Разработка конечных элементов для внешних аппроксимаций трехмерных задач теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ _ АКАДЕМИЯ

УДК 539. 3.517.962.1

ДОЛГОВА Татьяна Александровна

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ

ВНЕШНИХ АППРОКСИМАЦИЙ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1995

Работа выполнена в Белорусской государственной политехнической академии

Научный руководитель:

кандидат техн. наук, доцент В,П. Апанович,

до кто р техн. наук, профессор В.Д. Цветков

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат.наук, профессор В.Н. Абрашин

доктор физ.-мат.наук,

ст. науч. сотр. И,С. Куликов

Оппонирующая организация: Институт математического

моделирования АН России

Защита состоится " " декабря 1995 года в И-00 на заседании совета по защите диссертаций К 056.02.04 в Белорусской государственной политехнической академии 220027, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 65, главный корпус, к.201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан и ноября 1995 года.

Ученый секретарь доцент

Г. Л.Бахмат

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Метод конечных элементов ( МКЗ ) является мощным и универсальным_средством-численного--решения ~з1адач --------т е о рии"" уп ругости.

Полностью автоматизированный подход к прочностным расчетам требует1 более высокой степени надежности и точности результатов при минимизации затрат на их получение. Поэтому представляется актуальной разработка более совершенных высокоточных и эффективных зариантов МКЭ.

При применении МКЭ для решения трехмерных задач приходится сталкиваться и со специфическими проблемами. К ним относятся :

- "проблема размерности" .возникающая из-за необходимости введения большого числа степеней свободы;

- проблема постоения конечных элементов (КБ), обладающих широкими возможностями представления сложной геометрии;

- "проблема точности", т.к. конструкции представляются весьма небольшим набором конечных элементов , что приводит к большим погрешностям вычислений.

Данная работа посвящена развитии нового г.одхода з МКЭ - методу внешних конечнозлементных аппроксимаций - применительно к решению трехмерных задач теории упругости.

Отличительной особенностью метода внешних конечнозлементных аппроксимаций (МВКА) является построение несогласованных конечных элементов на основе теории внешних аппроксимаций пространств Соболева и вариационных уравнений краевых задач механики. Метод позволяет строить конечные элементы произвольной формы, предоставляет большую свободу выбора аппроксимирующих функций и ведет к значительному сокращению вычислительных затрат.

Имеющееся в настоящее время строгое математическое обоснование сходимости МВКА и указанные возможности практического характера позволяют предположить высокую прикладную эффективность метода в решении трехмерных задач, на что и направлена данная диссертационная работа.

Цель и задачи работы. Цель работы состоит в разработке схемы метода внешних конечнозлементных аппроксимаций применительно к решению трехмерных задач теории упругости и исследование ее прикладной эффективности.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить сле-

дующие задачи:

' - вывести соотношения для построения полиномиальных базисш функций произвольного трехмерного КЭ с плоскими гранями; з основе дискретизированной вариационной задачи теории упругое: получить формулы для построения матрицы жесткости и вектора на] рузки этого элемента с учетом граничных условий;

- разработать способ описания геометрии трехмерной модели схему контроля корректности задаваемой геометрии; разработав эффективный единый алгоритм анализа сложной геометрии трехмернс го КЭ с произвольно расположенными плоскими гранями;

- разработать алгоритм расчета по МВКА напряженно-деформиру« мого состояния трехмерного упругого тела; исследовать зффектш ность использования предлагаемого КЭ при решеннии различи* трехмерных задач теории упругости и его практическую сходимосч в зависимости от различных параметров аппроксимации и cTenet нерегулярности расчетной области.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Аппроксимация трехкомпонентного вектора перемещений на ба: полных пространств полиномов PK(U,U,M) и Р s(*t i,"t 2) с использованием граничных и внутренних степеней свободы.

Теоретическое обоснование вида матрицы жесткости трехмерно го несовместного конечного элемента с произвольно расположенные плоскими гранями.

