Ренормгрупповые величины стандартной модели в высших порядках теории возмущений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

ПИКЕЛЬНЕР Андрей Федорович

РЕНОРМГРУППОВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ В ВЫСШИХ ПОРЯДКАХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I" АПГ 2015

005561636

Дубна 2015

005561636

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Казаков Дмитрий Игоревич

кандидат физико-математических наук, с.н.с Бедняков Александр Вадимович

Смирнов Александр Владимирович,

доктор физико-математических наук, НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова, ведущий научный сотрудник лаборатории информационных систем математических наук

Компанией, Михаил Владимирович,

кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет,

доцент кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц

ФГБУН Институт ядерных исследований Российской академии наук

Защита состоится 30 сентября 2015 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 на базе Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований по адресу: 141980, г. Дубна Московской области, ул. Жолио-Кюри, д. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке и на сайте Объединенного института ядерных исследований (http://wwwinfo, j inr.ru/announce_disser.htm).

Автореферат разослан " " з 2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 720.001.01, д.ф.-м.н.

Арбузов Андрей Борисович

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Целью данной работы является применение аппарата ренормгруппы к изучению поведения Стандартной модели в области высоких энергий.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Получить ренормгрупповые функции Стандатной модели в трехпетле-вом приближении. Ренормгрупповые функции включают бета-функции констант связи и аномальные размерности полей Стандартной модели. Ренормгрупповые функции позволяют описать эволюцию констант и полей в зависимости от масштаба и при наличии начальных условий получить их значения на заданной шкале.

2. Получить выражения для начальных условий уравнений эволюции. Необходимо выразить параметры Стандартной модели в ненарушенной фазе на электрослабой шкале через параметры извлекаемые в эксперименте. В качестве параметров, доступных в эксперименте могут быть выбраны полюсные массы частиц, значение константы Ферми и константа сильного взаимодействия.

3. Разработать набор программных средств для автоматизации вычислений ренормгрупповых функций. Применение систем компьютерной алгебры позволяет избежать ошибок в расчетах, когда количество диаграмм исчисляется тысячами, а также легко адаптировать процесс вычислений к другим моделям. Проверка на упрощенных моделях и повторение ранее известных результатов является подтверждением правильности полученных результатов.

4. Создание эффективных программных кодов для получения граничных условий уравнений ренормгруппы. Для реального анализа поведения Стандартной модели в области высоких энергий и изучения зависимости от начальных значений параметров, извлекаемых из эксперимента, необходима высокая скорость вычисления начальных значений параметров и решения уравнений эволюции.

5. Используя последние экспериментальные данные для параметров Стандартной модели, получить границы стабильности последней.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. в трехпетлевом приближении вычислены все бета-функции констант связи и аномальные размерности всех полей Стандартной модели. Получено их обобщение на случай матричных Юкавских констант. Найденные выражения находятся в согласии с известными в литературе результатами и являются необходимой независимой проверкой последних. Вычисление трехпетлевых бета-функций Юкавских констант выполнено впервые.

2. Развит эффективный аппарат автоматизированного вычисления функций ренормгруппы в трехпетлевом приближении. Вся цепочка вычислений, от задания Лагранжиана теории, генерации необходимых диаграмм и вычисления расходимостей интегралов полностью автоматизированы.

3. Получены двухпетлевые соотношения связывающие начальные условия всех бегущих констант Стандартной модели с параметрами, извлекаемыми из эксперимента.

4. Получен полный набор инструментов для ^тШ-анализа поведения Стандартной модели в области высоких энергий и определения границ стабильности.

5. Все полученные результаты доступны в виде программных кодов, находящихся в свободном доступе.

Научная новизна:

1. Найдены трехпетлевые выражения для бета-функций всех констант Стандартной модели. Результаты для калибровочных констант и параметров скалярного потенциала являются необходимой проверкой результатов других групп, а результаты для Юкавских констант получены впервые.

2. Впервые получен полный набор явно калибровочно-инвариантных соотношений, связывающих параметры в МБ схеме и схеме перенормировок на массовой поверхности в рамках Стандартной модели с двухпетлевой точностью.

Практическая значимость работ составляющих основу диссертации подтверждается тем, что они сразу после публикации нашли большой отклик в литературе и получили заметное количество цитирований в работах посвященных исследованию стабильности вакуума как в Стандартной модели, так и за ее пределами.

