Разработка конечных элементов для внешних аппроксимаций трехмерных задач теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р и " • ■

1 г £

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ

АКАДЕМИЯ

На правах рукописи

ДОЛГОВА Татьяна Александровна

УДК 539.3:517.962.1

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ВНЕШНИХ АППРОКСИМАЦИЙ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02,04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

М и иск 1994

Работа выполнена в Белорусской государственной политехнической академии.

Научный руководитель -Научный консультант —

Официальные оппоненты:

кандидат техн. наук, доцент В.Н.Лпанович

кандидат техн. наук, доцент В.В.Напрасников

доктор физ.-мат.наук, профессор В.Н.Лбрашин,

кандидат техн.наук, ст.науч.сотр.И.С.Куликов

Ведущая организация: Белорусский государственный университет

Защита состоится декабря 199^ года в на заседании

специализированного совета К 056.02.04 в Белорусской государственной политехнической академии / 220027, г. Минск, пр. Ф.Скорины, 65, главный корпус к.201.

С диссертацией иожно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан ¿¿¿гЗ^уАР 1994 года.

Ученый секретарь /\-Ql~~7 •f?

доцент 'kw'ô^frVJ Г. JI-Бахмат

(С.) Долгова Т.А., 1994

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЛГ.ОТН

Актуальность теин. Теория упругости является фундаментальной научной дисциплиной при проектировании современных строительных конструкций, при расчете элементов машин я механизмов. За исключением очень простых случаев, математиче-скио уравнения , описывающие трехмерные задачи теории упругости, решаются с помощью численных методов, среди которых метод коночных элементов ( МКЭ ) является одним из самых мощных и универсальных.

В машиностроении широко используются системы автоматизированного проектирования .составной часты) которых являются программы расчета напряженно-деформированного состояния методом конечных элементов. Полностью автоматизированный подход к прочностным расчетам требует более высокой степени надежности и точности результатов при минимизации затрат на их получение. Поэтому представляется актуальной разработка более совершенных высокоточных и эффективных вариантов МКЭ.

При применении МКЭ для решения трехмерных задач теории упругости приходится сталкиваться и со специфическими проблемами , которые снижают эффективность расчетов и сужают область применения трехмерных конечных элементов- К таким пр'облемам относятся :

"проблема размерности", возникающая из-за необходимости введения большого числа степеней свободы для конечноэлементного представления трехмерного тела;

проблема построения конечных элементов (КЭ),обладавших широкими возможностями представления сложной геометрии конструкции. В частности, большие погрешности возникают при использовании в одной модели суаестненко трехмерных элементов и элементов, геометрия которых такова, что один или два пространственных размера непропорционально малы по сравнению с другими;

"проблема точности".В силу ограниченных ресурсов ЭВМ (память, быстродействие) конструкции представляются весьма небольшим набором конечных элементов , что приводит к большим погрешностям вычислений. В этой связи является актуальном построение более точных конечных элементов, позволяющих представлять конструкцию с помошью меньшего числа элементов.

Данная раОота посвящена развитию нового подхода в МКЭ - ме-

тоду внешних конечноэлементных аппроксимаций - применительно к решении трехмерных задач теории упругости.

Отличительной особенностью метода внешних конечноэлементных аппроксимаций (МВКА) является построение несогласованных конечных элементов (КЭ) на основе теории внешних аппроксимаций пространств Соболева и вариационных уравнений краевых задач механики. Метод иозволяет строить конечные элементы произвольной формы,' предоставляет большую свободу выбора аппроксимирующих функций и ведет к значительному сокращении вычислительных затрат.

Имеющееся в настоящее время строгое математическое обоснование сходимости МВКА и указанные возможности практического характера позволяют предположить высокую прикладную эффективность метода в решении трехмерных задач, на что и направлена данная диссертационная работа.

Цель и задачи работы. Цель работы состоит в разработке схемы метода внешних конечноэлементных аппроксимаций применительно к решению трехмерных задач теории упругости и исследование ее прикладной эффективности.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

■ вывести' соотношения для построения цолиношальных базисных функций произвольного трехмерного КЭ с плоскими гранями; на основе дискретизированной вариационной задачи теории упругости получить формулы для построения матрицы жесткости и вектора нагрузки этого элемента с учетом граничных условий;

- разработать способ описания геометрии трехмерной модели и схему контроля корректности задаваемой геометрии; разработать аффективный единый алгоритм анализа сложной геометрии трехмерного КЭ с произвольно расположенными плоскими гранями (определение внешних нормалей плоских участков граней, построение локальных систем координат и др.);

разработать и реализовать в виде исследовательской программы алгоритм расчета по МВКА напряженно-деформируемого состояния трехмерного упругого тела; исследовать эффективность использования предлагаемого КЭ при решеннии различных трехмерных задач теории упругости и его практическую сходимость в зависимости от различных параметров аппроксимации и степени нерегулярности расчетной области.

