Разработка механической модели формирования и методов редукции позиционных ошибок телескопа Шмидта на основе уточненной нелинейной теории оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СОРОКИН ФЕДОР ДМИТРИЕВИЧ

РАЗРАБОТКА МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ И МЕТОДОВ РЕДУКЦИИ ПОЗИЦИОННЫХ ОШИБОК ТЕЛЕСКОПА ШМИДТА НА ОСНОВЕ УТОЧНЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

профессор Постов В. А.

доктор технических наук профессор Сарбаев Б.С.

доктор технических наук профессор Шаргородский В. Д.

Ведущая организация: ОАО «НПО «Алмаз» »

Защита диссертации состоится п 2004 года в

на заседании диссертационного совета Д212.141.03 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. НЭ.Баумана.

Автореферат разослан "23п 2003 ]

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико - математических наук, доцент

А.Ю.Карпачев

Подписано к печати "29" октября 2003 г. Объем 2 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 147т Типография МГТУ им. НЭ.Баумана

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Важнейшими характеристиками небесных тел являются их положения и векторы скорости Без этих данных нельзя судить о большинстве других характеристик небесных тел, например, об их массах, светимостях, принадлежности к определённым системам звёзд или галактик, определённым популяциям и т д.

Сетка координат на небе задаётся списком координат небесных тел, положения которых определены с наивысшей возможной на данной ступени развития астрометрии точностью. Говорят, что эти небесные тела задают фундаментальную систему. В настоящее время фундаментальная система определена координатами приблизительно 600 квазаров, положения которых измерены методом длиннобазовой радиоинтерферометрии. Квазары - очень далёкие внегалактические источники радиоизлучения очень малых угловых размеров. В оптическом диапазоне фундаментальную систему представляют приблизительно 100 ООО звёзд, астрометрические параметры которых измерены в ходе космического эксперимента HIPPARCOS (High Precision Parallaxes Collecting Satellite) в 1989-1992 гг. и с наивысшей возможной точностью привязаны к квазарам.

Все остальные астрометрические наблюдения имеют целью определение координат других небесных тел в этой стандартной системе координат. Такие наблюдения носят относительный характер. Другими словами, подходящими методами следует измерить положение определяемых объектов относительно фундаментальных в какой-либо произвольной системе координат и затем вычислением привести их к фудаментальной системе. На протяжении последнего столетия таким методом был фотографический метод

Фотографирование в астрономии производится почти исключительно на стеклянные фотопластинки. Точность современных измерительных приборов достигает 1 мкм. При этом размер изображений точечных объектов, звёзд, в лучшем случае составляет 30-40 мкм (при хорошем качестве оптики и хороших атмосферных условиях). Размеры астрономических негативов колеблются в пределах от нескольких сантиметров до нескольких десятков сантиметров. При вычислении сферических координат по результатам измерений необходимо принять редукционную модель - правило, по которому измеренные прямоугольные координаты переводятся в сферические. Редукционная модель должна учитывать все факторы, изменяющие взаимное расположение изображений звёзд. Это и аберрации оптической системы, и ошибки измерительного прибора, и преломление света в атмосфере Земли (астрономическую рефракцию), и деформацию фотопластинки.

РОС ЬМ.,"-НЦЛЬНАЯ

Ь> 1LKA 1

< >рг

200 6Р к

Методы учёта всех этих факторов, кроме деформации фотопластинки, хорошо известны Учёт деформации фотопластинки - новая задача, возникшая в связи с перемещением интереса астрономов в сторону всё более и более слабых объектов.

В настоящее время большинство наиболее интересных объектов являются слабыми, часто слабее 20™ (двадцатой звёздной величины). Для регистрации слабых объектов проводились фотографические обзоры всего неба. Все современные обзоры сделаны с помощью телескопа Шмидта Телескоп Шмидта - оптическая система, обеспечивающая большое поле зрения при высокой светосиле и высоком качестве изображения, что позволяет закончить обзор всего неба в разумные сроки (десять лет)

Вместе с тем телескоп Шмидта обладает существенным недостатком: его фокальная поверхность сферическая. Существует способ преодоления этого недостатка оптическим способом (линза Пиацци-Смита), но качество изображения при этом ухудшается. Другим способом, который, как правило, и применяется на практике, является деформация фотопластинки при фотографировании с целью придать ее поверхности сферическую форму. После фотографирования деформация снимается, и пластинка обрабатывается в приборе, предназначенном для плоских фотопластинок.

Определение точных координат требует учёта ошибок, связанных с деформацией фотопластинки во время фотографирования До последнего времени точно учесть эти ошибки не удавалось. Поэтому телескоп Шмидта считался непригодным для точного определения астрометрических параметров небесных тел. С другой стороны, координаты слабых объектов приобретали всё большее значение.

Из сказанного выше ясно, что повышение точности определения координат звёзд по материалам фотографических обзоров, является актуальным для многих областей астрономии. Фотографические обзоры, выполненные на Паломарском и Англо-Австралийском телескопах Шмидта (Паломарские обзоры POSS1, POSS2) имеют общемировое значение С оригинальных фотопластинок Паломарских обзоров сделано около 100 копий, которые распространены во все ведущие мировые астрономические центры. Очевидно, что и ошибки обзоров, а также методы Pix коррекции имеют общемировое значение.

Таким образом, решение казалось бы частной задачи учёта деформации фотопластинки в телескопе Шмидта, которой посвящена настоящая работа, на самом деле представляет собой решение проблемы превращения телескопа Шмидта в полноценный астрометрический инструмент.

Цели работы состоят:

- в выявлении и описании методами механики деформируемого твердого тела механизмов возникновения сложной картины

погрешностей фотографических обзоров, выполненных на базе телескопа Шмидта;

- в разработке высокоточных методов расчета позиционных ошибок телескопа Шмидта, позволяющих учитывать влияние механических и оптических явлений на формирование погрешности;

- в разработке методов корректировки систематических ошибок Паломарских (и других) обзоров звездного неба на базе полученных теоретических результатов с учетом конкретных особенностей конструкции телескопов в различные эпохи наблюдений.

Основные задачи, рассмотренные в работе.

Достижение целей, поставленных в предыдущем пункте, достигается решением ряда задач.

1. Анализ структуры поля погрешностей обзоров звездного неба, выполненных на базе телескопа Шмидта, и выявление как механических, так и оптических причин возникновения позиционных ошибок;

2. Разработка новых высокоточных методов и алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния фотопластинки, основанных на нелинейных уравнениях теории оснащенных упругих поверхностей;

3. Теоретический анализ и выявление основных закономерностей процессов формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта с использованием разработанных расчетных методов в зависимости от конкретных особенностей его оптико - механической системы;

4. Разработка высокоточных методов редукции наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта, использующих построенный математический аппарат, программно - алгоритмическое обеспечение и результаты теоретического анализа процессов формирования позиционных ошибок.

Научная новизна заключается в том, что впервые на основе разработанных методов расчета перемещений фотопластинки, использующих нелинейную теорию оболочек повышенной точности (теорию оснащенных упругих поверхностей), построена математическая модель формирования погрешностей, отражающая все основные источники указанного явления, имеющие механическую природу. О механических причинах позиционных ошибок телескопа Шмидта было известно еще с 50-х годов прошлого века, однако построить механическую модель деформации фотопластинки требуемой точности до сих пор не удавалось. С использованием разработанной модели впервые выявлены и количественно описаны закономерности формирования сложной картины погрешностей фотографических обзоров, выполненных на базе телескопа Шмидта.

Нелинейные уравнения оснащенных упругих поверхностей, точно учитывающие конечные повороты, во всех известных работах

з

рассматривались исключительно с теоретических позиций и никогда не применялись для решения практических задач. Это объясняется сложным тензорным характером уравнений и отсутствием готового программно-алгоритмического обеспечения для работа с этими уравнениями. В настоящей работе впервые уравнения оснащенных упругих поверхностей приведены к виду пригодному для применения численного метода (метода установления) и осуществлено их численное решение.

Для работы с тензорными уравнениями теории оснащенных упругих поверхностей разработано новое программное обеспечение, позволяющее обрабатывать векторы и тензоры, принадлежащие поверхности, как замкнутые единицы информации без перехода к проекциям и компонентам Следует отметить, что ни одна из общедоступных компьютерных систем математических вычислений, в частности MathCad, Maple, Mathematica такими возможностями не обладает.

Заметное влияние особенностей оптики телескопа (виньетирование, экранирование светового потока кассетой) на формирование позиционных ошибок до настоящей работы в литературе не обсуждалось, так как та часть позиционных ошибок, которая обусловлена влиянием оптики, была скрыта более значительной частью, вызванной упругими деформациями фотопластинки. До настоящей работы оценка влияния оптики на позиционные ошибки была затруднена также из-за отсутствия точных координат деформированной поверхности фотопластинки, на которой строится дифракционное изображение звезды. Таким образом, новые данные о координатах такой поверхности, впервые полученные в диссертации, весьма важны для оптики и создают надежную базу полного описания позиционных ошибок телескопа Шмидта.

Достоверность полученных результатов подтверждается

- применением фундаментальных положений (законов) механики деформируемого твердого тела;

- проверкой уравнений тензорной теории конечных поворотов на известных примерах из динамики твердого тела и механики стержней;

- проверкой уравнений теории оснащенных упругих поверхностей на примере осесимметричного изгиба оболочек вращения при больших перемещениях;

- сопоставлением решений одних и тех же задач (контактных и других) различными численными методами, использующими различные математические подходы, - методом конечных элементов в вариационной формулировке и методом установления (фиктивной вязкости) для системы нелинейных дифференциальных тензорных уравнений;

- практически полным совпадением наблюдаемого распределения позиционных ошибок, зафиксированного в Паломарских обзорах с аналогичным распределением, найденным теоретически с

использованием численных методов при решении контактной задачи для фотопластинки, прижатой рамкой к сфере (расхождение не превышает 3-4%);

- тщательным тестированием используемого программного обеспечения, а именно конечноэлементного комплекса ENERGY, специально разработанного для решения нестандартных задач, и систем преобразования математических структур с тензорными данными численного характера Tensalg и аналитического характера Tensors;

- положительным опытом использования разработанных методов, численных и аналитических результатов в практике редукции наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что предлагаемые модели и методы позволяют впервые практически решить проблему превращения телескопа Шмидта в точный астрометрический инструмент. Шмидговские обзоры все еще остаются единственным источником высокоточных (в смысле фотографической астрометрии) положений и собственных движений сотен миллионов слабых объектов, и это положение сохранится - во всяком случае, в отношении объектов в интервале 17-20х звездных величин еще 10-20 лет. Очень сложная картина погрешностей Паломарских обзоров, совершенно непривычная для классической фотографической астрометрии, не позволяла это сделать до настоящего времени.

Существующие методы астрометрической редукции Шмидтовских обзоров основываются на использовании полиномиальных моделей высоких порядков или на аппроксимации осредненных остаточных уклонений для опорных звезд (т.н. маски и фильтры). Оба подхода не отвечают на вопрос о причине сложных систематических ошибок, присущих Шмидтовским наблюдениям, и, кроме того, сами порождают дополнительные систематические ошибки, вызванные низким качеством изображений (как правило, довольно ярких) опорных звезд на Шмидтовских пластинках. Так, например, методы, основывающиеся на осреднении остаточных уклонений для опорных звезд, приводят к появлению так называемого уравнения блеска (зависимость координаты звезды от ее яркости).

Указанные попытки учета систематических ошибок нельзя признать удачными: они не прояснили природы ошибок и не смогли существенно повысить качество астрометрической редукции Шмидтовских наблюдений. В отличие от других методов редукции Шмидтовских обзоров, предлагаемый в работе метод учета систематических ошибок не опирается ни на полиномиальную редукцию высокого порядка, ни на остаточные уклонения для опорных звезд и, как следствие не приводит к появлению уравнения блеска. Более того, при точном приведении на видимое место в предлагаемом подходе можно ограничится простейшей редукционной

5

моделью, что позволяет использовать для редукции только слабые опорные звезды, отличающиеся высоким качеством изображения.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах:

- на Ломоносовских чтениях (МГУ им М.В Ломоносова, 1999);

- на 7-й Всероссийская научно-техническая конференция «Состояние проблемы измерений» (Ml ТУ им Н Э Баумана, 2000);

- на научно - технической конференции, посвященной 170- летаю МГТУ (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000);

- на астрономической конференции (Казань, 2001);

- на научном семинаре кафедры «Оптика и лазерная техника» (МГТУ им Н.Э Баумана, РЛ-2,2001);

- на конференции «Околоземная астрономия XXI века» (Звенигород, 2001);

- на научном семинаре астрометрического отделения Государственного Астрономического Института им П.К.Штернберга (ГАИШ, 2002);

- на научном семинаре кафедры «Прикладная механика» МГТУ под руководством профессора В А Светлицкого (МГТУ им Н.Э.Баумана, 2002).

