Развитие методов теории переноса излучения тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 52-355

РГБ ОД

ГРАЧЕВ Станислав Иванович 1 1 ,-*;£ :| •^•■п

г VI. У

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

Специальность 01.03.02 — астрофизика и радиоастрономия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научные консультанты:

академик |В.В.Соболев| доктор физ.-мат. наук, профессор В.В.Иванов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук доктор физико-математических наук

Ю.Н.Гнедин Э.Г.Яновицкий Н.Н.Чугай

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский филиал Специальной астрофизической обсерватории РАН

Защита состоится 1 марта 2000 г. на заседании Диссертационного Совета Д.063.57.39 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9, геологический факультет, ауд. 85. Начало в 15 ч. 30 мин.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9

Автореферат разослан 28 января 2000 г.

И.о. ученого секретаря Диссертационного Совета Д.063.57.39

доктор физико-математических наук

е>бз{,с/с1оз

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория переноса излучения в спектральных линиях в статических (неподвижных) средах в приближении полного перераспределения по частоте (ППЧ) в элементарном акте рассеяния в настоящее время является хорошо разработанным с физической и математической точек зрения разделом теоретической астрофизики. Приближение ППЧ было введено почти одновременно рядом астрофизиков и физиков (Дж.Хаутгаст, Л.М.Биберман, Т.Холстейн, В.В.Соболев). Согласно этому предположению вероятность переизлучения фотона определенной частоты не зависит от того, какую частоту имел фотон до. рассеяния. Изложению теории переноса в спектральных линиях при ППЧ посвящено несколько кииг, прежде всего В.В.Соболева [1956] и В.В.Иванова [1969], а также обзоров (см., например, Ivanov [1991], На-гирнер [1994]).

Примерно с середины 60-х годов стала активно развиваться теория рассеяния при законах, отличных от ППЧ, которое называется рассеянием при частичном перераспределении по частоте (ЧПЧ). Большой вклад в эту теорию внесли Хаммер с сотрудниками (Hummer [1962], Hummer и Kunasz [1980]), Harrington [1973], Баско [1978], Frisch [1980], Чугай [1980], а также армянские астрофизики (Енгибарян и Никогосян [1973], Никогосян и Арутюнян [1976]). (Обзор работ по теории рассеяния при ЧПЧ см., например в работе Нагирнера [1987].) Во многих случаях результаты при ППЧ и ЧПЧ близки, но бывают и существенные отклонения. Они проявляются, когда в системе отсчета атома происходит рассеяние с лоренцевским профилем (естественное уширение линий), а скорости атомов распределены по максвелловскому закону. Тогда функция перераспределения Rh (в обозначениях Hummer [1962]) ведет себя так, что в ядре линии происходит перераспределение, близкое к полному, а в крыле рассеяние почти монохроматическое. Это порождает иные асимптотики решений.

Второе важное направление в современной теории переноса резонансного излучения состоит в разработке матричной версии теории. В стандартной теории образования линий в солнечном и звездных спектрах при отсутствии JITP (см., например, Михалас [1982]) поляризационные эффекты полностью игнорируются. Можно ожидать, что это вполне

оправдано в отношении профилей линий в потоке (или в интенсивности) выходящего излучения. Однако в последние 20 лет было обнаружено, что вблизи края Солнца многие фраунгоферовы линии показывают заметную поляризацию (см. обзор в работе Stenflo [1994]). По сути это было открытием второго спектра Солнца. Ясно, что интерпретация поляризационных профилей спектральных линий требует создания более рафинированной теории формирования линий с учетом поляризационых эффектов.

Проблема возникновения поляризации в линии в результате резонансного рассеяния рассматривалась во многих публикациях, причем почти во всех применялся численный подход. Один из неожиданных результатов этих публикаций состоит в том, что в пределах доплеров-ского ядра линии приближение полного перераспределения по частоте (ППЧ) дает разумную точность как для интенсивности излучения, так и для поляризации.

Можно ли включить поляризацию в хорошо известную скалярную аналитическую теорию переноса излучения при ППЧ? Положительный ответ на этот вопрос был дан в пионерской работе Faurobert-Scholl & Frisch [1989], где была впервые сформулирована задача Милна для резонансного рассеяния при ППЧ с учетом поляризации, т.е. задача о нахождении поля поляризованного излучения в чисто рассеивающей полубесконечной атмосфере с источниками на бесконечности. В этой работе была также сделана попытка найти асимптотическое решение задачи, получить векторную версию приближения вероятности выхода первого порядка и т.д. Работа Faurobert-Scholl & Frisch стимулировала цикл работ Ivanov et al. [1997], в которых сформулирована матричная стандартная задача о многократном резонансном рассеянии в полубесконечной атмосфере с равномерно распределенными источниками частично поляризованного излучения в линии в предположении о ППЧ.

Актуальность дальнейшего развития теории переноса излучения в спектральных линиях определяется потребностями как самой теории, так и современных наблюдений. В рамках приближения ППЧ это, во-первых, — учет крупномасштабных движений (расширения или сжатия) вещества и неоднородности распределения характеристик среды, а также усложнение геометрии среды и, во-вторых, — разработка мат-

ричной версии теории, позволяющей наряду с профилем линии в интенсивности строить и профиль поляризации в линии. Что касается ЧПЧ, то в случае функции перераспределения /?ц, о которой говорилось выше, это — получение новых аналитических решений пространственно однородных задач как для неподвижных, так и движущихся сред. Далее, что касается численных методов решения задач о переносе излучения, то, несмотря на их огромное разнообразие, до сих пор остается актуальным создание простого универсального и эффективного метода, позволяющего решить любую задачу, а в особенности нелинейную, т.е. такую, в которой характеристики среды существенно зависят от поля излучения.

Цель и задачи. Главной целью данной работы является дальнейшее развитие указанных выше направлений теории переноса излучения. Основное внимание уделено аналитическим методам теории многократного резонансного рассеяния — асимптотическим и приближенным. Им посвящены четыре первых главы. В последней (пятой) главе предложен эффективный общий метод численного решения нелинейных нестационарных задач теории переноса, который можно использовать и для решения нелинейных стационарных задач. При этом ставилась задача избежать итераций, которые присутсутствуют в стандартных численных методах.

Научная новизна. Новыми являются крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах при ППЧ (гл. 1), обобщение приближения Соболева с учетом пространственных градиентов всех физических величин (гл. 2), аналитические решения при ЧПЧ с функцией /?ц в диффузионном (по частоте) приближении (гл. 3), асимптотическая теория переноса поляризованного излучения при резонансном рассеянии в доплеровском ядре линии (гл. 4), общий метод численного решения задач о нестационарном переносе излучения (гл. 5).

Научная и практическая ценность работы определяется тем, что в ней разработаны некоторые направления в асимптотической теории переноса излучения в спектральных линиях при ППЧ (движущиеся среды (гл. 1), поляризация в линии (гл. 4)), предложены новые методы

получения асимптотических и численных решений (гл. 4 и 5) и предсказаны некоторые новые физические эффекты (сужение линий в расширяющихся средах (гл. 1), существование солитонных решений уравнения Компанейца (гл. 5)). С практической точки зрения найденные новые аналитические решения могут использоваться для тестирования прикладных пакетов программ. Кроме того, полезным с методической (вычислительной) точки зрения может быть использование альтернативной формы интегрального уравнения переноса (как это делается, например, в гл. 4 при нахождении асимптотичского разложения матрицы функции источников), позволяющей исключить потери точности, связанные с учетом большого числа рассеяний. Для практического решения нестационарных нелинейных задач (в том числе и многоуровенных) представляется весьма перспективным новый численный метод, предложенный нами в гл. 5. Идея метода очень проста. В нем не используются какие-либо итерации, и все сводится к вычислениям по рекуррентным формулам. Широкие возможности метода продемонстрированы на примере решения нескольких модельных задач теории переноса излучения. Здесь следует отметить, что этот метод можно применять и при решении других кинетических уравнений, а не только уравнения переноса излучения. Метод может также использоваться (в стационарном пределе) и для получения решений нелинейных стационарных задач.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах при полном перераспределении по частоте (ППЧ).

2. Аналитические решения задач о переносе резонансного излучения при частичном перераспределении по частоте в диффузионном (по частоте) приближении.

3. Асимптотическая теория переноса поляризованного излучения при резонансном рассеянии в доплеровском ядре линии в приближении ППЧ.

4. Общий метод численного решения задач (как линейных, так и нелинейных) о нестационарном переносе излучения.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

- семинарах лаборатории теоретической астрофизики Астрономического института и кафедры астрофизики С.-Петербургского гос. университета,

- Всесоюзном симпозиуме, приуроченном к 40-летию введения принципа инвариантности в теорию переноса излучения, Бюракан, 26-30 октября 1981 г.,

- Всесоюзном совещании "Звездные атмосферы", Рига, май 1981 г.,

- Всесоюзной конференции "Образование эмиссионных линий в спектрах звезд и галактик", Эльва, 25-28 мая 1982 г.,

- Всесоюзном симпозиуме, посвященном 100-летию интегрального уравнения переноса излучения, Ленинград, октябрь 1990 г.,

- Международной рабочей группе "Solar polarization", ГАО РАН, С.Петербург, май 1995 г.,

- Международном симпозиуме стран СНГ "Атмосферная радиация" (МСАР-99), С.-Петербургский университет, С.-Петербург, 12-15 июля 1999 г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Она изложена на 170 страницах (153 страницы основного текста, 9 страниц приложений и 8 страниц списка литературы), включает 22 таблицы и 37 рисунков. Список литературы содержит 113 наименований.