Математические модели для расчета напряженно-деформирован ного состояния трехмерных упругих тел, основанные на метод) внешних конечнозлементных аппроксимаций.

Экспериментальное подтверждение прикладной эффективное разработанного КЭ при решении различных типов задач теории упру гости в трехмерной постановке. Исследование влияния порядков ап проксиыации и геометрических характеристик конечного элемента н точность вычислений.

Связь работы с крупными научными программами,темами. Диссертационная работа выполнена в рамках тем TI3-I33 ФФИ РБ, ГБ 92-54 МО РБ.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты выносимо на защиту работы получены соискателем лично.

Научная новизна работы состоит в том, что метод внешних конечнозлементных аппроксимаций впервые применен к решению трех

мерных задач механики деформируемого твердого тела.

" Для аппроксимации сложной трехмерной геометрии построен и использован новый _ко_нечный_элемент-с-произвольно~рас1к>ложенными —плоскими'гранями. Исследовано влияние различных параметров этого элемента на точность расчета как существенно трехмерных тел, так и областей, близких к двумерным и одномерным.

Практическая и -научная значимость работы заключается в дальнейшей разработке схемы метода внешних конечноэлементных аппроксимаций применительно к решению трехмерных задач.

Результаты работы могут быть использованы в организациях, которые занимаются разработкой и использованием систем автоматизированного проектирования массивных и составных конструкций.

Разработана методика построения трехмерного конечного элемента для внешних аппроксимаций вариационных задач теории упругости. Проведено исследование влияния на результаты расчетов порядков внутренней и граничной аппроксимации и степени нерегулярности расчетной области.

Выведенные соотношения и разработанные алгоритмы служат основой для составления программ конечноэлементного расчета. А тщательно проведенное практическое исследование эффективности предлагаемого подхода демонстрирует перспективные возможности таких программ и области их применения.

Экономическая значимость подученных результатов. Применение рассматриваемого КЗ в значительной степени снижает потребность в вычислительных ресурсах, т.к. позволяет проводить расчет комбинированных конструкций на базе единого элемента, аппроксимировать сложную геометрию меньшим числом элементов, проводить простое уточнение результатов и повысить точность расчетов. При этом возможно использование имеющегося программного обеспечения МКЭ (за исключением процедур построения КЭ). Последнее снижает затраты на внедрение разработок диссертации.

Достоверность научных положений и полученных результатов обеспечивается корректным использованием вариационной постановки трехмерной задачи теории упругости в перемещениях; имеющимся строгим математическим доказательством сходимости МВКА и теоретическими оценками точности, а также тщательными исследованиями точности и сходимости полученных численных решений путем сравнения их с точными аналитическими решениями и численными решениями

других авторов.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались йа Международной конференции "Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике" (Минск,1993); Межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, 1992); 47-й научно-технической конференции, посвященной 70-летию Белорусского политехнического иститута (Минск,1992); научно-техни-теских конференциях Белоруской государственной политехнической академии ( Минск, 19931,1994,1995); молодежной научно-технической конференции "XIX Гагаринские чтения" (Москва,1993); на семинаре кафедры численных методов и программирования Белорусского государственного университета (Минск,1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы ( 133 наименования). Работа изложена на 122 страницах, содержит 31 рисунок, 19 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована важность и актуальность вопросов, -решению которых посвящена диссертация, сформулированы цель и задачи работы, приведены аргументы, подтверждающие научную и практическую значимость полученных результатов, сформулированы основные положения выносимые на защиту .

- : П е~р-_в. а-я- - г л а в-а -содержит обзор работ, посвященных применению метода конечных элементов для решения трехмерных задач теории упругости. Рассмотрены трудности, возникающие при этом и существующие пути их устранения.

Перспективным направлением МКБ является построение несовместных элементов, для которых не требуется межэлементная непрерывность аппроксимирующих функций.

Одним из новых подходов в этой области является метод внешних конечноэлементных аппроксимаций (МВКА), строгое математическое обоснование которого дано В.Н.Апановичем.

