Некоторые алгебраические методы в моделях квантовой теории поля и теория перенормировок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

На правах рукописи

Прохоренко Дмитрий Владимирович

Некоторые алгебраические методы в

моделях квантовой теории поля и теория перенормировок

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в отделе Математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель — член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук И. В. Волович.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

А. П. Исаев;

доктор физико-математических наук, профессор О. Г. Смолянов. Ведущая организация — Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 2А е? 2006 года^У^Ь час. на заседании

диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им.

В. А. Стеклова РАН по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан: ^51 лТЗ^К 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-матемматических наук Ю. Н. Дрожжинов.

Общая характеристика работы

Актуальность темы:

Центральным объектом в квантовой теории поля является 5-матрица. Однако, во многих случаях, при изучении моделей с нестабильными состояниями, в теории твердого тела, квантовой оптике важно поведение оператора эволюции на больших, но конечных временах при малых константах связи. Этот режим интересен, например, для оценки времени релаксации атома к основному состоянию, для вывода мастер-уравнения Паули и т. д.

Поведение оператора эволюции в таком режиме исследовалось многими авторами. H. Н. Боголюбовым рассмотрен вопрос об установлении термодинамического равновесия в системе, состоящей из гармонического осциллятора, взаимодействующего посредством квадратичного взаимодействия с термостатом, состоящим из осцилляторов. JI. Ван Хов (L. van Hove) рассмотрел оператор эволюции в пределе Л -* 0, i оо, \Н = const, где t — время, Л — константа связи. И. Пригожин (I. Prigogin) с сотрудниками применял предел Ван Хова для вывода кинетических уравнений.

Изучение асимптотического поведения оператора эволюции для квантовой электродинамики проводилось П. П. Кулишем и Л. Д. Фаддеевым в связи с проблемой инфракрасных расходимостей.

Другой важный момент. Большинство элементарных частиц нестабильны, что затрудняет определение для них матрицы рассеяния и делает задачу изучения асимптотики оператора эволюции нетривиальной. Унитарное представление группы Пуанкаре, соответствующее нестабильным частицам, было построено Г. Заллером (Н. Salier). Исследование матричных элементов оператора эволюции для одной модели квантовой теории поля было произведено Л. Майани (L. Maiani) и М. Теста (M. Testa). Новые предписания перенормировки волновой функции, связанные с выбором комплексной точки вычитания, предложены Я. Чжоу (Y. Zhou).

Изучение поведения систем на больших временах и константах связи привело к возникновению метода стохастического предела в работах Л. Аккарди (L. Accardy), Ю. Г. Jly (Yu. G. Lu), И. В. Воловича. Этот метод состоит в нахождении и исследовании квантовых стохастических уравнений для оператора эволюции.

"РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ J 2 БИБЛИОТЕКА |

С.-Петербург j

ОЭ '¿«ußäbitfl?, 1

В работе И. Я. Арефьевой и И. В. Воловича была выведена общая формула, описывающая вакуумный матричный элемент оператора эволюции для гамильтонианов с гладким взаимодействием (ЛВС-формула). Эта формула была выведена только для гамильтонианов без нестабильных состояний, а в случае наличия нестабильных состояний были проделаны вычисления во втором порядке по константе связи.

В свете вышесказанного представляется очевидным, что исследование динамики при больших временах квантовых систем с нестабильными состояниями — глубокая и важная задача.

С другой стороны, с момента создания квантовой механики внимание многих исследователей привлекала алгебраическая формулировка основных положений квантовой теории. Основными объектами в этом подходе являются некоторая С*-алгебра или алгебра фон Неймана наблюдаемых и множество состояний на ней.

В этом подходе для описания состояния системы в статистическом равновесии в термодинамическом пределе используют так называемые состояния Кубо — Мартина — Швингера (КМШ-состояния), впервые появившиеся в физической литературе. Эти состояния являются аналогами Гиббсовых состояний в классической статистической механике. В дальнейшем КМШ-состояния исследовались многими авторами, такими, как Р. Хааг (R. Haag), М. М. Гугенгольц (М. М. Hugenholtz), М. Винник (М. Vinnik) и многими другими. Недавно А. Конн (А. Connes) с сотрудниками исследовали КМШ-состояния, возникающие в задачах теории чисел и некоммутативной геометрии.