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 17 печатных работах (научных статьях, материалах конференций).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы из 104 наименований и 3-х приложений с описанием конечно элементного комплекса ENERGY и методик численной обработки величин тензорного характера. Работа изложена на 267 страницах, содержит 94 рисунка и 11 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность темы диссертации, сформулированы конечная цель исследования и решаемые задачи, приведена научная новизна и практическая значимость исследования.

В первой главе изучено состояние рассматриваемой проблемы и проведен анализ работ, имеющих отношение как непосредственно к телескопу Шмидта, так и к нелинейным теориям оболочек и решению контактных задач для пластин и оболочек.

Приводится краткое описание конструкции телескопа Шмидта (рис.

б

Рис. 1 Схема Англо-Австралийского и Паломарского телескопов Шмидта

Для исправления сферической аберрации в данной системе используется тонкая стеклянная асферическая пластинка сложной геометрии, расположенная в центре кривизны главного зеркала. Описываются преимущества оптической системы телескопа Шмидта перед телескопами других систем - очень большое поле (6.5°х6.5°), хорошее качество изображения и большая светосила. Благодаря этим особенностям телескоп Шмидта используется как основной инструмент получения фотографических обзоров звездного неба С помощью телескопов Шмидта все небо уже покрыто фотопластинками несколько раз

Недостатком телескопа является кривое поле - сферическая фокальная поверхность. Для придания фотоэмульсии сферической формы плоскую фотопластинку деформируют в специальной кассете, состоящей из двух деталей - сферического основания и квадратной рамки. Сферическое основание покрыто тонким слоем пластика для предотвращения прямого контакта металла и стекла.

Обсуждаются причины возникновения позиционных ошибок телескопа. Наибольший вклад в формирование погрешности вносит деформация фотопластинки. Размеры фотопластинки - квадрат 355x355мм при толщине 1мм. Перемещения фотопластинки превышают толщину более

чем в 10 раз (рис. 2), что влечет существенное растяжение-сжатие срединной поверхности.

Рис. 2. Деформирование фотопластинки в кассете телескопа

Величина деформаций доходит до 0.001 что довольно много для материала фотопластинок - стекла. Это подтверждается разрушением значительной части фотопластинок (20-30%) в тестовом прессе -устройстве предварительного контроля фотопластинок.

Механизм возникновения искажений довольно несложен. Как известно из геометрии уложить плоскую поверхность на сферу без разрывов и складок невозможно, так как их гауссовы кривизны не совпадают. Поэтому помимо неизбежной деформации изгиба за счет увеличения кривизны при этой операции должны возникать деформации растяжения - сжатия в срединной поверхности пластинки и перемещения в касательной плоскости (рис. 3)

Представлен обзор методов редукции Шмидтовских наблюдений, в котором показано, что до недавнего времени основным инструментом построения редукционных моделей был метод наименьших квадратов До 1999г. практически единственной работой, в которой возникновение позиционных ошибок телескопа объясняется с позиции теории пластин -оболочек была работа Shepherd W.B. The deformation of a photographic plate in a Schmidt camera // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1953. V.113 No.4. P.450-454.

Рис. 3 Смещения точек фотоэмульсии при деформировании фотопластинки

В этой работе рассматривается круглая фотопластинка, прижатая к сфере, и выводится кубический полином для ошибок координат звезд, вызванных деформациями фотопластинки. Несмотря на очевидные недостатки - осесимметричный характер решения и наличие отрицательного контактного давления в периферийной области фотопластинки, решение Шеферда очень популярно у астрономов и применяется для обработки реальных квадратных фотопластинок С 1953г до 1999г. вышло только две работы Dieckvoss W и Абеле M К., Абеле Г Э, написанные не механиками, а астрономами, в которых делаются попытки учесть деформации фотопластинки путем решения уравнений теории пластин.

Другие довольно многочисленные работы посвящены построению полиномиальных моделей различного порядка от различного количества переменных. Обзор таких подходов изложен в статье Morrison J.E., Smart R.L., Taff L.G. Do we need to model plates at all? // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1998. V.296. No.l. P.66-76. В этой статье показано, что указанные попытки учета систематических ошибок нельзя признать удачными; они не прояснили природы ошибок, породили дополнительные проблемы в форме "уравнения блеска" и не смогли существенно повысить качество астрометрической редукции Шмидговских наблюдений. Во всех рассмотренных работах отсутствует количественный анализ наиболее

9

существенной причины возникновения позиционных ошибок телескопа -деформации фотопластинки во время экспозиции

Таким образом, в астрометрии возникла острая необходимость привлечения для решения рассматриваемой проблемы методов, характерных для нелинейной теории пластин-оболочек. В связи с этим в первой главе дается анализ развития теории и методов расчета пластин-оболочек при больших перемещениях. В нелинейных теориях выделены два наиболее важных направления.

Первое направление, основоположниками, которого были Карман и Фепль характеризуется квадратичными нелинейностями в выражениях для деформаций срединной поверхности пластины. В теории оболочек это направление развито Л.А.Шаповаловым. Недостатком этого направления является ограничение углов поворота. Большие повороты совсем необязательно сопровождаются большими деформациями (при жестких больших поворотах деформаций нет совсем). Однако, уравнения квадратичной теории пластин Фепля - Кармана неиндифферентны по отношению к жестким поворотам и поэтому не могут быть геометрически точными. В Паломарских фотопластинках максимальные повороты не превосходят 5е, однако, с учетом необычно высоких требований к точности вычислений перемещений фотоэмульсии, такие повороты должны рассматриваться как большие. Количественный анализ показывает недостаточную точность квадратичного варианта нелинейной теории пластин для задач рассматриваемого типа. Перемещения точек фотоэмульсии в плане требуется находить с погрешностью 1мкм (цена деления измерительного прибора), в то время как вертикальные перемещения фотопластинки составляют ЮОООмкм, а горизонтальные 200мкм. То есть речь идет о погрешности в доли процента.

Второе направление нелинейной теории оболочек, которое принято называть "теорией оснащенных упругих поверхностей", не ограничивает величину поворотов. Уравнения этого направления не содержат никаких геометрических упрощений. Разумеется, переход от реальной оболочки к ее математической модели - оснащенной упругой поверхности и здесь выполняется на основе некоторых гипотез, но поведение математической модели описывается совершенно точными уравнениями. Отказ от упрощений оплачивается сложным тензорным характером разрешающей системы уравнений. Хотя перемещения и повороты считаются произвольными, но деформации в тонкостенной конструкции могут оставаться малыми, при этом уравнения состояния (связь напряжений и деформаций) принимаются линейными Существует несколько вариантов уравнений теории оснащенных упругих поверхностей, которые отличаются лишь деталями. Общим недостатком всех вариантов является их непригодность к решению практических задач в связи со сложным

ю

нелинейным характером уравнений и отсутствием программного обеспечения пригодного для решения тензорных уравнений.

В итоге результат анализа существующих нелинейных теорий пластин - оболочек и методик расчета тонкостенных конструкций можно сформулировать следующим образом: несмотря на обилие работ в данной области готовых инструментальных средств для расчета перемещений фотоэмульсии деформированных фотопластинок, учитывающих особенности проблемы, нет. Традиционный квадратичный вариант Фепля -Кармана недостаточно точен, а нелинейные тензорные уравнения теории оснащенных упругих поверхностей требуют существенной доработки для их численной реализации и разработай специального программного обеспечения.

Во второй главе разработана механическая модель фотопластинки, обеспечивающая требуемую точность вычисления смещений фотоэмульсии. Так как математический аппарат геометрически точной нелинейной теории оболочек - теории оснащенных упругих поверхностей, которая здесь принята за основу, довольно специфичен, то выводы формул приведены весьма подробно Использована символика "прямого" тензорного исчисления, заимствованная из монографий А И Лурье и К.Ф.Черных.

В связи с тем, что повороты рассматриваются как большие, приведены известные и малоизвестные сведения из векторно-тензорной теории конечного поворота, в частности выражения для тензора поворота и его производной

L = Ecos9+ee(l-cos0)+exEsm0, dL

— = coxL dt

„ d9

В = - (E sin e + (0 - sin 0)ee + (1 - cos 6)exE))

9 '

_ &

где e - j^j - орт оси поворота , 0 =|Э| - угол поворота, Е - единичный

тензор, ее -диадное произведение единичных ортов, ехЕ-кососимметричный тензор, вычисляемый как векторное произведение орта оси поворота и единичного тензора, В - тензор, сопровождающий поворот (название автора)

Удобства аппарата прямого тензорного исчисления проиллюстрированы двумя примерами из других разделов механики -приведены вариационные выводы известных уравнений движения твердого

тела с одной неподвижной точкой и уравнений больших перемещений гибкого стержня. В обоих случаях не потребовалось перехода к проекциям и компонентам, то есть выкладки производились в замкнутом виде. В случае гибкого стержня применялась техника получения геометрических соотношений и соотношений упругости на основе известных уравнений равновесия. Преобразование уравнений равновесия в геометрические уравнения выполнено вариационным путем. Техника вывода состоит в том, что из работ невязок уравнений равновесия на виртуальных перемещениях составлен функционал, который преобразуется по частям. Если знак вариации удается вынести за знак интеграла, то множители при силовых факторах оказываются искомыми выражениями для деформаций и компонент изменения кривизны.

Описанная выше техника применялась и для вывода общих нелинейных уравнений гибкой оболочки. Полученный результат оказался малопригодным для численных приложений в силу его излишней общности (полученный вариант отличается от известных вариантов теории оснащенных упругих поверхностей лишь деталями) С целью подготовить уравнения к применению численного метода они были значительно преобразованы В результате получена цепочка формул, позволяющая по заданным перемещениям находить деформации и повороты, затем внутренние силы и моменты, и, наконец, распределенные нагрузки, удерживающие оболочку в равновесии при заданных перемещениях.

Разрешающая система уравнений имеет следующий вид. Деформации я повороты

• (Vr)T ( тензор кратностей деформаций),

L = (л-1 • Vr + n0n)T (тензор поворота),

е = Л - Е0 (тензор деформаций),

Изгибания поверхности

(тензор изменения кривизны, тензор

изгибаний),

Соотношения упругости

_ Eh _

(1—ц*)^ + Ц$р(е) Е0 ) (тензор мембранных усилий),

M«y«=D( (1-ц) ® + jaSp(®)E0 ) (симметричныйтензор моментов),

Тензор моментов

М = (-М ^ xn0)«LT (несимметричный (полный) тензор моментов), Тензор сил

Q = А-1 • (V • М)* L х п0 (вектор поперечных сил),

*Р= | (V« М)» L«n0 (поправка тензора сил), Sp(A)

Р = (Т + *FE0 х n0 + Qn0) • LT (полный тензор сил), Распределенные нагрузки

q = -V • Р.

