Классы точек компактификаций счетных дискретных пространств

Бастрыков, Евгений Станиславович

Классы точек компактификаций счетных дискретных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Бастрыков, Евгений Станиславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ижевск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Классы точек компактификаций счетных дискретных пространств»

Автореферат диссертации на тему "Классы точек компактификаций счетных дискретных пространств"

На правах рукописи

БАСТРЫКОВ Евгений Станиславович

КЛАССЫ ТОЧЕК КОМПАКТИФИКАЦИЙ СЧЁТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 —геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

005007612

1 2 ЯНВ 2012

Ижевск-2011

005007612

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет», кафедра алгебры и топологии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. А. Грызлов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е. Г. Пыткеев

кандидат физико-математических наук, доцент Н. К. Шамгунов

Ведущая организация: Национальный исследовательский

Томский государственный университет

Защита состоится «зх_» Лр&аЬл 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, Россия, г.Екатеринбург, ул.С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан « /£ » <%(са£1.я 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

И. Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Бикомпактным расширением или компак-тификацией топологического пространства X называется бикомпактное пространство Y, содержащее X в качестве всюду плотного подмножества.

Особое место в теории бикомпактных расширений занимают расширения дискретных пространств, и прежде всего стоун-чеховское бикомпактное расширение ßui счётного дискретного пространства и.

Одной из главных проблем, которые изучаются в теории бикомпактных расширений является отыскание свойств расширений, позволяющих выделить различные типы его точек, что определяет степень неоднородности расширения.

Первым результатом в этом направлении для пространства ßoj является теорема У. Рудина [14] о существовании, в предположении континуум-гипотезы, р-точек нароста w* = ßu \ и расширения ßu>.

оо

Точка х называется р-точкой пространства X, если х е Int П Ог для

г — 1

всякого счётного семейства окрестностей {О*}^ точки х.

После того, как С.Шелах [17] показал невозможность «наивного» доказательства существования р-точек в ш*, начался поиск точек, близких по свойствам к р-точкам. Так, К. Кунен [9] доказал существование слабых р-точек в пространстве ш*, то есть точек, не являющихся предельными ни для какого счётного подмножества из*. А.Грызлов [1] доказал существование 0-точек в ш*, характеризующихся тем, что при любой нумерации точек и у 0-точки, как ультрафильтра на ui, найдётся элемент плотности 0.

3. Фролик в работах [4, 5], М. Е. Рудин [15, 16], Я. ван Милл [12], К. Кунен [8] и А. Грызлов [6] изучали различные частичные порядки на множестве ßu \ и), ими были выделены и изучены несравнимые в различных порядках точки этого пространства.

М. Белл в работе [3] построил бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, нарост которого несепарабелен, но обладает счётным числом Суслина. Вопрос о существовании такого расширения был поставлен Я. ван Миллом в [10].

Компактификация Белла позволила решить ряд важных вопросов теории бикомпактных расширений счётных дискретных пространств.

Я.ван Милл [11, 13] и А.Грызлов [2, 7] получили несколько новых типов точек в классе слабых р-точек, являющихся предельными для различных подмножеств си* со счётным числом Суслина.

Поскольку расширение Белла стало важной частью теории бикомпактных расширений, возникла необходимость в более детальном его изучении.

Компактификация ВЫ была построена М. Беллом как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично упорядоченного множества N.

Свойства расширения ВЫ, доказанные М. Беллом, являются следствием существования базы пространства BN, представляющей собой объединением счётного числа 2-сцепленных семейств.

Первой задачей, рассматриваемой в работе, является построение базы пространства BN \ N, которая и сама, и семейство дополнений до её элементов, являются счётным объединением п-сцепленных семейств. Свойства этой базы объединяют свойства компактифика-ции BN, полученные М. Беллом в [3] и А. Грызловым в [2].

Основной проблемой, как и в случае других бикомпактных расширений, является поиск различных типов точек пространства BN и изучение свойств этих точек.

В связи с этим возникли следующие вопросы:

Что из себя представляет замыкания различных счётных подмножеств N, в частности цепей и антицепей?

Каковы свойства и характеристики точек, лежащих в замыканиях подмножеств N различного вида?

Поскольку булева алгебра В расширения Белла порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа, возникают вопросы.

Существует ли в ВАГ \ N точки, то есть ультрафильтры на В, обладающие базами, состоящими из множеств только одного из подсемейств?

Замыканию каких подсемейств (цепей, антицепей) множеств N принадлежат эти точки?

