Релаксационные и автоколебательные процессы в теплофизических системах с внешней связью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РУДЫЙ Александр Степанович

РЕЛАКСАЦИОННЫЕ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ВНЕШНЕЙ СВЯЗЬЮ

01.04.14 - "Теплофизика и молекулярная физика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва- 1997

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г.Демидова

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор

Григорьев Л.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Манмкин Э.А.

доктор физико-математических наук, профессор Сшшевнч O.A.

доктор физико-математических нате, профессор Дадипашш Л.К.

Ведущая орг анизация - Ивановский государственный университет

Защита диссертации состоится 4 декабря 1997 года в 15 часов на заседании диссертационного Совета Д 113.11.07 в Московском педагогическом университете (107005, Москва, ул. Радио, д. 10")

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Московского педагогического университета.

Автореферат разослан_ноября 1997 года

Ученый секретарь диссертационного Совета

t

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Богданов Д.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи стабилизации или регулирования температуры относятся к числу наиболее важных и, одновременно, трудно решаемых практических задач. В общем случае система управления температурой состоит из петли внешней обратной связи, замкнутой через объект управления, т.е. некоторую физическую среду с распределенными параметрами. Движения распределенной системы, имеющей, как правило, большое число степеней свободы, достаточно сложны и не всегда очевидны. Поэтому решение подобных задач невозможно без детального исследования динамики систем управления температурой, прежде всего - методами математического моделирования. Отсутствие работ в этой области, с одной стороны, и широкое использование систем данного класса в приборостроении, технике и физическом эксперименте, с другой стороны, определяют актуальность настоящей работы.

Системы управления температурой принадлежат к открытым термодинамическим системам, в которых возможно образование диссипативных структур [1]. Принципы самоорганизации в открытых системах являются фундаментальной проблемой, составляющей предмет исследований ряда научных школ, проводящихся с самых разных позиций [2]. В наиболее общем виде эти принципы формулируются теорией пространственно-временной эволюции неравновесной термодинамической системы. В рамках этой теории, описывающей релаксацию конденсированной среды к равновесному упорядоченному состоянию, самоорганизация рассматривается как конкуренция положительной обратной связи параметра порядка с управляющим параметром и отрицательной обратной связи параметра порядка с сопряженным ему полем [3]. Хотя здесь речь идет о локальной (внутренней) обратной связи, основные положения этой теории справедливы и для открытых систем с нелокальной внешней связью. Однако, в настоящее время отсутствуют работы, где процессы самоорганизации в системах с внешней связью рассматривались бы методами теории пространственно-временной эволюции.

Цель работы - исследование динамики открытых термодинамических систем с внешней связью, в частности - исследование бифуркаций в системах с различным числом термодинамических степеней свободы и термодинамических фаз при условии, что управляющее воздействие является гладкой вогнутой функцией локальной температуры. Развитие на основе формализма Андронова-Хопфа алгоритма нелинейного анализа данного класса систем. Разработка концепции неравновесных фазовых переходов применительно к бифуркациям в открытых системах с внешней связью. Приложение теории автоколебаний и резонанса в открытых термодинамических системах с внешней связью к задачам автоматического регулирования и экспериментального определения теплофизических характеристик.

Научная новизна работы заключается в исследовании математических моделей открытых термодинамических систем, состояние которых, наряду с другими термодинамическими переменными, определяется температурой T(r,t) и тепловым потоком ХТ'(г,t), связанными внешней нелинейной и в общем случае нелокальной обратной связью.

В работе получены следующие новые результаты:

- на основе формализма Андронова-Хопфа развит алгоритм построения асимптотики периодических решений для системы уравнений параболического типа с нелокальным граничным условием, заданным гладкой, вогнутой во всей области определения функцией температуры.

- впервые исследована эволюция энтропии Клаузиуса при колебательной потере устойчивости. Введены мера и критерий упорядоченности движения в автоколебательных системах с диффузией.

- впервые для объяснения устойчивости состояний равновесия и бифуркаций в системах с внешней связью применена теория неравновесного фазового перехода. В рамках развитой концепции предложен метод описание переходных процессов и дано объяснение мягкой и жесткой бифуркации предельного цикла.

- получены обобщенное уравнение теплопроводности и волновое уравнение для потока невязкой фононной жидкости в трубе с молекулярно-

гладкими стенками.

- установлена зависимость параметров температурных волн в области пуазейлевского температурного "окна" от величины теплового потока и теоретически обоснована возможность генерации второго звука в режиме автоколебаний.

- решена задача Стефана применительно к теплофизическим системам с внешней связью.

- исследованы состояния равновесия и динамика нормальной фазы в ограниченных одномерных структурах на основе классических и высокотемпературных сверхпроводников. Впервые задача о динамике нормальной фазы поставлена и решена как сингулярно возмущенная задача Стефана.

- рассмотрена динамика системы с несколькими степенями свободы па примере сжимаемой жидкости в однородном гравитационном поле. Получены решения, описывающие плоские продольные волны температурной и акустической моды в слабо неравновесной жидкости.

- развиты теоретические основы нового метода измерения температуропроводности по частоте автоколебаний динамической системы. Предложена концепция нового метода детектирования инфракрасного излучения и схема болометра для его реализации.

Научная и практическая ценность работы состоит в построении решений краевых задач, моделирующих теплофизические системы с внешней связью, получении новых данных о динамике открытых систем в широком диапазоне изменения управляющих параметров. В работе развита концепция колебательной потери устойчивости как неравновесного фазового перехода и предложен метод описания переходного режима. Решена задача об управлении фазовой границей в двухфазной системе. Построена модель нестационарных процессов в потоке идеальной фононной жидкости и предсказан эффект анизотропной дисперсии второго звука.