Представленная система точно учитывает конечные повороты и предназначена для вычисления усилий, моментов и распределенных нагрузок по заданным перемещениям Деформации, однако, считаются малыми, то есть вариант теории аналогичен уравнениям механики гибких стержней Систему можно рассматривать как нелинейный дифференциальный оператор, восстанавливающий нагрузки по заданным перемещениям. Порядок системы 8й, как и должно быть в теориях Кирхгофовского типа (здесь поворот материального элемента совпадает с поворотом поверхности)

Некоторые детали вывода этой системы учтены впервые, в частности инвариантная поправка аналогичная поправке Балабуха-Новожилова (кососимметричная составляющая тензора сил с множителем у). В классической теории оболочек поправка Балабуха-Новожилова не является инвариантной и поэтому не может быть удобно представлена через тензоры. Кроме того, выражение тензора изгибаний ж через градиент поворота и тензор, сопровождающий поворот В, является совершенно новым и не встречается в таком виде ни в одной, известной автору, работе

В представленной выше системе применяются весьма специфические операции на поверхности, для которых нет готовых реализаций ни в одном известном компьютерном математическом пакете, хотя тензоры, реализованы во многих пакетах, например, Maple или Reduce В связи с этим для решения поставленной задачи разработано специальное программное обеспечение, нацеленное на обработку векторов и тензоров, связанных с поверхностью Численные операции запрограммированы на языке Pascal, а аналитические на языках систем Mathematica и Reduce Некоторые из них представлены в следующих таблицах

Алгебраические операции

Название Сокращенное математич. обозначение Расширенная индексная запись Компьютерная процедура в Тепва^.рав

Скалярное произведение А *В АцВ1к 8са1(А,В)

Векторное произведение АхВ ^Чекш1®тп Уес1(А,В)

Диадное произведение АВ ЕНа<1(А,В)

Двойное скалярное произведение А ••В АД В1;5са1(А,В)

Универсальное произведение Аох«В А*хВ АдкбщцВрфс АуБ^В^ ШУ(А,'<1У8\В) ШУ(А, 'яу' ,В)

След вр(А) Аи Бр(А)

Векторный инвариант \У11(А) = АХ ЩА)

Функция от тензора {(А) Арр1у(^А)

Тензор поворота Ь = еЕх" Ехр(врш(а)) Уегзог(а)

Дифференциальные операции

Название Математич. обозначение Индексная Запись Компьютерная процедура

Градиент на поверхности Уа да 8,- да{ §гаё2(а,а1£Ье^

Ротор на поверхности УхР д¥ в, х- да, го12(Б,а1£ЬеО

Дивергенция на поверхности д¥ 1 да, Лу2(Р,а1^ЬеО

а - *20 * П0 „ _ П0 * *10

где 1 _ д c¡n y ? 2 ~ A sin V - векторы, построенные

Л10 SU1 Л О 20 sm К О

из ортов естественного трехгранника и параметров Ламе срединной поверхности в исходном состоянии.

Контроль разработанного программного обеспечения осуществляется целой системой тестов. Каждый тест, представляет собой векторное или тензорное тождество. Например, в качестве теста используется тождество V х К0 = п0 х Kg, которое означает, что ротор тензора кривизны

поверхности выражается через квадрат того же тензора. Таких тождеств при контроле проверяется несколько десятков.

Разработанное программное обеспечение позволило оценить точность традиционной квадратичной теории пластин Фепля-Кармана В уравнения квадратичной теории были подставлены функции перемещений, характерные для Паломарских фотопластинок. По заданным перемещениям вычислены, соответствующие им распределенные нагрузки Те же нагрузки вычислялись и по геометрически точным уравнениям оснащенных поверхностей. Сравнение показало, что касательные составляющие распределенных нагрузок, вычисленные по двум теориям весьма близки, а нормальные составляющие отличаются более чем на 13%, то есть весьма заметно при требованиях к точности, характерных для данной задачи. Как показало дальнейшее исследование, квадратичная теория пластин дает отрыв фотопластинки от сферы при решении контактной задачи с погрешностью более 10%, то есть того же уровня, что и отмеченное выше расхождение нормальных нагрузок. Таким образом, показано, что применение уравнений уточненной теории оболочек при решении рассматриваемой задачи является необходимым.

Несмотря на недостаточную точность уравнений квадратичной теории пластин они гораздо проще и дают хорошее приближение к окончательному решению. В связи с этим большинство задач в диссертации решаются в несколько этапов. Первоначальное приближение находится по квадратичной теории, а затем уточняется по геометрически точным уравнениям оснащенных поверхностей. Как правило, первоначальное приближение находится методом конечных элементов. Применяются специальные конечные элементы, в которых изначально выделено некоторое базовое состояние и ищутся малые поправки относительно него. Так как такие элементы обычно не предусматриваются в распространенных конечноэлементных системах, то решение производилось конечноэлементным комплексом ENERGY, разработанным автором специально для решения нестандартных задач. Основное отличие комплекса ENERGY от других состоит в упрощенной процедуре разработки конечного элемента. Для внедрения нового конечного элемента в ENERGY

нужно составить выражение (или процедуру) вычисления полной энергии элемента. Все остальные действия по формированию системы уравнений, ее решению и выводу результатов комплекс ENERGY выполняет автоматически. При формировании специальных конечных элементов пластины энергия разбивается на основную и дополнительную части. Основная часть соответствует базовому состоянию и не учитывается. Все выкладки производятся только с дополнительной частью. Такие конечные элементы с разделением энергии на большую и малую части позволяют на порядки снизить вычислительные затраты и повысить точность.

В третьей главе вопросы, затронутые в диссертации, рассмотрены в приложении к телескопу Шмидта с круглыми фотопластинками. Это объясняется следующими причинами:

1) Круглые фотопластинки, хотя и редко, но все же применяются в некоторых системах, в частности, в конструкции телескопа Шмидта СГОА (Centro de Investigaciones de Astronomía);

2) Классическое решение Шеферда, которое до недавнего времени было единственным общим результатом в рассматриваемой проблеме, построено для круглой фотопластинки;

3) Осесимметричная задача для круглой фотопластинки является одномерной и решается гораздо проще двумерной задачи для квадратной фотопластинки. Это позволяет довольно несложно оценить влияние на позиционные ошибки многих факторов, таких как отрыв фотопластинки от сферы, поперечные сдвиги, трение и т п.

4) Так как осесимметричная задача допускает решение многими различными методами, то это предоставляет возможность тестирования и контроля нетрадиционных методов.

Основным содержанием главы является анализ классического решения Шеферда Решение Шеферда, опубликованное еще в 1953 г, до настоящего времени было единственным общим результатом в изучаемой проблеме. Это решение настолько прочно вошло в астрономическую практику, что оно используется без всякого анализа и применяется как единственное средство редукции Шмидтовских наблюдений даже в компьютерных программах, распространяемых на международном уровне.

Шеферд рассмотрел круглую плоскую фотопластинку, полностью прижатую к сфере. Его решение было построено на следующих предположениях:

(1) Пластинка остается упругой и изотропной во время деформации.

(2) Пластинка контактирует со сферической опорой без зазоров по

всей поверхности.

(3) Трение между пластинкой и сферической опорой отсутствует

(4) На краю пластинки нет радиальных усилий

Предсказываемое решением Шеферда угловое смещение положения звезды в радиальном направлении е, вызванное деформацией, имеет вид:

16 48

где р. - коэффициент Пуассона материала (в данном случае - стекла), из которого изготовлена пластинка, у » а/Я - угловой радиус поля зрения (от центра пластинки до прижимного кольца) в радианах, а -радиус круглой пластинки, Я - радиус сферы (равный фокусному расстоянию телескопа Шмидта), X - угловое расстояние точки пластинки от центра, в радианах

В диссертации приводится другой вывод этой поправки вариационным методом. При этом получается формула для радиальных перемещений точек срединной поверхности, отличная от решения Шеферда

_ 1-цга2 3-ц г3 и~ 16 16 я2

Как показывает анализ отличие этой формулы от решения Шеферда связано с практикой измерения расстояний в астрономии в угловых единицах Шеферд неявно принимает за отсчетное состояние фотопластинки не исходное плоское состояние, а некоторое промежуточное положение, которое получится, если укладывать фотопластинку на сферу перемещая ее точки строго по нормали к сфере. Очевидно, что угловые координаты при этом остаются неизменными, чего нельзя сказать о радиальных перемещениях.

Как уже было сказано выше, формула, полученная Шефердом для круглой фотопластинки, продолжает широко использоваться в практике редукции наблюдений, зафиксированных на квадратных фотопластинках Это можно объяснить традицией, а также тем, что формула Шеферда объясняет наиболее существенный дефект телескопа - так называемую кубическую дисторсшо. Применение решения Шеферда на промежуточном этапе редукции наблюдений создает у астрономов ощущение выполненного долга и позволяет им утверждать, что упругие деформации учтены Указанная практика неаккуратного использования поправки Шеферда должна быть подвергнута критике, по следующим причинам.

Кубическая дисторсия всегда учитывается в редукционных полиномиальных моделях, поэтому решение Шеферда, по сути, не вносит ничего нового. Численный эксперимент показывает, что редукция полным

кубическим полиномом, выполненная с учетом поправки Шеферда и без нее дает практически одинаковые результаты.

Решение Шеферда само по себе является неточным, так как из него следует "парадокс отрицательного давления". Как отмечает сам Шеферд, в периферийной области фотопластинки контакт невозможен, так как контактное давление, определяемое формулой

F 8R3V '

г

становится отрицательным в области г > а/л/2 , Таким образом решение Шеферда становится возможным, только если к части пластинки приложить внешнее давление, причем переменной величины. Отсутствие такового неизбежно должно привести к неплотному прилегании части пластинки к сфере Отставание пластинки от сферы равносильно укладыванию ее на поверхность отличную от сферы. Разумеется, изменение опорной поверхности неизбежно должно сказаться на всей картине перемещений точек фотоэмульсии, что и происходит на самом деле.

Для выяснения ошибки, которую вносит предположение Шеферда о двустороннем контакте, была решена контактная задача для фотопластинки прижатой к сфере только по контуру. Решение строилось различными способами и по теориям различной точности При решении задачи по квадратичной теории пластин предполагалось наличие центральной зоны контакта и периферийной зоны отрыва, граница между которыми находилась итерациями. Контроль этого решения осуществлялся МКЭ с разделением решения на базовое (решение Шеферда) и малые поправки Геометрически точные уравнения осесимметричного изгиба решались методом установления (метод фиктивной вязкости), в котором вместо уравнений равновесия рассматриваются уравнения вязкого движения i

С„ ^ = -(Ч, cosd + q, sin S),

at .

c„ = ч-q, sind+q3 eos 9) ot

За начальное состояние принималось решение Шеферда, затем на каждом шаге по времени определялись неуравновешенные распределенные нагрузки, которые указывают точкам фотопластинки направление движения в фиктивной вязкой среде. Если точка пытается проникнуть под сферу, то она удерживается на сфере в нормальном направлении, при этом никаких ограничений на движение в касательном направлении не накладывается.

Процесс останавливался, когда неуравновешенные нагрузки становились малыми. Таким способом была решена контактная задача.

Результаты показывают (рис. 4), что решение Шеферда в самом деле содержит существенную погрешность за счет того, что не учитывает отрыв фотопластинки от сферы. Если же его учесть, то касательное смещение фотоэмульсии будет отличаться от решения Шеферда на 3%. Для Паломарских фотопластинок при уровне касательных перемещений 200мкм, это составит около бмкм, что намного больше погрешности измерений, которая составляет 1мкм.

д»

80

60 40 20 0

V'

/ л

/ \

/ V

Дкф

50

100

150

/л'"

'\

\

\

20 0 -20 -40 -60 -80 -100

(Ь)

200 г

0

0.010

0.005

50

100

150

200 г

(«0

0 30 100 150 200 0 50 100 150 200

г г

Рис. 4. Решение модифицированной задачи Шеферда с учетом отрыва фотопластинки от сферы (г - радиус, мм; иф,Д\у - радиальное перемещение фотоэмульсии и отрыв от сферы, мкм; р - контактное давление, МПа; Лиф - отклонение от поправки Шеферда, мкм)

Метод установления довольно редко применяется в расчетной практике в связи с его медленной сходимостью. Однако, как оказалось, этот метод весьма эффективен для рассматриваемых задач, так как здесь он применяется всего лишь для уточнения решений, найденных по более простым уравнениям. Так как уточненное решение очень мало отличается от приближенного, то требуется сравнительно мало итераций метода установления. Здесь он удобен еще и потому, что позволяет сравнительно

легко решать контактные задачи. Достаточно все лишь ограничивать движение точек фотопластинки по нормали к контактной поверхности.

Так как метод установления допускает нелинейности любой сложности, то он применялся еще и для оценки влияния различных факторов на точность решения. Оценивалось влияние поперечных сдвигов и трения между фотопластинкой и покрытием сферы. Как показано в известной монографии Григолюка Э.И и Толкачева В.М. эти факторы могут оказать существенное влияние на распределение контактных усилий. Учет поперечных сдвигов был сведен к замене одного из геометрических соотношений на более сложное

9 = -аг^е

И?

сЫг ¿г

-уц совд

<)и

1+ 3— <1г

У1з =

СЬ'

(гипотеза Кирхгофа получается при у« = 0). Как показали расчеты, распределение контактного давления, в самом деле, изменяется, но только в окрестности границы центральной контактной зоны. На величину перемещений учет поперечных сдвигов почти не влияет. Такие же выводы делаются и в отношении трения между фотопластинкой и покрытием сферы. Вычислительный эксперимент с использованием метода установления показывает, что даже очень большой коэффициент трения порядка 1 приводит к изменению перемещений фотоэмульсии меньшим долей микрона. Таким образом, поперечные сдвиги и трение являются несущественными факторами в контактных задачах рассматриваемого типа. Разумеется, и для квадратных фотопластинок Паломарских обзоров будут справедливы аналогичные оценки. То есть и при решении контактной задачи для квадратных фотопластинок трение и поперечные сдвиги можно не учитывать.

