Разработка численного метода конформного отображения и его применение в вычислительной гидродинамике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 .Историческая справка.

1.2 Метод П.Ф. Фильчакова— метод последовательных конформных отображений.

1.3 Вариационный метод М.А.Лаврентьева.

1.4 Метод П.П. Куфарева.

2. ЗАДАЧА ОБ ОБРАТНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ПОЛУПЛОСКОСТИ С РАЗРЕЗОМ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Геометрический способ.

2.3 Итерационный метод.

2.4 Применение аналитических методов.

2.5 Восстановление функции \¥(2) по ее скачку.

2.6 Обсуждение численных результатов.

3 ОПИСАНИЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТУРНЫХ РАЗРЕЗОВ.

3.1 Выбор базового алгоритма.

3.2 Технология преобразований.

3.3 Численные примеры и тестирование.

4 ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ БОЛЕЕ ОБШЕГО ВИДА.

4.1 Отображение внутренних и внешних областей.

4.2 Примеры расчета.

4.3 Отображения двусвязных областей.

4.4 Расчет течения в круговом кольце.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С ФИКСИРОВАННЫМИ

ГРАНИЦАМИ.

5.1. Емкость и проводимость.

5.2 Присоединенные массы.

5.3. Задача С.Венана - Жуковского.

6 ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИЕ ОБЛАСТИ.

6.1 Математическая модель.

6.2 Задача о нефтяной скважине.

6.3 Растекание тяжелой жидкости.

6.4 Всплывание газового пузыря.

6.5 каверна в скошенном потоке.

7 ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ.

7.1 .Задача о собственных колебаниях жидкости.

7.2.течение тяжелой жидкости над неровным дном.

7.2. / Математическая постановка.

7.2.2 Отображение полосы с выступами над ровным дном.

7.2.3 Решение задачи о течении над неровным дном.

7.2.4 Результаты расчетов.

В вычислительной практике после появления быстродействующих ЭВМ стали господствовать метод конечных разностей, конечных элементов и другие подобные им методы для решения краевых задач. Было бы хорошо, чтобы они дополнились также и методом численных конформных отображений, тем более, что на его разработку затрачено много усилий известными математиками.

Поэтому в настоящей диссертации сделана попытка создания некоторого варианта численного метода конформных отображений, который позволил бы сделать его достаточно стандартным и доступным для практического применения. Необходимость в нем давно уже назревала, а его реализация стала возможной благодаря доступности современной вычислительной техники. Об актуальности данной проблемы говорит ряд работ зарубежных и отечественных авторов [56-58,91,94,96].

Такой численный метод задуман как некоторый алгоритм для пересчета координат точек из одной области в другую и обратно. Для этого нужно разработать специальные вычислительные процессы, позволяющие производить отображение широкого класса областей, которые можно было бы задавать не только в аналитическом, но и в графическом виде.

Он может пригодиться и в традиционных конечно-разностных методах, например, при конструировании расчетных сеток, снимая при этом затруднения, связанные со сложностью геометрической формы области; причем такие сетки автоматически будут получаться ортогональными. Но, для многих задач он сразу же дает их решение, без применения каких-либо разностных схем, одним лишь конформным преобразованием. В других случаях, в задачах с неоднородными краевыми условиями, требуется дополнительно использовать ещё быстрое преобразование Фурье.

Долгое время считалось, что область применения теории аналитических функций и конформного отображения ограничивается только плоскими задачами теории потенциала. Действительно, в этом случае, после осуществления подходящего преобразования, автоматически решается и вся задача. Но если конформное отображение понимать в более узком смысле, просто как удобный способ перехода к новой системе координат, то круг его применения существенно расширяется и появляется возможность решать различные краевые задачи физики и техники с уравнениями более сложного вида, чем уравнение Лапласа. Главным при этом является то, что удается избежать всевозможных затруднений, связанных со сложностью геометрической формы.