Рассмотренные в литературе плоские и осесимметричные задачи

и-задачи изгиба пластин позволяют охарактеризовать МВКА как метод, который, наряду с сохранением "лучших черт класического

МКЭ,обладает новыми перспективнымивозможностями______________________________

--------В т о~р"""аГ"я~ глава посвящена разработке схемы метода

внешних конечнозлементных аппроксимаций применительно к решению трехмерных задач теории упругости.

В первом параграфе изложены теоретические основы построения конечного элемента по МВКА, приведены основные определения.

Пространство векторных функций V аппроксимируется некоторым конечномерны^ пространством Хь, называемый пространством конечных элементов.Классические схемы МКЭ основаны на использовании таких пространств аппроксимирующих функций, для которых Хь является конечномерным подпространством пространства Соболева Хь<= V. Такие аппроксимации называются внутренними.

При внешних аппроксимациях подпространство аппроксимирующих функций строится так, что это включение не выполняется. На межэлементной границе имеет место разрыв аппроксимирующих функций. Функции из Хь должны удовлетворять определенным требованиям, чтобы в пределе при 11->0 (сгущение сетки КЗ или увеличение размерности пространства аппроксимирующих функций) требуемое качество гладкости восстанавливалось т.е. выполнялось Хь с V,тогда имеет место знешняя аппроксимация.

Решения вариационных уравнений, соответствующих краевым задачам 2(П-ного порядка, ищутся з пространствах Соболева .Порядок пространственных задач теории упругости 2И=2. При этом (Ш=1) имеет место следующая теорема.

Теорема I. Пусть РК- аппроксимирующее пространство конечного элемента, Ч* I (1"<1<М)- линейно независимые на этом пространстве функционалы, определенные соотношением

ч> ,<р) = 5 з р1к М , (I)

(ЗКге

где <§Кгг гладкий участок грани; % - функции, определенные на границе КЗ; р|к - сужение функции р на 5Кге. Тогда пространство РК представимо в виде прямой суммы двух подпространств РЕ и Р2, таких что

Р2 = (р е Рк 1 Ч> »<р)=о , к им ] ,

где Рс - некоторое дополнение Рг. В пространстве Ре существует базис { Р4 }, удовлетворяющиий условию:

- Ч^к .

И любой элемент р Е Р однозначно представим в виде

М N-[1

Р= 2 ч> !<р) р? ♦ 2 ёк(р) р* , (2)

1=1 .. К=1

где £к(1<К<М-М) -коэффициенты называемые внутренними степеня! свободы, Ч5 4 (1<1<М) - граничными степенями свободы.

Таким образом, конечный элемент определен, если заданы сл< дующие множества: К - замкнутая непустая область в В"; РК - конечномерное пространство определенных на области К функций; от вечающее требованиям линейной независимости набора функционале Ч5 1<Р); 0,К - конечномерное пространство граничных аппроксимирз ующих функций области К ;Ре-подпространство пространства Р' Связный участок <ЗКГ границы элемента К<=Н3,который состоит из гладкого числа участков граней <§К Г( (подобластей той же ра: мерности) можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить ш область Кг евклидова пространства И2. Область Кг называется поверхностным элементом. Иа каждом поверхностном элементе нео( ходимо определить пространства Р*е аппроксимирующих функций.

Второй параграф посвящен построению трехмерного конечно1 элемента теории упругости с произвольно расположенными плоски! гранями. Приводятся доводы в пользу такой геометрии КЗ, обсуждг ются вопросы параметризации границ. Однако начальное описан} геометрии является недостаточным для дальнейшего вычисления не обходимых интегралов. Топологическая информация должна быть дс полнена сведениями о том, какая из сторон участка грани*являете внешней по отношению к определенному КЗ. Автором разработав подробные алгоритмы построения внешних нормалей к участкам грг ней произвольного (выпукло-вогнутого) многогранника.