Четвертая глава посвящена изучению механизма формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта для проектного положения фотопластинки в кассете телескопа, то есть при ее полном прилегании к сфере Основное содержание главы состоит в построении базового решения и оценке его точности. Базовым решением названо приближенное аналитическое решение высокой точности, полученное методом Ритца для случая двустороннего контакта квадратной фотопластинки и сферы Решение строилось по квадратичной теории пластин в тех же предположениях, что и у Шеферда. Минимизировался функционал мембранной энергии деформаций фотопластинки 20

р _Зи+1/3»]Р

Еу Зу J ' 2К

V -du.dv.dwdw Тху ду дк дк ду

Функции, минимизирующие функционал, отыскивались в виде полиномов 7-го порядка, при записи которых учтена симметрия решения относительно координатных осей и диагоналей квадрата

и=С1х+С2ху2+С3х3+С4хУ,+С5х3у2+С6х5+С7х^+С8х3у4+С9х5у2+С10х7, у=С1у+С2ух2+С3у3 +С4у**+С5у5х2 +С6у5 +С7уа? +С8у3х4+С/х2 +С10у7

Аналитические выражения для коэффициентов имеют следующий вид .

_ _±_ а2 (5576184 -2838722 ц-2670505 ц2 -68182 ц3 +1225 ц4) С1 - 32 ш2

— 7 (650100 -444408 ц-367537 ц2-9018 ц3-175 ц4) ~ 16 ж2

— X (50360576 +15569894 ц-4074959 ц2-199490 ц3 +3675 ц4 ) С3 - 96 " Ш1

— 35 (353964 +309372 ц+70451ц2+1752 ц3-35 ц4)

4 ~ 32 га2я2

35 (110484 -55420 ц-53891ц2-1208 ц3+35ц4)

5 " 16 гаЧ2

_ _ 77 (7026+19511ц+7116ц2-221ц3) 6~ 16 а2я2

„ _ Ю01 (226 н357ц+131ц2) ^ ~ 16 " " Ха4!*2

_ 35 (149672+225090ц+77205ц2 +1752ц3 - 35ц4) С8~ 32 " 7,а4И2

— 231 (7026 +10225ц+3285ц2 +86ц3) С9 ~ 16 ~ -а4к2 ' »

_ _ 143 (226+357(1+131ц2) СЮ - 16 &4К2

где Ъ = -2467724- 1208496ц- 28609Ц2 +450ц3 , Я - радиус сферы, а -половина стороны фотопластинки, ц - коэффициент Пуассона стекла Коэффициенты полиномов были найдены с помощью компьютерной аналитики (Марк) из системы алгебраических уравнений

= (1 = 1,2,...,10)

ЭС,

Аналитический характер решения делает его весьма удобным для приложений в астрометрии.

Вопрос о точности найденного решения выяснялся сравнением с МКЭ и уточненным решением, полученным методом установления по теории оснащенных упругих поверхностей. Учет конечных поворотов и влияния горизонтальных перемещений на вертикальные приводит к выводу о высоком качестве базового решения для фотопластинок Паломарских обзоров в случае двустороннего контакта фотопластинки со сферой. Если обеспечить полное прилегание фотопластинки к сфере, то погрешность полученного приближенного решения в полиномах не превосходит 0,64мкм.

Полученное решение сравнивалось с реально наблюдаемым искажением изображения на фотопластинках Весьма наглядно удалось провести сопоставление не для полных, а для, так называемых, редуцированных перемещений Редукция заключается в удалении из перемещений фотоэмульсии иф(х, у),уф(х,у) полиномов третьего порядка, найденных методом наименьших квадратов. Редукция является обычной операцией при обработке фотопластинок и выполняется с целью уменьшения погрешностей. 22

Рис 5. Базовое решение (редукция полиномом Зго порядка)

5т кт

"17?175 -1Е

•'//////,:'. : " ' ' 1 I 1

■я) -125 -ю0 -75 -25 0 25 30 75 1с0

ХСгтт!

Рис 6 Позиционные ошибки второго Паломарского обзора (редукция полиномом Зго порядка)

На рис 5,6 приведены поля перемещений реальных и рассчитанных по полиномам базового решения, редуцированных по одинаковой методике. Оба поля выглядят практически одинаково.

При создании второго Паломарского обзора конструкция кассеты телескопа была дополнена вакуумной системой, которая позволила снизить отклонения рабочей поверхности фотопластинки от сферы до 15мкм. Это создало условия идеально соответствующие предположениям, использованным при получении базового решения. Этим можно объяснить, то, что качество редукции, основанной на теоретических и численных результатах четвертой главы диссертации, намного выше для фотопластинок второго Паломарского обзора, чем для фотопластинок первого обзора.

Вакуумная система появилась на Паломарском и АнглоАвстралийском телескопах в 1989г. Если вакуум не применять, то полный контакт фотопластинки и сферы обеспечить невозможно, так как в периферийной области фотопластинки при этом должно быть реализовано отрицательное контактное давление (рис. 7).

ргмиига-мм = 9.8ММСЕ-0003

Рис. 7. Контактное давление базового решения, МПа

Это значит что, при обработке наблюдений для всех фотопластинок, отснятых на этих телескопах до 1989г. необходимо учитывать неизбежный отрыв нижней поверхности фотопластинки от сферы, то есть решать контактную задачу. На старых фотопластинках зафиксировано расположение звезд в прежние эпохи, причем массовую информацию о положениях слабых объектов можно найти только в Паломарских обзорах. В связи с этим значение решения с учетом отрыва фотопластинки от сферы возрастает, причем актуальность сохранится и в будущем, так как Паломарские обзоры, выполненные несколько десятков лет назад с течением времени становятся все более ценным источником информации о прежних эпохах.

В пятой главе решена контактная задача для Паломарских фотопластинок в реальных условиях их эксплуатации. Контакт считался односторонним, а фотопластинка прижатой к сфере только по контуру. Предварительно оценивалось влияние податливости деталей кассеты и упругого покрытия кассеты. Контактная задача решалась различными методами. Более грубое решение получалось МКЭ (комплекс ENERGY) с использованием разделения всех неизвестных на основные и дополнительные части, причем основные части соответствуют базовому решению. Перемещения четырехугольного конечного элемента задавались следующим образом

Ч=и0(Х'У)+и1 +U2X+U3y+U4Xy'

v=v0(x,y)+v1 +v2x+v3y+v4xy, w=w0(x,y)+w[ +w2x+w3y+w4x2 +wJxy+w6y2+

W7X3+WgX2y+W9Xy2+W10y3+W1IXJ?+W1^X3,

где индексом "О" помечено решение, соответствующее полному прилеганию фотопластинки к сфере, которое уже определено выше (базовое решение). Энергия конечного элемента вычислялась в замкнутом виде с помощью компьютерной аналитики (Reduce), а часть энергии, соответствующая базовому решению опускалась. Такая технология построения конечного элемента на порядки снижает вычислительные затраты, так как ищутся только малые поправки к базовому решению.

Контактная задача решалась методом множителей Лагранжа, который является встроенной возможностью комплекса ENERGY. Фотопластинка удерживалась на сфере жесткими конечными элементами с двумя степенями свободы, имеющими смысл относительного вертикального перемещения и множителя Лагранжа. Полный потенциал такого элемента имеет вид

n = ^(w-w0)+C(w"2W(,)2

где X - множитель Лагранжа, имеющий смысл реакции жесткой связи;

вертикальное перемещение фотопластинки относительно сферы; С - фиктивная жесткость, которая не влияет на решение, но улучшает свойства глобальной матрицы жесткости Наличие слагаемого с фиктивной жесткостью не меняет энергии системы, так как следствием стационарности функционала по X является уравнение жесткой связи — \у0 ) = 0.

Множители Лагранжа находятся вместе с другими неизвестными задачи при решении глобальной системы уравнений МКЭ. Для преодоления численных проблем приоритет множителей Лагранжа задавался меньшим, чем приоритет линейных и угловых перемещений. Это означает, что при решении системы алгебраических уравнений множители Лагранжа исключаются после всех других переменных, расположенных в данной точке пространства. Отрицательный знак множителя Лагранжа означает сжимающее усилие в жесткой связи В этом случае на следующей итерации такая связь сохраняется. В противном случае связь снимается, и соответствующая точка становится свободной

Если свободная точка после очередной итерации оказывается под сферой, то она принудительно перемещается на поверхность сферы и закрепляется жесткой связью с множителем Лагранжа. Итерационный процесс сходится за 5-10 итераций, на последующих итерациях конфигурация контактной зоны перестает меняться В результате получается функция отрыва фотопластинки от сферы (рис. 8).

Рис. 8. Функция отрыва от сферы для четверти фотопластинки

Полученное решение уточняется методом установления сначала по уравнениям квадратичной теории пластин с весьма мелкой разбивкой 26

(четверть квадрата разбивается на 400x400 элементов), а затем по тензорным уравнениям теории оснащенных упругих поверхностей, полученным во 2-й главе диссертации.

Найденная конфигурация контактной зоны сопоставлялась с прямыми наблюдениями на экспериментальной модели. В эксперименте полимерная пластинка прижималась по краям большим количеством слоев нитей к стеклянной сфере Между пластинкой и сферой помещалась контрастная вязкая малопрозрачная жидкость. Жидкость заполняла пространство между пластинкой и сферой под действием сил смачивания. Прозрачность слоя жидкости зависит от его толщины. Тонкие слои практически прозрачны, более толстые непрозрачны. В результате зона отрыва пластинки от стеклянной сферы становится хорошо заметной на просвет Этот качественный эксперимент (в эксперименте не соблюдается механическое подобие с фотопластинками) подтверждает квадратные очертания контактной зоны и разрешает некоторые противоречия с результатами наблюдений.

Полученные распределения вертикальных и горизонтальных перемещений фотоэмульсии послужили основой принципиально нового метода редукции наблюдений, получаемых на базе телескопа Шмидта. Метод сводится к удалению из измеренных по фотопластинкам координат звезд поправок, рассчитанных по предложенной механической модели фотопластинки. Метод не требует построения редукционного полинома высокого порядка и, следовательно, привлечения большого количества опорных звезд Для привязки фотопластинки к месту достаточно простейшей линейной редукционной модели Тернера, содержащей всего 6 неизвестных коэффициентов (в традиционных моделях их не меньше 20-ги) В связи с малым количеством редукционных параметров редукционная модель может строиться на малом количестве опорных звезд, в качестве которых могут быть выбраны слабые звезды хорошего качества изображения. Следствием этого является отсутствие в новом методе зависимости координат звезд от их яркости, то есть не возникает "уравнение блеска". Отмеченные положительные стороны нового метода делают его весьма перспективным.

Оценка точности предлагаемого метода редукции может быть выполнена на основе следующих данных (ГАИШ)

Среднеквадратические величины остаточных ошибок, мкм

традиционный метод предлагаемый метод

Первый Паломарский обзор 3.48 1.60

Второй Паломарский обзор 3.18 0.91

Как видно из таблицы предлагаемый метод редукции, построенный на нелинейной теории изгиба фотопластинки, точнее традиционного в два раза для первого Паломарского обзора и в три с половиной раза для второго Паломарского обзора. Трудоемкость нового метода намного меньше, чем традиционного, так как он не требует определения большого количества коэффициентов редукционного полинома.

Весьма интересно распределение остаточных ошибок по полю фотопластинки (рис. 9,10) Максимальная абсолютная величина остаточных ошибок для фотопластинок первого Паломарского обзора составляет 8,4 мкм, для фотопластинок второго обзора 4,5мкм Это составляет не более 34% от максимального смещения фотоэмульсии в плане 197мкм. Таким образом, удалось правильно объяснить 96-98% наблюдаемых ошибок телескопа Шмидта (при оценках по среднеквадратической ошибке еще больше) Векторные поля остаточных ошибок имеют много общего, несмотря на то, что обзоры, относящиеся к этим рисункам, разделяет несколько десятков лет.