Каковы характеристики и свойства этих точек? Существует ли в наросте BN \ N копии расширения и сходящиеся последовательности, состоящие из точек различных типов? Решению этих вопросов и посвящена настоящая диссертация. Цель работы. Работа посвящена изучению точек компактифи-каций счётных дискретных пространств, их классификации и свойствам.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим среди них основные:

— получены классы £-, и- и ¿^м-точек пространства BN, как ультрафильтров булевой алгебры с базисами из множеств различного типа;

— даны характеристики I- и £n¡M -точек, как предельных точек бесконечных цепей и строгих антицепей из N соответственно;

— доказано существование в BN сходящихся последовательностей, состоящих из 4-|А/-точек;

— доказано, что замыкание счётного дискретного множества в BN, состоящее из u-точек, гомеоморфно ри>.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение в дальнейшем изучении бикомпактных расширений топологических пространств.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на международных (41-й и 42-й всероссийских) молодёжных школах-конференциях (г.Екатеринбург, 2010, 2011), международных научных конференциях «Ломоносов -2008» и «Ломоносов-201 1» (г. Москва, МГУ, 2008, 2011), конференции «24th Summer Conference on Topology and Its Applications» (Брно, Чехия, 2009),

семинарах им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии МГУ (г. Москва), топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург), конференции им. Н. И. Лобачевского (Казань, 2007), студенческой научной конференции (г. Ижевск, 2008) и других.

Публикации. Основные результаты опубликованы в шести работах, список которых приведён в конце автореферата, и тезисах конференций. Работы [18, 20] выполнены в нераздельном соавторстве с А. А. Грызловым и Р. А. Головастовым, работы [22, 23] выполнены в нераздельном соавторстве с А. А. Грызловым. Во всех работах основными являются исследования автора.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.3 означает, что эта теорема находится во второй главе. Объём диссертации составляет 67 станиц машинописного текста и содержит 34 библиографические ссылки. -

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава работы посвящена решению вопросов, связанных с конструкцией расширения Белла, и доказательству ряда теорем, используемых в дальнейшем.

В первом параграфе описывается конструкция расширения Белла как пространства Стоуна некоторой булевой алгебры и доказываются факты и свойства этого расширения.

Расширения Белла строится следующим образом [3].

Пусть

Р={ / £ ш" : 0 < f(n) ^ п + 1 для всех

В качестве счётного дискретного пространства N рассматривается множество всех сужений функций из множества Р:

N={f\n:feP,nC ш}.

Пусть

Т = { 7Г € Nw : dorn тт(тг) = п + 1 для всех п

Для каждой точки s е N пусть Cs = {t е N : í|dora., = 5 }. А для каждого 7г € Т

CV = и{С,г(п) :п£ш}.

Булева алгебра В порождается семейством

В' = {C„:ITGT}U{N\CK:IT£T}.

Пространство BN определяется как пространство Стоуна булевой алгебры В.

Таким образом BN — это множество ультрафильтров булевой алгебры В с топологией, определяемой базой В = { W¡j : U € В }, где Wv = { £ б BN : U € £ }.

Пространство N является частично упорядоченным множеством со следующим отношением порядка:

для s, t 6 ЛГ полагаем, что s < t тогда и только тогда, когда í — продолжение s, то есть doras С dorn i

Будем обозначать: s < t, если s < i и s^t. Напомним определения цепей и антицепей.

Определение 1.1 Цепью в пространстве N называется линейно упорядоченное множество.

Антицепью в пространстве N называется множество, элементы которого попарно несравнимы.

Определение 1.2 Антицепь А С N будем называть строгой антицепью, если для любых различных s,t £ А выполнено dorn s ф dorn t.

Для удобства строгие антицепи будем обозначать

7Г(М) = {7г(п) : п € М }, где 7Г € Т и М С и.

Одной из задач в первом параграфе являлось отыскание и описание новой базы, удобной для работы с пространством BN. Эта база описана в теореме 1.1.

В этом же параграфе доказывается теорема, объединяющая результаты М.Белла [3] и А.Грызлова [2].

Теорема 1.4

1. Пусть п £ lj и s Е N такие, что doms ^ п. Тогда для F(s) следующее верно:

a) Г(г) — п-сцепленное семейство;

b) семейство дополнений до элементов семейства Г(л) — п-сцеп-ленное семейство;

c) для всякого счётного множества точек { Pi : г £ ш } С BN\N найдётся множество U € Г(в) такое, что { Pi : i G ш } С [[/].

2. Для всякого п € ш семейство

Tn = {[U]\N:Ueu{ Г(в) : doms > п } } является базой пространства BN \ N.

Второй параграф этой главы посвящен изучению замыкания счётных подмножеств из N.

Главным результатом здесь являются теоремы, показывающие, насколько разными могут быть замыкания подмножеств из N.

Теорема 1.5 Пусть п(М)— строгая антицепь, \М\ — ш и X = = { Xi : i в М } такое, что хг £ Тогда [X] гомеоморфно ßu.

Теорема 1.7 Пусть А - { : г £ со }— бесконечная цепь из N. Тогда А является сходящейся последовательностью в BN.

