Разработка вычислительных методов оптимизации ускоряющихся систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

не правах рукописи ХАРЧЕИКО Александр Геарсгнавич

РАЗРАБОТКА ВЫШШЬШ МЕТОДОВ ОПТЙШЯШН УСКОРЯШЮ5 СИСТЕМ

01.01.ОТ - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сонсханиэ ученоа степени кандадят физако-иатеиатачесетх казн

САНКТ-ПгТЕРБУРГ - 1992

Работе выполнена на кафедре высшей математики факультет ' та прикладной математ^си - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Д.А. Овсянников.

Официальные- оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.Е. Кирин. кандидат физико-математических наук, A.A. Алишеров.

Ве/уцая организация: Киевский государственный университет Защита состоится ^ " 1992 г,

в " часов на заседании сшциализированого совета

К-063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физихо -математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: г. Санкт-Петербург , В. 0., 10-я линия, д. 33.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб., Т/9, библиотека СПбГУ.

Автореферат разослан . Ш ' 1992 г.

Ученый секретарь сшциализированого совета К-063.57,16 кандидат физико-математических наук, доцент

В. Ф. ГОРЬКОВОИ

р

аЩлКШМШ

3

I

¡«и____¡:ш1

-тд«л | диссертаций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Математические метода моделирования и оптимизации в последнее время находят все большее применение в различных областях науки и техники. Внимание многих исследователей привлекает особый класс задач, связанных с созданием ускорительной технтеи. Здесь презде всего выделим задачи математического моделирования и анализа динамики пучков заряженных частиц, проблемы формирования оптималмгой динамики частиц, обеспечивающей требу еже параметра з ускоряющих и фо-кусзруввдх структурах. Широкое использование ускорительной техники в ядерной физике, медицине, биологических исследованиях и других областях народного хозяйства привело'к повышению требований на Екходкые параметры пучка, необходимости создания ускорителей с разнообразными характеристиками. В связи с этик разработка новых методов получения оптимально® динамики а требуемых выходных параметров преобретает все большее значение. Актуальность разработки новых методов решения данных задач объясняется все возрастающей практической значимость» и ииротой их применения.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ, Целью диссертационной работа является разработка новых методов получения оптимальной динамики и требуемых выходных параметров пучков зарякенных частиц, а татаке решение задачи максимального захвата частиц в реяим ускорения, на основе специального дифференциального уравнения о частными производными.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, В качестве основных инструментов

- А -

исследования использовались методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частники производными, теории оптимального управления.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Автор выносит на защиту следующие основные результаты диссертационной работы:

разработаны математические метода оптимизации для функционалов специального вида в задачах управления пучками траекторий с использованием решения специального уравнения с частными производными. Предложены алгоритма решения задач оптимизации на основе анализа динамики границы управляемой области.

Предложена методика решения задачи максимального захвата частиц в режим ускорения.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты диссертации предназначены разработчикам ускоряющих систем. Результаты численных расчетов на основе предлокеного метода могут быть использованы разработчиками конкретных систем формирования ускоренных пучков на стадии их проектирования.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты реботы докладывались на годичных научных конференциях факультета ПМ-ПУ ЛГУ / 1990 -1991г.г. /, га семинарах кафэдры ВМ факультета ПМ-ПУ ЛГУ / 1991г. /, на Ш Всесоюзном семинаре по линейным ускорителям зарякенных частиц / Харьков .1991г. /.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результата диссертационной работы опубликованы в трех печатных работах £1-31.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАВОТЫ. Диссертация состоит и введения, трех глав', заключения к списка литература / 91 наименование /. Общий объем работа составляет 93 мапшнописяные страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор литературы, непосредственно примыкающей к теме диссертации, приводится краткое содераание диссертации.

Первая глава диссертационой работы посвящена вопросам постановки задач оптимального управления пучками зарякенннх частиц. Приводятся основные задачи, возникавшие при расчете линейных ускорителей. Задачи управления пучками заряженных частиц формулируются, как задачи управления пучками траекторий с интегральным критерием качества.

В первом параграфе рассматриваются физические постановки задач оптимизации динамики частиц в линейном ускорителе. Приведены уравнения продольного движения зарязгэшшг частиц а линейных ускорителях. В конце параграфа пригодятся основные физические задача расчета ускоряющих полег линейных ускорителей.

