Разработка методик расчетов перфорированных элементов энергетического оборудования с применением современных методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

003058018

БЕССАРАБОВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МЕТОДИК РАСЧЕТОВ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Специальность 01 02 06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003058018

Диссертация выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии «Опытное конструкторское бюро «ГИДРОПРЕСС» и в ОАО «Научно-производственное объединение по технологии машиностроения»

Научные руководители

член-корр РАН, доктор техн наук Драгунов Юрий Григорьевич доктор техн наук Казанцев Александр Георгиевич

Официальные оппоненты

доктор физ-мат наук Попов Александр Леонидович кандидат техн наук Овчинников Александр Викторович

Ведущая организация

Инженерный центр прочности, надежности и ресурса оборудования атомной техники «ИЦП МАЭ»

Защита состоится

2007 г в

часов на заседании

специализированного Совета Д 217 042 02 в ОАО НПО «ЦНИИТМАШ» по адресу 115088, г Москва, ул Шарикоподшипниковская, д. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НПО «ЦНИИТМАШ»

Автореферат разослан " ' ' "_ С/ 7_ 2007 г

Ученый секретарь диссертационного Совета канд техн наук

ДН Клауч

БЕССАРАБОВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАЗРАБОТКА МЕТОДИК РАСЧЕТОВ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Специальность 01 02 06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Диссертация выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии «Опытное конструкторское бюро «ГИДРОПРЕСС» и в ОАО «Научно-производственное объединение по технологии машиностроения»

Научные руководители

член-корр РАН, доктор техн наук Драгунов Юрий Григорьевич доктор техн наук Казанцев Александр Георгиевич

Официальные оппоненты

доктор физ -мат наук Попов Александр Леонидович кандидат техн наук Овчинников Александр Викторович

Ведущая организация

Инженерный центр прочности, надежности и ресурса оборудования атомной техники «ИЦП МАЭ»

"//" ММ

2007 г в

:асов на заседании

Защита состоится

специализированного Совета Д 217 042 02 в ОАО НПО «ЦНИИТМАШ» по адресу 115088, г Москва, ул Шарикоподшипниковская, д 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НПО «ЦНИИТМАШ»

/Г/

Автореферат разослан "_//_"_ 1Г7 2007 г

Ученый секретарь диссертационного Совета канд техн наук

ДН Клауч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Расчет перфорированных элементов энергетического оборудования (коллекторов теплоносителей), трубных досок теплообменных аппаратов, дырчатых листов сепараторов и т п ) с учетом всех отверстий перфорации в расчетной модели крайне сложен и не всегда оправдан с точки зрения как вычислительных, так и трудовых затрат, связанных с построением расчетной модели, подготовкой исходных данных, анализом и обработкой полученных результатов В то же время крайне важно иметь наиболее полное представление о поведении этих элементов в условиях сложного термомеханического на-гружения в целях повышения их надежности, снижения материалоемкости, затрат на производство энергетического оборудования

Острота проблемы обусловлена повреждениями оборудования на отечественных и зарубежных АЭС В период с 1986 по 1991 гг на 25 парогенераторах реакторных установок (РУ) с ВВЭР-1000 были повреждены коллекторы теплоносителя первого контура Трещины наблюдались в геометрической неоднородности перфорации коллектора (неперфорирован-ный «клин»), по обе стороны вертикальной оси, проходящей через вершину клина

По заключению правительственных комиссий, комиссии АН СССР, Межведомственных и ведомственных технических советов, повреждение коллекторов парогенераторов ПГВ-1000 было вызвано совокупным воздействием напряжений и коррозионной среды на металл коллектора Для установления причин повреждения коллекторов уделялось внимание исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС) в коллекторах при технологических операциях и при различных эксплуатационных режимах нагружения Было проведено тензометрирование реальных коллекторов, моделирование технологического и эксплуатационного нагружений на оптических моделях (ОКБ ((Гидропресс», Подольский машиностроительный завод им Орджоникидзе) и целый ряд расчетных исследований (в ОКБ «Гидропресс», РНЦ КИ, НПО ЦКТИ, ЦНИИ КМ «Прометей», и др ) Все исследования НДС свидетельствуют о том, что распределение напряжений в коллекторе имеет чрезвычайно сложный характер, корректно описать которое расчетными моделями удается далеко не всегда

На АЭС с реакторами в США, Европе, Японии применяются, в основном, парогенераторы вертикального типа с плоской трубной доской Спустя 4-7 лет после ввода в эксплуатацию таких парогенераторов были обнаружены повреждения, в том числе трубных досок и дистанционирующих решеток Масштаб повреждений был таков, что в США были созданы национальные программы по поиску причин повреждений и мероприятий по повышению эксплуатационной надежности парогенераторов На отечественных парогенераторах вертикального типа (в основном реакторных установок на быстрых нейтронах типа БН) повреждения трубных досок отмечались значительно реже

Важным аспектом исследования НДС густоперфорированных элементов являются, экономические показатели Приведенные в «Нормах» ПНАЭ Г-7-002-86 формулы для расчета толщины трубных досок не пригодны для многих реальных конструкций, так как их геометрические параметры находятся вне области применения формул В результате расчета толщина трубных досок получается гораздо больше, чем реально необходимая для обеспечения их прочности, что ведет к перерасходу материалов и увеличению трудозатрат (по сверлению, вальцовке и т д) Расчет полуаналитическим методом, основанном на применении концепции эффективной жесткости, отметим работы А И Боровкова, позволяет быстро и эффективно решить эту проблему Однако сами методики расчета полуаналитическими методами, прежде всего способы определения эффективных упругих характеристик (жест-костей) перфорированных элементов, нуждаются в серьезной доработке

Существующие методы расчета перфорированных элементов можно условно разделить на три части

- прямой подход, когда строится подробная (полномасштабная) трехмерная расчетная модель, включающая в себя все отверстия перфорации,

- традиционный метод, когда зона перфорации заменяется гипотетическим сплошным материалом с приведенными упругими характеристиками,

- непрямой метод, когда геометрия расчетной модели описывается как единое целое при помощи обобщенных (импульсных) функций, позволяющих получить обобщенное решение, а затем произвести его детализацию для отдельных отверстий

Прямой подход, ставший возможным благодаря развитию вычислительной техники, не всегда оправдан с точки зрения затрат машинных и персональных ресурсов, громоздкие модели чувствительны к ошибкам машинного округления, что часто приводит к потере точности и устойчивости счета

Традиционный подход позволяет намного уменьшить объем расчетной модели, но существующие аналитические методы определения эффективных упругих характеристик приводят либо к медленно сходящимся бесконечным двойным рядам, главные части которых не имеют абсолютной суммы, либо к сингулярным интегральным уравнениям Применяются специальные приемы, позволяющие обходить подобные ситуации, однако саму проблему медленного суммирования они не решают

Метод, основанный на обобщенных функциях, приводит к сложным дифференциальным уравнениям с коэффициентами, содержащими импульсные функции и их производные, что требует разработки специальных методов решения и специальных приемов их машинной реализации

Поэтому задача усовершенствования методов расчета и создания быстрых и эффективных алгоритмов является весьма актуальной

Цель работы Разработка общей постановки и методов решения задач расчета напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов, позволяющих получать решения в рамках различных моделей Разработка практических рекомендаций для расчетов конкретных элементов энергетического оборудования с перфорацией

Научная новизна работы заключается в универсальной постановки задач моделирования напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов без ограничения на размер модели, в разработке новых методик и алгоритмов решения задач определения напряженного состояния и приведения для перфорированных пластин и оболочек Новые научные результаты работы

1 Разработан усовершенствованный алгоритм расчета эффективных упругих характеристик перфорированных пластин и оболочек на основе применения теории функций комплексного переменного к задаче теории упругости Показано, что решения в виде эллиптических комплексных потенциалов значительно упрощаются, если ввести вспомогательные математические величины и представить потенциалы в виде рядов по элементарным тригонометрическим функциям Получены аналитические и рекуррентные формулы для расчетов комплексных потенциалов, производных от них и коэффициентов их разложений в ряды Лорана Подобное представление позволило создать эффективный алгоритм в виде непрерывной цепочки, рассчитать напряженное состояние в перфорированной пластинке и вычислить приведенные упругие характеристики

2 На основе авторского решения обобщенной задачи Кирша разработана методика определения приведенных упругих характеристик перфорированных пластин в трехмерной постановке, проанализировано их поведение в зависимости от толщины пластины Установлено, что приведенные упругие характеристики в задачах растяжения-сжатия слабо зависят от толщины пластины, поэтому для расчетов с инженерной точностью можно использовать их значения, определенные из плоской задачи Приведенные упругие характеристики в задачах изгиба сильно зависят от толщины для тонких пластин, для толстых пластин они асимптотически стремятся к тому же пределу, что и характеристики растяжения-сжатия Для тонких перфорированных пластин показано, что пренебрежение зависимостью приведенного модуля упругости на изгиб от толщины может обернуться большими погрешностями в расчетах

3 На основе метода обобщенных функций, описывающего геометрию и нагрузки в кусочно-однородных телах как единое целое, и вариационно-асимптотического метода разработана методика расчета перфорированных элементов без решения задачи определения приведенных упругих характеристик Используя вариационно-асимптотический метод возможно свести задачу для перфорированного тела со сложной геометрией к более простым задачам для сплошного тела при помощи моделирования отверстий полями начальных напряжений Это позволяет многие сложные трехмерные задачи свести к двумерным и получить аналитические решения для тел со сложной геометрией При нахождении аналитических решений для тестовых задач выявлен и исследован ряд закономерностей, позволивший их упростить Отработаны приемы и алгоритмы для аналитических решений, важные при практических расчетах

4 Проведены практические расчеты перфорированных элементов с использованием разработанных методик Разработаны практические рекомендации по расчету перфорированных элементов в части учета особенностей конструкции, условий работы и нелинейности свойств конструкционных материалов Отлажена методика расчета температурных полей в эксплуатационных режимах, когда теплообмен в трубных досках теплообменников моделируется заданием фиктивного объемного тепловыделения как функции теплофизических параметров, позволяющая корректно рассчитать усредненное температурное поле в трубных досках и намного сократить время счета Выполнено исследование напряженно-деформированного состояния в трубках и трубных досках теплообменных аппаратов при запрессовке

Общая методика исследований Исследование напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов энергетического оборудования на этапах его изготовления, испытания и эксплуатации проведено с использованием фундаментальных законов термодинамики и механики деформируемого твердого тела Условием, обеспечивающим современный уровень моделирования, является широкий анализ работ в исследуемой области и логическая связь с теоретическими и экспериментальными результатами предыдущих исследований

Методы исследования В работе используются методы теории возмущений, спектральной теории операторов, различные методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории обобщенных функций, численные методы

Достоверность научных положений, выводов, рекомендаций и разработанных методик обусловлена строгой математической постановкой задачи в рамках принятой в механике деформируемого твердого тела системы допущений, корректностью применяемых методов решения, тщательной практической проверкой принятых гипотез и совпадением результатов, полученных различными методами

Практическая значимость работы Результаты работы могут быть использованы для расчетов напряженного состояния перфорированных элементов энергетического оборудования, обоснования выбора их основных размеров, технологий изготовления, оптимизации конструкций с целью снижения затрат при их изготовлении Разработанные методики и алгоритмы реализованы в виде компьютерных кодов Раскрытые механизмы и закономерности развития напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов позволяют совершенствовать инженерные методики проектирования и оптимизации этих узлов Полученные аналитические решения можно также использовать как тестовые задачи для проверки достоверности численных результатов

Личный вклад автора Теоретические и алгоритмические результаты, представляющие научную новизну и выносимые на защиту, получены лично автором или при его непосредственном участии, что подтверждено публикациями Во всех необходимых случаях заимствования других научных результатов в диссертации приведены ссылки на литературные источники Большая часть численных исследований также проведена лично автором

Апробация работы Результаты работы доложены на 2-й Российской конференции «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 30 сентября - 5 октября 2002 г, Геленджик, Краснодарский край, на 3-м межотраслевом семинаре «Прочность и надежность нефтегазового оборудования», 18-20 ноября 2003 г, ФГУП НИКИЭТ, Москва, на 3-й научно-

технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР» 26-30 мая 2003 г, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск, на 6-м Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 22-24 марта 2004 г, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск, на 4-й Международной научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 2325 мая 2005 г, Подольск, ФГУП ОКБ «Гидропресс», на 9-й Международной конференция «Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации оборудования АЭС», Санкт-Петербург, 6-8 июня 2006 г, на 29-м семинаре «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 15 сентября 2006 г, ФГУП НИКИЭТ, Москва, на Седьмом Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, З-б октября 2006 г, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск, на семинаре по проблемам механики в Институте проблем механики РАН 18 октября 2006 г, Москва

Публикации По теме диссертации опубликовано 10 статей и докладов Структура и объем диссертации Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения, содержит 320 страниц печатного текста, 97 рисунков и графиков, 4 таблицы Объем основной части составляет 235 страниц Список литературы состоит из 383 наименований В приложении представлены тексты расчетных программ

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе на основе опубликованных и доступных открытых работ проанализировано современное состояние проблемы расчета перфорированных элементов, сформирована цель и задачи исследований

Расчету НДС коллектора теплоносителя первого контура посвящено много работ, отметим исследования А А Тутнова, Ал-дра С Киселева, Ал-я С Киселева, В В Даничева, в которых строились полномасштабные расчетные модели на основе метода конечных элементов и его развития - метода суперэлементов Несмотря на большой объем проведенных работ, информацию о НДС в перфорированной зоне, которую дают полномасштабные модели, вряд ли можно считать исчерпывающей Каждое отверстие перфорации является концентратором напряжений, причем масштаб изменения напряженного состояния вблизи отверстия очень мал Основное же условие сходимости конечно-элементного решения - размер элемента должен соответствовать масштабу изменения напряженно-деформированного состояния Для уточнения результата требуется измельчение конечно-элементной сетки, что намного увеличивает объем модели и риск накопления ошибок машинного округления На современном уровне развития вычислительной техники возможности обычного персонального компьютера пока не позволяют обсчитывать полномасштабные модели, а тем более проверять их на сходимость

В этой связи полуаналитические методы, основанные на замене перфорированной зоны гипотетическим сплошным материалом с эффективными упругими свойствами (характеристиками), не утратили свою актуальность Традиционный подход, когда эффективные упругие характеристики получают из рассмотрения задачи о напряженном состоянии периодически деформированного упругого слоя хорошо освещен в работах Э И Григолюка и JIА Филь-штинского В основном это решения плоской задачи теории упругости при помощи методов теории функций комплексного переменного Общей теорией осреднения для периодических сред занимался Н С Бахвалов Концепцией эффективных упругих характеристик для перфорированных пластин занимался ряд зарубежных исследователей, следует отметить работы Мейерса, Слота и О'Доннела, результаты которых вошли в нормы ASME и CODAP Большое количество работ посвятил периодическим задачам теории упругости А С Космодами-анский, который также одним из первых сделал попытку решить двоякопериодическую задачу в трехмерной постановке А М Линьков занимался решением периодических задач методом комплексных интегральных уравнений Наряду с аналитическими исследованиями проведено огромное количество конечно-элементных расчетов приведенных жесткостей, основной недостаток которых - необходимость каждый раз переделывать расчетную схему под кон-

кретную задачу При аналитическом расчете эффективных упругих характеристик сталкиваются либо с проблемой суммирования бесконечных рядов, либо с проблемой вычисления сингулярных интегралов Однако при всех недостатках такой подход позволяет намного уменьшить объем расчетной модели, к тому же методы расчета можно усовершенствовать

Существует и другой подход, предложенный Ю М Коляно, основанный на теории обобщенных функций Метод позволяет физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, геометрию оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела описать как единое целое с помощью единичных характеристических функций и получать единые решения для всей области в целом В результате подстановки представленных таким образом величин в уравнения термоупругости получаются дифференциальные уравнения и граничные условия, содержащие коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производные, что требует разработки теории и особых методов решения таких задач Но многих возникающих при этом проблем можно избежать, если соединить идею Ю М Коляно и вариационно-асимптотический метод Такой синтез во многих практически важных случаях позволяет упростить расчетную модель и/или уменьшить ее размерность, дает возможность применить аналитические решения, если не ко всей расчетной области, то хотя бы к ее части, сократить время счета и объем хранимой информации

Во второй главе рассмотрена задача расчета НДС и определения приведенных упругих характеристик перфорированных пластин и оболочек в двумерной плоской и квазиплоской постановке Решение ищется через комплексные потенциалы Колосова ф(г) и ц/(г) (ъ = х + [у - комплексная переменная, I = л/гу)

стч +сту = 4Яе<р'(г) , (1)

о у -а, +2гт,у =2(гср 'й + ч/'й), (2)

где стх,сту-нормальные напряжения в координатах (х,у), тху - касательные напряжения Для представления потенциала ф(г) многими исследователями используются эллиптическая функция Вейерштрасса и ее производные

где PJ = Хц, + I ущ - точка, соответствующая центру _)-го отверстия (контура) на комплексной г-плоскости, хч, уч - координаты центра ,)-го отверстия 0=1,2,3, ), начало координат соответствует J = 0 и в сумму не входит

Для представления потенциала хуф вводят новую специальную функцию

^{Дг'Н}

Существенным недостатком представления потенциалов в виде эллиптических функций является отсутствие удовлетворительных методов расчета их значений и явных выражений через элементарные функции

Тем не менее, эти функции соответствуют физической картине задачи Функция Ч7 (г) = = Ч/'(г) = 1 ¡г2 описывает осесимметричное поле напряжений вокруг отдельного отверстия, поэтому для описания поля напряжений вокруг ^го отверстия следует ввести локальную функцию 1/(г - Р;)2, комбинация (суперпозиция) этих решений дает глобальную функцию

1\(г) = -Ц- + У-!—^ , (5)

которая совпадает с функцией Вейерштрасса (3) с точностью до постоянной величины, которая представляет собой сумму обратных квадратов из комплексных корней P^

Со =1-^7 (6)

г.