НоггМ-пах = «аиише-иш

Рис.9 Отклонения наблюдаемых позиционных ошибок от теоретического решения (первый Паломарский обзор, 50е годы), мм

1<0Г*Н2_иах = 4>. 5«0673Ь-0003

4и1си

Рис. 10. Отклонения наблюдаемых позиционных ошибок от теоретического решения (второй Паломарский обзор, 90е годы), мм

За это время были внесены изменения не только в конструкцию кассеты (вакуум и тефлоновое покрытие кассеты), но и в оптику телескопа (коррекционная пластина заменена двойной с целью снижения хроматической аберрации)

Наиболее вероятной причиной малых остаточных ошибок, представленных на рис. 9,10 является влияние оптической системы телескопа Насколько верно это предположение должны ответить специалисты - оптики, но на влияние оптической системы указывает хотя бы то, что фотопластинки, экспонированные в синих и красных лучах заметно отличаются. Различие положений звезд на них доходит почти до 2мкм, что составляет величину того же порядка, что и сами остаточные ошибки.

До недавнего времени векторные поля, представленные на рис. 9,10 даже невозможно было наблюдать, так как они были скрыты большими почти на 2 порядка ошибками, вызванными деформациями фотопластинки Методы, разработанные в диссертации, не только позволяют наблюдать эти поля, но и предоставляют в распоряжение специалистов - оптиков координаты поверхности, на которой строится дифракционное изображение звезд, что создает перспективу полного объяснения наблюдаемых ошибок в

29

рамках оптико-механической модели и превращения телескопа Шмидта в точный астрометрический инструмент.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Разработаны основы теории формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта, базирующейся на методах механики деформируемого твердого тела. Выяснены и объяснены причины возникновения сложной картины погрешностей, выполненных на базе телескопа Шмидта. Сделан существенный шаг в создании нового направления астрометрии -астрометрии телескопа Шмидта.

2. Построена высокоточная математическая модель деформированной фотопластинки, как оснащенной упругой поверхности, основанная на нелинейных тензорных уравнениях оболочек, учитывающих конечные повороты. Указанная модель обеспечивает чрезвычайно высокие требования к точности расчета перемещений, нетрадиционные для задач теории пластин и оболочек.

3. Предложен численный метод решения нелинейных тензорных уравнений теории оснащенных упругих поверхностей - метод установления. Метод установления оказался весьма эффективным дня решения контактных задач при одностороннем контакте фотопластинки и опорной сферы.

4. Разработано программное обеспечение, специально предназначенное для решения нелинейных тензорных уравнений деформации фотопластинки Разработаны библиотеки процедур, реализующих операции тензорной алгебры и тензорного анализа, характерные для теории оснащенных упругих поверхностей.

5. В рамках конечно-элементного комплекса ENERGY построены специальные конечные элементы пластин с разделением всех величин на основные и дополнительные части, позволяющие получать точность на порядок лучшую, чем с использованием традиционных конечных элементов.

6. Разработанные теоретические методы и результаты расчетов являются основой принципиально нового метода редукции Шмидтовских наблюдений. Новый метод редукции в 2-3 раза точнее традиционных методов, основанных на привлечении большого количества опорных звезд, существенно менее трудоемок и свободен от систематической ошибки, именуемой уравнением блеска. Практика редукции наблюдений в Государственном Астрономическом Институте им. П.К.Штернберга показала высокую эффективность метода.

7. Правильное объяснение большей части наблюдаемых позиционных ошибок (остаток составляет около 3% полной погрешности) механическими причинами позволяет практически решить задачу превращения телескопа зо

Шмидта в точный астрометрический инструмент Остаточные погрешности становятся наблюдаемыми и доступными для изучения, что ранее было невозможным.

8. Найденное решение контактной задачи предоставляет в распоряжение специалистов - оптиков форму поверхности деформированной фотоэмульсии, на которой строится дифракционное изображение звезд. Это создает перспективу создания оптико-механической модели позиционных ошибок телескопа Шмидта и полного объяснения наблюдаемых погрешностей.

Основное содержание работы и описание используемых алгоритмов численных расчетов опубликовано в работах:

1 Бидерман В.Л., Мартьянова Г В., Сорокин ФД. Учет жесткости связующего и растяжимости арматуры при расчете оболочки вращения из композитного материала // Механика композитных материалов (Рига)-1987.-№5. - С.825 - 832

2. Бидерман В.Л., Мартьянова, Сорокин Ф.Д. Расчет боковой податливости пневматического резинокордного амортизатора с приближенным учетом растяжимости нитей корда // Изв вузов Машиностроение. -1989,- №8. - С.24-27.

3 Новый метод учета систематических ошибок телескопа Шмидта /К В Куимов, Ф Д Сорокин, А В.Кузьмин, Н.Т.Барушева /Государственный астрономический институт им П К.Штернберга Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова - М., 1999. - 12с., ил. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.06 99, № 1923-В99).

4 Высокоточная астрометрия с телескопом Шмидта /К В Куимов, Ф.Д Сорокин, А В Кузьмин, H Т Барушева // Астрон. ж. 2000. -Т 77, № 7. -С. 540 -546.

5 Куимов К.В , Кузьмин А.В., Сорокин Ф.Д. Современные опорные каталоги для позиционных наблюдений тел солнечной системы //Околоземная астрономия XXI века - M, 2001 - С 228-234

6. Куимов К В, Кузьмин А.В, Сорокин Ф.Д Деформация круглой фотопластинки в телескопе Шмидта с учетом ее неплотного прилегания к сферической опоре // Изв. РАН. МТТ. -2002. - № 3 - С 150 -155

7. Сорокин Ф.Д. Влияние жесткости резины на деформации реэинокордиых оболочек с нерастяжимыми нитями // Изв вузов Машиностроение. - 1985 - №8. - С.З - 6.

8. Сорокин Ф.Д., Податливость цилиндрического резинокордного упругого элемента при боковых нагрузках // Изв. вузов. Машиностроение. -1987. -№5. - С.49 - 53.

9 Сорокин Ф.Д Не требующая итераций методика построения

кривой зависимости критической силы сжатой стойки от параметра // Изв. вузов. Машиностроение. -1990. - №10. - С.20 - 24.

10. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. //Изв. РАН. МТТ. -1994 - № 1 -С.164-168.

11. Сорокин Ф.Д. Компьютерная тензорная алгебра в численных расчетах оболочек //165 лет Ml ТУ им. Н.Э Баумана: Труды Всероссийской научно-технической конференции. - М., 1995. - Ч. 2. - С.116

12. Сорокин Ф.Д. Погрешности измерений координат небесных тел, вызванные деформацией фотопластинки в телескопе Шмидта // Состояние проблемы измерений Труды 7-й Всероссийской научно-технической конференции. - М., 2000. - С. 25

13 Сорокин Ф.Д. Расчет деформаций фотопластинки и деталей кассеты телескопа Шмидта // 170 лет Ml ТУ им. H Э.Баумана: Труды Всероссийской научно-технической конференции - М., 2000 - Ч. 1. - С 126.

14 Куимов К.В., Сорокин Ф.Д., Кузьмин A.B. Высокоточная астрометрия слабых объектов с телескопом Шмидта //Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века- Труды Всероссийской конференции. - СПб., 2000. - С. 440-445

15. Сорокин Ф Д, Мильков AB Расчет деформаций фотопластинки в телескопе Шмидта с использованием элементов теории оснащенных упругих поверхностей // Вестник МГТУ им НЭ.Баумана. Машиностроение. -2001.-№1.-С.51-63.

16. New approach to the astrometric calibration of the Schmidt surveys /A.V Kuzmin, К V Kuimov, F D Sorokin, N T.Barusheva // Les Journees 1999 & IX Lohrmana-Kolloquium. - Paris, 2000. - P.346 - 354.

17. Precision astrometry with Schmidt Telescopes /AV.Kuzmin, К. V Kuimov, F D. Sorokin, N T.Barusheva //Astronomy Reports. - 2000. -V.44, No.7. - P.474 - 480.

РНБ Русский фонд

2006-4 282

0 9 : гц

Введение.

Глава 1. Современное состояние проблемы редукции позиционных ошибок телескопа Шмидта и основные задачи, рассматриваемые в работе.

1.1. Краткое описание конструкции телескопа.

1.2. Погрешности телескопа, вызванные упругой деформацией фотопластинки и оптическими эффектами.

1.3. Существующие методы редукции позиционных ошибок телескопа Шмидта.

1.4. Обзор известных исследований погрешностей телескопа Шмидта и методов расчета фотопластинок при больших перемещениях.

1.5. Цель работы.

1.6. Основные задачи, рассмотренные в работе.

1.7. Выводы.

Глава 2. Механическая модель формирования наблюдаемых погрешностей, основанная на нелинейных уравнениях теории оболочек повышенной точности.

2.1. Тензорное описание больших поворотов.

2.2. Вариационный вывод уравнений больших перемещений фотопластинки с точным учетом конечных поворотов.

2.3. Преобразование нелинейных уравнений к виду пригодному для численного решения.

2.4. Сравнение точности традиционных моделей пластин с нелинейной моделью, основанной на теории оснащенных поверхностей.

2.5. Компьютерный вывод уравнений больших перемещений фотопластинки в осесимметричном случае.

2.6. Особенности конечно-элементного комплекса ENERGY, обеспечивающие получение высокой точности при расчете перемещений фотопластинки.

2.7. Выводы.

Глава 3. Позиционные ошибки телескопа Шмидта с круглыми фотопластинками.

3.1. Двусторонний контакт фотопластинки и опорной сферы. Сопоставление с поправкой Шеферда.

3.2. Решение осесимметричной контактной задачи по квадратичной теории пластин.

3.3. Уточнение решения методом установления для осесимметричного варианта теории оснащенных упругих поверхностей. Поиск альтернативных зон контакта.

3.4. Оценка влияния поперечных сдвигов.

3.5. Оценка влияния трения между фотопластинкой и сферической опорой.

3.6. Выводы.

Глава 4. Механизм формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта при наличии двустороннего контакта квадратной фотопластинки с опорной сферой.

4.1. Вариационный вывод уравнений смещений фотоэмульсии при двустороннем контакте фотопластинки и сферы.

4.2. Приближенное аналитическое решение на основе метода Ритца (базовое решение).

4.3. Численное решение МКЭ.

4.4. Сравнение численного и аналитического решений. Оценка погрешности.

4.5. Уточнение базового решения с использованием теории оснащенных упругих поверхностей.

4.6. Деформации и напряжения в фотопластинке. Контактные усилия между фотопластинкой и сферой. Недостаточность базового решения.

4.7. Выводы.

Глава 5. Исследование процесса формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта при наличии одностороннего контакта квадратной фотопластинки с опорной сферой.

5.1. Оценка влияния податливости сферического основания, прижимающей рамки, упругого покрытия сферы на формирование позиционных ошибок.

5.2. Конечноэлементное решение на основе квадратичной теории изгиба пластин.

5.3. Контроль МКЭ решения методом установления.

5.4. Точный учет конечных поворотов при решении контактной задачи.

5.5. Сопоставление результатов с наблюдаемыми позиционными ошибками, зафиксированными в Паломарских обзорах.

5.6. Прямое экспериментальное наблюдение контактной зоны на модели.

5.7. Выводы.

Актуальность проблемы.

Важнейшими характеристиками небесных тел являются их положения и векторы скорости. Без этих данных нельзя судить о большинстве других характеристик небесных тел, например, об их массах, светимостях, принадлежности к определённым системам звёзд или галактик, определённым популяциям и т.д.

Векторы положения и скорости непосредственно не измеряются. Измерению доступны следующие шесть параметров: две сферические координаты на небесной сфере, скорости изменения этих координат (собственные движения в астрономической терминологии), параллакс (обратное расстояние) и лучевая скорость (скорость изменения расстояния). Первые пять параметров называются астрометрическими. Методы их измерения схожи. Шестой параметр, лучевая скорость, определяется по спектрам небесных тел и, по традиции, в настоящее время к астрометрическим параметрам не относится.

Следует заметить, что основными из пяти астрометрических параметров являются две сферические координаты. Именно они измеряются непосредственно. Остальные три вычисляются по этим двум и по их изменениям со временем. В настоящее время используются прямое восхождение (координата типа долготы) и склонение (координата типа широты). Таким образом, любое наблюдение, имеющее целью определение астрометрических параметров, сводится к измерению прямого восхождения и склонения небесного тела.

Сетка координат на небе задаётся списком координат небесных тел, положения которых определены с наивысшей возможной на данной ступени развития астрометрии точностью. Говорят, что эти небесные тела задают «фундаментальную систему». В настоящее время фундаментальная система определена координатами приблизительно 600 квазаров, положения которых измерены методом длиннобазовой радиоинтерферометрии [59, 92]. Квазары - очень далёкие внегалактические источники радиоизлучения очень малых угловых размеров. В оптическом диапазоне фундаментальную систему представляют приблизительно 100 ООО звёзд, астрометрические параметры которых измерены в ходе космического эксперимента "HIPPARCOS" (High Precision Parallaxes Collecting Satellite) в 1989-1992 гг. и с наивысшей возможной точностью "привязаны" к квазарам [102].