Достоверность полученных в диссертации результатов достигается за счет использования строгих и апробированных методов квантовой теории поля, их применения к Стандартной модели и квантовой хромодинамике, а также высокой степени автоматизации расчетов с применением современных систем компьютерной алгебры. Обоснованность результатов подтверждается сопоставлением с результатами теоретических расчетов других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• 16th International Moscow School of Physics (41th ITEP Winter School of Physics). "Particle Physics ITEP, Moscow, Russia

• XVII конференция молодых учёных и специалистов ОМУС-2013, ОИЯИ, Дубна, Россия

• INTERNATIONAL SCHOOL OF SUBNUCLEAR PHYSICS 2013, ETTORE MAJORANA FOUNDATION AND CENTRE FOR SCIENTIFIC CULTURE, Erice, Italy

• QUARKS-2014. 18th International Seminar on High Energy Physics, ИЯИ РАН, Суздаль, Россия

• XXI DAE-BRNS High Energy Physics Symposium, Department of Physics, IIT Guwahati, Guwahati, India

• XIX конференция молодых учёных и специалистов ОМУС-2015, ОИЯИ, Дубна, Россия

Личный вклад соискателя в результаты является определяющим. Автор, работая с сотрудниками ОИЯИ, ПИЯФ, Гамбургского университета самостоятельно выполнил теоретические расчеты ряда трехпетлевых констант перенормировки в Стандартной модели, разработал алгоритмы для автоматизации вычислений трехпетлевых ренормгрупповых функций и подготовил компьютерные коды для эффективного использования соотношений между полюсными и бегущими параметрами Стандартной модели, полученных численно.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 печатных изданиях, 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 1 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Полный объем диссертации 86 страниц текста с 21 рисунком и 5 таблицами. Список литературы содержит 144 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена обзору известных многопетлевых расчетов ренормгрупповых функций в различных теориях. Обсуждаются особенности вычислений в теориях с явной калибровочной инвариантностью и применение методов ренормгруппы к задачам статистической физики, квантовой хромо-динамики и суперсимметричным теориям.

Основной сложностью многопетлевых расчетов является вычисление петлевых интегралов. Используемые для этого методы не зависят от конкретной квантовополевой модели и поэтому методы разработанные для вычислений в КХД, теориях с самодействием скалярного поля и суперсимметричных теориях могут с успехом применяться в вычислениях в Стандартной модели.

Существенные успехи достигнуты в вычислении ренормгрупповых функций КХД. Бета-функция константы сильного взаимодействия известна с четырехпетлевой точностью[1, 2], а аномальная размерность 7т, функция определяющая поведение бегущей массы кварков, с пятипетлевой точностью [3].

Бета-функция константы самодействия скалярного поля в модели со взаимодействием А<р4 известна с пятипетлевой точностью [4, 5]

Наличие явной калибровочной инвариантности в абелевых калибровочных теориях позволяет существенно упростить вычисление ренормгрупповых функций, поскольку константы перенормировки калибровочных констант связаны с соответствующими константами перенормировки калибровочных полей. Тем же свойством обладают неабелевы теории в калибровке фонового поля [6].

Во второй главе представлены методы эффективного расчета многопетлевых ренормгрупповых функций. Обсуждаются преимущества применения МБ схемы перенормировок. Представлена техника вычисления безмассовых диаграмм пропагаторного типа и полностью массивных вакуумных диаграмм.

В МБ схеме константы перенормировки не зависят от внешних импульсов и масс рассматриваемых диаграмм и это позволяет существенно упростить вычисления сводя задачу к вычислению петлевых интегралов с единственным масштабом[7]. Если это не приводит к появлению инфракрас-

ных расходимостей, становится возможным положить равными нулю все массы внутренних линий и импульсы всех внешних линий, кроме двух и тем самым свести задачу к вычислению безмассовых интегралов пропагаторного типа.

При вычислении диаграмм с большим числом внешних линий, чтобы избавиться от проблемы выбора новой протечки импульса, удобно положить все внешние импульсы равными нулю, а во все внутренние линии ввести вспомогательную массу. Раскладывая пропагаторы диаграмм, в которых вычтены вклады подрасходимостей, при помощи

1 1 р2_2,р_то2 !