Ряд из (6) не является абсолютно сходящимся, его величина зависит от порядка суммирования, поэтому в классическом (математически строгом) представлении функций Вей-ерштрасса как ряда по степеням комплексной переменной г

где

p(z)=A + C0+¿C2n(2n + l) z21 Z п»1

с = Y—_

Zj n2n+2 >

(7)

(8)

полагается, что Со ~ 0, что, однако, не дает никакой пользы в плане вычислений, поскольку пользоваться рядом (7) ввиду его медленной сходимости и накопления ошибок округления при |г| > 1 неудобно

Более удобные формулы для расчетов можно получить если отступить от математической строгости и использовать в вычислениях функцию £г(г) (8) Рассмотрим квадратную решетку с расстоянием между соседними отверстиями равном а' Введем следующие безразмерные координаты х' = их/а' , у'= те у/а' В новых координатах безразмерное «расстояние» между соседними отверстиями в горизонтальном и вертикальном рядах равно числу к Для квадратной решетки удобно ввести нумерацию отверстий с двумя индексами, каждый из которых меняется от-оо до+оо т= ,-3,-2,-1,0,1,2,3, , к= ,-3,-2,-1,0,1,2,3, где т = 0, к = О соответствует центральному отверстию (началу координат) В этих обозначениях функция {2(2) будет иметь вид

i

т-* к" „"^о (г - тя - 1ктг)2 где к, т вместе не равны нулю

Теперь зафиксируем к и будем рассматривать суммы в (9) вдоль оси «х» - для к = 0 получается (Л Эйлер, 1742г)

1

+ ^ I Х-

z m.-«°(z—тя)

+z7

1

(z-тя) для любого к Ф О

-= +

1

1

1

1

(z+2rc)2 (z+7c) 1

Z (z-7t)

1

1

(z-2 я)2

1

= 2 > sin z

(z - nra - ikit)2 sin2(z-tkn) С учетом (10) и (11) формулу (9) можно записать как

1

+ 1

1

1

(9)

(10)

(12)

БШ 2 (г - 1лк) 51П2(г + 17гк)] ' где индекс «х» означает, что суммирование было произведено вдоль оси абсцисс Подобный подход с точки зрения строгой математики неверен, так как для суммы обратных квадратов особых точек Со функции {2(г) (9) дает величину

С„. = lim f2s (z)--

z

;-2Í

■> k-l

1 -1 cf_

sh2(te) 3 á(l-É

(13)

-е—)2 л '

отличную от нуля, в то время как из физических соображений (задача симметричная и фактически совпадает с задачей определения электрического поля в системе равноудаленных точечных зарядов) следует, что в данном случае Со = О

Однако если в формуле (9) зафиксировать т и просуммировать двойной ряд вдоль оси «у», то можно получить другое выражение

1

1

sh2 (z - ran) sh2(z + 7tm)

(14)

Для представления (14) C0y =-7t"', поэтому функция i (f,x (z) + f2y(z)) для которой

Со = 0,5(Cox+ Coy) = 0 может бьггь использована вместо функции Вейерштрасса (3) Вычисления по (12) гораздо проще, чем по (3), так как ряд в (12) имеет экспоненциальную сходимость

Для шахматного расположения отверстий также можно получить подобные (12) и (14) выражения, рассмотрев суммы вдоль осей

ы

os2(z-i(2k-l)a) cos2(z + t(2k-l)a)_

_sm2(z-2ika) sm2(z+2ika)

(15)

где а - параметр решетки, соответствующий расстоянию между соседними рядами по оси «у» (вертикали),

Г ^

ЪЛг)-

я

sh"

+ 1

к ( Ti(2m-

— z + —i-

2а V 2

(16)

Для этих функций в общем случае Сох * Coy * 0, однако Сгпх= С2пу, n = 1,2,3, (это подтверждается разложением в ряд Лорана), то есть, эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину Следовательно, вместо функции Вейерштрасса можно использовать ее аналоги Í24(z) - Со* или £>y(z) - Coy

Описанный выше подход распространяется и на другие решения задачи теории упругости Формулы Колосова основаны на комплексном представлении Гурса для функции напряжений Эри, уравнение для функции Эри % и выражения для напряжений в полярных координатах записываются как

,dr2+r5r г2 дв

Í

дх2 г бх г2 591

' г дх X2 эег

д2Х

-ЦЩ (П)

arlrsej

Это уравнение имеет два ограниченных на бесконечности решения вида F(r) cos 20

- гармоническую функцию А г-2 cos 20 , (18)

- и бигармоническую функцию В cos 20 , (19) где А, В - постоянные

Для гармонической части (25) легко показать, что это ничто иное, как вторая производная от рассмотренного выше потенциала T(z) = i|/'(z) = l/z2

Для бигармонической функции (19) напряжения описываются потенциалом Ф(г) = <p'(z) = l/z2, только в данном случае решение имеет вид

X(z) = z/z2 , (20)

суперпозиция этих решений дает

Xх,-

1 .У, 1 , у Р)

(21)

ъь1*!

Первое слагаемое в правой части (21) - это уже известная функция £г(г), вторая часть с точностью до линейных членов совпадает с функцией (4) Эта функция гармоническая, и бигармоническая часть решения, выраженная через потенциал Ч^г) = £г(г), тесно связана с ней функциональным соотношением (коэффициенты при этих функциях должны быть равными) Рассмотрим производную этой функции, так как именно она определяет напряжения - Р, ,2, 2 ^,г-211ш(Р,)

Просуммируем функцию (22) вдоль оси «х»

y2a(z) = 2f2(z)-2z-^+2£ sin z "

(z-2i(2k-l)a)sir(z-i(2k-l)a) (z+2i(2k-l)a)sir(z +i(2k-l)a)'

as'(z-i(2k-l)a)

co^(z+i(2k-l)a)

(z - 4tka)co^z - i2ka) (z+4ika)co^z+г2ка)

sin'(z-i2ka)

sm'(z+i2ka)

Получается, что, во-первых, специальные функции представляют собой суперпозицию элементарных решений теории упругости, во-вторых, они могут бьггь выражены при помощи быстро сходящихся одинарных рядов из известных аналитических функций

Такой подход позволил не только решить проблему суммирования бесконечных двойных рядов, но и получить соотношения между специальными функциями, вывести как прямые, так и рекуррентные формулы для коэффициентов их разложений в ряды Лорана, далее на основе этих соотношений и дифференциального уравнения Вейерштрасса построить алгоритм расчета специальных функций и их производных в виде непрерывной цепочки

Выбор же глобальных комплексных потенциалов, естественно, остается стандартным, но вместо функций р(г) и (¿(г) используются Т2(г) и Ч'г^г)

Ф(г) = сс0+£а2:

(г)

4<(2) = р,

кж0 (2к+1>' (2к+1) ■ где сск, Рк - постоянные, определяемые из граничных условий на контуре

2 Яе(Ф(1))- [1Ф'(0 + Ч'(1)]е21° = а, - , где I = р е'°, р - радиус отверстия в безразмерной системе координат Граничные условия на контуре представляются в виде разложения по коэффициентам Фурье, так как Ф(г) и ^(т) - аналитические функции, то для них коэффициенты Фурье получаются из разложения по степеням г, то есть, из разложения в ряды Лорана Г2(г) и ^„(г)

Далее, из рассмотрения НДС определяются средние перемещения решетки, а по ним - эффективные упругие характеристики

В качестве примера в таблицах 1 и 2 приведены эффективные упругие характеристики для правильной треугольной решетки Решетка обычно характеризуется отношением диметра отверстия к шагу, в зарубежной литературе оно называется «эффективной перемычкой» В отечественных нормах это отношение используется как коэффициент снижения прочности В таблицах 1 и 2 приведены данные из наиболее известных источников, для сравнения приведены результаты расчетов по вышеизложенному материалу

В качестве тестового примера рассмотрена также квадратная решетка, повернутая на 45°, под действием напряжений стх = 1 иа, = 1 по отдельности (рисунки 1, 2) Результаты полностью совпадают, как между собой, так и с конечно-элементными решениями

'(г)

(24)

(25)

0 0 25л 05п 0 75л

Рисунок 1 - Распределение напряжений в перемычках между отверстиями по осям X и У при растяжении перфорированного слоя напряжениями сту = 1 при параметрах решетки р = , а = тЛ

Рисунок 2 - Распределение напряжений в перемычках между отверстиями по осям X и У при растяжении перфорированного слоя напряжениями <тх =1 при параметрах решетки р = , а = тЛ

Таблица 1 - Приведенный модуль упругости для правильной треугольной решетки

Эффективная перемычка (коэффициент снижения прочности) Е*/Е

по Мейерсу по Григолюку и Фильштинскому по Слоту и О'Доннелу результаты расчета

0,1 0,0482 0,0482 0,0482 0,0482

0,2 0,1462 0,1461 0,1462 0,1462

0,3 0,2675 — 0,2675 0,2675

0,4 0,3970 0,3968 0,3963 0,3968

0,5 0,5291 — 0,5291 0,5291

0,6 — 0,6621 0,6621 0,6621

0,7 0,7895 — 0,7895 0,7895

0,8 0,8990 0,8996 0,8986 0,8985

Таблица 2 - Приведенный коэффициент Пуассона для правильной треугольной решетки

Эффективная перемычка (коэффициент снижения прочности) у*/у (V = 0,3)

по Мейерсу по Григолюку и Фильштинскому по Слоту и О'Доннелу результаты расчета

0,1 0,6844 0,6834 0,6843 0,6842

0,2 0,4886 0,4887 0,4889 0,4889

0,3 0,3841 — 0,3841 0,3841

0,4 0,3370 0,3372 0,3374 0,3374

0,5 0,3194 — 0,3194 0,3194

0,6 — — 0,3118 0,3118

0,7 0,3070 — 0,3070 0,3071

0,8 0,3030 0,3036 0,3033 0,3034

В третьей главе рассмотрена задача определения приведенных упругих характеристик в трехмерной постановке За отправную точку принято решение обобщенной (трехмерной) задачи Кирша, которое строится при помощи трех систем функций Первая система состоит из двух плоских (двумерных) решений - упругие коэффициенты Ламе)

иг(г,е,2) = 1/г , ио(г,е,г) = 0, и2(г,е,г) = 0, (26)

иг(г,0,г) = г"3 соз29 , ив(г,6,г) = г-3зш29 , иг(г,6,г) = 0 (27)

и одного трехмерного

и,(гД2) = Г-1^1+-^4]"п2в. и2(г,е,2)=-\4со£е (28)

^г Х+ц г ) ^ 2 ц+1 г ц+Х г) р+А. г

Эти решения удовлетворяют граничным условиям на верхней и нижней гранях пластины

а2 = 0 , = 0 , сг^. = 0 при г = ±Ь (29)

В результате же подстановки этой системы в граничные условия на контуре отверстия остается несбалансированная знакопеременная система напряжений, для устранения которой следует применить дополнительные трехмерные решения

иг(г,8, т.) = С6 (К, (тот/И) - К,(т7П'/Ь))со5(т71г/Ь)со5 20, иДг.е.г) = -С6(К,(писг/11) + К,(ш71г/Ь))соз(тл7/Ь)з1п2е, (30)

и2(г,9,2) = 0,

где К„ - модифицированная функция Бесселя 2-го рода порядка п, т = 1,2, 3, ,

ur(r,9,z) = --(К,(ут) + К3(уг)ХС7 cos(Yz)-C7yzsin(Yz)+C8 cos(yz))cos29,

Л

u0(r,e,z) =--K2(yrYC7 cos(yz)~C7yzsin(yz) + C8 cos(Yz))sm29 , (31)

yr

u2(r,0,z) = -K, (yr)^C7yz cos(yz) + C8 sin(yz) - C7 - stn(yz)j cos 20,

где Сб,С7,С8 - постоянные, у - корни уравнения

2y' + sin2Y' = 0, y' = yh (32)

Не теряя общности можно положить С7 = 1, получить выражение для Сг

С8 = cos2y - \/(к + р) , (33)

а также коэффициенты разложения решения (31) в тригонометрические ряды в аналитическом виде, которые совместно с разложениями для (26)-(28) служат для построения системы алгебраических уравнений, из которой определяется общее решение Рассмотрены алгоритм построения и способы преобразования (упрощения) матрицы этой системы Решения, полученные аналитическим путем сравнивались с конечно-элементными (рисунки 3,4)

Далее методика решения обобщенной задачи Кирша распространяется на двоякопе-риодическую задачу К главным (квазиплоским) частям в решении, подобным (26), (27) и (28) применяется теория Колосова, комплексные потенциалы определяются по методике, изложенной во второй главе К остальным (трехмерным) частям решения применяется теория обобщенных аналитических функций и теория цилиндрических (Бесселевых) функций

Подобный подход справедлив и для задач изгиба перфорированных пластин в трехмерной постановке, только вместо симметричных решений (26)-(28), (30), (31) используются антисимметричные по координате «z»

С момента разработки первого варианта программы расчета приведенных упругих характеристик до настоящего времени выполнено большое количество расчетов с целью уточнения упругих характеристик отдельных перфорированных элементов Параллельно для верификации проводились расчеты методом конечных элементов Результаты также сравнивались с имеющимися в литературе данными, в частности с нормами ASME и CODAP Наблюдается качественное отличие в поведении приведенного модуля упругости Е в задачах растяжения-сжатия и изгиба Если в первом случае он слабо зависит от толщины пластины и с ее увеличением возрастает, то в задачах изгиба он сначала довольно резко уменьшается, затем стремится к некоторому пределу, к такому же пределу стремится модуль на расгяжение-сжатие На рисунке 5 в качестве примера показано изменение Е на изгиб и растяжение-сжатие для правильной треугольной решетки с эффективной перемычкой 0,5

„ 3 15Г-

-------аналитическое решение

' ' ! - конечно-элементное решение - решение из плоской задачи Рисунок 3 - Распределение окружных напряжений ав сечении 0 = 0 (диаметр отверстия равен толщине пластины)

--аналитическое решение

( и [ - конечно-элементное решение Рисунок 4 - Распределение нормальных напряжений с2 сечении 0 = 0

к.

Е

относительная толщина пластины —

-- - приведенный модуль на растяжение-сжатие

- приведенный модуль на изгиб □□□ - приведенный модуль из норм ССШАР

Рисунок 5 - Зависимость приведенного модуля упругости на растяжение-сжатие и изгиб для правильной треугольной решетки от толщины пластины Отношение диаметра отверстия к шагу решетки 0,5

относительная толщина пластины —

.......... - приведенный коэффициент Пуассона на растяжение-сжатие

— приведенный коэффициент Пуассона на изгиб QX) - приведенный коэффициент Пуассона из норм COD АР Рисунок 6 - Зависимость приведенного коэффициента Пуассона на растяжение-сжатие и изгиб для правильной треугольной решетки от толщины пластины Отношение диаметра отверстия к шагу решетки 0,5

Приведенный коэффициент Пуассона V- для задач растяжения-сжатия плавно уменьшается, в задачах изгиба - резко возрастает На рисунке 6 показано изменение V на изгиб и растяжение-сжатие для правильной треугольной решетки с эффективной перемычкой 0,5

В зарубежных нормах пластины с отношением толщины к шагу менее 0,2 считаются очень тонкими и для них зависимости приведенных упругих характеристик от толщины не рассматриваются (считаются постоянными) Однако по результатам исследования получается, что эти характеристики при изгибе существенно изменяются в данном диапазоне толщин, что, очевидно, надо учитывать Следует также более строго подходить к методике проведения экспериментов, потому что для тонких пластинок неточности в изготовлении опытных образцов могут обернуться большими ошибками в измерениях

В четвертой главе рассмотрен метод расчета перфорированных элементов без решения задачи определения эффективных упругих характеристик Среди недостатков концепции эффективной жесткости следует отметить неопределенность решения на границах перфорированных зон и сплошного материала -здесь требуются дополнительные исследования краевых эффектов Расчет с использованием этой концепции также не дает детальной информации о напряженном состоянии перфорированной зоны

Ю М Коляно предложил метод расчета кусочно-однородных

тел, основанный на применении обобщенных функций В результате получаются дифференциальные уравнения, содержащие коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производные, что требует разработки теории и специальных методов решения таких задач Но есть другой способ использования данной идеи Заменим расчетную перфорированную область V на более простую сплошную область V' - без отверстий Введем функцию ш(х, у, z), равную нулю если точка с координатами (x,y,z) находится в отверстии перфорации (то есть, вне области V) и равную 1, если точка (x,y,z) находится в области V Как и всякая другая функция, <5(х, у, z) может быть представлена в виде

co(x,y,z) = co0+r| Дш(х,у,г) (34)

где Шо - постоянная (некоторое среднее значение),

Дш(х,у,г) - функция координат, характеризующая отклонение от среднего значения,

г| - некоторая величина (параметр)

Далее воспользуемся вариационно-асимптотическим методом, описание которого можно найти, например, у В Л Бердичевского Рассмотрим энергию упругой деформации

W = 1 {(ах£х + стуЕу + стге2 + 2ахувху + 2стХ2е„ + 2стугбуг)аУ (35)

V

где V - объем расчетной области, ~ компоненты тензора напряже-

ний, бч.еу.Ег.Еху.Ехг.Еуг - компоненты тензора деформаций

В тензорном анализе приняты обозначения х!=х, хг=у, хз=г, стц = <тх, огг = стзз = сг7)

012 = Ст|3 = Стщ, СГ2з = СТуг, Вц = Ё22 = Еу, ЕзЗ = £г, £[2 = £ху, Е]3 = Ё23 = Еуг

Энергия (86) рассматривается как функционал, стационарное значение которого дает искомое напряженно-деформированное состояние Этот функционал (86) представляет собой интеграл по исходной области V, который с учетом (85) можно заменить интегралом по более простой области V' В введенных выше обозначениях это записывается как

= = (36)

¿V 2 V V V

Далее считаем функционал (87) определенным на некотором множестве элементов и и зависящим от параметра г) Это множество элементов в случае (35, 36) суть упругие перемещения Соотношения между перемещениями и деформациями

\( Эи, ои \

где и,, 1= 1,2,3 - компоненты вектора перемещений, х^ = 1,2,3 - координаты, можно записать в матричной форме через вектор перемещений и и, соответственно, матрицу дифференциальных операторов В

{е,} = ви (38)

Остановимся на случае изотропного материала, имеющего две независимые упругие характеристики Ламе Лир, когда напряжения через деформации выражаются как

=2йе„ +Л(е„ +£,, +£„) , 1= 1,2,3, а12=2рЕ,2, ст]3 = 2р£13, ст2!=2де,3, (39) или в матричной форме

{а, } = №,}, (40)

где [Л] - матрица упругих коэффициентов размерности 6x6

Энергетический функционал с учетом (38), (39) и (40) можно, выразив его через перемещения, переписать в виде

W = iíZ0.J£HV = |íZcЛ®(x•У^z)dV' = {í'IЧвй.BG)(®o + nДto(x,y,z))lV' (41)

2 V 2 V 2 V

В математической физике представление энергии через перемещения называется энергетическим скалярным произведением и обозначается как [¡¡,0] Рассматривая (41) зависящим только от перемещений и параметра т| \У(и, т|), устремим г| к нулю Очевидно, что в (41) останется только один член

^о(ио>Л) = <МУ' = \|[П0> й0]МУ, (42)

2 V 2 V

где через и0 обозначены перемещения, соответствующие минимуму функционала (42) Функционал (42) и его стационарная точка ио являются первым приближением для исходного функционала (36), но это ничто иное, как решение обычной задачи с упругими характеристиками, измененными в ш0 раз