Все остальные астрометрические наблюдения имеют целью определение координат других небесных тел в этой стандартной системе координат. Такие наблюдения носят относительный характер. Другими словами, подходящими методами следует измерить положение "определяемых" объектов относительно фундаментальных в какой-либо произвольной системе координат и затем вычислением привести их к фудаментальной системе.

На протяжении последнего столетия таким методом был фотографический метод. Метод включает следующие этапы:

• фотографирование участка неба, содержащего "определяемые" объекты и некоторое число (не меньше трёх) объектов с уже известными координатами, "опорных звёзд",

• измерение положение изображений объектов на измерительном приборе в прямоугольной, "аппаратной", системе координат,

• вычисление сферических координат по результатам измерений.

При использовании фотографического метода возникает проблема достаточного количества опорных звёзд. Непосредственное использование звёзд каталога "HIPPARCOS", как правило, невозможно. Он содержит всего около 118000 звёзд, т.е. около трёх звёзд на квадратный градус неба. Этого совершенно недостаточно для работы с большими телескопами, имеющими значительно меньшее поле зрения.

После завершения эксперимента "HIPPARCOS" были предприняты попытки сформировать на основе его результатов и наземных наблюдений более объёмные каталоги (например, Опорный каталог Тихо [88], около миллиона звёзд). Этим проблема «доступности» опорной системы была решена лишь частично.

В ближайшие 10-20 лет проблема доступности опорной систем может быть решена только фотографическим методом. Рассмотрим кратко особенности метода.

Фотографирование в астрономии производится почти исключительно на стеклянные фотопластинки. Точность современных измерительных приборов достигает 1 мкм. При этом размер изображений точечных объектов, звёзд, в лучшем случае составляет 30-40 мкм (при хорошем качестве оптики и хороших атмосферных условиях). Размеры астрономических негативов колеблются в пределах от нескольких сантиметров до нескольких десятков сантиметров. При вычислении сферических координат по результатам измерений необходимо принять "редукционную модель" - правило, по которому измеренные прямоугольные координаты переводятся в сферические. Редукционная модель должна учитывать все факторы, изменяющие взаимное расположение изображений звёзд. Это и аберрации оптической системы, и ошибки измерительного прибора, и преломление света в атмосфере Земли (астрономическую рефракцию), и деформацию фотопластинки.

Методы учёта всех этих факторов, кроме деформации фотопластинки, хорошо известны. Учёт деформации фотопластинки — новая задача, возникшая в связи с перемещением интереса астрономов в сторону всё более и более слабых объектов.

В настоящее время большинство наиболее интересных объектов являются слабыми, часто слабее 20т (двадцатой звёздной величины). Для регистрации слабых объектов проводились фотографические обзоры всего неба. Все современные обзоры сделаны с помощью телескопа Шмидта. Телескоп Шмидта - оптическая система, обеспечивающая большое поле зрения при высокой светосиле и высоком качестве изображения. Эта система изобретена эстонским оптиком Бернхардом Шмидтом, работавшим в Бергедорфской обсерватории (Германия), в 1932 г. Высокая светосила даёт возможность использовать сравнительно короткие выдержки при фотографировании, а большое поле зрения позволяет закончить обзор неба в разумные сроки (десять лет).

Вместе с тем телескоп Шмидта обладает существенными недостатками: его фокальная поверхность сферическая. Существует способ преодоления этого недостатка оптическим способом (линза Пиацци-Смита), но качество изображения при этом ухудшается. Другим способом, который, как правило, и применяется на практике, является деформация фотопластинки при фотографировании с целью придать ее поверхности сферическую форму. После фотографирования деформация снимается, и пластинка измеряется в приборе, предназначенном для плоских пластинок.

Фотографические обзоры - богатейший наблюдательный материал для самых разнообразных работ. Систематическое исследование обзоров позволило открыть новые виды галактик: например галактики, у которых спиральная ветвь переходит в кольцо, окружающее галактику, взаимодействующие галактики и т.п. [80]. В работах такого рода знание точных координат не требуется. Но существуют задачи, для решения которых точные координаты необходимы. Приведём три примера.

Часто необходимо решить, приходит ли излучение, регистрируемое в различных спектральных диапазонах, от одного и того же или от разных объектов. Например, является ли звезда "оптическим двойником" радиоисточника или объекта, зарегистрированного в ультрафиолетовых или инфракрасных лучах? Ответ на этот вопрос даёт только сравнение их координат в одной и той же системе.

Актуальной задачей является изучение особенностей орбит слабых объектов, например, далёких спутников больших планет, слабых астероидов, комет и т.п. В большинстве случаев наблюдения этих объектов проводятся на больших телескопах-рефлекторах с малым полем зрения. В этом поле в большинстве случаев не найдется нужного числа опорных звезд из числа определяющих фундаментальную систему. Приходится ограничится слабыми звёздами, координаты которых должны быть известны. Таким образом, точность результата определяется точностью координат звёзд, определенных по материалам фотографического обзора, а не точностью наблюдений данного объекта. Другими словами, точность координат звёзд, зарегистрированных в фотографическом обзоре, определяет точность определения астрометрических параметров всех остальных слабых объектов [41]. Эта ситуация сохранится в астрономии в течение ближайших 10-20 лет.

Но самым главным является то, что обзоры являются практически единственным источником информации о положениях слабых объектов. Наличие двух обзоров, разделенных значительным промежутком времени, позволит определить собственные движения большого числа звёзд. Сведения о собственных движениях звёзд важны сами по себе, например, для изучения кинематики Галактики.

Определение точных координат требует учёта ошибок, связанных с деформацией фотопластинки во время фотографирования. До последнего времени точно учесть эти ошибки не удавалось. Поэтому телескоп Шмидта считался непригодным для точного определения астрометрических параметров небесных тел. С другой стороны, координаты слабых объектов приобретали всё большее значение.

Из сказанного выше ясно, что повышение точности определения координат звёзд, по материалам фотографических обзоров, является актуальным для многих областей астрономии. Таким образом, решение казалось бы частной задачи учёта деформации фотопластинки в телескопе Шмидта, которой посвящена настоящая работа на самом деле представляет собой решение проблемы превращения телескопа Шмидта в полноценный астрометрический инструмент.

Здесь необходимо примечание. Проектируемые космические астрометрические эксперименты в принципе могут решить задачу определения астрометрических параметров большого числа слабых объектов. Результаты этих экспериментов ожидаются не раньше, чем через 10 - 15 лет. С другой стороны, в настоящее время наиболее точные значения астрометрических параметров большого числа объектов (2,5 миллиона) получены из сочетания старых наземных фотографических наблюдений и результатов космического эксперимента. Ожидается, что ситуация сохранится и при увеличении числа объектов на один-два порядка, т.е. значимость современных обзоров не только сохранится, но и увеличится.

Настоящая работа опирается на наблюдательный материал, полученный в рамках двух фотографических обзоров. Первый из них - это обзор Паломарской обсерватории (Паломарский атлас, Palomar Observatoiy Sky Survey, POSS I), выполненный в 1949-1957 гг. [17]. Национальное географическое общество США оказало финансовую поддержку этому проекту. Область неба от северного полюса до склонения 5 = - 27° разделена на 879 полей. Каждая фотопластинка размером 355мм х 355мм охватывает площадь неба размером 6.5° х 6.5°. Каждый участок сфотографирован в синих и красных лучах, экспозиции составляли 10-15 и 40-60 минут соответственно. Выбор экспозиций объяснялся желанием иметь насколько возможно однородные данные в отношении предельной звездной величины, которая достигает 2\Лт в голубых и 20.0т в красных лучах. С негативов Паломарского атласа получены фотографические копии и около 100 комплектов распределено по главным обсерваториям мира. Можно оценить, что Паломарский атлас включает изображения 500 миллионов звезд и 50 миллионов галактик. Оригинальные негативы тщательно закрыты стеклами и находятся в хранилищах подвального этажа Калифорнийского технологического института в Пасадене.

В 70-е гг. построены телескопы Шмидта в Чили и в Австралии. Англо - австралийский телескоп аналогичен Паломарскому. Чилийский несколько меньше. С помошью этих телескопов астрономы завершили обзор южного неба.

В 90-х гг. создавался новый Паломарский обзор (POSSII), причем использовался тот же телескоп, но с некоторыми улучшениями конструкции. Новый Паломарский обзор северного неба, поддержанный, как и первый, Национальным Географическим Обществом США, был начат в 1986 г. и к настоящему времени полностью завершен. Во втором обзоре применяются новейшие достижения в технике фотографирования, увеличена чувствительность фотоэмульсии и несколько изменена конструкция коррекционной пластины и кассеты телескопа, с целью снижения погрешностей.

Цели работы состоят:

- в выявлении и описании методами механики деформируемого твердого тела механизмов возникновения сложной картины погрешностей фотографических обзоров, выполненных на базе телескопа Шмидта;

- в разработке высокоточных методов расчета позиционных ошибок телескопа Шмидта, позволяющих учитывать влияние механических и оптических явлений на формирование погрешности;

- в разработке методов корректировки систематических ошибок Паломарских (и других) обзоров звездного неба на базе полученных теоретических результатов с учетом конкретных особенностей конструкции телескопов в различные эпохи наблюдений.

Научная новизна заключается в том, что впервые на основе разработанных методов расчета перемещений фотопластинки, использующих нелинейную теорию оболочек повышенной точности (теорию оснащенных упругих поверхностей), построена математическая модель формирования погрешностей, отражающая все основные источники указанного явления, имеющие механическую природу. О механических причинах позиционных ошибок телескопа Шмидта было известно еще с 50-х годов прошлого века, однако построить механическую модель деформации фотопластинки требуемой точности до сих пор не удавалось. С использованием разработанной модели впервые выявлены и количественно описаны закономерности формирования сложной картины погрешностей фотографических обзоров, выполненных на базе телескопа Шмидта [4245,89,90].

Нелинейные уравнения оснащенных упругих поверхностей, точно учитывающие конечные повороты, во всех известных работах рассматривались исключительно с теоретических позиций и никогда не применялись для решения практических задач. Это объясняется сложным тензорным характером уравнений и отсутствием готового программно-алгоритмического обеспечения для работы с этими уравнениями. В настоящей работе впервые уравнения оснащенных упругих поверхностей приведены к виду пригодному для применения численного метода (метода установления) и осуществлено их численное решение.

Для работы с тензорными уравнениями теории оснащенных упругих поверхностей разработано новое программное обеспечение, позволяющее обрабатывать векторы и тензоры, принадлежащие поверхности, как замкнутые единицы информации без перехода к проекциям и компонентам. Следует отметить, что ни одна из общедоступных компьютерных систем математических вычислений, в частности MathCad, Maple, Mathematica такими возможностями не обладает.

Заметное влияние особенностей оптики телескопа виньетирование, экранирование светового потока кассетой) на формирование позиционных ошибок до настоящей работы в литературе не обсуждалось, так как та часть позиционных ошибок, которая обусловлена влиянием оптики, была скрыта более значительной частью, вызванной упругими деформациями фотопластинки. До настоящей работы оценка влияния оптики на позиционные ошибки была затруднена также из-за отсутствия точных координат деформированной поверхности фотопластинки, на которой строится дифракционное изображение звезды. Таким образом, новые данные о координатах такой поверхности, впервые полученные в диссертации, весьма важны для оптики и создают надежную базу полного описания позиционных ошибок телескопа Шмидта.

Основные научные результаты работы состоят в том, что в ней впервые:

- проанализирована структура поля погрешностей обзоров звездного неба, выполненных на базе телескопа Шмидта, и выявлены как механические, так и оптические причины отмеченного явления;

- разработаны новые высокоточные методы и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния фотопластинки, основанные на нелинейных уравнениях теории оснащенных упругих поверхностей;

- с использованием разработанных расчетных методов проведен теоретический анализ и выявлены основные закономерности процессов формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта в зависимости от конкретных особенностей его оптико - механической системы;

- разработаны высокоточные методы редукции наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта, использующие построенный математический аппарат и результаты теоретического анализа процессов формирования позиционных ошибок.