Таким образом, в пространстве ВЫ есть подпространства и го-меоморфные максимальной компактификации /Зш, и гомеоморфные минимальному, одноточечному расширению пространства и>. Следующая теорема показывает, что таких подпространств «много» в пространстве ВЫ.

Теорема 1.8 Пусть

(2 = { х : х — предел сходящейся последовательности точек N }, /х = { А* : А С М, [Л] гомеоморфно /За; }.

Тогда С} всюду плотно и р образует тх-сеть в ВЫ \ N.

Дальнейшие задачи в изучении пространства BN связаны с изучением точек ВЫ как различных ультрафильтров булевой алгебры В. Разработке технических вопросов построения таких ультрафильтров посвящен параграф 3 этой главы. Здесь доказывается ряд утверждений, связанных с понятием центрированных систем в семействах множеств из булевой алгебры В.

Вторая глава содержит основные результаты работы.

Булева алгебра В, определяющая пространство BN, порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа.

С другой стороны, как показано в первой главе, в BN \ N существуют точки, являющиеся ультрафильтрами на некоторых счётных подмножествах (предельные точки строгих антицепей), и точки, являющиеся пределами некоторых последовательностей (цепей) из N.

Отсюда, одной из основных задач, решаемых в данной работе являлось выделение различных классов точек нароста расширения BN и изучение их свойств.

В первом параграфе второй главы получены классы так называемых I- и и-точек.

Теорема 2.1 Если £ = {С} — максимальная центрированная система в семействе

Мь = ( (7 = ЛГ \ и Сщ : п 6 о;, тг< е Т ),

I ¿^п }

то |п{С* =1.

Определение 2.1 Точку х е ЯЛ/" \ ЛГ назовём I-точкой, если

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {6} в семействе множеств Ж/,.

Теорема 2.3 Если £ = {С^щ}— максимальная центрированная система в семействе

Ми = { С»,м : тг е Т, М С ы },

Определение 2.2 Точку х 6 #ЛГ \ Я назовём и-точкой, если

® = П{С;,М ГС,,«

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {С^м} в семействе множеств Ми.

Следующая теорема даёт характеристики £-точек в различных терминах.

Теорема 2.2 Для точки х € #ЛГ \ N следующие утверждения эквивалентны:

(a) точка х есть предел некоторой цепи {вь : к е и] элементов Ы;

(b) из того, что х е [С^л/] для некоторых тт е Т и М С ш следует, что существует г € М такое, что х е

КУ„С4

другими словами, х—¿-точка.

Совокупность всех ¿-точек обозначим через Ь, а совокупность и-точек —и. Классы Ь и и не пересекаются вследствие теоремы 2.2. А следующая теорема показывает, что существуют точки не являющиеся ни £-, ни и-точками.

Теорема 2.5 Пусть {з* : г £ и> }—антицепь в N. € -£-точ-ка (г 6 а;) и X = { яг : г е и }. Тогда [X] \ X гомеоморфно ¡Зш\ш и состоит из точек, не являющихся ни I-точками, ни и-точками.

Второй параграф главы 2 посвящён точкам, являющимся предельными для строгих антицепей. Прежде всего, дано описание этих точек в терминах центрированных систем, которое оказалось похожим на описание ¿'-точек, при том, что предельные точки строгих антицепей являются ультрафильтрами на этих антицепях, а ¿-точки есть пределы цепей, рассматриваемых как последовательности.

Будем говорить, что С\\М приведённое, если п(М) строгая антицепь, и положим:

ж'ж\м = { ■ м< = м П { п : п > г }, г € ш },

Определение 2.3 Центрированную систему С = {<2} в семействе Жъ\м назовём 1т\М-центрированной для Сп\м, если С

Всякую 7г|М-центрированную систему можно дополнить до максимальной 7г|М-центрированной системы.

Теорема 2.6 Пусть множество приведённое и \М\ — ш. Ес-

ли {С} —максимальная тг|М-центрированная система для С~\М, то

Определение 2.4 Пусть г/ = {С} —максимальная 7г|М-центриро-ванная система для некоторого множества С^д/. Точку

я = П{ С : в е г]}

будем называть ¿^¡м-точкой для С\\М.

Здесь же доказывается теорема, дающая характеристику ¿„.^/-точек.

Теорема 2.7 Пусть множество С.\м приведённое и \М\ = ш. Тогда [ж(М)] \ 7Г(М) = { х : х — £п\м-точка для С^щ }•

Совокупность всех -точек для всевозможных строгих антицепей 7г(М) обозначим через О.

Теорема 2.11 В наросте ВЫ \ N пространства Белла есть точки не лежащие в множестве Ь II и и Б. Множества Ь, и и Т) не пересекаются.

Третий параграф посвящен проблеме — что из себя представляют замыкания счётных подмножеств из ВМ \ N. Подобные вопросы являются классическими при исследовании различных бикомпактных расширений.

