Разработка численных методов решений некоторых многоэкстремальных оптимизационных задач на основе минимаксной концепции оптимальности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ



МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На права;-; рукописи

ПОДОБЕДОВ Виталий Евгеньевич

УДК 518.90

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ НН0Г03КСТРЕНАЛЬНЫХ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ МИНИМАКСНОЙ КОНЦЕПЦИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Специальность 01.01,09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре исследования операций Факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сухарев А.Г.

Официальные оппоненты: док-тор физико-математических наук,

профессор- Гребенников А.И. кандидат- Физико-математических наук Новикова Н.М.

Ведущая организация: Нижегородский государственный

университет- им. Н.И.Лобачевского

Защита состоится 13 марта 1992 г. в \\ часе на заседании специализированного совета Д.053.05.38 N 4 п математике Московского государственного университета п адресу: г. Москва, 119899, Ленинские горы, МГУ, факульте вычислительной математики и кибернетики, ауд. £!>&,.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан 13 февраля 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета профессор

Н.П.ТрИфОНОЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На современном уровне развития тенте и и технологии производства появляется множество задач, >и решении которых оказывается необходимым применение мате-атических методов численного анализа, в частности, методов химизации. Нахождение оптимальны;; решений возникающих та-1м образом проблем вносит существенный вклад в создание ■Фективных технических и технологических конфигураций. Тру->емкость -этого этапа решения исходной задачи, как правило, >лика, поэтому выбор способа проведения оптимизационных ^счетов является важным моментом разработки методики полу-■ния решения в приемлемое время и с приемлемым расходом ■сурсов.

В силу того, что практические целевые Функции часто Угадают большой вычислительной слояностьш, интерес пред-'авляет конструирование оптимальных в том или ином смысле (горитмав. Кроме того, целевые Функции в реальных задачах, •л; правило, вычисляются приближенно, с погрешностями, зави-ицими как от количества ресурсов, вложенным в вычисление, ¡к и от точки вычисления, В связи с этим, очевидна актуаль-сть задачи построения оптимальных алгоритмов оптимизации, ¡итывающих подобное представление информации.

Цель работы. Целью работы является разработка алгорит-в максимизации липшицевых Функций при различной информации целевой Функции.

Методика исследований. Диссертация основана на методо-гии исследования операций и основных концепциях теории р. В ней используются результаты теории Функций и необхо-мых условий экстремума, основные понятия теории оптималь-х алгоритмов, теории вероятностей и др.

Научная новизна. В ряде работ исследовались проблемы строения оптимальных алгоритмов решения задач численного ализа при произвольной линейной информации и при прибли-нной информации о значениях целевой Функции. Надо отметь , что в рассмотренных задачах приближенная информация исывалась довольно простыми моделями, а исследование зада-оптимизации с произвольной линейной информацией проводи-

лось только для одномерного случая. Б данной диссертац! получены оптимальные алгоритмы решения задач безусловной условной максимизации при произвольной линейной инФормаш для многомерного случая. Разработаны оптимальные алгорит: максимизации в условиях приближенных вычислений значений ц левой Функции; ошибка вычисления, во-первых, может б'ыть к неопределенной, таи: и стохастической, а во-вторых, предста ляется достаточно произвольной Функциональной зависимост как от количества вложенных в вычисление ресурсов, так и •т о чк и вычис л е ни я.

Практическая значимость. Разработанные в диссертац методы позволяют находить решение задачи максимизации липа цевых Функций при довольно общих предположениях относитель вида погрешности вычислений значений целевой Функции. Пре ложенные алгоритмы вместе с их модификациями пригодны д решения широкого спектра задач оптимизации. Результаты ди сертацни применялись для решения ряда прикладных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывали на VIII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической к бернетики" (Горький, 1988 г.), научно-практической школ семинаре "Программное обеспечение ЭВМ: Индустриальная техн логия, интеллектуализация разработки и применения" (Росте на-Дону, 1988), конференциях молодых ученых ВМиК МГУ (19£ 1988 гг.), научных семинарах Факультета ВМиК МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из ввез: ния, четырех глав, заключения и списка литературы из 51 н; ваний. Работа изложена на 197 страницах машинописного те ста, содержит 6 рисунков и 3 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий обзор литературы, кас; щийся изучаемых в диссертации вопросов, обосновывается ак*; альность темы и дается краткое изложение содержания дисс! тации по главам. Отмечается, что рассматриваемые в рабн Функции считаются удовлетворяющими условию Липшица на мно: стве К n-мерного пространства с метрикой р, именно I f (ii)-f (v) |^-cp(u,v), u , vfК.

