Алгебра Хопфа графов и перенормировки диаграмм Фейнмана тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В.

Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

МАЛЫШЕВ Дмитрий Владимирович

Алгебра Хопфа графов и перенормировки диаграмм

Фейнмана

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

/¿Р (Р^

УДК 530.145: 512

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории ноля физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: . д.ф.-м.н., профессор В. В. Белокуров

МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., член-корр. РАН И.В.Волович

МИРАН имени В.А.Стеклова, г. Москва

д.ф.-м.н., вед. н.с. В.А.Смирнов НИИЯФ МГУ имени Д.В. Скобельцына, г. Москва

Ведущая организация: . Объединенный институт ядерных исследований,

ЛТФ им. Н.Н.Боголюбова, г.Дубна

Защита состоится " 19Т мая 2005г. в /£/часов минут на заседании диссертационного совета К 501.001.17 в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, Физический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан: "19" апреля 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета

П.А.Поляков

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

В диссертации рассматривается проблема расходимости многопетлевых интегралов в квантовой теории поля. Для изучения этой проблемы используется алгебра Хопфа фейнмановских диаграмм. Метод алгебры Хопфа графов -это один из наиболее современных методов в физике высоких энергий, который позволяет более естественно, с математической точки зрения, связать процедуру вычитания расходимостей, т.е. R-операцию Боголюбова, и ренорм-группу. В целом интерес к алгебре Хопфа связан с возможностью применения в квантовой теории поля новых математических методов, таких как теория квантовых групп и метод деформационного квантования. Алгебра Хопфа графов позволяет по-новому взглянуть на структуру квантовой теории поля. Так, в диссертации показано, что с помощью алгебры Хопфа можно найти уравнения ренормгруппы для отдельных фейнмановских диаграмм, в то время как стандартные уравнения записываются для суммы диаграмм данного порядка. Таким образом, уравнения ренормгруппы в формализме алгебры Хопфа позволяют получить более детальную информацию, чем обычные уравнения.

Проблема расходимости фейнмановских интегралов была разрешена Боголюбовым и Парасюком в виде R-операции. С физической точки зрения решение проблемы расходимостей связано с существованием ренормгрупповой инвариантности, которая была открыта в работах Штюкельберга - Петерма-на и Гелл-Манна - Лоу. Всеобщее признание метод ренормгруппы получил после работ Боголюбова и Ширкова, которые исследовали структуру репорм-группы с математической точки зрения, а также дали более прозрачную физическую интерпретацию. Почти сразу после открытия ренормгруппа нашла широкое применение квантовой теории ноля (вычисление констант связи и аномальных размерностей операторов при больших энергиях) и статистической физике (свойства корреляционных функций вблизи критических точек). Один из наиболее впечатлительных результатов применения ренормгруппы -

это объяснение асимптотической свободы в теории сильных взаимодействий, данное Гроссом, Вильчеком и Политцером.

Пертурбативные вычисления, дополненные процедурой устранения рас-ходимостей, позволили достичь удивительного согласования теории с экспериментом. Тем не менее оставался вопрос о математической структуре R-операции и о ее связи с ренормгруппой с математической точки зрения. Ответ на этот вопрос был найден Коном и Краймером, которые показали, что в основе операции вычитания расходимостей лежит алгебра Хопфа графов.

Для описания R-операции Кон и Краймер используют понятие линейного пространства графов И. Это пространство является бесконечномерным линейным пространством, в котором базисные вектора помечены не индексом г = 1, 2, 3..., а фейнмановскими диаграммами 71, 72, 73...

Обычно базисные вектора обозначают теми же символами, что и соответствующие графы, т.е. просто пишут 7 вместо ёц,.

Основная операция необходимая для определения операции вычитания расходимостей - это копроизведение графов. Копроизведение является отображением из линейного пространства в тензорное произведение линейных пространств.

Фейнмановские интегралы можно воспринимать как функции на графах, поскольку для заданных внешних импульсов фейнмановский интеграл ставит в соответствие графу число. Таким образом, фейнмановские интегралы являются элементами дуального пространства Копроизведение в линейном пространстве задает произведение в дуальном пространстве, при этом перенормированный фейнмановский интеграл Я является произведением контрчлена С и фейнмановского интеграла Ж

Отметим, что произведение в формуле (2) имеет довольно сложную структуру, которая воспроизводит боголюбовскую операцию вычитания расходимостей. Умножение (2) является ассоциативным, но не коммутативным, поэтому

(1)

7

II — С * Р

(2)

можно определить нетривиальную алгебру Ли с коммутатором

Бета функция, как генератор ренормгрупповых преобразований, принадлежит этой алгебре Ли.