Второй член асимптотики ищется следующим образом Представим и в виде и = ио + и|, где ио - стационарная точка функционала (42), получим функционал Ш(ио + щ, т|) Жио + и,,г|) = |[й0,и0]со0бУ' + ^-т||[и0,й0]Дох1\'' + |[й0>й,]со0б\'' +

у 2 у V (43)

+ г)|[й„,а|]Дох1У, + -|[й1>а1]а)0дУ' + -5-'п|[йра1]Дох1У'

Сохраним в функционале W(uo + иьг|) главные члены, содержащие иь используя то обстоятельство, что ио теперь фиксировано и члены, содержащие только ио - постоянные величины, которые не влияют на конечный результат Получим функционал т|)

^(и,,г!) = |[ао)П1]ю0дУ' + г1}[и0,й,]Дох1У' + 1 {[и„и,]со0<1У' (44)

V V ^ V

где первый член можно опустить, поскольку он представляет собой поправку к ио Интеграл со скалярным произведением [П0,й,]можно записать разными способами

|[u„,al]ДoxlV' = i|2:(c1),J(eo),JДcodV' = iJXK),ДE,),JДtodV^ (45)

V ^ V ^ V

последний наглядно показывает, что решение 11| определяется полем начальных напряжений его, полученным из решения предыдущей задачи, умноженным на функцию Дш(х,у,г)

Третий член асимптотики находим аналогично, представляя и = и0 + и|+ и2, где ио, и1 зафиксированы (представляют собой решения предыдущих задач) Поступая также с остальными членами асимптотического представления, строим последовательность функционалов, минимизация которых и дает искомое решение

Преимущество такого подхода в том, что здесь не требуется решения задачи об определении эффективных упругих характеристик, становится возможным получить решение в аналитическом виде и во многих практически важных случаях упростить расчетную схему и свести трехмерную задачу к двумерной Для наглядной демонстрации сути и возможностей вариационного подхода, разобрано несколько тестовых задач

В разделе 4 2 при помощи вариационно-асимптотического подхода получено аналитическое решение задачи Хауленда о растяжении бесконечной полосы с отверстием Решение представляет собой комбинацию известных решений теории упругости в полярных координатах и преобразования Фурье вдоль полосы в декартовых, которое в процессе получения последовательности приближений использовалось многократно Проведенный анализ результатов показал совпадение с литературными данными и конечно-элементными решениями

В разделе 4 3 рассмотрены методы построения аналитических решений для областей конечных размеров при помощи вариационно-асимптотического подхода на примере полосы конечной длины с отверстием Задача сведена к поиску последовательности решений для прямоугольной области, отверстие моделировалось заданием полей начальных напряжений

Рассмотрены прямое (аналитическое решение) решение при помощи специальных функций, аналитическое решение в сочетании с вспомогательным разложением в ряд по тригонометрическим функциям, разложение в ряд по собственным функциям, численное решение в сочетании с разложением ряд при помощи метода Ритца

Во всех случаях решение строилось в два этапа - на первом использовалось разложение в ряд по длине полосы, на втором напряжения на границе снимались дополнительными решениями типа краевого эффекта

Для достаточно длинной полосы решение близко к решению Хауленда, разница заключается лишь в краевых эффектах вблизи верхней и нижней границ, для короткой - влияние торцов настолько значительно, что использовать предложенный Хаулендом метод невозможно

В разделе 4 4 трехмерная задача расчета НДС толстостенной оболочки с отверстием (рисунок 7) сведена к двумерной (осесимметриченой) схеме (рисунок 8) В этом случае средним значением функции ю(х, у, ¿) является отношение объемов оболочки с отверстием и без него

ш0=У/У' = 1-У0/У', (46)

где У0 - объем, «вырезанный» из оболочки отверстием

(47)

здесь гь г2 - внутренний и внешний радиусы оболочки, г0 - радиус отверстия, г0 - координата оси отверстия, И - гипергеометрическая функция Гаусса

Функция Дсо(г,0,г) раскладывается в ряд Фурье в полярных координатах

Дсо(г, б, г) = П0 (г, т) + £1, (г, х) соб 0 + П2 (г, г) сое 20 + П3 (г, г) собЗЭ + , (48)

где

П„Сг,2) =

-~аЦУГ«-(г-0ТА) если г° - (г - - 0.

У./У' если г„2 < О

~2т]г;-(г-г0У/ш если га2 -(г-г0)2 гО О еслиг0" -{х~г0У <0

Й,(г,г) =

_ I- ^ -1" & ■" С>3 )Аг ТпМ^Т/- еслиг„; - (г-г0)2 >0

О

и т.д.

(49)

(50)

(51)

если г; ~(г-г<,}; <0

Получается, что расчет можно вести по 2-мерной схеме, где расчетная область - прямоугольная, ограниченная прямыми г = Г|, г = г3, г = 0 и г = Н (Н - высота оболочки). Область задания начальных напряжений, моделирующих отверстие - регулярная, между двумя прямыми г = ± г0 (рисунок 8).

Каждое приближение ищется в виде ряда типа (48), поля начальных напряжений в осешмметричной схеме определяются функциями По, П|, П2> ... . Для оболочки с отверстием применялись методы, описанные в разделе 4.3. Аналитическое решение получено в вндс комбинации элементарных и модифицированных функций Бесселя и Струве. Собственные функции найдены на основе анализа системы дифференциальных уравнений Ламе в полярных координатах и представляют собой комбинации функций бесселя с двумя параметрами. Более подробно рассмотрено численное решение методом Ритца с использованием системы полиномов Лежандра, так как его реализация в этом случае сложнее, чем в плоском. Все элементы матриц получены аналитически при помощи тео-

Рисунох 7 - Схема для расчета оболочки

область здании* иачалшгАИй-пряжсинГ! вместо отверстия

111

' ////// Рисунок 8 - Модифицированная схема

рии функций Лежандра и более общей -теории гитгергео-мегричсских функций Гаусса. Несбалансированная система напряжений на верхней грани оболочки устранялась решениями типа краевого эффекта, полученными при помощи функции напряжений Лява.

Полученные различными методами результаты хорошо согласуются между собой и численными, решениями - конечно-элеменшьгаи и аппроксимациями полиномами Лежандра как но радиальной, так и по осевой координатам. Отметим, что конечно-элементние решение (рисунок 9) занимает около гигабайта машинной памяти. Аналитическое решение (рисунок 10) требует на порядок меньше ресурсов и дает более точный результат.

В пятой главе приведены результаты расчетов перфорированных элементов энергетического оборудо-ващш. Коллектор теплоносителя первого контура РУ с ВВЭР-1Ш0 имеет 11000 отверстий перфорации Шаги отверстий по внутренней и внешней поверхностям коллектора значительно отличаются. Следовательно, перфорированная зона коллектора представляется в виде цилиндрически ортотролного материала с упругими характеристиками, зависящими от радиальной координаты г

I -4.057

Рисунок 9 - Поле осевых напряжений в оболочке Конечно-элементное решение

Рисунок 10- Поле осевых напряжений а обил очке Аналитическое решение.

Для определения этих упругих характеристик перфорированная область разбивается на несколько (в пределе - на бесконечно большое число) элементарных слоев по радиальной координате г с малой толщиной Дг. Результаты расчетов эффективных модулей упругости в окружном £е(г) и осевом БДг) направлениях для коллектора показаны на рисунке И.

Так как эффективные упругие характеристики - функции координат, то получающаяся в итоге система дифференциальных уравнений весьма сложна и объемна Задача упрощается, если каждую из полученных харак- о.н

Ej/E М

Q.Z9 0,М 0,27 0,26 0.25 0,14 ОДЭ 0.22 ':>.:; 0,10

теристик представить как

Е, = Ео|^-ДН1(гАг) (52) где Ео, - константа (некоторое среднее значение), г| - малый параметр, а решение системы 0 (вектор перемещений) как

п = п„ + Г|П, +ПгЧг +п'0э+- (53) Тогда задачу можно свести к последовательному решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Запишем систему в операторном внде:

А(№)=0, (54)

где А - матричный дифференциальный оператор, [X] - матрица упругих характеристик.

Подставим в (52) (53) и (54):

а|4х0] + ч[ДХ1)(а0 + -па, + т\!пг + Т15а3 +...)]=

= А([Х0 ]п „)+-р А{[ДЯ]а0)А^Х;, ]а, Т12 А(£ДЧп,)+111 г)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра Т[ в (106) получаем последовательность систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

А<[Х{]ио)=0; А^Ь-А^К); А^п,) = - А([ДХ]о,); ... (56)

420 140 160 480 ■00 530 40 SíO Slll

радиус г, мм

Рисунок 11 - Эффективные нормальные модули упругости перфорированной зоны коллектора в зависимости от радиуса: --значения Е*/Е ----значения Е/Б

(55)

I

- 18-

Каждое из уравнений (56) определяет отдельную задачу расчета перфорированной зоны коллектора со средними по радиальной координате упругими характеристиками. Модель с эффективной жесткостью (рисунок 12), однако, не дает детальной информации о напряженном состоянии перфорированной зоны, поэтому здесь требуются уточняющие расчеты. Наиболее рационален следующий алгоритм:

- на первом этане расчет по схеме с приведенной жесткостью;

- на втором этапе локализация интересующей нас области и выделение для нее из первого этапа перемещений в качестве граничных условий для последующего расчета;

- уточненный расчет (детализация) части конструкции с граничными условиями (перемещениями), полученными из схемы с приведенной жесткостью

Потюмаашабная модель (рисунок 13) показывает, что по сравнений с другими частями коллектора зона перфорации является первостепенным концентратором напряжений, причем разница в уровне напряжений возле отдельных отверстий в определенном горизонтальном ряду невелика. Отметим, что эта модель весьма громоздка, и работать с ней даже в плане анализа решения неудобно. В этом смысле вариационный подход более гибок, так как решение можно проводить по двумерной (осссимметричной) схеме, моделируя перфорированную зону сплошным материалом с начальными напряжениями, определяемыми функциями типа (49)-(51). Такой расчет (рисунок 14) также предпочтительнее в смысле реализации, так как сокращается число узлов расчетной схемы н уменьшается размерность матрицы жесткости, следовательно, требуется гораздо меньше машинных ресурсов и времени на счет, а это является главной проблемой при построении полномасштабных моделей.

Сторонники полномасштабных моделей в качестве аргументов в ич пользу приводят возможность учета всех конструктивных деталей и особенностей нагружения коллектора, остаточные напряжения и пластические деформации, а так же изменение свойств материалов в зависимости от температуры, т. е., решение задачи в нел¡шейной постановке.

Однако нелинейная постановка задачи «напрямую» оправдана только в том случае, если присутствует резкая нелинейность, когда линейные приближения «работают» плохо. Метод малого параметра, частпьсй случай которого показан в (54)-(56) успешпо применяется в задачах

Рисунок 12-Окружные напряжения в коллекторе Рисунок 13 - Окружные напряжения в кол-Модель с эффективной жесткостью лекторе Полномасштабная модель

L

Рисунок 14 - Окружные настряжеиия г сечениях коллектора. Расчет по двумерной схеме варнационно-асимпгжтчсскйм методом

со «слабой» нелинейностью, в том числе и в теории теплопроводности и термомеханике. Метод также обобщается на упругош]астическуго задачу, нелинейности в этом случае заменяются рядами по нескольким параметрам одновременно.

Напряженное состояние коллектора изучалось достаточно подробно. Наряду с большим количеством расчетных исследований, были проведены экспериментальные работы, такие как тензометрироваше реальных коллекторов и измерение напряжений поляриза-ционно-оптическим методом на смоляньгх моделях.

Поляризационно-отттические исследования НДС проводились на объемной модели, подобной натурному коллектору, выполненной в масштабе 1:3. В исследуемых зонах перфорация оптической модели (8-10 рядов) была выполнена с соблюдением геометрического подобия натурных размеров диаметра и шага отверстий, теплообменньге трубки при этом не учитывались, Остальная область была выполнена отверстиями большего диаметра, исходя из условия подобия жест-костей. На рисунке 15 показано распределение средних напряжений в перемычках между отверстиями вдоль ^перфорированного клина, полученное экспериментальным и расчетным путями. Результаты удовлетворительно согласуются, довольно большой разброс экспериментальных значений объясняется, скорее всего, неточностями в изготовлении модели и случайной погрешностью поляризационно-оптических измерений. Вклад в погрешность также вносят не полностью подобное натурному воспроизведение отверстий перфорации (1426 вместо 11000) и методика экстраполяции, применявшаяся при обработке данных.

Другой пример применения вышеописанных методик - расчет камер парогенератора реакторной установки БН-600. На рисунке 16 показано конструктивное исполнение верхней паровой камеры испарителя. В нижней части камеры — трубная доска, в которую заделаны 349 груб 16*2,5 мм. Разбивка треугольная, равномерная, с шагом 28 мм.

В процессе эксплуатации камера подвергается сложному термомеханическому нэгруже-

нию, перепады температур могуг достигать сотни градусов по Цельсию. Расчет по полномасштабной модели одного из эксплуатационных режимов занял бы несколько недель машинного времени. Поэтому задача была упрощена введением эффективных упругих и теплофизических характеристик для трубной доски и заданием эквивалентных ншрузок.

Теплообмен конструктивных элементов с теплоносителями моделируется заданием граничных условий 3-го рода:

= (57)

сп

где Я., - теплопроводность, a¡ - коэффициент теплоотдачи, Т - температура поверхности, Тс - температура среды, граничащей с телом, п - нормаль.

Исходные данные по тепловым граничным условиям (ГУ) делятся на три части: ГУ1 - теплообмен в нижней водя-

угол, град

-- расчетные осевые напряжения - - -экспериментальные осевые напряжения

------ - расчетные окружные напряжения

□□□О - экспериментальные окружные напряжеятоя Рисунок 15 - Сопоставление усредненных расчетных напряжений с результатами поляризационно-оптического эксперимента на внешней поверхности коллектора

нон камере и теплообменных трубах; ГУ2 -теплообмен в патрубке выхода пара; ГУЗ -теплообмен в натриевой камере. Граничные условия в натриевой камере задаются с учетом тепловых экранов. Здесь рассчитывается эффективный коэффициент, который определяется как (5 - толщина экрана):

ас„ =(<*;'(58) В зависимссти от толщины экрана ГУЗ модифицируются (ГУЗ. 1, ГУ 3.2, ГУЗ.З и т.п.).

Расчетная схема для определения тем- паштет »ыхои пара пературных полей представлена на рисунке 17. При расчете трубная доска заменяется сплошным материалом с приведенными те-шюфизйческими характеристиками. Теплообмен в трубной доске (передача тепла от теплоносителя 3-го контура трубкам, а от трубок - металлу самой трубной доски) учитывается при помощи введения фиктивного объемного тепловыделения Оу.

Ч.=^=а,(Тс-т)~; (60)

г

Кришяа

К верхняя гторояня I

Мпчсра верхняя натриевая

Рнсунок 16 - Верхняя камера испарителя

<5 = «,(Т5 - Т)- И - суммарный тепловой поток в трубной доске; V -- - плоишь

теплообменной поверхности в доске, г - внутренний радиус трубки, 5м - толщина доски, п^ -число труб.

Это объемное тепловыделение зависит от температуры и задается как функция от теп-лофизических параметров. На рисунке 18 приведено температурное поле в камере в воми-

нальном режиме. Здесь средняя темпе-

Ш вались для расчетов НДС.

Кроме тем :ературных гради тов на камеру действуют силовые фак-

| давление во втором И третьем конту-

рах, возникающий при зал-яге шпилек | изгибающий момент на фланце, кото-

рый моделируется заданием эквива-

расчета была создана полномасштабная модель камеры (с учетом всех отверстий). На рисунках 19 и 20 приведены распределения радиальных напряжений при гидроиспытании по 3-му контуру для модели с эффективной жесткостью и полномасштабной модели соответственно. Результаты хорошо согласуются в смысле абсолютных значений для ^перфорированных областей камеры и в смысле средних значений для перфорированной зоны - трубной доски.

Анализ расчетов показывает, что напряженное состояние в камере близко к осесиммет-ричному. Поэтому здесь можно применить вариационно-асимптотический метод к осесиммет-ричной схеме, для которой конструктивные неоднородности, такие как палрубок отвода пара и еггверстия перфорации, являются «возмущающими» элементами. На рисунке 2) показано распределение окружных напряжений в камере испарителя, полученное этим способом Результаты

Рисунок 17 - Расчетная схема для определения температурных полей в камере

близки к решению по полномасштабной модели (рисунок 22), что доказывает корректность использованных ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ методик и принятых допущений.

Основной прием вариащюн-но-асимптотичсского метода заключается в задании поля начальных напряжений. Следовательно, метод ле- Г^ИИИИиИИИ^Ис!^^ гко обобщается на упруго пластаче-ские задачи с лишь разницей, что на каждом этапе задается поле пластических деформаций (и, соответственно, напряжений). Таким путем проведено исследование упру-

гоппасгнческого НДС, возникают»- ^Я го в трубках и трубных досках теп- ^~Щ ...—ш^и^™

лообменных аппаратов при эапрес- Рисунок |8 _ Температурное ноте в камере в номинальном режиме совке. Методика отлаживалась на

тестовых моделях, результаты расчетов сравнивались с конечно-элементными исследованиями, выполненными специалистами ЦНИИТМАШ. Были рассмотрены однотрубные модели прессо-

кого соединения в плоской и осесиммет-рнчной постановках и плоские многотрубные модели.

Диаметр трубок - толщина стенки мм, радиальный между трубой и доской 0,¡25 мм. Давление гидроразда™ составляло 400 МПа. Поведение материалов трубки и трубной доски описывалось теорией течения с линейным изотропным упрочнением. Величина пределов текучести материалов трубки о„р и доски ст-и варьировалась от 200 до 1000 МПа при модуле линей-

График изменения величины контактных сборочных напряжений сть ™ ' " "" "* ™ " Н между трубкой и доской в зависимости

Рисунок 19 — Распределение радиальных напряжений в камере от величин пределов текучести мате-при гидроиспыташн. Модель с эффективной жесткостью риалов последних, приведен па рисуи-

конт'^к![к^рга^^^п-^а мн1шкьо-вення при разгрузке пластических деформаций обратного знака. Контактные напряжения между трубкой и доской сохраняются и в том случае, когда предел текучести металла трубки выше предела текучести, материала доски, хота эти напряжения оказываются существенно ниже. Незначительное снижение остаточных напряжений наблюдается при повышении Стщ выше 400 МПа, но при его дальнейшем повышении кон-Рисунок 20 - Распределение радиальных напряжений. тактные напряжения практически не ме-Полном ас штабная модель няются, так как доска при высоких зна-

Рисунок 21 - Распределение окружных напряжений в камере. Расчет методом возмущений

Рисунок 22- Распределение окружных напряжений в камере. Пол помас штаб пая модель

)

к

I

чениях о,д работает в чисто упругой области, и, соответственно, ее взаимодействие с трубкой не зависит от пластических свойств.