В главе 1 диссертации рассматривается проблема построения оптимальных алгоритмов решения задам безусловной и условной многомерной максимизации при произвольной линейной •1нФормации.

В п.1 выводится нижняя оценка погрешности произвольного алгоритма восстановления значения произвольного оператора, заданного на классе отображений, представляемы:: вектор-функ-1иями, все компоненты которых липшицевы. Такой оператор южет, во-первых, быть оператором получения значения глоба-тьного максимума целевой функции, а во-вторых, оператором аппроксимации множества, заданного системой нелинейных неравенств. (Не исключаются и другие способы представления данного оператора.)

Первый случай - глобальная максимизация Функции - рассматривается в п.2. Там доказывается, что для задачи максимизации

1= (х) -> та::, х{К=СО,1]" , ттимальным среди всех алгоритмов, использующим произвольную шнейную информацию, является алгоритм полного перебора по равномерной кубической сетке с шагом 1/[Ы1-'г'], где N заданное количество вычислений целевой Функции f, С- це-тая часть числа При этом не определяется точка реализации >птимального значения

шах -р<Хл ) + с/4[Н1/'"3 ,

>акой точки может вообще не существовать). Алгоритм же, 'казывающии точку реализации наилучшего значения, имеет пог-■ешность, в два раза большую, чем оптимальная.

В п.З рассматриваются вопросы построения оптимальных 1лгоритмов для оператора аппроксимации множества, определяе-юго совокупностью нелинейных соотношений типа равенств или 1еравенств. Показывается, что алгоритм полного перебора по авномерной кубической сетке является в некотором смысле очти оптимальным и для поставленной задачи аппроксимации, ¡осле этого доказывается, что вместо задачи условной макси-

1ИЗЭЦИИ

Кх) -> так, х£К, д 1 <х>£"0, 1 = 1,...,т, де все Функции-ограничения липшицевы, можно рассматривать

эквивалентную ей задачу максимизации f на множестве, аппроксимирующем допустимое множество с некоторой точностью <3. Таким образом, для построения близких к оптимальным алгоритмов решения задач условной максимизации можно воспользоваться полученными в п.1 результатами для задачи аппроксимации множеств.

Затем в п.З рассматриваются вопросы аппроксимации грани цы множества, заданного системой нелинейных липшицевых неравенств. Такая проблема имеет значение и как самостоятельная задача, и как составная часть решения задачи условной максимизации дважды непрерывно дифференцируемых Функций. Рассмотрены два способа аппроксимации границы: в виде набора точек и в виде кусочно-линейной гиперповерхности. Приведен оптимальный алгоритм аппроксимации в виде набора точек. Для задача аппроксимации границы в виде кусочно-линейной гиперповерхности получены достаточные условия допустимости и близости * границе выпуклой оболочки произвольной совокупности граничных точек. Полученные результаты являются основой для дальнейшим исследований различных задач условной максимизации.

В главах 2, 3 исследуются задачи максимизации при наличии приближенной информации об N значениях целевой Функции, Такие задачи часто встречаются кап на практике, так и в теоретических разработках. Неточность информации заключается г том, что значения целевых функций определяются приближенно -либо вычисляются с неопределенной ошибкой, либо искажайте! некоторой случайной помехой с известными характеристикам! среднего значения и дисперсии. Естественное желание уменьшить погрешности вычисления значений Функции требует увеличения количества ресурсов, выделяемых для каждого вычисления. Допустимое суммарное количество ресурсов является, ка1 правило, ограниченной величиной. Отсюда возникает задач, построения оптимального алгоритма максимизации, включающее и оптимальное распределение имеющихся ресурсов.