Кон и Край мер предложили рассматривать бегущую константу связи как элемент пространства при этом действие бета функции задает перенормировку константы связи. В диссертации предлагается рассмотреть действие бета функции не просто на эффективную константу связи, а на вершинную функцию. Как известно, эффективную константу связи в теории можно задать с помощью вершинной функции в точке нормировки (например в симметричной точке по внешним импульсам). Отличие вершинной функции состоит в том, что она определена для произвольных внешних импульсов, таким образом, уравнение ренормгруппы на вершинную функцию является более сильным, чем уравнение на бегущую константу связи. В диссертации показано, что уравнение ренормгруппы на вершинную функцию в пространстве позволяет найти ренормгрупповые уравнения на отдельные фейнмановские интегралы. Ранее подобные уравнения были выведены К. Г. Четыркиным из анализа сингулярностей в интегралах. Также в диссертации показано, что в теории ¡р4 с помощью обобщенных уравнений ренормгруппы можно вычислить ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов при произвольных внешних импульсах.

Кроме внешних импульсов сами вершины могут иметь дополнительную структуру. Так в теориях с матричными полями фейнмановские диаграммы имеют вид ленточных графов. Каждый пропагатор в ленточном графе состоит из двух линий, при этом каждой линии соответствует свой матричный индекс. Если в теории есть только односледовые взаимодействия, то в вершинах диаграмм разрешены только циклические перестановки линий (в отличие от произвольных перестановок в обычных графах). Наличие меньшего количества симметрии накладывает больше ограничений на структуру перенорми-

Аля определения алгебры Ли также необходимо, чтобы соответствующая алгебра Хопфа была градуированной. Для алгебры Хопфа графов в качестве градуировки можно выбрать число петель графа

ровок. Кроме того, перенормировки могут поменять вид взаимодействия, так если в затравочном лагранжиане были только односледовые взаимодействия, то в перенормированном лагранжиане могут появиться многоследовые взаимодействия. Задача состоит в том, чтобы инвариантно описать матричную структуру перенормировок, т.е. найти алгебру Хопфа ленточных диаграмм. Эта задача является первым шагом на пути к построению алгебры Хопфа графов в теориях с неабелевыми калибровочными полями, т.е. в теориях Янга-Миллса. Отличие матричных теорий от теорий Янга-Миллса заключается в существовании калибровочной инвариантности, с которой алгебра Хопфа должна быть согласована. Следовательно, алгебра Хопфа в теории Янга-Миллса не свободна, а с дополнительными связями, задаваемыми тождествами Славнова-Тейлора.

Интерес к перенормировкам ленточных графов связан еще и с тем, что ленточные графы соответствуют поверхностям с границей, а вклад диаграммы 7 пропорционален ЛГ*1', где х-у - эйлерова характеристика соответствующей поверхности, а N размер матриц. Аналогичное разложение по родам поверхностей возникает в теории струн, где ряд по струнной константе связи - это ряд по родам мирового листа струны. Поскольку ленточные графы соответствуют двумерным поверхностям, то алгебра Хопфа ленточных графов должна соответствовать алгебре Хопфа двумерных поверхностей, которая может быть полезна при изучении теории струн.

1.2 Цель работы

Изучение уравнений ренормгруппы, записанных в формализме алгебры Хопфа графов.

• Решение полученных уравнений и сравнение со стандартными уравнениями ренормгруппы.

• Исследование ведущих логарифмов для отдельных фейнмановских интегралов.

Построение алгебры Хопфа ленточных графов.

1.3 Научная новизна

• Выписаны уравнения ренормгруппы для теории <р4 в формализме алгебры Хопфа графов.

• Найдены ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов с помощью однопетлевых уравнений ренормгруппы.

• Предложена интерпретация новых уравнений ренормгруппы в виде ре-нормгрупповых уравнений в теории с бесконечным набором полей.

Построена алгебра Хопфа ленточных графов.

1.4 Практическая и научная ценность

Показано, что по сравнению со стандартными уравнениями ренормгруп-пы новые уравнения позволяют получить более детальную информацию о вершинных функциях.

• Предложен новый метод нахождения коэффициентов перед ведущими логарифмами для отдельных фейнмановских интегралов как в симметричных, так и в несимметричных точках.

Алгебра Хопфа ленточных графов может быть использована для изучения ренормгруппы в теориях с матричными полями и в неабелевых калибровочных теориях.

1.5 Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на конференции Ломоносов 2002, МГУ, Москва; на конференции Calc'2003, Дубна: на семинаре в университете города Майнц, Германия; на семинаре в университете города Уппсала, Швеция; на семинаре в ИЯИ, Москва; на семинаре в ИТ-ЭФ, Москва; на школе-семинаре Волга 16'04, Казань и на семинаре в ОИЯИ, Дубна.

По материалам диссертации опубликовано 4 работы.

1.6 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Список литературы содержит 64 наименования. Общий объем диссертации составляет 117 страниц.

2 Содержание диссертации

Во введении рассматривается история развития методов ренормгруппы в квантовой теории поля, современные приложения ренормгруппы, а также актуальность выбранной темы.