Научная новизна работы заключается в следующем:

разработана схема метода внешних конечноэлементных аппроксимаций применительно к решению трехмерных задач теории упругости;

разработана эффективная методика построения по методу внешних конечноэлементных аппроксимаций трехмерного конечного элемента упругого тела с произвольно расположенными плоскими гранями; разработана научно-исследовательская программа для ПЭВМ реализующая расчет перемещений и напряжений трехмерного упругого тела на базе метода внешних конечноэлементных аппроксимаций;

на примере различных типов трехнерных задач теории упругости продемонстрирована высокая точность численных решений; проведено практическое исследование влияния па результаты порядков внутренней и граничной аппроксимации и степени нерегулярности расчетной области;

Достоверность научных 'положений и полученных результатов обеспечивается корректным использованием вариационной постановки трехмерной задачи теории упругости з перемещениях; имеющимся строгим математический доказательством сходимости МВКА и теоретическими оценкани точности, а также тщательными исследованиями точности и сходимости полученных численных решений путем сравнения их с точными аналитическими решениями и численными решениями других авторов.

Практическая значимость работы заключается в разработка схемы метода внешних конечноэлементных аппроксимаций применительно к .решению трехмерных задач теории упругости и оценке ее практической эффективности.

На примере решения различных задач трехмерной теории упругости показано, что применение предлагаемого элемента МВКА в десятки раз снижает потребности в вычислительных ресурсах .

Показано, что рассматриваемые трехмерные элементы позволяют проводить расчет комбинированный конструкций, состояяих из различных массивных и тонкостенных частей на базе единого КЭ.

Продемонстрировано, что использование произвольных (возможно - сильно вогнутых) многогранных КЭ позволяет аппроксимировать сложную геометрию небольшим числом элементов, т.к. один конечный элемент способен моделировать целый фрагмент конструкции.

Использование трехмерных КЗ с плоскими гранями позволяет сократить объемы вводимой информации. Вместе с той, произвольнее расположение плоских граней позволяет аппроксимировать криволинейные границы с необходимой точностью, что продемонстрировано в работе на примере различных криволинейных объектов.

На защиту выносятся:

•■• схема метода внешних конечноэлементных аппроксимаций для решения трехмерных задач теории упругости;

методика построения в соответствии с МВКА трехмерного полиномиального конечного элеиекта с произвольно расположенными плоскими гранями;

результаты исследования точности и сходимости метода при решении различных задач трехмерной теории упругости.'

Апробация работу- Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике" ( Минск, 1993); Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики (Минск,1992); 47-й научно-технической конференции,посвященной 70-летию Белорусского политехнического иститута (Минск,1992); научно-технических конференциях Белоруской государственной политехнической академии ( Минск,1993,1994 ); Молодежной научно-'технической конференции "XIX Гагаринские чтения" (Москва,1993); на семинаре кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета (Минск,1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных р'бот.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (133 наименования). Работа изложена на 122 страницах, содержит 31 рисунок, 19 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ '

Во введении обоснована важность и актуальность вопросов, решению когорык посвящена диссертация, сформулированы цель и задачи работы, приведены аргументы, подтверждающие научную и практическую значимость полученных результатов, сформулированы основные положения выносимые на защиту.

Первая глава содержит обзор работ, посвященных применению метода конечных элементов для решения трехмерных задач теории упругости. Рассмотрены трудности, возникающие при этом и существующие пути их устранения. В частности, уделено внимание проблемам большой размерности трехиерных задач, проблемам связанным с аппроксимацией геометрии сложных конструкций, а также касающийся повышения точности вычисления напряжений.

Рассмотрено современное состояние вопросов обеспечения достаточной гладкости аппроксимирующих функций для выполнения условий сходимости. Для сплоиного тела, разбитого на дискретные элементы, соединенные между собой в узлах, не всегда удается достигнуть непрерывности функций перемещений вдоль поверхности контакта между смежными элементами. Тогда условия непрерывности вдоль межэлементных границ выполняются приближенно. Функции, везде удовлетворяющие условию непрерывности, называются конформными, а не удовлетворяющие этим условиям - неконформными. Конечный элемент считается С] совместным при обеспечении межо-лементной непрерывности 2 частных производных.

Отказ от требования межэлементной непрерывности аппроксимирующих функций значительно упрощает построение КЭ, которы-5 б этом случае будут несовместными (неконформкыми).