Представляет интерес исследование КМШ-состояний на алгебрах, имеющих физическое происхождение. В работах Л. Аккарди и И. В. Воловича при исследовании квантовых стохастических уравнений для ряда систем была введена так называемая алгебра квадратов белого шума. КМШ-состояния на этой алгебре исследовались Л. Аккарди, Г. Г. Амосовым, У. Францем (U. Franz), М. Скейдом (М. Skeide)

Важной темой в настоящей диссертации является исследование и использование методов теории перенормировок в различных контекстах.

Математически корректная теория перенормировок (теория R-операции) была построена Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком, она изложена в известной монографии Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова. К. Хепп (К. Нсрр) усовершенствовал предложенные ими доказательства.

Недавно А. Конн и Д. Креймер (D. Kreimer) предложили

алгебраический подход к теории перенормировок в модели скалярного квантового поля. Они ввели на диаграммах Фейнмана скалярной теории <р3 в 6-мерном пространстве-времени структуру алгебры Хопфа. Алгебры Хопфа, как известно, играют важную роль в теории квантовых групп и других некоммутативных теориях. Фейнмановские амплитуды в этом подходе являются элементами группы характеров. Если обозначить II — набор неперенормированных амплитуд, С — набор контрчленов, а Я — набор перенормированных амплитуд, то будет справедливо равенство:

В, = С*и, (1)

где * означает умножение в группе характеров. Размерно-регуляризованная амплитуда Фейнмана и{й) ( й — параметр размерной регуляризации) будет голоморфна в некоторой проколотой окрестности точки й = б. Тогда и(<1) можно рассматривать как данные некоторой задачи Римана — Гильберта'. Конн и Креймер показали, что эта задача имеет единственное решение, а положительная и отрицательная части разложения Биркгофа II(с1) определяют перенормированные амплитуды и контрчлены, получаемые при использовании схемы минимальных вычитаний.

Наличие копроизведения на множестве диаграмм в теории перенормировок сделало ее привлекательной для многочисленных исследователей. В частности возникают вопросы о физическом происхожденнии алгебры Фейнмановских диаграмм и о том как структура алгебры Хопфа фейнмановских диаграмм взаимодействует с прочими стуктурами, встречающимися в квантовой теории поля, например со всевозможными симметриями, в том числе и калибровочными.

В дисссертации первые две проблемы (исследование динамики квантовых систем на больших временах и исследование КМИ1-состояний) связаны с третьей (изучение структуры алгебры Хопфа на диаграммах Фейнмана) тем, что при их (первых двух) изучении возникают явления аналогичные тем, которые присутствуют в теории перенормировок в квантовой теории поля.

Актуальность темы диссертации следует из того, что в различных областях квантовой физики, к которым приковано внимание многочисленных исследователей, возникают структуры, аналогичные структуре Д-операции, а также из того, что, как выяснилось в

последнее время, саму структуру Д-операции можно значительно прояснить, используя разнообразные математические методы (методы некоммутативной геометрии и т.д), что позволяет улучшить понимание таких фундаментальных вопросов, как доказательство теоремы Боголюбова — Парасюка, доказательство перенормируемости калибровочных теорий.

Цель работы:

Исследование динамики квантовых систем с нестабильными состояниями на больших временах; исследование КМШ-состояний на некотором расширении универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли группы 5Ь(2, С); распространение алгебраического подхода Конна — Креймера к перенормировкам на случай калибровочных полей.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для широкого класса моделей квантовой теории поля и статистической физики с нестабильными состояниями получена общая формула (ЛВС-формула), описывающая поведение вакуумного среднего оператора эволюции на больших временах.

2. Получена классификация состояний Кубо — Мартина — Швингера (КМШ-состояний) на некотором расширении универсальной обертывающей алгебры Ли группы 51/(2, С). Показано, что КМШ-состояния на этом расширении находятся во взаимнооднозначном соответствии с некоторым классом вероятностных мер на неотрицательной вещественной полуоси.

3. Построено обобщение алгебраического подхода Конна — Креймера к теории перенормировок в квантовой теории поля на случай квантовой электродинамики. В частности определено действие калибровочных преобразований па алгебре Хопфа диаграмм Конна—Креймера и показано, что множество калибровочно-инвариантных характеров образует подгруппу группы характеров алгебры Хопфа диаграмм. Показано, что если задача Римана — Гильберта на группе характеров имеет решение и данные задачи Римана — Гильберта калибровочно-инвариантны, то и элементы соответствующего биркгофова разложения так же калибровочно-инвариантны.