Состояние методов конформного отображения до последнего времени было таково, что они представляют собой просто набор известных функций, хотя и достаточно широкий, но все же ограниченный. С их помощью было решено немало различных задач прикладного характера по расчету полей в гидродинамике, электростатике, теории упругости. Были развиты даже самостоятельные научные разделы, такие, как теория струй и теория фильтрации грунтовых вод, позволяющие не только рассчитывать поле, но и находить неизвестные свободные границы. Применение численных конформных отображений должно, очевидно, существенно расширить круг решаемых таким способом задач.

Основанием для применения конформных преобразований, как аналитических, так и численных, могут служить следующие общеизвестные соображения о сохранении наиболее существенных особенностей потенциального поля. Плоское поле, порождаемое аналитическими функциями, можно рассматривать как гидродинамическое, электростатическое, магнитное или тепловое и т.д., в соответствии со смыслом решаемой задачи. Энергия поля является, как и угол между двумя направлениями, инвариантом относительно конформного преобразования. Другое свойство инвариантности относится к величине заряда или интенсивности источника в точке. Двумерное уравнение Лапласа II хч + =0 также не меняет своего вида при конформном отображении.

Имеются некоторые простые области, стандартные, для которых можно легко указать, например, ход эквипотенциальных или силовых линий поля. В таком случае автоматически получается решение задачи для всех областей, допускающих конформное преобразование. В качестве стандартных областей чаще всего берутся верхняя полуплоскость, параллельная полоса, прямоугольник или круговое кольцо. В случае прямоугольника, например, если подходящее отображение действительно осуществлено, то одна пара противоположных сторон должна соответствовать эквипотенциальным поверхностям, а другая -силовым линиям.

Круговое кольцо представляет собой двусвязную область, и отображаемая область также должна быть двусвязной. Для нее также легко угадывается ход силовых и потенциальных линий.

Верхняя полуплоскость имеет большое значение по той причине, что имеется единственная наиболее общая формула (интеграл Шварца-Кристоффеля), которая отображает на нее произвольный многоугольник. Она имеет широкую область применения, так как любой плавный или с несколькими разрезами контур может быть для вычислительных целей аппроксимирован многоугольником при достаточно большом числе его сторон. Собственно, эта формула и послужила нам основой для разработки новой технологии численных конформных преобразований. Эта технология подробно описывается в разделах 2,3,4 и позволяет отображать, как односвязные, так и двухсвязные области.

После изложения технологии численного конформного отображения, начиная с раздела 5, приводятся примеры решения прикладных задач, решение которых без применения конформных отображений было бы очень затруднительным. Эти задачи подобраны, не столько исходя из их практической значимости, сколько для того, чтобы проиллюстрировать возможности нового подхода.

О предмете и содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи разделов, и списка литературы.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен новый оригинальный численный метод конформного отображения—метод динамических контурных разрезов. Данный метод не имеет сложных вычислительных операций, что делает его удобным для программирования.

2. На базе данного метода разработан и оттестирован алгоритм конформного отображения произвольных односвязных и двусвязных областей. Эта методика в отличие от известных позволяет автоматизировать отображение с помощью стандартных процедур.

3. С помощью метода динамических контурных разрезов решены некоторые задачи в областях с фиксированными границами. Это задача о нахождении емкости и проводимости проводника; задача о нахождении присоединенной массы и центра давления произвольного профиля, движущегося в бесконечной массе жидкости; задача о движении твердого тела, заключающего внутри себя жидкие массы, целиком заполняющие некоторые полости.

4. Решены нестационарные задачи с эволюционирующими областями, в которых неизвестная свободная граница подвижна. В данных задачах применялся подход отличный от подходов в цитируемых работах по данной тематике. Метод наклонных разрезов применяется здесь только один раз при отображении начальной формы контура. Фактически, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно некоторых параметров с соответствующими начальными условиями.

5. Предложен алгоритм решения двумерной задачи о собственных колебаниях жидкости в сосуде. Метод численного конформного отображения позволяет получить численное решение для произвольного контура.