Одним из новых подходов в этой области является яетод внешних консчнозлеменгнык аппроксимаций (МВКА), строгое математическое обоснование которого дано В.Н.Апановичен, >

Рассмотренные в литературе плоские и осесиыметричные задачи и задачи изгиба пластин позволяют охарактеризовать МВКА как метод, который, наряду с сохранением лучших черт классического МКЭ,обладает новыми перспективными возможностями. Бо первых, это свобода выбора формы КЭ и аппроксимирующих функций, что значительно облегчает аппроксимацию границ и дискретизацию расчетной области, снимает вопросы чувствительности элемента к искажений и сильному изменению соотношения размеров КЭ. Ме^од продемонстрировал сокращение числа степеней свободы отдельного элемента и общего числа этих элементов при высокой точности расчетов ка« перемещений, так и напряжений. Кроме того МВКА, обладает возможностью простого уточнения результатов без переразбиения области путем увеличения порядков внутренней вппроксин&ции и граничной аппроксимации по любому из направлений.Опираясь на. строгие мате-

магические доказательства и численное исследование сходимости метода' для двумерных задач, сделан вывод о возможности его эффективного применения для решения трехм€фных задач теории упругости.

Вторая глава посвяцена разработке схемы метода внешних конечнозлеиентных аппроксимаций применительно к решении трехмерных задач теории упругости.

В первой параграфе изложены теоретические основы построения конечного элемента по МВКА, приведены основные определения.

Пространство векторных функций V аппроксимируется некоторым конечномерным пространством Хь,называемым пространством конечный элементов.Классические схемы МКЭ основаны на использовании таких пространств аппроксимирующих функций, для которых Хн является конечномерным подпространством пространства Соболева Хь= V-Такие аппроксимации называются внутренними.

При внешних аппроксимациях подпространство аппроксимирующих функций строится Так, что это включение не выполняется. На межэлементной границе имеет место разрыв аппроксимирующих функций. Функции из Х„ должны удовлетворять определенным требованиям , чтобы в пределе при К-)0 (сгущение сетки'КЗ или увеличение размерности пространства аппроксимирующих функций)'требуемое качество гладкости восстанавливалось т.е. выполнялось Хь с V,тогда имеет место внешняя аппроксимация.

Согласно теории внешних аппроксимаций, для удовлетворения критерия сходимости, степени свободы должны иметь вид Ч» !<Р) = 5 9г. Л Иг. J Р (IX ' (I)

<зкг,

где 6Кгг гладкий участок грани; ¡}г| л- Функции } слоя, определенные на границе КЗ;-" X г» оператор дифференцирования. При этом структура аппроксимирующего пространства конечного элемента Рк представима в виде прямой суммы двух подпространств

РК = РЕ ♦ Р2 . где Р2 = Ср е рк | «Р |(Р>=0 , К 1<М ) .

Ргз - некоторое дополнение Рг■ В пространстве Р^ существует базис { р?}, удовлетворяющий условию:

п г I ■ ик

Любой элемент р £ Р однозначно представим в вйдв

. М И-И

Р= И Ч> ,(Р) р? ♦ £ Б„(Р> р. . (г> 1=1 К=1

где а„(1<К<М-М) -коэффициенты,называемые внутренними степенями свободы, Ч* « (1<1<Н) - граничными степенями свободы.

Таким образом, конечный элемент определяет четверка:

(К,Ск,Рк,Рс)1.

где К - замкнутая область в К" с непустым множеством внутренних точек и кусочно-гладкой липшицевой границей; Р - конечномерное пространство определенных на области К функций, отвечающее требованиям линейной независимости набора Функционалов *Р »(Р) ; С* - конечномерное пространство граничных аппроксимирующих функций области К ;Рс-подпространство пространства Р .

Связный участок <ЗКР границы элемента Кс=Вп,который состоит из гладкого числа участков граней ЗКР| (подобластей той же размерности), можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на область 0 евклидова пространства

Ч» : 0 с П""1 З.Кг, с Я" . О)

Такое отображение называется локальной картой поверхности ЗКР. Прообраз 0 гладкого участка называют областью параметров карты. Эта область паоаметров подвергается разбиению на так называемые поверхностные элементы КР» i■ При рассмотрении внешних аппроксимаций пространств Соболева Ни на границах КЭ необхот димо определить 1П слоев поверхностных элементов КРг^ ,0 < ^ <ГЛ. На каждом поверхностном элементе нообходимо определить пространства Рх I аппроксимирующих функций.Такии образом,поверхвостный элемент полностью определяется двумя множествами:

( КР* 1 , РР»

Второй параграф посвящен построении трехмерного конечного элемента теории упругости с произвольно расположенными плоскими гранями. Приводятся доводи в пользу такой геометрии КЗ, обсуждаются вопросы параметризации границ плоских участков граней, выводятся формулы.для определения элементов матрицы перегода А из глобальной системы координат элемента (Х.Я.Е) в систему координат участка грани С^Д1). В случае плоских многоугольных участков граней отображение (3) переводит многоугольник из 1\г на поверхность в Я' и имеет рид

(1,у,г) = <иД2,о) Л » стало,го> . О)

где (ЗСО.УО.НО) - начальная точка локальной системы координат.