Содержание работы

В первой главе разрабатывается (в приближении ППЧ) крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах, которая в частном случае нулевого градиента скорости расширения переходит в соответствующую теорию для неподвижных сред. Рассматриваются бесконечные и полубесконечные среды с плоской или сферической симметрией, расширяющиеся с постоянным по оптической глубине т безразмерным градиентом скорости 7. Два типа таких сред — одномерная и плоскопараллельная, расширяющаяся по нормали к слоям, — были введены в рассмотрение

в работе Соболева [1957], где показано, что в приближена ППЧ (в сопутствующей системе координат) задача о переносе излучения в таких средах сводится к решению интегрального уравнения с симметричным разностным ядром. К уравнению такого же типа сведена в работе Грачева [1978] и задача о переносе в однородном изотропно расширяющемся шаре. В §1 изучаются ядра соответствующих интегральных уравнений и вероятности выхода фотонов, а в §2 — решения уравнений для некоторых базовых распределений первичных источников. Показано, что при малых 7 ядерные функции и интегральные вероятности выхода, зависящие от двух аргументов г и 7 выражаются через функции одного аргумента í = т/тс(у), где тс(7) — некоторое характерное оптическое расстояние (характерный масштаб), зависимость которого от 7 определяется видом профиля коэффициента поглощения (тс(7) —> оо при 7 —> 0). Таким образом, имеет место асимптотическое по 7 подобие ядерных функций. При этом при < < 1 получаются известные асимптотики для неподвижной среды. Аналогичное уменьшение числа переменных, которое можно назвать автомодельностыо, имеет место и для монохроматической вероятности выхода, а также для преобразований Лапласа ядерных функций. Использование подобия ядерных функций позволяет получить крупномасштабные асимптотики решений основных задач, что сделано в §2. Именно, показано, что в пределе малых 7 функция источников, зависящая от трех аргументов -— оптической глубины г, альбедо однократного рассеяния А и градиента скорости 7, выражается через функцию двух аргументов Ь — г/тс(7) и сг = (1 — А)/7ГА7. Для интенсивности излучения, зависящей еще от угла агссоэ ц с осью т и безразмерной частоты х — [у — ¡/у)/Амц, имеющей смысл смещения от центра линии в единицах доплеровской ширины, получается аналогичное представление через функцию на 1 меньшего числа соответствующим образом масштабированных аргументов. Для нескольких основных задач эти функции найдены в явном виде для случаев доплеровского и степенного (в крыле) профилей коэффициента поглощения. Так, например, для геометрически одномерной среды все результаты выражаются через элементарные или известные специальные функции. В частности, при равномерном распределении первичных источников в полубесконечной среде при доплеровском профиле коэффициента поглощения имеем

для функции источников

вМ) = 1--агс8ше_</2 (1)

я"

и для частотного профиля интенсивности выходящего излучения, который распадается на две ветви

= е2а[1-Ф (и)] и = е-[10(«)-е-"], и = е*/2, г» = /2,

(2)

при г = [ж утт^т)] /7Тс(7) соответственно. Здесь /„(и) — функция Бесселя чисто мнимого аргумента, Ф(и) — интеграл ошибок (Ф(оо) = 1). Для функции Грина получается следующее крупномасштабное представление:

х/^^Т -Ь у/е*- - 1

з(М») = -1п

7Г

Найденные нами крупномасштабные асимптотики хорошо согласуются с численными решениями. В случае доплеровского профиля коэффициента поглощения из этих асимптотик вытекает, что расширение среды может приводить к образованию узких (с шириной, меньшей тепловой) интенсивных компонентов профилей спектральных линшЪ Дано физическое объяснение этого неожиданного результата.

Во второй главе предлагается некоторый новый подход к получению широко известного (и часто используемого в астрофизике) приближения Соболева [1947] (ПС). В этом подходе ПС трактуется как нулевое приближение в разложении решения уравнения переноса в сопутствующей системе отсчета по пространственным градиентам всех физических величин, включая градиент поля скорости, кинетическую температуру атомов и т.д. При этом ПС получается в самом общем виде и включает в себя все имеющиеся в литературе (и некоторые новые) обобщения. Найдены и поправки к ПС первого и второго порядков. В §1 выписано формальное решение уравнения переноса в линии в сопутствующей системе отсчета с учетом релятивистских эффектов, а также с учетом возможной зависимости доплеровской ширины и частоты центра линии от координат. Принимается во внимание также поглощение и излучение в континууме. Это решение представляется в виде суммы двух слагаемых, одно из которых обращается в пуль при отсутствии пространственных градиентов всех, фигурирующих в задаче физических

величин. Тогда другое слагаемое интерпретируется в качестве приближения Соболева в самом общем смысле. В §2 рассмотрены некоторые частные случаи ПС, вытекающие из этого общего представления. В §3 найдены поправки к ПС первого и второго порядка относительно пространственных градиентов. В §4 найдены асимптотические разложения некоторых специальных функций, входящих в выражения для силы светового давления в ПС и в поправки к ПС для функции источников с учетом поглощения и излучения в континууме.

Точное решение задачи о переносе излучения в линии при функции перераспределения Лц(х,х') сопряжено с большими математическими трудностями. Однако почти когерентный характер рассеяния в крыле фойгтовского профиля оправдывает использование диффузионного приближения. Впервые диффузионное приближение для случая ЧПЧ с функцией 11ц было использовано, по-видимому, Харрингтоном (Harrington [1973]), который получил решения стационарной задачи о переносе в плоском слое. Затем Баско [1978] нашел в диффузионном приближении аналитические решения задач о нестационарном переносе в бесконечной однородной консервативной среде. В работе Чугая [1980] получено обобщение диффузионного приближения с учетом однородного расширения пространства. В третьей главе нами найдены некоторые более общие, чем в упомянутых работах, аналитические решения, причем в §1 рассмотрены статические неконсервативные среды с учетом поглощения в континууме, а в §2 — расширяющиеся однородные среды с учетом отдачи при рассеянии. В §3 результаты предыдущего параграфа используются для описания кинетики рекомбинации в модели расширяющейся Вселенной. Если говорить более подробно, то в §1, посвященном статическим средам, получены аналитические решения уравнения диффузии для интенсивности резонансного излучения 1(х; Л, /3) с учетом неконсервативности рассеяния, определяемой альбедо однократного рассеяния А, и поглощения фотонов линии в континууме, определяемого отношением ¡3 коэффициента поглощения в континууме к интегральному коэффициенту поглощения в линии. Интенсивность излучения J (а:; Л, /3) удается выразить через вырожденную гипергеомет-

рическую функцию —1/2; г):

1(х- X в) — ЪГПе^Ща,-1/2;,)

где а = (1 - А)/(2А^) - 1/4, 9 = 2тг/5/Ао, Г(а) и В(а, 3/2) — гамма- и бета- функции, г = ^/дх2, а ■— фойгтовский параметр (отношение естественной ширины линии к доплеровсхой ширине), а для относительного числа /3x2 несбалансированных переходов в линии получается представление через гипергеометрическую функцию Гаусса Р(а,Ъ;с;г):

В частном случае не слишком малых /3, а именно: при /3 = 2а(1 — X)2из (4) следует

Я,-А /И

где ^3/4(г) - функция Макдональда, а из (5) -

- (2тг)-1/4£Ш(Ла) 1/^3/4 = 1.869 (Аа)1^. (7)

Формулы (6) и (7) становятся точными при А = 1. Функциональная форма зависимости от параметров а и /3, даваемая формулой (7), была найдена ранее Чугаем [1987] из физических соображений, причем численный коэффициент определялся из численного решения уравнения диффузии. Сравнивая слагаемые в знаменателе правой части (6), видим, что наряду с /Зу имеется еще одно характерное значение

/3, = я-~1[Г(3/4)]8/'3(2Аа)-1/'3(1 - А)4'3. (8)

При /3 /3« преобладает первое слагаемое, а при /3 /3, - второе. В последнем случае асимптотика 1{х) практически совпадает с решением при А = 1, т.е. при /3 /?, роль гибели фотона в акте рассеяния мала по сравнению с гибелью в полете. В конце §1 по найденным стационарным решениям получены нестационарные решения при не зависящих от времени параметрах А, а и /3. При этом используется тот факт, что преобразование Лапласа по времени нестационарного решения /(£, ж; А,а,/3)

выражается через соответствующее стационарное решение /(ж; А, а,/3). Именно, при 5о(£, х) = 5о(ж) и начальном условии 1(0, х) = О

7(р,х;\,а,/3) = -/(ж;Л,а,/3 + р), (9)

Р

где р - параметр преобразования. (При этом мы пренебрегаем задержкой фотонов в поглощенном состоянии.) При 5о(г) = вй8(х) и тах{/3, |р|} /Зх, что соответствует тах{/3,1/2} можно для стационарного ре-

шения в правой части (9) воспользоваться формулой (6). Обращение выполняется с использованием интегрального представления для функции Макдональда. Результат получается в виде свертки, содержащей функцию

а именно:

1(1, х) = С50«э/4/01 - (11)

где обозначено

с = гиШ"' »-¿я? ,- = 1/А' (12>

причем /3, дается формулой (8). Из (11) получаются асимптотики интенсивности излучения по времени а также асимптотики интегральных величин — среднего числа рассеяний ЛГ(<) и вероятности выхода Некоторые из этих асимптотик (при Л — 1 и ¡3 — 0) были найдены ранее Баско [1981]. В заключение §1 получено также и решение для случая, когда первичные фотоны рождаются на произвольном растоя-нии от центра линии (^(а;,^) = Б^6(х — ж0)). В §2 в отличие от §1 рассматривается бесконечная однородная изотропно расширяющаяся среда (хаббловская кинематика), характеризуемая безразмерным градиентом скорости

7 = (13)

92П1А21

где Ац = с/уо - длина волны перехода, II = ¿Уе/йэ - градиент скорости, не зависящий ни от координат, ни от направления (фактор Хаббла), Л21

- эйнштейновский коэффициент вероятности спонтанных переходов, д\ и <7г _ статистические веса нижнего и верхнего уровней парехода, щ

- концентрация атомов на нижнем уровне. Мы учитываем отдачу при рассеянии, которая характеризуется параметром 5 — hv^jMv^c (M -масса атома). Кроме этого в задаче имеется еще параметр А — альбедо однократного рассеяния. Профиль коэффициента поглощения — фойг-товский. В работах Чугая [1980] и [1987] для него приближенно принималось ф(х) = 6(х) (дельта-функция), что оправдано для не слишком далеких крыльев линии. Как и в §1, мы используем представление ф{х) = 5(х) + а/ттх2, которое правильно описывает поведение профиля в далеком крыле. Фойгтовский параметр a считается малым. Кроме того, рассматривается наиболее интересный для приложений случай, когда функция первичных источнников So(x) = So4>(x). В задаче имеются характерные частоты

смысл которых состоит в том, что когда решение определяется лишь каким-либо одним из параметров 7, 6 или А, то оно зависит от соответствующей масштабированной переменной ж/жс, где с = 7, 5 или А. Примем в качестве масштаба частоту введя г = х/ху, <т = ху/х\, р = х1/хь. Частоту ху, которая была введена ранее Чугаем [1980], [1987], естественно выбирать в качестве масштаба, если она наименьшая. Нами показано, что интенсивность излучения 1(х;Х,у,5) выражается через функции на 1 меньшего числа аргументов г(г] р, а) и ¿„(2; р, сг), для которых получены явные представления в виде рядов и асимптотических разложений. Найдены также представления для интегральных величин — среднего числа рассеяний и вероятности выхода /З12- В частности, при малых 7 выражение для /З12 отличается от получаемого в приближении Соболева при ППЧ лишь малым множителем, который обращается в 1, если пренебречь отдачей при рассеянии. Малая роль эффектов частичного перераспределения в таких интегральных величинах как полное число рассеяний и вероятность выхода фотона из процесса рассеяний объясняется тем, что подавляющая часть рассеяний происходит все же в доплеровском ядре, где отклонения от ППЧ малы.