Далее рассмативаются полиномиальные базисы аппроксимации Базисные функции поверхностных элементов являются полными полк номами ¿-ой степени: (Т) . 12 0< £1+£2

Эти функции порождают граничные степени свободы (I), коте рые в данном случае примут вид:

ч> л(и») = 5 tf 11;? 2 и» а В , 1=1^3 , j = , (з)

<зк„»

б

где N - число элементов базиса. Таким образом"для одного"участка грани"строится зИ граничных степеней свободы.

Пусть пространство аппроксимирующих функций Р - полное пространство^ полиномов -К-ой- степени: Тогда "каждая компонента вектора перемещений и=(111,и2,и3) может быть представлена в виде: К _

Ц 4 = Л - Ъ сх X а 2 , 1 = 1,3 (4)

|а|=о

где | СС | = | (X 1+СХ 2+ОС 3[ , оа - некоторый коэффициент.

Порядки полиномов К и ¿> называются порядками внутренней и граничной аппроксимации соответственно.

Базис исходного пространства РК алгебраически преобразуется для получения системы базисных функций элемента К. В пространстве конечных элементов Хь создаются базисные функции двух видов: с областью определения из двух смежных КЭ и И2, областью определения которой является отдельный КЭ. Тогда при аппроксимации Н1 пространством ХН любой функции ИбН1 ставится в соответствие аппроксимант Ц^Хн, который с учетом (2) имеет вид

М

иь = £ ч> ,(0) И? . а ак(и) Мк (5)

1=1 к=г

Далее подробно рассмотрен переход от дискретизированной вариационной задачи теории упругости к системе линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов. Краевой задаче трехмерной теории упругости эквивалентна вариационная задача отыскания функции К из Н, такой что:

а< и,и ) = и ) (6)

V и е И , где 1= (ц Е ( Н^Й) )'3, г 1 = о } V где Г1 - подмножество граничного множества элемента. Соотношение (б) в развернутой форме имеет вид:

3 3 3'

! Е б ы<и)е и(и) (?)

52 Ц=1 Я, 1=1 Г2 1=1

При решении дискретизированной вариационной задачи рассматривается линейная форма ан, состоящая из вкладов по всем элементам. Дискретизированное вариационное, уравнение должно удовлетворятся для любой базисной функции М? , М^ из Хн. т.е. :

ah( uh,

W? ) = f< W?_>.

,Qh( Uh/Wi.) = к )

L=, i.dlm Xh

~ Fi "

. F2 .

Система (8) линейных алгебраических уравнений Nh Nh , позволяет найти значения коэффициентов f t и 6t разложения (2). Для одного КЭ , в (8) надо подставить выражение (5) для Uh.

Тогда структуру матрицы жесткости элемента определит следующая теорема.

Теорема 2. Пусть базис аппроксимирующего пространства Xh состоит из функций двух видов НЕ.и WZ, описанных ранее.тогда система линейных алгебраических уравнений для одного КЭ имеет вид:

'ф. Bi L BI Фа „

где Ф 1- подматрица с элементами a«(Pi , Pj), Ф 2- с элементами йк(Р? , pf), Bi - с элементами йк(р^ , Р?), Ч). и'.£ - под-вектора граничных и внутренних степеней свободы. Вектор правой части F вычисляется как сумма интегралов в соответствии с (7).

Отметим, что вектор ё конденсируется путем стандартной процедуры. Далее, в соответствии с обычной технологией МКБ, на основе. матриц жесткости и векторов правых частей всех элементов разбиения формируется общая разрешающая система уравнений.При ее решении вычисляются значения граничных степеней свободы, а затем находятся значения внутренних степеней свободы. Полученные описанным способом коэффициенты используются для построения апп-роксиманта (5) вектора перемещений. Значения напряжений находятся по известным формулам с использованием частных производных базисных функций. Последние, в случае полиномиального базиса, вычисляются'по аналитическим формулам.

Автором, на основании (5) и (6) выведены формулы вычисления граничных степеней свободы для формирования базиса элемента. Подробно рассмотрены выражения для них при порядках граничной аппроксимации 4=0,1,2.