Однако начальное описание геометрии является недостаточным для дальнейшего вычисления необходимых интегралов. Топологическая информация должна быть дополнена сведениями о том, какая из сторон участка грани является внешней по отношение к определенному КЭ. Автором разработаны подробные алгоритмы построения внешних нормалей к участкам граней произвольного (выпукло-вогнутого) многогранника. В процессе решения этой задачи выделены и-решены три подзадачи: об определении пространственных координат точки/строго принадлежащей плоской внутренней области №-уголышка; плоская задача о местоположении точки относительно М-угольника;простанственная задача о местоположений точки относительно многогранника. ..

Далее рассматриваются полиномиальные базисы аппроксимации. Решения вариационных уравнений, соответствующих краевым задачам 2Ш-ного порядка, ищутся в пространствах Соболева Нга(£2) .Порядок пространственных задач теории упругости 2Ш=2. При Ш=1 имеем один слой поверхностных элементов КР 1- КР,область которых совпадает с областью соответствующего гладкого участка грани.

Базисные функции поверхностных элементов являются полными полиномами ¿-ой степени:

и?1?),>о< • =

Эти функции порождают граничные степени свободы (I), которые в данном случае примут вид

=-Х ах- , ■ (5)

<ЗКГ» 15 Кг|

где И1 о .. - сужение функции на участок 5К'Г» - элемент I о КГ|

поверхности,. N - число элементов базиса.Таким образом,для одного участка грани строится зИ граничных, степеней свободы,-

Бусть пространство аппроксимирующих функций Рк - полное пространство полиномов К-ой степени.Тогда каждая компонента вектора перемещений 1Ы111,И2,Ц-э) .может быть представлена в виде

и, = £ 61а. х«-1 у"-2 г"-3 , . и!7з" (Ь)

|а 1.а2<а3| <! , •

где ёос - некоторый коэффициент. . ¡'

Порядки полиномов К и д называются порядками внутренней и граничной аппроксимации соответственно.

Базис исходного пространства Р„ алгебраически преобразуется для получения системы базисных функций элемента К. В пространстве конечных элементов Xh создаются базисные • функции двух видов: ИЕ с областью определения из двух смежных КЭ и Wz, область» определения которой является отдельный КЭ. Тогда при аппроксимации Н* пространством К любой функции UGH ставится в соответствие аппроксимант В^еХн, который с учетом (2.2) имеет вид

И N-H

uh = £ ч> ,(в) W? ♦ 2 а,<и) И« . (?)

1=1 к=х

Далее подробно рассмотрен переход от дискретизированной вариационной задачи теории упругости к системе линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов. Краевой задаче трехмерной теории упругости эквивалентна вариационная задача отыскания функции U из И, такой что

а( u,o ) = {( и ) . (8)

V о е-Н ,где И = с о 6 ( Н'(Я) )', Ым = о } , П с г , граничное множество Г элемента состоит из двух подмножеств Г1»Г2. Соотношение (8) в развернутой форме имеет вид. 3 3 3

S Е б U(u) е ,j(B) di = S 2 li в» dt ♦ S £ г» о» di. <э>

£2 tj=i Я i=i гг u-i

Билинейная форна Q(U,B) этого вариационного уравнения с у-гетом известных соотношений, включающих зависимость компонент тензоров напряжений tfц и деформаций В ц от честных производных компонент,вектора перемещений, будет состоять из слагаемых

r с dui Ъ. р

вида u j UX, где U - коэффициент, зависящий

от упругих постоянных материала. При решении дискретизированной вариационной задачи линейная форма flh состоит из вкладов по всем элементаи разбиения

«h<u,m . £ай = £ S <%1к < ■ > :

^ к к аас дх do)

где UjIk, Uj||<- непрерывные аппроксимирующие функции элемента К.

Дискретизированное вариационное уравнение должно удовлетворятся для любой базисной Функции W?, W* из Xh. т.е.

ah( Uh, Hf ) = l( H? ) __ [ah( uh, Wj ) - |( Wi ) U i,dim Xh (ii)

Система (II) линейных алгебраических уравнений Nh X Nh . позволяет найти значения коэффициентов Ч* i и 8 i разложения (2), Для одного КЭ , подставив в (II) выражение (?) для Uh. получим соотношение в матричной форме

ф* bi 1 г 8 ] i" fi 1

BI Фг J L Ч» J L Fa J •

где ф 1- подматрица с элементами Ok(Pi . Pj). ф i- с элементами ai(Pf , Р? ), В, - с элементами а£(р* , Р?). Ч> и 8 -подвектора гргничных и внутренних, степеней свободы , причеи 6 конденсируется путей стандартной процедуры. Вектор правой части F вычисляется как сумма интегралов в соответствии с (9).