Практическая ценность работы определяется широким спектром возможных приложений ее результатов в области автоматического регули-

рования и метрологии. В частности, доведены до стадии опытно-конструкторской разработки два варианта измерения теплофизических характеристик методом автоколебаний [3,4]. Показана возможность экспресс-контроля теплофизических характеристик в режиме автоколебаний и предложен новый метод калориметрии. Разработан новый метод детектирования ИК излучения, позволяющий существенно повысить обнаружительную способность тепловых приемников.

Результаты работы могут найти применение в учебном процессе, в частности, в курсах математической физики, неравновесной термодинамики и физики твердого тела.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм исследования динамики теплофизических систем с внешней обратной связью.

2. Результаты численного моделирования переходных и стационарных процессов в системе с внешней тепловой обратной связью.

3. Формализм построения периодических решений нового класса задач Стефана для систем с внешней тепловой обратной связью.

4. Принципы неравновесной термодинамики для теплофизических систем с внешней обратной связью.

5. Обобщение теории неравновесных фазовых переходов на автоколебания в теплофизических системах с внешней связью.

6. Новые формы пространственно-временных структур в сжимаемой жидкости в гравитационном поле при наличии внешней тепловой обратной связи.

7. Результаты моделирования динамики систем с локальной тепловой обратной связью и инерционной нелинейностью.

9. Обобщенное уравнение теплопроводности и волновое уравнение для идеального диэлектрического кристалла. Эффекты анизотропной дисперсии второго звука в движущейся фононной жидкости.

10. Результаты исследования динамических процессов в ограниченных, одномерных сверхпроводящих структурах с током.

11. Концепция резонансного метода детектирования ИК излучения и устройств для его реализации.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на VI Всесоюзном совещании по теплофизическому приборостроению (Киев, 1985), на VIII Всероссийской конференции "Теплофизика технологических процессов" (Рыбинск, 1992), на международной школе "Теплофизические проблемы промышленного производства" (Тамбов, 1992), на II международном симпозиуме по аэрозолям (Москва, 1995), на симпозиуме SPIE OR'97 (Орландо, Флорида, 1997), на XIII симпозиуме по теплофизическим свойствам (Боулдер, Колорадо, 1997).

Публикации и изобретения Основные результаты диссертации опубликованы в 19 статьях и защищены 7 авторскими свидетельствами, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, шести глав, Выводов, списка литературы из 143 наименований и двух приложений. Объем работы 302 стр., 55 рис., 2 табл.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введите к диссертации является кратким обзором литературы по теории самоорганизации в открытых термодинамических системах. Хорошо известно, что самопроизвольное возникновение упорядоченного состояния является результатом локального взаимодействия степеней свободы термодинамической системы, называемого внутренней обратной связью. Если обратная связь локальна, то упорядоченные состояния возможны только п области нелинейности системы, т.е. вдали от термодинамического равновесия. В имеющейся литературе, как правило, процессы самоорганизации исследуются применительно к сильно неравновесным системам с внутренней обратной связью. При этом за рамками рассмотрения остается широкий класс теплофизических систем, в которых самопроизвольное упорядочение движения возможно вблизи состояния равновесия как результат внешней нелокальной связи температуры и теплового пото-

ка. К ним относятся всевозможные приборы для измерения теплофи-зических характеристик, датчики температуры, активные детекторы ИК излучения, устройства стабилизации и регулирования температуры. Динамика этих систем, исследуемая методами математического моделирования, и составляет предмет настоящей работы. Основные этапы построения математических моделей рассматриваются в первой главе.

Первая глава, ввиду некоторой несогласованности терминологии, используемой представителями разных школ, начинается с формулировки основных понятий и уточнения смысла наиболее часто употребляемых терминов. В ней содержится краткий очерк развития представлений об обратной связи от термина, введенного в радиофизику Гарольдом С. Блэком в 1928 году, до одного из основных понятий динамики нелинейных систем. При этом подчеркивается, что в работе термин "обратная связь" используется в своем первоначальном, узком смысле для обозначения нелокального самовоздействия температуры, входящей в набор параметров состояния системы.

Во второй части главы обосновывается выбор фундаментальных математических моделей и их идеализация, а также принципы построения на их основе математических моделей исследуемых систем. Благодаря нелинейной связи температуры и теплового потока через внешнюю цепь, параметры которой полагаются сосредоточенными, образование диссипа-тивных структур возможно вблизи состояния равновесия. Поэтому в качестве фундаментальной математической модели диффузии тепла используется линейное уравнение теплопроводности. То обстоятельство, что система открыта, моделируется первым граничным условием на одной из поверхностей, тепловой поток на второй поверхности задается как гладкая, вогнутая во всей области определения функция температуры в некоторой внутренней точке. Подобная идеализация математической модели обусловлена не столько трудностями исследования поставленной задачи в ее наиболее общей формулировке, сколько необходимостью выделить собственно феномен из вуалирующих его второстепенных эффектов.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена анализу динамики системы с одной локальной степенью свободы и внешней нелинейной обратной связью. Математическая модель системы (рис. 1) имеет вид одномерной краевой задачи теплопроводности с нулевым граничным условием первого рода

Т(х^) - О,

и смешанным нелинейным граничным условием, моделирующим обратную связь

О

Рис. 1

где К - коэффициент усиления регулятора, Л, а - тепло- и температуропроводность среды, 5, Я - площадь и сопротивление нагревателя, ид - опорное напряжение, а - коэффициент термо-эдс.