В первой главе показано (теорема 1.6), что существуют счётные дискретные подмножества в BN\N, замыкания которых гомеоморф-ны ,6ю. Причём из теорем 1.6 и 1.8 следует, что такие подмножества могут состоять целиком как из 1-, так и из 41 а/-точек. Оказывается, что замыкание счётных дискретных подмножеств состоящих из и-точек всегда гомеоморфно Вш.

Теорема 2.13 Если Г С ВМ \ N — счётное дискретное множество и-точек, то гомеоморфно /З/У.

В первой главе (теорема 1.7) было показано, что цепь { ¿^ : г £ о; } является сходящейся последовательностью в ВМ. Возникает вопрос, есть ли сходящаяся последовательность в наросте ВМ\М. Как показано выше (теорема 2.13), и-точки не годятся для построения такой последовательности. То же относится и к ¿-точкам.

Теорема 2.14 Пусть Л = : ^ € г б ш} С ВМ \ N такое, что ф ¡1 (г ф Л то найдётся А' С А такое, что [А'} гомеоморфно /Зи.

Из чего непосредственно следует, что из любого бесконечного множества ¿-точек можно выделить подмножество, замыкание которого гомеоморфно {Зи.

Пример 2.1 даёт ответ на вопрос о существовании сходящейся последовательности в наросте пространства Белла. В нём построена сходящаяся последовательность, состоящая из ¿„.|М-точек.

Список литературы

[1] Грызлов, А. А. К теории пространства (5N / А.А.Грызлов // Общая топология. Отображения топологических пространств. — М.: МГУ, 1986.-С. 20-34.

[2] Грызлов, А. А. О бикомпактах расширениях дискретных пространств / А.А.Грызлов П Фундаментальная и прикладная математика. — 1996.— Т.2, №3,- С. 803-848.

[3] Bell, М. G. Compact ссс non-separable spaces of small weight / M. G. Bell // Topology Proceedings. —1980. — Vol. 5. — P. 11-25.

[4] Frolik, Z. Homogenity problems for extremally disconnected spaces / Z.Frolik // Comment. Math. Univ. Carolinae.-1967.-Vol.8.-P.757-763.

[5] Frolik, Z. Sums of ultrafilters / Z. Frolik // Bull. Amer. Math. Soc. - 1967. -Vol. 73.-P. 87-91.

[6] Gryzlov, A. A. On the Rudin - Keisler order on ultrafilters / A. A. Gryzlov // Topol. Appl.- 1997.-Vol.76. —P. 151-155.

[7] Giyzlov, A. A. Independent matrices and some points of рт / A. A. Gryzlov // Topol. Appl.-2002.-Vol. 107.-P.79-81.

[8] Kunen, K. Ultrafilters and independent sets / K. Kunen // Trans. Amer. Math. Soc.- 1972,-Vol. 172.-P. 295-306.

[9] Kunen, K. Weak p-points in N" / K. Kunen // Coll. Math. Soc. Janos Bolyai, 23 Topology.-Budapest, 1978.-P.741-749.

[10] van Mill, J. Weak p-points in compact P-spaces / J. van Mill // Topology Proceedings. - 1979. - Vol. 4, № 2. - P. 605-628.

[11] van Mill, J. An introduction to fiui \ u> / J. van Mill — Amsterdam: Vrige Univ., 1981.

[12] van Mill, J. Sixteen topological types in J. van Mill // Topol. App. -1982.-Vol. 13.-P. 43-57.

[13] van Mill, J. Weak p-points in Chech - Stone compactifications / J. van Mill // Trans. Amer. Math. Soc. - 1982.-Vol. 173, №2.-P.657-678.

[14] Rudin, W. Homogenety problems in the theory of Cech compactifications / W. Rudin // Duke Math. J. - 1956. - Vol. 23, № 3. - P. 409-426.

[15] Rudin, M.E. Types of ultrafilters / M.E. Rudin // Topology Seminar. -Wisconsin, 1965, — P. 145.

[16] Rudin, M. E. Partial orders on the types in j3N / M. E. Rudin // Trans. Amer. Math. Soc. -1971. - Vol. 155, №2. - P. 353-362.

[ 17] Shelah, S. On p-points /Зш and other results in general topology / S. Shelah // Notices Amer. Math. Soc. — 1978. - Vol. 35 A-365, № 87T-G. — P. 49.

Основное содержание исследования и полученные результаты отражены в следующих публикациях.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской федерации, и зарубежных изданиях

[18] Bastrykov, E.S. On Bell's compactification of N / A.A.Gryzlov, E. S. Bastrykov, R. A. Golovastov // Topology Proceedings. —2010.— Vol. 35.-P. 177-185.

[19] Бастрыков, E.C. О некоторых точках расширения Белла счетного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки —2009 — Т. 4. -С. 3-6.

[20] Бастрыков, Е.С. О точках одного бикомпактного расширения N / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков, Р. А. Головастое // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, —2010.— Т.З.-С. 10-17.