В первой части рассмотрена проблема расходимости фейнмановских интегралов. В качестве примера изучается безмассовая скалярная теория с взаимодействием </?4 в 4-мерном евклидовом пространстве. Расходимости имеют локальную структуру в координатном пространстве. Аналогичная ситуация возникает в теории обобщенных функций, где процедура устранения локальных бесконечностей называется регуляризацией функционалов. В диссертации рассматриваются фейнмановские интегралы в параметрическом представлении. Показано, что устранение расходимости в однопетлевом интеграле аналогично регуляризации функционала со степенной особенностью в нуле.

Во второй части исследуется комбинаторика R-операции. Сначала показано, что процедура устранения расходимостей имеет структуру алгебры Хопфа графов Далее выписана алгебра Ли дуальная к алгебре Хопфа графов, и найдены уравнения ренормгруппы в терминах данной алгебры Ли. Четырехточечная вершинная функция ¥ рассматривается как вектор в дуальном пространстве

здесь сумма идет по одночастично неприводимым графам с четырьмя внеш-нимилиниями, п7 - число петель графа 7, 37 симметрийный фактор, К, - значение фейнмановского интеграла на графе а символ стоящий в конце, означает базисный вектор в пространстве

В однопетлевом приближении нет Z-факторов, а также перенормировок массы, поэтому уравнения Каллана-Симанчика имеют следующий вид

dTF + ¡3 о F = 0.

(5)

производная действует на координаты, т.е. на фейнмановские интегралы а оператор действует на базисные вектора с помощью вставки од-

■ 7'

нопетлевых диаграмм. Обратим внимание, что левая часть в уравнении (5) имеет вид ковариантной производной от F, при этом дт - это обычная производная, а бета функция 0 - это связность, которая описывает изменение базисных векторов при движении вдоль параметра т — log/А

В третьей части рассмотрено применение обобщенных уравнений репорм-группы. В качестве примера изучаются ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов в симметричной точке. Пусть 7„ - п-петлевой граф с четырьмя внешними ребрами, тогда лидирующий логарифм в фейн-мановском интеграле равен

Сначала коэффициент с(7) найден с помощью прямой оценки фейнмановских интегралов в виде суммы по максимальным деревьям расходящихся подграфов

, . ^ 1 1

(7)

пъ п,ь

суммирование идет по - максимальным деревьям с корнем, соответствующим расходящимся подграфам - число петель в графе Затем из однопетлевого уравнения ренормгруппы (5) выведено уравнение на отдельные фейнмановские интегралы

(8)

и показано, что можно коэффициент можно получить из уравнений ре-нормгруппы в виде рекуррентного соотношения, выражающего главный ло-

гарифм для -петлевой диаграммы через -петлевые диаграмм

где -петлевая диаграмма, - однопетлевая поддиаграмма в

петлевая диаграмма, полученная стягиванием поддиаграммы в точку. Суммирование производится по всем возможным п-петлевым диаграммам 7„, которые могут быть получены стягиванием однопетлевых диаграмм в

Связь между рекурсивной формулой и суммой по деревьям аналогична связи рекурсивного определения контрчленов и определения с помощью суммы по лесам. Рассмотрено несколько примеров применения рекурсивной формулы и формулы с суммой по деревьям. Далее найдено решение уравнения ренормгруппы в виде экспоненты от бета-функции и показано явно, что экспонента от однопетлевой бета-функции задает перенормированную вершинную функцию в главном логарифмическом приближении. В конце этой части на примере теории с двумя скалярными полями проверяется предположение, что новые уравнения ренормгруппы - это максимальная информация, которую можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности, в том смысле, что для инвариантности любой безмассовой скалярной теории достаточно выполнения этих уравнений, и, с другой стороны, что уравнения ренормгруппы в теории с бесконечным набором полей эквивалентны обобщенным уравнениям ренормгруппы.

В четвертой части найдены ведущие логарифмические асимптотики фей-нмановских интегралов в несимметричных точках. Сначала ведущие логарифмы вычислены рекурсивно из уравнений ренормгруппы, а затем с помощью паркетного приближения. В качестве примера рассмотрен двухпетлевой интеграл. Используя паркетное приближение, также заново выведен результат для симметричной точки, выраженный через сумму по деревьям.

В пятой части найдено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов на примере матричной теории с взаимодействием Проблема состоит в том, что ленточные графы имеют меньше симметрии, чем обычные.

1п'~1п + 1/Ъ

а именно, в каждой вершине разрешены только циклические перестановки ребер (в более общем случае многоследовых взаимодействий ребра в вершинах разбиваются на группы, и циклические перестановки разрешены внутри каждой из групп). "Уменьшение числа симметрии связано с появлением дополнительной структуры, 1/V разложения. Алгебра Хопфа должна быть согласована с этой структурой. При изучении алгебры Хопфа использована связь между ленточными графами и поверхностями. В теории с одно-следовыми взаимодействиями есть взаимнооднозначное соответствие между ленточными графами и поверхностями с клеточным разбиением. В случае многоследовых взаимодействий возникает разбиение на сферы с отверстиями. В диссертации построена алгебра Хопфа поверхностей с разбиением на сферы с отверстиями. Некоторые наиболее сложные аксиомы алгебры Хопфа доказаны в приложениях.