Методы исследования:

В диссертации используются методы классического анализа, функционального анализа, теория обобщенных функций, теория представлений групп и алгебр, теория алгебр Хопфа.

Теоретическая и практическая ценность:

Настоящая работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, могут быть использованы для анализа поведения при больших временах систем с нестабильными состояниями, например для систем, встречающихся в квантовой оптике, и т. д. Вместе с тем методы, используемые в главе 1 для доказательства сходимости интегралов, представляющих коэффициенты А и В, могут быть использованы, например, для анализа расходимостей в кинетических уравнениях. Результаты, полученные в главе 2, могут быть использованы для анализа методом стохастического предела открытых квантовых систем, взаимодействующих с бозе-полем, посредством квадратичного по операторам рождения—уничтожения взаимодействия в случае, когда резервуар имеет ненулевую температуру. Вместе с тем результаты главы 2 показывают, что имеется широкий круг задач, поддающихся решению, связанный с исследованием КМШ-состояний на различных алгебрах Ли и квантовых группах. Результаты главы 3 показывают, что подход Конна—Креймера к перенормировкам можно распространить на случай квантовой электродинамики. При этом оказывается, что калибровочные преобразования в этом подходе являются объектами с хорошими математическими свойствами, а именно множество калибровочно-инвариантных характеров образует подгруппу группы характеров, а так же справедливо утверждение: если данные задачи Римана—Гильберта калибровочно-инвариантны то и элементы биркгофова разложения калибровочно-инвариантны.

Аппробация работы: Результаты работы докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ, 2002, на семинарах отделов Математической физики и Теоретической физики Математического Института им. В.А. Стеклова 2004, 2006, на семинаре "Бесконечномерный анализ и математическая физика"кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, 2004.

Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2,3].

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 114 страницы. Библиография включает 82 наименования.

Содержание работы

Во введении формулируются цели исследования, а также описывается структура диссертационной работы.

В в главе 1 получена ЛВС-формула для случая, когда есть нестабильные состояния.

Пусть Т обозначает бозонное пространство Фока над Х/гСВ/*), в котором стандартным образом действуют операторы рождения и уничтожения а+(к) и а(к), удовлетворяющие следующим каноническим коммутационным соотношениям:

Остальные коммутаторы равны нулю. Вакуумное состояние определяется соотношением: а(/с)|0) = 0. Гамильтониан рассматриваемой модели есть:

а V— взаимодействие, которое есть сумма мономов Вика с ядрами из пространства Шварца:

[а(к), а+(к')} = 6(к — к').

Н^Но + ХУ, #о= / и(к)а+(к)а(к)<1к.

(2)

Яо -свободный гамильтониан,

= у - Ч)> ш0 € К-1 ^о Ф 0,

N

т

п

V = А ^ I УГП:П(Р\,-,Рт\р\,-,Рп) П а+(Р;)Ф> П

лг = 1,2,3...,

ит,п — функции из пространства Шварца, удовлетворяющие соотношению эрмитовости = уп,т, А — вещественное число.

Этот гамильтониан задан изначально на всюду плотной области £>, состоящей из векторов в Т, у которых только конечное число компонент отлично от нуля и все они лежат в пространстве Шварца.

Основная теорема главы 1 настоящей диссертаци формулируется следующим образом.

Теорема 1.1. Если (1>3, то

(0|е~йЯ|0> = ем+в+сМ,

в смысле формальных степенных рядов по А. Здесь А,В,С{Ь) — формальные степенные ряды по А:

00

п=2 00

В = ]ГВ„ А",

п=2 оо

п=2

я -у 0 при I —► оо.

По определению, граф Фридрихса — это четверка (У,Н,(-)+,(■)'), где

V' — конечное упорядоченное множество, называемое множеством вершин;

Я — конечное множество, называемое множеством ребер; 1+ и 1~ суть отображения:

I* : Я V

такие, что Vгё Л 1+(г) > 1~ (г).

Мы обозначим через V множество всех вершин, за исключением минимальной.

Графы Фридрихса возникают при приведении к нормальной форме произведения мономов Вика.