Второй параграф посвящен постановкам математических задач оптимального управления пучком заряхэнных частиц.

Рассматривается управляемая система

X «• Г(г.х.и),

<1)

а также уравнение переноса

ара,2) дра.х)

-ги.х.и) + рсг.хштт.х.и) = о (2)

вх *

+

а вх

с начальным условном

р<г0.х) р0(х).

(3)

где 1; - незашсимгя переменная; х - п-мерный вектор фазовых координат; и = и(г) - г-меркая вектор-функция, определенная на и0, и сН1, где числа г0, Т - фиксированы; I(г,х.и(1>) - п-мерная вектор-функция определена и вместе о частными производнши дГ^г.Х.Ш/Й^, аг1к(г.Х,и)/е21в}С;). 1.3.к = 1,2,...,п непрерывна по переменным х и и и кусочно-непрерывна по X на декартовом произведении Н;0,Т] » П « и, где 0 - открытое множество в Кп, и - ограниченное и замкнутое множество в И1".

Пусть ф1(г,2,р,и) и в1(х,р). 1 = 1,2- неотрицательные функции, определенные и непрерывные соответственно на декартовых произведениях Цд.ТЬП'Н1«!! и вместе с частными производнши по координатам вектора х а функции р. Вводится Функционал 2):

характеризующий поведение системы вдоль траекторий, исходящих из множества Н0 с йп, с учетом плотности распределения р(г,з). Здесь - сечение пучка траекторий системы (1) в момент времени ъ, исходящих из множества М0 и соответствующих управления и(г). Ставится задача минимизации функционала (4) по управлениям и(г) е Л - класс кусочно-непрерывных функций, принимающих значение в компакте и.

Предлагается также постановка задачи управления пучком с фиксировашми услове зли на правом конце. Здесь под пучком траекторий будем понимать множество траектори" входящих в множество в момент Т, где гт - заданное множество в Нп. Рассматривается функционал окгтвдего вида: т

1г(и)=| | фг(^,ра,х^),и)(2х4<И + | >)(1х <5)

*0 Чи

характеризующий поведение системы вдоль траекторий, по-пздатих в момент времени И в множество гг -: Н", с учетом плотности распределения р(г.х). Здесь - ьечение пучка траекторий системы (1) в момент времени г , попадающих в момент времени I при управлении иЦ) в множество гт. Ставится задача мютаизашш функционала (5) по управлениям и(г)€й.

С поморю функционалов (4), (5) решаются различные физические задачи. Гак функционал (4) решает задачу получения требуемых параметров пучка на выходе и вдоль структуры ускорителя, а функционал применяется для задачи максимального захвата частиц в реким ускорения.

Во второй главе дается построение ноша численных методов оптимизации в задаче управления пучками, основанных на решении специального дифференциального уравнения с частными производными.

В третьем параграфа предложена методика решения задачи максимального захвата частиц в режим ускорения. Рассматривается управляемая система

х = кг.х.и). г е [о.Т]. х е о с я", и « и с (б)

и уравнение переноса (2) о начальным условием на правом

конце

р(Г,х) « р1(х). ■ (7)

Рассмотрен функционал типа (5). Используя решение специального уравнения с частными производными

67 04 , 64 л

— +■ —1(4,х,и) + V--р ¡ПуШ.х.ц) + Ф,(г,х,р,и) ^ 0 (8)

ох дх ' ар *

с начальным условием

>(0.х,р) = ^(х.р). (9)

выписаны выражения для вариации и градиента функционала по параметрам через интегралы по границе множеств и. ПроОг леш управления терминальными областями рассматривались также в работах Г. И. СлазовоЯ и В.Н. Бублика. В данной работе

рассматривались бодав обдав функционалы, и использовалась другая методика получения выражений для варив! и функционалов на основе специального уравнения с частнглх производными.

В четвертом параграфе исследуется задача оптимального управления пучком заряженных часг-ц без учета плотности распределения р(г.х).

Рассматривается управляемая система (6). Ставится задача минимизации заданного на сечениях пучка траекторий функционала 1>:

г

1(ч) = || Ф^.х^юах 41 £(хт)ахх (Ю)

0 «т.»