В заключении подводятся итоги проделанной работы.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Malyshev D. Hopf algebra of ribbon graphs and renormalization// JHEP -2002, T.O5, N 013, 29 страниц.

[2] Малышев Д.В. Обобщение 1/N разложения в теориях с матричными полями// Вестник Московского университета. Серия 3. Физика, астрономия. 2002, N6, с.26-29.

[3] Malyshev D. Leading RG logs in phi**4 theory// Phys. Lett. В - 2004, т.578, c.231-234

[4] Малышев Д.В. Алгебра Хопфа графов и ренормгрупповые уравнения// ТМФ. 2005, т.143, N 1, с. 22-32.

мм

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 48-100-05 '

( 144

19 МАЙ Ж

Введение

1 Расходимости и перенормировки

1.1 Расходимости фейнмановских интегралов.

1.2 Перенормировки и регуляризация обобщенных функций

2 Определение алгебры Хопфа

2.1 Линейное пространство графов.

2.2 Алгебра Хопфа графов и R-операция Боголюбова.

2.2.1 Л-операция Боголюбова.

2.2.2 Алгебра Хопфа графов

2.2.3 Алгебраическая Я-операция.

2.3 Алгебра Ли графов и ренормгруппа.

3 Лидирующие логарифмы в симметричной точке

3.1 Вычисление лидирующих логарифмов.

3.2 Двухпетлевой интеграл

3.3 Прямая оценка фейнмановских интегралов.

3.4 Обощенные уравнения РГ в теории ср4.

3.5 Использование рекурсии и древесной формулы.

3.6 Связь с диффеоморфизмами.

3.7 Многозарядные теории

4 Ведущие логарифмы в произвольной точке и паркетное приближение

4.1 Ренормгрупповое вычисление.

4.2 Паркетное приближение.

4.3 Паркетное приближение и главные логарифмы.

4.4 Суммирование главных логарифмов в несимметричных точках

5 Алгебра Хопфа ленточных графов

5.1 Ленточные графы и 1/N разложение.

5.2 Ленточные графы и поверхности.

5.3 Алгебра Хопфа поверхностей.

5.4 Функции на поверхностях и перенормировки.

Одна из самых неприятных проблем в квантовой теории поля - расходимость фейнмановских интегралов. Эта проблема была разрешена Боголюбовым и Парасюком в виде R-oперации [1, 2, 3]. С физической точки зрения возможность разрешения проблемы расходимостей связана с существованием ренормгрупповой инвариантности [1,4]. Эта инвариантность была открыта в работах Штюкельберга - Петермана [5] и Гелл-Манна - Лоу [6]. А всеобщее признание метод ренормгруппы получил после работ Боголюбова и Ширко-ва, которые исследовали структуру ренормгруппы с математической точки зрения, а также дали более прозрачную физическую интерпретацию [1, 7]. Именно их работы позволили связать проблему устранения расходимостей и ренормгрупповую инвариантность, т.е. представить вычитание расходимостей в виде ненаблюдаемых перенормировок [1, 4, 8]. Позднее доказательство о перенормируемости было усовершенствовано Хеппом [9]. Рекуррентные соотношения для контрчленов были разрешены Завьяловым и Степановым [10], а затем представлены Циммерманом в виде суммы по лесам [11].

К. Вильсон предложил альтернативную интерпретацию ренормгруппы, основанную на аналогии с преобразованием Каданова в статистической физике [12]. Изменение масштаба теории аналогично преобразованию подобия, а уравнения РГ описывают системы с самоподобием [13].

Ренормгруппа наиболее эффективна при изучении асимптотических свойств теорий. Так, с использованием уравнений РГ была найдена асимптотическая свобода в теориях Янга-Миллса [14, 15]. В квантовой теории поля точные ответы получить очень сложно, поэтому, как правило, изучаются либо асимптотические пределы, либо разложения по малым параметрам. В теории возмущений физические величины представляют в виде рядов по константе связи. Если константа связи не мала, необходимо искать другие параметры разложения. Например, в теориях с матричными полями можно использовать l/N-разложение [16]. Но даже если константа связи мала, может встретиться другая проблема - большие логарифмы отношений импульсов. При этом произведение константы связи на логарифм становится величиной порядка единицы. В теориях с ренормгрупповой инвариантностью можно перейти в новую точку нормировки, где нет больших отношений импульсов [1, 4, 17]. Эта процедура эквивалентна суммированию ведущих логарифмов [1, 18].