В разделе, посвященном линей-

Система стабилизации температуры: 1

- объект управления, 2 - нагреватель, 3

- дифтермопара, 4 - источник опорно- ному анализу модели, показано, что го напряжения, 5 - регулятор, 6 - термостат. все параметры системы могут быть

сведены в один управляющий параметр А = 1 — О +1) / (Т> — 1), где

Л) = 1 +№11 / 2К2аиахе. Для малых колебаний Т(ц,г) «4и0 / а(А~2),

где г) = х0 / 3, краевая задача может быть линеаризована на стационарном

А и0 х

решении Т(х)

А- 2 ах.

-. Задача Штурма-Лиувилля для линеаризо-

ванной краевой задачи имеет вид V (0)^0,

где £ = х / <5. Удовлетворяя условию обратной связи

ЛякСТ]у) - т]\сЫ У) = 0, можно проследить траектории характеристических показателей на комплексной плоскости при изменении управляющего параметра от нуля до критического значения. Из анализа их движения следует, что для заданного параметра т} имеется три диапазона изменения управляющего параметра 0 > А > А}, А1 2 А > Ас, Лс .> А, в которых аттракторами системы являются устойчивый узел, устойчивый фокус и предельный цикл.

Для отыскания асимптотики периодического решения нелинейной краевой задачи используется формализм бифуркационной теоремы Андро-нова-Хопфа. С его помощью вычислены ляпуновские коэффициенты с2,Ъ2

и определены поправки

0,8 0,7 0,6 IV О,* 0,3 од 0,1

щ

к частоте колеоании нелинейной системы

а>(е)

0,05 0,15 0Д5 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

Рис.2

(1+£С2/Ь2)

(Рис. 2). Показано, что в случае квадратичной внешней нелинейности Ь2 >0Уц ф,1[, следовательно, режим возбуждения автоколеба-

Графики завншмости ляпуновских коэффициентов от ний всегда мягкий и параметра т): 1- с2(7])/ ф\ 2 - Ъ2(Т]) / Т]23 - справедливы результа-

с3 /ь2.

ты линейного анализа. Дня моделирования динамики системы в области сильной внешней нелинейности и нелокальности начальных условий в работе применялись численные методы. Полученные значения критических параметров и асимптотическое поведение системы наилучшим образом соответствуют результатам аналитического счета.

Далее рассматриваемая задача исследуется в более общей постанов-

ке, когда внешняя нелинейность описывается глобально вогнутой гладкой функцией температуры

T'(x,t)L^ffi ~T(x0,t)] =c+±u(x0,t)+f"u+

Хд J .

, f щН3(xr>yl) , +f 3f

где С = Т '(х), А = df / SC. В частности показано, что при наличии кубической нелинейности (/ "' т* 0) существует область параметров, в которой имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний (Рис. 3).

Результаты нелинейного анализа позволяют проследить эволюцию энтропии Клаузиуса при переходе к упорядоченному состоянию. Расчеты показывают, что с уменьшением нелинейности системы ее энтропия убывает, в то время как полное производство энтропии растет. Очевидно, что адекватно судить о степени упорядочен-Зависимостъ нормированного ляпуновского коэффициента Ь2(х„,у) от Х0 доя различных 110сти по изменению энтро-

значений параметра у = f"' / (f "У' 1 - пии можно только при усло-/ - 0\ 2- у =0,01,3- у - -0,01. вии ее посхоянного произ-

водства. В этом случае предлагается нормировать среднее по периоду П(е) значение полной энтропии системы (S)„([) на среднее значение ее

производства {Ра в качестве меры упорядоченности движения взять относительное приращение нормированного среднего значения

ПО)

b2(x„,i)/ Ь,(х0,0) 5

4

5 -2 -I

О и -7 -2 -3 ■4

Рис. 3

где приближенное равенство имеет место при малых изменениях £ и Р. В частности, для степени упорядоченности автоколебательного состояния относительно стационарного имеем Л'о ж {$)а(е) / ~{Р)П(е) / ¿*с< гДе ^

и Рс - критические значения энтропии и ее производства в стационарном состоянии.

В докритической области рассматриваемая система устойчива в смысле принципа Ле-Шателье йР 1 ¿Ры

ахш ' 1 -л ¿х**'

согласно которому скорость изменения производсгва энтропии при изменении внешней термодинамической силы Xе" в системе со связью в 1 — А раз меньше, чем в системе без обратной связи.

Потеря устойчивости системой в окрестности точки бифуркации может интерпретироваться как неравновесный фазовый переход, если в качестве параметра порядка выбрана комплексная амплитуда автоколебаний. Последнюю следует трактовать как дополнительную степень свободы, относительно которой система может совершать виртуальные перемещения. Тогда действительным состоянием будет состояние, отстающее зз:с-тремальному значению полного производства энтропии

где

а =—■. 141 ч2 ~2\Г1(х0)?, Т0 {1+\Ас|)2 /" '

+2М(ха)г;(хл)+1У;(х9)¥1(хв)1 +

Здесьс=(А-Ас)/Ас - надкритичность системы, Т2(х),У2(х))\У1(х) -известные функции.

Для описания переходных процессов в рассматриваемой динамической системе предложено использовать эволюционное уравнение Гинзбурга-Ландау

дцг ~6т

= ае\у -1 И^

в котором функцией "медленного" времени является нормированная комплексная амплитуда £,(т) = у/( т) / 42В . Решение уравнения

\у(г)\2=-

ае

в>а

<лР>|;1

В<0

Рис.4

/ + (ае/\ щ\2 -1)ехр(-2аег)

описывающее процесс релаксации си-б стемы к равновесному упорядоченному состоянию, допускает простую интерпретацию мягкой и жесткой бифуркации рождения цикла. В соответствии с графиками на рис. 4 движение системы по экстремали будет устойчивым при В >0 и неустойчивым при В < 0. В этом случае решение преобразуется в выражение

«ы

1 + (Я/а\4)ехр(2а\4т)'

Зависимость приращения произ- аналогичное бинодальному механизму

водства энтропии от параметра фазообразования. Графики релаксации

порядка: а- В >0,6 ■ В < 0.

