Применение инвариантных средних при исследовании свойств Стоун-Чеховских компактификаций топологических полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОЙ ¡КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

на правах рукописи УДК 517.986.6

ХЛЫНОВА ТАТЬЯНА ВЯЧЕСЛАВОВНА

ПРИМЕНЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ СРЕДНИХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СВОЙСТВ СТОУН-ЧЕХОВСКИХ КОМПАКТШШЩ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП.

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученей степени

кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1995

Рабств выполнена на кафедре математического анализа механике математическвгв факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук*

Ведущая организация - Московский институт радиотехники,

электроники и автоматики (ТУ).

в 16 час. 05 мин на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.ВЛомоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

наук, доцент А.И.Штерн.

профессор Р.С.Исмагилов. кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Фомин.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теми. Конструкция компактного расширения Стоуна- Чеха является одной из классических в общей топологии; описание её построения приведено, например, в С 13 §2. Особое месте в этой теории занимает пространства ~ стоун-чеховс—

кая компактификация натурального ряда . Б последнее время

в ряде работ изучались свейства компактификаций Стоуна-Чеха локально компактных дискретных полугрупп (в частности, свойства

в топологических терминах. Получено много интересных результатов, которые уепезио примените;: 5 анализе на группах и в задачах топологической динамики. Хорошо известно [2"} , что

является правей топологическвй полугруппой с центром Д/" . Если (у - локально компактная хаусдорфош группа, те для таге, чтвбы £ была правей твпэлогической полугруппой необходимо, чтобы группа (р удовлетворяла некоторым условиям непрерывности операции. Изучением отих вопросов занимались, в частности:

Вакг УЖ, ИиЫлг К. 7. [ зЛ, уал Оои^ел Е.

г.Сот^оЛ VI/. И/, апс! /[[¿огеро^1$ 5. Жл Жсо^У

о\ Врг-ьЛгг-, Вг^иъ, 131?.

г. Вт^ипс! ЯР., Н-О., НИш Р Со^расЬ

ИсаИ 7оьо£оаиа1 Зт.1^сар 0лс1 Сш^а&шйопб ъуаЬгои Р&ЫксЬ/// А/оШ иь Ма(£., езз.

з. Шлг У. Ш, Сто! ПиЫгг Я.5Г Ж Ши- &<£

Ргос. СсипР, РШ. Зое., уо£,

В статьях СНОП С. ГУ, Г 6.3 рассматривалась классификация точек в топологических терминах. Подобными исследованиями занимались Яискк И^ С73 , в. также М. ,

£. . Н^пс^тоа № , Кум £. , ЦситС Я.Л.,

, О• • Были изучены некоторые топологичес-

кие свойства точек в зависимости от принадлежности их то-

му или иному классу вышеуказанной классификации.

В настоящей работе проводится изучение структуры стеун-чеховских компактификаций аменабельных локально компактных полугрупп с помощью методов, основанных на свойствах семейства инвариантных средних на этих полугруппах. Каждой точке ¿С£¿¡/А? ставится в соответствие некоторое выпуклое слабо* компактное подмножество Кх, семейства инвариантных средних /С на причём Кус ^ К. • Кроме того, различным точкам соответст-, вуют различные подмножества с точностью до совпадения замыканий орбит этих- течек под действием полугруппы /М на левыми

ц. 1/ал Оошмек £. Сес1^{от сотрасЩссо&оп. а- ¿истей ^гоароСс/ // ТороНо^у 59^

1934, р, №-60.

5. СЬа С. Нишпа1 ало! етШСс нч&ите /от

женой З-Нмх., уосп^^рлк-т.

6. ОЬа С. Машпа1 ми, тесит^еп{ роСлЬ ало/ ¿истек Отки и №// ТЩпШ 7 НаИ., 1342, гг, м4, р.

7. Янскп И/, НопюделеШ ргоМапь иг Мг Имту о/ СгЖ сытФсиЩШахь // ОаЬ НаИ. 57, мизз, ■1966, лг23, р. Ш'^/20.

сдвигами. В книге И/, Г Г] введены различные типы частичных лерядкав в • С помощью вышеуказанной конструкции можно ввести частичный порядок на п§ следующему правилу \ Х. У/Х.о___если и только если Кх. ~ Кос0 • Метод инвариантных средних оказывается плодотворным, посквльку топологические свойства и свойства множества инвариантных средних /С тесно взаимосвязаны. В дальнейшем, результаты обобщаются на случай стоун-чеховской кемпактификации £ (г некоторых амена-бельных хаусдврфовых локально компактных групп (г с раздельно ненрерЫЕким умножением.