Далее, в соответствии со стандартной технологией МКЭ, на основе матриц жесткости и векторов правых частей всех элементов разбиения формируется общая разрешающая система уравнений.При ее решении вычисляются значения граничных степеней свободы, а затем находятся значения внутренних степеней свободы. Полученные описанным способом коэффициенты используются для построения аппроксиманта (?) вектора перемещений. Значения напряжений находятся по известным формулам с использованием частных производных базисных функций.Последние, в случае полиномиального базиса, вычисляются по аналитическим формулам.

Автором, на основании (5) и (6) выведены формулы вычисления граничных степеней свободы для формирования базиса элемента. Подробно рассмотрены выражения для них при порядках граничной аппроксимации ¿=0,1,2. Вычисление граничных степеней свободы сведено к суммированию с коэффициентами интегралов от мономов по поверхности участка грани. Коэффициенты при интегралах зависят от элементов матрицы перехода А из (4).

Для вычисления элементов матрицы жесткости,как видно из (10) необходимы интегралы от мономов по объему КЭ,которые рассчитываются по формуле Грина. Таким образом, поверхностные интегралы вида 1(61.82,fo>= s Ibl'j"Hb3dK , .b<8bfc?>6-3<MI

SKri

удобна вычислить заранее, причем максимальный порядок интегрируемых по поверхности мономов И1 определится как наибольший из порядков, необходимых для решения указанных выше задач

И1 - тот ( 2(к-1)+1 , к.а )

В конце главы рассмотрено вычисление по аналитическим формулам интегралов 1(61,62,63) через двойные интегралы по области участков граней с использованием параметрических уравнений участков граней и выражений для П-ой степени суммы трех слагаемых.

Третья глава посвящена исследованию практической эффективности метода внешних конечноэлеиентных аппроксимаций при решении различных задач теории упругости в трехмерной постановке.В качестве модельных (тестовых) рассмотрены хорошо изученные с помощью других подходов задачи, для которых имеются многочисленные результаты. Исследование сходимости метода при решени данных задач проводилось для различных сочетаний порядков внутренней и граничной аппроксимации, при различных разбиениях расчетной области и разной формд КЭ. Проведена оценка эффективности использования трехмерных элементов с плоскими гранями для расчета как массивных тел, так пластин и стержней, как объектов с прямолинейными границами, так и криволинейных областей.

В задаче об одноосном растяжении параллелепипеда I/ Ч расчетной области разбивалась на четыре шестигранных элемента, порядки внутренней и граничной аппроксимации принимались равными К -2 , 3 и 4; Л=0 и I соответственно. Практически точные (погрешность < 1%) значения возникающих в пластине напряжений (б получены при всех сочетаниях К и ¿.Расчеты проводились для различных значений соотношения толщины и длины стороны параллелепипеда (от 4/5 до 1/10). Для оценки влияния нерегулярности разбиения параллелепипеда на получаемые результаты были проведены вычисления для нестандартных вариантов разбиения расчетной области. Рассматривались разбиения, когда межэлемзнтные грани отклонены от вертикального положения на угол от 60° до 30 " и разбиение, полученное смещением центрального межзлементного ребра АА' вдоль диагонали верхней грани первого КЭ (рис.1). Во всех случаях расчетные значения перемещений и напряжений не изменились по сравнению с результатами регулярного разбиения. Отметим только, что максимальные межэлементные разрывы, получение на рь-

Т!

Рис. 1. Варианты нерегулярного разеиЕния параллЕ<1£пигкда.

2Си,)

УО),)

Ь/2

т <-

ь/в

~Л 3

1 1____ -X _ 1 ____

РЬг'? г/4

- _ О >

31/6 Ь /4

Рис, 2. Варианты развиЕния консольного лараллЕЛЕпипЕда. Чж

а г Ь И/а»

Рис.3. Изгиь кривого вруса. ,

2

бре, принадлежащем веек четырем КЭ, не превысили 3.5% от максимального значения соответствующей расчетной величины, что не оказало существенного влияния на результаты.

Затем рассмотрено 11ДС консольного параллелепипеда при изгибе. Расчеты по МВКА проводились для пяти вариантов разбиения, представленных на рис. 2 при ¿=1 и различных К = 2,3,4, Величины прогибов И, нормальных б и касательных Т напряжений сравнивались с теоретическими, полученными с учетом влияния сдвига. Наибольшая разница для М - 25.16% имеет место при то есть,когда перемещения аппроксимировались полиномами второй степени, которые не могут удовлетворительно моделировать изгибиое напряжон-но-дефориированое состояние бруса. При увеличении порядка внутренней аппроксимации до К = 3 погрешность определения И уменьшается до 1.25 для б получено практически точное значение (погрешность а"/с), для X погрешность не превысила 5.бЖ по всем разбиениям. Дальнейший рост порядка внутрвнной аппроксимации не приводит к изменению результатов, что свидетельствует о быстрой сходимости метода.