[21] Бастрыков, Е.С. О замыканиях счетных подмножеств BN / Е. С. Бастрыков II Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Т. 3. — С. 15-20.

[22] Бастрыков, Е. С. О замыканиях счётных множеств в пространстве Стоуна одной булевой алгебры / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2011. - Т. 3. - С. 37-42.

[23] Бастрыков, Е. С. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков // Труды ИММ. — 2011. - Т. 17, № 4. - С. 76-82.

Публикации в других изданиях

[24] Бастрыков, Е. С. О некоторых бикомпактных расширениях счётных дискретных пространств / Е. С. Бастрыков, Р. А. Головастов // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. — Т. 36. — 2007. — С. 23-24.

[25] Бастрыков, Е. С. Об одной базе расширения Белла / Е. С. Бастрыков // XXXVI итоговая студенческая научная конференция. — Ижевск: Удмуртский государственный университет, 2008. —С. 5-6.

[26] Bastrykov, Е. S. The limits of convergent sequences in Bell's compactifi-cation / E. S. Bastrykov // 24th Summer Conference on Topology and Its Applications. —Brno: Brno University of Technology, 2009, —P. 19.

[27] Бастрыков, E. С. О пределах сходящихся последовательностей в расширении Белла счётного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Тезисы 41-й всероссийской школы-конференции. — Екатеринбург, 2010.— С. 99-103.

[28] Бастрыков, Е. С. О подмножествах расширения Белла, не гомео-морфных ßto / Е. С. Бастрыков // Тезисы 42-й всероссийской школы-конференции. — Екатеринбург, 2011. — С. 257.

[29] Бастрыков, Е. С. О предельных точках цепей и антицепей в компакти-фикации Белла счётного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Материалы Международного молодёжного научного форума «Ломоно-сов-2011» [Электронный ресурс] —М.: «МАКС Пресс», 2011. http:Momonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/1257/30419_6cea.pdf.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 06.12.2011. Формат 60x84 '/16. Тираж 100 экз. Заказ № 2416.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Бастрыков, Евгений Станиславович, Ижевск

61 12-1/392

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра Алгебры и Топологии

На правах рукописи

' УДК 515.122.536

БАСТРЫКОВ Евгений Станиславович

КЛАССЫ ТОЧЕК КОМПАКТИФИКАЦИЙ СЧЁТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 ^геометрия и топология

диссертация на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор А. А. ГРЫЗЛОВ

Ижевск —2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение 3

1 Краткое содержание работы............................................5

2 Предварительные результаты............................................11

ГЛАВА 1. 14

1.1 Конструкция, свойства и базы расширения Белла....................15

1.2 Замыкания счётных подмножеств N и кардинальные инварианты расширения ВЫ..........................................................24

1.3 Центрированные системы................................................30

ГЛАВА 2. 35

2.1 £-точки и их свойства, ад-точки..........................................36

2.2 ¿^м-точки ................................................................45

2.3 Замыкания счётных подмножеств пространства Белла..............56

Литература 64

ВВЕДЕНИЕ

Бикомпактным расширением или компактификацией топологического пространства X называется бикомпактное пространство Y, содержащее X в качестве всюду плотного подмножества.

Особое место в теории бикомпактных расширений занимают расширения дискретных пространств, и прежде всего стоун-чеховское бикомпактное расширение ßuj счётного дискретного пространства ш.

Первым результатом в этом направлении для пространства ßco является теорема У.Рудина [19] о существовании, в предположении континуум-гипотезы, р-точек нароста и* = ßu \ и расширения ßco. Точка х называется р-точкой

ос

пространства X, если х 6 Int П Oxi для всякого счётного семейства окрестно-

?=i

стей {Oxi}Zi точки

После того, как С. Шелах [22] показал невозможность «наивного» доказательства существования р-точек в со*, начался поиск точек, близких по свойствам к р-точкам. Так, К. Кунен [14] доказал существование слабых р-точек в пространстве си*, то есть точек, не являющихся предельными ни для какого счётного подмножества и*. А. Грызлов [3] доказал существование 0-точек в си*, характеризующихся тем, что при любой нумерации точек со у 0-точки, как ультрафильтра на и, найдётся элемент плотности 0.

З.Фролик в работах [8, 9], М.Е.Рудин [20, 21], Я.ван Милл [17], К.Кунен [13] и А.Грызлов [10] изучали различные частичные порядки на множестве ßco \ со, ими были выделены и изучены несравнимые в различных порядках точки этого пространства.

М.Белл в работе [7] построил бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, нарост которого несепарабелен, но обладает счётным числом Суслина. Вопрос о существовании такого расширения был поставлен Я. ван Миллом в [15].

Я.ван Милл [16, 18] и А.Грызлов [4, 11] получили несколько новых типов точек в классе слабых р-точек, являющихся предельными для различных подмножеств си* со счётным числом Суслина.