Поскольку является'максимальной из гэмпакхайикаци!»

группы 0- , то можно оквдать, что £ (г включает в себя всю основную информацию о группе (г и связанных с ней пространств функций (например )• Это подтверждается рассматривае-

мой в диссертации задачей об инвариантном интегрировании по Ри-ману на стоун-чеховской компактификации натурального ряда. Поэтому, изучение методов исследования стоун-чеховских компактифи-каций, дополняющих известные топологические методы, является актуальным.

Цель работы - построение новых методов анализа структуры стоун-чеховских компактификации аменабельных локально компактных полугрупп, основанных не на топологической точке зрения, а на свойствах множества инвариантных средних на этих полугруппах, а также применение этих методов к изучению некоторых классов точек рассматриваемых кокпактификаций и к некоторым другим задачам анализа.

Методы исследования. В работе используются методы, основанные на свойствах множества инвариантных средних на полугруппах и на топологических свойствах стоун-чеховских компактификации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построен новый объект, связанный с точками стоун-чехев-ских кемпактификаций аменабельных полугрупп, сопоставляющий каждой точке компактификации некоторое подмножество семейства инвариантных средних на полугруппе.

2. Доказана продуктивность введённых понятий с помощью построения классификации точек стоун-чеховской компактификации методом инвариантных средних и её сравнения с топологической классификацией.

3. Указана связь рассматриваемых задач с задачами классического анализа, а именно, получен критерий интегрируемости для инвариантного интеграла Римана на стоун-чеховской компактификации натурального ряда.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в задачах анализа на алгебраических структурах и гармонического анализа на полугруппах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. КЬЛопоъъ, Ту. ТплгоЯапб Ясетап/г ий^кьйоа оп

Шл- ЬЬот - Сгс£ со^асЩсЫмп о/ плЬин! питки//

Ишисиь ЪигпаЛ о£ М&ШтссЬссЛ Р£пзСсд 1 (±933\ /ю. р. 524-¿гъ2.

2. Хлынова Т.В. Инвариантные средние в изучении стоун-чеховских компактификации аменабельных локально компактных групп. Рук. деп. в ВИНИТИ Сб.Об.94 г. за Н408-В-94.

3. Хлынова Т.В. Применение инвариантных средних к классификации течек стоун-чеховской компактификации// УМН, 1994, Вып.5,

С.175-176.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-ались автором на семинарах но анализу на группах и алгебрам 1ераторов на мех-мате МГУ (руководитель - Штерн А.И.).

~ Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из вве-гния и трёх глав, разбитых на параграфы Г Общий-объём ашинописных страниц. Список литературы содержит сГО наиме-вваний.

СОДЕРШШЕ РАБОТУ

Вз введении приведен ооавр работ, с?«данных с темой иссертации, даны основные определения и сформулированы езультати диссертации.

В первой главе "Инвариантные средние в изучении стоун-еховской компактификации натурального ряда" проводится иссле-ование структуры Jllhf с помощью методе», основанных на свсй-твах выпуклого слабо* компактного множества /С инвариантных редних на пространстве /77 ограниченных последовательностей а /№ с вещественными значениями и равномерной нормой. В §1 одержатся необходимые вспомогательные сведения. Полугруппа/^!/" ействует на JlN* левыми сдвигами. Обозначим через "Jf опе-атвр левого сдвига на Jt>№ • Напомним, что орбитой точки ОС pil\f называется множество: £х., rte/АГ)

следующем параграфе 2 приведена классификация точек нароста в топологических терминах согласно . Точка эС£ называется дискретнзй, если 0(рс) - дискретное

ространство (Х.&û ); X. £ /Af* называется строго Т^-Диск-«тной (X. 6 SP Т ) , если существует такая открыто-замкнутая крестность 2i(pC.) точки X. в /Ai , чт»

Т ÏL П Ц*

ля любой пары различных П. , tri 6 А^ ; Х& /Af*~ называется

р -точкой с хеР ), если для любой последовательнее™ окрестностей [ ?Сс (Х)}/ £ лг точки X в /М следует, что О КЦрС) - также окрестность X в /М ; Хв,/М называется почти периодической ( ДС € А ), если для любой окрестности множестве £/г € /МI Т^б относитель-не плотно; называется рекуррентной (ЭСбп ), если для любой окрестности Ц(рс) множество (/1б//У1 Т^Х'е "¿¿3 бесконечно. Обозначим через 0(Х) замыкание предложение I из §3 даёт описание всех возможных соотношений для пар точек * терминах замыканий орбит этих точек. Оказывается, что для , €возможны лишь следующие ситуации: I) Х± € 0(Х2) I 2)Хг вО(Х4) ; 3) Ъ(Х^/)Ъ(хг)=^ • Введём некоторые определения и обозначения. Пусть , ^¡€.//11 • Обозначим через последовательность следующего вида: ^ . ( ^ (х), ¡¿(Т*), ) • .

