Релятивистское описание структуры мезонов в модели конституентных кварков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГ Б ОА

] о . :' ' '

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМЕНИ Д.В.СКОБЕЛЬЦЫНА

На правах рукописи УДК 539.12.01

Баландина Елена Викторовна

РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОПИСАНИЕ СТРУКТУРЫ МЕЗОНОВ В МОДЕЛИ КОНСТИТУЕНТНЫХ КВАРКОВ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной

физики им. Д.В.Скобельцына Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук

В.Е.Троипкий,

кандидат физико-математических наук Н.П.Юдин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.Н.Фаустов, кандидат физико-математических наук И.Т.Обуховский

Ведущая организация : Институт ядерной физики РАН, Москва.

Защита состоится" 30 " ммл 1996 г. в ^ час. на заседании специализированного совета К-053.05.24 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (г.Москва, Воробьевы горы, НИИЯФ МГУ, 19 корпус, ауд. 2-15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ. Автореферат разослан " 22 " бЫи^мАЛ 1996г.

Ученый секретарь специализированного совета К-053.05.24, доктор физико-математических наук

/

,> юзСТФО!

Фомин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема описания релятивистских состав-пых объектоз в последнее десятилетие стала особенно актуальной в теоретической физике. Это связано, во-первых, с интенсивным развитием релятивистской ядерной физики, т.е. физики быстро движущихся тяжелых ионов, когда для описания различных процессов - столкновении, распадов и т.д. необходимо учитывать релятивистские эффекты. Во-вторых, переданный импульс при электромагнитном зондировании атомных ядер и адронов достиг таких величин (например, на ускорителе СЕВ АР квадрат переданного импульса будет достигать 4(СеУ/с)2), при которых также необходимо учитывать релятивистские эффекты. В-третьих, за последние годы появились серьезные аргументы в пользу того, что сложные и не до конца выясненные механизмы взаимодействия в.КХД между кварками и глюонами эффективно сводятся к так называемым конституентным кваркам. В рамках концепции конституентных кварков мезоны представляют собой систему с двумя степенями свободы - кварка и аптпкварка, барион - систему трех конституентных кварков. Движение конституентных кварков в мезонах и барионах является релятивистским.

В настоящее время считается, что все наблюдаемые ядерные и субъядерные эффекты должны описываться стандартной моделью, т.е. квантовой теорией электрослабых взаимодействий и квантовой хромодинамикой (КХД). Однако КХД дает достаточно надежные вычислительные рецепты только для описания так называемых "жестких" процессов, которые характеризуются большими переданными импульсами. В области же небольших переданных импульсов, к которой относится широкий набор адронных процессов, современные возможности анализа в рамках КХД являются ограниченными. Поэтому при йебольших переданных импульсах для анализа адронных процессов прибегают к различным моделям.

На сегодняшний день не существует единой точки зрения на то, с помощью каких степеней свободы следует описывать электромагнитные свойства адронов - конституентных кварков или, например, мезонных (векторная доминантность). В данной диссертации исследования проводятся в рамках интенсивно развиваемой в последнее время модели конституентных кварков.

В релятивистском описании систем с ограниченным числом степеней свободы можно выделить два направления. В работах первого направления авторы развивают подходы, основанные на методах теории пола. Это, например, подходы, связанные с использованием ковариантного полевого уравнения Бете-Солпптера.

В работах второго направления, к которым относится данная работа, используют метод, основывающийся на прямой реализации алгебры группы Пуанкаре на базисе взаимодействующих частиц. Этот подход называют теорией прямого взаимодействия или релятивистской квантовой механикой (РКМ) с фиксированным числом частиц. Следует отметить, что установление связи между РКМ и теорией поля является трудной и в настоящее время нерешенной проблемой. Идея РКМ восходит к работе Дирака (Dirac Р.А.М., "Forms of relativistic dynamics", Rev. Mod. Phys. 21 (1949), 392), в которой рассматриваются различные способы описания эволюции классических релятивистских систем - различные формы динамики. В этой работе Дирак указал три способа включения взаимодействия, приводящие к различным типам динамик: точечной, мгновенной формы и светового фронта. Каждую из этих динамик можно связать с трехмерной гиперповерхностью в четырехмерном пространстве, на которой задаются начальные условия и эволюция которой в дальнейшем описывается. Точечная - х^х^ = a2, t > 0; мгновенная форма динамики - гиперповерхность — 0 и динамика светового фронта - поверхность светового конуса ар + г3 = 0. Генераторы группы Пуанкаре разбиваются на генераторы, содержащие взаимодействие, которые Дирак назвал гамильтонианами, и на генераторы, не содержащие взаимодействия и образующие кинематическую подгруппу. Генераторы кинематической подгруппы оставляют неизменной соответствующую динамике гиперповерхность.