Для вычисления граничных степеней свободы и элементов матрицы жесткости необходимы интегралы по поверхности и объему КЭ. В рассматриваемом случае (полиномиальный базис, плоские участки граней ) все интегралы вычисляются по точным аналитическим формулам, что исключает значительный источник погрешностей.

.... Т р е т-ь я глава посвящена исследованию практической эффективности метода внешних конечноэлементных аппроксимаций при решении различных задач теории упругости в трехмерной поста-______новке,В качестве-модельньпг (тестовых)"рассмотрены хорошо изученные с помощью других подходов задачи, для которых имеются многочисленные результаты. Исследование сходимости метода при решении данных задач проводилось для различных сочетаний порядков внутренней и граничной аппроксимации, при различных разбиениях расчетной области и разной форме КЗ. Проведена оценка эффективности использования трехмерных элементов с плоскими гранями для расчета как масссивных тел, так пластин и стержней, как объектов с прямолинейными границами, так и криволинейных областей.

В задаче об одноосном растяжении параллелепипеда 1/4 расчетной области разбивалась на четыре шестигранных элемента. Расчеты проводились для различных значений соотношения толщины и длины стороны параллелепипеда (от 4/5 до 1/10) и порядках аппроксимации К= 2,3,4 и 4=0,1. Полученная погрешность возникающих в пластине напряжений (6 У=Ч) не превысила 1% от Ч.

Рассматривались также различные нерегулярные разбиения (рис.1), результаты которых практически совпали с регулярным разбиением. Отметим только, что максимальные межэлементные разрывы, полученые на ребре АА', не превысили 3.5% от значения соответствующей расчетной величины.

Затем рассмотрено НДС консольного параллелепипеда при изгибе. Расчеты по МВКА проводились для пяти вариантов разбиения (рис. 2), при 4=1 и К = 2,3,4. Результаты сравнивались с теоретическими, полученными с учетом влияния сдвига. При К = 3 погрешность -определения перемещений равна 1.25%, для нормальных напряжений она не превосходит 1%, для касательных - 5.6% по всем разбиениям (в частности - для модели 5 ,где элементы с невыпуклой областью составляют 2/3 от общего числа КБ).

Разрешающая система алгебраических уравнений для разбиения I на рис.2 включает всего девять уравнений, когда МКЗ с использованием стандартного 20-узлового шестигранного КБ достигает той же точности по перемещениям при использовании 164 уравнений.

На этом же примере продемонстрирована высокая устойчивость решения по отношению к искажению, когда отношение длины КЗ к величине его поперечного сечения изменяется от 4 до 40.

Зис. I Варианты нерегулярного разбиения параллелепипеда

Х<и1з>'

12(и 3 )

У 1 ъ.

. 1 .. 1

1

I I______ 1 4-.....

1/2

1 1____ 1 1 1 Т----

ЗЬ/8 1/4

1 1

ш 1/2

1 О: ■

21/8 1/4

Рис. 2 Варианты разбиения консольного параллелепипеда

а = Ь К/а. = 20

Рис. 3 Изгиб кривого бруса

- ■ - - "Для исследования универсальности" использования трехмерного КЗ при расчете тонкостенных объектов, проведен расчет изгиба параллелепипеда, у которого один размер существенно-меньше других,---------

--------т-е~рассмотрены" задачи изгиба пластин в трехмерной постановке.

С одинаковой точностью получены результаты для толстых (И/а = 5) и тонких (К/0= 0.001) пластин: погрешность определения перемещений и напряжений не выше 5% при введении 36 степеней свободы. Отметим, что для тонких пластин аналогичные результаты дает использование гибридных элементов изгибаемых пластин, считающихся наилучшими при расчете таких областей .

Для изучения возможности использования элементов с плоскими гранями при моделировании криволинейных областей, были рассмотрены задачи изгиба кругового консольного бруса и толстой кривой пластины (трехмерный аналог задачи Головина). !

