Регулярность экстремелей в задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ'

На правах рукописи СИЛИН Дмитрий Борисович

Регулярность экстремалей в задачах оптимального управления

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание степени доктора физико-математических наук

Москва, 1992.

Работа выполнена на кафедре оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты;

- член-корреспондент Российской Академии Наук, профессор, Д.С.Красношеков;

- профессор, доктор физико-математических наук, А.А.Меликян;

- профессор, доктор физико-математических наук, А.Г.Ченцов.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится » /У " 1992 г.

в 'И час.00 мин, на заседании Специализированного Совета Д.053.05.38 , по математике при Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова в аудитории 685.

Адрес: 119899 Москва, Ленинские Горы, МГУ, факультет ВМиК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

Автореферат разослан _ "___1992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета профессор

с^Ц»«*^ Н.П.Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Основные вопросы, которыми занимается математическая теория оптимального управления, были сформулированы в пятидесятые года. В 1961 году шила в свет монография Л.С.Понтрягина, В.Г.Болтянского, Р.В.Гаикрелидзе и Е.Ф.Мищенко1), в которой была впервые систематически изложена теория оптимальных процессов. Основное содержание этой книги, составляют необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Группа утверждений, дающих необходимые условия оптимальности в задачах оптимального управления, получила широкое признание во всем мире и при ссылках обозначается как принцип максимума Понтрягина.

С начала шестидесятых годов в нашей стране и за рубежом было выпущено большое количество монографий по математической теории оптимальных процессов. Основная часть этих книг посвящена получению новых доказательств принципа максимума Понтрягина, достаточных условий оптимальности, ослаблению условий • применимости принципа максимума, исследованию конкретных классов задач, разработке прямых методов приближенного решения задач оптимального управления.

Так или иначе почти во всех упомянутых книгах ставился вопрсс о выборе подходящего класса допустимых управлений, в котором можно было бы гарантированть существование оптимального решения. Уже в упомянутой книге , четырех авторов на простых примерах было показано, что, например, класс непрерывных допустимых управлений является слишком узким с этой точки зрения. Доказательство принципа максимума в этой книге было дано для класса измеримых по Лебегу управлений, удовлетворящих геометрическим ограничениям. В этом же классе доказана теорема существования оптимального управления для линейных задач быстродействия. Для нелинейных систем общая теорема существования была получена в еще более широком классе обобщенных управлений"), ¡гричем минимальность ;->того класса /- ШЧ

- ! -

допустимых управлений продемонстрирована на примерах. В то же время минимальность класса измеримых по Лебегу допустимых управлений для ..задач более или менее простой структуры до_ конца исследована не была. В рассматриваемых в литературе примерах оптимальное управление, как правило, оказывается кусочно-постоянной функцией.

В связи с изложенным естественно возникает вопрос: нельзя ли утверждать, что в задачах оптимального управления простой структуры оптимальное управление в действительности существует в более узком классе допустимых управлений, чем класс измеримых по Лебегу функций?

Цель работы. В настоящей работе исследуется, какие крайние нерегулярные свойства оптимальных управлений могут появиться в простейших (с точки зрения получения необходимых условий оптимальности) задачах: линейной задаче оптимального быстродействия и линейной терминальной задаче с постоянными коэффициентами. Кроме того, исследован первый прямой метод преследования Понтрягина. Для него рассмотрен аналогичный вопрос: какие крайние нерегулярные свойства может иметь стратегия преследования, если убегащий объект применяет достаточно гладкие управления. Оказываэтся, и оптимальные управления, и стратегии преследования обладают схожими свойствами.

Помимо названных вопросов существенная часть работы посвящена разработке аппарата - изучению теории многозначных отображений и теории выпуклых множеств. Многие полученные в этом направлении результаты с точки зрения основных целей диссертации являются вспомогательными, однако их формулировки носят законченный характер.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Для полунепрерывных сверху многозначных отображений получено, что множество точек разрыва как самого отображения, так и всех его ветвей может быть произвольным множеством типа ?0 первой категории Бэра. В частности, множество точек разрыва монет иметь полную меру Лебега. Найдены достаточные условия существования непрерывных и даже гладких однозначных ветвей

полунепрерывных сверху отображений.