Так как при изготовлении трубок и отверстий в трубных доскак допускается отклонения в геометрии, в частости, овальность до 0,2 мм, были проведены соответствующие расчеты с моделированием овальности трубки и отверстия в доске. При повышении внутреннего давления в трубке с овальным сече кием по мере выбора зазора между трубкой п стенкой отверстия происходит правка трубки - овальность уменьшается Величины остаточных контак-

™ 250 м" ™ ™ 4Я 550 650мп™ тных напряжений вдоль линии кон-

Рисунок 23 - Зависимость контактных сборочных наложений такта между трубкой и доской после от величины пределов текучести трубки ст^ к доски полного цикла вальцовки как в слу-

1-200МПа,2-250Мт,3-400МПг-, 4-700МШ', чае овальной трубки, так и в случае 5 - 1000 МПа; б (пунктир) - а1Д = а^, овального отверстия отличаются не-

значительно - не более 4%. В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

1. Разработан усовершенствованный алгоритм расчета эффективных упругих характеристик перфорированных пластин и оболочек на основе применения теории функций комплексного переменного к задаче теории упругости. Показало, что решения в виде эллиптических комплексных потенциалов значительно упрощаются, если ввести вспомогательные математические величины и представить потенциалы в виде рядов по элементарным три го но-метрическим функциям. Получены аналитические и рекуррентные формулы для расчетов комплексных потенциалов, производных от них и коэффициентов их разложений в ряды Лорана, позволяющие эффективно, в виде непрерывной пеночки, рассчитать напряженное состояние и вычислить приведенные упругие характеристики. Проведены тестовые расчет],I перфорирован! 1ьсх элементов различными методами. Результаты полностью совпадают.

2. Методика определения приведенных упругих характеристик обобщена па трехмерную задачу для толстых перфорированных пластин Проведено исследование поведения приведенных упругих характеристик в зависимости от толщины пластины. Результаты согласуются с имеющимися в литературе данными, зарубежньеми нормами, экспериментальными и конечно-элементным и решениями При анализе расчетного материала установлено:

- приведенные упругие характеристики в задачах растяжения-сжатия слабо зависят от толщины пластины, поэтому для расчетов можно использовать плоские модели,

- приведенные упругие характеристики в задачах изгиба сильно зависят от толщины для тонких пластинок, для толстых пластин они асимптотически стремятся к пределу, к которому стремятся также и характеристики, определяемые из задач растяжения-сжатия,

- для толстых пластин (трубных досок), можно, с инженерной точностью, использовать одни и те приведенные жесткости как при изгибе, так и при растяжении-сжатии,

- в задачах изгиба тонких пластинок пренебрежение зависимостью приведенного модуля упругости от толщины может обернуться большими погрешностями в расчетах

3 На основе метода обобщенных функций и вариационно-асимптотического метода создана методика расчета перфорированных элементов без решения задачи определения приведенных жесткостей Показано, что вариационно-асимптотический метод дает возможность свести задачу для перфорированного тела к более простой задаче для сплошного при помощи моделирования отверстий полями начальных напряжений, позволяет многие сложные трехмерные задачи свести к двумерным, и построить аналитические решения для тел со сложной геометрией Способы построения аналитических решений рассмотрены на тестовых задачах В частности, для цилиндрической оболочки с отверстием трехмерная задача была сведена к последовательности двумерных осесимметричных Выявлен и исследован ряд закономерностей аналитических решений, позволивший их упростить Результаты хорошо согласуются с теоретическими и конечно-элементными решениями

4 Проведены практические расчеты перфорированных элементов с использованием разработанных методик Рассчитаны приведенные упругие характеристики перфорированной зоны с 11000 отверстий коллектора теплоносителя 1-го контура реакторной установки с ВВЭР-1000 Произведены расчеты коллектора при помощи замены перфорированной зоны гипотетическим сплошным ортотропным материалом, по полномасштабной модели и вариационно-асимптотическим методом по двумерной (осесимметричной) схеме Опытные и расчетные параметры показали удовлетворительную согласованность Даны также практические рекомендации в части учета особенностей конструкции, условий работы и нелинейности свойств конструкционных материалов

5 Проделаны расчеты камер парогенераторов для реакторных установок на быстрых нейтронах, трубные доски которых имеют несколько сотен отверстий перфорации Трубные доски при расчетах заменялись материалом с приведенными упругими и теплофизическими свойствами Теплообмен в трубных досках моделировался заданием фиктивного объемного тепловыделения как функции от теплофизических параметров Это позволило корректно рассчитать усредненное температурное поле в трубных досках и намного сократить время счета Для верификации результатов были построены полномасштабные модели камер Проведен также расчет вариационно-асимптотическим методом

6 Выполнено исследование напряженно-деформированного состояния, возникающего в трубках и трубных досках теплообменных аппаратов при запрессовке Определена величина сборочных контактных напряжений при различных соотношениях пределов текучести материала трубки и трубной доски Показано, что овальность трубки и отверстия в трубной доске, в пределах допусков на изготовление, не оказывает существенного влияния на величину сборочных контактных напряжений При некоторых вариантах развальцовки возникают локальные зазоры, что свидетельствует о необходимости выбора рациональной последовательности развальцовки на основе предварительного расчетного моделирования

В процессе исследования разработано пять программных модулей, выпущено два отчета о научно-исследовательской работе, непосредственно по теме диссертации опубликовано десять статей и докладов Получены аналитические решения тестовых задач, методики расчетов сформированы, проверены и отлажены в среде МаЛСАБ (всего более 300 файлов) Проделано также большое количество практических расчетов

Результаты работы использованы при обосновании проектов РУ В-446 (АЭС «Бушер», Иран), В-428 (АЭС «Тяньвань», Китай), В-428 (АЭС «Куданкулам», Индия), СЕРЯ (Пекин, 102413, Китай), В-448 (1600 МВт), БН-600, БН-800, БН-1800 (Белоярская АЭС)

Содержание диссертации отражено в следующих основных публикациях

1 Бессарабов А А, Григорьев ВАК вопросу об исследовании локальных динамических эффектов в толстостенных цилиндрических оболочках под действием случайных нагрузок Вопросы атомной науки и техники Сер «Обеспечение безопасности АЭС» Вып 1,2002 с 26-32

2 Бессарабов А А, Григорьев В А Метод и алгоритм расчета эффективных упругих характеристик для перфорированных пластин и оболочек Вторая конференция «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность» Сборник докладов (30 сент - 5 окт 2002, Геленджик, Краснодарский край), изд ИЦП МАЭ, Москва, 2003 с 43-55

3 Бессарабов А А , Григорьев В А, Шарый Н В , Рыжов С Б К вопросу об исследовании напряженно-деформированного состояния перфорированной зоны коллектора теплоносителя первого контура РУ с ВВЭР 3-я научно-техническая конференция «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 26-30 мая 2003 года, г Подольск Сборник докладов Том 1, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск, 2003 с 5-20

4 Применение полуаналитических методов в расчетах на прочность элементов энергетического оборудования Бессарабов А А, Григорьев В А, Стобецкий А А , Шарый Н В, Рыжов С Б 3-й межотраслевой семинар «Прочность и надежность нефтегазового оборудования», 18-20 ноября 2003 г, Сборник докладов ИЦП МАЭ, г Москва, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Сборник трудов-2003, вып 4, часть 2, Подольск, 2004 с 329-338

5 Бессарабов А А Анализ напряженного состояния элементов парогенератора при помощи полуаналитических методов 6-й Международный семинар по горизонтальным парогенераторам 22-24 марта 2004 г, Подольск Сборник тезисов докладов Приложение сборник докладов (электронный ресурс), ФГУП ОКБ «Гидропресс», 2004, с 60-61

6 Бессарабов А А К вопросу о границах применимости линейной теории в расчетах на прочность оборудования АЭС 4-я Международная научно-техническая конференция «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 23-26 мая 2005 года, г Подольск Сборник докладов Том 1 ФГУП ОКБ «Гидропресс», 2005 с 30-40

7 Бессарабов А А Проблема расчета перфорированных элементов оборудования АЭС Вопросы атомной науки и техники Сер «Обеспечение безопасности АЭС» Вып 9,2005 с 79-94

8 Бессарабов А А Вариационный подход к расчету перфорированных элементов энергетического оборудования Вопросы атомной науки и техники Сер «Обеспечение безопасности АЭС» Вып 13,2006 с 69-82

9 Анализ напряженно-деформированного состояния в трубках и трубных досках теп-лообмениых аппаратов при запрессовке Казанцев А Г, Даниленко В Г, Терехов В М, Бессарабов А А, Судаков В И 9-я Международная конференция «Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации оборудования АЭС» Пушкин - Санкт-Петербург, 6-8 июня 2006 г Сборник трудов Том 2 с с 196-201

10 Бессарабов А А Исследование концентрации напряжений около отверстий перфорации элементов парогенератора в трехмерной постановке 7-й Международный семинар по горизонтальным парогенераторам, 3-6 октября 2006 г, Подольск Сборник тезисов докладов Приложение сборник трудов (электронный ресурс), ФГУП ОКБ «Гидропресс», 2006 с 96-97

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЕРФОРИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

1.1. Теоретические предпосылки исследований напряжений вокруг отверстий.

1.2. Концепция эффективной жесткости.

1.3. Теоретические и экспериментальные исследования напряженного состояния перфорированных пластин в середине XX века.

1.4. Исследования перфорированных оболочек.

1.5. Работы Григолюка и Филыптинского и зарубежные исследования.

1.6. Дальнейшее развитие методов исследования. Трехмерная постановка.

1.7. Современные исследования.

1.8. Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

2.1. Задачи растяжения-сжатия перфорированных пластин.

2.2. Задачи изгиба перфорированных пластин и обобщение метода.

2.3. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ.

3.1. Задачи растяжения-сжатия перфорированных пластин в трехмерной постановке.

3.2. Задачи изгиба перфорированных пластин в трехмерной постановке.

3.3. Сопоставление результатов решения трехмерных задач.

3.4. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД К РАСЧЕТУ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

4.1. Вариационно-асимптотический метод и обобщенные функции.

4.2. Решение задачи Хауленда вариационно-асимптотическим методом.

4.3. Методы построения аналитических решений для областей конечных размеров.

4.4. Редукция размерности решаемой задачи.

4.5. Выводы к главе 4.

ГЛАВА 5. РАСЧЕТЫ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ.

5.1. Расчет коллектора теплоносителя первого контура реакторной установки

ВВЭР-1000.

5.2. Расчет камер парогенератора реакторной установки БН-600.

5.3. Анализ напряженно-деформированного состояния в трубных досках теплообменных аппаратов при запрессовке теплообменных труб.

5.4. Выводы к главе 5.

Актуальность темы. Важной частью энергетического оборудования являются перфорированные элементы, такие как коллекторы теплоносителей, трубные доски теплообменных аппаратов, дырчатые листы сепараторов и т.п. Расчет таких конструкций напрямую (с учетом всех отверстий перфорации в расчетной модели) крайне сложен и не всегда оправдан с точки зрения как вычислительных (машинных), так и трудовых затрат (построение расчетной модели, подготовка исходных данных, анализ и обработка полученных результатов). В то же время, в связи с задачами, стоящими перед современной техникой, крайне важно иметь наиболее полное представление о поведении этих элементов в условиях сложного термомеханического нагружения в целях повышения их надежности и конкурентоспособности, а также снижения материалоемкости и затрат на производство энергетического оборудования.

Острота проблемы обусловлена рядом причин. В октябре 1986 г. на втором блоке Южно-Украинской АЭС был произведен поиск места течи, вызвавшей повышение радиоактивности воды второго контура в парогенераторе № 1. В результате на коллекторе теплоносителя первого контура было обнаружено повреждение в виде трещин в перемычках между отверстиями перфорированной части коллектора. В дальнейшем в период с 1987 по 1991 гг. трещины в коллекторах были обнаружены еще на 24 парогенераторах, работающих в составе реакторных установок (РУ) ВВЭР-1000. Повреждения наблюдались в местах, связанных с геометрической неоднородностью перфорации коллектора (всего 11000 отверстий), по обе стороны вертикальной оси, проходящей через вершину так называемого неперфорированного клина.

Правительственные комиссии, комиссия АН СССР, Межведомственные и ведомственные технические советы пришли к выводу, что повреждение коллекторов парогенераторов ПГВ-1000 вызвано совокупным воздействием напряжений и коррозионной среды на металл коллектора, который проявил склонность к коррозионному растрескиванию под напряжением в диапазоне рабочих температур выходного («холодного») коллектора теплоносителя первого контура парогенератора ПГВ-1000 [243, 292]. Но в первую очередь при изучении причин повреждения коллекторов внимание уделялось исследованию напряженно-деформированного состояния (НДС), возникающего в коллекторах при технологических операциях сверления отверстий перфорации и вальцовки теплообменных труб, а также при различных эксплуатационных режимах нагружения. Было проведено тензометрирование реальных коллекторов, моделирование технологического и эксплуатационного нагружений на оптических моделях (ОКБ «Гидропресс», Подольский машиностроительный завод им. Орджоникидзе) и целый ряд расчетных исследований (в ОКБ «Гидропресс», РНЦ КИ, НПО ЦКТИ, ЦНИИ КМ «Прометей», и др.) [167, 173,273]. Все исследования НДС свидетельствуют о том, что распределение напряжений

-5в коллекторе имеет чрезвычайно сложный характер, корректно описать которое расчетными моделями удается далеко не всегда.

На АЭС с реакторами под давлением воды (PWR) в США, Европе, Японии применяются в основном парогенераторы вертикального типа с плоской трубной доской. Спустя 4-7 лет после ввода в эксплуатацию таких парогенераторов стали проявляться повреждения, в том числе трубных досок и дистанциоиирующих решеток. Масштаб повреждений был таков, что в США были созданы национальные программы по поиску причин повреждений и мероприятий по повышению эксплуатационной надежности парогенераторов. На отечественных парогенераторах вертикального типа (в основном реакторных установок на быстрых нейтронах типа БН) повреждения трубных досок отмечались значительно реже.

Расчету НДС коллектора теплоносителя первого контура посвящено много работ, отметим исследования А. А. Тутнова, Ал-дра С. Киселева, Ал-я С. Киселева, В. В. Даничева, (см. например [109, 289]), в которых строились полномасштабные расчетные модели на основе метода конечных элементов и его усовершенствования - метода суперэлементов. Исследования проводились с целью детального изучения напряженного состояния коллектора, прежде всего его перфорированной зоны, в которой наблюдались трещины. Несмотря на огромный объем и высокую квалификацию проделанной работы, информацию о напряженном состоянии в перфорированной зоне, которую дают полномасштабные модели, вряд ли можно считать исчерпывающей. Каждое отверстие перфорации является концентратором напряжений, причем масштаб изменения напряженного состояния вблизи отверстия очень мал. Основное же условие сходимости конечно-элементного решения - размер элемента должен соответствовать масштабу изменения напряженно-деформированного состояния. Для уточнения решения требуется измельчение конечно-элементной сетки, что намного увеличивает объем модели [263]. На современном уровне развития вычислительной техники возможности обычного персонального компьютера пока не позволяют обсчитывать полномасштабные модели, а тем более проверять их на сходимость.

Анализ напряженно-деформированного состояния перфорированной зоны такого коллектора, проведенный на оптических моделях [167], показывает, что конечно-элементная модель, содержащая все 11000 отверстий перфорации и удовлетворительно описывающая НДС возле отдельного отверстия, должна содержать порядка 102 узлов расчетной сетки на каждую перемычку между отверстиями. Соответственно конечно-элементная модель всей перфорированной зоны должна содержать порядка 10 узлов расчетной сетки, и это не считая узлов расчетной сетки для остальных частей коллектора. Такие конечно-элементные модели получаются очень громоздкими и чувствительными к ошибкам машинного округления по нескольким причинам:

-6- накопление погрешности при определении коэффициентов элементарных матриц жесткости;

- накопление погрешности при определении коэффициентов глобальной матрицы жесткости вследствие значительной разницы размеров конечных элементов для перфорированной и неперфорированной областей расчетной модели и, соответственно, численных значений коэффициентов элементарных матриц жесткости;

- ухудшение обусловленности глобальной матрицы жесткости вследствие неизбежного появления значительного количества элементов с «плохой» или близкой к «плохой» формой;

- накопление погрешности при определении вектора нагрузок;

- накопление погрешности при решении большой системы уравнений;

- и ряд других второстепенных факторов, таких как влияние точности аппроксимации, концентраторов, стыковки различных типов элементов и т.д.

Численные методы, использующие неравномерные сетки, страдают еще одним существенным недостатком - осцилляцией получающегося численного решения, для устранения которой приходится применять аналитическую обработку решения; обычно вопрос о корректности такой обработки не рассматривается. При расчете же больших моделей осцилляции неизбежны. Да и сами такие модели зачастую забирают практически все машинные ресурсы, не оставляя места под другие задачи. Весьма типичной является ситуация когда у расчетчика просто нет свободной дисковой памяти для хранения всех результатов счета даже в архивированном виде. Остается так же открытым вопрос об оценке точности получаемого решения.

В этой связи полуаналитические методы, основанные на замене перфорированной зоны гипотетическим сплошным материалом с эффективными упругими свойствами (характеристиками), не утратили свою актуальность. Традиционный подход, когда эффективные упругие характеристики получают из рассмотрения задачи о напряженном состоянии периодически деформированного упругого слоя хорошо освещен в работах Э. И. Григолюка и J1. А. Филь-штинского [70]. Наряду с оригинальными аналитическими методами существует огромное количество конечно-элементных исследований. Основной недостаток численных методов -необходимость каждый раз переделывать расчетную схему под конкретную задачу. При применении аналитических методов сталкиваются либо с проблемой суммирования бесконечных рядов, либо с проблемой вычисления сингулярных интегралов. Однако при всех недостатках такой подход позволяет намного уменьшить объем расчетной модели, особенно, если применить основанный на рекуррентных формулах быстрый алгоритм расчета [30].

Существует и другой подход, предложенный Ю. М. Коляно, основанный на теории обобщенных функций [119]. Метод позволяет физико-механические характеристики и их комбинации кусочно-однородных тел, геометрию оболочек, пластин, стержней, коэффициент теплоотдачи с поверхности тела описать как единое целое с помощью единичных характеристических функций и получать единые решения для всей области в целом. В результате подстановки представленных таким образом величин в уравнения термоупругости получаются дифференциальные уравнения и граничные условия, содержащие коэффициентами ступенчатые функции, дельта-функцию Дирака и ее производные, что требует разработки теории и методов решения таких задач [219]. Но многих возникающих при этом проблем можно избежать, если соединить идею Ю. М. Коляно и вариационно-асимптотический метод. Такое сочетание во многих практически важных случаях позволяет упростить расчетную модель и/или уменьшить ее размерность; дает возможность применить аналитические решения, если не ко всей расчетной области, то хотя бы к ее части, сократить время счета и объем хранимой информации.