6. С помощью метода численных конформных отображений найдено реше

142 ние задачи о влиянии рельефа дна на образование волн в потоке тяжелой жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. -М.: Наука, 1976-334с.

2. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. -M.,JI.: ОГИЗ Гостехиздат, 1943, -292с.

3. А.Ахо, Дж.Хопкрофт, Дж.Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. /Пер. с англ. А.О.Слисенко, /Под ред. Ю.В.Матиясевича. -M.: Мир, 1979, 536с.

4. Биркгоф Т., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны, //пер. с англ.

5. B.П.Вахомчика. -М.МИР, 1964, 467с.

6. Бисплингхофф Р. Аэроупругость. -М.: ИЛ. 1958, 799с.

7. Благовещенский Ю.В. О некоторых приближенных методах конформного преобразования. //Сб.трудов Института строит, механики АН УССР. Киев 1950, -С 145—152.

8. Богоряд И.Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом. ПММ, 1962, т. XXVI, вып. 6,1. C. 1122- 1127.

9. Буйвол В.Н. Тонкие каверны в течениях с возмущениями. // АНУССР, Институт гидромеханики, -Киев: Наукова думка, 1980, -287с.

10. Ю.Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей./ пер. с немецкого, /под.ред. М.С.Рабиновича. -М.: Изд-во иностранной литературы, 1961, 712с.11 .Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, //пер. с англ. В.П.Вахомчика. -М.: Мир, 1973, -758с.

11. Варченко А.Н., Этингоф П.й. Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса. -М.: Наука. 1995, -77с.

12. Вендик О.Г., Зубко С.П., Никольский М.А. Моделирование и расчет емкости планарного конденсатора, содержащего тонкий слой сегнетоэлек-трика. ЖТФ, 1999, -том 69, вын.4, -С 1-7

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Изд.-во физ.-мат. литературы, 1958. -543с.

14. Голубев В.В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке. -М.;Д.: Редакция технико-теоретической литературы, 1939. -260с.

15. Голубев В.В. Лекции по теории крыла. -М.;Л: Гостехиздат, 1949. -180с.

16. Голубев В.В. Труды по аэродинамике. -М.;Л: ГТТЛ, 1957, -620с.

17. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформных отображениях. // Мат.сб., 1946, 19(61), N2, С.203-236

18. Жуковский НЕ. Лекции по гидродинамике. -М.;Л: Собр. соч., т. 11,1948. -520с,

19. Жуковский Н Е., О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. -М.;Л: Гостехиздат, Собр. соч., т. II, 1948, -143с.

20. Иванилов К).П.,Моисеев Н.Н.Дер-Крикоров A.M. Об асимптотическом характере формул М.А. Лаврентьева. //ДАН СССР, 1958,123,N2, С.231-234

21. Канторович Л.В. О некоторых методах построения функции, совершающей конформное отображение. Изв. АН СССР, Сер.физ.-мат. 1933 -2. С.229-235

22. Канторович Л.В. О конформном отображении многосвязных областей. //ДАН СССР, 1934 -2,N8 С.441-444

23. Канторович Л.В. эффективные методы в теории конформного отображения. Изв. АН СССР Сер.мат. 1937 -1. С.79-90

24. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.-М.;Л: 1949, -695с.

25. Карафоли Е. Аэродинамика крыла самолета. М.: Изд.-во АН СССР, 1956. -480с.

26. Келдыш М.В. Конформное отображение многосвязных областей на канонические области. // Успехи мат. наук. -1939, №6, С.90-119

27. Келдыш М.В., Седов Л.И. Приложения теории функции комплексного переменного к гидродинамике и аэродинамике. -М.: Наука, 1964, -45с.

28. Коковин Е.Т., Либин Э.Е. Обтекание сферической линзы. -Киев, /УПрикл. механ., -1982, т. 18, N 9, С. 126-130.

29. Коковин Е.Т., Либин Э.Е. К исследованию циркуляционного обтекания тора. -Новосибирск, АН СССР, Сибирское отделение, //Численные методы механики сплошной среды, 1985, т. 16, N 4, С 31-45.

30. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей. / Еолу-зин Г.М., Канторович Л.В.,Крылов В.И. и др. //-М.;Л: Гостехиздат,1937 129с.

31. Конпенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. -М.:ИЛ,1963,-406с.

32. Кочин Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на поверхности раздела двух жидкостей различной плотности. Собрание сочинений, т.1; -М.;Л: Изд-во АН СССР, 1949г, -612с.

33. Куфарев П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Крисгоф(|)еля—Шварца.//ДА! I СССР 57(1947),С 751-754

34. Куфарев П.П. Решение задачи о контуре нефтеносности для круга // ДАН СССР. 1948, т.60, N 8, С.1333 -1334.

35. Лаврентьев М.А. Конформные отображения . -М;Л: Гостехиздат, 1946, -159с,

36. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1987, -688с.

37. В.И.Лаврик, В.П.Фильчакова, А.А.Яшин. Конформные отображения Физико-топологических моделей. -Киев, Наукова думка, 1990, -374с.

38. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. -Киев, Наукова думка, 1969, -208с.

39. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Гос. изд.-во технико-теоретической литературы, 1957, -784с.

40. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. -М.;Л: Гостехиздат, 1950, -703с.

41. Методы расчета электростатических полей. / Н.Н.Миролюбов, М.В.Костенко, М.Л.Левинштейн и др // -М.: Высшая школа, 1963, -415с

42. Миндлин. И,М. ИIп егродифференциальп ые уравнения в динамике тяжелой слоистой жидкости. -М.: Наука, Физматлит, 1996, -304с.

43. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями содержащими жидкость. -М.: Наука, Ф-М, 1965, -439с.

44. Нариманов Г.С. О колебаниях жидкости в подвижных полостях. -М.: Изв. АНССР, отн., N К). 1957.

45. Полна Г., Сеге Г. Изопериметричсскис неравенства в математической физике. -М.: Гос. изд-во ф.-м. литературы, 1962, -336с.

46. ЗЗ.Постон Тим, Иэн Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. // пер. с англ. А.В. Чернавского. -М., Мир, 1980, -607с.

47. Рабинович Б.И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. ПММ, 1956, т. XX, вып. 1.

48. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. -М., Машиностроение. 1983, -296с.

49. Г.А. Тюлина. -М„ Машиностроение, 1986. С 142-159.

50. Рабинович Б.И., Лебедев В.Г., Мытарев А.И. Вихревые процессы и динамика твердого тела. Задачи динамики космических аппаратов и систем на магнитной подвеске. -М., Наука, 1992, -296с.

51. Рабинович Б.И. Численный КТ- алгоритм конформного отображения в механике сплошных сред. //Космонавтика и ракетостроению 1997, №10 С52-61

52. Риман И.С., Крепе Р.Л. Присоединенные массы тел различной формы. //Труды ЦАГИ, N 635,1947, -27с.

53. Сеге Г. Ортогональные многочлены. ~М., Физматгиз, 1962, -500с.

54. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.,Л.: Гос-техиздат, 1950, ^444с.

55. Секерж -Зенькович ЯМ. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости. //ДАН СССР, т 58, вып. 4, 1947.

56. Сирык Г.В. О конформном отображении близких областей. //Успехи мат. наук., 1956, вып5(71), С.57-60

57. Смирнов В.И. О конформном преобразовании односвязных областей в себя. //Зап. маг. каб. Крымского Ун.-та, -Симферополь: Изд. Крым. Ун,-та.1921, 3. С. 145—152

58. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости, ОНТИ НКТП СССР, 1936г, -303с.

59. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкос ти. Главная редакция физико-математической литературы издательства -М.,Наука, 1977, -816 с.

60. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.Физматгиз, 1962,-512с.

61. Стокер Дж. Волны на воде. /пер. с англ. /под редакцией М.А.Лаврентьева и Н.1 (.Моисеева. -М., Изд.-во иностранной литературы, 1959, -617 стр.