Подобные задачи построения пассивных алгоритмов решени задач численного анализа при вычислениях с неопределенно ошибкой рассматривались и ранее. Задача максимизации липши цевых функций, однако, решалась только для случая, когда вс вычисления проводятся с одинаковыми ошибками. В данной ж

диссертации исследуется задача максимизации Функций, приближенные значения которых вычисляются с произвольными, возможна, различными, ошибками. Именно, в пп. 4,5 предполагается, что значение целевой Функции f в произвольной точке х допустимого множества К вычисляется с неопределенной ошибкой, •т.е. о значении f<>:) известно лишь только, что

f(x)Uy-,y"], 0N<-y--y-<w<r,x), где г - количество ресурса, вложенного в данное вычисление. Общее количество ресурсов предполагается ограниченным некоторой величиной R.

Поставленная в диссертации задача, в отличие от ранее рассматривавшихся проблем, характеризуется более общим представлением зависимости величины погрешности вычисления значения целевой Функции от количества затраченных на это вычисление ресурсов. Кроме того, учитывается ситуация, когда величина погрешности вычисления может зависеть не только от вложенного ресурса, но и от самой точки испытания Функции. В п.4 получено выражение для погрешности произвольного пассивного алгоритма,

E(ñ>= ¡na;-; min {w( гt ,х j )+cp (;•;, x j}} ;

>i«K J-l » . . . ,w

показано также, что для задачи с вычислениями с неопределенной ошибкой сохраняется известное свойство совпадения гарантированных погрешностей в классах пассивных и последовательных алгоритмов.

В п.5 рассматривается одномерная задача максимизации на множестве К=[а,Ь] для неопределенной ошибки, представимой Функцией вида

w(r,x)=Wi(r)w2(>0 .

Рассматриваются два случая представления ошибки вычислений. Сначала исследуется случай, когда величина этой ошибки зависит только от количества затрачиваемы;-; на вычисление Функции ресурсов, w<r,x)=wj(г). При этом на Функцию wx, выражающую зависимость получаемой погрешности от количества ресурсов, накладываются только некоторые довольно общие ограничения, именно, она предполагается дифференцируемой, неотрицательной, невозрастакщей и строго выпуклой для всех х, на которых не достигается ее нижняя грань. При -таком способе представ-

ления ошибки получен оптимальный алгоритм, предписывающий вычислять все значения максимизируемой Функции с одинаковыми гарантированными погрешностями; оптимальным набором точек вычисления целевой Функции служат точки равномерной кубической сетки,

Hi = а + <b-a)(2j-l)/2М, j=l,...,M. В отличие от случая вычислений без ошибок, количество узлон этой сетки, т.е. фактическое количество вычислений значений целевой Функции, зависит от величин, характеризующим погрешность вычислений. Именно, оптимальная сетка содержит

М = R/<dw а/dг)~1<-с < b-а)/2R) точек, здесь (dwi/dr)-* - это Функция, обратная к производной фуНКЦИИ Wi.

Во втором случае, когда величина погрешности вычислени? зависит не только от количества вложенных в вычисление ресурсов, но также и от точки испытания, предполагается, чт< погрешность представляется в виде

w(r, x)=r—fcw2(x> , t>0, w2(x}>0, ;; {К. В такой ситуации оптимальный алгоритм требует вычисления

М = (с(b-a)/ 2tWmi„) значений целевой Функции, где Wmlr, - это минимальное значение Функции на К. Точки, в которых должны быть проведены вычисления целевой Функции, определяйте я последовательн! решением М нелинейных уравнений. Каждое такое уравнение реш< ется с помощь» метода последовательных приближений, сходящ! гося при выделении достаточного количества ресурсов R.