Важным аспектом исследования НДС густоперфорированных элементов являются экономические показатели. Приведенные в Нормах [174] формулы для расчета толщины трубных досок не пригодны для многих реальных конструкций, так как их геометрические параметры находятся вне области их применимости. В результате расчета по этим формулам толщина трубных досок получается гораздо больше, чем реально необходимая для обеспечения их прочности, что ведет к перерасходу материалов и увеличению трудозатрат (по сверлению, вальцовке и т.д.). Расчет полуаналитическим методом позволяет быстро и эффективно решить эту проблему [110]. Однако сами методики расчета полуаналитическими методами, прежде всего способы определения эффективных упругих характеристик перфорированных элементов, нуждаются в серьезной доработке и обосновании.

Цель работы. Разработка общей постановки и методов решения задач расчета напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов, позволяющих получать решения в рамках различных моделей. Построение аналитических решений и сравнение полученных результатов при использовании различных моделей с численными и экспериментальными данными. Применение методик и разработка практических рекомендаций для расчетов конкретных элементов энергетического оборудования с перфорацией.

Научная новизна работы заключается в разработке универсальной постановки задач моделирования напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов без ограничения на размер модели; в разработке новых методик и алгоритмов их решения; в получении и сравнительном анализе новых и известных решений задач определения напряженного состояния и приведения для перфорированных пластин и оболочек.

Общая методика исследований. Исследование напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов энергетического оборудования на этапах его изготовления, испытания и эксплуатации проведено с использованием фундаментальных законов термодинамики и механики деформируемого твердого тела. Условием, обеспечивающим современный уровень моделирования, является широкий анализ работ в исследуемой области и логическая связь с теоретическими и экспериментальными результатами предыдущих исследований.

Методы исследования. В работе используются методы теории возмущений, спектральной теории операторов, различные методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории обобщенных функций, численные методы.

Достоверность научных положений, выводов, рекомендаций и разработанных методик обусловлена строгой математической постановкой задачи в рамках принятых в механике деформируемого твердого тела системы допущений, корректностью применяемых методов решения, тщательной практической проверкой принятых гипотез и совпадением результатов, полученных различными методами.

Практическая значимость работы. Результаты работы могут быть использованы для расчетов на прочность перфорированных элементов энергетического оборудования, обоснования выбора их основных размеров, технологии изготовления, и, как результат, снижения материалоемкости и трудозатрат при их изготовлении. Разработаны методики и реализованы на ЭВМ алгоритмы и программы моделирования исследуемых задач. Раскрытые механизмы и закономерности развития напряженно-деформированного состояния перфорированных элементов позволяют совершенствовать инженерные методики проектирования этих узлов.

Полученные аналитические решения можно использовать также как тестовые задачи для проверки достоверности численных решений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на на 2-й Российской конференции «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 30 сентября - 5 октября 2002 г., Геленджик, Краснодарский край; на 3-м межотраслевом семинаре «Прочность и надежность нефтегазового оборудования», 18-20 ноября 2003 г., ФГУП НИКИЭТ, Москва; на 3-й научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР» 26-30 мая 2003 г., ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск; на 6-м Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 22-24 марта 2004 г., ФГУП ОКБ «Гидропресс»; Подольск; на 4-й Международной научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 23-25 мая 2005 г., Подольск, ФГУП ОКБ «Гидропресс»; на 9-й Международной конференции «Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации оборудования АЭС», Пушкин - Санкт-Петербург, 6-8 июня 2006 г.; на 29-м семинаре «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 15 сентября 2006 г., ФГУП НИКИЭТ, Москва; на 7-м Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 3-5 октября 2006 г., ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск.

Публикации. Непосредственно по теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 314 страниц печатного текста, 84 рисунка и графика, 4 таблицы. Список литературы состоит из 382 наименований.

Основные результаты работы докладывались:

- на Второй конференции «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 30 сент. - 5 окт. 2002 года, Геленджик, Краснодарский край;

- на Третьей научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 26-30 мая 2003 года, Подольск;

- на Третьем межотраслевом семинаре «Прочность и надежность нефтегазового оборудования», 18-20 ноября 2003 года, ИЦП МАЭ, Москва;

- на Шестом Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 22-24 марта 2004 года, Подольск;

- на Четвертой Международной научно-технической конференции «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 23-26 мая 2005 года, Подольск;

- на Девятой Международной конференции «Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации оборудования АЭС», 6-8 июня 2006 года, Пушкин -Санкт-Петербург;

- на 29-м семинаре «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность», 15 сентября 2006 г., ФГУП НИКИЭТ, Москва;

- на Седьмом Международном семинаре по горизонтальным парогенераторам, 3-6 октября 2006 года, Подольск.

Содержание диссертации отражено в следующих основных публикациях:

1. Бессарабов А. А., Григорьев В. А. «К вопросу об исследовании локальных динамических эффектов в толстостенных цилиндрических оболочках под действием случайных нагрузок». Вопросы атомной науки и техники. Сер. «Обеспечение безопасности АЭС». Вып. 1, 2002. с. 26-32.

2. Бессарабов А. А., Григорьев В. А. Метод и алгоритм расчета эффективных упругих характеристик для перфорированных пластин и оболочек. Вторая конференция «Методы и программное обеспечение расчетов на прочность». Сборник докладов. (30 сент. - 5 окт. 2002, Геленджик, Краснодарский край), изд. ИЦП МАЭ, Москва, 2003. с.43-55.

3. Бессарабов А. А., Григорьев В. А., Шарый Н. В., Рыжов С. Б. К вопросу об исследовании напряженно-деформированного состояния перфорированной зоны коллектора теплоносителя первого контура РУ с ВВЭР. 3-я научно-техническая конференция «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 26-30 мая 2003 года, г. Подольск. Сборник докладов. Том 1, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Подольск, 2003. с. 5-20.

4. Применение полуаналитических методов в расчетах на прочность элементов энергетического оборудования. Бессарабов А. А., Григорьев В. А., Стобецкий А. А., Шарый Н. В., Рыжов С. Б. 3-й межотраслевой семинар «Прочность и надежность нефтегазового оборудования», 18-20 ноября 2003 г., Сборник докладов. ИЦП МАЭ, г. Москва, ФГУП ОКБ «Гидропресс», Сборник трудов-2003, вып. 4, часть 2, Подольск, 2004. с. 329-338.

5. Бессарабов А. А. Анализ напряженного состояния элементов парогенератора при помощи полуаналитических методов. 6-й Международный семинар по горизонтальным парогенераторам. 22-24 марта 2004 г., Подольск. Сборник тезисов докладов. Приложение: сборник докладов (электронный ресурс), ФГУП ОКБ «Гидропресс», 2004, с. 60-61.

6. Бессарабов А. А. К вопросу о границах применимости линейной теории в расчетах на прочность оборудования АЭС. 4-я Международная научно-техническая конференция «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», 23-26 мая 2005 года, г. Подольск. Сборник докладов. Том 1. ФГУП ОКБ «Гидропресс», 2005. с. 30-40.

7. Бессарабов А. А. Проблема расчета перфорированных элементов оборудования АЭС. Вопросы атомной науки и техники. Серия «Обеспечение безопасности АЭС». Выпуск 9, 2005. с. 79-94.

8. Бессарабов А. А. Вариационный подход к расчету перфорированных элементов энергетического оборудования. Вопросы атомной науки и техники. Серия «Обеспечение безопасности АЭС». Выпуск 13,2006. с. 69-82.

9. Анализ напряженно-деформированного состояния в трубках и трубных досках теп-лообменных аппаратов при запрессовке. Казанцев А. Г., Даниленко В. Г., Терехов В. М., Бессарабов А. А., Судаков В. И. 9-я Международная конференция «Проблемы материаловедения при проектировании, изготовлении и эксплуатации оборудования АЭС». Пушкин - Санкт-Петербург, 6-8 июня 2006 г. Сборник трудов. Том 2. с. 196-201.

10. Бессарабов А. А. Исследование концентрации напряжений около отверстий перфорации элементов парогенератора в трехмерной постановке. 7-й Международный семинар по горизонтальным парогенераторам, 3-6 октября 2006 г., Подольск. Сборник трудов, Том 2, ФГУП ОКБ «Гидропресс», 2006. с. 86-95.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге проведенных исследований в диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Предложен усовершенствованный алгоритм расчета эффективных упругих характеристик перфорированных пластин и оболочек на основе применения теории функций комплексного переменного к задаче теории упругости. Показано, что решения теории упругости в виде эллиптических комплексных потенциалов значительно упрощаются, если ввести вспомогательные математические величины, провести соответствующее преобразование координат и представить потенциалы в виде рядов по элементарным тригонометрическим функциям. Таким образом, выражения для комплексных потенциалов сводятся к функциям только двух переменных: комплексной координаты «z» и параметра решетки - расстояния между рядами соседних отверстий «а»; с помощью этих выражений установлена связь между специальными функциями и их коэффициентами. Получены аналитические и рекуррентные формулы для расчетов комплексных потенциалов, производных от них и коэффициентов их разложений в ряды Лорана. Коэффициенты разложения Лорана, которые используются при подстановке потенциалов в граничные условия на контурах отверстий, получены в виде аналитических выражений, содержащих только параметр решетки «а». Показано, что подобное представление позволяет эффективно, в виде непрерывной цепочки, рассчитать напряженное состояние в перфорированной пластинке и вычислить приведенные упругие характеристики по значениям коэффициентов при комплексных потенциалах первых порядков. По изложенной методике разработано два программных модуля, которые были использованы при проведении большого количества практических расчетов. Для верификации результатов проведено также конечно-элементное моделирование напряженно-деформированного состояния в перфорированных пластинах. Полученные численные значения полностью совпадают с аналитическими решениями. В итоге уточнены, по сравнению с имеющимися в литературе данными, значения приведенных жесткостных характеристик. Показано, что при помощи методов теории функций комплексного переменного методика обобщается на другие похожие задачи. В качестве иллюстрационного материала приведены тестовые примеры расчетов.

2. Рассмотрена задача определения приведенных упругих характеристик в трехмерной постановке. На основе синтеза авторского решения обобщенной задачи Кирша, методики, использованной для решения плоских и квазидвумерных задач, теории обобщенных аналитических функций комплексного переменного и теории цилиндрических функций разработана технология определения напряженно-деформированного состояния и приведенных упругих характеристик для толстых перфорированных пластин. Проведено исследование поведения приведенных упругих характеристик в зависимости от толщины пластины. Результаты сравнивались с имеющимися в литературе данными, в частности, с зарубежными нормами, экспериментальными и конечно-элементными решениями. При анализе полученного расчетного материала установлено, что

- приведенные упругие характеристики в задачах растяжения-сжатия слабо зависят от толщины пластины, поэтому для расчетов с инженерной точностью можно использовать приведенные упругие характеристики, определенные из плоской задачи;

- приведенные упругие характеристики в задачах изгиба сильно зависят от толщины для тонких пластинок, для толстых пластин они асимптотически стремятся к некоторому пределу, к такому же пределу стремятся упругие характеристики, определяемые из задач растяжения-сжатия;

- для толстых перфорированных пластин, таких как трубные доски теплоообменных аппаратов, можно, с достаточной для инженерных расчетов точностью, использовать одни и те приведенные упругие характеристики как при изгибе, так и при растяжении-сжатии.

К этому можно добавить, что в отличие от бытующего представления, для тонких перфорированных пластинок пренебрежение зависимостью приведенного модуля упругости на изгиб от толщины может обернуться большими погрешностями в расчетах.

3. На основе идеи Ю. М. Коляно, предложившего описывать геометрию и нагрузки в кусочно-однородных телах как единое целое при помощи разрывных (обобщенных) функций и вариационно-асимптотического метода создана методика расчета перфорированных элементов без решения задачи определения приведенных упругих характеристик. Показано, что вариационно-асимптотический метод, во-первых, дает возможность свести задачу для перфорированного тела (со сложной геометрией) к задаче для сплошного тела (более простой) при помощи моделирования отверстий полями начальных напряжений, во-вторых, позволяет многие сложные трехмерные задачи свести к двумерным, и, в-третьих, для тел со сложной геометрией позволяет построить аналитические решения. Рассмотрены способы построения и получены аналитические решения для тестовых задач, в частности, для цилиндрической оболочки с отверстием, при этом сложная трехмерная задача была сведена к последовательности двумерных (осесимметричных). При нахождении аналитических решений выявлен и исследован ряд закономерностей, позволивший их упростить. Результаты, полученные при помощи предложенного подхода, хорошо согласуются с теоретическими и конечно-элементными решениями. Приемы и алгоритмы, отработанные при построении аналитических решений при помощи вариационного метода, можно использовать для практических расчетов, в том числе и при расчетах численными методами типа метода конечных элементов. Большое практическое значение вариационно-асимптотического подхода заключается в уменьшении объема расчетной модели без ущерба для ее детализации, что особенно актуально при расчете на персональном компьютере, так как двумерные схемы требуют гораздо меньше машинной памяти. Показано также, что кроме всего прочего, метод допускает модификации и обобщения, что позволяет его адаптировать под конкретные задачи. Достоинства метода продемонстрированы на тестовых задачах, решения проведены подробно при помощи методов математического анализа и приведены в аналитическом виде. Аналитические (точные) решения, получение которых стало возможным при помощи синтеза вариационно-асимптотического метода и метода обобщенных функций, следует использовать для верификации численных решений.

4. Проведены практические расчеты перфорированных элементов с использованием разработанных методик. Рассчитаны приведенные упругие характеристики перфорированной зоны, содержащей 11000 отверстий, коллектора теплоносителя первого контура реакторной установки с ВВЭР-1000. Произведены расчеты коллектора: при помощи замены перфорированной зоны гипотетическим сплошным ортотропным материалом, по полномасштабной модели и вариационно-асимптотическим методом по двумерной (осесимметричной) схеме. Результаты расчетов сравнивались как между собой, так и с экспериментальными данными. Опытные и расчетные параметры показали удовлетворительную согласованность, что подтверждает правильность принятых при расчетах гипотез и демонстрирует возможности расчетных методик достоверно моделировать работу как конструкции в целом, так и отдельных ее элементов. Даны также практические рекомендации по расчету коллектора в части учета особенностей конструкции, условий работы и нелинейности свойств конструкционных материалов.

5. Проделаны расчеты камер парогенераторов для реакторных установок на быстрых нейтронах (БН), трубные доски которых имеют несколько сотен отверстий перфорации. Трубные доски при расчетах заменялись материалом с приведенными упругими и теплофи-зическими свойствами. Отлажена методика расчета температурных полей, когда теплообмен в трубных досках моделируется заданием фиктивного объемного тепловыделения как функции нескольких переменных - температуры, коэффициента теплооотдачи и пр. Это позволило, с одной стороны, корректно рассчитать усредненное температурное поле в трубных досках, с другой стороны, намного сократить время счета. Для верификации результатов были построены полномасштабные модели камер и произведен расчет вариационно-асимптотическим методом, отверстия перфорации в котором учитывались путем задания поля начальных напряжений. Полученные результаты доказывают правильность примененных подходов и достоверность принятых при расчетах допущений.

6. Выполнено исследование напряженно-деформированного состояния, возникающего в трубках и трубных досках теплообменных аппаратов при запрессовке. Определена величина сборочных контактных напряжений при различных соотношениях пределов текучести материала трубки Опр и трубной доски сттд (сттд > Стпр, Сттл < ^пр), изменяющихся в диапазоне от 200 до 700 МПа и давления развальцовки до 400 МПа. Установлено, что натяг возникает как при сттд > Сттгр, так и при сгтд < Опр, однако в первом случае контактные напряжения могут быть существенно выше. Проанализировано влияние овальности трубок и отверстий в трубных досках на величину и характер распределения контактных напряжений между трубкой и трубной доской с учетом геометрической нелинейности. Показано, что овальность трубки и отверстия в трубной доске, в пределах допусков на изготовление, не оказывает существенного влияния на величину сборочных контактных напряжений. Отличие в контактных напряжениях по контуру отверстия при наличии овальности не превышает 4%. Исследован характер изменения напряжений и деформаций на различных стадиях развальцовки. Рассмотрено влияние истории нагружения - последовательности развальцовки трубок (от периферии к центру, от центра к периферии, одновременная развальцовка всех трубок и т. п.) на величину сборочных контактных напряжений. Установлено, что после механической довальцовки контактные напряжения распределены неравномерно по длине трубки. На всех стадиях развальцовки происходит выползание трубки из доски, при этом длина участка трубки увеличивается до 5%, а толщина стенки уменьшается до 9%. При различных последовательностях развальцовки получено, что на контуре центрального отверстия трубной доски величина сборочных контактных напряжений практически не зависит от принятой схемы развальцовки (сохраняется на уровне около 100 МПа при давлении развальцовки 360 МПа). Контактные напряжения по контурам других отверстий распределены более неравномерно. При некоторых вариантах развальцовки возникают локальные зазоры, что говорит о необходимости выбора рациональной последовательности развальцовки на основе предварительного расчетного моделирования.

В процессе исследования разработано пять программных модулей, выпущено два отчета о научно-исследовательской работе, непосредственно по теме диссертации опубликовано десять статей и докладов. Получены аналитические решения тестовых задач, методики расчетов сформированы, проверены и отлажены в среде MathCAD (всего более 300 файлов). Проделано также большое количество практических расчетов.

1. Александров А. Я. Об одной возможной схеме применения метода фотоупругостн к исследованию плоских упруго-пластических задач. //Труды Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта. 1952, № 8, с. 89-94.

2. Александров А. Я., Ахметзянов М. X. Исследование плоских упруго-пластических задач при помощи фотоупругих покрытий. //Журнал прикладной механики и технической физики, 1961, № 6, с. 99-110.

3. Александров А. Я., Ахметзянов М. X., Ракин А. С. Исследование упруго-пластического деформирования оболочек с вырезами и усилениями методом фотоупругих покрытий. //Прикладная механика, 1966, т. 2, № 3, с. 1-9.

4. Александров А. Я., Ахметзянов М. X. Поляризационно-оптические методы механики деформируемых тел. Москва, «Наука», 1973.

5. Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1978.464 с.

6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. Москва, Наука, 1974.446 с.

7. Андерсон Н. С, Грин В. X., Hyp А. К. Континуальные модели решетчатых конструкций типа балок и пластин. //Ракетная техника и космонавтика, 1975,16, № 12, с. 6-17.

