Разработка эффективного численного метода моделирования волновых электромагнитных полей сложных радиоэлектронных устройств тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи.

Тихонов Роман Игоревич

РАЗРАБОТКА ЭФФЕКТИВНОГО ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ СЛОЖНЫХ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 ДЕН 2009

Санкт-Петербург 2009

003486057

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ им. В.И. Ульянова (Ленина)"

Научный руководитель:

д. т. н., проф. Андрей Дмитриевич Григорьев

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Андрей Борисович Козырев, Кандидат физико-математических наук, доцент Владимир Николаевич Титов

Ведущая организация: .

ФГУП "Научно-исследовательский институт, электрофизической аппаратуры им. Д. В. Ефремова"

Защита состоится 23 декабря 2009 г. в^^^Тна заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.238.08 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ им. В. И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

Автореферат разослан " f ¿^ноября 2009 ]

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций к. т. н., доцент

Е. А. Смирнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСИТКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

Стремительное развитие микроволновых телекоммуникационных систем, в том числе систем сотовой связи, сопровождается быстрым увеличением степени интеграции и расширением функциональности отдельных устройств. Так, по "сложности на кубический дюйм" мобильные телефоны превосходят почти все современные устройства. Одним их самых ответственных узлов телефона является его антенна, которая должна удовлетворять одновременно целому ряду взаимно противоречивых требований. Антенна должна быть малогабаритной, простой и дешевой в производстве, но в тоже время обеспечивать высокую эффективность приема и передачи. Она должна эффективно работать в нескольких диапазонах частот, соответствующих различным стандартам мобильной связи, а кроме этого, обеспечивать совместную работу с антеннами цифрового телевидения, BlueTooth, WiFi и т. п. На работу антенны не должны оказывать существенное влияние близко расположенные детали телефона, а также части тела пользователя.

Этот, далеко не полный перечень требований делает разработку антенны для современного сотового телефона одной из сложнейших проблем, которую приходится решать разработчикам. При этом проведение натурных экспериментов требует использования дорогого измерительного оборудования, отличается большой трудоемкостью и невысокой точностью получаемых результатов. Поэтому трудно переоценить роль математического моделирования в процессе проектирования не только сотовых телефонов, но и других сложных микроволновых устройств.

Появление первых численных методов и программ расчета волновых электромагнитных полей относится к середине 60-х годов прошлого века. С тех пор это направление быстро развивалось и к концу прошлого века превратилось в самостоятельную отрасль науки - вычислительную электродинамику. В настоящее время разработан и используется целый ряд коммерческих программ анализа и оптимизации микроволновых систем (Ansoft HFSS, CST Microwave Studio, SPEAG SEMCAD и др.) позволяющий рассчитывать электромагнитное поле и параметры сложных электродинамических систем.

К сожалению, применение этих программ для расчета высокочастотного тракта сотовых телефонов не всегда возможно ввиду наличия в конструкции телефона множества малоразмерных деталей сложной формы, выполненных из различных материалов, необходимости проведения расчетов в широкой полосе частот, необходимости расчета таких специфических параметров, как удельная поглощаемая мощность в теле пользователя. Немаловажную роль играет и высокая стоимость лицензии на использование программного средства, достигающая 100 ООО долларов в год. Поэтому разработка оригинальных программных средств, ориентированных на электродина-

мическое моделирование сложных микроволновых устройств является актуальной научной проблемой. Цель работы.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритма и программы электродинамического анализа и оптимизации сложных микроволновых устройств, которая может быть использована в процессе проектирования высокочастотных трактов современных сотовых телефонов и других систем.

Для достижения поставленной цели нужно решить следующие задачи:

• На основе анализа особенностей подлежащих расчету микроволновых устройств выбрать численный метод решения уравнений электродинамики с учетом свойств материалов и граничных условий,

• Разработать эффективный метод построения сетки, покрывающей расчетную область.

• Разработать алгоритм построения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и вычисления коэффициентов системы.

• Провести анализ обусловленности СЛАУ и выбрать электродинамическую формулировку, обеспечивающую наилучшую обусловленность и отсутствие ложных решений,

• Проанализировать известные методы решения СЛАУ и выбрать наиболее эффективный метод.

• Разработать программу расчета на языке высокого уровня С++.

• Провести верификацию программы, оценить погрешность расчета и требуемые вычислительные ресурсы.

• Провести расчеты волноводов, коаксиальных и микрополосковых линий передачи, объемных резонаторов, антенн, выполнить сравнение результатов расчета с данными эксперимента и результатами расчета по другим программам. Методы исследования.

В работе, в основном, используется теоретический метод исследования и метод вычислительного эксперимента. Для верификации алгоритмов и программ используются данные экспериментов, предоставленные другими исследователями, а также результаты аналитических расчетов и расчетов по другим программам.

На защиту выносятся следующие научные положения:

1. Выбранный метод векторных конечных элементов и алгоритм его реализации, основанные на использовании уравнения второго порядка относительно напряженности электрического поля, позволяют обеспечить наиболее точную аппроксимацию граничных условий математических моделей микроволновых устройств, быстрое вычисление матричных элементов и по-

более миллиона, имеющую приемлемую обусловленность глобальной матрицы.

2. Предложенный метод двухступенчатой генерации конечно-элементной сетки обеспечивает эффективное её построение для реальных моделей микроволновых устройств за приемлемое время даже при наличии ошибок в импортированной геометрической модели. При этом число конечных элементов сетки может превышать миллион.

3. Предложенная реализация многоуровневого решателя на основе метода Шварца и иерархических систем векторных базисных функций позволяет обеспечить практически постоянную скорость сходимости для задач различной размерности. При этом сокращается время анализа микроволновых устройств и уменьшается погрешность получаемых результатов.

4. Совокупность методических и алгоритмических решений, реализованная в разработанной программе, позволяет с высокой точностью рассчитывать электромагнитное поле, параметры рассеяния, диаграмму направленности и другие характеристики сложных микроволновых устройств.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Проведено сравнение алгоритмов решения краевых задач электродинамики методом векторных конечных элементов (МВКЭ), основанных на уравнениях для напряженности электрического поля и потенциалов, а также на методе графов. Показано, что хотя использование уравнений для потенциалов и метода графов обеспечивает более быструю сходимость итерационных методов решения матричных уравнений, при использовании прямых методов решения предпочтительнее использование уравнения относительно напряженности электрического поля.

Предложен и реализован метод двухступенчатой генерации конечно-элементной сетки, использующий на первом этапе разбиение на параллелепипеды, а на втором - на тетраэдры. Метод нечувствителен к ошибкам, геометрической модели, возникающим на стадии конструирования системы, и позволяет в несколько раз сократить время построения сетки.

Разработан алгоритм использования иерархической системы базисных функций и реализован многоуровневый решатель на основе метода Шварца.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что:

Разработанные методы и алгоритмы позволили создать программу расчета волнового электромагнитного поля в ближней и дальней зоне излучения, распределения поверхностных токов и удельной поглощаемой мощности, собственных частот и собственных видов колебаний (волн), а также параметров рассеяния микроволновых устройств.

Разработан алгоритм двухуровневого построения сетки, нечувствительный к ошибкам импортированной геометрической модели и значительно ускоряющий процесс генерации сетки.

Разработанная программа позволяет рассчитывать современные сложные микроволновые устройства без упрощения их геометрической модели. Реализация и внедрение результатов исследования:

1. На основе описанных принципов разработана программа моделирования электромагнитного поля и параметров сложных микроволновых устройств «Radio Frequency Simulator» (далее по тексту RPS), не уступающая по точности и скорости решения лучшим известным коммерческим программам.

2. Программа RFS используется в «LG Electronics Inc.» в процессе разработки новых моделей сотовых телефонов.