Ведущие логарифмы - объект достойный изучения со многих точек зрения. С точки зрения эксперимента они вносят основной вклад в амплитуды рассеяния при больших энергиях. С точки зрения теории это довольно простой объект, который можно вычислить либо непосредственно, либо с помощью ренормгруппы. Ведущие логарифмы - это своего рода теоретическая лаборатория, которая позволяет тестировать различные методы вычислений и сравнивать ответы с предсказаниями ренормгруппы. Недостаток уравнений ренормгруппы в том, что они фиксируют поведение только суммы диаграмм данного порядка. В диссертации показано, что обобщенные уравнения РГ, следующие из алгебры Хопфа графов, являются более сильными и позволяют находить асимптотики отдельных фейнмановских диаграмм. При этом результаты ренормгрупповых вычислений совпадают с прямыми оценками фейнмановских интегралов.

Нахождение асимптотик фейнмановских интегралов - это одна из наиболее важных проблем в квантовой теории поля. Общие оценки на степени импульсов и логарифмов для фейнмановских интегралов были установлены в знаменитой теореме Вайнберга [19]. В силу своей общности оценки на степени логарифмов довольно грубы, поэтому в каждой отдельной теории необходимо дополнительное рассмотрение. Например, в теории мезонов точные асимптотики фейнмановских интегралов можно найти по топологии диаграмм [20]. Наряду с асимптотиками фейнмановских интегралов при больших импульсах, физический интерес представляют также разложения по малым импульсам и массам частиц [21]. Кроме ультрафиолетовых расходимостей в теориях с безмассовыми полями существуют инфракрасные расходимости. Они приводят к появлению дополнительных больших логарифмов, так называемых двойных логарифмов Судакова. Суммирование судаковских логарифмов можно найти в [4, 22, 23], а определение процедуры устранения инфракрасных расходимостей было дано в работах [24, 25]. Модификация R-операции на случай инфракрасных расходимостей была найдена Смирновым и Четыркиным [26]. Общие результаты об асимптотических разложениях в пространстве Минковского, а также нахождение судаковских логарифмов методом областей можно найти в работах [27, 28, 29]. Среди современных методов в многопетлевых вычислениях можно выделить использование преобразования Меллина [29, 30], интегрирование по частям и сведение к известным интегралам [31], использование теории обобщенных функций [32] и алгебры Хопфа графов.

Алгебра Хопфа графов появилась как формальная структура, описывающая R-операцию Боголюбова [33, 34]. Это открытие особенно интересно с теоретической точки зрения, поскольку алгебра Хопфа графов дуальна к алгебре Ли, которая описывает диффеоморфизмы в пространстве констант связи, т.е. в такой формулировке операция устранения расходимостей естественным образом связана с перенормировками констант связи. Кроме того, существование структуры алгебры Хопфа позволяет находить аналогии с математическими моделями такими как деформационное квантование [35], некоммутативная геометрия [36], итерированные интегралы [37], где используются алгебры Хопфа. С практической точки зрения алгебра Хопфа помогает удобно формализовать процедуру устранения расходимостей для вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов [38, 39].

Целью диссертации является изучение уравнений ренормгруппы, связанных с алгеброй Хопфа графов. Показано, что эти уравнения эквивалентны ренормгрупповым уравнениям на отдельные фейнмановские интегралы [40], т.е. являются нетривиальным обобщением обычных ренормгрупповых уравнений. С помощью обобщенных уравнений ренормгруппы вычислены ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов при произвольных внешних импульсах.

Интересной задачей является применение алгебры Хопфа в теориях с неа-белевыми калибровочными полями. В диссертации сделан первый шаг в этом направлении: найдено обобщение алгебры Хопфа на теории с матричными полями. В таких теориях диаграммы Фейнмана изображают в виде ленточных графов, которые обладают меньшим количеством симметрий, чем обычные графы. Отличие матричных теорий от теорий Янга-Миллса заключается в существовании калибровочной инвариантности, с которой алгебра Хопфа должна быть согласована. Следовательно, алгебра Хопфа в теории Янга-Миллса не свободна, а с дополнительными связями, задаваемыми тождествами Славнова-Тейлора. Алгебра Хопфа, согласованная с калибровочной инвариантностью в абелевых теориях найдена в работе [41].

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Вывод уравнений ренормгруппы в формализме алгебры Хопфа графов для теории <рА.

2. Вычисление коэффициентов перед ведущими логарифмами для отдельных фейнмановских диаграмм в евклидовой теории </?4 из уравнений ренормгруппы в симметричных и несимметричных точках относительно внешних импульсов.

3. Установление связи обобщенных уравнений ренормгруппы с ренормгруп-повыми уравнениями в теории с бесконечным набором полей и констант связи.

4. Установление в вывод структуры алгебры Хопфа для ленточных графов.

Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на конференции Ломоносов 2002, МГУ, Москва; на конференции Calc'2003, Дубна; на семинаре в университете города Майнц, Германия; на семинаре в университете города Уппсала, Швеция; на семинаре в ИЯИ, Москва; на семинаре в ИТЭФ, Москва; на школе-семинаре Волга 16'04, Казань и на семинаре в ОИЯИ, Дубна.

Результаты диссертации опубликованы в работах [42, 43, 44, 45], а также [46, 47].

Структура диссертации имеет следующий вид. В первой части рассмотрена проблема расходимости фейнмановских интегралов. В качестве примера изучается безмассовая скалярная теория с взаимодействием </?4 в 4-мерном евклидовом пространстве. Расходимости имеют локальную структуру в координатном пространстве. Аналогичная ситуация возникает в теории обобщенных функций, где процедура устранения локальных бесконечностей называется регуляризацией функционалов [48]. В диссертации рассматриваются фейнмановские интегралы в параметрическом представлении. Показано, что устранение расходимости в однопетлевом интеграле аналогично регуляризации функционала со степенной особенностью в нуле.

Во второй части исследуется комбинаторика Я-операции. Сначала показано, что процедура устранения расходимостей имеет структуру алгебры Хопфа графов. Далее выписана алгебра Ли дуальная к алгебре Хопфа графов, и найдены уравнения ренормгруппы в терминах данной алгебры Ли.

В третьей части рассмотрено применение обобщенных уравнений ренормгруппы. В качестве примера изучаются ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов в симметричной точке. Сначала ответ получен с помощью прямой оценки фейнмановских интегралов, а потом показано, что эти результаты можно получить из уравнений ренормгруппы. При этом ренормгруппа дает рекуррентное соотношение, выражающее главный логарифм для (п + 1)-петлевой диаграммы через n-петлевые диаграмм, а прямая оценка фейнмановских интегралов дает ответ в виде суммы по максимальным деревьям расходящихся подграфов. Связь между рекурсивной формулой и суммой по деревьям аналогична связи рекурсивного определения контрчленов и определения с помощью суммы по лесам [11]. Рассмотрено несколько примеров применения рекурсивной формулы и формулы с суммой по деревьям. Далее найдено решение уравнения ренормгруппы в виде экспоненты от бета-функции и показано явно, что экспонента от однопетлевой бета-функции задает перенормированную вершинную функцию в главном логарифмическом приближении. В конце этой части исследуется вопрос, какую максимальную информацию можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности и чего достаточно для существования этой симметрии в теории. А именно, показано, что в теории с двумя скалярными полями ренормгруппо-вые уравнения на двухпетлевые интегралы совпадают с обобщенными уравнениями ренормгруппы. Таким образом, новые уравнения ренормгруппы -это максимальная информация, которую можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности, в том смысле, что для инвариантности любой безмассовой скалярной теории достаточно выполнения этих уравнений, а с другой стороны, что уравнения ренормгруппы в теории с бесконечным набором полей эквивалентны обобщенным уравнениям ренормгруппы.

В четвертой части найдены ведущие логарифмические асимптотики фейнмановских интегралов в несимметричных точках. Сначала ведущие логарифмы вычислены рекурсивно из уравнений ренормгруппы, а затем с помощью паркетного приближения. В качестве примера рассмотрен двухпетлевой интеграл. Используя паркетное приближение, также заново выведен результат для симметричной точки, выраженный через сумму по деревьям.

В пятой части найдено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов на примере матричной теории с взаимодействием Ф4. Проблема состоит в том, что ленточные графы имеют меньше симметрий, чем обычные, а именно, в каждой вершине разрешены только циклические перестановки ребер (в более общем случае многоследовых взаимодействий ребра в вершинах разбиваются на группы, и циклические перестановки разрешены внутри каждой из групп). Уменьшение числа симметрий связано с появлением дополнительной структуры, 1/N разложения. Алгебра Хопфа должна быть согласована с этой структурой. При изучении алгебры Хопфа использована связь между ленточными графами и поверхностями. В теории с односледовы-ми взаимодействиями есть взаимнооднозначное соответствие между ленточными графами и поверхностями с клеточным разбиением. В случае многоследовых взаимодействий возникает разбиение на сферы с отверстиями. Нам будет более удобно построить алгебру Хопфа поверхностей с разбиением на сферы с отверстиями. Некоторые наиболее сложные аксиомы алгебры Хопфа доказаны в приложениях.

Благодарности

Я благодарю моего научного руководителя В. В. Белокурова за поддержку в работе над диссертацией. Особенную признательность хочется высказать недавно умершему К. Г. Селиванову.

Я благодарен за научные обсуждения и дискуссии на семинарах ИТЭФ Э. Т. Ахмедову, А. А. Герасимову, А. С. Горскому, А. С. Лосеву, А. Д. Миронову, А. Ю. Морозову и Б. J1. Йоффе; а также А. Александрову, Н. Амбург, Р. Анно, Д. Васильеву, В. Долгушеву, А. Зотову, С. Клевцову, С. Локтеву, В. Лысову, Д. Мельникову, В. Побережному, А. Соловьеву, К. Сарайкину, В. Пестуну и А. Червову.