12~т2А \ 12~ т\ (I + рУ] ^

ш=-2 ы=-2 ш=-3

до тех пор, пока члены не станут конечными и не перестанут давать вклад в расходимость диаграммы. Таким образом задача сводится к вычислению полностью массивных вакуумных интегралов.

Для вычисления трехпетлевых интегралов существуют эффективные пакеты, основанные на соотношениях интегрирования по частям. Для редукции интегралов пропагаторного типа используется пакет МШСЕ11[8], а для редукции полностью массивных вакуумных интегралов пакет МАТА0[9].

В работе применялись оба из описанных методов, сведение к безмассовым диаграммам пропагаторного типа использовалось при вычислении бета-функций калибровочных и Юкавских констант, а также констант перенор-мироки всех полей. Способ сведения к полностью массивным вакуумным интегралам использовался при вычислении бета-функций константы самодействия поля Хиггса и массового параметра скалярного потенциала.

В третьей главе изучается связь между бегущими константами в МБ схеме и параметрами в схеме перенормировок на массовой поверхности. Параметры Стандартной модели на масштабе энергий электро-слабой физики в схеме перенормировок на массовой поверхности могут быть извлечены из величин наблюдаемых в эксперименте, а соотношения связывающие их с бегущими параметрами позволяют получить необходимые начальные условия для уравнений эволюции.

Необходимым является перенормировка Стандартной модели в нарушенной фазе в двух схемах перенормировки: на массовой поверхности и МБ. Перенормируя массы частиц Стандартной модели в двух разных схемах становится возможным получить соотношения вида

^ = 1 + + ^ )2Х? + - (2)

М| 47Т в 47Г 47Г ^ V 47Г /

для бозонов и

га/М =1 аМ-^.о [ а(/х) | /а(/х)\2 у2,о | ^

М5 4л- ! Аъ А-к 5 \ Ап ) I

для фермионов, а так же обратных к ним. Величины являются функциями полюснных масс.

Из указанных соотношений для масс и определенного в МБ схеме вакуумного среднего, становится возможным получить соотношения для бегущих констант в терминах полюсных масс и константы Ферми.

Обсуждается учет диаграмм типа головастик, необходимых для сохранения калибровочной инвариантности и численная зависимость конечного ответа от таких вкладов.

Для вычисления констант перенормировки в двух-петлевом приближении в схеме перенормировок на массовой поверхности необходимо вычисление массивных интегралов пропагаторного типа с различными массами с внешним импульсом на массовой поверхности. Описывается процедура редукции возникающих задаче интегралов к набору скалярных мастер-интегралов, а также техника численного вычисления последних.

В четвертой главе собраны результаты терехпетлевых расчетов бета-функций констант связи Стандартной модели и двухпетлевые выражения, связывающие бегущие параметры с наблюдаемыми величинами. Обсуждается применение полученных результатов к анализу стабильности Стандартной модели в области высоких энергий.

В заключении приведены основные результаты работы, которые заключаются в следующем:

1. В трехпетлевом приближении вычислены все бета-функции констант связи и аномальные размерности всех полей в Стандартной модели. Получено их обобщение на случай матричных Юкавских констант. Полученные результаты находятся в согласии с известными в литературе результатами и являются необходимой независимой проверкой, а вычисление бета-функций Юкавских констант выполнено впервые и еще ждет подтверждения другими группами.

2. Развит эффективный аппарат автоматизированных вычислений функ-

ций ренормгруппы в трехпетлевом приближении. Вся цепочка вычисле-

8 .

ний, от задания Лагранжиана теории, генерация необходимых диаграмм и вычисление расходимостей интегралов полностью автоматизированы.

3. Получены двухпетлевые соотношения для начальных условий всех бегущих констант Стандартной модели в терминах параметров извлекаемых из эксперимента.

4. Получен полный набор инструментов для N№0 анализа поведения Стандартной модели в области высоких энергий и определения границ стабильности.

5. Все полученные результаты доступны в виде программных кодов свободном доступе.