Результаты §2 используются в §3 для расчета кинетики рекомбина-

(14)

ции догалактической плазмы в расширяющейся Вселенной. Первыми были расчеты Peebles [1968] и Зельдовича, Курта и Сюняева [1968] при предположениях, что плазма чисто водородная, нет дополнительного энерговыделения, вклад в среднюю плотность дают только барионы. В обеих указанных работах решались некоторые приближенные уравнения рекомбинации. Так, в работе Peebles [1968] считалось, что отношения населенностей верхних уровней атома водорода, начиная с уровня 2р, к населенности состояния 2s даются формулой Больцмана. В работе Зельдовича и др. [1968] решались фактически два уравнения, в первом из которых (на ранних стадиях рекомбинации) населенности верхних состояний (начиная со второго) вычислялись по формуле Больцмана -Саха, а во втором (на поздних стадиях) предполагалось, что каждый акт рекомбинации (сначала через состояние 2s, а потом и через состояние 2р) является безвозвратным, и полное решение получалось сшивкой решений двух этих уравнений. Приближенные решения Зельдовича и др. [1968] были обобщены на случай наличия фона массивных нейтрино Заботиным и Насельским [1982]. Расчеты кинетики рекомбинации догалактической плазмы проводились в дальнейшем и другими авторами (см., например, Jones и Wyse [1985]) при тех или иных предположениях о заселении верхних уровней. Вообще же говоря, населенности этих уровней следует находить из решения уравнений статистического равновесия, что и делается в §3. Используется модель атома водорода с 60-ю уровнями. При этом принимается во внимание, что к началу эпохи рекомбинации: 1) роль ударных переходов по сравнению с ра-диативными становится пренебрежимо малой (см., например, Peebles [1968]); 2) Вселенная оказывается прозрачной в субординатных линиях и континуумах водорода и сильно непрозрачной в лаймановских линиях и континууме. Таким образом, можно принять, что вынужденные радиативные переходы (как вниз, так и вверх) в субординатных линиях и континуумах происходят под действием чернотельного фонового излучения с температурой Т, а спонтанные и вынужденные переходы вниз в лаймановских линиях практически полностью компенсируются переходами при поглощении диффузных лаймановских фотонов, причем небольшая несбалансированность радиативных переходов между основным и первым возбужденным состоянием и определяет темп рекомбина-

ции на начальных стадиях (см. Peebles [1968], Зельдович и др. [1968]). Последнее обстоятельство указывает на важность как можно более точного описания переноса излучения в линии Lya. Мы используем для этого результаты §2, полученные с учетом частичного перераспределения по частоте и отдачи при рассеянии. Совместно с уравнениями для степени ионизации водорода и населенностей уровней решается и уравнение энергии в предположении о равенстве температур электронов, ионов и нейтральных атомов, причем учитывается нагрев газа за счет комптоновского рассеяния чернотельного фонового излучения на электронах и адиабатическое охлаждение Рассчитаны изменения с красным смещением z степени ионизации водорода и электронной температуры для разных моделей, определяемых космологическими параметрами П и Он, а также температурой фонового чернотельного излучения То и фактором Хаббла Но в современную эпоху. Проведено сравнение с результатами работ Peebles [1968], Зельдовича и др. [1968], Заботина и Насельского [1982] и Jones и Wyse [1985]. Показано, что более аккуратное описание кинетики рекомбинации с использованием уравнений статистического равновесия п риводит к меньшим (примерно в 2 раза) предельным значениям степени ионизации и к меньшим температурам газа по сравнению с указанными исследованиями, в которых недооценен вклад вынужденной фоторекомбинации в поле чернотельного излучения. Найдено также, что более детальное описание переноса излучения в линии Lya практически не влияет на кинетику рекомбинации. Обнаружен новый закон подобия в поведении степени ионизации и.электронной температуры в диапазоне красных смещений I/O, г <С 1000. Построен спектр рекомбинационного излучения в линии Lya.

В четвертой главе в рамках ППЧ построена асимптотическая теория переноса поляризованного излучения в линии в полубесконечных плоскопараллельных средах с равномерно распределенными частично поляризованными первичными источниками в линии. Фактически сделано обобщение хорошо известной скалярной асимптотической теории образования линий в рассеивающих атмосферах при ППЧ (Иванов [1969], Гл. 5 и 6; Nagirner [1984]) на матричный случай. При этом используется совершенно новый метод получения полных асимптотических разложений матричной функции источников S(r) прямо из исходного матрич-

ного уравнения Винера - Хопфа, записанного в альтернативной форме. Приводися также альтернативный (по сравнению с работой 1уапоу е1 а1. [1997а]) вывод асимптотических разложений матрицы Стокса выходящего излучения из линейного интегрального уравнения. В §1 приведены исходные интегральные уравнения и асимптотические разложения некоторых ядерных функций. В §§2 и 3 даны выводы асимптотических разложений матриц в и I соответственно. В §4 проведено сравнение асимптотических разложений с результатами численных расчетов. Если говорить более детально, то в работе 1\'апоу е1 а1. [1997а] показано, что в рамках приближения ППЧ матричная (2 х 2) функция источников в (г) в стандартной двухуровенной задаче о переносе поляризованного излучения в линии в полубесконечной среде с равномерно распределенными первичными источниками частично поляризованного излучения удовлетворяет матричному интегральному уравнению типа Винера -Хопфа, которое мы переписываем в следующей альтернативной форме:

с8(т) - 61/2-К2(Г)8(Г)-/оТ[К2(г')-К2(Г)]8'(Т-Г')С1Г'+/о°° К2(Г')8'(Т+Г')

(15)

где 8'(т) = с13(т)/с1т, а так называемая вторая ядерная матрица К2(т) представима в виде непрерывной суперпозиции экспонент:

К2(т) = /о°°е-И/*С(г)сЬ. (16)

Ее нормировка такова, что 2К2(0) = сИа§(А1,Ац). Здесь А1 = 1 — £1 — обычное альбедо однократного рассеяния, а = 1 — еу — эквивалент альбедо однократного рассеяния для параметра Стокса <5, £\ и — соответствующие вероятности гибели. Параметр Ад выражается через А1 и параметр деполяризации Ш: Ад = ^ Значение IV = 1 соответствует дипольному рассеянию (нет деполяризации) и IV — 0 дает деполяризованное изотропное рассеяние. Явное выражение для матрицы С(г) в общем случае произвольного профиля рассеяния в линии ф(х) в предположении о ППЧ дано в работе 1уапоу еЬ а1. [1997а]. Источнико-вое слагаемое в правой части уравнения (15) е1//2 = diag (е\12,.

Матрица Стокса выходящего излучения

Цг) = £°8(т)е-г'Чф, г > 0 (17)

удовлетворяет двум матричным уравнениям (см. Ivanov et al. [1997а]), одно из которых (записанное нами в альтернативной форме) линейное:

а другое нелинейное. Асимптотические разложения ядерных матриц G и К2 для случая доплеровского профиля ф(х) — ехр(—х2) можно

найти, например, в работе Ivanov et.al. [1997а] (см. также Faurobert-Scholl & Frisch [1989]). Эти разложения порождают разложения матрицы источников S(r) и матрицы 1(т), которые получаются из уравнений (15) и (18) соответственно. Так, при консервативном рассеянии (Ai = 1, Aq < 1) имеем

S»(r) ~ ijPTWpß, S21(r) ~ Iß,

S12(r) - i

Г £*! с22/ \ „ -1/2 75 Аа£д3/2 » _ Т

Тед^Г" 5 (Т) ^ 448 г\/Г £ Тй'

(20)

причем для определения коэффициентов разложений получаются рекуррентные соотношения. Первые десять коэффициентов для каждого из элементов матрицы 8 приведены в табл. 1. Разложения матрицы в(т) в биконсервативном пределе (А; = 1, —> 1) и при неконсервативном рассеянии (при А| < 1, Ад < 1) удается получить сразу же в матричной форме, причем в последнем случае матрица источников выражается непосредственно через вторую ядерную матрицу. Что касается матрицы Стокса выходящего излучения, то для нее в §3 получены аналогичные разложения, но по степеням Z = 1н (г/у/к). В §4 проведено сравнение асимптотических разложений матриц Б(г) и 1(т) при консервативном рассеянии с результатами численных решений. При этом численное решение для матрицы функции источников было получено автором, а для матрицы Стокса использовалось численное решение В.М.Лоскутова (Ггапоу е^ а1. [1997Ь]).

В пятой главе предложен новый метод численного решения нестационарных задач теории переноса излучения. В теории нестационарного переноса излучения изучается многократное рассеяние фотонов с

Табл. 1: Коэффициенты «¡¡' асимптотического разложения Э(г) при консервативном рассеянии

к 41 42 42

0 1.000000Е+00 1.000000Е+00 1.000000Е+00 1.000000Е+00

1 1.158775Е—01 -6.292898Е+00 3.750000Е—01 —7.219412Е—01

2 —7.504415Е—01 5.751899Е+01 —5.445809Е-01 1.534691Е+00

3 6.822107Е—01 -5.445835Е+02 4.976157Е+00 -4.504304Е+00

4 —8.517184Е+00 6.273780Е+03 —2.011274Е+01 1.757279Е+01

5 1.743584Е+01 -8.110070Е+04 2.901721Е+02 -8.405594Е+01

6 —2.771669Е+02 1.207465Е+06 -1.907872Е+03 4.815415Е+02

7 8.935228Е+02 -2.012072Е+07 3.863797Е+04 —3.202225Е+03

8 — 1.697146Е+04 3.749838Е+08 —3.527281Е+05 2.449477Е+04

9 7.492918Е+04 —7.708413Е+09 9.282869Е+06 —2.103224Е+05

10 -1.655547Е+06 1.737856Е+11 -1.085670Е+08 2.035131Е+06

учетом конечности времени пребывания между рассеяниями и в поглощенном состоянии. При этом все задачи по степени их сложности можно разбить на три типа. Первый тип — это задачи о нестационарном поле излучения в стационарных средах с неизменными физическими характеристиками. В задачах второго типа учитывается изменение этих характеристик со временем по заданному закону. Наконец, в задачах третьего типа существенно взаимное влияние с течением времени поля излучения и параметров среды. Задачи этого типа существенно нелинейны. Для решения задач первого типа имеется наиболее разработанная теория (см. Соболев [1956], Амбарцумян [1988], Кейз и Цвайфель [1972], Минин [1988]). Что касается задач второго и, особенно, третьего типов то вряд ли можно построить достаточно общую теорию их решения (отдельные примеры решений см., например, в обзорах Нагирнера [1974] и Гринина [1994]). Что касается численных решений нелинейных нестационарных задач, то они получаются, как правило методом возмущений, который включает в себя линеаризацию уравнений с последующими итерациями.