2. Построены линейные задачи быстродействия и терминальные задачи с постоянными коэффициентами, в которых произвольное оптимальное управление разрывно почти всюду. Получено, что множество начальных и конечных состояний,' для котороых оптимальное управление почта всюду разрывно, могут образовывать весьма богатое множество в фазовом пространстве. Показано, что семейство задач указанного типа с почти всюду разрывными оптимальными управлениями образуют плотное семейство в пространстве всевозможных линейных задач.

3. Исследованы свойства типичных (с точки зрения категорий Бэра) выпуклых компактных множеств. На основе этих результатов получено, что если в линейной терминальной задаче возмущениям подвергается функционал, то типичным в смысле меры Лебега оптимальным управлением является интегрируемая по Риману функция. Если же возмущениям подвергается множество, задащее ограничения, то типичным, но теперь ухе с точки зрения категорий Вэра, является непрерывное управление, имеющее бесконечное изменение.

4. Рассмотрена линейная дифференциальная игра преследования и стратегии поимки, конструируемые по первому прямому методу Понгрягина. Динамика рассматриваемых процессов описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Показано, что стратегии преследования могут оказаться почти всюду разрывными функциями, даже если убегающий объект использует гладкие управления. Для цвумеряых дифференциальных игр преследования получено, что если задача преследования разрешима первым прямым методом Понтрягина, го она разрешима в классе управлений преследования конечной зариации.

Научная новизна. Фактически одним из первых результатов, сасащихся регулярности оптимальных управлений, можно считать теорему Фельдбаума о числе переключений, согласно которой в мнейной задаче оптимального быстродействия с постоянными коэффициентами и с множеством ограничений на значения допустимых управлений в виде многогранника при выполнении условия общности

положения оптимальное управление единственно и представляет собой функцию с конечным числом точек разрыва. Аналогичный результат был получен болгарским математиком В.Вельовым для инерционных допустимых управлений: в линейной задаче быстродействия с постоянны®! коэффициентами и многогранными множествами ограничений на значения допустимых управлений и их производных прл выполнении условия общности положения любое оптимальное управление кусочно-линейно и имеет конечное число изломов. Оба эти результата в свое время были обобщены автором на случай, когда условие общности положения не выполнено3). Было доказано, что в этой ситуации среди оптимальных управлений существует кусочно-постоянноь управление с конечным числом переключений (для инерционных допустимых управлений было показано существование среда оптимальных управлений кусочно-линейного). На основе оценок числа переключений для линейных задач с измеримыми и инерционными допустимыми управлениями Е.Н.Хайловым и Б.Г.Стуруа были разработаны численные алгоритмы приближенного вычисления моментов Переключения оптимального управления.

■ В целом вопрос о разрешимости как линейных, так и нелинейных задач оптимального управления в классе релейных управлений с ограниченным числом переключений или управлений с другими свойствами регулярности рассматривался многими авторами. В работах Б.Ш.Мордуховича, К.Малановского и У.Хагера было показано, что в задаче минимизации коэрцитивного интегрального функционала можно оценить модуль непрерывности оптимального управления, а в задачах с линейной, динамикой доказать, что оптимальное управление удовлетворяет условию Липшица. Ф.Кларк и Р.Винтер исследовали задачу оптимального управления траекториями линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Минимизируемый функционал является интегральным и нелинейно зависит от управления и фазовой переменной: ограничений на значения допустимых управлений нет. Найдены ослабленные условия коэрцитивности, при которых оптимальное управление в том или ином смысле регулярно, например, существенно ограничено или непрерывно. Г.Суссман показал, что в

линейной по управлению задаче оптимального быстродействия с ограниченными по модулю скалярными управлениями и аналитической по фазовым переменным правой частью дифференциальной системой из существования релейного оптимального управления вытекает существование релейного оптимального управления с множеством точек разрыва меры ноль, то есть, оптимального управления, интегрируемого по Риману.