В настоящее время основное число проведенных количественных исследований конкретных систем связано именно с динамикой на световом фронте, в частности, потому, что эта форма динамики имеет наименьшее число (три) генераторов, содержащих взаимодействие. Однако использование динамики светового фронта приводит к определенным трудностям, связанным с потерей вращательной инвариантности, поскольку в генератор полного момента входит взаимодействие. Проблема обеспечения вращательной инвариантности отсут-

ствует в мгновенной форме динамики, в рамках которой проводились расчеты данной диссертации.

Целью диссертации является развитие и конкретизация метода расчета релятивистских кварковых систем - электромагнитных формфакторов заряженных псевдоскалярных и векторных мезонов в рамках дпнамнки мгновенной формы.

Работа основывается на фундаментальном предположении о том, что сложные непертурбативные эффекты КХД в адронах сводятся к динамике двух или трех констнтуентных кварков. В решении этой проблемы можно выделить два этапа. На нервом этапе необходимо убедиться в том, что наблюдаемые характеристики мезонов - форм-факторы, константы распадов - можно истолковывать в терминах волновых функции. Второй этап должен быть связан с установлением вида взаимодействия кварков. Основная задача данной диссертации состояла в том, чтобы исследовать возможности решения первого вопроса.

Научная ценность и результаты работы. В диссертации дано дальнейшее развитие методов описания релятивистских составных систем и представлены новые аргументы в пользу сведения структуры адронов к системе нескольких релятивистских констнтуентных кварков.

Настоящая диссертация посвящена двум взаимосвязанным вопросам:

- развитию метода описания двухчастичных релятивистских составных объектов;

- расчету на этой основе некоторых электромагнитных и слабых формфакторов мезонов.

Используемый метод построения оператора электромагнитного тока позволяет выписывать соответствующие матричные элементы для системы с любым спином, что делает его весьма подходящим для описания, например, многонуклонных систем.

Наш подход, в силу его вращательной инвариантности, корректным образом учитывает релятивистские свойства спина.

Особо следует отметить, что в рамках построенного формализма обеспечивается сохранение электромагнитного тока.

В диссертации развивается и конкретизируется широковский способ введения формфакторов (Чешков A.A., Широков Ю.М., "Инвари-

антная параметризация локальных операторов", ЖЭТФ 44 (1963), 1982). В частности, установлена формальная связь широковских форм-факторов с формфакторами "полевой" параметризации. Получены формулы для вычисления формфакторов псевдоскалярных мезонов в электромагнитных процессах и полулептонных распадах. Получены формулы для вычисления электромагнитных формфакторов векторных частпц.

Непосредственные расчеты проводились в импульсном приближении. Результаты численного анализа сводятся к следующему:

- формфакторы пионов и каоноз могут быть удовлетворительно объяснены в терминах точечных кварков,

- показано, что среднеквадратичные радиусы пиона и каона существенно зависит от релятивистских эффектов (в частности, от D-функций вигнеровских поворотов),

- рассчитана константа распада пиона. Выяснилось, что в приближении точечных кварков нельзя согласовать параметры волновых функций для электромагнитных и слабых процессов. Для согласования параметров разных процессов необходимо ввести в рамках используемого подхода формфакторы кварков.

Развитый подход дает хорошее описание имеющихся экспериментальных данных по измерению зарядовых формфакторов ж- и К-мезонов. Он позволяет рассчитать зарядовые формфакторы к- и К-мезонов и для области переданных импульсов, которая будет достигнута на непрерывном ускорителе электронов CEBAF.

Практическая ценность состоит в том, что развит метод расчета эффектов зондирования адронов электромагнитными и слабыми внешними полями. Результаты работы могут быть использованы для расчета электрослабых свойств скалярных частиц и электромагнитных формфакторов векторных частиц.

Апробация. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах НИИЯФ МГУ, ИЯИ РАН, на конференции "Некоммутативные структуры в математической физике", 1993 (Тольятти), на международных конференциях XI International Seminar on High Energy Physics Problems, 1992 (Дубна), 14th International IUPAP Conference on Few Body Problems in Physics, 1994 (США), III Annual Seminar "Nonlinear Phenomena in Complex Systems", 1994 (Polatsk), IX International Workshop on High Energy Physics and Quantum Field

Theory, 1994 (Zvcnigorod).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Содержит 16 рисунков, 2 таблицы п список литературы (107 ссылок).