3. Учебный вариант программы используется в учебном процессе кафедр радиотехнической электроники и физической электроники и технологии СПбГЭТУ «ЛЭТИ» для подготовки магистров по инновационной магистерской образовательной программе «Микроволновая и телекоммуникационная электроника», а также в дисциплине "Численные методы прикладной электроники и электродинамики" для аспирантов специальностей 01.04.03 - Радиофизика, 05.27.01 -Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и нано-электроника на квантовых эффектах, 05.27.02 - Вакуумная и плазменная электроника, 05.27.06 - Технология и оборудование для производства полупроводников, материалов и приборов электронной техники, 05.09.10 - Электротехнология.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах:

1. Научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета (ЛЭТИ) (2003-2009),

2. East-West Workshop "Advanced Techniques in Electromagnetics", Warsaw, Poland (2004),

3. Международная научно-техническая конференция, посвященная 110-летию изобретения радио и 75-летию СГТУ. Саратов, Россия (2005),

4. 8-th international workshop on finite elements for microwave engineering. Stellenbosch, South Africa (2006),

5. 7-я международная научно-технической конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия (2006),

6. Научно-технический семинар "Современные проблемы техники и электроники СВЧ", Санкт-Петербург (2006),

7. 40-th annual international microwave power symposium IMPI, Boston, USA (2006),

8. 18-я международная конференция "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии", Севастополь, Украина (2008),

9. 9-th international workshop on finite elements for microwave engineering, Bonn, Germany (2008),

10.8-я международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия (2008), 11. Научно-технический семинар "Инновационные разработки в СВЧ технихе и электронике", Санкт-Петербург (2008).

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них: 2 публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК РФ, 11 докладов, получивших одобрение на международных, всероссийских и межвузовских научных конференциях, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Она изложена на 110 страницах машинописного текста, включает 47 рисунков, 12 таблиц и содержит список литературы из 98 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко обоснована актуальность проблемы, ее научная новизна, сформулированы цель и задачи работы, приведены основные результаты работы и научные положения, выносимые на защиту.

Первая глава содержит краткое описание конструкции высокочастотного тракта сотового телефона, характеристик и параметров различных типов антенн. Даны определения основных параметров и характеристик антенн, знание которых необходимо для оптимального проектирования телефона. Отмечены трудности, возникающие при разработке антенны, базирующейся на эксперименте и роль математического моделирования.

Рассмотрены основные уравнения и граничные условия, совокупность которых образует краевую или начально-краевую задачу электродинамики. Перечислены основные этапы численного решения этой задачи.

Кратко описаны наиболее распространенные численные методы расчета волновых электромагнитных полей - метод конечных разностей во временной области (КРВО), метод векторных конечных элементов (МВКЭ) и метод моментов (ММ). Приведены краткие характеристики наиболее эффективных коммерческих программ расчета волновых электромагнитных полей, проведен анализ их достоинств и недостатков. Показано, что для анализа устройств, содержащих большое число деталей, выполненных из различных материалов и имеющих сложную форму поверхности, наиболее эффективным является МВКЭ в частотной области.

Во второй главе описан алгоритм расчета электромагнитного поля методом векторных конечных элементов. В качестве основного выбрано уравнение второго порядка относительно комплексной амплитуды напряженности электрического поля Е

Ух(ц;'УхЕ)+¿оЧе^оМ* (1)

где к0=а>/с — волновое число в свободном пространстве, (О - круговая частота, с -скорость света, ег,ц, - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, 3 - комплексная амплитуда плотности стороннего электрического тока. Уравнение (1) необходимо решить в некоторой области V, ограниченной поверхностью 5. На поверхности должны быть заданы определенные граничные условия (ГУ).

В соответствии с методом, вся расчетная область делится на большое число подобластей (конечных элементов, КЭ), плотно заполняющих область. В каждом КЭ вводится система финитных векторных базисных функций {\У„}, отличных от нуля только внутри данного элемента, и неизвестное поле внутри КЭ аппроксимируется линейной комбинацией базисных функций:

(2)

Используя (2) и применив метод Бубнова-Галеркина, вместо дифференциального уравнения (1) получаем систему линейных алгебраических уравнений

дХ = (Б1 + Т + 8)Х = В, (3)

где II, и Т- квадратные матрицы размерности N, (АГ - общее число базисных функций), с элементами

(5)

Б - квадратная матрица порядка N, вид элементов которой определяется граничными условиями задачи, В - вектор-столбец возбуждения размерности N с элементами

^-¡Мо^-'МГ, (6)

где Т)0 = / е0 - характеристическое сопротивление свободного пространства, т,п - глобальные номера базисных функций. Индекс номера КЭ в формулах (4) - (6) опущен, а интегрирование ведется по объему конечного элемента, которому принадлежат базисные функции у/т и \ул .

В данной работе были выбраны конечные элементы в виде тетраэдров, так как такие элементы хорошо аппроксимируют криволинейные поверхности. В качестве базисных функций низшего порядка для этих элементов выбраны функции Уитни [1], ассоциированные с ребрами тетраэдра (А^ = 6). Эти функции имеют нулевую дивергенцию, что обеспечивает отсутствие ложных "градиентных" решений. В работе используются также базисные функции более высокого порядка (Л^ = 20), связанные с ребрами (по 2 функции на ребро) и гранями (по 2 функции на грань) тетраэдров. Совокупность этих функций образует иерархический базис, т. е. функции более высокого порядка включают как подмножество функции более низкого порядка. Такой вы-

бор базисных функций позволил построить многоуровневый решатель. В работе получены аналитические формулы, позволяющие вычислять матричные элементы (4) и (5) для тетраэдров произвольной формы и базисных функций разного порядка.

Большое значение для реализации метода имеет аппроксимация граничных условий, т. е. вычисление элементов матрицы Б. Для ГУ типа электрической стенки коэффициенты хк = 0 и соответствующие строки и столбцы глобальной матрицы вычеркиваются. Для магнитной стенки элементы •$„„ = 0. Для границы с поверхностным сопротивлением (импедансной) получена формула

(7)

где интегрирование ведется по грани тетраэдра, лежащей на импедансной поверхности, п - орт внешней нормали к ней. Получены также выражения для матричных элементов, соответствующих возбуждающей поверхности (задана касательная составляющая электрического поля), и поверхности с граничными условиями излучения первого и второго порядка (абсорбционными граничными условиями, АТУ). Эти выражения применяются при расчете поля излучения, так как расчетную область приходится искусственно ограничивать замкнутой поверхностью, сквозь которую электромагнитная волна должна проходить без отражений.

После того, как вычислены все матричные элементы данного тетраэдра, можно построить его локальную матрицу, содержащую 36 элементов для базисных функций низшего порядка и 400 элементов для базисных функций высокого порядка. Затем все локальные матрицы объединяются в глобальную матрицу, с учетом того, что одно ребро и (или) одна грань может принадлежать нескольким конечным элементам. Алгоритм объединения (ассемблирования) с учетом граничных условий достаточно сложен и от эффективности его реализации зависит время построения матрицы и правой части уравнения (3). Так как глобальная матрица имеет большую размерность и разрежена, она хранится в памяти компьютера в сжатом виде.

Полученная в результате ассемблирования система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) затем решается одним из численных методов, в результате чего получается вектор коэффициентов разложения поля X. По этому вектору с помощью (2) рассчитывается распределение напряженности электрического поля в любом тетраэдре. Напряженность магнитного поля определяется по электрическому полю с помощью дифференцирования: Н = -(5соц)-1 УхЕ. Поэтому поле Н определяется с меньшей точностью, чем поле Е. Так как обычно электрическое поле представляет больший интерес, это объясняет выбор уравнения (1) в качестве основного.

Электромагнитное поле в дальней зоне вычисляется с помощью метода вторичных источников излучения. По значениям Е и Н на поверхности с АГУ, ограничивающей расчетную область, определяются фиктивные плотности поверхностного

магнитного и электрического тока I™, I" и фиктивные плотности поверхностных зарядов р®, р™. Напряженности электрического и магнитного поля в данной точке вычисляются затем с помощью функций Грина С(г,г'):

Е(г) = -1 вц^ <5(г, г') ^ (г ' + £"' 4, у'<3(г, г (г '+ с}5[У' <3(г, г') (г ■)№'; (8) Н(г) = -1 юеС^ 0(г, г уз* (г '+ц"' V' г ")р" (г УК!'- С^ [V 'С(г, г') х^(г ОДО1 • (9)

Полученные данные позволяют рассчитать диаграмму направленности, сопротивление излучения и другие параметры излучателя.

Элементы матрицы сопротивлений многоплечего устройства рассчитываются по мощности Рр поступающей в у'-е плечо и заданному напряжению на г'-м плече. При этом мощность рассчитывается с помощью функционала, стационарного на решении задачи, что повышает точность результатов.