В отличие от исследований упомянутых авторов в настоящей работе регулярность оптимального управления изучена в связи с ограничениями на допустимые управления. При этом рассмотрены процессы, динамика которых описывается простейшими . линейными уравнениями. Оказывается, даже в этом, почтя тривиальном с точки зрения необходимых условий оптимальности случае, структура оптимальных управлений может оказаться весьма нерегулярной. В качестве вспомогательного аппарата в диссертации развиты некоторые разделы теории многозначных отображений. Изучена регулярность полунепрерывных отображений, а также регулярность их однозначных ветвей. Найдены условия существования непрерывных и даже гладких однозначных ветвей полунепрерывных сверху отображений. Кроме того, исследованы вопросы о структуре типичных с точки зрения категорий' Бэра оптимальных управлений. В работе также изучена регулярность стратегий поимки первого метода Л.С.Понтрягина, установлена связь между их гладкостью и размерностью фазового пространства задачи.

Все полученные в диссертации результата являются новыми.

Общая ыетодякэ исследования. При обосновании содержащихся в диссертации утверждений использовались метода математической теории управления, теории дифференциальных игр, метода теории дифференциальных уравнений и геометрии, метода теории функций и выпуклого анализа.

Практическая ценность работы. Полученные результаты носят в основном качественный характер. Однвко содержащиеся в диссертации выводы имеют большое практическое значение. В частности, при построении численных алгоритмов важно знать, какому классу принадлежит отыскиваемый оптимальный режим. Полученные в диссертации утверждения говорят о том, что если на

исходные данные задачи не накладывать дополнительных ограничений, то даже в простейших случаях оптимальное управление может оказаться весьма нерегулярным, что, естественно, отрицательно сказывается на характере сходимости алгоритмов. Кроме того, для линейных дифференциальных игр на плоскости в работе предложена новая процедура реализации стратегии преследования первого прямого метода Лонгрягина, позволяющая строить регулярные управления при условии регулярности управления убегающего.

Апробация работы. По полученным в диссертации результатам делались сообщения на Международном Конгрессе математиков в Варшаве в 1983 году; на IX и X Всесоюзных совещаниях , по проблемам управления в Ереване и в Алма-Ате. соответственно, в 1983 и.198В годах; на Региональных Уральских конференциях по функциональным и дифференциальным уравнениям в Перми в 1985 году, в Уфе в 1986 году, в Челябинске в 1987 году; на международном семинаре по теории систем в Международном институте прикладного системного анализа в Лаксенбурге в 1988 году; на VII Всесоюзной конференции по управлению в механических системах в Свердловске в 1990 году; на Международной конференции по управлению и моделированию детерминированных и стохастических систем в Шопроне в 1990 году; на Всесоюзной школе по теории операторов и оптимальному управлению в Никнем Новгороде в 1991 году. Помимо этого результаты . обсуждались на научно-исследовзтельском семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ; на семинаре кафедры математической физики того же факультета под руководством профессора Ф.П.Васильева; на семинаре под руководством профессора А.МЛер-Крикорова на Вычислительном Центре АН СССР; на семинаре под руководством профессоров В.И.Благодатских и К.И.Осколкова в Математическом Интституте АН км.Стеклова; на семинаре под руководством профессора ' А.Адамова на кафедре дифференциальных уравнений Ташкентского государственного университета; на семинаре под руководством профессора В.И.Коробова на кафедре дифференциальных уравнений и теории управления Харьковского государственного университета.

- б -

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1 } - [15].

Структура и оОъеи работы. Диссертация содержит введение, четыре главы и короткое заключение. 3 каждой из глав имеется по нескольку параграфов. Некоторые параграфы разбита на подпункты. Обгций объем диссертации равен 185 страницам, в работе имеется 7 иллюстраций. В списке литературы содержится 128 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение содержит краткий обзор и изложение содержания диссертации.

Первая глава посвящена изучении свойств полунепрерывных многозначных отображений и их однозначных Еетвей (селекторов). Полученные здесь результаты играют вспомогательную роль и широко используются в последующих главах, посвященных исследованию регулярности экстремалей в задачах оптимального управления.

Главным предметом исследования является множество точек разрыва полунепрерывных сверху и снизу отображений и их ветвей. 3 силу теоремы Майкла полунепрерывное снизу многозначное отображение с выпуклыми значениями имеет непрерывный селектор. Более того, графини таких селекторов плотно заполняют график самого отображения. Что же касается полунепрерывных сверху отображений, то их селекторы, вообще говоря, могут оказаться разрывными. В первом параграфе показано, что множество точек разрыва полунепрерывного сверху или снизу отображения может иметь полную меру. Основные результаты этого параграфа заключаются в следующих двух теоремах (везде нике нумерация соответствеут тексту диссертации: первый индекс соответствует номеру главы, второй - номеру утверждения внутри главы).