■/у - (единственное) непрерывное продолжение ^ на •

Отображение ^ —> линейно, мультипликативно и перестано-

вочно с левыми сдвигами (предл. 2). Рассмотрим линейный оператор уГэс ', !ГП~* . полагая "ЦТ* (р) - , где для

' п*сть ' Кх. (/и •

Согласно предложениям 3-6 множество с^. /С выпукло и

компактно в слабей* топологии, причём отображение слабо*

непрерывно. В §4 изучена связь между полугрупповой структурой

и свойствами множеств Кх, , Доказано

Предложение У. Пусть Х± , Хо £. Следующие условия эквивалентны: I) Х± + Хо = ОС

а О

Из него, в частности, следует, что для X^ , Хо € ^№ » если ЗС1 + Хо^л: , ТО (¡Сх^осо = Кх ' если Х±£о(Хо) . ТО

Кх± с/Схо; а услевия о(?а)по(хо)=0 и Kxi()Kxo=0

эквивалентны (предл. 9, 10). §5 посвящён сравнению классификации точек /№* метадем инвариантных средних и их топологической классификации. Оказывается Спрвдл. 12), что для того, чтобы течка X. была дискретной необходимо и достаточно,_чтобы для любой существовала такая у £//77 , что = у .

Кроме тоге, в этом случае отображение является гомео-

морфизмом К на Кос ' Получены возможные соотношения для пар точек /V* в зависимости от твпелогических свойств рассматриваема тгчек, Ват некоторые из них: Предложение 15. Пусть X. ^ ,ХО"7* • Тогда:

1) Кх± - КэСг. 0(рс /1

2) Кх^ Сф Кхг XI € о(<Хг) \ 0(Хг).

3) Кх± П Кэсг=$ П .

Предложение 16. Пусть х^ » ОСг.£.Р . Тогда: !) Кх± ~Кхг.<~> 0(Х$(\о(Хг)£]6. 2> Kxi.OKxLi.-ft <~> 0(Х4) Л О(*г)=0. Предложение 17. Пусть Хо £ Р . Х£/М*\Р • Тогда:

1) Кх С.ф/Сх0 Х.£0(Хо),

2). Кх Г\Кхо=0 * = > К^оОСо)'

Предложение 20. Пусть X± , Хг. € А Т. Т®гда:

1) Кх1 = АГхг с~> =: '¿(Хг.) .

2) Кх± п К*Гг=/<=> 0(Х±) ¿ОС* г). Предложение 25. Пусть *Хх , хг £ /?ЛТ' Тогда:

1) Кх± - Кхг <-> о(хд .

2) С^ /С* г. > 0(*г).

3) 0(*4) ПО(Хг)=0.

Таким образом, топологическая классификация оказывается связанной с классификацией методом инвариантных средних.

Для любого /С пусть р (единственная) мера из соответствующая р в смысл * $

В §6 дане описание множества Кх » терминах замыкания ООО ;

Теорема!. Кх = {(Ч в КI ¿Ирр (Ч С о(х) 3.

Из теоремы I, в частности, следует, что 0(Х.) С. ^/АГ для любой Х€/ЛГ*. Заметим, что включение Кх ¿[(Че/СЬсеррр^дСХ)} был» неявно получено в ГвЗ при доказательстве леммы 3. Свойства множества ¡(\ ЛСрр (Ч £ 0С*)3 изучали САои С. , ЯЛЯо1т1 ЛЛ.Раи-сШ. Теорема I позволяет подойти к исследованию этого множества с иной точки зрения, а именно, рассматривать множество Кх . Например, с её помощью можно ответить на вопрос СА.Ои С. • числе экстремальных точек множества (ре/с1 Зирр(Ч С. о(х)} я случае, если ОС дискретна. Тогда ¡Сх. • а значит и {(Ч 6 К / $ирр (Ч £ С(х)} содержит 2. экстремальных точек.