Высокая точность определения перемещений обеспечивается для всех вариантов разбиения,в частности,для модели 5 ,где элементы с невипуклой областью составляют 2/3 от общего числа КЗ, перемощения и напряженя практически не отличаются от трехэлементной модели 4. Для сравнения в диссертации приведены результаты других авторов, полученные на основе иных конечноэлеиентных подходов, когда для получения аналогичной точности требовались значительно большие вычислительные затраты при использовании лишь стандартных "кирпичных" КЗ. Например,разрешающая система алгебраических уравнений для разбиения I на рис.2 включает всего девять уравнений, когда МКЭ с использованием стандартного 20-узло-вого шестигранного КЗ достигает той же точности по перемещениям при использовании 164 уравнений.

На этом же примере продемонстрирована высокая устойчивость решения по отношению к искажению, когда отношение длины КЭ к величине его поперечного сечения изменяется от 4 до 40. Проведена оценка иежзлементных разрывов, величина которых по перемещениям составила от 0.02^ до 0.12% по отношению к величине максимального прогиба. Для напряжений разрывы колебались от 0.7% до 13% в зависимости от формы КЭ и порядка граничной аппроксимации. Рас-

смотрена степень выполнения граничных условий , на закрепленном торце максимальные значения перемещений не превысили 1/160 от перемещений свободного конца.

Для исследования универсальности использования трехмерного НЭ для расчета тонкостенных объектов проведен расчет изгиба параллелепипеда, у которого один размер существенно меньше других, т.е. рассмотрены задачи изгиба пластин в трехмерной постановке.

Для толстой пластины результаты сравнивались с алалитическим решением трехмерной теории толстых пластин. В расчетах,когда 1/1 пластины разбивалась на 1 одинаковых КЭ, с порядками аппроксимации К = 3, 6 = I (общее число степеней свободы - 36), для И/О = 5 погрешность составила

На основании того же трехмерного элемента ЯВКА был проведен расчет изгиба тонкой пластины (Ь/0=0.01). Погрешность результатов, но сравнению с теорией основанной на гипотезе Кирхгофа, как по прогибу, так и по нариальному напряжению не превысили 1.7%. Среди приводимых для сравнения результатов других авторов аналогичные получены только с помощью гибридных элементов изгибаемых пластин, считающихся наилучшими для расчета тонких пластин.

Для изучения возможности использования элементов с плоскими гранями при моделировании криволинейных областей были рассчитаны задачи изгиба кругового консольного бруса и толстой кривой пластины.

В первом случае (рис.3 ) аппроксимация границы расчетной области строилась путем замены ограничивающих область окружностей правильными вписанными 16-угольниками. На рис. 3 представлены различные варианты разбиения четверти бруса на 1,2 и 1 КЭ. Задача рассматривалась для двух случаев распределенной по торцу нагрузки ( в плоскости бруса и перпендикулярно ей). Погрешность определения перемещений,во сравнению с теорией круговых стержней сопротивления материалов,в обоих случаях практически совпадает. Для чегырехэлеиентного разбиения она составила около 10%, снизившись до 1\% при 16 КЭ.

Полученные данные приближаются по точности к современным криволинейным цилиндрическим элементам моментальной схемы метода конечных элементов и превосходят другие прямолинейные элементы. Рассмотренный пример демонстрирует возможность использования обсуждаемого КЭ и для расчета оболочек вращения.

И

Возможность использования элементов МЫСА нестандартной (для классического МКЭ)фориы для аппроксимации криволинейной геометрии и достижения высокой точности результатов при невысоки* вычислительных затратах была продемонстрирована и в задачи изгиба толстой кривой пластины ( трехмерный аналог задачи Головина). На рис. 4 изображены два варианта разбиения половины пластины на шесть КЭ с различной степенью аппроксимации криволинейной геометрии. При грубой аппроксимации геометрии ошибка определения нормальных напряжений в поперечной сечении составила почти 8% и снизилась до 2.1% при втором варианте разбиения.

Приводимая в работе эпюра напряжений, изменяющихся по гиперболическому закону с наибольший значением на внутренней поверхности, аналогична полученной на основе аналитического трехмерного решения.

В заключение главы рассмотрены задачи о концентрации напряжений при растяжении тонкой и толстой пластины с отверстием.

Подобная задача в МКЭ решается при разбиении, в котором ширина слоя элементов, ¡¡ризегающих к отверстию, не превышает 1/10 радиуса отверстия . На рис.5 показано исгользуемое для расчета по МВКА разбиение 1Д пластины, ширина прилегающего слоя равняется радиусу отверстия,общее количество степеней свободы -9?,ширина ленты матрицы разрешающей системы уравнений - 51. При соотношении толщины пластины к радиусу отверстия К/2 =0.1 получен коэффициент концентрации напряжения К - 3.056, что всего на Г.3% выше теоретически рассчитанного'коэффициента задачи Кирш« для бесконечной области.