Предлагаемый нами в пятой главе универсальный метод состоит в

том, что если известно решение в некоторый момент времени £ (например, в начальный момент), то, представляя интенсивность излучения, а также все величины, зависящие от времени (населенности уровней, кинетическую температуру и т.д.), в виде разложений в ряды Тейлора в окрестности £, можно из уравнения переноса и сопутствующих ему уравнений (уравнения для населенностей, уравнение энергетического баланса и т.д.) найти и все производные этого решения в тот же момент и по. ряду Тейлора вычислить решение в некоторый следующий момент £ + и так далее. Метод позволяет рассматривать нестационарный перенос излучения как в стационарных средах, так и в средах, характеристики которых меняются со временем заданным образом. Более того, этим методом можно решать и нелинейные задачи, т.е. такие задачи, в которых поле излучения существенным образом влияет на характеристики среды. При этом не используются какие-либо итерации

— все сводится к вычислениям по рекуррентным соотношениям. В качестве примеров получены решения нескольких задач. §1 посвящен пространственно однородным задачам. В п. 1.1 для бесконечных однородных и изотропных сред рассмотрена временная эволюция начального спектра при многократном комптоновском рассеянии. При этом сначала получены решения нелинейного уравнения Компанейца [1956], причем по стандартной консервативной схеме теории теплопроводности, а затем — исходного нелинейного интегро-дифференциального уравнения переноса, из которого уравнение Компанейца получается в диффузионном приближении. Используется адаптивная частотно-временная сетка. Проведено сравнение этих решений. В п. 1.2 в линейном приближении рассмотрен нестационарный перенос в спектральной линии при ППЧ в бесконечном однородном изотропно расширяющемся пространстве. В п. 1.3 получены решения соответствующей нелинейной задачи, а в п. 1.4

— соответствующей линейной задачи, но при ЧПЧ с функцией перераспределения Яц. В §2 в качестве примера пространственно неоднородных задач рассмотрен нестационарный перенос монохроматического излучения в конечном плоском слое. Здесь приведены решения задач о включении в начальный момент времени либо стационарного освещения одной из границ, либо стационарных равномерно распределенных внутренних источников. На больших временах прослежен выход с высокой точнос-

тью на известные стационарные решения. Ниже приводятся некоторые результаты решения задач о комптоновском рассеянии. Что касается уравнения Компанейца, то оно, записанное в безразмерном виде для среднего числа заполнения фотонных состояний п(х, £), как известно, не содержит параметров. Здесь х — ки/кТ — безразмерная частота, V — обычная частота, Т — температура электронного газа. Время £ измеряется в единицах тс/а^т1екТ, где <тц — томсоновское сечение, пе — концентрация электронов. В процессе рассеяний сохраняется концентрация фотонов. Поэтому целесообразнее решать уравнение Компанейца, записанное для безразмерной функции распределения фотонов по частоте /(х, £) — х2п(х, £). Интеграл от /(ж, £) по всем частотам х есть величина постоянная. Она равна, очевидно, соответствующему интегралу от начального распределения /(х, 0) (обозначим ее через С). Это обстоятельство использовалось для контроля точности расчетов. В качестве начального распределения бралась либо "показательно-степенная" функция

которая стремится к ^-функции С8(х — х^) при е 0.

В качестве иллюстрации влияния нелинейности мы приводим решения для начального распределения вида (22) при е 0.01, = 1 и С = 1 и 50 (рис. 1). Следует отметить, что если С < 2£(3) « 2.404 (С(г) - (функция Римана), решения нелинейного уравнения при £ —» оо стремятся к предельному, равновесному распределению Бозе-Эйнштейна / = х2/[ихр(/л + х) — 1] (при С — 1 равновесное решение определяется химическим потенциалом ¡1 = 0.75961). Если же С превосходит указанное значение, то стационарного равновесного решения не существует.

Как видно из рис. 1 поведение решения сильно зависит от величины С. Так, при С — 1 начальное распределение в виде очень узкой линии (на рисунке не показано) плавно эволюционирует со временем к равновесному распределению. При С — 50 характер эволюции совершенно другой: за малое время в распределении фотонов по частоте возникает

(21)

либо функция вида

(22)

Рис. 1. Решения нелинейного уравнения Компанейца: эволюция начального спектра вида (22) (узкая линия) при е = 0.01, 11 = 1, С = 1 и С= 50.

очень крутой передний фронт, движущийся со временем к оси ординат. Возникновение таких фронтов (и даже их "опрокидывание", т.е. возникновение неоднозначности) было предсказано ранее Зельдовичем и Левичем [1968] (см. также обзор Зельдовича [1975]). Наши численные эксперименты показывают, что указанные фронты не опрокидываются на конечном расстоянии от оси ординат, а их эволюция заканчивается слиянием в определенный момент времени £*(С) с осью ординат, в результате чего значение / в нуле меняется скачком от 0 до некоторого значения /«(С)- Далее решение должно эволюционировать к стационарному, но неравновесному распределению ¡{х, со), которое отлично от 0 в нуле и убывает на бесконечности ос ж-2. С физической точки зрения возникновение устойчивого крутого переднего фронта объясняется конкуренцией диффузии, которая стремится сгладить градиенты, и нелинейности, которая стремится их увеличить. По сути это явление аналогично возникновению уединенных волн (солитонов) в гидродинамике. Следует однако отметить, что с физической точки зрения расчеты при t, очень близких к<„а также при t не имеют особого смысла без учета тормозных процессов, которые преобладают над комптонов-

ским рассеянием при малых х и приводят к установлению равновесного (планковского) распределения по частотам при достаточно малых х на любых временах, а в итоге и при всех х на больших временах.

Что касается исходного нелинейного интегро-дифференциального уравнения, описывающего комптоновское рассеяние, то использовалась функция перераспределения в приближении изотропного рассеяния в лабораторной системе отсчета (Нагирнер, Кикец, Поутанен [1991]), а распределение электронов по скоростям считалось релятивистским максвеллов-ским с температурой Т. Тогда уравнение, записанное для безразмерной функции распределения /(яе, £), где энергия х и время £ измеряются в единицах тс2 и 1/саощ соответственно, содержит лишь один параметр у = тс2/кТ. Чтобы иметь возможность сравнить результаты с решениями уравнения Компанейца, рассматривался нерелятивистский случай больших у (у = 100) и использовались те же начальные распределения фотонов.

Как и в случае уравнения Компанейца, решение сильно зависит от величины интеграла С (см. рис. 2). Так, при С = 1 начальное распределение (его "остатки" видны в виде очень узкой линии на ху = 1) эволюционирует к равновесному распределению. При С — 50, когда не существует предельного равновесного решения, формируется узкое распределение по частоте ("квазилиния"), движущееся со временем к оси ординат, причем его ширина уменьшается. Заметим, что при этом интеграл от распределения по частоте сохраняется с точностью не хуже Ю-4. Образование квазилиний было предсказано ранее из качественных соображений Зельдовичем и Сюняевым [1972].

На рис. 3 (справа) проведено сравнение результатов решения уравнения Компанейца (линии) и точного интегро-дифференциального уравнения (звездочки), из которого уравнение Компанейца получается в диффузионном приближении. Видно, что до момента времени Ь — 0.02 они хорошо согласуется между собой на всех частотах, а при Ь — 0.025 возникают большие различия на левом краю распределения. Точное уравнение дает "квазилинию", а уравнение Компанейца - нет. Дело в том, что при тех больших градиентах по частоте, которые возникают на временах Ь > 0.025, уравнение Компанейца неприменимо, так как нарушаются условия, при которых оно выводится из точного уравнения.

0.2 0.4 О.в 0.8 1.0 1.2 1.4

ху

1 1 1 1 ■ 1 1 < 1 1 • | | 1 | I ' 1 *

; у = 100

х0 = 0.01

Л С - 50

/У\ 1 = 0.872

■ М Ь = 0.745 "

(И 1 = 0.921

Г 1 1 У-Л . 1 1 ' ■ ■ 1 ... I 1_к—1_

О 0.2 0.4 О.в 0.8 1.0 1.2 1.4 1.1

ху

Рис. 2. Эволюция начального распределения в виде узкой линии при у = 100, х0 = 0.01, (7 = 1 и С = 50. (Высота начального пика на ху — 1 уменьшается со временем.)

30

ео 1 ( Г'(-тт-р I < |Ч -|- I 1 Г 1 ■!-■'- ■

58

52 - -

46 44 1 У юо ;

с = 50

40 - 1 1 =х 0

36 1 1.32

■ 1 1.02

32 = 2.32 :

* Й.ВЗ

28 - 1 = 3.00

24 - -

20 - -

16 - -

12 - .. -

а - -

4

п 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1-1-1-г—-1-1-1-1-г-

Г(х,0)=(8С/3)х3ехр(-2х)

0.0

ху

Рис. 3. Эволюция начального распределения вида (21) при у = 100, р = 3, 5 = ЗиС = 50. Справа приведены для сравнения решения уравнения Компанейца (линии).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

статьях:

1. Грачев С.И. О профилях спектральных линий, возникающих в одномерной расширяющейся среде. I. Прямоугольный и доплеровский коэффициенты поглощения. Вестник Ленингр. ун-та, N 1, 77-86, 1982.

2. Грачев С.И. О профилях спектральных линий, возникающих в одномерной расширяющейся среде. II. Степенной коэффициент поглощения. Вестник Ленингр. ун-та, N 7, 85-92, 1982.

3. Грачев С.И. Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. I. Ядра интегральных уравнений, вероятности выхода фотонов. Астрофизика, том 23, 323-336,1985.

4. Грачев С.И. Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. II. Решения для бесконечных и полубесконечных сред. Астрофизика, том 23, 551-568, 1985.

5. Грачев С.И. О диффузии резонансного излучения в бесконечной среде при наличии поглощения в континууме. Астрофизика, том 28, 205-215, 1988.

6. Грачев С.И. Диффузия резонансного излучения в бесконечной однородно расширяющейся среде. Астрофизика, том 30, 347-361, 1989.

7. Грачев С.И. Перенос излучения в движущихся средах. В трудах симп. "Принцип инвариантности и его приложения", ред. Мнака-цанян М.А., Пикичян О.В., изд-во АН АрмССР, Ереван, 210-222, 1989.

8. Грачев С.И., Дубрович В.К. Рекомбинация водорода в расширяющейся Вселенной. Астрофизика, том 34, 249-264, 1991.

9. Грачев С.И. О нестационарном переносе излучения в спектральной линии в звездных атмосферах. Астрофизика, том 37, 447-453,1994.

10. Грачев С.И. Перенос излучения в движущихся астрофизических средах. Труды Астрой, обе. С.-Петерб. гос. ун-та, том 44, 203235, 1994.

11. Ivanov V.V., Grachev S.I., Loskutov V.M. Polarized line formation by resonance scattering. I. Basic formalism. Astron. Astrophys, vol. 318, 315-326, 1997.

12. Ivanov V.V., Grachev S.I., Loskutov V.M. Polarized line formation by resonance scattering. II. Conservative case. Astron. Astrophys, vol. 321, 968-984, 1997.

13. Нагирнер Д.И., Лоскутов B.M., Грачев С.И. Точные и численные решения уравнения Компанейца: эволюция спектра и средних частот. Астрофизика, том 40, 349-364, 1997.

14. Грачев С.И. Образование линий в движущихся средах: асимптотические разложения некоторых специальных функций. Астрофизика, том 42, 501-518,1999.

