fields, 89 (1991), 35-60.

11. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. — M.: Наука, 1967.

12. Георги Х.-О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. — М.: Мир, 1992.

13. Гуревич Б. М. Топологическая энтропия счётной цепи Маркова. ДАН СССР, 187 (1969), №4, 715-718.

14. Гуревич Б. М. О стационарных случайных последовательностях с заданным пространством реализаций и максимальным значением энтропии. — В сб.: Многокомпонентные случайные системы. — М.: Наука, 1978.

15. Гуревич Б. М. Устойчиво-возвратные неотрицательные матрицы. Успехи мат. наук, 51 (1996), вып. 3, 195-196.

16. Гуревич Б. М. Конечные аппроксимации бесконечных неотрицательных матриц и сходимость равновесных распределений. ДАН, 347 (1996), №6, 732-735.

17. Гуревич Б. М., Савченко С. В. Термодинамический формализм для символических цепей Маркова со счётным числом состояний. УМН, 53 (1998), вып. 2, 3-106.БИБЛИОГРАФИЯ 139

18. Gurevich В. M. A variational characterization of one-dimensional countable state Gibbs random fields. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 68 (1984), 205-242.

19. Gurevich B.M., Katok S. Arithmetic coding and entropy for the positive geodesic flow on the modular surface. Mose. Math. J., 1 (2001), no. 4, 569-582.

20. Katok S. Coding of closed geodesies after Gauss and Morse. Geometriae dedicata, 63 (1996), 123-145.

21. Lalley S. Renewal theorems in symbolic dynamics with applications to geodesic flows, non-Euclidean tcsselations and their fractal limit sets. Acta Mathematica, 163 (1990), 1-55.

22. Ledrappier F. Principe Variationnel et systèmes dynamiques symboliques. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 30(1974), 185-202.

23. Parry W., Pollicott M. Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. Astérisque, 187-188 (1990).

24. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971.

25. Ruelle D. Thermodynamic formalism. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1978.

26. Sarig О. M. Thermodynamic formalism for countable Markov shifts. Ergod. Th. and Dynam. Syst., 19 (1999), 1565-1593.

27. Sarig О. M. Thermodynamic formalism for null reccurent potentials. Israel J. Math., 121 (2001), 285-311.

28. Sarig О. M. Thermodynamic formalism for countable Markov shifts. — Ph.D. thesis, Tel-Aviv University, 2000.

29. Савченко С. В. Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Маркова. Функц. анализ и его прил., 32 (1998), №1, 40-53.

30. Seneta Е. Non-negative Matrices. — L.: George Allen &: Unwin Ltd, 1981.

31. Ширяев A. H. Вероятность. — M.: Наука, 1980.

32. Spitzer F. A variational characterization of finite Markov chains. Ann. Math. Statist., 43 (1972), 303-307.

33. Vere-Jones D. Geometric ergodicity in denumerable Markov chains. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 13 (1962), 7-28.

34. Vere-Jones D. Ergodic properties of nonnegative matrices 1. Pacific J. Math., 22 (1967), 361-386.

35. Walters P. Invariant measures and equilibrium states for some mappings which expand distances. Trans. Amer. Math. Soc., 236 (1978), 121-153.

36. Якобсон M. В. Марковские разбиения для рациональных эндоморфизмов сферы Ри-мана. — В сб.: Многокомпонентные случайные системы. — М.: Наука, 1978.

37. Yuri M. Multi-dimensional maps with infinite invariant measures and countable state sofic shifts. Indag. Math., 6 (1995), 355-383.