На рис. 3 представлены различные варианты разбиения четверти бруса на I, 2 и Ч КЗ. Полученные значения перемещений сравнивались с теорией круговых стержней сопротивления материалов. Для четырехзлементного разбиения погрешность составила около 40%, снизившись до при 16 КЗ. Эти результаты приближаются по точности к современным криволинейным цилиндрическим элементам моментальной схемы метода конечных элементов и превосходят другие прямолинейные элементы.

На рис.А изображены два варианта разбиения половины толстой кривой пластины на шесть КЗ с различной степенью аппроксимации геометрии.При грубой аппроксимации геометрии ошибка определения нормальных напряжений в поперечном сечении составила почти 8% и снизилась до 2.1% при втором варианте разбиения.

В"заключение главы рассмотрены задачи о концентрации напряжений при растяжении тонкой и толстой пластины с отверстием (рис. 5). Ширина слоя элементов, прилегающих к отверстию, равнялась его радиусу <в МКЗ обычно не более 1/10 радиуса). Общее количество степеней свободы - 97,ширина ленты матрицы разрешающей системы уравнений - 51. Ошибка определения коэффициента концентрации напряжения невелика как для тонких, так и для толстых пластин (0.5% - 2.ф .

Полученное значение напряжения б г в средних по высоте точках полости с увеличением толщины пластины достигает существенных величин (при \\/Ъ=Ц .0 б ¡,=0.22). Это подтверждает необ-

Ы а=1/2 Г1/Г2=1/2

а/г=2/3

М

Рис. 4 Изгиб толстой криволинейной пластины

<- а/г = 16

_ г г з// 1 -

г / Гч * 1

■е- с а/2 . -ГУ

\/\

Рис. 5 Растяжение пластины с отверстием

Рис. 6 Элемент

трубопровода

Рис. 7 Разбиение 1/4 элемента

трубопровода с перемычкой

ходимость использования методов, содержащих все компоненты тензора напряжений при оценке прочностных характеристик толстых пластин.

____________Сравнение-результатов^с-расчетами"на""основе"""различных формулировок ЖЭ и метода граничных элементов вновь показывет превосходство предлагаемого метода.

Че.твертая глава посвящена расчетам элемента трубопровода, имеющего нестандартное поперечное сечение (рис.б) под внутренним давлением.

Первоначально решена задача для стандартного поперечного сечения т.е. был рассмотрен толстостенный цилиндр ( задача Ламе). Эта задача имеет аналитическое решение, что позволило оценить погрешность метода при расчете такого класса объектов.Четверть цилиндра разбивалась на 4 КЗ с общим числом степеней свободы равным 36. Исследована точность определения максимальных напряжений, возникающих на внешнем контуре. Ошибка составила 1°/, и для б * и б г соответственно.

Элемент трубопровода с нестандартным поперечным сечением разбивался при расчетах на 3 КЗ (90 степеней свободы), см.рис.6. Максимальные напряжения зозникают на внутренней или на внешней поверхности, з зависимости от ширины перемычки. На рис.8 представлен график изменения напряжений в точках ребра АА' и ВВ' при изменении внутреннего радиуса по отношению к полудлине стороны поперечного сечения 2/й. Для тонких перемычек ( 2/й>0.7) максимальные напряжения возникают на середине стороны внешнего контура; для толстых премычек (2/а<0.65) - на контуре отверстия (по линии проведенной через углы). Эти результаты хорошо согласуются с известными экспериментальными данными." -----Две следующие модификации расчетной области представляют собой исследованный выше объект с одной перегородкой и с переодической решеткой перегородок при соотношении 2/С1=0.В. Аналогичное для обоих случаев разбиение на 14 КЗ (360 степеней свободы) представлено на рис.?. Расчеты проводились для различных значений длины Ь элемента трубопровода. Картина изменения напряжений б в точках А и В в зависимости от длины элемента трубопровода практически одинаковая для обоих случаев. График зависимости отношения б/б ном (б ном - напряжение в элементе трубопровода без перегородок ) от нормированной длины элемента трубопровода Ь/2

.представлен на рис.9 Как и следовало ожидать, при достаточно большой величине Ь 62) перегородка-практически не оказывает влияние на напряжения в противоположном крайнем поперечном сече нии,особенно для точек внешнего контура. В случае одной перегородки, напряжения в точках Б и Э' (см.рис.7) противоположны по знаку и превосходят напряжения в точке А почти в три раза, напряжения в центре периодических решеток не превысили 5% от значений в точке А.