Достоверность полученных результатов подтверждается

- применением фундаментальных положений (законов) механики деформируемого твердого тела;

- проверкой уравнений тензорной теории конечных поворотов на известных примерах из динамики твердого тела и механики стержней;

- проверкой уравнений теории оснащенных упругих поверхностей на примере осесимметричного изгиба оболочек вращения при больших перемещениях;

- сопоставлением решений одних и тех же задач (контактных и других) различными численными методами, использующими различные математические подходы, - методом конечных элементов в вариационной формулировке и методом установления (фиктивной вязкости) для системы нелинейных дифференциальных тензорных уравнений;

- практически полным совпадением наблюдаемого распределения позиционных ошибок, зафиксированного в Паломарских обзорах с аналогичным распределением, найденным теоретически с использованием численных методов при решении контактной задачи для фотопластинки, прижатой рамкой к сфере (расхождение не превышает 3-4%);

- тщательным тестированием используемого программного обеспечения, а именно конечноэлементного комплекса ENERGY, специально разработанного для решения нестандартных задач, и систем преобразования математических структур с тензорными данными численного характера Tensalg и аналитического характера Tensors;

- положительным опытом использования разработанных методов, численных и аналитических результатов в практике редукции наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта.

Практическая ценность работы заключается в том, что предлагаемые модели и методы позволяют впервые практически решить проблему превращения телескопа Шмидта в точный астрометрический инструмент. Шмидтовские обзоры все еще остаются единственным источником высокоточных (в смысле фотографической астрометрии) положений и собственных движений сотен миллионов слабых объектов, и это положение сохранится, - во всяком случае, в отношении объектов в интервале 17-20х звездных величин еще 10-20 лет. Очень сложная картина погрешностей Паломарских обзоров, совершенно непривычная для классической фотографической астрометрии, не позволяла это сделать до настоящего времени.

Существующие методы астрометрической редукции Шмидтовских обзоров основываются на использовании полиномиальных моделей высоких порядков или на аппроксимации осредненных остаточных уклонений для опорных звезд (т.н. маски и фильтры). Оба подхода не отвечают на вопрос о причине сложных систематических ошибок, присущих Шмидтовским наблюдениям, и, кроме того, сами порождают дополнительные систематические ошибки, вызванные низким качеством изображений (как правило, довольно ярких) опорных звезд на Шмидтовских пластинках. Так, например, методы, основывающиеся на осреднении остаточных уклонений для опорных звезд, приводят к появлению так называемого уравнения блеска (зависимость координаты звезды от ее яркости).

Указанные попытки учета систематических ошибок нельзя признать удачными: они не прояснили природы ошибок и не смогли существенно повысить качество астрометрической редукции Шмидтовских наблюдений. В отличие от других методов редукции Шмидтовских обзоров, предлагаемый в работе метод учета систематических ошибок не опирается ни на полиномиальную редукцию высокого порядка, ни на остаточные уклонения для опорных звезд и, как следствие не приводит к появлению уравнения блеска. Более того, при точном приведении на видимое место в предлагаемом подходе можно ограничится простейшей редукционной моделью, что позволяет использовать для редукции только слабые опорные звезды, отличающиеся высоким качеством изображения.

Структура диссертации и аннотация глав. Диссертация состоит из введения, пяти глав и трех приложений.

5.7. Выводы

1. Рассмотрен механизм формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта в случае одностороннего контакта фотопластинки и опорной сферы. Устранен наиболее существенный недостаток базового решения - отрицательное контактное давление в периферийной области фотопластинки. Для контроля использованы различные методы и уравнения различной точности.

2. С недостижимой ранее точностью вычислена функция нормальных отклонений фотопластинки от сферы, что предоставляет специалистам-оптикам возможность строить изображения звезд не на идеализированной, а на реальной поверхности фотоприемника. Таким образом, источник погрешности, связанный с формированием изображения на несферической поверхности становится доступным для исследования.

3. Показано, что отрыв фотопластинки от сферы возмущает базовое решение и создает дополнительные позиционные ошибки порядка 2% от уровня полной ошибки.

4. Выполнено сравнение решений контактной задачи по традиционным уравнениям квадратичной теории пластин и по уравнениям теории оснащенных упругих поверхностей. Сравнение продемонстрировало недостаточную точность традиционных уравнений квадратичной теории для расчета функции отрыва фотопластинки от сферы (погрешность составляет более 10%).

5. Рассчитанная конфигурация контактной зоны проконтролирована прямым качественным экспериментом, что дает гарантию отсутствия принципиальных ошибок в расчете.

6. Построенное решение является основой нового метода редукции Шмидтовских наблюдений. Новый метод точнее традиционных в 2-3 раза и во много раз менее трудоемок, так как не требует привлечения большого количества опорных звезд. Как следствие, новый метод свободен от уравнения блеска.

Заключение. Общие выводы по работе

Редукция наблюдений, полученных на базе телескопа Шмидта, -интереснейшая задача астрометрии. Традиционно, телескоп Шмидта не рассматривался, как точный астрометрический инструмент, в связи с очень сложной картиной искажений поля, совершенно непривычной для традиционной фотографической астрометрии.

Задача редукции позиционных ошибок телескопа Шмидта рассмотрена в диссертации с совершенно новых позиций. Традиционный способ редукции состоит в сравнении наблюдаемых координат с координатами эталонных звезд и построении полиномиальной модели ошибок. Обычным средством построения полинома является методом наименьших квадратов. Так как эталонные звезды, как правило, являются довольно яркими и, следовательно, невысокого качества изображения, то их координаты определяются с некоторой ошибкой, тем большей, чем больше яркость звезды. Зависимость ошибки координат от яркости носит систематический характер и называется «уравнением блеска».

Предлагаемый в диссертации подход основан на исследовании физической причины возникновения позиционных ошибок - перемещений точек фотоэмульсии, вызванных деформациями фотопластинки при ее изгибе в кассете телескопа. Так как при таком подходе отпадает необходимость привлечения большого количества эталонных звезд, то «уравнения блеска» не возникает.

Перемещения фотоэмульсии определяются по уравнениям максимально возможной точности, которые известны как уравнения теории оснащенных упругих поверхностей. В диссертации показано, что точность классических уравнений квадратичной теории пластин находится на грани допустимой для фотопластинок Паломарских обзоров. Для расчета функции отрыва фотопластинки от сферы квадратичная теория является слишком грубой. Сравнение решений по различным теориям дает оценку точности.

Предварительное рассмотрение задачи в более простой постановке - в предположении полного прилегания фотопластинки к сфере дает высокоточное приближенное аналитическое решение, названное базовым. Рассчитанное распределение контактного давления показывает, что полное прилегание фотопластинки к сфере возможно только с использованием вакуума. Так как вакуум стал применяться только с 1989г. в период создания второго Паломарского обзора, то для фотопластинок, отснятых до этого, возникает необходимость решения контактной задачи.

Контактная задача решается различными методами, по уравнениям различной точности. Решение строится в несколько этапов. В качестве начального приближения используется базовое решение. Более грубое решение находится методом конечных элементов с разделением всех величин на большие и малые части. Такое разделение является возможным в связи с использованием конечно-элементного комплекса ENERGY, разработанного автором специально для решения нестандартных задач. Полученное решение уточняется методом установления, заменяющим задачу статики фотопластинки, задачей вязкого движения. Метод установления не требует построения матрицы жесткости и, поэтому допускает гораздо более мелкое разбиение фотопластинки, чем МКЭ. Окончательное уточнение производится тем же методом установления, но по уравнениям, точно учитывающим большие повороты (теория оснащенных упругих поверхностей).

Найденные поля перемещений точек фотоэмульсии описывают позиционные ошибки телескопа с недостижимой ранее точностью и составляют основу принципиально нового метода редукции Шмидтовских наблюдений, который уже развит и применяется на практике в Государственном Астрономическом Институте им. П.К.Штернберга.

По результатам исследования можно сделать следующие выводы.

1. Разработаны основы теории формирования позиционных ошибок телескопа Шмидта, базирующейся на методах механики деформируемого твердого тела. Выяснены и объяснены причины возникновения сложной картины погрешностей, выполненных на базе телескопа Шмидта. Сделан существенный шаг в создании нового направления астрометрии -астрометрии телескопа Шмидта.

2. Построена высокоточная математическая модель деформированной фотопластинки, как оснащенной упругой поверхности, основанная на нелинейных тензорных уравнениях оболочек, учитывающих конечные повороты. Указанная модель обеспечивает чрезвычайно высокие требования к точности расчета перемещений, нетрадиционные для задач теории пластин и оболочек.

3. Предложен численный метод решения нелинейных тензорных уравнений теории оснащенных упругих поверхностей — метод установления. Метод установления оказался весьма эффективным для решения контактных задач при одностороннем контакте фотопластинки и опорной сферы.

4. Разработано программное обеспечение, специально предназначенное для решения нелинейных тензорных уравнений деформации фотопластинки. Разработаны библиотеки процедур, реализующих операции тензорной алгебры и тензорного анализа, характерные для теории оснащенных упругих поверхностей.

5. В рамках конечно-элементного комплекса ENERGY построены специальные конечные элементы пластин с разделением всех величин на основные и дополнительные части, позволяющие получать точность на порядок лучшую, чем с использованием традиционных конечных элементов.

6. Разработанные теоретические методы и результаты расчетов являются основой принципиально нового метода редукции Шмидтовских наблюдений. Новый метод редукции в 2-3 раза точнее традиционных методов, основанных на привлечении большого количества опорных звезд, существенно менее трудоемок и свободен от систематической ошибки, именуемой уравнением блеска. Практика редукции наблюдений в Государственном Астрономическом Институте им. П.К.Штернберга показала высокую эффективность метода.

7. Правильное объяснение большей части наблюдаемых позиционных ошибок (остаток составляет около 3% полной погрешности) механическими причинами позволяет практически решить задачу превращения телескопа Шмидта в точный астрометрический инструмент. Остаточные погрешности становятся наблюдаемыми и доступными для изучения, что ранее было невозможным.

8. Найденное решение контактной задачи предоставляет в распоряжение специалистов - оптиков форму поверхности деформированной фотоэмульсии, на которой строится дифракционное изображение звезд. Это создает перспективу создания оптико-механической модели позиционных ошибок телескопа Шмидта и полного объяснения наблюдаемых погрешностей.

Выполненное исследование имеет большие перспективы, так как в ближайшие 10-15 лет Паломарские обзоры останутся практически единственным источником информации о положениях слабых объектов, которые в настоящее время активно изучаются. Паломарские обзоры еще неоднократно будут переобрабатываться, что еще более усиливает актуальность развитого в диссертации направления.

1. Абеле М.К., Абеле Г.Э. Определение координат по снимкам, полученным на фотокамерах со сферической фокальной поверхностью //Научные информации АН СССР.- 1972.- Вып. 22.- С. 12 17.

2. Алумяэ Н.А. Дифференциальные уравнения состояния равновесия тонкостенных упругих оболочек в после критической стадии // ПММ.- 1949.Т. 13, вып. 1.-С. 95-106.

3. Алумяэ Н.А. Об аналогии между геометрическими и статическими соотношениями нелинейной теории оболочек // Изв. АН ЭССР.-1955.-Т.4, №2.-С.230-232.

4. Алумяэ Н.А. О представлении основных соотношений нелинейной теории оболочек//ПММ.-1956.-Т.20, вып. 1.- С. 136-139.

5. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. -М.: Машиностроение, 1978.-312с.

6. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких пластин // Исследования по теории пластин и оболочек (Казань). -1973.-Вып 10.-С. 107-114.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.-631 с.

8. Белкин А.Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряженно-деформированного и теплового состояния автомобильных радиальных шин: Дисс.докт. техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1998.-283 с.

9. Бидерман B.J1. Механика тонкостенных конструкций. Статика. -М.: Машиностроение, 1977.-488 с.

10. Бидерман B.J1., Мартьянова Г.В., Сорокин Ф.Д. Учет жесткости связующего и растяжимости арматуры при расчете оболочки вращения изкомпозитного материала // Механика композитных материалов (Рига).- 1987.-№5. С.825. — 832.

11. Бидерман B.JI., Мартьянова Г.В., Сорокин Ф.Д. Расчет боковой податливости пневматического резинокордного амортизатора с приближенным учетом растяжимости нитей корда // Изв. вузов Машиностроение. 1989.- №8. - С.24-27.

12. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки,- М.: Физматлит., 1992.-392 с.

13. Блох М.В., Ващенко Н.Г., Гинц А.А. О вдавливании штампа в прямоугольную пластинку // Прикладная механика. -1978. Т.14.- №7.-С. 7075.

14. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. М.: Наука, 1992.- 280с.