Также я хотел бы поблагодарить А. А. Владимирова, И. В. Воловича, И. Ф. Гинзбурга, С. Грооте, А. П. Исаева, Д. И. Казакова, М. Ю. Калмыкова, А. М. Полякова и В. А. Смирнова за ценные обсуждения различных вопросов, связанных с диссертацией.

Заключение

В диссертации рассматривается применение алгебры Хопфа графов к изучению перенормировок в квантовой теории поля. Показано, что уравнения ренормгруппы, выписанные в формализме алгебры Хопфа, совпадают с уравнениями ренормгруппы для отдельных фейнмановских интегралов. С помощью обобщенных уравнений ренормгруппы найдены асимптотики отдельных фейнмановских интегралов для произвольных внешних импульсов. Отметим, что стандартными методами можно найти ведущие логарифмы только для суммы фейнмановских интегралов данного порядка по константе связи в симметричной точке относительно внешних импульсов. Вычисления сравниваются с результатами вычислений в паркетном приближении. Найдена физическая интерпретация уравнений ренормгруппы, следующих из алгебры Хопфа, в терминах многозарядных теорий. Также в работе построено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов.

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: "Наука", 3 изд., 1976, 480 стр.

2. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. М.: "Наука", 2 изд., 1993, 336 стр.

3. Боголюбов Н.Н. Изв. АН СССР, Сер. физ., 1955, 19, 237. Боголюбов Н.Н., Парасюк О.С. - ДАН СССР, Сер. физ., 1955, 100, 25, 429.

4. N. N. Bogolubov, О. Parasiuk; Acta Math. 97, 227 (1957).

5. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Изд-во "РХД", Москва Ижевск, 2001, 784 стр.

6. Е. С. Stueckelberg, A. Petermann; Helv. Phys. Acta 24, 317 (1951). E. С. Stueckelberg, A. Petermann; Helv. Phys. Acta 26, 499 (1953).

7. M. Gell-Mann and F. E. Low; Phys. Rev. 95, 1300 (1954).

8. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. ДАН СССР, Сер. физ., 1955, 103, 203. N. N. Bogolyubov and D. V. Shirkov, Nuovo Cim. 3, 845 (1956).

9. Райдер JI. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987, 512 стр.

10. К. Нерр, Commun. Math. Phys. 2, 301 (1966).

11. Завьялов О.И., Степанов Б.М. ЯФ, 1965, 1, 922.

12. W. Zimmermann, Commun. Math. Phys. 15, 208 (1969) Lect. Notes Phys. 558, 217 (2000)].

13. K.G.Wilson, J.Kogut, Phys. Repts. 12C, 75 (1974)

14. Д. В. Ширков, ТМФ 60, 218 (1984).

15. В. Ф. Ковалев, Д. В. Ширков, ТМФ, 121, 66 (1999).

16. D. J. Gross, F. Wilczek; Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).

17. H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

18. G. 't Hooft; Nucl. Phys. В 72, 461-473 (1974).

19. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. ДАН СССР, Сер. физ., 1955, 103, 391.

20. Коллинз Дж., Перенормировка, М.:Мир, 1988, 446 стр.

21. S. Weinberg, Phys. Rev. 118, 838 (1960).

22. Гинзбург И.Ф., Ефремов А.В., Сербо В.Г., ЯФ 9, 451 (1969). Буднев В.М., Гинзбург И.Ф., ТМФ 3, 2, 171 (1970).

23. A. I. Davydychev, V. A. Smirnov and J. В. Tausk, Nucl. Phys. В 410, 325 (1993) arXiv:hep-ph/9307371],

24. V. A. Smirnov, Mod. Phys. Lett. A 10,1485 (1995) arXiv:hep-th/9412063., V. A. Smirnov, Phys. Lett. В 394, 205 (1997) [arXiv:hep-th/9608151].

25. Судаков В.В. ЖЭТФ 30, 87 (1956).

26. J. Frenkel and J. C. Taylor, Nucl. Phys. В 116, 185 (1976). В. В. Белокуров, Н. И. Усюкина, ТМФ 44 (1980) 147].

27. S. Weinberg, Phys. Rev. 140, В516 (1965).

28. Е. R. Speer, Annales Poincare Phys. Theor. 23, 1 (1975). J. H. Lowenstein, Commun. Math. Phys. 47, 53 (1976).

29. Четыркин К.Г., Смирнов В.А. /Г-операция: техника ренормгрупповых вычислений и другие приложения. Дубна, 1988.

30. К. G. Chetyrkin, MPI-PH-91-13

31. М. Beneke and V. A. Smirnov, Nucl. Phys. В 522, 321 (1998) arXiv:hep-ph/9711391].