Распределение ресурсов производится согласно Формуле

м

Г 4 = RWECX^^^-^'/ZI WaUi) , 0=1,...,М.

1-1

Далее, в п.6, проводится рассмотрение задачи максимиза ции в случае, когда ошибка представляется некоторой аддитив ной помехой qOO, т.е. при вычислении значения Функции f произвольной точке х становится известной величина

fo<x)=f<x)+q(x), где q(x) - случайная величина, E(q(x)}=0, D(q(x) )=r~'fcw<x), t>0, w(x)>0, >:{K, г - количество ресурса, вложенного в вы числение значения f<;•;).

В рамках развития минимаксного подхода к построению ¡тимальных алгоритмов за погрешность произвольного алгорит-i. в данном случае была принята не осредненная, а наихудшая ¡грешность, достигающаяся на множестве реализаций случайно-j вектора (q< хi),..,,q (xN)).

В отличие от задачи с неопределенной ошибкой, в задаче ) стохастической помехой речь идет только о пассивных алго-1тмах, Оптимальное количество вычислений М определяется как ;ализуищее наименьшее по m значение выражения

2<m/R)tl i„/a-<i-h>l""> +c(b-a)/2m, ie Wmlri - минимальное значение Функции w на К, 0<h<i. Для тучая, когда ошибка не зависит от точки вычисления значе-1я, строится оптимальный алгоритм, предписывающий вычислять начения целевой Функции на равномерной кубической сетке с зинак овыми ресурсами.

Для случая, когда ошибка зависит от точки вычисления, Н1Бодится описание е-оптимального алгоритма решения задачи, г-жи вычисления определяются последовательным решением М злинейных уравнений. Каждое уравнение решается с помощью гтода последовательных приближений, сходящегося при выделе-•1и достаточного количества ресурсов R.

Ресурсы в е-оптимальном алгоритме распределяются согла-чо Формуле

м

Г4 = RWaCx,)1'«3-"»/!! Waix*)1'«3-*», j = 1,...,М.

i-i

В главе 3 показывается возможность перенесения получении в п.5 результатов на многомерный случай на основе исполь-ования двух способов понижения размерности задачи. В п.8 ассмотрен первый способ - сведение n-мерной задачи к вло-енной последовательности из п одномерных задач, именно шах f ( а ) - m а х ... ma х f ,. . . , >;„ ),

х«К " «C« ,Ь Э м,«C«.3

П Л Г| 111

де

К = [ai,bi] х [а2!Ь2] х ... х [а„,Ьп]. олученные для одномерного случая результаты позволяют дать налитическое описание процедуры сведения к задаче меньшей

размерности. В этом параграфе рассматривается случай, к о г погрешности вычисления значений Функции f зависят -только количества вложенных ресурсов. Выводится, сколько значен каждого из промежуточных максимумов надо посчитать и какс погрешность вычисления каждого такого максимума.

Второй способ понижения размерности рассматривается п.9 - это сведение многомерной задачи к одномерной на осно использования отображения Пеано - специального непрерывно отображения отрезка на гиперкуб", здесь требуется проведен дополнительных исследований. Сначала доказывается теорема достаточных условиях липшицевости компонентов отображен Пеано. Затем показывается возможность сведения задачи макс мизации многомерной липшицевой Функции к задаче максимизаи одномерной Функции Ф, удовлетворяющей условию Липшица пор? ка, меньшего 1, т.е.

|Ф(и)-Ф(у) I^C! ü-v! k , u,vUa,b] , k=i/n. На основании полученного в п.4 выражения для погрешности п извольного пассивного алгоритма строятся оптимальные алг ритмы решения задачи максимизации. Для случая, когда оши£ не зависит от точки вычисления значения, строится оптима? ный алгоритм, требующий вычисления

И = R / (clw % 1 d г) ~1 (-С (b -а)k / 2R > значений целевой Функции, <dwa/dr)-1 - это Функция, обрати к производной Функции Wj. Ресурсы распределяются равномерн а точки вычисления определяются как

к3 = a+(b-a)<;2j-í>/(2H)1/'k, j=l,...,M. Для случая, когда ошибка зависит от -точки вычисления, указ вается способ построения е-оптимального алгоритма. Количес во вычислений целевой Функции Г1 определяется по Формуле

М = <C<b-a)k/2tU„.4Tl>í'<»-M!>R*'<1"M>>, где Wmtn - это минимальное значение функции w2 на [а,Ь]. Точки вычисления определяются последовательным решением f нелинейного уравнения. Ресурсы в e-оптимальном алгорит распределяются так же, как и в п.5.