8. Андрианов И. В., Дисковский А. А. К исследованию напряженно-деформированного состояния гофрированных пластин. //Известия ВУЗов. Сер. Строительство и архитектура, 1981, №4, с. 36-41.

9. Андрианов И. В., Маневич JI. И. К расчету складчатых оболочек. //Сопротивление материалов и теория сооружений, 1975,26, с. 11-14.

10. Андрианов И. В., Маневич JI. И. О классификации приближенных уравнений теории подкрепленных оболочек, учитывающих дискретность расположения ребер. //Гидроаэромеханика и теория упругости, 1972, № 15, с. 115-122.

11. Ахметзянов М. X. Применение метода фотоупругих покрытий для определения напряжений и деформаций в гибких плитах и оболочках. //Известия АН СССР, Механика и машиностроение, 1964, № 1, с. 199-201.

12. Бардзокас Д. Я., Партон В. 3., Теокарис П. С. Интегральные уравнения теории упругости для многосвязной области с включениями. //Прикл. математика и механика, 1989, т. 53, с. 485-495.

13. Бахвалов Н. С, Злотник A. JI. Коэффициентная устойчивость дифференциальных уравнений и осреднение уравнений со случайными коэффициентами. //Доклады АН СССР, 1978,242, №4.

14. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. //Доклады АН СССР СССР, 1975,221, № 3, с. 516-519.

15. Бахвалов Н. С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. //Доклады АН СССР, 1975,225, № 2, с. 249-252.

16. Бахвалов Н. С. Осреднение уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. //В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. Москва, Наука, 1977, с, 34-51.

17. Бахвалов Н. С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. //Доклады АН СССР, 1974,218, № 5, с. 1046-1048.

18. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 352 с.

19. Белоносов С. М., Исмаилов М. А. Первая краевая задача для дифференциального уравнения упругого равновесия пологой цилиндрической оболочки. //Дифференциальные уравнения, 1965, т. 1, № 2,219-226.

20. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. В двух частях. Москва, «Высшая школа», 1982. 631 с.

21. Бенерджи П., Батгерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Москва, Мир, 1984 (пер. с англ.: Beneijee Р. К., Butterpeld R. Boundary element methods in engineering science. London: McGraw-Hill, 1981).

22. Бердичевский В. JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. Москва, Наука, 1983.448 с.

23. Бердичевский В. JI. Об осреднении периодических структур. //Прикладная математика и механика, 1977,41, № 6, с. 993-1006.

24. Бердичевский В. JI. Пространственное осреднение периодических структур. //Доклады АН СССР, 1975,222, № 3, с. 505-567.

25. Берлянд JI. В. Осреднение уравнений линейной теории упругости в областях с мелкозернистой границей. //В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. Изд-во ХГУ, 1983,39, с. 16-25.

26. Бессарабов А. А., Григорьев В. А. К вопросу об исследовании локальных динамических эффектов в толстостенных цилиндрических оболочках под действием случайных нагрузок. //ВАНТ, Сер. «Обеспечение безопасности АЭС», Вып. 1,2002, с. 26-32.

27. Бобылев Д. Е. Метод граничных элементов для кусочно-однородных тел. //В книге: Всеукрашська конференщя молодих науковщв «1нформацшш технологи в освт, наущ i тех-шщ», 2004, Черкассы, Вестник Черкасского национального университета, 2005.

28. Болотин В. В. К теории слоистых плит. //Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1963, № 3, с. 65-72.

29. Болотин В. В. Основные уравнения теории армированных сред. //Механика полимеров, 1965, т. 1, № 2, с. 27-37.

30. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. Москва, Машиностроение, 1980. 376 с.

31. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. Расчеты на прочность. //Машиностроение, № 12,1966, Москва, с. 3-31.

32. Буйвол В. М. Концентрация напряжений около отверстий в некоторых оболочках вращения. //V Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, 1965. Аннотация докладов, Москва, 1965, с. 10.

33. Буйвол В. М. Концентрацш напружень в сферичнш оболонщ навколо пщсиленого отвору. //Доповцц АН УРСР, 1963, № 11, с. 1460-1464.

34. Буйвол В. М., Голобородько С. О., Шнеренко К. I. Розподш напружень у сфе-ричшй оболонщ з отвором, край якого пщкршлений пружним кшьцем. //Прикладна мехашка, 1964, т. 10, №3, с. 263-270.

35. Буйвол В. М. Полога сферична оболонка, ослаблена ексцентричним коловим отвором. //Доповщ АН УРСР, 1963, № 8, с. 1035-1040.

36. Вайнберг Д. В., Синявский А. А. Приближенный расчет оболочек с вырезами методами теории потенциала. //Сб. «Проблемы механики сплошной среды». Москва, Изд. АН СССР, 1961, с. 73-82.

37. Вайнберг Д. В., Синявский А. А. Расчет оболочек. Госстройиздат УССР, Киев, 1961.

38. Ван Фо-фы Г. А. Предварительно напряженные ориентированные стеклопластики с полыми волокнами. //Прикладная механика, 1966, т. 2, № 7, с. 1-10.

39. Ван Фо-фы Г. А., Савин Г. Н. Приложение функций Матье к исследованию оболочек. //Аннотации докладов I Всесоюзного съезда теоретической и прикладной механики. Москва, Изд. АН СССР, 1960, с. 141.

40. Василенко Н. Г. Напряженное состояние в цилиндрической оболочке, ослабленной круговым отверстием. //Автореф. диссертации. Ленингр. политехи, институт, 1953.

41. Васильев В. В. К решению задачи о концентрации напряжений возле кругового отверстия в сферической оболочке в упруго-пластической стадии. //Труды 4-й Всесоюз. конференции по теории оболочек и пластин. 1962, Ереван, 1964, с. 320-324.

42. Васильев В. В. Пружно-пластичний стан сферично! оболонки з отвором при змии жорсткост1 пщкршного кшьця. //Прикладна мехашка, 1961, т. 7, № 4, с. 448-451.

43. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. Гостехиздат, Москва -Ленинград, 1948.

44. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. Москва, Наука, 1979. 320 с.-24053. Волошин А. А. Жесткость и прочность перфорированных пластинок. //Судостроение, 1963, №12, с. 39-40.

45. Ворович И. И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. //Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Обзорные доклады. Вып. 3, Москва, 1966, с. 116-136.

46. Ворович И. И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек. //Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета пластин и оболочек. Тбилиси, 1975, с. 51-149.

47. Ворович И. И., Космодамианский А. С. Упругое равновесие изотропной пластинки, ослабленной рядом одинаковых криволинейных отверстий. //Известия АН СССР, Отд. технических наук. Механика и машиностроение, 1959, № 4, с. 69-76.

48. Галкин С. И., Кабанов В. В., Ляшенко С. С. Экспериментальное исследование кар-кассированной круговой цилиндрической оболочки с большим прямоугольным вырезом при изгибе сосредоточенной силой. //Известия ВУЗов. Авиационная техника, № 2,1959, с. 49-61.

49. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Москва, Физматгиз, 1958.

50. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Москва, Физматгиз, 1959.470 с.

51. Гоголев А. Я. Экспериментальные определения коэффициентов ослабления трубных досок. //Энергомашиностроение, 1962, № 10, с. 38-39.

52. Гольденвейзер A. JI. Методы исследования напряженного состояния вблизи отверстия в тонкой упругой оболочке. //V Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, 1965. Аннотации докладов. Москва, 1965. с. 17.

53. Горбачев В. И. Задача приведения для упругого пространства, ослабленного системой цилиндрических пор. //Известия АН СССР, сер. Механика твердого тела, № 5,1983.

54. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Справочник. Москва, Физматгиз, 1963,1100 с.

55. Григолюк Э. И., Куршин JI. М., Филыптинский JI. А. Об одном методе решения двоякопериодических задач теории упругости. //Прикладная механика, 1965, т. 1, № 1, с. 22-31.

56. Григолюк Э. И., Филыптинский JI. А. Перфорированные пластинки и оболочки и связанные с ними проблемы. Обзор результатов. //Итоги науки. «Механика. Упругость и пластичность. 1965». АН СССР. Институт научной информации. 1967, с. 7-163.

57. Григолюк Э. И., Филыптинский JI. А. Упругое равновесие изотропной плоскости с двоякопериодической системой включений. //Прикладная механика, 1966, т. 2, № 9, с. 1-7.

58. Григолюк Э. И., Филыптинский JI. А. Поперечный изгиб изотропной плоскости, опирающейся на двоякопериодическую систему точечных опор. //Доклады АН СССР, 1964, 157, №6, с. 1316-1318.

59. Григолюк Э. И., Филыптинский Л. А. Упругое равновесие изотропной плоскости, опирающейся на двоякопериодическую систему точечных опор, под действием произвольной двоякопериодической поперечной нагрузки. //Докл. АН СССР, 1965, т. 165, № 5, с. 1023-1025.

60. Григолюк Э. И., Филыптинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки. Москва, Наука, 1970. 556 с.

61. Григолюк Э. И., Филыптинский Л. А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. Москва, Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1992.288 с.

62. Григолюк Э. И., Филыптинский Л. А. Регулярные кусочно-однородные структуры с дефектами. Москва, Изд. «Физико-математическая литература», 1994.335 с.

63. Губерман I. О. Розв'язання задач! про концентращю напружень навколо криволшшних oroopiB в оболонках методом скшчених р1зниць. //Прикладна механнса, 1963, т. 9, № 6, с. 619-626.

64. Гузь А. Н. Концентрация напряжений около криволинейных отверстий на боковой поверхности кругового цилиндра. //Инженерный журнал, 1964, т. 4, № 2, с. 360-364.

65. Гузь А. Н. Приближенные решения некоторых задач о концентрации напряжений около отверстий в изотропных и ортотропных оболочках. //Труды 4-й Всесоюз. конференции по теории пластин и оболочек, 1962. Ереван, 1964,430-436.

66. Гузь А. Н. Равновесие сферической оболочки, ослабленной равносторонним треугольным отверстием. //Прикладная механика, АН УССР, 1965, т. 1, № 3, с. 35-40.

67. Гузь А. Н., Савин Г. Н. О напряженном состоянии около криволинейных подкрепленных отверстий в оболочках. //Инженерный журнал, 1965, т. 5, № 1, с. 103-109.

68. Гузь А. Н., Шнеренко К И. О напряженном состоянии оболочки, ослабленной двумя криволинейными отверстиями. //Прикладная механика, АН УССР, 1965, т. 1, № 5, с. 21-28.

69. Гузь О. М, Голобородько С. О. Про напружений стан б1ля квадратного отвору з за-кругленими кутами в цилшдричнш оболонщ. //Прикладна механка. 1964, т. 10, № 6,594-599.

70. Гузь О. М. Концентращя напружень бшя елштичного отвору з малим ексцентри-цитетом в цилшдричнш оболонщ. //Доповцц АН УРСР, 1963, № 10, с. 1326-1330.

71. Гузь О. М. Концентращя напружень б1ля кругового отвору, пщкр1пленого жорстким патрубком в цилшдричнш ортотропнш оболонщ. //Доповцц АН УРСР, 1962, № 12, с. 1594-1597.

72. Гузь О. М. Кручення цшпндричнш оболонки, послаблено! квадратним отвором з заокругленими кутами. //Доповщ АН УРСР, 1964, № 4, с. 472-476.

73. Гузь О. М. Кручення цшпндричнш оболонки, послаблено! р1вностороншм трикутним отвором з закругленими кутами. //Доповщ АН УРСР, 1965, № 1; с. 41-44.

74. Гузь О. М. Про наближений метод визначення концентраци напружень бшя криво-лшшних отвор1в в оболонках. //Прикладна мехашка, 1962, т. 8, № 6, с. 605-612.

75. Гутман С. Г. К расчету тоннелей. //Известия Научно-исследовательского института гидротехники, 1939, т. 25, с.148-168.

76. Дворжак Ян. Изгиб перфорированных пластинок. //Сборник 2-го Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Аннотация доклада. Москва, 1964, с. 79.

77. Длугач М. И. Основш положения розрахунку цшпндричних оболонок з прямокут-ними отворами методом сюнчених ргзниць. //Прикладна мехашка, 1960, т. 6, № 3, с. 282-288.

78. Длугач М. И., Шинкарь А. И. Применение электронных вычислительных машин к расчету многосвязных областей и оболочек с отверстиями //Труды II Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек, Киев, Изд. АН УССР, 1962, с. 101-105.

79. Долгих В. Н., Филыптинский JI. А. Об одной модели регулярной кусочно-неоднородной среды. //Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1976, № 2, с. 158-164.

80. Дюво Ж. Функциональный анализ и механика сплошной среды. Приложение к изучению композиционных материалов с периодической структурой гомогенизации. //В книге: Теоретическая и прикладная механика. Москва, Мир, 1979, с. 323-346.

81. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. G-сходимость параболических операторов. //УМН, 1981,36, вып. 1 (217). с. 11-58.

82. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. JL, Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов. //УМН, 1979,34, вып. 5 (209), с. 65-133.

83. Жислина JI.C. О расчете на жесткость равномерно перфорированных пластин, нагружаемых в своей плоскости. //Научные труды Московского технологического института легкой промышленности, 1963, № 27, с. 253-260.

84. Жислина JI. С. Расчет на жесткость перфорированных пластин, нагружаемых в своей плоскости. //Научные труды Московского технологического института легкой промышленности, 1961, №21, с. 262-278.

85. Жислина JI. С. Расчет на прочность перфорированных пластин, нагружаемых в своей плоскости. //Научные труды Московского технологического института легкой промышленности, 1962, № 23, с. 248-268.

86. Жислина JI. С., Смоленцев Ю. А. Определение цилиндрической жесткости равномерно перфорированных пластин. //Научные труды Московского технологического института легкой промышленности, 1963, № 28, с. 275-282.

87. Иванов О. Н. К вопросу о расчете густоперфорированных круглых пластинок и трубных досок с U-образными трубками. //Труды Московского института химического машиностроения, 1957, т. 14, с. 105-124.

88. Иванов О. Н., Иванов И. Н. Жесткость круглых густоперфорированных пластинок с разбивкой отверстий по вершинам квадратов. //Химическое машиностроение, 1960, № 1, с. 33-35.

89. Иванов О. Н., Иванов И. Н. Жесткость круглых перфорированных пластинок с отверстиями разных диаметров. //Ученые записки Ярославского технологического института, 1961, т. 7, с. 189-207.

90. Именитов JI. Б. Задача о сферической оболочке с неподкрепленным отверстием. //Инженерный журнал, 1963, т. 3, № 1, с. 95-99.

91. Именитов JI. Б. Применение теории функций комплексного переменного к решению статически неопределимых задач безмоментной теории сферической оболочки. //Труды П Всесоюзн. конференции по теории пластин и оболочек, Киев, Изд. АН УССР, 1962, с. 94-96.

92. Именитов JI. Б. Концентрация напряжений в тонких упругих сферических оболочках. //Труды 4-й Всесоюз. конференции по теории оболочек и пластин, 1962, Ереван, 1964, с. 475-479.

93. Карнаухов В. Г. Про концентращю напружень бшя кругового отвору в сферичнш ашзотропнш оболонщ. //Прикладна мехашка, 1962, т. 8, № 6, с. 679-682.

94. Кшьчевський М. О. Наближеш метода визначення перемщень у цшпндричних оболонках. //Зб1рник праць шституту математики АН УРСР, 1947, № 8, с. 97-110.

95. Кильчевский Н. А. Интегро-дифференциальные и интегральные уравнения равновесия тонких упругих оболочек. //Прикладная математика и механика, 1959,23, № 1, с. 124-133.

96. Ковальский Б. С. Расчет усилий в теплообменных аппаратах. Инженерный сборник, 1950, т. 6, с. 85-90.

97. Ковальский Б. С., Долинский В. М. Расчет на прочность кожухотрубных аппаратов. //Сборник «Динамика и прочность машин», 1965, вып. 2, с. 105-108.

98. Козлов С. М. Осреднение дифференциальных операторов с почта периодическими быстро осциллирующими коэффициентами. //Математический сборник, 1978,107 (149), № 2 (10), с. 199-217.

99. Козлов С. М. Осреднение случайных структур. //Доклады АН СССР, 1978,241, № 5, с. 1016-1019.

100. Козлов С. М. Проводимость двумерных случайных сред. //УМН, 1979, 34, вып. 4. с. 193-194.

101. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, тип. Матгиссена, 1909.187 с.

102. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Москва -Ленинград, Главная редакция общетехн. дисциплин, 1935.224 с.

103. Коляно Ю. М. Применение обобщенных функций в термомеханике кусочно-однородных тел. //В кн.: Математические методы и физико-механические поля. Киев, «Наукова думка», 1978, вып. 7, с. 7-11.

104. Коляно Ю. М., Кулик А. Н., Кушнир Р. М. О постановке обобщенной задачи сопряжения для уравнений термоупругости кусочно-однородных тел. //Доклады АН УССР, Сер. А, 1980, №2, с. 44-49.

105. Комиссаров С. Н. Динамическая прочность густоперфорированных пластин ситовых устройств. //Изв. ВУЗов. Пищевая технология, 1964, № 5, с. 97-103.

106. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд. 5-е. Москва, «Наука», 1984,832 с.

107. Косилова О. Застосування теорй функцш комплексно! змшноГ в плоскш задач! нелшшно! теори пружносп. //Донецький вюник Наукового товариства iM. Шевченка, т. 2, Донецьк, Украшський культуролопчний центр, Схщний видавничий д1м, 2002.

108. Космодам1ансысий О. С. Про напружений стан 1зотропно1 пластинки, ослаблено! скшченним числом несюнченних ряд1в кругових отвор1в. //Доповцц АН УРСР, 1961, № 11, с. 1444-1449.

109. Космодашанський О. С. Про регуляршсть несюнченних систем, одержуваних при розглящ напруженого стану пружних середовищ з круговими отворами. //Доповцц АН УРСР, 1964, №9, с. 1442-1445.

110. Космодамианский А. С., Ложкин В.А., Шалдырван В. А. Пространственная задача термоупругости для слоя, ослабленного цилиндрическими полостями. //Доклады АН УССР, Сер. А, 1975, №10, с.914-918.

111. Космодамианский А. С., Ложкин В. Н., Мысовский Ю. В., Шалдырван В. А. Напряженное состояние пластинок с отверстиями в трехмерной постановке. Донецк, Издательство Донецкого университета, 1970. 250 с.

112. Космодамианский А. С, Шалдырван В. А. Периодическая задача для толстой пластинки с круговыми цилиндрическими полостями. //Прикладная механика, 1974,10, вып.1, с. 65-71.

113. Космодамианский А. С., Шалдырван В. А. Толстые многосвязные пластины. Киев, Наукова думка, 1978. 240 с.