Ют а б 4 2

>ВВ'

V

АА'

/ о

Ламе

/

/ о'

г/а

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Рис. 8 Напряжения на ребрах АА' и ВВ'

Ж

1.2

1.0

0.6

" ж ^ в точке А

^ * ^ 1— - т-

1.5 — " V 3 4.5 — * " 6 _ - *-

в точке В Щ." \ в точке

- и/г

»

Рис. 9 Напряжения в точках, удаленных от перегородки

В заключении сформулированы основные научные результаты й выводы диссертационной работы:

___Метод внешних_конечнозлеыентных___аппроксинаций_ применен_ „к

решению трехмерных задач теории упругости.

Разработанная методика позволяет строить произвольный (выпукло-вогнутый) трехмерный конечный элемент для внешних аппроксимаций вариационных задач. На ее основе составлены алгоритм и научно-исследовательская программа для ПЭВМ на языке программирования ФОРТРАН, реализузующая расчет напряженно-деформированного состояния трехмерного упругого тела по методу внешних ко-нечноэлементных аппроксимаций.

Полученная оценка эфффективности использования предлагаемого конечного элемента свидетельствует о перспективности его применения. В частности:

- в случаях, где успешно используются классические методики построения КЭ, новый подход демонстрирует высокую точность расчета как перемещений так и напряжений при значительно меньших вычислительных затратах;

- возможно использование ■ элемента сложной нестандартной формы и элементов, у которых один или два размера сильно отличаются от остальных, что иллюстрирует широкие возможности метода при расчете комбинированных конструкций из толстостенных и тонкостенных элементов;

- возможна эффективная аппроксимация криволинейных областей многогранными элементами с произвольно расположенными плоскими гранями;

-предлагаемый элемент может служить для расчета существенно трехмерных тел, пластин, оболочек, стержней, областей с концентраторами напряжений на базе единого подхода.

Исследованы некоторые конструктивные варианты трубопровода нестандартной формы. Картины изменения напряжений в зависимости от соотношения геометрических характеристик получены с достаточной точностью при небольших вычислительных затратах.

Основные положения работы изложены в следующих статьях: I. Долгова Т.А., Напрасников В.В. Разработка математического обеспечения для моделирования сложных корпусных деталей на основе метода внешних конечноэлементных аппроксимаций //Ма-

териалы межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: матем тическое,программное и информационное обеспечение.-Мн.,199. - с.196. '

2. Долгова Т.А. Вычисление элементов матрицы жесткости для тре: мерного конечного элемента одного класса //Материалы 47-й научно-технической конференции, посвященной 70-летию Белору ского политехнического иститута: в 3-х ч,- Мн.,1992,- Ч.1.-с. 82.

3. Долгова Т.А. О новом подходе в конечноэлементном анализе сл< жных конструкций //Колебания и волны в экологии, технологических процессах, и диагностике: Тезисы докладов международна конференции,- Мн.,1992.- с.54.

4. Долгова Т.А..Апанович В.Н. Использование метода внешних' ю нечнозлементых аппроксимаций для расчетов трехмерного напр: женно-деформированного состояния //XIX Гагаринские чтения Тезисы докладов молодежной научно-технической конференци] апрель 1993: в 3-х ч. - МАТИ. М., 1993. - Ч.З.- с.70-71.