15. Бухин Б.Л. Теория безмоментных сетчатых оболочек вращения и ее приложение к расчету пневматических шин: Дисс.докт. техн. наук. М.: МВТУ им. Н.Э.Баумана, 1972. - 309 с.

16. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.- Л.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

17. Вокулер Ж. Астрономическая фотография. От дагерротипии до электронной камеры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 157 с.

18. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.-419 с.

19. Галимов К.З. Уравнения равновесия теории упругости при конечных перемещениях и их приложения к теории оболочек // Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1948.-Т.1.-С. 25-46.

20. Галимов К.З. Общая теория упругих оболочек при конечных перемещениях// Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1950.-Т.2.-С. 3-38.

21. Галимов К.З. К общей теории пластин и оболочек при конечных перемещениях и деформациях // ПММ-1951.-Т.15.- №6.-С. 723-742.

22. Галимов К.З. К вариационным методам решения задач нелинейной теории пластин и оболочек // Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1956.-Т. 10.-С. 3-26.

23. Галимов К.З. О формулировке геометрических граничных условий нелинейной теории оболочек в усилиях и моментах // Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1958.-Т.12.-С. 17-27.

24. Галимов К.З. Некоторые вопросы теории конечных деформаций пластин и оболочек // Изв. Казан, фил. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук.-1960.-Т. 14.-С. 13-22.

25. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.-Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975.-326 с.

26. Гольденвейзер A.JI. Уравнения теории тонких оболочек // ПММ.-1940.-Т.4.- Вып.2.- С.35-42.

27. Гольденвейзер A.JI. Дополнения и поправки к теории тонких оболочек Love //Пластинки и оболочки. М.: Гостстройиздат, 1939.- С. 85-105.

28. Гольденвейзер A.J1. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГИТТЛ, 1953.-544 с.

29. Гольденвейзер A.J1. Качественное исследование напряженного состояния тонкой оболочки // ПММ.-1945.-Т.11.- Вып.- С. 463-478.

30. Григолюк, Толкачев Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. - 411 с.

31. Дубнов Я.С. Основы векторного исчисления. M.-JL, 1952. - Т.2.415 с.

32. Джеффрис Г., Свирлс Б. Математические методы в физике: Пер с англ.-М.: Мир, 1969.- Т.1.- 423 с.

33. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.341с.

34. Жилин П.А. Механика деформируемых оснащенных поверхностей //Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Л., 1975.-С.48.

35. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. -М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1993.-360с.

36. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -541 с.

37. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1982. - 144с.

38. Карасев С.Н., Артюхин Ю.П. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений // Исследования по теории пластин и оболочек (Казань). 1976. -Вып. 12. - С. 68-76.

39. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике: Пер. с 4-го нем. изд М.: Изд-во АН СССР, 1962.-402 с.

40. Койпер Дж., Миддлхерст Б. Телескопы,- М.: Изд. Иностранной литературы, 1963.-316 с.

41. Кузьмин А.В., КуимовК.В. Астрометрические аспекты глубоких обзоров с телескопом Шмидта. //Современные проблемы и методы астрометрии и геодинамики.: Тез. докл. конф. С.-Пб., 1996. - С. 46-47.

42. Высокоточная астрометрия с телескопом Шмидта /К.В.Куимов, Ф.Д.Сорокин, А.В.Кузьмин, Н.Т.Барушева // Астрон. ж. 2000. -Т. 77. № 7. -С. 540.-546.

43. Куимов К.В., Кузьмин А.В., Сорокин Ф.Д. Современные опорные каталоги для позиционных наблюдений тел солнечной системы

44. Околоземная астрономия XXI века. М., 2001. — С.228234.

45. Куимов К.В., Кузьмин А.В., Сорокин Ф.Д. Деформация круглой фотопластинки в телескопе Шмидта с учетом ее неплотного прилегания к сферической опоре // Изв. РАН. МТТ. -2002. № 3. - С. 150 - 155.

46. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ.-1940.-Т.4, вып. 2.-С. 7-33.

47. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: ГИТТЛ, 1947.-252 с.

48. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.-824с.

49. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.-512с.

50. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с 4-го англ. изд.-М,- Л.: ОНТИ, 1935.-674 с.

51. Магнус К. Гироскоп: Пер с нем. М.: Мир, 1974. - 526 с.

52. Малинин Н.Н. Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций. -М.Машиностроение, 1981,- 216 с.

53. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957.- 431 с.

54. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. 2-е изд. - Л.: Судпромгиз, 1951. - 430 с.

55. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. - 656 с.

56. Нори Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ.-М.: Мир, 1981. -304 с.

57. Ньютон Роберт Р. Преступление Клавдия Птоломея: Пер. с англ. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1985. 383 с.

58. Петрашкевич В. Некоторые соотношения нелинейной теории оболочек Рейсснера // Вестн. Ленингр. ун-та. Матем., мех., астрон. 1979.-№1 - С.115-124.

59. Подобед В.В., Нестеров В.В. Общая астрометрия. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1982.-576 с.

60. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учеб для втузов; В 2-х ч. Динамика. М.: Высшая школа, 1987. - 4.2. - 304 с.

61. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С., Упругие элементы машин- М.: Машиностроение, 1989. 264 с.

62. Скворцов В.Р. Деформирование существенно неоднородных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочки со структурой: Автореферат дисс.докт. техн. наук. СПб: СПбГМТУ, 1992. -37 с.

63. Сорокин Ф.Д. Влияние жесткости резины на деформации резинокордных оболочек с нерастяжимыми нитями // Изв. вузов. Машиностроение. 1985 - №8. - С.З - 6.

64. Сорокин Ф.Д. Податливость цилиндрического резинокордного упругого элемента при боковых нагрузках // Изв. вузов. Машиностроение. -1987.-№5.-С.49-53.

65. Сорокин Ф.Д. Не требующая итераций методика построения кривой зависимости критической силы сжатой стойки от параметра // Изв. вузов. Машиностроение. 1990. - №10. - С.20 - 24.

66. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота. //Изв. РАН. МТТ. -1994. № 1. -С. 164-168.

67. Сорокин Ф.Д. Компьютерная тензорная алгебра в численных расчетах оболочек // 165 лет МГТУ им. Н.Э.Баумана: Труды Всероссийской научно-технической конференции. М., 1995. - Ч. 2. - С.116.

68. Сорокин Ф.Д. Погрешности измерений координат небесных тел, вызванные деформацией фотопластинки в телескопе Шмидта // Состояние проблемы измерений: Труды 7-й Всероссийской научно-технической конференции. М., 2000. - С. 25.

69. Сорокин Ф.Д. Расчет деформаций фотопластинки и деталей кассеты телескопа Шмидта // 170 лет МГТУ им. Н.Э.Баумана: Труды Всероссийской научно-технической конференции. М., 2000. - Ч. 1. — С. 126.

70. Сорокин Ф.Д., Мильков А.В. Расчет деформаций фотопластинки в телескопе Шмидта с использованием элементов теории оснащенных упругих поверхностей // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Машиностроение. 2001 .-№1. - С.51-63.

71. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки: Пер. с англ. М.: Гостехиздат, 1948. - 356с.

72. Угодчиков А.Г., Соболев В.А., Платов А.Ю. Применение нового варианта нелинейной теории малых деформаций к построению некоторых технических теорий// Труды XVI международной конференции по теории оболочек и пластин. Н.Новгород, 1994. - Т.2.— С.212-217.

73. Уокер Г. Астрономические наблюдения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.-352 с.

74. Флюгге В. Статика и динамика оболочек: Пер со 2-го нем. изд. -М.: Госстройиздат, 1961. 306 с.

75. Черных К.Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек//Изв. АН СССР. МТТ,- 1980,-№2.-С.148-159.

76. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 192 с.

77. Шаповалов JI.A. Об одном простейшем варианте нелинейных уравнений теории оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. - №1. - С.56-63.

78. Шкутин Л.И. Механика деформируемых гибких тел.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 128 с.

79. Шкутин Л.И. Точная формулировка уравнений нелинейного деформирования тонких оболочек: В 3 ч. // Прикл. проблемы прочности и пластичности,-1977.-Вып. 7.-С. 3-9; 1978. Вып. 8.-С. 38-43; 1978,-Вып. 9.-С. 19-25.

80. Щеглов П.В. Проблемы оптической астрономии. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1980. - 272 с.

81. Abad С. Determination of the field distortion for a Schmidt telescope //Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 1995. - Vol.111. - P.369-371.

82. Budiansky В., Sanders J.L. On the "best" first-order linear shell theory //Progress in Appl. Mechanics.-1963. Vol.2 - P. 129-140.

83. Chein W.Z. The intrinsic theory of thin shells and plates // Quart. Appl. Math.-1944.-V.l.- N.4.-P. 297-327; 1944.-Vol.2. No.l. - P. 43-59; 1944.- Vol.2. - No.2.- P.120-135.

84. Clebsch A. Theorie der Elastizitat fester Korper. Leipzig, 1862.- 424s.

85. Dieckvoss W. The Bergerdorf 32" conventional Schmidt telescope as an astrometric instrument//Astron. J. 1960. - Vol.65. - P. 214

86. Hanson R.B. // Bull. Amer. Astron. Soc. 1975. - Vol.9 - No.4, Part II.1. P.585.

87. Harrington R.G. The 48-inch Schmidt-type telescope at Palomar Observatory//Pubis Astron. Soc. Pacif. 1952. - Vol.64. -No.381. - P.275-285.

88. Tycho Reference Catalogue / E.Hog, A.Kuzmin, U.Bastian et all //Astron. Astrophys.- 1998.- Vol.335 P.65 - 76.

89. New approach to the astrometric calibration of the Schmidt surveys /A.V.Kuzmin, K.V.Kuimov, F.D.Sorokin, N.T.Barusheva // Les Journees 1999 & IX Lohrmann-Kolloquium. Paris, 2000. - P.346 - 354.

90. Precision astrometry with Schmidt Telescopes /A.V.Kuzmin, K.V.Kuimov, F.D.Sorokin, N.T.Barusheva //Astronomy Reports. 2000. - V.44., No.7. -P.474-480.

91. An astrometric catalogue of stars in the region of Ml 5 / J.-F.Le Campion, M.Geffert, M.R.Dulou, J.Colin //Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 1992. -Vol.95. - P.233-237.

92. The International Celestial Reference Frame as Realized by Very Long Baseline Interferometry / C.Ma, E.Arias F., T.M.Eubanks et all//Astron. J. 1998.-Vol. 116.- P. 516-528.

93. A Schmidt plate coma-like term /J.E.Morrison, S.Roser, B.M.Lasker et all //Astron. J. 1996. -Vol.111 - P. 1405- 1414.

94. Morrison J.E., Smart R.L., Taff L.G. Do we need to model plates at all? //Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1998. - Vol.296, No.l. - P.66-76.

95. Reid, I. N. The second Palamor Sky survey // Publications of the Astronomical Society of the Pacifi. 1991. - Vol.103 - P.661 - 674.

96. Reissner E. A new derivation of the equations for the deformation of elastic shells // Amer. J. Math. 1941.- Vol.63, No. 1. - P. 177-184.

97. Photographic observations of Pluto 1991-1994 with the Baldone Schmidt telescope /V.P.Ryl'kov, A.A.Dement'eva, A.Alksnis, J.I.Straume //Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 1996. - Vol.118 - P.105-110.

98. Membarship probabilities in the Pleiades field /E.Schilbach, N.Robichon, J.Souchay, J.Guibert //Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 1995. -Vol.299 - P.696-702.

99. Shepherd W.B. The deformation of a photographic plate in a Schmidt camera // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1953. Vol.113, No.4. - P.450-454.

100. Simmonds J.G., Danielson D.A. Nonlinear shell theory with a finite rotation vector // Proc. Kon. Nederland. Akad. Wetensch.-1970.- Vol.73, No.5. -P.460-478.

101. Bathe K.-J., Chaudhary A. A solution method for planar and axisymmetric contact problems //International Jornal for Numerical Methods in Engineering. 1985. - Vol.21 -P.65-88.

102. The Hipparcos and Tycho Catalogues // ESA-SP1200. Cambridge, 1997. -P.345-367.

103. Timoschenko S. Theory of plates and shells. -N.Y., 1940. 340 p.

104. Franca Villa A., Zienkievich O.C. A note on numerical computation of elastic contact problems // International Jornal for Numerical Methods in Engineering. 1975. - Vol. 9. -P.913-924.

105. Tseng J., Olson M.D. The mixed finite element method applied to two-dimensional elastic contact problems // International Jornal for Numerical Methods in Engineering. 1981. - Vol. 17. - P.991-1014.