Согласно кластерной теореме имеем:

eUc :,

где индекс с в Uc означает, что оставляются только связные графы Фридрихса, а : : означает нормальное упорядочение.

Положим F(t) = (0|t/c(i)|0),

+00 П=1

ад = (з)

где в последней сумме суммирование ведется до всем графам Фридрихса сп+1 вершиной. Для Р®(р) имеется выражение:

t ti

F*(t) = J dtn...I dt0 J ei^+-^f{p)dp.

Ч

Я?,,

о о

Здесь /(р) — произведение ядер мономов, а

;-(г)=и 1+( г)=у

Далее ^ (<) преобразуется к виду: +00 (2

F*(t) = t J dtn...J dh J ei^+-+E^f(p)dp-

0 0 +oo t3

- lim J min{i, tn}dtn... J dt, J e,{Ent"+-+E^]f(p)dp. (5)

О о

Первое слагаемое в последней формуле есть A*t, последнее при t —» +оо стремится к В®.

Задача, следовательно, состоит в том, чтобы понять, когда указанные интегралы сходятся.

Введем следующие множества.

Для любого г 6 Л определим множество Уг:

Уг ;= (Щ|/+(г) > V > V - 1 > Г (г)}.

Для любого V € V определим множество И,, следующим образом:

Я» := (г|/+(г) > V > у - 1 > Г {г)}.

Очевидно, что V е К •й' г € Л,.

Для А* имеем следующее представление:

00 00 лф [ . Г , моТ. т.?«

Л„ = / (¿Тп... / ¿пе геям:* х

О О

Г тт , Е р? £ т„

х / Цфгб Г6Л /(.-Рг-)-

У— это по-прежнему множество вершин, за исключением минимальной, а / — функция из пространства Шварца, возникающая, как произведение мономов Вика.

Чтобы сформулировать достаточное условие сходимости интегралов такого рода, введем понятие фактор — графа. Пусть дан граф Ф = 1+,1~} и подмножество вершин А с V. Фактор — граф Фл получается следующим образом: берем самую младшую вершину V из V, не принадлежащую А, склеиваем ее с V — 1 и выкидываем все петли,

т. е. линии, начинающиеся и кончающиеся в одной вершине. Затем берем *

следующую вершину, не принадлежащую А, делаем с ней то же самое и т. д. (аккуратное определение дано в главе 1).

Определение. Степенью расходимости графа Ф называется число:

Сф = - ||Я|. (6)

Справедлива следующая теорема

Теорема 1.4. А* сходится, если степень расходимости графа Ф и всех его фактор-графов отрицательна.

Теорема 1.5. В условиях предыдущей теоремы корректно определено выражение для В®.

Сформулированная теорема аналогична следствию из теоремы Боголюбова — Парасюка, (иногда называемому теоремой Вайнберга),

утверждающему, что Фейнмановская амплитуда для заданной диаграммы конечна, если степень расходимости этой диаграммы и всех ее поддиаграмм отрицательна.

Методы, использованные при доказательстве сходимости интегралов, представляющих А и В, могут быть использованы для анализа расходимостей в кинетических уравнениях.

В главе 2 исследуются состояния Кубо — Мартина — Швингера на некотором расширении универсальной обертывающей алгебры Ли группы SL(2, С), Эта задача возникла следующим образом. В работе JI. Аккарди и И.В. Воловича изучались квантовые стохастические уравнения вида:

i^UT = (a((btf + bl) + cbtbT)UT, (7)

где а, с — действительные числа, a {b+,bT} — квантовый белый шум, (г 6 R), т. е. пара операторозначных обобщенных функций, удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям:

[ьг,М = [М = о,

Mi]=<J(r-r').

(8)

Если положить:

В(т) = -^ЬГЬГ, N(r) = Ь+Ьт>

(9)

то легко видеть, что полученные операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[N(t), N(r')] = О, [В(г), £+(т')] = 2N(t)5(t - т') + 8{т - т')5(0),

[В(т), ЛГ(т')] = 2В(т)б(т - г'). (10)

Оператор В сопряжен N — самосопряжен. В этой же работе предложено заменить 5(0) на произвольную константу. Полученная алгебра называется алгеброй квадратов белого шума.