В третьей главе описываются алгоритмы построения конечно-элементной сетки. Сотовые телефоны состоят из множества диэлектрических и металлических деталей различной формы и размера, расположенных в непосредственной близости от антенны. Процесс их разработки состоит из нескольких этапов. На первом этапе средствами САПР создается геометрическая модель телефона. Эта модель неизбежно содержит ошибки в виде незначительных зазоров между объектами или их пересечений, вызванные как конечной точностью представления объектов в САПР, так и невнимательностью дизайнера. При импорте геометрической модели в программу электродинамического моделирования эти ошибки сохраняются. Отмеченные особенности предъявляют к генераторам сетки очень жесткие требования.

В работе был построен и реализован алгоритм двухуровневого построения сетки, малочувствительный к ошибкам геометрической модели. Он состоит из следующих этапов: 1. Каждому из исходных геометрических объектов назначаются материалы (металл, диэлектрик). Также помечаются электрически важные объекты (порт, печатная плата, подводящая линия, антенна). Дальше расчетный объем рассекается семействами перпендикулярных плоскостей. Положение плоскостей определяется исходя из предварительного установленного максимального шага и особенностей исходной геометрии, для корректного описания границ. Необходимо отметить, что данный процесс не чувствителен к ошибкам геометрии и иным встречающимся проблемам.

Построенные параллелепипеды проверяются на принадлежность соответствующим объектам. В результате исходные объекты заменяются параллелепипедным представлением. При этом неправильно построенные поверхности и ошибки аппроксимации поверхностей автоматически исправляются. При пересечения объектов приоритет отдается металлическому объекту, а в случае двух диэлектриков - объекту с большим е. По новому представлению объектов строятся поверхностные треугольные сетки. Для объектов, помеченных как электрически важные, строятся точные по-

верхноетныс треугольные сетки. Если для объекта невозможно построить поверхностную сетку - используется представление, полученное на предыдущем этапе.

Поверхностные треугольные сетки, полученные на предыдущих двух этапах, объединяются в единую сеть. В случае пересечения треугольников один из них выбрасывается. При этом используются те же приоритеты, что и на предыдущем этапе. Полученная объединенная сеть заполняется тетраэдрами. После построения конечно-элементной сетки тетраэдрам присваиваются предварительно заданные материалы.

Данный метод был проверен на наборе телефонов фирмы LG Electronics Inc., для которых было невозможно построить полностью автоматически конечно-элементные сетки с помощью известных коммерческих программ. Использовался персональный компьютер с процессором Core 2 Duo Е6600, 2.4 ГГц и объемом памяти 4 Гб.

Таблица 1. Конечно-Элементные сетки для сотовых телефонов

Модель телефона Кол-во деталей телефона Время построения сетки, минут Кол-во тетраэдров

RD3500 36 16 1,454,912

СТ810 51 18 1,313,106

CG180 52 26 1,400,650

L602i 129 27 1,469,041

KF240 157 54 1,700,219

Таким образом, разработанный алгоритм позволяет в автоматическом режиме построить сетку для реальных моделей телефонов за приемлемое время (менее 1 часа) без предварительного исправления ошибок модели. Отметим, что время построения сетки с ручным исправлением ошибок геометрической модели требует высокой квалификации инженера и занимает несколько дней.

В четвертой главе рассмотрены методы и алгоритмы решения СЛАУ (3) и методы улучшения сходимости. При выборе метода учитывались большая размерность матрицы (более 1 миллиона неизвестных) и ее сравнительно плохая обусловленность. Методы решения СЛАУ можно разбить на две основные группы - прямые и итерационные. Наиболее распространенный прямой метод основан на LUразложении. Обобщенный алгоритм выглядит следующим образом. 1 - Построение матрицы перестановок Р для минимизации численной ошибки и оптимизации размера LU матриц. 2 -построение LU матриц с учетом матрицы перестановок Р. 3 - последовательное решение систем Lf = f и UX = f. В рамках данной работы использовался пакет PARDI-SO входящий в состав библиотеки MKL фирмы Intel.

К итерационным относится часто применяемые методы, основанные на использовании процедур нелинейного программирования - нахождения минимума функций

многих переменных [2]. В качестве таких переменных используются неизвестные коэффициенты разложения, а в качестве функции - невязка решения. К таким методам относится метод сопряженных градиентов. Итерационные методы требуют меньше памяти, чем прямые и поэтому с их помощью можно решать задачи с большим числом неизвестных. Выбор между итерационными и прямыми методами решения необходимо делать, учитывая свойства получаемой в результате дискретизации матрицы.

Пусть Лг„ — количество узлов, Л'е — количество ребер конечно-элементной сетки. Тогда М„ собственных значений матрицы О — нулевые при к0 = 0. С увеличением волнового числа все они принимают отрицательные значения. Остальные собственных значений соответствуют резонансам рассматриваемой физической структуры и являются положительными. Таким образом, матрица 0 при к0> О становится знаконеопределенной и плохо обусловленной.

Для улучшения сходимости можно уравнение (1) переформулировать в терминах векторного потенциала А и скалярного потенциала <р

V х (/^Г'У х А) - ег(А + Уф) = Дискретизация этого уравнения с помощью МВКЭ приводит к матричному уравнению

"т МАР "х/ в/

мг Лср Л. А.

где

К1„=-*о

В отличие от матрицы <3, матрица этой системы не имеет отрицательных собственных значений, т. е. она положительно определена. Результаты расчета двумя методами приведены в таблице 2

Таблица 2. Сравнение двух формулировок

Число элементов Формулировка Число итераций Время решения, с

3622 Е 104 0.6

А-ф 37 0.3

19631 Е 222 6.9

А-ф 63 3.3

93805 Е 340 56

А-ф 99 28.3

Как видно, формулировка задачи в терминах потенциалов позволила уменьшить количество итераций, необходимых для решения задачи с заданной точностью на одинаковых сетках примерно в 3 раза. Однако время решения уменьшилось всего в 2

раза. Это объясняется тем, что к исходной системе добавляются узловые элементы. В результате размерность системы увеличивается на величину, равную числу узлов сетки, что увеличивает стоимость одной итерации.

Для улучшения обусловленности получающихся СЛАУ можно воспользоваться разделением базисных функций с помощью метода графов. Для этого по полученной конечно-элементной сетке строится покрывающее дерево. Ветви дерева лежат на ребрах КЭ сетки. Через каждое ребро сетки может проходить только одна ветка дерева. Ветви дерева не должны пересекаться. Все узлы КЭ сетки должны присутствовать в покрывающем дереве. Все реберные элементы, лежащие на ветвях дерева, можно заменить на градиентные функции, построенные на узлах этих ребер. Результирующая СЛАУ обладает теми же свойствами, что и для формулировки через векторный и скалярный потенциал. Разница заключается в прореживании блока, записываемого через реберные функции. В результате получившаяся СЛАУ имеет такую же размерность, как и исходная система уравнений. Численные эксперименты показали незначительное уменьшение времени решения по сравнению с методом потенциалов.

Наиболее эффективными с точки зрения скорости сходимости являются многосеточные методы. В основе этого метода лежат вычисления на последовательности вложенных сеток. Однако, можно построить многоуровневый метод и в терминах порядка базисных функций. Поскольку наши области не пересекаются - предобуслав-ливатель представляет собой дополнение Шура:

А =

п22.

А?, А<\

О

О

А22 ~ Ац Д1А

21 11 л12.

17 А\Аг

[о 1

1_л21л11

В таблице 3 приведены результаты расчета по 3 методам - итерационным, многоуровневым и прямым.

Как видно, многоуровневый решатель обеспечивает максимальную эффективность, по сравнению с другими методами, в терминах времени решения. Также его особенностью является практически постоянное количество итераций в зависимости от числа неизвестных. Тем не менее, для решения практических задач он требует высоко качества аппроксимации поля функциями низшего порядка для обеспечения сходимости, что делает его не применимым для моделирования сложных микроволновых устройств. Также видно, что прямой решатель обеспечивает приемлемое время решения задач достаточно большой размерности.

Таблица 3. Сравнение различных методов решения СЛАУ

Кол-во неизвестных Итерационный решатель Многоуровневый решатель РАЫИЗО

Итераций Время, сек. Итераций Время, сек. Время, сек.