ш управлениям цШеВ. Функционал (10) исследуется че- * рез решение специэль' ~>го уравнения с честными производными п:

ОТ ОУ

— + ~лг.х,иа))+у<шгт,х,и(П)*|>(*.*.ит) = о (П) вх дх .

с конечным условием

УСГ.х) = в(х). (12)

Предложены алгоритмы оптимизации, использующие представление вариации и градиента функционала через Функцию.У(г,х) о интегрированием соответствующих выражений по границе сечений множеств „. г £ ГО,Т5.

В пятом параграфе решается задача оптимального управления пучком траекторий с учетом плотности распределения рСБ.х).

Рассматривается управляемая' система (б), а таете уравнение переноса (2) с начальным условием (3).

Ставится задача минимизации функционала (4) по управлениям гКгкП. Вводится в рассмотрение следувдое линейное неоднородное уравнение с частными производными первого порядка,

от ау , и .

вх ах ер ■> 1

с конечным условием

7<Г,х.р> - в,(х.р). (14)

Вариация (¡».ункционала (4) приведена к виду: т '

вни,/лп=[ | (ччг.х^.рт^.и) - +

0 3«,и

(15)

о - ^(г.х^р.и^тх^йЗ^м.

где - граница множества К^. и, а п<хг) - единичный вектор внешней нормали к поверхности и в точке (г.х^), функция Ф^.х.р.и) такова, что й1тхФг (г,х,р,и) = ^ (г,х,р,и).

На основе данного представления для вариации функционала возможно построение алгоритмов опиглзгщгп аналогичных алгоритмам, предложенным в четвертом параграфе.

Третья глава посвящена применению метода к практическим задачам.

В шестом параграфе рассмотрена задача оптимизации выход-

Г Г -

них параметров продольного двгоюеия протонов в ускорителе с трубками дрейфа. Динамика частиц описывается сустемоП' уравнений 1

47

-- <*(?) Соа<р

йб

(16)

Сф

2*

Здесь 7 - приведенная энергия, ср - фаза частицы ( под фазой частицы понимаем фазу волнн, в которой находится частица ), 5 а г/Ъ - приведенная душа, 0 £ 5 «5 I», Ь - длина ускоряющей структуры, X - длина волка, ?, - продольная координата, а($) - безразмерная функция, определяющая напряженность поля вдоль ускорителя, а(£) = а(1) , £ е .

1 = 1,2.....т, где ^-'гочки разбиения промежутка [О.ЬЗ,

такие, что о ■ ц, <цг -.3 цт « Ь, а(1) - некоторые константы из множества значений и<И функции а(£).

Ставится задача минимизации функционала 1):

Ка) - | (а(71/г-1)2 + Ь«^-?)2 )йть<1срь (17)

характеризующий выходные параметры пучка. Здесь а и Ъ -весовыо константы, 7 - заданная приведенная энергия пучка на выходе ¡р - средняя фаза ускоряемого пучка чаотиц но выходе ускорителя.

Используя указанную методику и кусочно-линейную вппрок-

сиыащш границы пучке, получены формулы для вычисления градиента функционала ЦТ) по параметрам ^ л а111, 1=1,2,...,ю. Разработан алгоритм решения данной задачи.

В седьмом параграфе приводятся результаты численных расчетов, а также различные графики и гистограммы шиюстриру-вдиэ процесс оптимизации.

В заключении сформулированы основные результата, полученные в диссертационной работе.

11 Овсянников Д.А. Иатематические методы управления пучками. Ж., 1980.

г) Овсянников Л.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л., ЛГУ, 1990.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. Овсянников Д.А., Харченко А.Г. Некоторые численные методы в задачах управления пучками // Вестн. ЛГУ, сер.1: Математике, механика, астрономия. 1991. Вып. 4(22), о.56-58.

2. Овсянников Д.А., Папкоаич В.Г., Харченко А.Г. Об одном методе оптимизации динамики заряженных частиц // XII Всесоюзный семинар по линейным ускорителям. Харьков, .28-30 мая 1991, тезисы докладов, с.31.

3. Овсянников Д.А., Папхович В.Г., Харченко А.Г. О построении численных методов в задачке управления пучками //вопросы атомной науки техники. Сар. Ядерно-физические исследования (Теория и эксперимент), 1991. Вып.3(21). о.64-57..