Глава 2, "Инвариантное интегрирование по Риману на стоун-чеховской компактификации натурального ряда", состоит из трёх параграфов. В первом даётся определение -интегрируемой по Риману (^ £ ) для различных (Ч £ /( . интегрируемой по Риману ( ££ А^) ) функции на £ № » а также приведены

некоторые простейшие свойства этих функций. Дан пример функции,

<—>

интегрируемой относительно одной из мер ^^ , но не интегрируемой относительно другой меры ( ^ )• В то же время,

8. САои С. О/г 1к о{ {Аг £>/ Щ4. шлюнал! те<ш оп. а- запЦгоир //РЬос. ¿Ьп&г, Май.. 23(1363) , р. 199-205'.

согласно лемме I, если функция является ^»/-интегрируемой относительно каждого ¡<£ в отдельности, те она будет тогда и интегрируемой по Риману. Пусть 5

Л¡С- 5 где точные грани берутся г.в всем возможным

У € ил для_кото рых ^у < ^ < на . Пусть ___

Ср^ . уГ , у/ - продолжения ограничений § }///

//Л/ ' I/М На ^^ П° непРеРывности* Согласно лемме 2: у/(ОС) ;£ у(эс)< (/>^(.->с)< уг(эС) < -уГ(х) на ¿¡/М . Пусть /Л/ 2 Л^ Ъ ... 2 Л^ 2? , .. , и для :.

{¿.¿ели гтегл/^

[о ,если. хфСАЛл ^

Предложение I. %0 £ если и только если существует

такое £ № , что = Л^лг^ Для любого лг? Ко • Предложение 2. Х0 € Я^/М')

если и только если для лкз бого £ ? О существует такое € Д^ , что плотнвсть мно-

жества №к.(£) \ Ж? не превосхвдит £

Предложение 3. Существуют интегрируемые по Риману на уЗ , но не непрерывные на ^ /№ функции (пример 2). Замечание. Интеграл Римана полностью определяется значениями интегрируемой функции на всюду плотном подмножестве её области определения. /Д/ всюду ллотно в , поэтому на имеет

смысл рассматривать функции интегрируемые по Риману, а не по Лебегу . Если Ц 6 /М) , то: ] (Ч (сЬс) ^ (Ч ¡/у) .

г» -А

Следующая теорема из §2 аналогична критерию Дюбуа- Реймона: Теорема!. ^ е тогда и только тогда, когда для

любого £>о существуют такие ^ , что -^у --[у

и для любого О О выполнено неравенство:

Д. С сз)< £/с.

на

В §3 указаны условия независимости от К интеграла Римана для функций ^ £ М) * терминах почти сходящихся последовательностей. Следующая лемма, используемая при доказательстве теоремы 2, показывает насколько достаточно изменить последовательность по норме, чтобы она стала почти сходящейся. Л е м м а 3. Пусть у £//77 такова, что У'яЪО Для всех/г^Д^ и, кроме того О ^ ) £ для каждого ^Г • Тогда для любого <¿>0 существует такая , что ^(у^го

для любого (Ч € К И //у у>а <: £ у- ^ . Тео рема 2. Следующие условия эквивалентны:

1) и интеграл не зависит от (Ч&К

2) для любого £ > 0 существуют такие у / , у £ /т , что £ у £ д £ на ^/М ; , (Ч (у) не зависят от £1/6 и (Ч(д-У)<£ •

В третьей главе "Инвариантные средние в изучении свойств стеун-чеховских компактификаций аменабельных локально компактных групп" проводится обобщение результатов первой главы на случай стоун-чеховских компактификаций £ (г. некоторых аменабельных локально компактных групп с раздельно непрерывным умножением. §1 содержит вспомогательные сведения. Группа (? действует на & левыми сдвигами. Пусть ? ^ 6 О-Ь - орбита

точки РС в уз (г . Мы рассматриваем лишь те группы, для которых отображение ^ —^ ^ ^ непрерывно при каждом фиксированном X £ уз (г • В этом случае ^ (р является правой топологической полугруппой. В §2 каждой точке ¿С 6^5 (г ставится в соответствие некоторое подмножестве ¡^¡х. семейства инвариантных средних N на СЛ(С^) . Пусть/б С/3((?) , ¿се/С. Обозначим через ^^ функцию на (г следующего вида: /х Ш = £(-£-*-) , -I € (г / - продолжение ф