32. V. A. Smirnov and E. R. Rakhmetov, ТМФ 120, 870 (1999) arXiv:hep-ph/9812529.

33. V. A. Smirnov, Phys. Lett. В 465, 226 (1999) arXiv:hep-ph/9907471.

34. Smirnov V. A. Renormalization and asymptotic expansions. Basel; Boston: Verlag (1991) 380 p.

35. Smirnov V.A. Applied Asymptotic Expansions in Momenta and Masses. Berlin, Germany: Springer (2002) 262 p.

36. G. Heinrich and V. A. Smirnov, arXiv:hep-ph/0406053. V. A. Smirnov, arXiv:hep-ph/0406052.

37. А. А. Владимиров, ТМФ 43, 417 (1980).

38. К. G. Chetyrkin and F. V. Tkachov, Nucl. Phys. В 192, 159 (1981).

39. A. N. Kuznetsov, F. V. Tkachov and V. V. Vlasov, hep-th/9612037.

40. A.Connes, D.Kreimer; Commun.Math.Phys. 210, 249-273 (2000); hep-th/9912092.

41. A.Connes, D.Kreimer; Commun.Math.Phys. 216, 215-241 (2001); hep-th/0003188.

42. L. M. Ionescu and M. Marsalli, hep-th/0307112.

43. A. Connes and D. Kreimer, Commun. Math. Phys. 199, 203 (1998), hep-th/9808042.

44. D. Kreimer, Adv. Theor. Math. Phys. 3, 3 (2000) Adv. Theor. Math. Phys. 3, 627 (1999)] hep-th/9901099.

45. D. Kreimer and R. Delbourgo, Phys. Rev. D 60, 105025 (1999), hep-th/9903249.

46. D. J. Broadhurst and D. Kreimer, Phys. Lett. В 475, 63 (2000), hep-th/9912093.

47. K. G. Chetyrkin, Nuovo Cim., ЮЗА, 1653 (1990).

48. И.В. Волович, Д.В. Прохоренко, Труды мат. института им. В. А. Стек-лова, 147, 166 (2004).

49. D.Malyshev, JHEP 0205, 013 (2002); hep-th/0112146.

50. Д.В.Малышев, Вестник Московского университета. Серия 3. 6 26, (2002).

51. D. Malyshev, Phys. Lett. В 578, 231 (2004), hep-th/0307301.

52. D. V. Malyshev, ТМФ. 143, N 1, с. 22-32 (2005).

53. D. Malyshev, препринт ITEP-TH-37/01.

54. D. Malyshev, hep-th/0402074.

55. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Изд-во "Добросвет", М. 2000, 412 стр.

56. A.Gerasimov, A.Morozov, K.Selivanov, Int.J.Mod.Phys.Al6:1531-1558,2001, hep-th/0005053

57. Ициксон К., Зюбер Ж.-В. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1984, т. 1, 448 стр.; т. 2, 400 стр.

58. G. 't Hooft, М. Veltman; Nucl. Phys. B44, 189-213 (1972).

59. G. 't Hooft; Nucl. Phys. В 61, 455 (1973).

60. Завьялов О.И. Перенормированные диаграммы Фейнмана. М.: "Наука", 1979, 320 стр.

61. Овсянников Л.В. ДАН СССР, 109, 1956.

62. С. G. . Callan, Phys. Rev. D 2, 1541 (1970).

63. К. Symanzik, Commun. Math. Phys. 18, 227 (1970).

64. A. Connes and D. Kreimer, Annales Henri Poincare 3, 411 (2002), hep-th/0201157.

65. Дятлов И.Т., Судаков B.B., Тер-Мартиросян К.А. ЖЭТФ 32, 767 (1957).

66. D. Kreimer, Commun. Math. Phys. 204, 669 (1999), hep-th/9810022.

67. A. Connes and D. Kreimer, Commun. Math. Phys. 199, 203 (1998), hep-th/9808042.

68. A.Connes, H.Moscovici, Commun.Math.Phys. 198, 199 (1998); math.dg/9806109.

69. Поляков A.M. ЖЭТФ 57, 271 (1969)

70. A. M. Polyakov, "Gauge Fields And Strings," Harwood (1987) 301p.,

71. M. B. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, "Superstring Theory." Cambridge Univ. Pr. 469p, (1987),

72. Морозов А.Ю. Теория струн что это такое? УФН 162, 83 (1992). J. Polchinski, "String theory." Cambridge Univ. Pr. (1998) 402p.

73. J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998) arXiv:hep-th/9711200].

74. E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998) arXiv:hep-th/9802150. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. В 428, 105 (1998) [arXiv:hep-th/9802109].

75. E. Witten, arXiv:hep-th/0112258.

76. О. Aharony, M. Berkooz and E. Silverstein, JHEP 0108, 006 (2001) arXiv:hep-th/0105309.