Компактификация В N была построена М. Беллом как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично упорядоченного множества N.

Свойства расширения ВЫ, доказанные М. Беллом, являются следствием существования базы пространства ВА', представляющей собой объединением счётного числа 2-сцепленных семейств.

Первой задачей, рассматриваемой в работе, является построение базы пространства ВАГ, которая и сама, и семейство дополнений до её элементов, являются счётным объединением п-сцепленных семейств. Такая база объединяет свойства компактификации В А1, полученные М. Беллом в [7] и А. Грызловым в [4].

Основной проблемой, как и в случае других бикомпактных расширений, является поиск различных типов точек компактификации В1V и изучение свойств этих точек.

В связи с этим возникли следующие вопросы:

Что из себя представляет замыкания различных счётных подмножеств ТУ, в частности цепей и антицепей?

Каковы свойства и характеристики точек, лежащих в замыканиях подмножеств N различного вида?

Существует ли в BN \ N точки, то есть ультрафильтры на В, обладающие базами, состоящими из множеств только одного из подсемейств?

Замыканию каких подсемейств (цепей, антицепей) множеств N принадлежат эти точки?

Каковы характеристики и свойства этих точек?

Существуют ли в наросте BN \ Ат копии расширения ßu и сходящиеся последовательности, состоящие из точек различных типов?

Решению этих вопросов и посвящена настоящая диссертация.

1 Краткое содержание работы

Первая глава работы посвящена решению вопросов, связанных с конструкцией расширения Белла, и доказательству ряда теорем, используемых в дальнейшем. Результаты главы опубликованы в [23, 25].

В первом параграфе описывается конструкция расширения Белла как пространства Стоуна некоторой булевой алгебры и доказываются факты и свойства этого расширения. Одной из задач здесь являлось отыскание и описание новой базы, удобной для работы с пространством BN. Эта база описана в теореме 1.1.

В этом же параграфе доказывается теорема, объединяющая результаты М. Белла [7] и А. Грызлова [4].

Теорема 1.4

1. Пусть п е ш и s G N такие, что dorn s > п. Тогда для Г(«э) следующее верно:

а) T(s) — п-сцепленное семейство;

b) семейство дополнений до элементов семейства Т(в) — п-сцепленное семейство;

c) для всякого счётного множества точек { р./ : г €Е и } С ВМ \ N найдётся множество II е Г(.5") такое, что {рг; : г <Е и } С [II].

2. Для всякого п Е си семейство

Гп = { [Щ \ N : и € и{ Г» : <1отО га } } является базой пространства В N \ N.

Второй параграф этой главы посвящен изучению замыкания счётных подмножеств из Лг.

Теорема 1.5 Пусть тт(М) —строгая антицепь, \М\ = ио и X = { : г е М } такое, что х% СЕ [С^ (,;)]• Тогда [X] гомеоморфно ¡Зои.

Теорема 1.7 Пусть А = { з,: : г € ш }— бесконечная цепь из N. Тогда А является сходящейся последовательностью в ВАТ.

Таким образом, в пространстве BN есть подпространства и гомеоморфные максимальной компактификации и гомеоморфные минимальному, одноточечному расширению пространства ш. Следующая теорема показывает, что таких подпространств «много» в пространстве BN.

Теорема 1.8 Пусть

= { х : х —предел сходящейся последовательности точек N }, (1. = { А* : А С N. [А] гомеоморфно /Зш }.

Тогда С} всюду плотно и ¡1 образует п-сеть в BN \ N.

Дальнейшие задачи в изучении пространства ВМ связаны с изучением точек ВЫ как различных ультрафильтров булевой алгебры В. Разработке технических вопросов построения таких ультрафильтров посвящен параграф 3 этой главы. Здесь доказывается ряд утверждений, связанных с понятием центрированных систем в семействах множеств из булевой алгебры В.

Вторая глава содержит основные результаты работы. Результаты главы опубликованы в [24-28].

Булева алгебра В, определяющая пространство ВЫ, порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа.

С другой стороны, как показано в первой главе, в ВЫ \ N существуют точки, являющиеся ультрафильтрами на некоторых счётных подмножествах (предельные точки строгих антицепей), и точки, являющиеся пределами некоторых последовательностей (цепей) из N.

Отсюда, одной из основных задач, решаемых в данной работе являлось выделение различных классов точек нароста расширения ВЫ и изучение их свойств.

В первом параграфе второй главы получены классы так называемых £-и «-точек.

Теорема 2.1 Если £ = {С} — максимальная центрированная система в семействе

Жь = { в = N \ и сп. :пеш,щ ет),

I ¿<11 1 ' )

то |п{<2*:<3€£}| = 1.

Определение 2.1 Точку х е ВМ \ N назовём £-точкой, если

х € П{ С* : О е £ }

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {С} в семействе множеств М^.