В главе 4 диссертации представлены алгоритмы типа алг ритмов покрытий, основанные на переборе точек равномерн кубической сетки, выбираемой на основании известной оцен константы Липшица. Эта сетка такова, что, в случае знан

тинного значения константы, вычисление значений Функции во е>; ее узлам дает гарантии нахождения решения в пределах данной погрешности. Размер сетки может меняться в зависи-сти от наличия дополнительных предположений о целевой фун-ии. Так, при отсутствии какой-либо дополнительной информа-и наг сетки определяется формулой t=2e/c,

- оценка константы Липшица, е - заданная точность нахожде-я максимального значения. Если же целевая Функция f дважды прерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки ализации своего глобального максимума, то шаг сетки будет ределяться как

е с1 — оценка нормы матрицы вторых производных.

Вычисление значения целевой Функции f в каждой из точек тки проводится только после анализа значения мажорирующей Функции в зтой точке. Именно, если значение мажоранты в котором узле х не превышает текущего рекордного значения левой Функции, то значение f в точке х не вычисляется и чка х отбраковывается, т.е. выбрасывается из дальнейшего ¡ссмотрения. По окончании оценки значений Функции f на выб-¡нной сетке производится переход ко второму этапу - локаль-'й максимизации из нескольких наилучших по значениям целе-1Й Функции точек.

Представленные алгоритмы покрытий не всегда бывают зф~ (ктивными с практической точки зрения, поскольку ориентиру-*ся на точное знание константы Липшица и на Функцию <пило->разного вида), давшую наибольшую погрешность при примене-<и этих алгоритмов. Кроме того, наличие дополнительной формации о свойствах максимизируемой функции позволяет •■щественно сокращать количество вычислений целевой Функции. )этому алгоритмы покрытий требуют внесения изменений и до-¡лнений, соответствующих рассматриваемым целевым Функциям. )гда эти алгоритмы становятся более устойчивыми по отноше-1Ю как к погрешностям оценки константы Липшица, так и к ззможным вариациям класса допустимых целевых Функций, тособы повышения эффективности и устойчивости алгоритмов

покрытий рассматриваются в пп. 9,10. В п.9 отмечается, ч информация о дважды непрерывной дифференцируемости цеэтев Функции может использоваться для уменьшения размеров сет! перебора. В п.10 такая информация используется для включен! в структуру алгоритма покрытий промежуточных градиентных м тодов локальной максимизации. Показано, что такая модифик. ция исходного алгоритма позволяет добиваться сокращения В1 числения значений целевой Функции за счет увеличения колич^ ства отбраковываемых узлов сетки. Продемонстрирована' так: возможность модификации алгоритмов покрытий с целью максим! зации некоторых осциллирующих и разрывных Функций.

В задачах большой размерности целесообразность примен ния алгоритмов покрытий становится сомнительной, вследств! катастрофического роста количества вычислений, необходимо! для обеспечения заданной погрешности. Иногда, исходя I Физического смысла задачи, ее удается свести к совокупное задач меньшей размерности, для которых алгоритмы покрыт! показывают неплохие результаты. Пример реализации подобно: подхода описывается в п.11, где рассматривается одна зада-оптимального распределения ресурсов при взаимодействии дв' сложных технических систем. Данная задача характеризует! большим количеством переменных и наличием точек разрьп целевых Функций. Тем не менее, с помощью ряда эвристичесю соображений производится понижение размерности и устранен! разрывов; полученные в результате декомпозиции задачи реш< ются с помощью предложенных в п.9 алгоритмов.