Публикации автора по теме диссертации

Al. Bagaev, A.A. and Bednyakov, А. V. and Pikelner, A.F. and Velizhanin, V.N. The 16th moment of the three loop anomalous dimension of the non-singlet transversity operator in QCD // Phys.Lett. - 2012. - Т. B714. - C. 76-79. - arXiv: 1206.2890 [hep-ph],

A2. Bednyakov, A.V. and Pikelner, A.F. and Velizhanin, V.N. Anomalous dimensions of gauge fields and gauge coupling beta-functions in the Standard Model at three loops // JHEP. - 2013. - T. 1301. - C. 017. - arXiv: 1210.6873 [hep-ph].

A3. Bednyakov A., Pikelner A., Velizhanin V. Yukawa coupling beta-functions in the Standard Model at three loops // Phys.Lett. - 2013. - Т. B722. - C. 336-340. -arXiv: 1212.6829.

A4. Bednyakov A., Pikelner A., Velizhanin V. Higgs self-coupling beta-function in the Standard Model at three loops 11 Nucl.Phys. - 2013. - Т. B875. - C. 552-565. -arXiv: 1303.4364.

A5. Bednyakov A., Pikelner A., Velizhanin V. Three-loop SM beta-functions for matrix Yukawa couplings // Phys.Lett. - 2014. - Т. B737. - C. 129-134. - arXiv: 1406.7171 [hep-ph].

A6. Bednyakov A., Pikelner A., Velizhanin V. Three-loop beta-functions and anomalous dimensions in the Standard Model // J.Phys.Conf.Ser. - 2014. - T. 523. - C. 012045. -arXiv: 1309.1643 [hep-ph],

A7. Bednyakov A., Pikelner A., Velizhanin V. Three-loop Higgs self-coupling beta-function in the Standard Model with complex Yukawa matrices // Nucl.Phys. — 2014. — Т. B879. — C. 256-267. - arXiv: 1310.3806 [hep-ph].

A8. Kniehl В., Pikelner A., Veretin O. Two-loop electroweak threshold corrections in the Standard Model 11 Nucl.Phys. - 2015. - Т. B896. - C. 19-51. - arXiv: 1503.02138 [hep-ph].

Список литературы

1. Ritbergen Т. van, Vermaseren J., Larin S. The Four loop beta function in quantum chromodynamics // Phys.Lett. - 1997. - Т. B400. - C. 379-384. - arXiv: hep-ph/ 9701390 [hep-ph].

2. Czakon M. The Four-loop QCD beta-function and anomalous dimensions // Nucl.Phys. — 2005. — Т. B710. — C. 485—498. — arXiv: hep-ph/0411261 [hep-ph].

3. Baikov P., Chetyrkin K., Kuhn J. Quark Mass and Field Anomalous Dimensions to 0(a\) // JHEP. - 2014. - T. 1410. - C. 76. - arXiv: 1402.6611 [hep-ph].

4. Gorishnii, S.G. and Latin, S.A. and Tkachov, F.V. and Chetyrkin, K.G. Five Loop Renormalization Group Calculations in the go* in Four-dimensions Theory // Phys.Lett. - 1983. - T. B132. - C. 351.

5. Kleinert, H. and Neu, J. and Schulte-Frohlinde, V. and Chetyrkin, K.G. and Larin, S.A. Five loop renormalization group functions of O(n) symmetric phi*?4 theory and epsilon expansions of critical exponents up to epsilon**5 // Phys.Lett. — 1991. — T. B272. — C. 39-44. — arXiv: hep-th/9503230 [hep-th],

6. Abbott L. The Background Field Method Beyond One Loop // Nucl.Phys. — 1981. — T. B185. - C. 189.

7. Vladimirov A. Method for Computing Renormalization Group Functions in Dimensional Renormalization Scheme // Theor.Math.Phys. — 1980. - T. 43. - C. 417.

8. Gorishnii, S.G. and Larin, S.A. and Surguladze, L.R. and Tkachov, F. V. Mincer: Program for Multiloop Calculations in Quantum Field Theory for the Schoonschip System // Comput.Phys.Commun. - 1989. - T. 55. — C. 381—408.

9. Steinhauser M. MATAD: A Program package for the computation of MAssive TAD poles // Comput.Phys.Commun. - 2001. - T. 134. - C. 335-364. - arXiv: hep-ph/0009029 [hep-ph].

nojiyneHO 30 uto.'ifl 2015 r.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 31.07.2015. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0.71. Тираж 100 экз. Заказ № 58598.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/