ТЕОРЕМА 1.1. Для произвольного отрезка действительной прямой (а,Ы, а также для произвольного числа в, 0<s<b-a существует полунепрерывное сверху отображение F(t):ta,P]—>convfl(Rn), мера множества точек разрыва которого равна s, а мера множества точек разрыва произвольного селектора отображения F(t) - не меньае е.

ТЕОИМА 1.3. Существуют разрывные при почти всех t«=Ca,t>]

полунепрерывные сверху отображения F(t):ta,b]—>convO(Rn), всякая однозначная ветвь которых также разрывна на множестве полной меры.

Залечанье 1. Утвервдения теорем 1.1, 1.3 справедливы для селекторов, принимающих значения из F(t) лишь при почти всех teia.bl.

Во втором параграфе этот результат обобщается. Как известно4), полунепрерывное сверху или снизу отображение можно представить в виде поточечного предела монотонной последовательности непрерывных отображений. Стандартными рассуждениями отсюда выводится, что множество точек разрыва такого отобракения представляет собой множество первой категории Бэра типа Ра- Оказывается, произвольному множеству первой категории типа' можно сопоставить полунепрерывное сверху отображение, семейство точек разрыва которого совпадает с этим MHosecTBOM. А именно, справедливо следующее утверждение.

TZGPESiA 1 Л. Для произвольного множества ЕсСа.Ы типа Fa первой категории существует полунепрерывное сверху многозначное отображение P(t):ta,b3—>convi5(Rn), множество точек разрыва которого совпадает с множеством Е. Все однозначные ветви отображения F(t) также разрывны на множестве Е.

Приведенные результаты естественным образом приводят к вопросу: при каких условиях полунепрерывное сверху отображение допускает непрерывный селектор? В третьем параграфе получены достаточные условия существования непрерывных селекторов полунепрерывных сверху отображений. Для их формулировки дадим определение равномерно строго выпуклого отображения.

Пусть задано множество ï econvn(Rn). Обозначим Шр(е), £50, максимальную длину отрезка, который можно поместить во множество (P+eS1 (0))\lntP. Отображение Г: [а,ЬЗ—>convT3(Rn) называется равномерно строго выпуклым на сегменте [а,Ь], если существует непрерывная в нуле неотрицательная.функция oie), обращающаяся в ноль при е=0, для которой при всех t е [а,Ы выполняется неравенство ' •

- в -

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть отображение G(t):Ca,W— >f)(Rn) полунепрерывно сверху, а равномерно строго выпуклое отображение P(t):[a,t>]—>conrfi(Rn) - полунепрерывно снизу, и пусть, кроме того, при всех t, a^t^b, выполнены следующие условия:

а) F(t)=-ï<t);

б) G(t)*F(t)?®;

в) 2P(t)*G(t)?i0.

Тогда у отображения G(t) имеется непрерывный селектор.

Теорема 1.9 допускает следующее усиление.

ТЕОРЕМА 1.11. Пусть отображение G(t):1а,Ъ1—>0(Rn) полунепрерывно сверху, а равномерно строго, выпуклое отображение y(t): [a.bl—>convii(Rn) - полунепрерывно снизу, и пусть, кроме того, при всех t, act<b, выполнены следущие условия:

а) F(t)=-î(t);

б) G(t)*P(t)?i0;

в) (2-p(t))P(t)iG(t)^0, где p(t) - некоторая функция, принимающая значения из интервала (0,2);

г) IntF(t) * о.

Тогда у отображения G(t) имеется непрерывный селектор класса О™ .

Для подтверхдешя минимальности требований в приведенных теоремах в работе приводятся соответствующие примеры.

Во второй главе изучается характер регулярности, точнее, нерегулярности оптимального управления в задачах быстродействия и в задачах с терминальным функционалом. Значение термина регулярность может варьироваться в зависимости от контекста. Как правило, под регулярностью функции управления будет подразумеваться гладкость, непрерывность, интегрируемость по Риману, и т.п.