Возникает вопрос, как устроено множество КМШ—состояний на алгебре квадратов белого шума. После дискретизации, предложенной в разделе 2, задача сводится к аналогичной задаче для универсальной обертывающей алгебры Ли группы 2, С). В главе 2 дана полная классификацию КМШ -состояний на некотором расширении л((2, С). Переход к предлагаемому расширению заменяет собой наложение некоторых топологических условий на множество состояний, необходимых, чтобы исключить слишком патологические состояния. Мы найдем, что существует взаимно-днозначное соответствие между множеством всех КМШ-состояний и множеством всех вероятностных мер на положительной полуоси.

Более точно обозначим через V пространство всех комплексно-значных функций на 11, растущих на бесконечности не быстрее некоторого полинома. Обозначим через Та оператор, действующий в пространстве V по формуле:

Тв:/(*)^(Г./)(*) = /(®-а). (И)

Определеление. Обозначим через Л *-алгебру, порожденную образующими X, У, {Ыр}, где F € V, удовлетворяющими следующим соотношениям:

Ла^+дС = АА> + ij.NO, А, ц € С,

= Мс, (12)

и

ХЫР = ИТаРХ, У Ир =

Инволюция в А задана следующими соотношениями:

X* = -Г.

№)* = Л**,

(13)

Мы можем вложить £/(«1(2, С)) в А, если отождествить элемент ХпУтНк из и(г1(2, С)) с элементом ХпУтМхь из Л.

Обозначим через Н элемент Их, Н := Л^.

Имеется однопараметрическая группа автоморфизмов Щ, (4 6 К) алгебры Л, действующая на генераторах следующим образом:

ЩХ) = еиХ, ЩУ) = е-йУ, = (14)

Приведем определение КМШ-состояния.

Определение. Пусть V — алгебра с единицей. Состоянием г на V называется линейный положительный функционал, нормированный условием т(1) = 1.

Определение. Пусть £— *-алгебра, /?—вещественное положительное число и (1 е й) - однопараметрическая группа автоморфизмов £. Мы скажем, что линейный функционал т на £ — КМШ-функционал по отношению к паре {/3, К}, если В е £ существует функция Тав '■ вр —> С, которая непрерывна в полосе вр = {л € С | 0 < 1тг < ¡3} и голоморфна внутри нее, такая, что для вещественных Ь справедливо:

?ав№ = т(АЦ(В)) (15)

и

т(Ц(Л)В) = ТВА{1 + г/3). (16)

^-подалгебра А, порожденная всеми элементами вида Ир, где ^ 6 V, называется картановской подалгеброй и обозначается символом Я-Как будет видно из главы 2, Я имеет достаточно много представлений и, поэтому Я изоморфна V, если последнее пространство превратить в алгебру, определив умножение элементов поточечно.

В главе 2 будет показано, что любое состояние р на N порождает на вещественной прямой вероятностную меру йа, убывающую быстрее любого обратного полинома, такую, что

+00

рШ = У ¿*(х)Р(х). (17)

-00

Обратно, если дана вероятностная мера йа на прямой, убывающая быстрее любого обратного полинома, то последняя формула задает состояние на N.

Основной результат главы 2 формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. Состояние р на Я продолжается до КМШ-состояния

на А по отношению к паре {/3, Щ} {0 > 0) тогда и только тогда, когда характеристический функционал состояния р на ЛГ ХрСО := р(Агс,и) имеет вид:

для некоторой вероятностной меры йа на полупрямой (0,+оо), убывающей быстрее любого обратного полинома. Здесь т\, гп2 — вещественные числа, такие, что т\ > 0, т^ > 0, гп\ + тпг = 1. Если продолжение существует, то оно единственно.

В главе 3 настоящей диссертации предлагается обобщение алгебраического подхода Конна—Креймера к теории перенормировок в квантовой теории поля на случай калибровочных полей. Так как формальные определения занимают много места, здесь мы ограничимся неформальными описаниями основных элементов схемы.