15. Грачев С.И. Общий метод численного расчета нестационарных полей излучения. В сб. тезисов Международного симп. стран СНГ "Атмосферная радиация", С.-Петербург, 18, 1999.

Примечания к списку основных работ:

- в работе [8] автору принадлежат текст и численные расчеты, а соавтору — постановка задачи,

- в работе [11] автору принадлежит расчет коэффициентов асимптотических разложений ядерных матриц Ki(т) и Кг(г) (табл. 2),

- в работе [12] автору принадлежат численный расчет матрицы функции источников S(т) (табл. 1), асимптотические разложения вторых столбцов матриц S(r) и 1(т) (формулы (110)—(117)), расчет коэффициентов асимптотических разложений матриц S(г) и 1(г) (табл. 4 и 5). Разложения первых столбцов матриц S(r) и 1(т) (формулы (67), (68) и (96), (97)) получены автором одновременно (и независимо) с В.В.Ивановым разными способами,

- в работе [13] автору принадлежит численное решение уравнения Компанейца (стр. 355-362).

Литература

Амбарцумян В.А. (1988). Научные труды: В 3 т. Ереван. Т. 3. 370 с. Баско М.М. (1978). Перераспределение по частоте и диффузия излучения в резонансных рентгеновских линиях // Журн. эксперим. и теор. физ., т. 75, 1278-1288.

Баско М.М. (1981). Длина термализации резонансного излучения при частичном перераспределении по частотам // Астрофизика, т. 17, 125139.

Грачев С.И. (1978). К задаче о диффузии излучения в движущейся среде. II. Сферическая симметрия // Вестник ЛГУ, N 1, 129-135. Гринин В.П. (1994). Теория нестационарного переноса излучения // Труды АО СПбГУ, т. 44, 236-248.

Енгибаржн Н.Б., Никогосяи А.Г. (1973). Некогерентное рассеяние // Астрофизика, т. 9, 79-94.

Заботин H.A., Населъский П.Д. (1982). Нейтринный фон Вселенной и флуктуации температуры микроволнового реликтового излучения // Астрон. журн. т. 59, 447-457.

Зельдович Я.Б., Курт В.Г., Сюнжее P.A. (1968). Рекомбинация водорода в горячей модели Вселенной // Журн. эксперим. и теор. физ., т. 55, 278-287.

Зельдович Я.Б., Левин Е.В. (1968) Бозе-конденсации и ударные волны в спектре фотонов // Журн. эксперим. и теор. физ., т. 55, 2423-2429. Зельдович Я.Б., Сюняев P.A. (1972). Структура ударной волны в спектре излучения при бозе-конденсации фотонов // Журн. эксперим. и теор. физ., т. 62, 153-160.

Зельдович Я.Б. (1975). Взаимодействие свободных электронов с электромагнитным излучением // Успехи физ. наук, т. 115, 161-197. Иванов В.В. (1969). Перенос излучения и спектры небесных тел. М. Наука. 472 с.

Кейз К., Цвайфелъ П. Линейная теория переноса. М. Мир. 1972. 384 с. (Пер с англ: Case K.M., Zweifel Р.F. Linear Transport Theory. Addison-Wesley. Reading. Mass. 1967.)

Компанеец A.C. (1956). Об установлении теплового равновесия между квантами и электронами // Журн. эксперим. и теор. физ., т. 31,876-885.

Минин И.Н. (1988). Теория переноса излучения в атмосферах планет. М. Наука. 264 с.

Михалас Д. (1982). Звездные атмосферы. В 2-х т. М. Наука. Т. 2. 422 с. Нагирнер Д.И. (1974). Теория нестационарного переноса излучения // Астрофизика, т. 10, 445-469.

Нагирнер Д.И. (1994). Перенос излучения в спектральных линиях // Труды АО СПбГУ, т. 44, 172-202.

Нагирнер Д.И., Кикец Е.В., Поутанен Ю.Й. (1991). Однократное комп-тоновское рассеяние // Труды АО ЛГУ, т. 43, 28-70. Никогосян А.Г., Арутюнян Г.А. (1976). Образование спектральных линий при общем законе перераспределения // Доклады АН СССР, т. 229, 583-586.

Соболев В.В. (1947). Движущиеся оболочки звезд. Л. Издательство ЛГУ. 114 с.

Соболев В,В. (1956). Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М. ГИТТЛ. 391 с.

Соболев В.В. (1957). Диффузия La-излучения в туманностях и звездных оболочках // Астрон. журн., т. 34, 694-705.

Чугай Н.Н. (1980). Рассеяние La-квантов в расширяющихся оболочках с большой оптической толщей // Письма в Астрон. журн., т. 6,166-171. Чугай Н.Н. (1987). Рассеяиие La-квантов в бесконечной расширяющейся среде при наличии поглощения в континууме // Астрофизика, т. 26, 89-96.

Faurobert-Scholl М., Frisch Н. (1989). Asymptotic analysis of resonance polarization and escape probability approximations // Astron. Astrophys., v. 219, 338-351.

Frisch H. (1980). Scaling laws for resonance line photons in an absorbing medium // Astron. Astrophys., v. 87, 357-360.

Harrington J.P. (1973). The scattering of resonance-line radiation in the limit of large optical depth // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc., v. 162, 43-52. Hummer D. G. (1962). Non-coherent scattering. I. The redistribution function with Doppler broadening // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc., v. 125, 21-37. Hummer D.G., Kunasz P.B. (1980). Energy loss by resonance line photons in an absorbing medium // Astrophys. J., v. 236, 609-618. Jones B.J.Т., Wise R.F.G. (1985). The ionisation of the primeval plasma

at the time of recombination // Astron. Astrophys., v. 149, 144-150. Ivanov V.V. (1991). Analytical methods of line formation theory: Are they still alive? In: L.Crivellary, I.Hubeny, D.G.Hummer (eds.) // Stellar Atmospheri Beyond Classical Models. Kluwer. Dordrecht. P. 81.

Ivanov V.V., Grachev S.I., Loskutov V.M. (1997a). Polarized line formation by resonance scattering. I. Basic formalism // Astron. Astrophys., v. 318, 315-326. .

Ivanov V.V., Grachev S.I., Loskutov V.M. (1997b). Polarized line formation by resonance scattering. II. Conservative case // Astron. Astrophys., v. 321, 968-984.

Nagirner D.I. (1984). Theory of radiation transfer in spectral lines // Astrophys. Space Phys. Rev., v. 3, 255-300.

Peebles P.J. (1968). Recombination of the primeval plasma // Astrophys. J., v. 153, 1-11.

Stenfto J.O. (1994). Solar Magnetic Fields. Kluwer Publ. Co. Dordrecht.

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 25.01.2000 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 эхз. Заказ 1180. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.

Общая характеристика работы.

Глава 1. Крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах в приближении полного перераспределения по частоте при рассеянии.

§1. Ядра интегральных уравнений и вероятности выхода фотонов

1.1. Основные соотношения.

1.2. Крупномасштабное представление монохроматической вероятности выхода.

1.3. Крупномасштабные представления ядерных функций.

§2. Решения для бесконечных и полубесконечных сред.

2.1. Основные соотношения.

2.2. Крупномасштабные представления основных соотношений.

2.3. Крупномасштабные решения.

Глава 2. Обобщение приближения Соболева с учетом пространственных градиентов всех физических величин.

§1. Формальное решение уравнения переноса.

1.1. Система отсчета наблюдателя.

1.2. Сопутствующая система.

§2. Приближение Соболева (общий случай).

2.1. Средняя интенсивность излучения и функция источников.

2.2. Интенсивность выходящего излучения.

2.3. Нелокальное радиационное взаимодействие.

§3. Итерации по пространственным градиентам. Приближения первого и второго порядков.

§4. Асимптотические разложения функций и(т,/3) и /3).

4.1. Определения.

4.2. Основные результаты для случая доплеровского профиля.

4.3. Лоренцевские крылья фойгтовского профиля (ф(х) ~ а/тгх2).

4.4. Сшивка асимптотических разложений для доплеровского ядра и ло-ренцевских крыльев.

Глава 3. Аналитические решения при ЧПЧ с функцией Лц в диффузионном (по частоте) приближении.

§1. Статические среды: учет поглощения в континууме.

1.1 Основные уравнения и соотношения.

1.2 Стационарные решения.

1.3 Нестационарные решения.

§2. Расширяющиеся среды: учет отдачи при рассеянии.

2.1 Основные уравнения и соотношения.

2.2 Решения уравнения диффузии.

2.3 Интегральные характеристики.

§3. Рекомбинация водорода в расширяющейся Вселенной.

3.1 Основные уравнения и соотношения.

3.2 Результаты расчетов степени ионизации и электронной температуры.

3.3 Спектр рекомбинационного излучения в линии Lyo¡.

Глава 4. Асимптотическая теория переноса поляризованного излучения при резонансном рассеянии с полным перераспределением по частоте в доплеровском ядре

§1. Основные уравнения и соотношения.

§2. Асимптотические разложения матрицы источников S(r).

2.1. Консервативное рассеяние.

2.2. Биконсервативный предел.

2.3. Неконсервативное рассеяние.

§3. Асимптотические разложения матрицы I(z)

3.1. Консервативное рассеяние.

3.2. Биконсервативный предел.

3.3. Неконсервативное рассеяние.

§4. Сравнение численных расчетов матриц S(r) и I(z) с их асимптотическими разложениями.

4.1.ЛМатрица S(VJ.

4.2. Матрица I(z).

Глава 5. Общий метод численного решения задач о нестационарном переносе излучения.

§1. Пространственно однородные задачи.

1.1. Многократное комптоновское рассеяние.

1.2. Рассеяние в линии при ППЧ: линейное приближение

1.3. Рассеяние в линии при ППЧ: нелинейная задача.

1.4. Рассеяние в линии при ЧПЧ с функцией перераспределения Дц

§2. Пространственно неоднородные задачи.

2.1. Монохроматическое рассеяние в плоском слое конечной толщины

Актуальность темы. Теория переноса излучения в спектральных линиях в статических (неподвижных) средах в приближении полного перераспределения по частоте (ППЧ) в элементарном акте рассеяния в настоящее время является хорошо разработанным с физической и математической точек зрения разделом теоретической астрофизики. Приближение ППЧ было введено почти одновременно рядом астрофизиков и физиков (Дж.Хаутгаст, JI.М.Виберман, Т.Холстейн, В.В.Соболев). Согласно этому предположению вероятность переизлучения фотона определенной частоты не зависит от того, какую частоту имел фотон до рассеяния. Изложению теории переноса в спектральных линиях при ППЧ посвящено несколько книг, прежде вбего В.В.Соболева [1956] и В.В.Иванова [1969], а также обзоров (см., например, Ivanov [1991], Нагирнер [1994]).