94384 981 112 22 11,30 6,94

170644 1143 242 20 12,8 16,1

309969 1456 574 14 19,66 53

614748 2284 1870 8 37,8 -

Пятая глава посвящена описанию программы и результатов ее использования. Программа КГБ состоит из модуля графического пользовательского интерфейса, позволяющего создавать, импортировать и редактировать геометрические модели устройств. Модуль содержит геометрические примитивы (линии, поверхности и тела правильной формы), булевы операции над примитивами, операции перемещения, дубликации и отражения. Особенностью интерфейса является возможность легкого создания коаксиальных и полосковых линий передачи из полилиний.

Второй модуль содержит генераторы сетки, причем пользователь имеет возможность выбирать между различными генераторами.

Затем начинает работу модуль вычисления матричных элементов и формирования глобальной матрицы, после чего начинается наиболее затратный во времени процесс решения СЛАУ. При этом пользователь может выбирать место расположения процессора - локальное, т. е. на том же компьютере, на котором создавалась модель, или удаленное - на рабочей станции, к которой имеется доступ. Результаты решения СЛАУ передаются обратно в локальный компьютер. На заключительном этапе активируется графический пользовательский интерфейс, который позволяет вычислить необходимые характеристики и параметры устройства и представить их в виде таблиц, графиков и диаграмм.

Верификация программы проводилась путем сравнения результатов моделирования с результатами аналитических расчетов, данными, полученными с помощью других программ моделирования и с результатами экспериментов.

Таблица 4. Значения собственных частот цилиндрического резонатора'

Вид ко- Анал. значе- Число тетраэдров сетки

лебаний ние СЧ., ГГц 6768 15026 26580

СЧ, ГГц 8/, % СЧ, ГГц % СЧ, ГГц 5/%

Еою 11.474 11.502 0.235 11.4905 0.135 1.4848 0.085

Нш 13.302 13.317 0.11 13.3132 0.084 13.3104 0.063

13.302 0.135 13.3139 0.089 13.311 0.067

Еои 15.216 15.232 0.098 15.2287 0.0769 15.2241 -0.052

Н211 17.670 17.696 0.147 17.6853 0.086 17.6802 0.058

17.705 0.198 17.6877 0.102 17.6811 0.063

Епо 18.284 18.3246 0.222 18.3081 0.131 18.299 0.082

18.3287 0.244 18.3102 0.143 18.2913 0.083

В табл. 4 приведены значения собственных частот (СЧ) цилиндрического резонатора, вычисленные на нескольких сетках. Там же приводятся аналитические значения частот и относительная погрешность расчета. Цилиндрический резонатор был

1 Азимутально-неоднородные колебания (первый индекс отличен от нуля) вырождены. В таблице для этих видов приведены два расчетных значения, так как за счет погрешности вычислений вырождение снимается.

выбран в качестве тестовой модели, так как он имеет криволинейную боковую поверхность, и погрешность расчета может служить оценкой качества ее аппроксимации. Радиус резонатора а = 10 мм, длина 1-15 мм. Рассчитывалось 8 наименьших собственных частот на базисе высокого порядка. Как видно, погрешность расчета для всех видов колебаний уменьшается с ростом числа тетраэдров и на последней сетке не превышает 0.1 %.

о)

гагхЛГ

Р«1 (гпт) 1Ш1!>(тт|

а 30 9

Ь 20 е

с 30 6.5

а 29 в.5

в 28.8 в

?. к' / в

V (

\ !/

-

3 1 '

I — .НР55 —I —чте —

Рис. 1. Двухдиапазонная антенна (а) и результаты расчета коэффициента отражения от ее входа (б) На рис. 1 показана экспериментальная зависимость коэффициента отражения от входа (амплитудно-частотная характеристика, АЧХ) двухдиапазонной антенны [3] и результаты расчета по программе ЯРЭ, а также по коммерческим программам ЭЕМСАО и Ш^Б. Особенностью расчета является широкий диапазон частот, составляющий почти 2 октавы и наличие острых резонансов. Видно, что все расчетные данные хорошо согласуются с экспериментальными, причем резонансные частоты совпадают с погрешностью не более 1%. Эти и другие приведенные в диссертации результаты верификации позволяют утверждать, что точность расчетов по программе находится на уровне лучших мировых программ. В диссертации приведен целый ряд результатов расчета характеристик реальных микроволновых устройств - волноводных многополюсников, клистронных резонаторов, микрополосковых устройств, различных антенн, в том числе, антенн сотовых телефонов, нагревательных камер микроволновых печей. Рассчитаны диаграммы направленности антенн, их входное сопротивление, удельная мощность поглощения в голове пользователя телефоном.

На рис. 2 показан пример расчета коэффициента отражения от входа антенны телефона 3-го поколения С0180 с учетом всех основных деталей - аккумулятора, дисплея, печатной платы, камеры, клавиатуры и т. п. По резонансным частотам получено достаточно хорошее совпадение, однако на верхней резонансной частоте расчет

Частота. ГГц

Дйзяэми частот: 0.75 - 2.5 ГГц Шаг по частоте: 0.01 ffu Чисто »еграадга» сем: i 400650

аремя генерации ШТКЙ: 1Ь МЙИ вр)Чий решении- ¿9 мин

Рис. 2. Телефон CCG180 (а), конечно-элементная сетка (6) и АЧХ антенны (с)

дает худшее согласование по сравнению с экспериментом. Это может объясняться тем, что на высоких частотах затухание в материалах деталей телефона больше расчетного (при расчете тангенс угла диэлектрических потерь считался не зависящим от частоты). Общее время моделирования составило 75 мин., что почти в два раза меньше, чем время решения программы SEMCAD. В настоящее время разработанная программа используется при проектировании сотовых телефонов в компании LG Electronics Inc., а также в учебном процессе кафедры РТЭ СПбГЭТУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена актуальная научная задача - разработка эффективного алгоритма моделирования и вычислительной программы высокочастотных электромагнитных полей в сложных микроволновых устройствах. По точности и времени решения разработанная программа не уступает лучшим зарубежным коммерческим продуктам и превосходит их в возможности анализа реальных геометрических моделей устройств. В работе изложены научно обоснованные методические и алгоритмические решения, позволившие преодолеть присущие методу конечных элементов ограничения по сложности и качеству анализируемых моделей, по размерности и обусловленности глобальной матрицы.

Выбран векторный метод конечных элементов как наиболее гибкий и универсальный метод моделирования микроволновых устройств сложной формы и разработан алгоритм и программа реализации этого метода в вычислительной программе.

Проанализированы и протестированы различные методы улучшения обусловленности получаемой СЛАУ и показано, что для реальных задач они не дают существенного выигрыша по времени решения, будучи в то же время чувствительными к качеству исходной модели. Поэтому в программе был использован прямой метод решения, не требующий хорошо обусловленной матрицы.

Предложен и реализован двухуровневый метод построения конечно-элементной сетки, малочувствительный к ошибкам геометрической модели.

Разработана программа на языке С++, имеющая развитый пользовательский графический интерфейс, возможность решения СЛАУ на удаленной рабочей станции и удобную систему визуализации полученных результатов. Результаты верификации программы и опыт ее использования при проектировании сложных микроволновых устройств подтверждает ее высокую точность и эффективность.

Список литературы

1. Nedelec J. С. Mixed finite elements in R3. Numer. Math., Vol. 35, pp. 315-341,

1980.

2. Полак Э. Численные методы оптимизации /Пер. с англ. Под ред. И. А. Ватгеля. М.: Мир, 1975.

3. Ollikainen J., Kivekas О., Toropainen A., Vainikainen P. Internal Dual-Band Patch Antenna for Mobile Phones. Millenium Conference on Antennas & Propagation, Davos, April 2000, CD-ROM SP-444.

Публикации автора no теме диссертации

В изданиях, рекомендуемых ВАК РФ:

1. Grigoryev A. D., Salimov R. V., Tikhonov R. I. Multiple-cell lumped elements and port models for the vector finite element method. Electromagnetics (Многоячеистые модели сосредоточенных элементов и портов для векторного метода конечных элементов), 2008, V. 28, No. 1, р. 18-26.

2. Тихонов Р. И. Улучшение сходимости метода векторных конечных элементов для решения краевых задач электродинамики // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2, с. 30-33.

Другие публикации:

3. Grigoriev A. D., Kim Е. S., Tikhonov R. I. MOS - A Microwave Oven Simulation Toolkit (Пакет моделирования микроволновых печей) // Proceedings of the East-West Workshop "Advanced Techniques in Electromagnetics" . - Warsaw: Univ. Technology Press, 2004. p. 213-215.