Оказывается, оптимальное управление даже в линейных задачах оптимального быстродействия с постоянными коэффициентами может иметь весьма нерегулярную структуру: семейство точек разрыва в общем случае оказывается множеством положительной меры и функция управления не интегрируема по Риману. Более того, в некоторых случаях это свойство может иметь место для весьма богатого набора начальных и конечных состояний, что не позволяет

рассматривать его как исключительное. Во второй главе изучены задачи оптимального управления с разрывными почти всюду оптимальными управлениями.

В первом параграфе после общего описания постановки рассматриваемых задач оптимального управления построен пример линейной задачи с постоянными коэффициентами и постоянным выпуклым множеством ограничений, в котором произвольное оптимальное управление разрывно почти всюду. В построенном примере фазовое пространство имеет размерность 3. Следует отметить, что построение аналогичных примеров на плоскости невозможно3).

Во втором параграфе показано, что семейство начальных и конечных, состояний, для которых произвольное оптимальное управление разрывно почти всюду, вообще говоря, может сколь угодно полно заполнять фазовое пространство.

Наконец, в третьем параграфе изучается семейство задач оптимального управления, в которых экстремальное управление представляет собой почти всюду разрывную функцию. Показано, что это семейство всюду плотно во множестве всех линейных задач. В качестве вспомогательного результата выведено следующее свойство гладких сильно выпуклых множеств, то есть, множеств, представимых в виде Си«Бп:'<р(и)<0>, где ср(и) - гладкая функция с положительно определенной матрицей вторых производных.

ЛЕША 2.3. Пусть и с Бп, пЖЗ, - сильно выпуклое множество, и(1;), г еСа.ЪЗ, - регулярная гладкая кривая, заданная на его поверхности, не имевдая самопересечений, то есть, и(1;)^и(8)при

Тогда найдутся положительное число 60, а также гладкие векторные функции у1(г), г2 (г), ..., Уп_г(%), определенные на

отрезке Са,Ь] и принимающие значения в Нп, для которых выполнены следующие условия:

1) векторы 71 (г),у2(х},...,уп_2(г} попарно ортогональны

при любом значении 1; е [а,Ы;

2) ^ШМ, Са,Ъ], 1=1,2.....п-2;

3) (!)>-= <н'(г>,71(г)>=о при всех г е [а,ьз,

1=1,2,...,п~2, где Ш) - единичный вектор внешней нормали

к поверхности множества и в точке и(1;);

4) <N(s),u(s)> > <N(s),u(t)+ evi(t)> при произвольных s,t S [a,b], S?£t, I9I^90, 1=1,2,...,n-2. С помощью приведенной леммы и некоторого обобщения теоремы о неявной функции на многозначный случай получено следующее утвервдение, которое можно считать центральным во второй главе. ТЕОРЕМА 2.4. Пусть п>3 и задача оптимального быстродействия

X'(t) = Ax(t)+u(t), t£0.

U(t) e U,

x(0) = x0. x(T.) = О T—>min,

имеет решение. Тогда для произвольного е>0 существуют матрица Ag и множество Us е convQ(Rn), для которых выполнены оценки

1А-А£1 « е, h(U,Ug) 4 £,

а точка х0 является внутренней для семейства начальных состояний у, для которых всякое оптимальное управление в задаче

y'(t) = Asy(t) + v(t); 7(t) « Us; ' у(0) = у; у(Т) = 0; Г—>min,

является почти всюду разрывной функцией.

Залечание 2. Мы ограничиваемся рассмотрением только линейных задач, так как нашей, целью является выявление нерегулярных экстремалей. Поскольку качественная структура линейных задач по сравнению с другими постановками в теории оптимального управления наиболее проста, то естественно было бы ожидать, что те нерегулярности, которые могут возникнуть

здесь, тем более могут возникнуть в более общих постановках. И наоборот, регулярность оптимальных управлений в общей задаче обуславливает того или иного типа регулярность оптимальных управлений, в частности, в линейных задачах.

Замечание 3. В рамках линейных задач быстродействия и .линейных задач с терминальным функционалом рассматриваемые постановки являются не самыми общими. Например, мы не рассматриваем задачи с подвижными концами. Однако в контексте рассматриваемых вопросов это ограничение не уменьшает общности рассуждений: задача с подвижными концами с точки зрения регулярности оптимальных управлений обладает теми же свойствами, что и задача с закрепленными концами. Действительно, оптимальное по быстродействию управление .переводящее систему из заданного начального множества на конечное, оптимально и в задаче попадания за наименьшее время из начальной точки оптимальной траектория в конечную. Поэтому отсутствие в общем случае регулярности оптимального управления в задачах с фиксированными концами влечет за собой отсутствие регулярности оптимальных управлений в задачах с подвижными концами.