Примерно с середины 60-х годов стала активно развиваться теория рассеяния при законах, отличных от ППЧ, которое называется рассеянием при частичном перераспределении по частоте (ЧПЧ). Большой вклад в эту теорию внесли Хаммер с сотрудниками (Hummer [1962], Hummer и Kunasz [1980]), Harrington [1974], Баско [1978], Frisch [1980], Hubeny и Heinzel [1984], Чугай [1980], а также армянские астрофизики'(Енгибарян и Никогосян [1973], Yengibarian и Nikoghosian [1973], Никогосян и Арутюнян [1976]). (Обзор работ по теории рассеяния при ЧПЧ см., например в работе Нагирнера [1987].) Во многих случаях результаты при ППЧ и ЧПЧ близки, но бывают и существенные отклонения. Они проявляются, когда в системе отсчета атома происходит рассеяние с лоренцевским профилем (естественное уширение линий), а скорости атомов распределены по максвелловскому закону. Тогда функция перераспределения Ru (в обозначениях Hummer [1962]) ведет себя так, что в ядре линии происходит перераспределение, близкое к полному, а в крыле рассеяние почти монохроматическое. Это порождает иные асимптотики решений.

Актуальность дальнейшего развития теории переноса излучения в спектральных линиях определяется потребностями как самой теории, так и современных наблюдений. В рамках приближения ППЧ это, во-первых, — учет крупномасштабных движений (расширения или сжатия) вещества и неоднородности распределения характеристик среды, а также усложнение геометрии среды и, во-вторых, - разработка матричной версии теории, позволяющей наряду с профилем линии в интенсивности строить и профиль поляризации в линии (последнее актуально в связи с интерпретацией' так называемого второго спектра Солнца). Что касается ЧПЧ, то в случае функции перераспределения Яц, о которой упоминалось выше, оказывается возможным получить новые аналитические решения пространственно однородных задач как для неподвижных, так и движущихся сред. Далее, что касается численных методов решения задач о переносе излучения, то, несмотря на их огромное разнообразие, до сих пор не было придумано универсального метода (не считая метода Монте Карло), позволяющего решить любую задачу, а в особенности нелинейную, т.е. такую, в которой характеристики среды существенно зависят от поля излучения.

Целью работы является дальнейшее развитие указанных выше направлений теории переноса излучения. В первой главе разрабатывается (в приближении ППЧ) крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах, которая в частном случае нулевого градиента скорости расширения переходит в соответствующую теорию для неподвижных сред. Рассматриваются бесконечные и полубесконечные среды с плоской или сферической симметрией. Показано, что при малых безразмерных градиентах скорости функция источников и интенсивность излучения выражаются через функции на 1 меньшего числа аргументов, являющихся комбинациями прежних аргументов. Для нескольких основных задач эти функции найдены в явном виде для случаев доплеровского и степенного (в крыле) профилей коэффициента поглощения. Обнаружено, что расширение среды может приводить к образованию узких (с шириной, меньшей тепловой) интенсивных компонентов профилей спектральных линий.

Во второй главе предлагается некоторый новый подход к получению широко известного (и часто используемого в астрофизике) приближения Соболева (ПС). В этом подходе ПС трактуется как нулевое приближение в разложении решения уравнения переноса в сопутствующей системе отсчета по пространственным градиентам всех физических величин, включая поле скорости, кинетическую температуру атомов и т.д. При этом ПС получается в самом общем виде и включает в себя все имеющиеся в литературе (и некоторые новые) обобщения. Найдены и поправки к ПС первого и второго порядков.

В третьей главе в рамках ЧПЧ с функцией Дц получены в диффузионном приближении новые более общие (по сравнению с имеющимися в литературе) аналитические решения задач о переносе излучения в линии в бесконечных (статических или расширяющихся) средах с равномерным распределением источников. В случае расширяющихся сред эти решения дают правильную асимптотику интенсивности излучения в крыле линии. Найдены профили спектральной линии, а также такие интегральные величины, как среднее число рассеяний фотонов и относительное число несбалансированных переходов из верхнего состояния атома в нижнее. Выражение для последней величины, имеющей также смысл вероятности выхода фотона из процесса, рассеяний, отличается от получаемого в приближении Соболева (при ППЧ) множителем, который обращается в 1, если пренебречь отдачей при рассеянии.

В четвертой главе в рамках ППЧ построена асимптотическая теория переноса поляризованного излучения в линии в полубесконечных плоскопараллельных средах с равномерно распределенными частично поляризованными первичными источниками в линии. При этом предложен новый метод получения полного асимптотического разложения матрицы функции источников — непосредственно из интегрального матричного уравнения, которое получается из исходного уравнения типа Винера-Хопфа интегрированием по частям. Построены также численные решения задачи и проведено их сравнение с асимптотическими разложениями.

В пятой главе предложен новый метод численного решения нестационарных' задач теории переноса излучения. Метод состоит в том, что если известно решение в некоторый момент времени, то из уравнения переноса можно найти по некоторым рекуррентным соотношениям и все производные этого решения в тот же момент и по ряду Тейлора вычислить решение в некоторый следующий момент и так далее. Метод позволяет рассматривать нестационарный перенос излучения как в стационарных средах, так и в средах, характеристики которых меняются со временем заданным образом. Более того, этим методом можно решать и нелинейные задачи, т.е. такие задачи, в которых поле излучения существенным образом влияет на характеристики среды. При этом не используются какие-либо итерации — все сводится к вычислениям по рекуррентным соотношениям. В качестве примеров получены решения нескольких задач. Для бесконечных однородных и изотропных сред рассмотрена временная эволюция начального спектра при многократном комптоновском рассеянии. При этом использовалось точное интегро-дифференциальное уравнение переноса на адаптивной частотно-временной сетке. Проведено сравнение с соответствующими решениями уравнения Компанейца, которое получается из исходного уравнения в диффузионном приближении. Рассмотрена также пространственно однородная задача о нестационарном переносе в спектральной линии. При этом учитывалось расширение пространства. Решения найдены как в линейном приближении, так и для исходной нелинейной задачи. В качестве примера пространственно неоднородных задач рассмотрен нестационарный перенос монохроматического, излучения в конечном плоском слое с переменными источниками.

Научная ценность работы определяется тем, что в ней разработаны некоторые направления в асимптотической теории переноса излучения в спектральных линиях при ППЧ (движущиеся среды (гл. 1), поляризация в линии (гл. 4)), предложены новые методы получения асимптотических и численных решений (гл. 4 и 5) и предсказаны некоторые новые физические эффекты (сужение линий в расширяющихся средах (гл. 1)). С практической точки зрения найденные новые аналитические решения могут использоваться для тестирования прикладных пакетов программ. Кроме того, полезным с методической (рассчет-ной) точки зрения может быть использование при численном решении не самого исходного интегрального уравнения переноса (как это делается, например, в гл. 4 при нахождении асимптотичского разложения матрицы функции источников), а альтернативной его формы, позволяющей исключить потери точности, связанные с учетом большого числа рассеяний (см. гл. 5, §1, п. 1.4). Для практического решения нестационарных нелинейных задач (в том числе и мно-гоуровенных) представляется весьма перспективным новый численный метод, предложенный нами в гл. 5. Более того, этот метод может использоваться (в стационарном пределе) и для .получения решений нелинейных стационарных задач.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

- семинарах лаборатории теоретической астрофизики Астрономического института и кафедры астрофизики С.-Петербургского гос. университета

- Всесоюзном симпозиуме, приуроченном к 40-летию введения принципа инвариантности в теорию переноса излучения, Бюракан, 26-30 октября 1981 г.

- Всесоюзном совещании "Звездные атмосферы", Рига, май 1981 г.

- Всесоюзной конференции "Образование эмиссионных линий в спектрах звезд и галактик", Эльва, 25-28 мая 1982 г.

- Всесоюзном симпозиуме, посвященном 100-летию интегрального уравнения переноса излучения, Ленинград, октябрь 1990 г.

- Международной рабочей группе "Solar polarization", ГАО РАН, С.-Петербург, май 1995 г.

- Международном симпозиуме стран СНГ по атмосферной радиации (МСАР-99), С.-Петербургский университет, С.-Петербург, 12-15 июля 1999 г.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. С.И.Грачев (1982). О профилях спектральных линий, возникающих в од- • номерной расширяющейся среде. I. Прямоугольный и доплеровский коэффициенты поглощения. Вестник Ленингр. ун-та. N 1. С. 77-86.

2. С.И.Грачев (1982). О профилях спектральных линий, возникающих в одномерной расширяющейся среде. II. Степенной коэффициент поглощения. Вестник Ленингр. ун-та. N 7. С. 85-92.

3. С.И.Грачев (1985а). Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. I. Ядра интегральных уравнений, вероятности выхода фотонов. Астрофизика. Т. 23. С. 323-336.

4. С.И.Грачев (19856). Асимптотическое подобие в задачах о переносе резонансного излучения в линейно расширяющихся средах. II. Решения для бесконечных и полубесконечных сред. Астрофизика. Т. 23. С. 551-568.

5. С.И.Грачев (1988). О диффузии резонансного излучения в бесконечной среде при наличии поглощения в континууме. Астрофизика. Т. 28. С. 205-215.

6. С.И.Грачев (1989). Диффузия резонансного излучения в бесконечной однородно расширяющейся среде. Астрофизика. Т. 30. С. 347-361.

7. С.И.Грачев (1989). Перенос излучения в движущихся средах. В трудах симпозиума "Принцип инвариантности и его приложения". Изд-во АН АрмССР. Ереван. С. 210-222.

8. С.И.Грачев, В.К.Дубрович (1991). Рекомбинация водорода в расширяющейся Вселенной. Астрофизика. Т. 34. С. 249—264.

9. С.И.Грачев, (1994). О нестационарном переносе излучения в спектральной линии в звездных атмосферах. Астрофизика. Т. 37. С. 447-453.

10. С.И.Грачев (1994). Перенос излучения в движущихся астрофизических средах. Труды Астрон. обсерв. С-Петерб. гос. ун-та. Т. 44. С. 203—235.

11. V.V.Ivanov, S.I.Grachev, V.M.Loskutov (1997). Polarized line formation by resonance scattering. I. Basic formalism. Astron. Astrophys. Vol. 318. P. 315-326.

12. V.V.Ivanov, S.I.Grachev, V.M.Loskutov (1997). Polarized line formation by resonance scattering. II. Conservative case. Astron. Astrophys. Vol. 321. P. 968-984.

13. Д.И.Нагирнер, В.M.Лоскутов, С.И.Грачев (1997). Точные и численные решения уравнения Компанейца: эволюция спектра и средних частот. Астрофизика. Т. 40. С. 349-364.

14. С.И.Грачев (1999). Образование линий в движущихся средах: асимптотические разложения некоторых специальных функций. Астрофизика. Т. 42. С. 501-518.

15. С.И.Грачев (1999). Общий метод численного решения задач о нестационарном переносе излучения. Тезисы доклада на Международном симпозиуме стран СНГ "Атмосферная радиация" (МСАР-99). С.-Петербург. Июль 1999г.