4. Grigoriev A. D., Kim E. S., Tikhonov R. I. Numerical simulation of electromagnetic fields in microwave ovens (Численное моделирование электромагнитных полей в микроволновых печах)// Proc. Int. Symposium on heating by electromagnetic Sources. - Padua: Univ. of Padua, 2004. p. 225 - 228.

5. Григорьев А. Д., Салимов P. В., Тихонов P. И. Сравнительный анализ векторных конечных элементов типов CT/LN и LT/QN для решения краевых задач электро-

динамики// Радиотехника и связь: Материалы Международной научно-технической конференции, посвященной 110-летию изобретения радио и 75-летию СГТУ. Саратов. СГТУ. 18-20 мая 2005, с. 174-180.

6. Grigoriev A. D., Salimov R. V., Tikhonov R. I. Modern methods of enchanting efficiency of RF electromagnetic fields simulators in microwave structures (Современные методы улучшения эффективности радиочастотных электромагнитных полей в микроволновых струетурах) // Материалы научн.-техн семинара "Современные проблемы техники и электроники СВЧ". СПб: Изд-во СПбГЭТУ, 2006, с. 10.

7. Григорьев А. Д., Салимов Р. В., Тихонов Р. И. Метод конечных элементов в электродинамике. Проблемы и решения. // Материалы международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов: Изд-во СГТУ, 2006, с. 281-287.

8. Grigoriev A. D., Salimov R. V., Tikhonov R. I. Implementation of lumped elements and fast frequency sweep into the vector finite element code for RF electromagnrtic field simulation (Встраивание сосредоточенных элементов и быстрого частотного сканирования в программу моделирования радиочастотных электромагнитных полей методом векторных конечных элементов). Book of materials of the 8-th international Workshop on finite elements for microwave engineering. Stellenbosch, South Africa, 2006, p. 59-60.

9. Grigoriev A. D., Ilin V. P., Salimov R. V., Tikhonov R. I. An efficient vector finite element method for full-wave electromagnetic field simulation (Эффективный метод векторных конечных элементов для моделирования волновых электромагнитных полей). Proc. of 40-th annual int. microwave power symp. IMPI, 2006, p. 179-183.

10. Григорьев А. Д., Салимов P. В., Тихонов P. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенны сотового телефона различными программными средствами. // Труды конференции, посвященной Дню радио, Изд-во СПбГЭТУ, 2008, с. 28.

11. Григорьев А. Д., Салимов Р. В., Тихонов Р. И. Моделирование микроволновых телекоммуникационных устройств и антенн методом векторных конечных элементов. // Материалы 18-й международной конференции "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии", Севастополь: Вебер, 2008, т. 1, с. 433 - 435.

12. Григорьев А. Д., Салимов Р. В., Тихонов Р. И. Расчет поля и параметров антенн сотовых телефонов. // Материалы 8-й международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов: Изд-во СГТУ, 2008, с. 243 -249.

13. Григорьев А. Д., Салимов Р. В., Тихонов Р. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенн сотовых телефонов. Материалы научн.-техн. семинара "Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике". СПб.: Изд-во СПбГЭТУ, с. 16-17,2008.

Подписано в печать 18.11.2009. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/1118. П. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ПАРАМЕТРОВ МИКРОВОЛНОВЫХ УСТРОЙСТВ.

1.1 Электродинамические системы современных устройств.

1.2 Математическая формулировка краевой задачи электродинамики.

1.3 Основные численные методы расчета волновых электромагнитных полей.

1.3.1 Метод конечных разностей.

1.3.2 Метод конечных элементов.

1.3.3 Метод моментов (ММ).

1.4 Методы решения матричных уравнений.

1.4.1 Прямой метод.

1.4.2 Итерационные методы.

1.5 Обоснование выбора метода и основные задачи работы.

ГЛАВА 2.АЛГОРИТМ МЕТОДА ВЕКТОРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1 Разбиение расчетной области на конечные элементы. Векторные базисные функции конечного элемента.

2.2 Вычисление элементов локальных матриц.

2.3 Вычисление элементов вектора правой части.

2.4 Аппроксимация граничных условий.

2.4.1 Поверхность раздела двух диэлектриков.

2.4.2 Электрическая стенка.

2.4.3 Магнитная стенка.

2.4.4 Импедансная поверхность.

2.4.5 Порт (возбуждающая поверхность).

2.4.6 Абсорбционные граничные условия.

2.5 Построение глобальной матрицы.

2.6 Вычисление поля и параметров электродинамической системы.

2.6.1 Вычисление электромагнитного поля.

2.6.2 Вычисление энергии поля и поглощаемой мощности.

2.6.3 Вычисление коэффициента отражения.

2.6.4 Расчет поля в дальней зоне излучения.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ СЕТКИ.

3.1 Особенности конфигурации и процесса конструирования современных устройств мобильной связи.

3.2 Двухуровневый метод построения конечно-элементной сетки.

3.3 Результаты работы двухуровневого метода генерации.

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

4.1 Итерационные методы.

4.1.1 Анализ обусловленности системы уравнений.

4.1.2 Улучшение обусловленности за счет использования уравнений для векторного и скалярного потенциалов.

4.1.3 Улучшение обусловленности с помощью метода графов.

4.1.4 Улучшение обусловленности за счет использования иерархических систем базисных функций.

4.2 Прямые методы.

ГЛАВА 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ И РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

5.1 Краткое описание программы.

5.2 Результаты верификации и моделирования.

5.2.1 Цилиндрический резонатор.

5.2.2 Волноводно-щелевой мост.

5.2.3 Элементарный электрический диполь.

5.2.4 Двухдиапазонная антенна.

5.2.5 Резонаторная печатная антенна.

5.2.6 Модель нагревательной камеры микроволновой печи с нагрузкой

5.2.7 Микроволновая печь.

5.2.8 Телефон LG СТ810 в свободном пространстве.

5.2.9 Телефон LGCT810 с фантомом.

Основными объектами изучения в современных микроволновых устройствах и системах являются высокочастотные электромагнитные поля (ЭМП). Экспериментальное исследование этих полей связано с серьезными трудностями и требует больших материальных и временных затрат. В связи с этим все большее значение приобретает математическое моделирование. Корректные и эффективные модели позволяют наглядно представить и лучше понять сущность процессов, происходящих в приборах и устройствах, осуществить их оптимальное проектирование.

Начало интенсивной разработки численных методов расчета электродинамических систем (ЭДС) относится к 60-м годам прошлого века, когда появились первые программы расчета полей различных типов волн в волноводах произвольного поперечного сечения. В этих программах использовались двухмерные модели ЭМП.

В начале и середине 70-х годов происходило быстрое совершенствование двухмерных программ моделирования полей, появились первые коммерческие программы моделирования.

Стремительное развитие вычислительной техники и быстрый прогресс в области вычислительной математики привели к появлению в начале 80-х годов трехмерных программ расчета ЭМП. Этот качественный скачок позволил проводить анализ реальных ЭДС без существенного упрощения их геометрических моделей. И хотя первые программы не позволяли анализировать достаточно сложные системы, а их надежность и точность были далеки от идеала, они продемонстрировали возможности математического моделирования резко сократить затраты на проектирование новых изделий и дали толчок дальнейшему развитию техники численного моделирования.

С тех пор и до настоящего времени методы математического моделирования развивались все более быстрыми темпами. Были разработаны новые методы численного решения дифференциальных и интегральных уравнений, больших систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), методы построения адаптивных сеток, методы быстрого частотного сканирования, вычисления интегральных параметров систем и их параметрической оптимизации. В результате сформировалось новое научное направление - вычислительная электродинамика, в становление и развитие которой внесли вклад десятки ученых многих стран мира.

В настоящее время прикладные программы анализа и оптимизации ЭДС, печатных плат и интегральных схем стали рабочим инструментом каждого разработчика микроволновой электронной аппаратуры. На рынке имеется целый ряд программных продуктов, обладающих широкими функциональными возможностями и удобным пользовательским интерфейсом. Их использование позволяет резко сократить объем экспериментальной отработки сложных изделий, повысить качество и сократить сроки проектирования, лучше понять физику процессов, происходящих в приборах и устройствах. В тоже время эффективное использование этих продуктов невозможно без ясного понимания существа численного метода, реализованного в программе, его преимуществ и недостатков.