Ha J)> (г непрерывности). Согласно предложению I: для любой f £ С/ЬЮ : fx 6 С/5 (<Р) • Креме того (предл. 2), отображение ^ -~> линейно, мультипликативно и переста-

новочно с левыми сдвигами ^ ^ £ (гд

для ~b(zG- )• Рассмотрим'"линейный"оператор lfix.'Cft%(r)-i OS полагая 1fTx(F) = f д. .где Fx(f)= F(fx) . feC/S(C). Пусть <р?с = Ipx j fif • Mx. ~ Trn (fix • В силу предложений 3-5 множество //jc С Д/ выпукло и слабо* компактно, а отображение ~ непрерывно в слабойтопологии. В §3 изу-

чен* езязь между полугрупповой структурой Ji (г и свойствами множеств И Jс • ¿t £ JI (г •

Предложение б. Пусть Xj_ , Хо • Тогда следующие усло-

вия эквивалентны: I) Х± Хо — X

Z>(fxo)xi - для

Отсюда, в частнвсти, следует, что для ДГ4 , яГо в^ С- если Xi х0 = JC , то (Nx±)xo - 5 если 6 ,

то Hxi Q Hj>c0 а условия ~0(fCi)(\o(Xo)=$ и Nx±0 эквивалентны; кроме того , € (г • В прове-

дите* обобщение теоремы I главы I на рассматриваемый в главе 3 случай, а именно, следующая теорема даёт описание множества Мх. в терминах замыкания

о fx:) орбиты 0(х.) течки х. € / & . Теорема!. Н х. =[(Ч 6 У1/ I SUppfi £0(х.))>

3 пятом параграфе рассмотрен случай произвольной счётной дискретной аменабельной группы б* • Следующие два предложения дают описание всех возможных соотношений для пар точек J!>(r * терминах замыканий орбит этих точек.

Предложение 12. Пусть X. ± , ^Сг € (г . Тогда имеет место по крайней мере одна из следующих возможностей:

I) XI € <?(•*г) ; 2) € O&d) ; 3) 0(*1)лд.

Предложение 13. Пусть , ОС г £ Jí, G . Тогда: .

1) Mjci <pCi).

2) Нх^(\Мхт.~ф <-> 0(*¿)n d(Xz)=j¿. Указана связь топологической классификации (аналогичной классификации C&0U С. ) и классификации с помощью инвариантных средних точек . Оказывается (предл. И), что для того, чтобы X. 6 & была дискретной необходимо и достаточно, чтобы для любой Z <S С &CG-) существовала такая ^ £ Cfc((r) , что

■fx. ~ ^ • Более того, х этом случае отображение является гомеоморфизмом М Нх Предложение 17. Пусть X'¿ , х г. £ Р . Тогда:

1) Hx-i- NXí 0(Xi) =: 0(Хг).

2> Их±П Мхг.=$ < = > 0(Xi) £ О (Хг.). Предложение 18. Пусть Хо&Р . . Тогда:

D /¿С S Д/^ Х£0(Хо).

2) /Ч* Нхо-ф Xfto(Xo).

Предложение 19. Пусть Р0о £ £ & . \ S Р • Тогда:

1) Нх 9 Мх0<-> хеосхо).

2) Мх(\Мхо~<р х£~о(хо).

Предложение 20. Пусть Х± , X¿ £ А • Тогда:

1) Nxt = Hxz. <-> oC-^i)-о(Хг).

2) Mxi ñ o (X±) ф 0(Xz)> Предложение 21. Пусть X S А > ЛГоб * Л * ТвгДа:

1) Мх с Д/аСо * £ о (лго) .

2) Мхп Мхо^ <-> х.£о(*о).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - кандидату физико-математических наук, доценту Штерну Александру Исааковичу за постановки задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

. Kjll(jftOif& А V, 3~nii<znaK~t Ясгтапл- itctig^atcon.

On. Шл Ыопл-С&сЛ ccmpaetifCccdio/z of naïwat КШп-ёеУ! • // Ruilian. Jôurn.a£ cjMûXLtnxa tecaê Ptylicà T (199 3) г КО.1/ , р. S2 S32.

. Хлынова Т.В. Инвариантные средние в изучении стоун-чехов-ск;:х компактификаций вменабслышх локально компактных групп. Рук. деп. в ВИНИТИ 08.06.94 г. за И408-В-94.

. Хлынова Т.В. Применение инвариантных средних к классификации точек стоун-чеховской компактификации.// УМН, 1994, Вып.5, стр. 175-176.