параметра порядка представлены на рис. 5.

Третья глава содержит анализ предельных случаев автоколебаний в системе с одной степенью свободы. В ней исследует случаи, когда среда, через которую замыкается петля обратной связи, имеет бесконечную теплопроводность, и когда теплопроводность конечна, но обратная связь локальна.

Для описания нестационарных тепловых процессов на стационарном тепловом потоке в среде бесконечной теплопроводности используется мо-

Временная зависимое 1ь параметра рядка: а - устойчивый цикл, б -устойчивый цикл.

дель идеальной фоионной жидкости в трубе с молекулярно-гладкими стенками. В этом случае обобщенное уравнение теплопроводности имеет вид уравнения Эйлера для идеальной жидкости

¿7 1 сТ 1+4 ди2 __ 01 2 г (1-&1)4 дг

__ 1сг2 1+3(4 дТ

3 г (1~4У дг

Здесь } - плотность потока энергии, с„ - объемная теплоемкость, и - скорость течения фононной жидкости, а0 - и / V, где V - группо-г вая скорость фононов. Для периодических возмущений фононной плотности получено волновое не- уравнение

д2Т

1+^/3

1+30$ -9с4

1 + 4

1-4}

Я2

V2 д2Т . , дТ

а — ——г - шЬу ——, 3 дг2 дг

За о 1+4

1 + 4/3 1-4'

из которого следует закон дисперсии второго звука

, со ЗЬ , ..

к» --(у-1),

2а V

А а ЗЬ , ,ч

* = --(Г+1)>

2а V

т 4а

где кв, кК - проекции волновых векторов прямой и обратной волны (рис. 6). Проекции фазовой скорости обеих волн на направление дрейфа фононов (рис. 7) имеют вид

а

к (О; к, <а 10

V» =у (у+1),

-10

»-а =

Ь>

(7-1)

Рис.6

Согласно этим соотношениям, при скорости течения, состав-ао ляющей 0,3442 от групповой скорости фонона, фазовая скорость и волновой вектор обратной волны меняют знак, при этом модуль волнового вектора

Зависимость проекций волновых векторов претерпевает разрыв второго прямой 1 и обратной 2 температурных волн рода При скорости течения вы-от скорости течения фононной жидкости.

ше, чем 0,3644 групповой скорости, какие-либо волновые процессы в потоке фононов невозможны.

Из уравнения Эйлера и уравнений баланса энергии и энтропии непосредственно следует обобщенный закон Фурье

д = ~г^-ти,1 А

1 + ШТК

где коэффициент при градиенте

1,0 т 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6

0,1

ОД

Рис. 7

0.3,

0,4

<*о

Фазовые скорости прямой 1 и обратной тем- температуры имеет смысл ди-лературной волны как функции скорости

течения (в масштабе скорости первого звука), намическои теплопроводности (рис. 8), а параметры

Л(<т0) ^Л

и Л - с„у2 тя / 3 • кинетической теплопроводности фононной жидкости (рис.9) в состоянии дрейфа и покоя, соответственно. В рассматриваемом пределе тя °о стационарная теплопроводность вещественна и беско-

1.0

0.8'

\l

0.6

0.4 í\\2

0.2

0 2

а ю

о.з \ с„

Рис. 8

Рис.9

Зависимость действительной I и мнимой Нормированная кинетическая теплопро-2 части динамической теплопроводности водность как функция скорости дрейфа от частоты. фононной жидкости.

нечна, а динамическая теплопроводность - величина мнимая.

На основе волнового уравнения как фундаментальной математической модели волновых процессов в потоке невязкой фононной жидкости, в работе исследуется возможность генерации второго звука в режиме автоколебаний. Из решений краевой задачи, моделирующей представленную на рис. 10 систему, следуют условия на волновые числа

Ъ(А,кв) ^(1-у-Ю \2А^ж(квАг)еа!(к,^)-1-^\ хсоь кй1 -2А—соз(к1>Дг)ш( квг0) $1п( ке1)

а

~(1 + У ~Ю

2А—cos(k¡,Az)cos(kRz0) -I + y\сохkDl

-2A—cos(kRAz ) sin( kRze )sin( kDl)

a

= 0

F2(A,kD)^(l-r-p>

i[2A—cos(kDAz)cús(kDz0) -J-yj

xsiit kj + 2 A—cos( kDAz) sitt( kDzg)cos( kj)

■«1 + г-Р)

2А — сох(ккЛг)соз(кКг0) -1 +у\млкп1 +

+2 А—со$( кКАг) Х1п( кяг„) сох( кв1)

— О, кл —

у +1

7-Г

где Аг =(г2/ 2, г0=г1+Аг. Графики зависимости волнового числа прямой волны от управляющего параметра А представлены на рис. 11. Из графиков видно, что наименее чувстви-

Рис.10

Генератор второго звука: 1 - изотонически чистый, ангармонический монокристалл, 2 - дифференциальная термопара, 3 - регулятор, 4 - модулятор, 5 - тонкопленочный нагреватель.

-400 -200

400

А

-400 -200

400

-400 -200

200 400

б

в

-400

400

тельной к скорости дрейфа оказывается первая (длинноволновая) точка спектра, присутствующая на всех графиках и лишь незначительно смещающаяся в сторону увеличения А и уменьшения волнового числа.