Теорема 2.3 Если £ = {С^м} —максимальная центрированная система в семействе

Ми = { Сп\м ■ тг е Т, М С Ш }, то ИСФ1 ■ £ 0 \ =

Определение 2.2 Точку х е ВМ \ N назовём и-точкой, если

х = П{ <?АМ : Сф1 е <е }

для некоторой максимальной центрированной системы £ = {Сж\м} в семействе множеств Жи.

Следующая теорема даёт характеристики ¿-точек в различных терминах.

Теорема 2.2 Для точки х £ ВМ \ N следующие утверждения эквивалентны:

(a) точка х есть предел некоторой цепи { з^. : к £ и } элементов Л7

(b) из того, что х € [С^м] для некоторых 7г € Т и М С и следует, что существует г £ М такое, что х £ [С-ф^]/

'к \ у сщ ,

другими словами, х — I-точка.

Совокупность всех ¿-точек обозначим через Ь. Совокупность ^-точек обозначим через и. Классы Ь и и не пересекаются вследствие теоремы 2.2. А следующая теорема показывает, что существуют точки не являющиеся ни ни и-точками.

Теорема 2.5 Пусть {si : i е и] —антш^епъ в N. Х{ <Е С8. — 1-точка {г € и) и X = { Х{ : г £ ш }. Тогда [X] \ X гомеоморфно (Зш \ ш и состоит из точек, не являющихся ни £-точками, ни и-точками.

Второй параграф главы 2 поевящён точкам, являющимся предельными для строгих антицепей. Прежде всего, дано описание этих точек в терминах центрированных систем, которое оказалось похожим на описание ¿-точек, при этом, предельные точки строгих антицепей являются ультрафильтрами на этих антицепях, а ¿-точки есть пределы цепей, рассматриваемых как последовательности.

Теорема 2.6 Пусть множество Сж\м приведённое и \М\ = и. Если £ = {С} — максимальная тг[М-центрированная система для Сп\м, то

Определение 2.4 Пусть г] = {О} — максимальная тт\М-центрированная система для некоторого множества Сж\м- Точку

ж = П{ & : в £ 7]}

будем называть £п\м~точкой для Сж\м-

Здесь же доказывается теорема, дающая характеристику ¿^-точек. Теорема 2.7 Пусть множество Сж\м приведённое и \М\ = и. Тогда

[тт(М)} \ 7г(М) = { х : х — £Ж\М-точка для С^м }•

Совокупность всех 4-|м-точек для всевозможных строгих антицепей тт(М) обозначим через О.

Теорема 2.11 В наросте пространства Белла есть точки не лежащие

в множестве Ь и И и Б. Множества Ь, и иТ) не пересекаются.

Третий параграф посвящен проблеме — что из себя представляют замыкания счётных подмножеств из ВЫ \ N. Подобные вопросы являются классическими при исследовании различных бикомпактных расширений.

В первой главе показано (теорема 1.6), что существуют счётные дискретные подмножества в BN \ N, замыкания которых гомеоморфны ¡Зш. Причём из теорем 1.6 и 1.8 следует, что такие подмножества могут состоять целиком как из £-, так и из точек. Оказывается, что замыкание счётных дискретных подмножеств состоящих из и-точек всегда гомеоморфно (Зш.

Теорема 2.13 Если Р С ВЫ \ N — счётное дискретное множество и-точек, то [.Р] гомеоморфно /Ж.

В первой главе (теорема 1.7) было показано, что цепь { ¿г : г € о;} С N является сходящейся последовательностью в BN. Возникает вопрос, есть ли сходящаяся последовательность в наросте ад-точки, как показано выше

(теорема 2.13) не годятся для построения такой последовательности. То же относится и к ^-точкам.

Теорема 2.14 Пусть А = {Х{ : х; е г е о;} С ВА[ \ N такое, что ^ ф /у (г Ф г]), то найдётся А' С А такое, что [А'} гомеоморфно (Зш.

Из чего непосредственно следует, что из любого бесконечного множества ¿-точек можно выделить подмножество, замыкание которого гомеоморфно ¡Зш.

Ответ на вопрос о существовании сходящейся последовательности в наросте пространства Белла даёт пример 2.1, где построена сходящаяся последовательность, состоящая из ¿^у-точек.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук А. А. Грызлову за постановку задач, за внимательное отношение, поддержку, участие и понимание, Головастову P.A. за плодотворные дискуссии и моральную поддержку во время работы над диссертацией и своим родителям. Автор также благодарен коллективу кафедры алгебры и топологии УдГУ Банниковой Т.М., Мерзлякову A.C., Шарычевой Д.А. и другим за участие.

2 Предварительные результаты

Большинство обозначений и терминов этой работы взяты из книг Р.Эн-гелькинга [6] и А.В.Архангельского, В.И.Пономарёва [2].