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность работы.

В Первой главе рассматриваются основные вопросы построения релятивистски инвариантной теории свободных частиц.

Квантовая теория является релятивистски инвариантной, если на векторах состояний ее гильбертова пространства реализуется унитарное представление группы Пуанкаре или, другими словами, когда группой симметрии теории является группа Пуанкаре.

Свойства группы, как известно, определяются ее генераторами. В группе Пуанкаре имеется 10 генераторов, на которые групповой закон умножения накладывает определенные коммутационные соотношения. Таким образом, построение релятивистски инвариантной теории сводится к нахождению эрмитовых операторов данной теории, удовлетворяющих алгебре группы Пуанкаре. В мгновенной форме динамики, например, это оператор энергии-импульса Роператоры углового момента J, операторы лоренцевекпх бустов N.

После нахождения необходимых генераторов строится одночастич-ный канонический базис в пространстве векторов состояний. Далее на его основе строится двухчастичный базис. Указаны нормировки двухчастичных векторов состояний и коэффициенты Клебша-Гордана. Приведены также формулы, связывающие вектора состояний мгновенной формы динамики и светового фронта.

Далее в (Главе обсуждаются вопросы, связанные с построением оператора релятивистского спина и с матрицами вигнеровского вращения. Введен ковариантный оператор Г(р) релятивистского спина

r<V^ _ р) д, ч _ ^ p(Sp)

где М - масса частицы со спином 5 и 4-импульсом р. Релятивистский оператор спина Г(р) играет полезную роль, например, в параметризации амплитуд и матричных элементов от токов.

Вторая глава посвящена проОлеме релятивистской параметризации токов.

В современной адронной физике чрезвычайно важную роль играют векторные п аксиально-векторные токн. Именно они определяют взаимодействие адронов с электромагннтным полем и носителями слабого взаимодействия и позволяют извлечь содержащуюся в экспериментальных данных информацию о внутренней структуре частиц.

Общие принципы праметризации рассмотрены на примере параметризации матричных элементов от тока для дпраковскпх частиц. Приведена параметризация тока векторной частицы. Указан метод инвариантной параметризации матричных элементов тока вне рамок теории поля, предложенный Ю.М.Широковым. Отметим, что данный метод позволяет относительно просто проводить параметризацию матричных элементов тока для частиц любого спина.

Далее нами найдена связь между параметризацией в рамках теории поля и широковской параметризацией частиц спина 1/2 и 1 для сохраняющегося электромагнитного тока, а также для частиц спина 1/2 в более общем случае несохраняющегося тока и разных масс частиц.

Для частицы спина 1/2 "полевая" (дираковская) параметризация матричного элемента электромагнитного поля имеет вид:

< р', т'\ Г \р, т >= й' {№ + аеГ2)- ^Г2Р"}и ,

где и - дираковсюш спинор, РИ = {р+р'У, аг-аномальный магнитный момент частицы, ^ и Рг - формфакторы частицы. Широковская параметризация для частицы спина 1/2 записывается в виде:

< р',т'\^\р, т >~

= <т"\Ыч2)Р>' + М02)П'1\™> ■

т"

Здесь

д2 = (р'-р)2; Р" = (р' + рГ;

Р/ = г £""<»■ Р'иР1)Га(р) ,

/ь /2 ~ формфакторы частицы, 01^{р',р) - матрицы вигнеровского поворота, обладающие свойством "пересадки спина", т.е.

о*(ръ, п) (Щ + N3) [о5(2>2, рОГ1 = Й + Ф.

Здесь

,-„ д [•?, р] - . д

N = гра --' N — гро -тт^. <

ор ръ + М ар

в - сппн частицы. Для формфакторов дираковской и шпроковской параметризаций получены следующие соотношения:

«л-

Установлена связь между дираковскими спинорами и И—матрицей пересадки спина:

й(р\ т')и(р, т) = ^2{рР + ММ')0Ц?т(р\р),

где

х __ (Ро + М)(р'0 + М') - (ар')(аЯ /2(ро 4- М)(Ж + + М М>)'

рр' =РоРо ~Р1>'-

Аналогичные соотношения получены для частицы со спином 1.