Вторая часть третьей главы отведена системам с внешней локальной связью. Возбуждение автоколебаний в таких системах воз-

г

Рис. И

Графики неявных функций (кв, Л) =0 можно только при наличии инерции Р7(кп,Л) = 0, рассчитанные для ошых элеменхов во внешпей петле значений параметров V = 1000 м/ с,

I =0,01 м г0 =1 / 2, Л г = / / 4: а - обратной связи. Отдельно рассмат-а0 -- 0,6- а„ =0,05, в -<тв =0,1: г - риваются случаи, когда внешняя а„ = 0,2.

9 ' петля содержит интегрирующее и

дифференцирующее звено. 1» четвертий кшыс исследуются автоколебания двухфазных систем с нелокальной (рис. 12) и локальной внешней связью. Математическая модель системы с нелокальной связью

У, '5

Рис. 12

о

0,(0,1) =0,

Система стабилизации темпера- =0'(Ех)I I

туры, состоящая из термопары 1, Х2 2 калибратора опорного напряжения 2, регулятора 3, нагревателя 4, 4,= к[1 ~0г(Т]^)]2 х теплопроводяшей среды 5 и термостата 6.

Х1Г[1-0,(4,0

= гс[1-02(ц,г)]2а[1-в2(т1,г)]- £„ е]0,л[,

к = К2 аи05 / Л2БЯ представляет разновидность двухфазной однофронтовой задачи Стефана, дополненной нелинейным условием обратной связи. Наличие стефановско-го условия существенно усложняет анализ задачи, которую удается разрешить только в линейном приближении. Для приближений высших порядков в работе приводится лишь постановка соответствующих краевых задач. Основными результатами этой части работы являются алгоритм линеаризации стефановского условия и доказательство существования предельного цикла, т.е. распространение бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на класс сгефановских задач.

Во второй части четвертой главы рассматриваются двухфазные системы с локальной обратной связью на примере тонкой сверхпроводящей пленки с током при конвективном теплообмене на свободной поверхности. Математической моделью системы служит краевая задача

сГпТ„ =ЛяТя"+Ро(1+рТя)7 -2^ТЛ,

т,(в^) = 0,

=о,

т,ШО,г] =ти[хл(0,*) =тс,

где сп,суп,,ат - объемные теплоемкости и температуропроводности сверхпроводящей и нормальной фаз соответственно, р0 - сопротивление

нормальной фазы, р - температурный коэффициент сопротивления, ]2 -среднее за период значение квадрата плотности тока, а - коэффициент теплоотдачи, А - толщина пленки, хь - координата фазовой границы, Тс - критическая температура. Задача имеет два стационарных решения

=

. Го~оГ~ -¿<т) ' ь < Ьъ .

- а

соответствующие двум различным положениям т = 1,2 фазовой границы

Здесь роль управляющего параметра выполняет параметр Стекли сг0, связанный с а соотношением а = 1 / (1 / <г0 -рТс). Для классического сверхпроводника а ~ а0, т.е. параметр о всегда положителен, и двухфазное состояние равновесия тонкой пленки при постоянных условиях теплообмена на свободной поверхности остается однофронтовым в широком диапазоне изменения параметров системы. Для высокотемпературных сверхпроводников 1 / <т0 и ¡ЗТС - сопоставимые величины, поэтому следует различать случаи рТс < 1 / а0 и рТс > 1 / а0. Во втором случае для параметра Стекли имеется предел, иыше которого двухфазные стационарные состояния высокотемпературного сверхпроводника могут быть только многофронтовыми. В качестве примера рассмотрена двухфронтовая задача Стефана

£{т>, определяемым уравнением

&'МО - 2ШМО = о, ©'¿(О - К0Я(О + К — 0, в,"2(0 - 2Ы5©,2(0 <?,

0М) = ^(Ь) =1 Ке'гАЪ) =

Ее решения

<5>я (О =(1-ег) Д* £2)]

1А7кТ^Г-1/7

+(1 - <т)Ие[1 -ехрГкС^ - &)] + сг, к = 2В1п(1 - Еа0),

0(й)

3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

описывают неоднородное распределение температуры, при котором центральная часть пленки находится в сверхпроводящем состоянии.

Устойчивость состояний равновесия определяется из рассмотрения малых возмущений температурного поля

0,2

/ /0,4 р,5 0, 6 0, 7 0,8 —йг(£,0=а II/

/

/

в5 Л2

Рис. 13

ая(0 ,о=о,

Зависимость корней характеристического уравнения от координаты фазовой «'^с _ у границы. Сплошная линия изображает " ' ' движение первого корня по мнимой и <) ./ )£ (I) -числовой оси, пунктирная - по веще- J Иььуььу ■>

сгвешюй оси- = иДъ,о + =

л,[и ;аь,0 + @г(\)^)] = К[<(Ъ,0 + ®п(1ь)М01,

В работе вводится параметр /л -ц' +1/и", зависящий от координаты фазовой границы и связанный с характеристическим показателем V соотношением у=а(ц3 -2В1) / й2. Согласно графику на рис. 13, ц2<2В1 при <0,5 и ц2> 2Ш, если > 0,5. Таким образом, устойчивыми оказываются состояния равновесия, в которых фазовая граница расположена ближе к краю пленки.