5. Апанович В.Н., Долгова Т.А. Практическая сходимость метода внешних конечнозлементных аппроксимаций при решении трехмерных задач теории упругости.- Деп.в ВИНИТИ 17.03.93, N 645-В'

6. Долгова Т.А. Применение метода внешних конечнозлементных а: проксимаций для решения трехмерных задач теории упругости// Материалы 50-й научно-технической конференции профессоров, преподавателей, научн. работников, аспирантов и студентов БГПА: в 2-х ч. - Мн., 1994,- с. 63

7. Апанович В.Н.,Долгова Т.А. Метод внешних конечнозлементных . прксимаций в задачах теории упругости//Тезисы докладов- XXI научно-технической конференции в рамках "Международной неде. науки".-Брест, 1994.- с.67-68.

8. Долгова Т.А. Трехмерный конечный элемент метода внешних конечнозлементных аппроксимаций// Тезисы докладов Белорусского конгресса по теоретической и прикладной механике "Ме-ханика-95" (Минск, 6-11 февраля).-Гомель, 1995. с.89-90, 30'

9. Долгова Т.А. Внешние конечнозлементные аппроксимации трехмерных задач теории упругости//Дифференциальные уравнения. -1995, N II.-с.

РЕЗЮМЕ

Долгова Татьяна Александровна

Разработка конечных элементов для внешних аппроксимаций трехмерных задач теории упругости

Ключевые слова: трехмерные задачи, теория упругости, конечный элемент, внешние конечноэлемеятные аппроксимации, степени свободы, матрица жесткости, перемещения, напряжения.

Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций применен к решению трехмерных задач теории упругости.

Бпервые построен несовместный конечный элемент, расположение и число граней которого - произвольно.

- Выведены соотношения для определения базиса, построения матрицы жесткости и вектора нагрузки этого КЗ.

Разработанная на их основе методика применена для расчета перемещений и напряжений трехмерного упругого тела.

На примере различных типов задач теории упругости продемонстрирована высокая прикладная эффективность предлагаемого подхода.

Результаты могут использоваться при разработке и модификации конечноэлементных программных пакетов з составе систем автоматизированного расчета и проектирования массивных и составных конструкций.

?33!СМЭ

Далгова Тавдяна Аляксандрауна Распрацоука канчатковых злементау для знепшх апракс!мацый

трохвымерных задач тзорьп пругкасш "

Ключавыя словы: трохвымерныя задачы, тзорыя пругкасц!, канчатко-вы элемент, знепшя канчатковаэлементныя апракс1мацы1, ступен1 свабоды, матрыца юрсткасд!, перамяшчзнне, напрута.

Метад знешшх канчатковаэлементных апракс1мацый выкарыстаны для вырашэння трохвымерных задач тзорш пругкасщ.

Упершыню пабудаваны несумесны канчатковы элемент, распала-жэнне 1 колькасць граней якога адзольныя.

Выведзены суадносты для атрымання базюа, пабудавання мат-

рыцы жорсткаст "i вектара нагрулсзння гзтагаКЭ.

Распрадаваная на ix аснове методика скарыстана для разл1ку перамяшчэнняу i напрут i трохвымернага пругкага цела.

На- прыкладзе розных тыпау задач тзорьь пругкасщ прадз-манстравана высокая прикладная эфектыунасць прапанаванага пады-ходу. I

BbiHiKi могуць быць выкарыстаны пры распрацоуцы i мадыфгка-цьи канчаткоЕазлементных праграмных пакетау у складзе систзм ау-таматызаванага разлхку i праектавання масдаых i складаных канструкдый. I

SUMMARY Dolgova Tatyana Alexandrovna Formulation and use of finite elements for external approximations of three-dimensional problems of elastisity.

Key words: three-dimensional problems, elasticity, finite element, external finite-element approximations, degrees of freedom, stiffness, displasements,.stresses.

Method of external finite-element approximations is applied to three-dimensional problems of elasticity.

In the thesis an incompatible convex-concave finite element is built, in which face arrangement and fase number are variable. That is formulated for the first time.

Basic functions, stiffness and element load are determined. An algorithm for calculating three-dimensional elastic displacements and stresses is presented.

...-.Various -tests-"-in- -elasticity-calculated by the author show superior character and high accuracy of computation.

Results obtained can be effectively used in computer-aided engineering for developing and modifying finite element program packets.