В заключении представлены основные результаты, достш нутые в диссертации, и указаны дальнейшие возможные напра! ления развития предложенных подходов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены оптимальные алгоритмы решения задач безу< л'овной и условной максимизации при произвольной линейн< информации для многомерного случая.

2. Исследованы вопросы аппроксимации множеств, заданн! совокупностью нелинейных равенств или неравенств. Привед* почти оптимальный алгоритм аппроксимации с помощью набо) отдельных точек; получены достаточные условия аппроксимащ

•раницы подобного множества с помощью кусочно-линейной ги~ (брповерхностн.

3. Рассмотрена задача максимизации Функций одной пере-1енной в условия;:, когда значения целевой Функции вычисляют-:я приближенно. Ошибка вычисления может быть как неопреде-1енной, так и стохастической, может зависеть от количества »есурса, вложенного в вычисление, и от точки, в которой производится вычисление значения Функции. Для задачи с неопре-1еленной ошибкой показано совпадение гарантированны;-: погреш-10стей на класса;-: пассивны;: и последовательных алгоритмов, тостроены оптимальные алгоритмы. Для задачи со стохастической погрешностью построен оптимальный пассивный алгоритм для шибки, не зависящей от точки вычисления, и е-оптимальный "[ассивный алгоритм для ошибки, зависящей от точки вычисления.

4. Рассмотрены способы решения многомерных задач максимизации при вычислениях с неопределенной ошибкой, использующие сведение и;-; к совокупности одномерных задач. Для схемы юнижения размерности путем многократной одномерной максимизации построен оптимальный алгоритм; здесь считается, что зшибка вычисления значения целевой Функции не зависит от точки проведения вычисления. Рассмотрена также схема пониже--1ня размерности с помощью отображения Пеано: доказана т-еоре-ча о достаточных условиях липшицевости его компонентов, юстроен оптимальный алгоритм для случая ошибки, не завися-дей от точки вычисления, и е-оптимальный алгоритм для ошибки, зависящей от точки вычисления.

5. Исследованы программные реализации алгоритмов покрытий для решения задачи максимизации. Показана их эффективность на семействе тестовых Функций.

6. Описаны способы модификации алгоритмов покрытий с целью повышения их эффективности и робастности: уменьшение размеров сетки перебора, проведение промежуточных локальных подъемов, разные способы оценки константы Липшица.

7. Рассмотрена прикладная задача поэтапного распределения ресурсов при взаимодействии двух конкурирующих сложных технически;-: систем. Получено решение задачи путем ее декомпозиции и решения ряда возникающих задач меньшей размерности с помощью разработанных алгоритмов покрытий.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Подобедов В.Е. Оптимальный алгоритм поиска экстре мума липшицевын Функций при произвольной линейной информа цни ¡J Системное программирование и вопросы оптимизации. И.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - С. 180-187.

2. Подобедов В.Е., Сухарев А.Г. Оптимальные алгоритм восстановления Функционалов при неопределенных погрешности информации и заданным вычислительных ресурсах // Тез. докл на VIII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической ки бернетики", ч,2, Горький, 1988. - С. 79-80.

3. Подобедов В.Е. Применение алгоритмов поиска экстре мума в задачах проектирования // Тез. докл. на научно-прак тической школе-семинаре "Программное обеспечение ЭВМ: Инду стриальная технология, интеллектуализация разработки применения", ч.2, Ростов-на-Дону, 1988. - С. 36,

4. Подобедов В.Е, Сухарев А.Г. Алгоритм поиска гло бального максимума Функции нескольких переменных // Вычисли тельные комплексы и моделирование сложных систем. - М. Изд-во Моск. ун-та, 1989. - С. 124-134.

5. Подобедов В.Е. Нахождение максимума приближенно вы числяемых липшнцевых Функций при условии ограниченност! ресурсов // Программное обеспечение и модели системного ана лиза. - И.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.