В пленке бесконечной длины устойчивому решению отвечает про-

а

-0,01

-0,006 -0,002 0 0,002

-0.01

-0,006 -0,002 0,002

туры может достигать очень большой величины, что озна-

9 ,м

странственно-однородное нормальное состояние, а неустойчивому - локализованное состояние нормальной фазы. При возмущении неустойчивого двухфазного состояния оно стремится к одному из двух однородных распределений температуры &(4)—0 или &(!;) — а. Во втором случае в пленке распространяется волна переключения, температурные профили и скорости которой приведены на рис. 14, 15. При определенных параметрах системы время релаксации к локально однородному распределению Тсмпера-

в(й)

4 в

чает возможность квазиустойчивых локализованных образований нормальной фазы.

В заключительной части главы двухфазное состояние тонкой пленки рассматривается в предположении, что переход в ~0'01 сверхпроводящее состояние яв-

1

-0,006 ' -0,002 0 0,002 Рис. 14

ляется переходом первого рода с Температурные профили волн переклю-

„ чения (а - ег=4,Ь-105\ б - а = 4, малой удельной теплотой. Ма- „„; . '

Ъ -10 ; в - а = 4, Ь = 10 ).

тематическая модель такой си-

з

2

стемы имеет вид стефановской задачи в сингулярно возмущенной постановке. Интегрирование стефановского условия дает закон движения фазовой границы

МО =

УЕ — С

У.кь)

ехр( \Л) ~ехр\ -Г

Рис. 15

с = 2Ш,а0(1 + рТс), в=й2 /аМ

из которого вытекает необходимое условие устойчивости двухфазного состояния с <0. Если это условие не выполняется, то оба состояния равновесия неустойчивы, а динамика системы оказывается более сложной, чем в случае вырождения.

В петой главе, посвященной

Зависимость скорости волнового фронта динамике системы с несколькими от параметра Стекли. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют значениям комплекса степенями свободы, исследуется

2аа / ЯЛ =0,01; 0,1; 1; 10. движение сжимаемой жидкости в

однородном гравитационном поле. Ее модель имеет вид системы уравнений

Р=Р(р,Т), 'оТ

Г*ш

с*

= ЛАТ

с граничными условиями

9(0,0=0,

9(8,1) = О,

Т(8,0=Т„

где Р = Р(х,г) - давление, V - скорость и р = р(х^) - плот-

ность жидкости зависят от координаты и времени, а удельная теплоемкость ср, теплопроводность Л, ускорение свободного падения динамическая т/ и объемная д вязкости полагаются константами.

Стационарное распределение давления, плотности и температуры по высоте в слабо неравновесной системе оказывается близким к линейной зависимости

Р(0 1

К

ЗРо л

,Ре(£-1 /2)+СоГ3/2,

+ УС03(1-О

Т(4)=Св£ = Р /2> 2 -1]$,

(1 ъо)

"4Н1-1

Линеаризация исходной задачи на стационарном решении приводит к задаче Штурма-Лиувилля

' а>2ё Р0 5

Р"(Х)+С0ОР'(Х)

-С,а

р(х) =ШаТ'(х),

а а

п

Т(1) = 0-, v(0)=v(l)^0, где а - коэффициент объемного расширения. Условие ее разрешимости выражается характеристическим уравнением четвертого порядка. Корни последнего вычисляются приближенно методом малого параметра, в качестве которого вводится безразмерный комплекс € = С0а.

Комплексные корни характеристического уравнения определяют коэффициенты затухания и закон дисперсии продольной термоакустической волны в жидкости. Последняя представляет собой взаимосвязанные коле-

бания локальной температуры и плотности, распространяющиеся в виде волн двух разных мод, отличающихся законами затухания и дисперсии. Акустическая мода характеризуется отсутствием затухания и высокой фазовой скоростью, в пределе совпадающей со скоростью обычной звуковой волны. Затухание волн температурной моды (как температурной волны, так и звуковой) мало отличается от затухания температурных волн в твердом теле, тогда как закон дисперсии совпадает с дисперсией обычной температурной волны.

Введенный выше параметр £ характеризует величину взаимодействия степеней свободы, которые в линеаризованной модели сводятся к локальной скорости и температуре, Частота автоколебаний и критическое значение управляющего параметра, определяемые уравнениями

(2V2 -е)СО$ Т]У + [2\? +(1 + у)е]зтт]у-

при £ ^ 0 незначительно отличаются от аналогичных параметров твердого тела, поскольку условия возбуждения автоколебаний выполняются в основном за счет температурной моды температурной волны. Если с - 0, то оба соотношения переходят в выражения, полученные во второй главе для случая твердого тела.

В шестой главе рассматриваются перспективы практического использования релаксационных и автоколебательных процессов в теплофи-зических системах с внешней связью. Одной из областей, где уже имеется опыт применения теории динамических процессов в рассматриваемых системах является экспериментальная теплофизика. В работе подробно исследуется математическая модель установки для измерения температуропроводности методом автоколебаний с использованием газомикрофонного эффекта для обратной связи по температуре. Показано, что основной вклад в погрешность предлагаемого метода вносит неопределенность критерия

А =

2 у2 +е(1 + у)

2 уехр ( т]Х'2) сох цу + е(1 - п)

Био. Однако даже при точности определения (или оценки) Hi в 10% систематическая погрешность метода не превышает 1%. В тех случаях, когда необходим экспресс-контроль или теплофизические характеристики должны измеряться in situ, предлагается использовать зондовый вариант метода автоколебаний. Подобные устройства относятся к системам с локальной внешней связью и инерционной нелинейностью, динамика которых исследовалась в третьей главе.