Несмотря на обилие коммерческих программ моделирования электродинамических систем, при анализе конкретных конструкций часто возникают проблемы нехватки вычислительных ресурсов, неадекватного представления моделей, отсутствия возможности вычисления тех или иных параметров системы. Немаловажное значение имеет и стоимость лицензий, достигающая десятков и даже сотен тысяч долларов в год.

Таким образом, разработка новых методов и программных средств электродинамического моделирования микроволновых устройств и систем, в частности, современных сотовых телефонов не потеряла своего значения и по-прежнему является актуальной научной проблемой. Эти средства должны обеспечивать полное электродинамическое моделирование электромагнитного поля в ближней зоне и в зоне излучения телефона с учетом его реальной конструкции, а также влияния головы и других частей тела пользователя. Программа должна также обеспечивать расчет удельной поглощаемой мощности в теле пользователя.

Разработка алгоритмов решения этой проблемы, их реализация в виде компьютерного кода, тестирование и применение программы для расчета конкретных устройств и составили цель настоящей работы. Научная новизна диссертационной работы

1. Проведено сравнение алгоритмов решения краевых задач электродинамики методом векторных конечных элементов (МВКЭ), основанных на уравнениях для напряженности электрического поля и для потенциалов, а также на методе графов. Показано, что хотя использование уравнения для потенциалов и метода графов обеспечивают более быструю сходимость итерационных методов решения матричных уравнений, при использовании прямых методов решения предпочтительнее использование уравнения относительно напряженности электрического поля.

2. Предложен и реализован метод двухступенчатой генерации конечно-элементной сетки, использующий на первом этапе разбиение на параллелепипеды, а на втором - на тетраэдры. Метод нечувствителен к ошибкам геометрической модели, возникающим на стадии конструирования системы, и позволяет в несколько раз сократить время построения сетки.

3. Разработан алгоритм использования иерархической системы базисных функций и реализован многоуровневый решатель на основе метода Шварца.

Практическая ценность настоящей диссертации

1. На основе описанных принципов разработана программа моделирования электромагнитного поля и параметров электродинамических систем «Radio Frequency Simulator» (далее по тексту RFS), не уступающая по точности и скорости решения лучшим известным коммерческим программам.

2. Программа RFS используется в «LG Electronics Inc.» в процессе разработки новых моделей сотовых телефонов.

3. Учебный вариант программы используется в учебном процессе кафедр радиотехнической электроники и физической электроники и технологии СПбГЭТУ «ЛЭТИ» для подготовки магистров по образовательной программе «Микроволновая и телекоммуникационная электроника», а также в дисциплине "Численные методы прикладной электроники и электродинамики" для аспирантов специальностей 01.04.03 — Радиофизика, 05.27.01 — Твердотельная электроника, радиоэлектронные компоненты, микро- и наноэлектро-ника на квантовых эффектах, 05.27.02 - Вакуумная и плазменная электроника, 05.27.06 - Технология и оборудование для производства полупроводников, материалов и приборов электронной техники, 05.09.10 - Электротехнология.

Защищаемые положения

1. Выбранный метод векторных конечных элементов и алгоритм его реализации, основанные на использовании уравнения второго порядка относительно напряженности электрического поля, позволяют обеспечить наиболее точную аппроксимацию граничных условий математических моделей микроволновых устройств, быстрое вычисление матричных элементов и построить СЛАУ с размерностью более миллиона, имеющую приемлемую обусловленность глобальной матрицы.

2. Предложенный метод двухступенчатой генерации конечно-элементной сетки обеспечивает эффективное её построение для реальных моделей микроволповых устройств за приемлемое время даже при наличии ошибок в импортированной геометрической модели. При этом число конечных элементов сетки может превышать миллион.

3. Предложенная реализация многоуровневого решателя на основе метода Шварца и иерархических систем векторных базисных функций позволяет обеспечить практически постоянную скорость сходимости для задач различной размерности. При этом сокращается время анализа сложных микроволновых устройств и уменьшается погрешность получаемых результатов.

4. Совокупность методических и алгоритмических решений, реализованная в разработанной программе, позволяет с высокой точностью рассчитывать электромагнитное поле, параметры рассеяния, диаграмму направленности и другие характеристики сложных микроволновых устройств.

Апробация результатов

По результатам диссертационной работы были сделаны доклады на следующих российских и международных конференциях:

1. Международная научно-техническая конференция, посвященная 110-летию изобретения радио и 75-летию СГТУ. Саратов, Россия. 2005.

2. 8-th international workshop on finite elements for microwave engineering. Stellenbosch, South Africa, 2006.

3. 7-я международная научно-технической конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия, 2006.

4. Научно-технический семинар "Современные проблемы техники и электроники СВЧ", Санкт-Петербург, 2006.

5. 40-th annual international microwave power symposium IMPI, Boston, USA, 2006

6. 18-я международная конференция "СВЧ техника и телекоммуникационные технологии", Севастополь, Украина, 2008

7. 9-th international workshop on finite elements for microwave engineering, Bonn, Germany, 2008.

8. 8-я международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения", Саратов, Россия, 2008.

9. Научно-технический семинар "Инновационные разработки в СВЧ технике и электронике", Санкт-Петербург, 2008.

По материалам диссертации опубликовано 13 работ. В списке литературы данные работы перечисляются под номерами [67] - [79].

Структура диссертации:

Во введении сформулирована цель работы, ее основные результаты и научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе формулируется краевая задача электродинамики и рассматриваются современные численные методы ее решения. Обосновывается выбор метода векторных конечных элементов для решения краевой задачи и формулируются основные задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена изложению метода векторных конечных элементов. Рассмотрены возможные формы конечных элементов, различные системы базисных функций, алгоритмы построения локальных матриц, их ассемблирования в глобальную матрицу с учетом граничных условий, алгоритмы построения вектора правой части.

Третья глава посвящена описанию методов построения конечно-элементных сеток. Рассмотрены часто встречающиеся проблемы, связанные с формой расчетной области и заполняющей ее средой. На ряде примеров показано, что прямое построение тетраэдральной сетки для областей сложной формы, имеющих ошибки геометрической модели, практически невозможно. Описан предложенный способ двухуровневого построения сетки и показаны его преимущества.

В четвертой главе рассмотрены итерационные и прямые методы решения СЛАУ больших размерностей. Проведен анализ обусловленности систем, порождаемых ВМКЭ, и рассматриваются методы улучшения сходимости -потенциальная формулировка задачи, методы, основанные на теории графов. Показано, что использование прямых методов позволяет избежать большинства трудностей, связанных со сходимостью итерационных методов и при использовании современной вычислительной техники позволяет эффективно решать реальные достаточно сложные задачи. Описан многоуровневый решатель, основанный на использовании метода Шварца.

В пятой главе приведено краткое описание вычислительной программы RFS, в которой реализованы описанные в предыдущих главах алгоритмы, приводятся данные по ее верификации путем сравнения расчетных данных с результатами аналитического расчета, с расчетами по другим коммерческим программам, а также с результатами эксперимента. На основании сравнения делается вывод о том, что разработанная программа не уступает по точности и требованиям к вычислительным ресурсам лучшим известным коммерческим программам, а в некоторых отношениях и превосходит их. В диссертации приведен целый ряд результатов расчета характеристик реальных микроволновых устройств - волноводных многоплюсников, клистронных резонаторов, микрополосковых устройств, различных антенн, в том числе, антенн сотовых телефонов, нагревательных камер микроволновых печей. Рассчитаны диаграммы направленности антенн, их входное сопротивление, удельная мощность поглощения в голове пользователя телефоном.

В Заключении приводится перечень основных результатов работы.

Выводы

Исследованы различные способы решения СЛАУ с большими комплексными разреженными матрицами.

Показано что использование формулировки для векторного и скалярного потенциала, а также метода графа не дают существенных преимуществ по сравнению с прямым методом решения.

Многоуровневый решатель обеспечивает максимальную эффективность решения, по сравнению с другими методами, однако для решения практических задач он требует высоко качества аппроксимации поля функциями низшего порядка для обеспечения сходимости, что делает его не применимым для моделирования сложных микроволновых устройств.

Прямой метод решения обеспечивает высокую эффективность, по сравнению с итерационными методами и не требует переформулировки исходного уравнения для улучшения сходимости.

ГЛАВА 5. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ И РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

5.1 Краткое описание программы.