Примечания к списку основных работ:

• в работе [8] автору принадлежат текст, формулы и численные расчеты, а соавтору — постановка задачи

• в работе [11] автору принадлежит расчет коэффициентов асимптотических разложений ядерных матриц Кг(-г) и К2(т) (табл. 2)

• в работе [12] автору принадлежат численный расчет матрицы функции источников S(г) (табл. 1), асимптотические разложения вторых столбцов матриц S(т) и 1(т) (формулы (110)—(117)), расчет коэффициентов асимптотических разложений матриц S(r) и 1(т) (табл. 4 и 5). Разложения первых столбцов матриц S(г) и 1(т) (формулы (67), (68) и (96), (97)) получены автором одновременно (и независимо) с В.В.Ивановым разными способами

• в работе [13] автору принадлежит численное решение уравнения Компанейца (стр. 355-362)

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Она изложена на 170 страницах (153 страницы основного текста, 9 страниц приложений и 8 страниц списка литературы), включает 22 таблицы и 37 рисунков. Список литературы содержит 113 наименований.

Заключение

Главной задачей было дальнейшее развитие отдельных направлений теории переноса излучения. Основное внимание было уделено аналитическим методам теории многократного резонансного рассеяния — асимптотическим и приближенным. В рамках приближения полного перераспределения по частоте (ППЧ) построены асимптотические теории с учетом линейного расширения сред и с учетом поляризации по отдельности. При отсутствии расширения и в скалярном случае они переходят в соответствующие теории для неподвижных сред. При частичном перераспределении по частоте с функцией перераспределения Яц (тепловое движение атомов с естественно уширенным верхним уровнем) были найдены новые аналитические решения пространственно однородных задач в диффузионном по частоте приближении. Эти решения дают правильную асимптотику интенсивности излучения как функции частоты. Был представлен также новый (более широкий) взгляд на известное приближение Соболева (ПС), которое можно трактовать как нулевое приближение в разложении интенсивности излучения по градиентам всех физических параметров, включая и поле скорости.

Что касается численных методов, то был предложен эффективный общий метод численного решения нелинейных нестационарных задач теории переноса, который можно использовать и для решения нелинейных стационарных задач. Идея метода очень проста. В нем не используются какие-либо итерации, и все сводится к вычислениям по рекуррентным формулам. Широкие возможности метода продемонстрированы на примере решения нескольких модельных задач теории переноса излучения. Здесь следует отметить, что этот метод можно применять и при решении других кинетических уравнений, а не только уравнения переноса излучения.

В качестве возможных направлений дальнейших исследований можно указать следующие. Во-первых, это — распространение аналитической теории, развитой в §§1 и 2 гл. 3, на конечные среды. Во-вторых, можно попытаться обобщить асимптотическую теорию переноса поляризованного излучения (гл. 4), учтя влияние магнитного поля и эффекты отклонений от ППЧ. В третьих, это — дальнейшее использование численного метода, предложенного в гл. 5, например, для самосогласованного рассмотрения задачи о многократном комптонов-ском рассеянии (§1 гл. 5) путем совместного решения кинетических уравнений для электронов и фотонов. Можно также попытаться использовать этот метод для решения многоуровенных нелинейных задач теории звездных атмосфер.

На защиту выносятся:

1. Крупномасштабная асимптотическая теория переноса резонансного излучения в линейно расширяющихся средах при полном перераспределении по частоте (ППЧ).

2. Аналитические решения задач о переносе резонансного излучения при частичном перераспределении по частоте в диффузионном (по частоте) приближении.

3. Асимптотическую теорию переноса поляризованного излучения при резонансном рассеянии в доплеровском ядре линии в приближении ППЧ.

4. Общий метод численного решения нелинейных задач о нестационарном переносе излучения.

1. Абрамовиц М., Стиган И. (1964). Справочник по специальным функциям. М. Наука. 832 с. (Пер. с англ.: Abramowitz М., Stegun 1. (1964). Handbook of Mathematical Functions. NBS. Washington.)

2. Аллен К.У. (1960). Астрофизические величины. М. ИЛ. 304 с.

3. Амбарцумян В.А. (1988). Научные труды: В 3 т. Ереван. Т. 3. 370 с.

4. Амбарцумян В.А., Мустель Э.Р., Северный А.В., Соболев В.В. (1952). Теоретическая астрофизика. Под. ред. В.А.Амбарцумяна. М. ГИТТЛ. 635 с.

5. Баско М.М. (1978а). Препр. ИКИ АН СССР. N 410.

6. Баско М.М. (19786). Перераспределение по частоте и диффузия излучения в резонансных рентгеновских линиях. Журн. эксперим. и теор. физ. Т. 75. С. 1278-1288.

7. Баско М.М. (1979). Длина термализации резонансного излучения при частичном перераспределении по частотам. Препр. ИТЭФ АН СССР. N 152.

8. Баско М.М. (1981). Длина термализации резонансного излучения при частичном перераспределении по частотам. Астрофизика. Т. 17. С. 125-139.

9. Беляев Н.М., Рядно А.А. (1982). Методы теории теплопроводности. Часть 2. М. Высшая школа.

10. Бурдюжа В.В., Чекмезов А.Н. (1994). Искажение спектра реликтового излучения в виновской области в процессе рекомбинации Вселенной (тест на барионную плотность). Астрон. otc. Т. 71. С. 341-351.

11. Витязев В.В. (1973). Функции, встречающиеся в теории диффузии излучения в движущихся средах. Вестник ЛГУ. N 19. С. 124-129.

12. Гопасюк С.И., Рачковский Д.Н. (1983). Поляризация резонансно-рассеянного излучения, обусловленного внутренними источниками среды . Известия Крымской астрофиз. обсерв. Т. 67. С. 65-78.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. (1962). Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Физмаггиз. 1100 с.

14. Грачев С.И. (1976). Асимптотики функций, встречающихся в теории переноса излучения в движущейся среде. Вестник ЛГУ. N 1. С. 128-132.

15. Грачев С.И. (1977а). К задаче о диффузии излучения в движущейся среде.

16. Плоская симметрия. Вестник ЛГУ. N 19. С. 114-120.

17. Грачев С.И. (19776). Характерные длины в задачах о переносе излучения в движущейся среде. Астрофизика. Т. 13. С. 185-197.

18. Грачев С.И. (1978а). К задаче о диффузии излучения в движущейся среде.1.. Сферическая симметрия.' Вестник ЛГУ. N 1. С. 129-135.

19. Грачев С.И. (19786). Перенос резонансного излучения в бесконечной изотропно расширяющейся среде. Астрофизика. Т. 14. С. 111-121.

20. Грачев С.И. (1978в). Перенос излучения в расширяющихся плоскопараллельных средах. Деп. в ВИНИТИ. N 1007-78. 25 с.

21. Грачев С.И., Гринин В.П. (1975). Анализ профилей линий в спектре квазара PHL 5200. Астрофизика. Т. 11. С. 33-47.

22. Гринин В.П. (1974). Перенос резонансного излучения в движущихся средах. Приближенные методы. Астрофизика. Т. 10. С. 239-255.

23. Гринин В.П. (1984). Образование эмиссионных спектров в движущихся средах. Астрофизика. Т. 20. С. 365-417.

24. Гринин В.П. (1994). Теория нестационарного переноса излучения. Труды астрон. обсерв. СПбГУ. Т. 44. С. 236-248.

25. Енгибарян Н.Б., Никогосян А.Г. (1973). Некогерентное рассеяние. Астрофизика. Т. 9. С. 79-94.

26. Заботин H.A., Насельский П.Д. (1982). Нейтринный фон Вселенной и флуктуации температуры микроволнового реликтового излучения. Астрон. ж. Т. 59. С. 447-457.

27. Зельдович Я.Б. (1975). Взаимодействие свободных электронов с электромагнитным излучением. Успехи физ. наук. Т. 115. С. 161-197.

28. Зельдович Я.Б., Курт В.Г., Сюняев P.A. (1968). Рекомбинация водорода в горячей модели Вселенной. Журн. эксперим. и теор. физ. Т. 55. С. 278-287.

29. Зельдович Я.Б., Левич Е.В. (1968) Бозе-конденсации и ударные волны в спектре фотонов. Журн. эксперим. и теор. физ. Т. 55. С. 2423-2429.

30. Зельдович Я.Б., Сюняев P.A. (1972) Структура ударной волны в спектре излучения при бозе-конденсации фотонов. Журн. эксперим. и теор. физ. Т. 62. С. 153-160.

31. Иванов B.B. (1960). О диффузии излучения с перераспределением по частоте в одномерной среде. Вестник ЛГУ. N 19. С. 117-123.

32. Иванов В.В. (1962). Диффузия излучения с перераспределением по частоте в полубесконечной среде. Труды АО ЛГУ. Т 19. С. 52-66.

33. Иванов В.В., Нагирнер Д.И. (1965). Я-функции в теории переноса резонансного излучения. Астрофизика. Т. 1. С. 143-166.

34. Иванов В.В. (1969). Перенос излучения и спектры небесных тел. М. Наука. 472 с. (English translation: V.V.Ivanov, Transfer of Radiation in Spectral Lines. NBS SP N 385. Washington. 1973.)

35. Иванов B.B. (1972). Приближенное решение уравнения переноса излучения в частотах линии. Астрон. журн. Т. 49. С. 115-120.

36. Иванов В.В. (1995). Частное сообщение.

37. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М. Мир. 1972. 384 с. (Пер с англ: Case K.M., Zweifel P.F. (1967). Linear Transport Theory. Addison-Wesley. Reading. Mass.)

38. Компанеец A.C. (1956). Об установлении теплового равновесия между квантами и электронами. Журн. эксперим. и теор. физ. Т. 31. С. 876885.

39. Минин И.Н. (1988). Теория переноса излучения в атмосферах планет. М. Наука. 264 с.

40. Михалас Д. (1982). Звездные атмосферы. В 2-х т. М. Наука. Т. 2. 422 с.

41. Нагирнер Д.И. (1964). О решении интегральных уравнений теории рассеяния света. Астрон. ж. Т. 41. С. 669-675.

42. Нагирнер Д.И. (1968). Многократное рассеяние света в полубесконечной среде. Труды АО ЛГУ. Т. 25. С. 3-17.

43. Нагирнер Д.И. (1974). Теория нестационарного переноса излучения. Астрофизика. Т. 10. С. 445-469.

44. Нагирнер Д.И. (1987). Образование спектральных линий при частичном перераспределении по частоте. Астрофизика. Т. 26. С. 157-195.

45. Нагирнер Д.И. (1994). Перенос-излучения в спектральных линиях. Труды Астрономической обсерватории СПбГУ. Т. 44. С. 172-202.

46. Нагирнер Д.И., Кикец Е.В., Поутанен Ю.Й. (1991). Однократное компто-новское рассеяние. Труды АО ЛГУ. Т. 43. С. 28-70.

47. Никогосян А.Г., Арутюнян Г.А. (1976). Образование спектральных линий при общем законе перераспределения. Доклады АН СССР. Т. 229. С. 583-586.

48. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. (1981). Интегралы и ряды. Элементарные функции. М. Наука.

49. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. (1983). Интегралы и ряды. Специальные функции. М. Наука. 752 с.

50. Сербии В.М. (1985). Стандартная задача теории образования линий в движущейся атмосфере. Астрофизика. Т. 22. С. 387-409.

51. Соболев В.В. (1944). Световое давление в расширяющейся туманности. Астрон. ж. Т. 21. С. 143-148.

52. Соболев В.В. (1946). Возбуждение и ионизация в движущихся оболочках звезд. Астрон. ж. Т. 23. С. 193-202.

53. Соболев В.В. (1947а). Об атмосферах звезд типа WR, Р Cygni и Be. Астрон. ж. Т. 24. С. 205-211.

54. Соболев В.В. (19476). Движущиеся оболочки звезд. Л. Издательство Ленинградского Университета. 114 с. (English translation: Moving envelopes of stars. Harvard Univ. Press. Cambridge. Mass. I960. 106p).

55. Соболев В.В. (1956). Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. M. ГИТТЛ. 391 с.

56. Соболев В.В. (1957). Диффузия La-излучения в туманностях и звездных оболочках. Астрон. журн. Т. 34. С. 694-705.

57. Соболев В.В. (1967). Курс теоретической астрофизики. М. Наука. 528 с.

58. Чугай Н.Н. (1980). Рассеяние La- квантов в расширяющихся оболочках с большой оптической толщей. Письма в Астрон. ж. Т. 6. С. 166-171.

59. Чугай Н.Н. (1987). Рассеяние Xa-квантов в бесконечной расширяющейся среде при наличии поглощения в континууме. Астрофизика. Т.26. С. 89-96.

60. Adams T.F., Hummer D.G., Rybicki G.В. (1971). Numerical evaluation of the redistribution function x') and of the associated scattering integral. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. Vol. 11. P. 1365-1376.

61. Bonometto S.A., Caldara A., Lucchin F. (1983). Observational limits on adiabatic theories of galaxy formation from microvave background data. Astron. Astrophys. Vol. 126. P. 377-386.

62. Burgess A. (1958). The hydrogen recombination spectrum. Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. Vol. 118. P. 477-495.

63. Castor J.I. (1970). Spectral line formation in Wolf-Rayet envelopes. Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. Vol. 149. P. 111-127.

64. Castor J.I. (1974). On the force associated with absorption of spectral line radiation. Monthly Notic. Roy. Astron. Soc. Vol. 169. P. 279-306.

65. Deguchi S., Watson W.D. (1984). Linear polarization of molecular lines at radio frequencies. Astrophys. J. Vol. 285. P. 126-133.

66. Dumont S., Omont A., Pecker J.C., Rees D. (1977). Resonance line polarization: the line core. Astron. Astrophys. Vol. 54. P. 675-681.

67. Faurobert M. (1987). Linear polarization of resonance lines in the absence of magnetic fields. I. Slabs of finite optical thickness. Astron. Astrophys. Vol. 178. P. 269-276.

68. Faurobert M. (1988). Linear polarization of resonance lines in the absence of magnetic fields. II. Semi-infinite atmospheres. Astron. Astrophys. Vol. 194. P. 268-278.

69. Faurobert-Scholl M., Frisch H. (1989). Asymptotic analysis of resonance polarization and escape probability approximations. Astron. Astrophys. Vol. 219. P. 338-351.

70. Frisch H. (1980). Scaling laws for resonance line photons in an absorbing medium. Astron. Astrophys. Vol 87. P. 357-360.

71. Frisch H. (1988). In Radiation in Moving Gaseous Media. Eds.: Y.Chmielewsky, T.Lanz. Geneva Obs.

72. Frisch U., Frisch H. (1975). Non-LTE transfer. revisited. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. Vol. 173. P. 167-182.

73. Frisch H., Frisch U. (1982). A method of Cauchy integral equation for non-coherent transfer in half-space. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. Vol. 28. P. 361-375.

74. Goldreich P., Kylafis N.D. (1981). On mapping the magnetic field direction in molecular clouds by polarization measurements. Astrophys. J. (Letters). Vol. 243. P. L75-L78.

75. Goldreich P., Kylafis N.D. (1982). Linear polarization of radio frequency lines in molecular clouds and circumstellar envelopes. Astrophys. J. Vol. 253. P. 606-621.

76. Harrington J.P. (1973). The scattering of resonance-line radiation in the limit of large optical depth. Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. Vol. 162. P.43-52.

77. Hummer D.G. (1962). Non-coherent scattering. I. The redistribution function with Doppler broadening. Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. Vol. 125. P. 21-37.

78. Hummer D.G., Kunasz P.B. (1980). Energy loss by resonance line photons in an absorbing medium. Astrophys. J. Vol. 236. P. 609-618.

79. Hummer D.G. (1981). Expressions for the computer-evaluation of the four kernel functions for line formation with Doppler and Lorentz profiles. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. Vol. 26. P. 187-195.

80. Hummer D.G., Rybicki G.B. (1982). A unified treatment of escape probability in static and moving media. I. Plane geometry. Astrophys. J. Vol. 254. P. 767-779.

81. Hummer D.G., Rybicki G.B. (1985). The Sobolev approximation for line formation with continuous opacity. Astrophys. J. Vol. 293. P. 258-267.

82. Hummer D.G., Rybicki G.B. (1992). The Sobolev approximation for line formation with partial frequency redistribution. Astrophys. J. Vol. 387. P. 248-257.

83. Hutsemekers D., Surdej J. (1990). Formation of P Cygni line profiles in relativistically expanding atmospheres. Astrophys. J. Vol. 361. P. 367-380.

84. Jeffery D.J. (1989). The Sobolev-P method: a generalization of the Sobolev method for the treatment of the polarization state of radiation and polarizing effect of resonance line scattering. Astrophys. J. Suppl. Ser. Vol. 71. P. 951-981.

85. Jeffery D.J. (1990). The Sobolev-P method. III. The Sobolev-P method generalized for three-dimensional systems. Astrophys. J. Vol. 352. P. 267-278.

86. Jones B.J.T., Wise R.F.G. (1985). The ionisation of the primeval plasma at the time of recombination. Astron. Astrophys. Vol. 149. P. 144-150.

87. Ivanov V.V. (1991). Analytical methods of line formation theory: Are they still alive? In: L.Crivellary, I.Hubeny, D.G.Hummer (eds.) Stellar Atmospheres: Beyond Classical Models. Kluwer. Dordrecht. P. 81.

88. Ivanov V.V., Grachev S.I., Loskutov V.M. (1997a). Polarized line formation by resonance scattering. I. Basic formalism. Astron. Astrophys. Vol. 318. P. 315-326.

89. Ivanov V.V., Grachev S.I., Loskutov V.M. (1997b). Polarized line formation by resonance scattering. II. Conservative case. Astron. Astrophys. Vol. 321. P. 968-984.

90. Kegel W.H., Varshalovich D.A. (1980). Interpretation of the type I OH maser sources. Nature. Vol. 286. P. 136-138.

91. Krolik J.H. (1989). The recombination epoch revisited. Astrophys. J. Vol. 338. P. 594-604.

92. Krolik J.H. (1990). Further corrections to the theory of cosmological recombination. Astrophys. J. Vol. 353. P. 21-23.

93. Lamers H.J., Cerruti-Sola M., Perinotto M. (1987). The "SEI" method for accurate and efficient calculations of line profiles in spherically symmetric stellar winds. Astrophys. J. Vol. 314. P. 726-738.

94. Lucy L.B. (1971). The formation of resonance lines in extended and expanding atmospheres. Astrophys. J. Vol. 163. P. 95-110.

95. McKenna S.J. (1985). The transfer of polarized radiation in spectral lines: formation and solutions in simple cases. Astrophys. Space Sci. Vol. 108. P. 31-66.

96. Matsuda T., Sato H., Takeda H. (1971). Dissipation of primordial turbulence and thermal history of the universe. Progr. Theor. Phys. Vol. 46. P. 416-432.

97. McCrea W.H., Mitra K.K. (1936). Schuster's problem for a moving atmosphere. Zeitschrift f. Astrophys. Bd. 11. S. 359-378.

98. Mihalas D. (1980). Solution of the comoving-frame equation of transfer in spherically symmetric flows. YI. Relativistic flows. Astrophys. J. Vol. 237. P. 574-589.

99. Nagendra K.N. (1989). Polarization of resonance lines formed in extended spherical atmospheres. Astrophys. Space Sci. Vol. 154. P. 119-142.

100. Nagirner D.I. (1984). Theory of radiation transfer in spectral lines. Astrophys. Space Phys. Rev. Vol. 3. P. 255-300.

101. Peebles P.J. (1968). Recombination of the primeval plasma. Astrophys. J. Vol. 153. P. 1-11.

102. Peebles P.J.E. (1981). Primeval adiabatic perturbations: constraints from the mass distribution. Astrophys. J. Vol. 248. P. 885-897.

103. Poutanen Yu.J. (1994). Compton scattering of polarized light in active galactic nuclei and X-ray binaries. Ph. D. Thesis. University of Helsinki.

104. Puis J., Hummer D.G. (1988). The Sobolev approximation for the line force and line source function in a spherically-symmetrical stellar wind with continuum opacity. Astron. Atrophys. Vol. 191. P. 87-98.

105. Rees D.E. (1978). Non-LTE resonance line polarization in the absence of magnetic fields. Publ. Astron. Soc. Japan. Vol. 30. P. 455-466.

106. Rees D.E., Saliba G.J. (1982). Non-LTE Resonance line polarization with partial redistribution effects. Astron. Astrophys. Vol. 115. P. 1-7.

107. Rybicki G.B. (1970). Theoretical methods of treating line formation problems in steady state extended atmospheres. Spectrum Formation in Stars with Steady-State Extended atmospheres. NBS Spec. Publ. N 332. P. 87-118.

108. Rybicki G.B, Hummer D.G. (1978). A generalization of the Sobolev method for flows with nonlocal radiative coupling. Astrophys. J. Vol. 219. P. 654-675.

109. Stenflo J.O. (1994). Solar Magnetic Fields. Kluwer Publ. Co. Dordrecht.

110. Stenflo J.O, Stenholm L. (1976). Resonance-line polarization. II. Calculations of linear polarization in solar UV emission lines. Astron. Astrophys. Vol. 46. P. 69-79.

111. Sunyaev R.A, Zeldovich Ya.B. (1970). Small-scale fluctuations of relic radiation. Astrophys. Space Sci. Vol. 7. P. 3-19.

112. Sunyaev R.A, Zeldovich Ya.B. (1970). The interaction of matter and radiation in the hot model of the universe. II. Astrophys. Space Sci. Vol. 7. P. 20-30.

113. Yengibarian N.B, Nikoghossian A.G. (1973). Non-coherent scattering. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. Vol. 13. P. 787-811.

114. Wilson M.L, Silk J. (1981). On the anisotropy of the cosmological background matter and radiation distribution. I. The radiation anisotropy in a spatially flat universe. Astrophys. J. Vol. 243. P. 14-25.