В качестве приложения полученных в работе результатов рассматривается модель активного болометра (рис.16). Действие болометра, представляющего систему с внешней связью и малой тепловой инерцией, находящуюся в докри-тической области управляющего параметра, основано на резонансном отклике ка модулиро ванный собственной частотой

системы поток инфракрасного Принципиальная схема активного болометра: 1 - термочувствительные элементы, обра- излучения. Обнаружительная зующие с резисторами R0,R, болом«- способностъ такого болометра рический мост, 2 - диэлектрическая подложка, 3 - термостат, 4 - предварительный усили- D" = Dl/\c\ тель, 5 - источник опорного напряжения, 6 -

регулятор, 7 - резистивный нагреватель с оказывается больше обнаружи-

зачерненной поверхностью, 8 - диэлек- ~

г „ -г. гт - тельной способности анало-

трическии слои, 9 - модулятор. Падающий

световой поток модулируется на собственной гичного пассивного болометра частоте приемника <я .

28ц

Рис. 16

D'

ШтАА(п)\

в 1 /\е\ раз, где е - надкритичность системы.

Основные результаты и выводы

1. Динамика открытой термодинамической системы с внешней связью определяется параметрами полной петли обратной связи, которые образуют безразмерный комплекс, имеющий смысл управляющего параметра. Выделено три диапазона значений управляющего параметра, в которых аттракторами системы являются устойчивый узел, устойчивый фокус и предельный цикл.

2. Для нелинейной системы с одной степенью свободы Т(х71) найдена асимптотика периодического решения и вычислены ляпуновские коэффициенты. Показано, что режим бифуркации Апдронова-Хопфа для систем с квадратичной нелинейностью всегда мягкий, а в системах с кубической нелинейность может быть как жестким, так и мягким, в зависимости от геометрических параметров петли обратной связи. Этот факт получил объяснение в рамках развитой в работе теории неравновесного фазового перехода.

3. Результаты нелинейного анализа подтверждаются численным моделированием в области как малой, так и сильной нелинейности и нелокальности начальных условий.

4. Мерой упорядоченности движения рассматриваемого класса динамических систем может служить относительное приращение энтропии Клаузиуса, нормированной на полное производство энтропии в системе.

5. В докритической области управляющего параметра стационарное состояние системы с внешней связью и одной степенью свободы устойчиво в смысле принципа Ле-Шателье, В закритической области состояние системы определено одновременно принципами Ле-Шателье и минимального производства энтропии.

6. Показано, что условие обратной связи при разложении периодического решения в ряд по степеням амплитуды первой гармоники может быть преобразовано в разложение полного производства энтропии по степеням параметра порядка. В рамках развитой в работе теории мягкая и жесткая бифуркации могут интерпретироваться как фазовые переходы вто-

poro и первого рода, а эволюция параметра порядка - описываться уравнением Гизбурга-Ландау.

7. Построена гидродинамическая модель теплопроводности идеального ангармонического кристалла в области пуазейлевского температурного "окна". Получены уравнения движения невязкой фононной жидкости, учитывающие зависимость скорости распространения возмущений фононной плотности от скорости течения фононной жидкости и, что приводит к сингулярности при и v, где р - скорость первого звука. Показано, что фазовая скорость температурных волн содержит две особые точки u¡ ~0,3443v и и2 = 0,3644v, где и, соответствует предельной скорости дрейфа, при которой существуют обратные волны, а точка и2 ограничивает область волновых движений. Таким образом, какие-либо волновые процессы в движущейся фононной жидкости прекращаются задолго до того, как скорость дрейфа достигнет скорости второго звука 0,5774v.

8. Разработан алгоритм построения периодических решений задачи Стефана с нелинейным условием нелокальной обратной связи. Устранена основная трудность построения асимптотики периодических решений, связанная с плохой линеаризуемостыо стефановского условия.

9. В одномерных сверхпроводящих структурах с током возможны два двухфазных состояния равновесия, из которых устойчиво состояние с большими размерами нормальной зоны. При стремлении длины пленки к бесконечности устойчивое состояние переходит в однородное нормальное состояние равновесия, а неустойчивое состояние остается локализованным. Получены решения, описывающие волны переключения между нормальным и сверхпроводящим однородными состояниями пленки.

10. Если переход сверхпроводник - нормальный металл является фазовым переходом первого рода, то какой бы малой ни была удельная теплота перехода, необходимым условием устойчивости двухфазного состояния является отрицательное значение числа Стефана. Если это условие выполнено, то динамика локализованной нормальной фазы определяется знаком характеристического показателя, который положителен при любых ре-

алъных значениях критерия Био и параметра Стекли. Таким образом, сколь угодно малый тепловой эффект при фазовом переходе приводит к потере устойчивости двухфазного состояния равновесия.

10. Стационарное распределение температуры в сжимаемой жидкости в однородном гравитационном поле определяется только параметрами петли внешней связи и не зависит от других степеней свободы динамической системы. В режиме автоколебаний в жидкости возбуждаются связанные продольные волны температуры и плотности. Волновое движение каждого из этих параметров имеет две моды: температурную, для которой характерна низкая фазовая скорость и сильное затухание, и слабозатухающую акустическую моду с законом дисперсии звуковой волны. В случае, когда динамическая и объемная вязкость жидкости малы, динамика системы близка к динамике задачи, рассмотренной во второй главе.

11. Результата анализа динамики систем с внешней связью могут служить теоретической основой для разработки высокоточных методов измерения теплофизическх характеристик, детектирования ИК излучения, контроля и управления фазовой границей.

Цитируемая литература

1. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979.- 512 с.

2. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика?.- в сб. Нелинейные волны. Самоорганизация // М.: Наука, 1983,- 263 с.

3. Олемский А.И., Коплык И.В. Теория пространственно-временной эволюции неравновесной термодинамической системы // УФН,- 1995.- Т. 165, № 10,- С. 1105- 1143.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах

1. Алексеев В.П., Биркган С.Е., Бурцев Ю.Н., Рудый A.C., Шехтман С.Н. Способ комплексного определения теплофизических характеристик материала // A.c. СССР№ 1267241, 1986.