Программа RFS состоит из модуля графического пользовательского интерфейса (ГПИ), позволяющего строить, импортировать и редактировать геометрические модели устройств. Модуль позволяет создавать геометрические примитивы (линии, поверхности и тела правильной формы) заданных размеров, булевы операции над примитивами, операции перемещения, дупликации, вытягивания и отражения. Особенностью интерфейса является возможность легкого создания коаксиальных и полосковых линий передачи из полилиний. Кроме того, имеется возможность встраивания в электродинамическую систему сосредоточенных элементов, которые представляются в виде параллельного соединения емкости, индуктивности и активного сопротивления [67], [72]. Можно устанавливать степень прозрачности объектов, делать их видимыми или невидимыми, менять ориентацию объектов, вводить локальные системы координат.

Модуль ГПИ позволяет присваивать объектам материалы их встроенной библиотеки или добавлять в нее новые материалы, позволяет окрашивать объекты в различные цвета. Имеется возможность получать сечения модели заданными плоскостями, в том числе не параллельными координатным плоскостям.

Второй модуль содержит генераторы сетки, причем пользователь имеет возможность выбирать между различными генераторами. Возможно создание локальной сетки с заданными параметрами в сфере определенного радиуса или в выделенных объектах. Имеется также возможность построения адаптивной сетки.

Затем начинает работу модуль вычисления матричных элементов и формирования глобальной матрицы, после чего начинается наиболее затратный во времени процесс решения СЛАУ. При этом пользователь может выбирать место расположения процессора - локальное, т. е. на том же компьютере, на котором создавалась модель, или удаленное - на рабочей станции, к которой имеется доступ. Результаты решения СЛАУ передаются обратно в локальный компьютер.

Часто электромагнитное поле и параметры системы требуется вычислить в широком диапазоне частот с большим количеством шагов по частоте. Если на каждой частоте выполнять описанные выше действия, время счета может увеличиться в десятки и даже сотни раз. Поэтому в разработанной программе используется специальный алгоритм быстрого частотного сканирования [74], позволяющий производить полное решение только на центральной частоте, а поле и параметры на всех других частотах вычислять, используя асимптотическое разложение решения.

Программа может работать в одном из нескольких режимов: расчет собственных частот и полей резонаторов неявным методом Арнольди с рестартом [64] (в этом случае задается число видов колебаний) или расчет поля и параметров вынужденных колебаний на одной частоте, в диапазоне частот с заданным шагом по частоте. Кроме того, возможен параметрический анализ при изменении одного или нескольких параметров системы с заданным шагом и параметрическая оптимизация с использованием генетического алгоритма [65].

На заключительном этапе активируется графический пользовательский интерфейс, который позволяет вычислить необходимые характеристики и параметры устройства и представить их в виде таблиц, графиков и диаграмм

5.2 Результаты верификации и моделирования

Верификация программы проводилась путем сравнения результатов моделирования с результатами аналитических расчетов, данными, полученными с помощью других программ моделирования и с результатами экспериментов. При этом выбирались системы, особенности устройства которых позволяли наиболее объективно и полно оценить возможности программы и погрешности расчета.

5.2.1 Цилиндрический резонатор

В качестве первого примера для верификации был выбран расчет собственных частот в цилиндрическом резонаторе с однородным изотропным заполнением, так как аналитические значения этих частот известны с большой точностью.

Заключение

В результате выполнения диссертационной работы были решены следующие задачи:

• Разработан алгоритм дискретизации уравнений электродинамики методом ВКЭ с использованием базисных функций различного порядка. Выведены формулы для матричных элементов. Выведены соотношения позволяющие учитывать граничные условия типа электрической и магнитной стенок, возбуждение и условий на границе реального метала. Выведены формулы для учета абсорбционных граничных условий первого и второго порядка. Разработан эффективный алгоритм построения глобальной матрицы с количеством неизвестных превышающих 1,000,000.

• Разработан эффективный двухуровневый метод построения конечно элементных сеток. Метод основан на предварительном разбиении расчетной области на параллелепипеды и последующем построении тетраэдальной сетки. При этом электрически важные объекты учитываются без искажения поверхности. Метод не чувствителен к ошибкам геометрии, возникающих на этапе проектирования геометрической модели и позволяет получать сетки высокого качества с количеством элементов больше миллиона. Общее время генерации сетки не превышает 1 часа.

• Проведено исследование и сравнение различных итерационных методов решения СЛАУ. Показано что вследствие плохой обусловленности глобальной матрицы эти методы не гарантируют сходимости итерационного процесса. Также исследованы прямые методы решения. Показано, что использование современных прямых методов решения для векторных конечных элементов более эффективно и позволяет решать системы с количеством неизвестных более 1,000,000.

Исследована обусловленность глобальной матрицы и предложены методы ее улучшения, основанные на использовании исходного уравнения, записанного в терминах векторного и скалярного потенциала. Исследован метод улучшения обусловленности на базе метода графов путем построения покрывающего дерева и замены соответствующих роторных базисных функций градиентными. Показано, что хотя эти методы и улучшают обусловленность системы, тем не менее, не дают существенного сокращения времени решения.

Разработан и реализован алгоритм многоуровневого решателя, использующий базисные функции различного порядка. Показана, что использование этого метода обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса. Особенностью данного метода является практически постоянное количество итераций на сетках разного размера. В тоже время эффективное применение этого метода требует высокого качества решения на базисных функциях низшего порядка.

Разработана программа моделирования сложных микроволновых систем, обладающая развитым графическим интерфейсом, эффективным решателем и наглядным модулем визуализации результатов. По точности и скорости работы программа не уступает лучшим коммерческим пакетам.

Рассчитано большое количество сложных микроволновых систем. Показано хорошее совпадение с экспериментальными и аналитическими данными, а также с результатами полученными с помощью известных коммерческих программ. Результаты этих расчетов были использованы при проектировании реальных микроволновых устройств. Таким образов все поставленные в диссертации цели были достигнуты.

1. Chu L. J., Physical limitations of Omni-Directional Antennas // Journal of Applied Physics, vol. 19, December 1948.

2. Wheeler H. A., Fundamental limitations of small antennas // Proceedings of the IEEE, vol. 69, December 1947.

3. Microstrip antenna design handbook / R. Carg, P. Bhartia, I. Bahl et al. Boston: Artech House, 2001.

4. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных: Пер. с англ. / Под ред. Б. М. Будана, Н. П. Жидкова. М.: ИЛ, 1963.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Физматлит, 1983.

6. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Физматлит, 1986.

7. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Физматлит, 1985.

8. Ильин В. П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во института математики, 2000.

9. Davies J. В., Muilwyk С. F. Numerical solution of uniform hollow wave guides with arbitrary shapes // Proc. IRE, V. 113, No. 2, pp. 277284, 1966.

10. Davies J. B. Review of methods for numerical solution of the hollow waveguide problem // Proc. IRE, V. 119, No 1. pp. 33-37, 1972

11. Григорьев А. Д., Янкевич В. Б. Резонаторы и резонаторные замедляющие системы. Численные методы расчета и проектирования. М.: Радио и связь, 1984.

12. Yee K.S. Numerical Solution of Initial Boundary Wave Problems Involving Maxwell's equations in Isotropic Media // IEEE Trans. АР. V. 14.-No 5.-pp 302-307, 1966.

13. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Tome-Domain Method. 3-rd edition. Norwood, MA: Artech House, 2005.

14. Kunz K.S., Luebbers R.J. The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993.

15. Hadi M.F., Picket-May M., A modified FDTD (2,4) scheme for modeling electrically large structures with high-phase accuracy // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997.—V.45, № 2.—P.254-264.

16. Kim J.S., Hoefer W.J.R., Numerical characteristics and stability factor for the TD-FD method // Electron. Lett., 1990 (Mar).—V.27.—P.485-487.

17. Cangellaris A.C., Lee R., On the accuracy of numerical wave simulations on finite methods // J. Electronmagn. Waves Applicat., 1992.— V.6, № 12.—P. 1635-1653.

18. ShlagerK.L., Maloney J.G., Ray S.L., Peterson A.F., Relative accuracy of several finite-difference time-domain methods in two and three dimensions // IEEE Trans. Antennas Prop., 1993.—V.41, № 12.— P. 1732-1737.

19. Bayliss A., Goldstein C.J., Turkel E., On accuracy conditions for the numerical computation of waves // J. Computat. Phys., 1985 (July).—1. V.59.—Р.396-404.