В третьей главе рассматриваются вопросы включения взаимодействия в систему. Как и в случае свободных частиц теория будет релятивистски инвариантной, если ее группой симметрии будет группа Пуанкаре. И здесь возникает проблема включения взаимодействия в генераторы таким образом, чтобы сохранить алгебру группы Пуанкаре. Эта проблема была успешно решена включением взаимодействия в оператор массы. Потенциал V для сохранения структуры алгебры Пуанкаре должен обладаеть вращательной инвариантностью, быть диагональным по полному импульсу и, более того, вообще от него не зависеть. В этом случае уравнение для волновой функции приобретает вид нерелятивистского уравнения Шредингера. При включении взаимодействия в массу волновая функция не зависит от полного импульса системы.

Далее нами проводится исследование и расчет электромагнитных свойств связанных систем - псевдоскалярных мезонов. Получены формулы для электромагнитных формфакторов х- п А'-мозонов в терминах релятивистских волновых функций.

Формфакторы псевдоскалярных мсзоноб рассчитывались по формуле:

где к = к(в) - модуль относительного импульса в системе центра инерции и и(к) - волновая функция, удовлетворяющая условию

go(s,Q2,s') - свободный двухчастичный формфактор. Данный двухчастичный формфактор в импульсном приближении выражается через формфакторы конституентов. Здесь нами была использована пщро-ковская параметризация токов.

Расчет электромагнитных формфакторов 7Г— и К—мезонов проводился для разных волновых функций и{к) при Ми = 0.25 ГэВ,

f k2u2(k)dk = 1,

Ms = 0.35 ГэВ:

1. Волновая функция гармонического осциллятора

Ь - параметр конфайнмента при

6=0.207 ГэВ (пион) 6=0.255 ГэВ (каон).

2. Степенная волновая функция:

п = 2 6=0.274 ГэВ (пион) п = 3 6=0.399 ГэВ (каон).

3. Волновая функция с линейным конфайнментом: и{к) = ехр(-агя/2 - (Зг),

а = -уДЖа , 0 = МГЬ,

о

а, Ь - параметры линейной п кулоновских частей потенциала соответственно, Мг - приведенная масса'двухчастичной системы,

а=0.0183 ГэВ2, Ь=0.7867 (плон) а=0.0318 ГэВ2, 6=0.7867 (каон).

Параметры Ь волновых функций подбирались, исходя из значений среднеквадратичных зарядовых радиусов пиона и каона. Результаты расчетов представлены на Рис.1.

Для волновой функции гармонического осциллятора расчет электромагнитных формфакторов проводился также в следующих случаях:

(а). Нерелятивистское приближение (штрих-пунктирная линия).

(б). Релятивистский расчет без учета поворота спина (пунктирная линия).

(в). Релятивистский расчет с учетом вигнеровского вращения (сплошная линяя).

Для пионного формфактора результаты расчетов представлены на Рис.2а для небольших переданных импульсов и на Рис.2Ь для больших переданных импульсов.

Для оценки вклада поворота спина на Рис.2с приведены отношения ¡И((32) формфактора пиона с учетом поворота спина к формфактору без учета поворота спина для разных зна-

чений масс кварков: кривая 1 при Мч — 0.33 ГэВ, кривая 2 при Мч = 0.30 ГэВ, кривая 3 при М, = 0.20 ГэВ.

Расчет среднеквадратичных радиусов проводился по стандартной формуле

<г*=о

с волновыми функциями гармонического осциллятора. Данное уравнение при фиксированном < г2 > определяет зависимость параметра конфайнмента Ь от массы кварка. На Рис.2с приведена функция Ь(М,)

при фиксированном значении < г2 >—< т\у >ехр= 0.432 фм2. Расчетные значения среднеквадратичного радиуса тг-мезона приведены в Таблице 1.

Из приведенных в Таблице 1 результатов видно, что, хотя при ф2 = 0 эффект поворота спина исчезает, его учет приводит к значительному изменению наклона формфактора в нуле и вследствие этого к изменению значения зарядового радиуса. Так, величина вклада поворота едина в среднеквадратичный радиус 7Г+-мезона составляет около 30%, а для А-+-мезона - около 25%.

Четвертая глава посвящена исследованию слабых распадов псевдоскалярных мезонов. Получены формулы для вычисления констант слабых распадов /» и /к :

пс(М, + М2) г у/в - (М1 - М2у , ,

= г^г IАуП —;--ф)'

пс = 3 - число цветов кварков, М\, М2 - массы кварков.