2. Алексеев В.П., Биркган O.E., Бурцев Ю.Н., Рудый A.C., Шехтман С.Н. Устройство для создания одномерного теплового потока // A.c. СССР № 1276971, 1986.

3. Алексеев В.П., Биркган С.Е., Бурцев Ю.Н., Рудый A.C., Шехтман С.Н. Устройство для измерения теплопроводности и температуропроводности материала//A.c. СССР № 1329366, 1987.

4. Алексеев В.П., Биркган С.Е., Бурцев Ю.Н., Рудый A.C., Шехтман С.Н. Определение теплофизических характеристик методом автоколебаний // ИФЖ.- 1987.- Т. 52, № 2,- С. 255 - 260.

5. Бурцев Ю.Н., Надточий Ю.Г., Рудый A.C., Лазарев В.Б., Тищенко

3.А., Коновалова И.А., Щаплыгин И.С. Особенности температурной зависимости теплопроводности керамики YBa2Cu306 s+s в области перехода в сверхпроводящее состояние // Неорганические материалы.- 1988, Т. 24, №

4,- С. 699 -701.

6. Рудый A.C., Колесов А.Ю. Определение коэффициента температуропроводности по частоте автоколебаний нелинейной системы // ИФЖ.-1988,- Т. 55, № 6.- С. 1031 - 1032.

7. Алексеев В.П., Бсльцоб И.В., Преображенский М.Н., Рудый A.C. Устройство для создания одномерного теплового потока // A.c. СССР, № 1561770 1991.

8. Бурцев Ю.Н., Рудый A.C., Биркган С.Е. Способ комплексного определения теплофизических характеристик и устройство для его осуществления //A.c. СССР № 1718078, 1991.

9. Рудый A.C., Колесов А.Ю. Автоколебания при фазовом переходе в теплофизических системах автоматического регулирования // ИФЖ.- 1992.Т. 62, № 2.-С. 309-316.

10. Рудый A.C., Рудь H.A. Установка для измерения температуропроводности твердых тел методом автоколебаний // ПТЭ,- 1992.- № 3.- С. 211 -215.

11. Рудый A.C., Рудь H.A. Устройство для измерения теплопроводности и температуропроводности материалов // A.c. СССР № 1770872, 1993.

12. Бурцев Ю.Н., Рудый A.C., Рудая И.Л. Устройство для измерения температуропроводности материала// A.c. СССР № 1821708, 1993.

13. Rudy A.S. Theoretical Fundamentals of the Method for Thermal Diffusivity Measurements from Auto-Oscillation Parameters in a System with a Thermal Feedback II Int. J. Thermophys.- 1993,- V. 14, № 1,- P. 159 - 172.

14. Рудый A.C., Григорьев А.И. Автоколебания в неизотермической жидкости с внешней обратной связью // ЖТФ,- 1993.- Т. 63, Вып. 11.- С. 42 -52.

15. Рудый A.C., Сомова И.А. Автоколебания в системе с тепловой обратной связью в области сильной нелинейности // Письма в ЖТФ.- 1993.Т. 19, Вып. 14,-С. 9-12.

16. Рудый A.C. Зондовый вариант определения температуропроводности методом автоколебаний. Математическая модель // Письма в ЖТФ.-1993,- Т. 19, Вып. 24,- С. 17-21.

17. Рудый A.C. Резонансный метод детектирования инфракрасного излучения // Письма в ЖТФ.- 1996.- Т. 22, Вып. 3,- С. 73 - 77.

18. Рудый A.C. Стационарная нормальная зона в ограниченном одномерном сверхпроводнике // Письма в ЖТФ,- 1996,- Т. 22, Вып. 9.- С. 85 -92.

19. Рудый A.C. Нормальный автосолитон и волна переключения в тонкой сверхпроводящей пленке с током // Письма в ЖТФ.- 1996,- Т. 22, Вып. 20,- С. 62-67.

20. Рудый A.C. Автоколебания в параболической системе с внешней связью //ЖТФ.- 1997,- Т.67, Вып. 5,- С. 116-119.

21. Rudy A.S. Second Sound in Nonviscous Phonon Fluid // Physica Scripta- 1997.- V. 56, № 1, P. 92 - 94.

22. Колесов Ю.С., Рудый A.C. Динамика задачи о непрерывном регулировании температуры стержня в сингулярно возмущенной постановке //

ДАН.- 1997.- Т. 357, № 1.

23. Rudy A.S. Time-Dependent Thermal Conductivity of Ideal An-harmonic Dielectric Crystal within Poiseuille Flow Regime // Preprint Volume of the Thirteen Symposium on Thermophysical Properties: June 22 - 27, 1997,-Boulder, Colorado USA.- 1997 (to be published in Int. J. Thermophys.).

24. Rudy A.S., Kolesov A.Yu. Auto-Oscillation in One-Dimensional Two-Phase System with Thermal Feedback // Nonlinear Analysis.- 1998.- V. 31, № 3/4,- 18 p.

25. Рудый A.C. О мере упорядоченности движения и неравновесных фазовых переходах в автоколебательной системе релаксационного типа // ЖТФ,- 1998.-Т. 68, Вып. 1.

26. Рудый А.С. Одно- и двухфронтовые состояния равновесия в тонкой сверхпроводящей пленке//ЖТФ.- 1998.-Т.68, Вып. 2.

/

Объем 2 печ. листа. Тираж 75 экз. Заказ № Отпечатано на ризографе ООТ "Рио-Гранд". Ярославль, Чкалова, 2.