В табл.1 приведено отношение подученных для толстых пластин коэффициентов К„е„0 к решению трехмерной теории упругости Кт,. Коэффициены рассматриваются для срединной поверхности пластины при различных соотношениях ее толщины и радиуса отверстия.

Таблица I

К/г 0.1 0.5 1.0 2.0 1.0

К м 1 к а /Кт» 1.016 0.9Й7 0.976 0.995 1.015

Как видно из приводимых данных, ошибка определения К несу -щвствен'на как для тонких, так и дли толстых пластин (0.5$ -

Рис. 4 Варианты аппроксимации гсомприи TOrtoeHNWi толстой кривопичЕйнои пластины«

Рис.5 Рястй«ение пластины с отверстисм^

В табл.2 приведено значение напряжения б , в средник по высоте точках полости.

Таблица 2

ш б г 0.1 0.5 1.0 2.0 4.0

м"3 ю"3 - з 10 0.18 0.22

Как видно, с увеличенной-толщины пластины, напряжение б, достигает существенных величин. Поэтому при оценке прочностных характеристик толстых пластин с полосты) неовходиио использование методов, содержащих - все компоненты тензора напряжений.

Сравнение результатов с расчетами на основе различных формулировок МКЗ и метода граничных элементов вновь показньет превосходство предлагаемого метода.

Таким образом, приводим«« примеры демонстрируют высокую точность, эффективность и универсальность трехмерных элементов М8КА с произвольно расположенными плоскими гранями.

Четвертая глаза посвящена расчетам элементов трубопровода со сложным поперечным сечением.

Рассмотрен элемент трубопровода, имеющего нестандартное поперечное сечение (рис.6) под внутренним давлением. Первоначально решена задача для стандартного поперечного сечения т.е. был рассмотрен толстостенный цилиндр ( задача Ламе). Эта задача имеет аналитическое решение, что позволило оценить погрешность метода при расчете такого класса объектов.Четверть цилиндра разбивалась на на 4КЗ (рис.?) с общим числом степеней свободы равным 36.Исследована точность определения максимальных напряжений, возникающих на внешнем контуре, в зависимости от толщины Й прилегающего к этой поверхности слоя конечных элементов. Ошибка составила 15% и 9.3% при .25П 1 и снизилась до 1% и при 1ъ= 0.5^1 для б * и 6* г соответственно. Среди приводимых для сравнения результатов, полученных с помощью других вариантов МКЗ, только онлайновый элемент моментальной схемы сходимости МКЗ достигает той же точности при небольшом (9КЗ) количестве элементов.

Элемент трубопровода с нестандартный поперечный сечением разбивался при расчетах на 8 КЗ (90 степеней свободы), см.рис.6. Максимальные напряжения возникают на внутренней или на внешней

Рис.6 ЭмЕМЕиТ трувопрозоЭа под внутренним ОавлЕнигм

Рис.7 Толстостенный ципинйр под внутренним давлением.

>вв'

\

°АА'

« ® - ЛОМЕ

--1-,--$---и-(--■+.,. — ( .....I ■

9.3 0.4 0.3 Об 0.7 0.0 0.9 Рис.6 Напряжения на рекрах АА* и ВВ°.

г/а

Рис.9 Развитие ьч элемента труеопроведа с перемычкой

поверхности, в зависимости от ширины перемычки. На рис.Я представлен график изменения напряжений в точках ребра М' и Ш' при изменении внутреннего радиуса по отношение к полудлина стороны поперечного сечения 2/й. Для тонких порошок ( г/а>0.7) максимальные напряжения возникает на середине стороны внешнего контура; для толстых перемычек ('¿/а<0.65) - на контуре отверстия (по линии проведенной через углы). Эти результаты хорошо согласуются с известными экспериментальными данными.

Две следующие модификации расчетной области представляют собой исследованный выше объект с одной перегородкой и с переодической решеткой перегородок при соотношении 2/0-0.8. Аналогичное для обоих случаев разбиение на 14 1(3 (560 степеней свободы) представлено на рис.9. Расчеты цроводились для различных значений длины Ь элемента трубопровода. Картина изменения напряжений б в точках А и В в зависимости от длины элемента трубопровода практически одинаковая для обоих случаев. График зависимости отношения б в ИОМ/( 6 нон - напряжение в элементе трубопровод!) без перегородок ). от .нормированной длины элемента трубопровода представлен на рис.10. Как и следовало ожидать, при достаточно большой величине Ь (Ь> 62) перегородка практически не оказывает влияние на напряжения в противоположном крайнем поперечной сечении, особенно для точек внешнего контура. В случае одной перегородки. напряжения в. точках 0 и В' (см.рис. 9) противоположны ло знаку и превосходят напряжения в точке А почти в три раза, напряжения в центре периодических решеток не превысили от значений в точке А.