20. Fang J. Time domain finite difference computation for Maxwell's equations, Ph. D. Dissertation, Univ. California, Berkley, С A, 1989.

21. Deveze Т., Beaulie L., Tabbara W., A fourth order scheme for the fdtd algorithm applied to Maxwell's equations, in IEEE APS Int. Symp. Proc., Chicago, JL, July 1992.—P.346-349.

22. Maury C.W., Broschat S.L., Schneider J.B., Higher order FDT methods for large problems // ACES J.,V.10.—P. 17-29, July 1995.

23. Petropoulos P.G., Phase error control for fd-td methods of second and fourth order accuracy // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1994.— V.42., №6.—P.859-862.

24. FurseC.M., Roper D.FI., Buechler D.N., Christiansen D.A., Dur-ney C.H., The problem and treatment of DC offset in FDTD simulations // IEEE Trans. Antennas Propagat., 2000.—V.48, № 8.—P.1198-1201.

25. Goswami J.C., Mittra R., An application of FDTD in studying the end effects of slotline and coplanar waveguide with anisotropic substrates // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1997.—V.45, №9.—P.1653-1657.

26. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. / под ред. Г. И. Марчука. М.: Мир, 1977.

27. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Пер. с англ. / Под ред. Г. В. Демидова и A. JI. Урванцева. М.: Мир, 1981.

28. Сабонатьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. Пер. с франц. / Под ред. Э. К. Стрельбицкого. М.: Мир, 1989.

29. Zienkiewicz О.С., Taylor R.I. The Finite Element Method. Fifth edition. Vol. 1- 3. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000.

30. Сильвестр П., Феррари P. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

31. Bossavit A. Computational electromagnetism. Variational formulations, complementarity, edge elements. San Diego: Academic Press, 2005.

32. Jin J. The finite element method in electromagnetics. N.-Y.: John Wiley & Sons, 2002.

33. Nedelec J. C. Mixed finite elements in R3 // Numer. Meth., V. 35, pp. 315-341, 1980.

34. Wang J. J. H. Generalized moment method in electromagnetics. N.-Y.: John Wiley & Sons, 2002.

35. Sadiku M. N. O. Numerical methods in electromagnetics. Boca Raton, Florida: CRC Press LLC, 2000.

36. Davidson D. В., Aberle J. T. An introduction to spectral domain me-thod-of-moments formulations // IEEE Antenna prop, mag., V. 46, No. 3, pp. 11-19, 2004.

37. Hua Y., Sarkar Т. K. Generalized pencil-of-function method for extracting poles of an EM system from its transient response // IEEE Trans, antennas prop., V. 37, No. 2, pp. 229-234, 1989.

38. Dural G., Aksun M. I. Closed-form Green's functions for general sources and stratified media // IEEE Trans. Microwave theory techn., V. 43, No. 7, pp. 1545-1551, 1995.

39. Aksun M. I. A robust approach for the derivation of closed-form Green's functions // IEEE Trans, microwave theory techn., V. 44, No. 5, pp. 651-658, 1996.

40. A symmetric FEM-IE formulation with a single-level IE-QR algorithm for solving electromagnetic radiation and scattering problems / M. N. Voulakis, S.-C. Lee, K. Zhao, J.-F. Lee // IEEE Trans, antennas prop., V. 52, No. 11, pp. 3060-3070.

41. Березин И. С., Жидков И. П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1962.

42. Steven L. J. (2006), Linear Algebra With Applications, 7th ed. London: Pearson Prentice Hall, 2006.

43. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. Пер. с англ. / Под ред. М. Л. Быховского. М.: Мир, 1975.

44. Jacobs D. А. Н. A generalization of the conjugate-gradient method to solve complex systems // IMA J. Num. Anal. V. 6, pp. 447-452, 1986.

45. J.-Y Wu, R. Lee. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with the finite-element method // IEEE Trans, Antennas Prop., V. 45, No. 9, September 1997, pp. 1431-1437.

46. Whitney IT. Geometric integration theory. Prinston, NJ: Prinston University press, 1957.

47. Savage J. S., Peterson A. F. Higher order vector finite elements for te-trahedral cells // IEEE Trans. Microwave theory techn. V. 44, No. 6, pp. 874-879, 1996.

48. Bossavit A. Generating Whitney forms of polynomial degree one and higher // IEEE Trans. Magnetics, V. 38, No. 2, March 2002, pp. 341344.

49. Andersen L. S., Volakis J. L. Hierarchical tangential vector finite elements foe tetrahedral // IEEE Microwave and Guided wave letters. V. 8, No. 3, March 1998, pp. 127-129.

50. Webb J. P. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements // IEEE Trans. Antenna and prop., V. 47, N0. 8, August 1999, pp. 1244-1253.

51. Sun D.-K., J.-F. Lee, Cendes Z. Constuction of nearly orthogonal Ne-delec bases for rapid convergence with multilevel preconditioned solvers // SIAM J. Sci. Comput., V. 23, No. 4, April 2001, pp. 1053-1076.

52. Holand I., Bell K. Finite element methods in stress analysis. Trond-heim: Tapir, 1969.

53. Григорьев А. Д. Электродинамика и микроволновая техника. Спб.: Лань, 2007.

54. Van der Vorst Н. A., Melissen J. В. М. A Petrov-Galerkin-type method for olving AX = В, where A is symmetric complex // IEEE Trans. Magnetics. 1990. V. 26, No. 2, pp 706-708.

55. Dycczij-Edlinger R., Biro O. A joint vector and scalar potential formulation for driven high frequency problem using hybrid edge and nodal finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1996. V. 44, No. 5, pp 15-23, Jan. 1996.

56. Dycczij-Edlinger R., Peng G., Lee J.-F. A fast vector-potential method using tangentially continuous vector finite elements // IEEE Trans.Microwave Theory Techn. 1998. Vol. 46, No. 6, pp 863-868.

57. Webb J. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans.

58. Magn. V. 29, No. 6, pp. 1460-1465, 1993.

59. Albanese R. and Rubinacci G., Solution of three dimensional eddy current problems by integral and differential methods // IEEE Trans. Magn., V. 24, pp. 98-101, 1998.

60. Manges J. В., Cendes Z. J. A generalized tree-cotree gauge for magnetic field computation // IEEE Trans. Magn., V. 31, no. 5, pp. 1342-1347, 1995.

61. Sun D., Manges J., Yuan X. Spurious modes in finite element method // IEEE Antennas prop, mag., V. 37, No. 5, pp. 12-24, 1995.

62. Lehouck R. В., Sorensen D. C., Yang C. ARPACK users guide: solution of large-scale eigenvalue problems with implicitly restarted Arnol-di Methods. SIAM, 1998.

63. Genetic algorithm in engineering and computer science / edt. G. Winter, J. Periaux, M. Galan. N.-Y.: John Wiley & Sons, 1995.66. http://www.emtalk.com/mwt mpa.htm

64. Grigoryev A. D., Salimov R. V., Tikhonov R. I. Multiple-cell lumped elements and port models for the vector finite element method // Electromagnetics, 2008, V. 28, No. 1, p. 18-26.

65. Тихонов P. И. Улучшение сходимости метода векторных конечных элементов для решения краевых задач электродинамики // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2, с. 30-33.

66. Grigoriev A. D., Kim Е. S., Tikhonov R. I. MOS A Microwave Oven Simulation Toolkit // Proceedings of the East-West Workshop "Advanced Techniques in Electromagnetics" . - Warsaw: Univ. Technology Press, 2004. p. 213-215.

67. Grigoriev A. D., Kim E. S., Tikhonov R. I. Numerical simulation of electromagnetic fields in microwave ovens // Proc. Int. Symposium on heating by electromagnetic Sources. Padua: Univ. of Padua, 2004. p. 225-228.

68. Grigoriev A. D., Ilin V. P., Salimov R. V., Tikhonov R. I. An efficient vector finite element method for full-wave electromagnetic field simulation // Proc. of 40-th annual int. microwave power symp. IMPI, 2006, p. 179-183.

69. Григорьев А. Д., Салимов P. В., Тихонов P. И. Сравнительный анализ результатов моделирования антенны сотового телефона различными программными средствами. // Труды конференции, посвященной Дню радио, Изд-во СПбГЭТУ, 2008, с. 28.