Однако, значения констант /х и ¡к с параметрами Ь волновых функций, взятых из среднеквадратичных радиусов, не совпадают с экспериментальными = 130.7 МэВ, }кехр — 160.4 МэВ. Заметим, что вычисления среднеквадратичных радиусов и констант слабых распадов проводился в приближении точечных кварков. Для согласования параметров волновых функций, полученных из среднеквадратичных радиусов и слабых констант, были введены формфакторы кварков (исследование проводилось только для пиона):

Здесь вц - заряд кварка, аг - аномальный магнитный момент кварка,

,1 \ 1 + 5 < > С?

Вычисления проводились при следующих значениях параметров: Ми = 0.25ГэВ, < г2 >=< г\ >= 0.1869 ^ эза = -0.0852 , а^ = 0.0048.

Результаты представлены п Таблице 2.

Получены формулы для вычисления формфакторов в полулептон-ных переходах К л°11.

Более подробно обсуждаются вопросы, связанные с параметризацией частшш со едином 1. Исследуется какие ограничения на форм-факторы накладывает РТ-инвариантность и эрмитовость тока. На примере />-мезона получены формулы для вычисления формфакторов векторной частицы.

В Приложении получены формулы для вигнеровских поворотов в пространстве Мшпсовского и в SL(2, С). Приведены выражения для D-матрпц некоторых спинов.

В Заключении сформулированы основные результаты работы. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Balandina E.V., Troitsky V.E., Krutov A.F., "Quark and nucleon relativistic systems in instant form dynamics". Proc. XI International Seminar on High Energy Physics Problems, Dubna, 1992. Ed. A.M.Baldin and V.V.Burov. P.565.

2. Баландина E.B., Крутов А.Ф., Троицкий B.E., "Релятивизм и спиновые свойства составных систем". Труды межвузовской конференции "Некоммутативные структуры в математической физике", Тольятти, 1993. Стр. 72.

3. Balandina E.V., Krutov A.F., Troitsky V.E., "Relativistic potential models and spin effects". Proc. Ill Annual Seminar Nonlinear Phenomena in Complex Systems", Polatsk, 1994. Ed. V.Kuvshinov and G.Krylov. P. 152.

4. Balandina E.V., Troitsky V.E., Krutov A.F., "Charge form factors of quark-model pion and relativistic spin rotation", In: AIP Conference Proceedings, 334. Few Body Problems in Physics, Williamsburg, VA, 1994. Ed. Franz Gross. P. 887.

5. Balandina E.V., Krutov A.F., Troitsky Y.E., "Current conservation and relativistic constituent models". Proc. IX Internationl Workshop on Hight Energy Physics and Quantum Field Theory. Zvenigorod, 1994. Ed. B.B.Levtchenko. P. 255.

6. Баландина E.B., Крутов А.Ф., Троицкий B.E., "Релятивистская модель двухкварковыхсоставных систем", ТМФ 103 (1995), 41.

7. Баландина Е.В., Крутов А.Ф., Троицкий В.Е., "Электромагнитная

структура каона с релктппистскоГг потенциальной модели", Веспшк МГУ 36 (1095), 16.

8. Баландина Е.В., Юдин II.П., "О соотношении параметризаций электромагнитных токов в квантовой теории'', Вестник МГУ 36 (1995), 14.

9. Balaadina E.V., Krutov A.F., Troitsky V.E., "Elastic charge form factors of 7г- and A'-mesons", Препринт МГУ 95-27/391; hep-ph 9508248.

Таблица 1

b, ГэВ М, ГэВ < г2 >, Фм2 < г'2 > ехр , Фм2

А Б В

7Г+ 0.215 0.2 0.316 0.755 0.442 0.432 ± 0.012

к+ 0.245 Ма = 0.3 Ml = 1.37 М, 0.275 0.424 0.341 0.34 ± 0.05

Таблица 2

в/ф Ь, ГэВ Л, ГэВ < r'i Фм2

1 0.325 0.132 0.662

0.357 0.138 0.645

2 0.397 0.144 0.668

3 0.572 0.136 0.668

4 Ь =0.7867 а =0.083 0.136 0.669

I aanSij

zip/ЛэЭ)'гО 8/195

г(э/АэО)'гО

о

го zo

О YO S'O 9'0

L'O

Q2,(GeV/c)2

0.6

F„(Q2) Q2

Q2,(GeV/c)2

R(Q2)

0.9

0.8

0.7

I I ! . I

2 4 6 Q2,(GeV/c)2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Mg> GeV

1

d

Figure 2