114. Космодамианский А. С., Шалдырван В. А., Шалдырван Г. Г. Изгиб толстых многосвязных плит.(Учебное пособие). Донецк, Издательство Донецкого университета, 1977.94 с.

115. Космодамианский А. С., Шалдырван В. А., Шалдырван Г. Г. Концентрация напряжений в толстых многосвязных пластинках. //Сопротивление материалов и теория сооружений, 1972, вып. 16, с. 83-85.

116. Космодамианский А. С., Шалдырван Г. Г. Периодическая задача изгиба толстой кусочно-однородной плиты. //Механика твердого тела, 1974, вып. 7, с. 171-176.

117. Космодамианский А. С. К вопросу определения напряженного состояния упругой среды с криволинейными отверстиями. //Прикладная механика, 1966, т.2, № 8, с. 40-46.

118. Космодамианский А. С. О напряженном состоянии анизотропной пластинки, ослабленной бесконечными рядами эллиптических отверстий. //Инженерный журнал, 1962, т. 2, № 3, с. 109-188.

119. Космодамианский А. С. О напряженном состоянии изотропной пластинки, ослабленной бесконечным рядом эллиптических отверстий. //Известия АН СССР. Механика, 1965, № 4, с. 145-147.

120. Космодамианский А. С. Приближенный метод определения напряженного состояния изотропной пластинки с конечным числом круговых отверстий. //Известия АН СССР. Отд. технических наук. Механика и машиностроение, 1960, № 2, с. 132-135.

121. Космодамианский А. С. Упруго-пластическая задача для изотропного массива, ослабленного бесконечным рядом одинаковых круговых выработок. //Известия АН СССР, Отд. технических наук. Механика и машиностроение, 1961, № 4, с. 187-188.

122. Космодамианский А. С., Меглинский В. В. Некоторые задачи изгиба тонких упругих многосвязных плит. //V Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек, Москва, 1965, Аннотациии докладов, с. 32.

123. Крауч С, Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. Москва, Мир, 1987 (пер. с англ.: Crouch S. L, Starfield А. М. Boundary element methods in solid mechanics. London, George Allen and Unwin, 1983). 328 c.

124. Лаврентьев M. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва, «Наука», 1973. 736 с.

125. Левин В.А. Концентрация напряжений около кругового в момент образования отверстия в теле из вязкоупругого материала. //Доклады АН СССР, 1988,299, № 5, с. 1079-1082.

126. Лехницкий С. Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит. //Прикладная математика и механика, 1938, т. 2, № 2, с. 181-209.

127. Линьков А. М. Интегральное уравнение плоской задачи теории упругости о двоякопериодической системе разрезов, нагруженных самоуравновешенными нагрузками. //Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1976, № 2. с. 70-74.

128. Линьков А. М. Интегральное уравнение теории упругости для плоскости с разрезами, нагруженными уравновешенными системами сил. //Доклады АН СССР, 1974, т. 218, с. 1294-1297.

129. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. Санкт-Петербург, Наука, 1999. 382 с.

130. Линьков А. М. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однородной среды. //Прикладная математика и механика, 1983. т. 47, с. 644-657.

131. Лошкарев М. А. Исследование напряженного состояния толстостенного цилиндра, ослабленного отверстием. //Сборник «Вопросы прочности в химическом машиностроении», Машгиз, Москва, 1958, с. 44-53.

132. Лурье А. И. Концентрация напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра. //Прикладная математика и механика, 1946, № 10, с. 397-405.

133. Лурье А .И. К теории толстых плит. //Прикладная математика и механика, 1942, 6, вып. 2-3, с. 151-168.

134. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. Москва, Гостехиздат, 1955,491 с.

135. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Новые результаты в теории краевых задач с мелкозернистой границей. //УМН, 1978,33, в. 3 (201), с. 127.

136. Маховиков В. И. Задача Дирихле и краевая задача теории упругости для полуплоскости, имеющей несколько рядов из бесконечного числа отверстий. //Известия ВУЗов. Строительство и архитектура, 1960, № 4, с. 26-36.

137. Маховиков В. И. Одна задача для упругого пространства и полосы, имеющих бесконечное число цилиндрических отверстий. //Известия ВУЗов. Строительство и архитектура, 1963, № 8, с. 40-51.

138. Маховиков В. И. Плоская задача теории упругости анизотропной среды для внешности неограниченного числа равных эллиптических отверстий. //Известия высших учебных заведений. Математика, 1962, № 3, с. 84-90.

139. Мельников Н. П. Теоретическое и экспериментальное исследование напряженного состояния перфорированных плит. //Сборник «Материалы по стальным конструкциям», Москва, 1957, т. 1, с. 11-53.

140. Модельные исследования и натурная тензометрия энергетических реакторов. Махутов Н. А., Фролов К. В., Драгунов Ю. Г. и др., Москва, Наука, 2001. 293 с.

141. Моссаковський В. I., Кваша О. М. Конструкцш та розрахунок лююв, яю не ви-кликають концентрацц напружень у сферичних оболонках. //Прикладна мехашка, 1959, т. 5, №4, с. 371-378.

142. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд., Москва, «Наука», 1966. 708 с.

143. Нагаев Р. Ф. О свободных колебаниях прямоугольной перфорированной плиты. //Труды Ленингр. политехнического института, 1963, № 226 с. 117-122.

144. Натанзон В.Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одинаковыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке. //Математический сборник, 1935, т. 45, №5, с. 616-636.

145. Несущая способность парогенераторов водо-водяных энергетических реакторов. Махутов Н. А., Драгунов Ю. Г., Фролов К. В. и др. Москва, Наука, 2003.440 с.

146. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. ПНАЭ Г-7-002-86. Москва, Энергоатомиздат. 1989. 525 с.

147. Освейллер Ф. Развитие концепции эффективных упругих постоянных для проектирования трубных досок теплообменников. //Современное машиностроение, Сер. Б., № 3, 1990. с. 36-45.

148. Пщстригач Я. С. Напруження в площиш, ослабленш двома нер1вними круговими отворами. //Доповщ АН УРСР, 1953, № 6, с. 456-460.

149. Панасенко Г. П. Асимптотика высших порядков решений задач о контакте периодических структур. //Математический сборник, 1979,110 (152), № 4 (12), с. 505-538.

150. Панасенко Г. П. Асимптотика решений и собственных значений эллиптических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами. //Доклады АН СССР, 1980, 252, № 6, с. 1320-1325.

151. Панасенко Г. П. Асимптотики высших порядков решений уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. //Доклады АН СССР, 1978,240, № 6, с. 1293-1296.

152. Панасенко Г. П. Математические вопросы теории пространственно армированных сред. //УМН, 1982, 37, вып. 4 (226), с. 136-137.

153. Панасенко Г. П. Осреднение задачи о контакте двух периодических структур, разделенных тонким прослоем. //В кн.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ/ под ред. Ильинского А. С, Королева JI. Н. Москва, Изд-во МГУ, 1979, с. 20-31.

154. Панасенко Г. П. Осреднение полей в каркасных конструкциях. //В кн.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ/ под ред. Королева JI. Н., Кузьмина JI. Д., Тихомирова О. Ю. Москва, Изд-во МГУ, 1981, с. 13-44.

155. Панасенко Г. П. Осреднение полей в композиционных материалах с высокомодульной арматурой. //Вестник МГУ. Серия «Вычислительная математика и кибернетика», 1983, №2, с. 20-27.

156. Панасенко Г. П. Осреднение полей в рамных и тонкостенных конструкциях. //УМН, 1981, 36, вып. 4, с. 224.

157. Панасенко Г. П. Принцип расщепления осредненного оператора для нелинейной системы уравнений в периодических и случайных каркасных конструкциях. //Доклады АН СССР, 1982,263, № 1, с. 35-40.

158. Пашенцев С. В. Исследование безмоментного напряженного состояния эллипсоидальных оболочек вращения с правильным рядом отверстий. //Труды 4-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1962, Ереван, 1964,771-778.

159. Пилипчук В. Н., Старушенко Г. А. Об одном варианте негладких преобразований переменных для одномерных упругих систем периодической структуры. //Прикладная математика и механика, 1997, т. 61, вып. 2, с. 275-284.

160. Пирогов I. М. Згин цилшдрично! пластинки з пщкршленним отвором. //Доповщ АН УРСР, 1961, №9, с. 1136-1139.

161. Пирогов I. М. Розтяг скривлено! пластинки, ослаблено! отвором в який впресована жорстка шайба. //Доповщ АН УРСР, 1958, № 5, с. 512-514.

162. Пирогов И. М. Изгиб цилиндрической пластинки с отверстием, край которого подкреплен упругим кольцом. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1962, № 4, с. 38-44.

163. Пирогов И. М. Изгиб цилиндрической пластинки, ослабленной отверстием. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1959, № 12, с. 77-80.

164. Пирогов И. М. Концентрация напряжений в области жесткого кольца на поверхности кругового цилиндра. //Сб. статей Всесоюзного заочного политехнического института, 1957, вып. .16,65-71.

165. Пирогов И. М. Концентрация напряжений в области отверстия в цилиндрическом резервуаре, испытывающем гидростатическое давление. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1963, № 7, с. 56-61.

166. Пирогов И. М. Концентрация напряжений в области подкрепленного отверстия на поверхности цилиндрической оболочки. //Известия АН СССР, Отд. технических наук, Механика и машиностроение, 1960, № 3, с. 190-192.

167. Пирогов И. М. Концентрация напряжений вблизи подкрепленного отверстия на поверхности кругового цилиндра. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1961, № 11, с. 15-21.

168. Пирогов И. М. Концентрация напряжений возле подкрепленного отверстия в цилиндрическом резервуаре, наполненном жидкостью. //Прикладная механика, АН УССР, 1965, т. 1,№1,с. 119-121.

169. Пирогов И. М. Кручение и сдвиг искривленной пластинки, ослабленной отверстием. //Известия ВУЗов СССР. Авиационная техника, 1959, № 3, с. 33-35.

170. Пирогов И. М. Кручение цилиндрической оболочки с подкрепленным отверстием на боковой поверхности. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1961, № 7, с. 9-14.

171. Пирогов И. М. Кручение цилиндрической оболочки, ослабленной отверстием. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1960, № 9, с. 78-82.

172. Пирогов И. М. Кручение цилиндрической пластанки с отверстием, край которого подкреплен упругим кольцом. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1961, № 6, с. 75-81.

173. Пирогов И. М. Напряженное состояние в цилиндрической оболочке с подкрепленным отверстием. //Известия АН СССР, Отд. технических наук, Механика и машиностроение, 1960, № 6,166-168.

174. Пирогов И. М. Напряженное состояние вблизи отверстия на поверхности цилиндрической оболочки при действии сосредоточенной силы. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1960,№ 11, с. 3-7.

175. Пирогов И. М. О напряжениях в цилиндрической оболочке с отверстием, в которое впрессовано упругое кольцо. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1962, № 12, с. 5-13.

176. Пирогов И. М. О напряжениях в цилиндрической оболочке, ослабленной отверстием при действии сосредоточенной силы. //Научные доклады высшей школы. Машиностроение и приборостроение, 1959, №2, с. 75-77.

177. Пирогов И. М. О приближенном решении основного дифференциального уравнения в теории цилиндрических оболочек. //Изв. ВУЗов СССР. Машиностроение, 1962, № 6, с. 137-145.

178. Пирогов И. М. Об одном случае изгиба цилиндрической оболочки. //Известия ВУЗов СССР. Авиационная техника, 1960, № 1, с. 68-71.

179. Пирогов И. М. Распределение напряжений в области отверстия на поверхности кругового цилиндра. //Сб. статей Всесоюзного заочного политехи, института, 1956, вып. 15, с. 48-52.

180. Пирогов И. М. Распределение напряжений в цилиндрической пластинке с подкрепленным отверстием. //Известия ВУЗов СССР. Машиностроение, 1959, № 1,44-48.

181. Пирогов И. М. Распределение напряжений вблизи отверстия в цилиндрическом резервуаре под действием сил собственного веса. //Прикладная механика, АН УССР, 1965, т. 1, № 3, с. 129-131.

182. Пирогов И. М. Распределение напряжений около отверстия в цилиндрической оболочке при действии сосредоточенных сил. //Известия АН СССР, Отд. технических наук, Механика и машиностроение, 1959, № 2,146—147.

183. Пирогов И. М. Растяжение цилиндрической пластинки, ослабленной отверстием, в которое впрессована упругая шайба. //Изв. ВУЗов СССР. Машиностроение, 1961, № 5, с. 33-38.

184. Подстригач Я. С., Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинках. Киев, Наукова думка, 1972. 308 с.

185. Подстригач Я. С., Ломакин В. А., Коляно Ю. М. Термоупругость тел неоднородной структуры. Москва, Наука, 1984. 368 с.

186. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. Москва, «Наука», 1986. 800 с.

187. Пшеничное Г. И. Теория тонких, упругих сетчатых оболочек и пластинок. Москва, Наука, 1982.

188. Райтум У. Е. К G-сходимости квазилинейных эллиптических операторов с неограниченными коэффициентами. //Доклады АН СССР, 1981,261, № 1, с. 30-34.

189. Ракин А. С. Исследование распределения напряжений около отверстий в оболочках при их упругом и упруго-пластическом деформировании. //Конференция по поляриза-ционно-оптическому методу исследования напряжений. Тезисы докладов, Ленинград, 1964.

190. Савш Г. М. Про концентрацно напружень навколо отвор1в у тонких пружних обо-лонках. Прикладна мехашка, 1961, т. 7, № 1, 3-15.

191. Савин Г. Н. Напряжения в упругой плоскости с бесконечным рядом равных вырезов. //Доклады АН СССР, 1939, т. 23, № 6, с. 515-518.

192. Савин Г. Н. Распределение напряжений в тонкой оболочке, ослабленной каким-либо отверстием. //Сб. «Проблемы механики сплошной среды». Москва, Изд-во АН СССР, 1961, с. 338-358.

193. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий в оболочках. //Труды II Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Изд. АН УССР, Киев, 1962, с. 70-85.

194. Савш Г. М., Ван Фо-фи Г. А. Концентращя напружень у сферичнш оболонщ бшя елштичного отвору з малим ексцентрицитетом. //Доповцц АН УРСР, 1960, № 10, с. 1340-1343.

195. Саврук М. П. Плоские задачи теории упругости для многосвязной области с отверстиями и трещинами. //Физ.-хим. механика материалов, 1980, т. 16, с. 51-56.

196. Саврук М. П., Тимошук Н. В. Плоская задача теории упругости для кусочно-однородной полубесконечной пластины с упругими включениями и трещинами. //Физ.-хим. механика материалов, 1987, т. 23, с. 55-61.

197. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Москва, Гостехиздат,1950.

198. Смоленцев Ю. А. Расчет перфорированных тонкостенных цилиндров и пластин. //Химическое машиностроение, 1963, № 4, с. 23-28.

199. Смоленцев Ю. А. Экспериментальное определение коэффициентов ослабления растягиваемых перфорированных пластин. //Химическое и нефтяное машиностроение, 1966, №6, с. 12-13.

200. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовича М. и Стиган И. Перевод с английского, Москва, «Наука», 1979. 832 с.

201. Старушенко Г., Крулик Н., Токаржевский С. Периодическая задача для слоистого композитного массива на дискретном упругом основании. //Theoretical Foundation of Civil Engineering, 2000, v. 8, p. 534-539.

202. Суюншкалиев H. X. Приближенное решение задачи об изгибе пологой сферической оболочки, ослабленной отверстием. //Известия АН Уз. ССР. Серия технических наук, 1964, №3, с. 43-53.

203. Тан Ли-минь. О концентрации напряжений вблизи нескольких круглых отверстий. //Труды Дальнинского политехнического института, 1959, № 6, с. 31-48.

204. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. Перевод с английского, Москва, «Наука», 1975. 576 с.

205. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. Москва, Физматгиз, 1963. 636 с.

206. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Гостехтеориздат, Л.-М., 1934.588 с.

207. Титов В. Ф. Совещание экспертов МАГАТЭ по парогенераторам АЭС с ВВЭР. //Атомная энергия, т. 83, вып. 1,1997, с. 74-75.

208. Филыптинский Л. А. Напряжения и смещения в упругой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий. //Прикладная математика и механика, 1964,28, № 3, с. 430-441.

209. Филыптинский Л. А. Задачи теплопроводности и термоупругости для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий. //В сб. «Тепловые напряжения в элементах конструкций», Киев, «Наукова думка», 1964, вып. 4, с. 103-112.

210. Филыптинский Л. А. Моделирование физических полей в кусочно-однородных деформируемых телах. Сумы, Изд-во Сумского государственного университета, 2001.451 с.

211. Филыптинский Л. А., Кравец Е. М. Плоская задача магнитоупругости для ферромагнитной среды, ослабленной отверстиями. //Физико-химическая механика материалов, 1995, №6, с.38-45.

212. Филыптинский М. Д., Бардзокас Д. Концентрация напряжений в составной пьезо-керамической пластине с отверстиями. //Прикладная механика, 1998, т. 34, № 1. с.98-102.

213. Филыптинский М. Д., Бардзокас Д. Метод граничных интегральных уравнений в проблемах дифракции электроупругих волн. Сумы, Изд-во Сумского государственного университета, 1999.193 с.

214. Фильпгганський Л. А., Хворост В. A. Bciyn до магштопружносп кусково-однорщ-них тш. Суми, Вид-во СумДУ, 2002.177 с.

215. Флейшман Н. П. Вплив тдкр1плюючого юльця на напруження в цшпндричнш оболонц1 з круговим вир1зом. //Доповщ АН УРСР, 1960, № 10,1353-1357.

216. Флейшман Н. П. Граничш умови для оболонки з отвором, край якого пццсрш-лений тонким пружним кшьцем. //Прикладна мехашка, 1961, т. 7, № 1, с. 34-42.

217. Флёрова Н. А. Исследование оптическим методом концентрации напряжений в цилиндрической оболочке. //Труды ЦНИИ им. А. Н. Крылова, 1955, вып. 98, Судпромгиз, с. 26-42.

218. Фролов О. А. Концентрация напряжений в цилиндрической оболочке, ослабленной вырезом. //Труды конференции по теории пластин и оболочек, 1960, Казань, 1961, с. 408-413.

219. Ха Тьен Нгоан. О сходимости решений краевых задач для последовательности эллиптических уравнений. //УМН, 32, вып. 3 (195), 1977, с. 183-184.

220. Ха Тьен Нгоан. О сходимости решений краевых задач для последовательности эллиптических систем. //Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 1977, № 5, с. 83-92.

221. Хорошун Л. П. О построении уравнений слоистых пластин и оболочек. //Прикладная механика, 1978, т. 14, № 10, с. 3-21.

222. Хорошун Л. П., Маслов Б. П., Шишкин П. Г. Приведенные термоупругие характеристики пластины включениями. //Прикладная механика, 1976, т. 12, № 6, с. 34-40.