Итак, во второй главе • показано, что семейство задач, в которых оптимальное управление почти всюду разрывно, представляет собой в определенном смысле плотное подмножество в пространстве всех задач. С другой стороны, известно, что и линейные задачи оптимального управления, разрешимые в классе гладких допустимых управлений, также образуют плотное подмножество5). В связи с этим возниквэт вопрос о типичности того или иного свойства регулярности оптимальных управлений. Этому вопросу посвящена третья глава.

Получено, что если в линейной терминальной задаче функционал подвергается возмущениям, то типичным в смысле меры Лебега оптимальным управлением является интегрируемая по Риману функция. Если же возмущениям подвергается множество; задающее ограничения, то типичным, но теперь уже с точки зрения категорий Бэра, является непрерывное управление, имеющее бесконечное полное изменение.

В параграфе 3.1 получен вспомогательный результат,

касающийся типичных' свойств выпуклых множеств. Вопрос о том, какую структуру имеет типичное выпуклое компактное множество, изучался многими авторами. В обзорах П.Грубера6) и Т-Замфиреску7) собрана соответствующая библиография. Например, известно, что с точки зрения категорий Бзра типичный выпуклый компакт представляет собой строго выпуклое тело с границей без угловых точек. В параграфе 3.1 этот результат уточнен. Обозначим W(a,b,p(-)) семейство множеств U econvfl(Rn), для которых отображение

F(t) = {u е U: <p(t),u>=c(U,p(t))}

имеет селектор, представляющий собой функцию конечной вариации. Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть p(t):ta,b]—>ЕП, тоЗ, - гладкая вектор-функция, и для некоторого tQe(a,b) справедливо неравенство

d/dt(p(t0)/!p(t0)D * 0.

Тогда семейство W(a,b,p(0) является множеством типа fQ первой категории в метрическом пространстве convt5(Rn).

Эта теорема позволяет доказать следующее утверждение: при п?3 семейство линейных задач, имеющих решение в классе управлений, задаваемых функциями конечной вариации, образует множество первой категории в пространстве всевозможных линейных задач.

Из результатов главы 3 вытекает следующий общий вывод: типичное оптимальное управление в линейной терминальной задаче и в линейной задаче быстродействия представляет собой непрерывную функцию, имеющую бесконечное полное изменение.

В четвертой главе рассматривается линейная дифференциальная игра преследования и стратегии поимки, конструируемые по первому прямому методу ■ Понтрягина8). Как и . вше, динамика рассматриваемых процессов описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

,В первом параграфе дано краткое описание постановки задачи прв<зл^дования и приведены основные построения первого прямого метода Понтрягина. Во втором параграфе показано, что стратегии преследовашя могут оказаться почти всюду разрывами функциями, даже если " убегавдий оСьэкт использует гладкие управления.

Характер гладкости стратегии преследования в существенной степени обусловлен свойствами полунепрерывного сверху

многозначного отображения w(t), представляющего собой геометрическую разность непрерывных отображений. Результаты параграфа 1.3 позволяют сфэрмулировать достаточные условия, при

л

которых у отображения w(t) имеется непрерывный селектор.

ТЕОРША. 4.2. Пусть на отрезке [а,Ы существует равномерно строго выпуклое полунепрерывное снизу отображение T(t), принимающее значения в соптП(йп), для которого при всех t «ta,b] выполнены условия:

а) F(t)=-?(t);

б) w(t)*F(t)?®;

в) 2ï(t)«w(t)îffl.

•л

Тогда отображение v?(t) имеет непрерывный селектор.

Для двумерных дифферевциалъных игр преследойания получен следущий результат.

ТЕОРЕМА АЛ-. Пусть п=2 и убегающий игрок в качестве своего управления выбрал функцию v(t) конечной вариации. Тогда, если задаче преследования разрешима первым прямым методом Понтрягина, то ока разрешай в классе управлений преследования конечной варяадаи.

( Цитированная литература.

1 ). Понтрягад 1.0., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мидэнко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1976.

2). Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления.

- и -

-Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977.

Силин Д.Б. О полном изменении оптимального управления в лшейных системах. //Матем. заметки. - 1982. -Т. 31, вып.5. -С. 761 - 772.

4). Асеев С.М. Приближение полунепрерывных многозначных отображений непрерывными. //Известия АН СССР. Серия матем. -1932. - Т. 46, N 3. - С. 460 - 476.

5). Тынянский Н.Т., Арутюнов А.В. Линейные процессы оптимального быстродействия. //Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. - 1979. - N 2. - С. 32 - 37.

Gniber P.M. Results on Baire Category Type In Convexity. // Discrete Geometry and Convexity. Annals of the New York Academy of Sciences. - 1985. - T. 440. - C. 163 - 169.

Zamfirescu I. Using Baire Categories in Geometry. //Rend. Sem. Mat. Univ. Politecn. Torino. - 1985. - T. 43. - 0.

67 - 88.

8). Никольский M.C. Первый прямой метод Л.С.Понтрягина в дифференциальных играх. М.: Изд-во Моск. ун-те, 1984.

Результата диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Силин Д.Б. О гладкости оптимального управления в линейной задаче быстродействия. //Тезисы докл. IX Всесоюзного совещ. по проблемам управления. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1983. -С. 90.

2. Силин Д.Б. Интегрируемость по Риману оптимального управления в линейкой задвче быстродействия. //International Congress of Mathematicians. Short Communications. V. HI. Warsaw, 1983. - C. 34.

3. Силин Д.Б. Интегрируемость по Риману оптимального управления в линейных задачах. //Известия АН СССР. Серия Матем. - 1984. - Т. 48, N 4. - С. 854 - 864.

4. Силин Д.Б. О существовании разрывных оптимальных управлений в линейных задачах быстродействия. //Прикладная математика и матем. обеспчение ЭВМ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. - С. 35 - 37.

5. Силин Д.Б. Об особых оптимальных управлениях в линейных задачах со свободным правым концом. //Некоторые проблемы современной математики и матем. физики. М.: Изд-во МФТИ, 1Э85. -С. 125 - 128.

6. Силин Д.Б. Разрывные оптимальные управления в линейных задачах. //Доклады АН СССР. - 1985. - Т. 283, N 2. -С. 314 -316.

7. Силин Д.Б. О разрывных стратегиях в первом прямом методе Л.С.Понтрягнна. //Численные методы в матем. физике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1936. -С. 74 - 75.

9. Силин Д.Б. Линейные задачи оптимального быстродействия с разрывными на множестве положительной меры управлениями. //Матем. сборник. - 1S86. - Т. 129, N 2. -С. 264 - 277.

10. Силин Д.Б. О- полунепрерывных сверху многозначных отображениях. // Доклады АН СССР. - 1987. - Т. 294, N 4. - С. 792 - 795.

11. Силин Д.Б. Некоторые свойства полунепрерывных сверху многозначных отображений. //Труды МИАН. - 1988. - Т. 185. - С. 222 - 235.

12. Силин Д.Б. О типичных свойствах оптимальных управлений в линейных задачах. // Тезисы III Всесоюзной школы

Понтрягинские чтения: оптимальное управление, геометрия, нализ". Кемерово: 1990. - С. 78.

13. Силин Д.Б. "Типичные" оптимальные управления в линейных адачах. //Седьмая всесоюзная конференция "Управление в еханических системах. Тезисы докладов." Свердловск, 1S90 - С 7.

14. Sllln D.B. On Discontinuous Optomal Control. /Modeling, Estimation and Control ol Systems with Uncertainty. lMasl G.B., Gombanl A., KurzhansKy А.В., eds. Boston: irkhauser, 1991, C. 391 - 398.

15. Силин Д.б. Типичные сеойстез оптимальных управлений в шейных задачах. // Матем. заметки, --j^i - f 40 ш 2 г У7 - 112. - ' .......

Подписано к печати золи..

Формат 60x90/16. Усл. печ. л. Jft Уч.-нздФ Тираж т экз. Заказ № п 14

Ордена 'Знак Почета* издательство Московского университета. 103009, Москва, ул. Гердена, 5/7, Типография ордена "Знак Почета* издательства МГУ. 119899, Москва, Ленинские горы.