б<-'бпом' 1.2

1.0

0.8

0.6

в трчке А

Т5--3----лТ—^1"

___- -

—»т

6 точке В

- * '

\

8 ТОЧКЕ С

Рис. 10 Нм1[,1?жен1!« а точка*, удаленны* от перц-пройки

В заключении ¿Формулированы основные результаты и выводы диссертации :

1. Для решения трехмерных задач теории упругости предложено использовать метод внешних конечноэлементных аппроксимаций,

2. Разработана матодика построения произвольного (выпукло-вогнутого) трехмерного конечного элемента для решения задач теории упругости.

3. Разработан алгоритм и научно-исследовательская программа для ПЭВМ на языке программирования ФОРТРАН, реализузующая расчет напряженно-деформированного состояния трехнорного упругого тела по методу внешних конечноэлемектных аппроксимаций,

'I. Проведена оценка эффективности использования предлагаемого конечного элемента на различных задачах теории упругости, имеющих аналитические и численные решения. Показана быстрая сходимость метода и различные возможности уточнения результатов расчета. В частности:

а) на многочисленных примерах показано, что и в случаях, где успешно используются классические методики построения элементов, новый подход демонстрирует высокую точность расчета как перемещений, так и напряжений при значительно меньших вычислительных затратах;

б) продемонстрирована возможность использования элемента сложной нестандартной формы и элементов, у которых один или два размера сильно отличаются от остальных, что иллюстрирует широкие возможности метода при расчете комбинированных конструкций из толстостенных и тонкостенных элементов;

в) показана возможность эффективного использования многогранного элемента с плоскими гранями при аппроксимации криволинейных областей;

г) «оказана возможность расчета на базе единого трехмерного элемента МВКА существенно трехмерных тел, пластин, оболочек, стержней, областей с концентраторами напряжений.

5.Исследованы некоторые конструктивные варианты трубопровода нестандартной формы и получены картины изменения напряжений в зависимости от соотношения их геометрических характеристик.

Основные положения работы изложены в следующих статьях: I. Долгова Т.А., Напрасников В.В. Разработка математического

обеспечения для моделирования сложных корпусных деталей на основе метода внешних конечноэлеиентных аппроксимаций //Материалы межреслубл. научно-лракт. конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение.-Мн.,1992.- С.196.

2. Долгова т.А. Вычисление элементов матрицы жесткости для трехмерного конечного элемента одного класса //Материалы 4?-Я научно-технической конференции Белорусского политехнического иститута:В 3-х ч,- Мн.,1992.-4.1.-С. 82.

3. Долгова Т.А. О новом подходе в конечноэленонтном анализе сложных конструкций//Колебания и волны в .экологии, технологических процессах и диагностике: Тезисы докладов международной конференции,- Ми., 1992.- С. 54.

'(. Долгова Т.А..Апаиович D.H. Использование метода внешних ко-нечиоэлементих аппроксимаций для расчетов трехнерного напряженно-деформированного состояния //XIX Гагарииские чтения : Тезисы докладов килодежной научно-технической конференции, апрель 1993: D 3-х ч. - N.: MATH, 1993. - Ч.З.- С.70-71.

5. Апаиович В.Н., Долгова Т.А. Практическая сходииость метода внешних конечноэлеиентных аппроксимаций при решении трехмерных задач теории упругости.- Деп.в ВИНИТИ 17.03.93, N 645-093

6. Апаиович В.Н.,Долгова Т.А. Метод внешних конечноалемеитных аппроксимаций в задачах теории упругости/'Тезисы докладов XXI научно-технической конференции в раинах "Международной недели науки".-Брест, 1994.

7. Прокопчук (Долгова)'Г.А., Напрасников В.В. Программное обеспечение по определению перемещений конструкций в методе конечный элементов при распространенных классах аозыуцелий//Х)0{1 студенческая научно-техническая конференция вузов Прибалтийских республик. Белорусской ССР и Молдавской СС1':Тезисы докладов: общественные науки,электрофизика.- Кишинев,1987.- с.67.

Я. Долгова Т.А. Применение метода внешних конечноэлеиентных аппроксимаций для решения трехмерных задач теории упругости// Материалы 50-й научно-технической конференции БГПА: В 2-х ч. Мн!, 1994 ip печати).

.....

Д1ЛПЗВЛ Татьяна Александровна

РАЗРАБОТКА КОШЧШХ ЭЖМЕНТОВ ДЛЯ ВНЕШНИХ АППРОКСИМАЦИЙ ТШНЕРШХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических ннук

_____________________Корректор М.П.Антонова ________.__________

Подписано в печать 27.10.94. Формат 60x84 /16. Бумага тип. » 2. Офсет, печать.

______Усл.печ.лл1^|2.__У?г1:иза.л. _____

Белорусская государственная политехническая академия. Отпечатано на ротапринте БГПА. 220027, Минск, пр.-Я.Скорины, 65,