223. Чен Лин-си. К вопросу о концентрации напряжений при наличии многих отверстий. //Сборник «Проблемы механики сплошной среды». Изд. АН СССР, Москва, 1961, с. 494-498.

224. Чжоу Чен-ти. Расчет напряжений в упругой плоскости, ослабленной бесчисленными рядами круглых отверстий. //Труды Дальнинского политехнического института, 1959, № 1.

225. Чибрикова Л. И. О краевой задаче Римана для автоморфных функций. //Ученые записки Казанского университета, 1956, т.116, № 4, с. 59-109.

226. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. Москва, Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1989.288 с.

227. Шевляков Ю. А. К вопросу о концентрации напряжений возле отверстий в цилиндрических оболочках. //Научные записки Днепропетровского государственного университета, 1953, вып. 41, с. 79-89.

228. Шевляков Ю. А. Концентращя напружень бшя кругового отвору в сферичному днипц. //Доповцц АН УРСР, 1955, № 1, с. 46-49.

229. Шевляков Ю. А. Концентращя напружень в цшпндричшй оболонщ з круговим вир1зом на боковш поверхш. //Доповщ1 АН УРСР, 1955, № 2, с. 123-125.

230. Шевляков Ю. А. Напряжения в сферическом днище, ослабленном круговым вырезом. //Инженерный сб., 1956, т. 24, с. 226-230.

231. Шевляков Ю. JL, 3 ire ль Ф. С. Кручення порожнистого цшпндра з отвором на бо-ковШ поверхш. //Доповщ АН УРСР, 1954, № 1, с. 41-44.

232. Шерман Д. И. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстиями круговой и некруговой формы. //Инженерный журнал, 1961, т. 1, вып.1, с. 92-103.

233. Шерман Д. И. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстиями круговой формы. //Отчет института механики АН СССР, 1953.

234. Шерман Д. И. Весомая среда, ослабленная периодически расположенными отверстиями круговой формы. //Инженерный сборник, 1961, т. 31, с. 24-75.

235. Экспериментальные исследования деформаций и напряжений в во до-водяных энергетических реакторах. Махутов Н. А., Фролов К. В., Стекольников В.В. и др. Москва, Наука, 1990. 246 с.

236. Юринский В. В. Об усреднении эллиптической краевой задачи со случайными коэффициентами. //Сибирский математический журнал, 1980,21, № 3. с. 209-223.

237. Яковлев Ю. В. К расчету теплообменных аппаратов. //Труды Харьковского авиационного института, 1954, т. 15, с. 133-148.

238. Яковлев Ю. В. Исследование жесткости густоперфорированных плит. //Труды Харьковского авиационного института, 1954, № 15, с. 149-152.

239. ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section VIII, Div. 2 and Section III, 1983.

240. Bailey R. W., Fidler R. Stress analysis of plates and shells containing patterns of reinforced holes. //Nucl. Engng and Design. (Formerly Nucl. Struct. Engng), 1966, vol. 3, № 1, p. 41-53.

241. Bailey R., Hicks R. Behavior of perforated plates under plane stress. //Journal of Mechanics Engineering Science, 1960, v.2, № 2, p. 143-161.

242. Becus A. G. Homogeneisation and random evolutions: applied to the mechanics of composite materials. //Quart. Appl. Math., 1979, v. 37, № 3, p. 209-217.

243. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland Publ. Сотр., 1978.

244. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Boundary Layers and Homogenization of Transport Processes. //Publ. RIMS Kyoto Univ., 1979, № 15, p. 53-157.

245. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Sur quelques plenomenes asymptotiques stationares. //C R. Acad. sci. Paris, 1975, t. 281, p. 89-94.

246. Boon G. B, Walsh R. A. Fixed tube-sheet heat exchangers. //Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Ser. E, 1964,vol. 31, № 2, p. 175-180.

247. Bower J. E., Jr. Stress concentrations around cutouts in shells of revolution. Doct. diss. Univ. Illinois, 1963.

248. Chen X. L., Liu Y. J. Square representative volume elements for evaluating the effective material properties of carbon nanotube-based composites. //Computational Materials Science, 2004, 29. p. 1-11.

249. CODAP, Code Francais de Construction des Appareils a Pression, Edition 1985; available in English.

250. Cook R. D. An analysis of axially symmetric coupled tube sheets. //Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Ser. E, 1964, vol. 31, № 3, p. 483-490.

251. Douglas Bynum, Jr., Perforated plates. //Machine Design, 1963, p. 179-180.

252. Dragunov Yu., Kurakov Yu. The main trends of work on lifetime management of NPP. //Regular meeting 30 Aug-1 Sep. IAEA. IWG-LMNPP-93.3,1995, vol. 1, p. 389-411.

253. Duncan J. P. The structural efficiency of tube-plates for heat exchangers. //Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, 1955, v. 169, p.789-810.

254. Duncan J. P., Upfold R. W. Equivalent elastic properties of perforated bars and plates. //Journal of Mechanical Engineering Science, 1963, v. 5, № 1, p. 53-65.

255. Dvorak J. Stress concentration in a perforated plate. //Bull Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Tehn., 1964, v. 12, № 4, p. 237-244.

256. Dyke P. Stresses about a circular hole in a cylindrical shell. //AIAA Journal, 1965, vol. 3,№ 9, p. 1733-1742.

257. Faupel J. H., Harris D. B. Stress concentration in heavy walled cylindrical pressure vessels. //Industr. and Engineering Chem., 1957, vol. 49, № 12, p. 1979-1986.

258. Fil'shtinskii L. A. Extension of a layer weakened by tunnelling cuts. //Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1995, Vol. 59, № 5 p.797-804.

259. Foppl L., Monch E. Praktische Spannungsoptik. Springer Verlag, Berlin, 1950.

260. Galletly G. D. Influence coefficients for hemispherical shells with small openings at the vertex. //Journal Appl. Mech., 1955, Vol. 22, N 1, p. 20-24.

261. Gardner K.A. Heat-exchanger tube-sheet design. //Journal of Applied Mechanics, 1948, v.15, №4, p. 377-385.

262. Gardner K. A. Heat-exchanger tube-sheet design. 2-Fixed tube sheets. //Journal of Applied Mechanics, 1952, vol. 19, № 2,159-166; 572-574.

263. Gorbatov N. Deformace a napjatost na kruhove desce zeslabene radami otvoru. //Sbornik Statni, vyzk. ustavu tepelne techn, (SNTL), Praha, 1958, v. 1,27-38.

264. Griffel W. Stress concentration factors for plates with holes. //Prod. Engineering, 1963, v. 34, №19, p. 98-104.

265. Griffel W. Stresses around holes. More concentration factors for stresses around holes. //Prod. Engineering, 1963, v. 34, № 23, p. 104-113.

266. Hironobu N. On the stresses in an infinite plate containing an infinite number of elliptic holes. //Bulletin of Japanese Society of Mechanical Engineers, 1963, v. 6, № 24, p. 635-638.

267. Hironobu N. Straining of an infinite plate containing infinite number of elliptic holes. //Transactions of Japanese Society of Mechanical Engineers, v. 29,1963, № 197, p. 79-83.

268. Horvay G. Bending of honeycomb and perforated plates. //Journal of Applied Mechanics, 1952, v.19, № 1; Transactions of the ASME, 1952, v. 74, p. 122-123.

269. Horvay G. The plane-stress problem of perforated plates. //Journal of Applied Mechanics, 1952, v.19, № 3, p.355-360.

270. Horvay G. Thermal stresses in perforated plates. //Proceedings of the First U. S. National Congress of Applied Mechanics, 1951, Ann Arbor, Michigan, Edwards Brothers, 1952, p.247-257.

271. Howland R.C.J. On the stresses in the neighbourhood of a circular hole in a strip under tension. //Philos. Trans, of the Roy. Soc. of London, Ser. A, 1930, V. 229, p.49.

272. Howland R.C.J. Stress in a plate containing an infinite row of holes. //Proc. Roy. Soc., Ser. A, London, 1935, V. 148, p.471-491.

273. Howland R.C.J., Stevenson A.C. Biharmonic analysis in a perforated strip. //Philos. Trans, of the Roy. Soc. of London, Ser. A, 1933, V. 232, p.155-222.

274. Hiitter A. Die Spannungsspitzen in gelochten Bleichscheiben und Streifen. //Zeitschrift angew. Math, und Mech., 1942, Bd. 22, № 6, s. 322-335.

275. Ioakimidis N. I., Theocaris P. S. Array of periodic curvilinear cracks in an infinite isotropic medium. //Acta Mechanica, 1977, Vol. 28. p. 239-254.

276. Isida M. On some plane problems of an infinite plate containing an infinite row of circular holes. //Transactions of Japanese Society of Mechanical Engineers, v. 25,1959, № 159, p. 1118-1124.

277. Isida M. On some plane problems of an infinite plate containing an infinite row of circular holes. //Bulletin of Japanese Society of Mechanical Engineers, 1960, v. 3, № 10, p. 259-265.

278. Jaworski A. Powtoka obrotowa ze wspolsrodkowym otworem wierzcholkowym, wzmo-cnionym pierscieniem, obciazonym sila skupiona. //Archiwum budowy maszyn, 1959,6, № 2,279-306.

279. Jeffery G.B. Plane stress and plane strain in bipolar coordinates. //Philos. Trans, of the Roy. Soc. of London, Ser. A, 1921, V. 221, p. 265-293.

280. Jessop J. Т., Shell C., Allison J. M. The stress concentration factors in cylindrical tubes with transverse circular holes. //Aeron. Quart., 1959, vol. 10, № 4, p. 326-344.

281. Kachanov M. Elastic solids with many cracks and related problems. //Advances in Applied Mechanics. Eds. J. Hutchinson, T. Wu. Academic Press, 1993, Vol. 30, p. 259-445.

282. Kirsch G. Die Theorie der Eiastizitat und die Bedtirfnisse der Festigkeitslehre. //Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure. 1898, Bd 42, № 29, s.797-807.

283. Kline L. V., Dixon R. C, Jordan N. F., Eringen A. S. Stresses in pressurized cylindrical shell with circular cutout. //General Technology Corporation Techn. Report, 1961, № 3-1.

284. Koh S. L, Thiel С. C, Eringen A. C. Computation for stress concentration in a circular cylindrical shell with circular cutout. //General Technology Corporation Techn. Report, 1963, № 3-3.

285. Koiter W.T. Some general theorems on double-periodic and quasi-periodic functions. //Proc. Koninkl. Nederl. Akademie Wetenschappen. Amsterdam, 1959, vol. 62, № 2, p.120-128.

286. Koiter W.T. Stress distribution in an infinite elastic sheet with a double-periodic set of equal holes. //Boundary Problems Different. Equat., Medison, Univ. Wisconsin Press, 1960, p.191-213.

287. Linkov A. M., Zoubkov V. V. Boundary integral equations in problems for jointed rocks. //Proc. 7th Int. conf. on computer methods and advances in geomechanics. Eds. G. Beer, J. R. Bookers, J. P. Carter. Rotterdam: Balkema, 1992, p. 1747-1750.

288. Lions J. L. Homogeneisation non local. //Proc. Intern. Meeting on Recent Methods in Non Linear Analysis/Ed. De Giorgi, Magenes, Mosco, Pitagora. Bologne, 1979, p. 189-203.

289. Lions J. L. Remarks on non local phenomena in composite materials and in perforated materials. //Proc. of the Jutam symposium Nothewestern Univ. Ed. Nemat Nasser, North Holland, 1979.

290. Lekkerkerker J. G. On the stress distribution in cylindrical shells weakened by a circular hole. Uitgeverij Waltman, Delft, 1965,99 p.

291. Malkin T. Notes on a theoretical basis for design of tube sheets of triangular layout. //ASME Journal of Applied Mechanics, 1952, v.74, № 3, p.389-396.

292. Marcellini P. Periodic solutions and homogenization of non linear variational problems. //Annali di Matematica, 1978, № 117.

293. Marcellini P., Sbordone C. Sur quelques de G-Convergence et d'homogenisation non-lineaires. I 1С. R. Acad. sci. Paris, 1977,284.

294. Masamitsu M., Akira A. Temperature stresses in a vicinity of infinite lines of holes in a plate at a homogeneous thermal stream. //Transactions of Japanese Society of Mechanical Engineers, v. 28,1962, №191, p. 807-812.

295. Meijers D. Doubly periodic stress distribution in perforated plates. //Thesis. University of Technology of Delft, 1967.

296. Meijers D. Plates with double periodic pattern of circular holes loaded in plane stress or in bending. //First International Conference on Pressure Vessel Technology, Delft, 1969.

297. Meijers D. Refined theory for bending and torsion of perforated plates. //Proceedings of the 1985 Pressure Vessel and Piping Conference, New Orleans, PVP-Vol. 98-2,1985.

298. Meijers D., van der Heijden. Refined theory for bending and torsion of perforated plates. Delft University of Technology, Laboratorium voor techische mechanica, 1980.

299. Miller K. A. G. Design of tube plates in heat exchangers. //Proceedings of the Institute of Mechanical Engineers, v. 18, London, 1952, p.215-231.

300. Mindlin R. D. Stress Analysis. //Proc. Soc. Exptl. V. 5,1948, p.56.

301. Naghdi A. K., Eringen A. C. Stress distribution in a circular cylindrical shell with a circular cutout. //lngen.-Archiv. 1965, Bd. 34, N 3. p. 161-172.

302. Naghdi A. K., Eringen A. C. Stress analysis of a circular cylindrical shell with circular cutout. //General Technology corporation Techn. Report, 1963, № 3-2.

303. Numo, Fujie, Okuma. Experimental study on the elastic properties of perforated plates with circular holes in square pattern. //Mitsubishi Atomic Power Industries, Report № 74, Mar. 1964.

304. O'Donnell W. J., Langer B. F. Design of perforated plates. //Journal of Engineering for Industry. Transactions of the Amer. Society of Mechanical Engineers. Ser. B, 1962, Vol. 84, p. 307-319.

305. O'Donnell W. J. A study of perforated plates with square penetration patterns. //Welding Research Council Bulletin. № 124, Sept. 1967.

306. O'Donnell W. J. Further theoretical treatment of perforated plates through square penetration patterns. //Welding Research Council № 151, June 1970.

307. O'Donnell W. J., Langer B. F. Ligaments and perforated plates. //Pressure Vessels and Piping, vol. 1,1972.

308. O'Donnell W. J., Langer B. F. Perforated plates and shells. //Pressure Vessels and Piping, vol. 2,1972.

309. Osweiller F. French rules for the design of fixed tubesheets heat exchangers. //Proceedings of the 1985 Pressure Vessel and Piping Conference, New Orleans, PVP-Vol. 98-2,1985.

310. Osweiller F. Les constsantes elastiques equivalentes. //Note, № 17, GETIM, Senlis, France, 1979.

311. Papanicolaou G. Introduction to the asymptotic analysis of stochastic equations. //Lectures in Applied Mathematics, 1977,16, p. 109-147.

312. Robert C. Calcul des contraintes dans les plaques tubuaries et verifications experimentales. //Association Tecnique Maritime et Aeronautique session, 1975.

313. Saito H. Stress in a plate containing infinite parallel rows of holes. //Zeitschrift angew. Math, und Mech., 1957, Bd 37, № 3-4, p. 111-115.

314. Salerno, Mahoney. A review, comparison and modification of present deflection theory for flat perforated plates. //Welding Research Council Bulletin, № 52, July 1959.

315. Sampson J. Photoelastic analysis in perforated materials subjected to tension or bending. //Bettis Technical Review, WAPD ВТ, № 18,1960.

316. Savin G. N. Stress concentration around holes in thin shells. //Bui. Inst. Politechn. Iasi, 1961, Vol. 7, №3-4, p. 315-324.

317. Schulz K. J. On the state of stress in perforated strips and plates. //Proc. Koninkl. Nederl. Akademie Wetenschappen. Amsterdam, 1942, vol. 45, № 3, s.233-239.

318. Schulz K. J. On the state of stress in perforated strips and plates (2nd communication). //Proc. Koninkl. Nederl. Akademie Wetenschappen. Amsterdam, 1942, vol. 45, № 4, p.340-346.

319. Schulz K. J. On the state of stress in perforated strips and plates (3d communication). //Proc. Koninkl. Nederl. Akademie Wetenschappen. Amsterdam, 1942, vol. 45, № 5, p.455-461.

320. Schulz K. J. On the state of stress in perforated strips and plates (4th communication). //Proc. Koninkl. Nederl. Akademie Wetenschappen. Amsterdam, 1942, vol. 45, № 6, p.524-532.

321. Schulz K. J. On the state of stress in perforated strips and plates. //Proc. Koninkl. Nederl. Akademie Wetenschappen. Amsterdam, 1945, vol. 48, p.282-300.

322. Schulz K.J. Over den spanningstoestand in doorboorde platen. Doctor's thesis. Delft, 1941.

323. Slot. Stress analysis of thick perforated plates. //Technomic publication, Westport, Connecticut, 1972.

324. Slot. Theoretical and experimental analylis of a thermal stress problems in tube sheet design. //First International Conference on Pressure Vessel Technology, Delft, 1969.

325. Tamate O. Einfluss einer unendlicken Reihe gleicher Kreislosher auf die Durchbiegung einer dunnen Platte. //Zeitschrift angew. Math, und Mech., 1957, Bd 37, № 11-12, p. 431-441.

326. Tamate O. Further studies on the influence of an infinite row of holes on the transverse flexure of a thin plate. //Technological Reports. Tohoku University, 1957,22, № 1, p. 41-50.

327. Tamate O. Transverse flexure of a semi-infinite thin plate containing an infinite row of circular holes. //Paper of American Society of Mechanical Engineers, № APMW-15,1959, p.5.

328. Terakawa I. Stiffening effects of tubes in heat exchangers tubesheets. //ASME Journal of Pressure Vessel Technology, Vol. 106,1984.

329. Tran-Huu-Hahn. Etude des plaques percees de nombreux trous par la methode des elements finis. //Thesis presented to faculty of Nantes, 1971.

330. Yamashida T. On the pure twist of a thin plate containing an infinite row of circular holes. //Zeitschrift angew. Math, und Mech., 1960, Bd 40, № 5-6, p. 197-202.

331. Yu Yu-Yuan. Rational analysis of heat-exchanger tube-sheet stresses. //Journal of Applied Mechanics, 1956, vol. 23, № 3,468-473.

332. Zimmer E. Warmespannungen in ebenen. Rohrboden. //Chemikerztg. Chem-Apparatus, 1963, Bd. 87, №8, p. 287-289.

333. Анализ напряженно-деформированного состояния соединений трубок с трубными досками теплообменных аппаратов методом конечных элементов. Отчет о НИР. Москва, НПО «ЦНИИТМАШ», 2004.66 с.