62. Сычев К. А. Либин Э.Е. О численных методах конформных отображений. // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики.Вып.1. Сб. ст. /иод редакцией Богоряда И.Б. -Томск, Изд.-во ТГУ, 1997. С7—13

63. Сычев К. А., Либин Э.Е. Численный метод конформного отображения произвольной двусвязной области на круговое кольцо.// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики.Вып.4. Сб. ст. /под редакцией Богоряда И.Б. -Томск, Изд.-во ТГУ, 2000. С.23-24

64. Сычев К.А., Либин Э.Е. Метод численного конформного отображения. /7 V Всероссийская научно-техническая конференция молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы». Тезисы докладов .-ТомскИзд.-во ТГУ, 1998, С 14-15

65. Сычев К.А., Двумерные колебания жидкости в каналах произвольного сечения. // V Всероссийская научно-техническая конференция молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы». Тезисы докладов . -Томск, Изд.-во ТГУ, 1998, С.82-83

66. Течения со свободными поверхностями /Логвинович Г.В., Буйвол В.Н., Дудко А.С., и др.// -Киев, Наукова думка, 1985. -296 с.

67. Угодников А.Г. Построение конформно отображающих функций при помощи электромоделирования и интерполяционных полиномов Лагран-жа. -Киев: Наукова думка, 1966, 75с.

68. Фильчаков П.Ф. Численный метод конформного отображения односвяз-ных однолистных областей. //Укр. мат. журн. 1958, 10N4, С.434-449

69. Фильчаков П.Ф. Конформное отображение заданных областей при помощи метода тригонометрической интерполяции. //Укр. мат. журн. 1963, 15N2, С. 158-172

70. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. -Киев, Наукова думка, 1964, -530с.

71. Фильчаков П.Ф. Численный метод конформного отображения односвяз-ных и многосвязных областей, основанный на тригонометрической интерполяции. Концентрация напряжений. -Киев, Наукова думка, 1965,1. С.276-287

72. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. -Киев, Наукова думка, 1970, -796с.

73. Фын Я.Ц. Введение в теорию аэроуиругости. -М, Физматшз, 1959,~523с.

74. Чаплыгин С.А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло. -М.;Л, собр.соч., г.Ш, 1935.-420с.

75. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. IIММ, т. XXI, вып. 2, 1957.

76. Чугаев P.P. Гидравлика. -Л., Энергоиздат, 1982г. -672с.

77. Budiansky В. Колебания жидкости в круглых каналах и сферических баках. //JAS, 1960, III, vol. 27, N 3, Р. 161-173.

78. Fox D.W., Kuttler J.R. Sloshing frequencies. //Journal of Applied Mathematics and Phisics (ZAMP) Vol. 34. September 1983 P.668-696

79. Milnea. Thomson L.M. Theoretical Aerodynamics (Теоретическая аэродинамика). -London:MacMi 1 lan a.Co.ltd.,1948.

80. Hopkins T.R., Roberts D.E. Kufarev's Metod for Determining the SchwarzChristoffel Parameters. //Numer.Math. 33,1979,P. 353-365

81. Rabinovich В.1., Tyttrin Y.V. Numerical Con formal Mapping in Two Dimensional Hydrodynamics And Related Problems of Electrodynamics and Elasticity Theory. Moscow, Space Research institute Russian Academy of Science, 2000 229 p.

82. Richardson S. // J. of Fluid Mech. 1972,Vol. 56, P. 609- 618.

83. Stokes G., Matematical and Phisical Papers, vol. I, Cambridge, 1880.

84. Trefethen L.N. Numerical conformal mapping.// Journal of computational and applied mathematics., 1986, v. 14

85. Villat EL. "Le probleme de Dirichlet dans une aire annulaire", //Rendiconti Circolo math. Palermo, 33, 1912, P. 134-175

86. Volkov E.A. An approximate method of conformal mapping of multiply connected polygons onto canonical domains. // Proceedings of Steklov Institute of Mathematics 1987, 4, P. 5 7-69