Обозначения

Для пространства X будем обозначать w(X) — вес пространства X; с(Х) — число Суслина;

spi) — спред (наследственное число Суслина) пространства X;

t(X) — теснота пространства X.

Более подробно о кардинальных инвариантах см. [1].

Также воспользуемся стандартным обозначением exp X — множество всех подмножеств X.

Для множества АС. X \А\ — мощность множества А; [А] — замыкание множества А в пространстве X; А* = [А] \ Л.

Через и обозначается вполне упорядоченное множество {0,1,2, ... } неотрицательных целых чисел, а также мощность этого множества. Множество, имеющее мощность и, называется счётным.

Через п обозначаем в зависимости от контекста и натуральное число, и множество { % £ и : г < тг }.

Определения

В работе используется понятие пространства Стоуна булевой алгебры.

Основные сведения, связанные с ним, можно найти в книге Сикорского [5].

Мы будем рассматривать булевы алгебры 21 = {(7 С X} в множестве ехр X.

Будем говорить, что подалгебра 21 булевой алгебры 03 порождена семейством множеств Л С 23, если 21 —минимальная подалгебра алгебры Ш такая, что Л С 21, или, другими словами, элементы из 21 получены путём применения конечного числа операций пересечения, объединения и дополнения к элементам Л.

Определение 1 Семейство £ непустых элементов булевой алгебры 21 называется фильтром, если выполнены условия:

1. если Л, В е то А П В е £;

2. если А е £ и А С В, то В е £.

Определение 2 Ультрафильтром в булевой алгебре 21 будем называть такой фильтр £ С 21, что он не содержится ни в одном другом фильтре в булевой алгебре 21.

Ультрафильтр — это максимальный фильтр. При этом каждый фильтр можно дополнить до ультрафильтра. Понятие фильтра близко к понятию центрированной системы множеств.

Пространством Стоуна булевой алгебры 21 называется множество ультрафильтров в 21 с топологией, задаваемой базой состоящей их открыто-замкнутых подмножеств IIследующего вида: для А е 21, 17а состоит из всех ультрафильтров £ булевой алгебры 21 таких, что А е

Пространство Стоуна является бикомпактным.

Определение 3 Пространство У называется бикомпактным расширением или компактификацией пространства X, если У" — бикомпакт и X гомеоморф-но некоторому всюду плотному подмножеству У.

Определение 4 Бикомпактным расширением {компактификацией) Стоуна Чеха пространства X (обозначаем (ЗХ) будем называть максимальное бикомпактное расширение пространства X, что означает, что для любого бикомпактного расширения ЬХ пространства X существует непрерывное отображение /: /ЗХ ЬХ, тождественное на X.

Напомним, что для расширения Стоуна-Чеха в и; счётного дискретного пространства

1. ш((Зш)=^м1((Зсо\си) = 2и;;

2. с(/3си \оо) = 2^;

3. 1ЦЗш) = 2Ш;

4. = 22Ы.

Определение 5 ([14]) Семейство Л = {Ма} будем называть п-сцепленным,

если

n{ Ma. : г ^ п } | ^ со для любого набора { Ма. : г < n } С Л.

ГЛАВА 1

В этой главе мы рассматриваем конструкцию пространства ВАТ и некоторые его свойства, строится новая база этого пространства, показывается существование в ВМ сходящихся последовательностей и копий [Зш. Также доказывается ряд утверждений, необходимых в дальнейшем.

В первом параграфе излагается конструкция расширения, а также свойства пространства, полученные М.Беллом (теорема 1.2 [7]) и А.Грызловым (теорема 1.3 [4]). Конструкция булевой алгебры, а соответственно и базы, предложенная Беллом является сложной и трудоёмкой в работе. Требовалось построить новую, более простую базу пространства. Построенная база (теорема 1.1) легла в основу большинства результатов работы, а одним из первых результатов использования этой базы является теорема 1.4, объединяющая свойства, полученные М. Беллом и А. Грызловым.

Во втором параграфе мы рассматриваем замыкания различных подмножеств N. Основными результатами является теорема 1.5 о существовании в ВЫ копии [Зи и теорема 1.7 о существовании в В N сходящейся последовательности. Результаты двух первых параграфов опубликованы в [23].

И, наконец, в третьем параграфе мы рассматриваем свойства центрированных систем в пространстве Белла, необходимые для дальнейших исследований. Материалы этого параграфа опубликованы в [25].

1.1 Конструкция, свойства и базы расширения Белла

Рассмотрим построение расширения Белла [7]. Определим множество функций

Р={/€ f(n) < п + 1 для всех п Ecu}.

В качестве счётного дискретного пространства N возьмём множество всех сужений функций множества Р:

N={f\n:fsP,nCuj}.

Определим множество

Т = { тг G N" : с1от7г(п) = п + 1 для всех п е со}.

Для каждой точки s € iV пу