Рассмотрим какую-либо модель релятивистской квантовой теории поля. Соответствующаяалгебра Конна — Креймера Н это коммутативная алгебра с единицей, порожденная образующими (Г, с), где Г — произвольная сильно-связная диаграмма (вершины которой не обязательно строятся по фиксированному лагранжиану) вместе с указанием вершинных операторов в каждой вершине, а а — обобщенная функция с компактным носителем, аргументами которой являются импульсы частиц входящих или выходящих из диаграммы, принимающая значения в тензорном произведении по всем внешни^ линиям линейных пространств, описывающих внутренние степени свободы соответствующих частиц. Соотношения, которыми связаны образующие, выражают факт линейности элемента (Г, а) по взаимодействию в каждой вершине и по внешней структуре. Алгебра Н становится алгеброй Хопфа, если коумножение на образующих задать формулой:

Д((1») = (1»®1 + 1®(1»+ £ Т«®(Г/7а,<7). (19)

Здесь 7а — набор поддиаграмм Г, взятых вместе с некоторым набором внеших структур, Т/-уа — фактор-диаграмма. Подробные определения см. в диссертации. Приведенная в диссертации конструкция обобщает конструкцию Конна — Креймера для скалярной теории поля с взаимодействием <р3 на широкий класс моделей.

(18)

+о

0С7аСГ

В случае квантовой электродинамики для любой обобщенной функции а с компактным носителем заданной на К1, можно определить (линейно от нее зависящее) отображение 6а : Н Л, которое, по построению, является дифференцированием алгебры Н как алгебры, а не как алгебры Хопфа. Отображение 5а так же называется калибровочным преобразованием.

Пусть б обозначает группу характеров алгебры Хопфа Н. Мы скажем, что характер х е б — калибровочно-инвариантен, если х ° <5а = О Оказывается, что справедлива следующая доказанная в настоящей диссертации теорема.

Теорема 3.1 Множество калибровочно-инвариантных характеров образует подгруппу группы характеров.

Фейнмановские правила и размерная регуляризация (мы рассматриваем евклидову теорию поля) задают элемент 112 £ М', мероморфный (в некотором естественном смысле) по г. Этот элемент будет калибровочно инвариантным.

Далее в главе 3 рассматривается задача Римана — Гильберта на группе характеров <?. Задача Римана — Гильберта выглядит так:

Задача Римана — Гильберта. Пусть иг — характер алгебры Хопфа И, голоморфный по % в некоторой проколотой окрестности 0\{0} нуля открытой комплексной плоскости. Задача Римана — Гильберта состоит в том, чтобы построить для иг биркгофовское разложение, т. е. указать характеры В.г и Ог> голоморфные по г в О и С \ {0}, соответственно, такие, чтобы в О \ {0} было выполнено:

= С2 * иг (20)

и С2 —»1, если ^ —+ оо.

Существование решения задачи Римана — Гильберта в такой постановке было фактически доказано Конном и Креймером. В работе доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2. Если данные задачи Римана — Гильберта к&либровочно-инвариантны, то и элементы биркгофовского разложения Сх и И2 тоже калибровочно-инвариантны.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Д. В. Прохоренко. ЛВС-формула и Л—операция для квантовых процессов с распадом, сдано в печать. ТМФ^ '71 1Л9 OSS

[2] И. В. Волович, Д. В. Прохоренко. Перенормировки квантовой электродинамики и алгебры Хопфа. Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 2004, т. 245, с. 288-295.

[3] D. Prokhorenko. Squares oí white noise, SL(2, C) and

Kubo - Martin - Schwinger states, сдано в печать. Inf. Dim. Anal. Quant. Prob.

Принято к исполнению 31/07/2006 Исполнено 02/08/2006

Заказ № 523 Тираж: 100 эта.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 VAvw.autoreferat.ru

¿OQ&ft

»20527

Введение

1 ABC-формула и R-операция

1.1 Введение.

1.2 Основная теорема

1.3 Начало доказательства.

1.4 Сходимость выражений для Ап.

1.5 Коэффициент В.

1.6 Примеры

2.2 Постановка задачи. Описание алгебры.49

2.3 Начало доказательства .55

2.4 Разложение состояния в прямой интеграл.60

2.5 Разложение на неприводимые компоненты пространства Hv 72

2.6 Разложение в сумму гиббсовских состояний состояния r(ip) . 75

2.7 Единственность.80

2.8 Заключение.81

3 Перенормировки калибровочных теорий и алгебры Хопфа 82

3.1 Введение.82

3.2 Алгебры Хопфа.83

3.3 Фейнмановские диаграммы.87

3.4 Перенормировки квантовой электродинамики.95

3.5 Калибровочные преобразования на алгебре Хопфа фейнмановских диаграмм квантовой электродинамики.96

3.6 Основные результаты .99

3.7 Заключение.104

Заключение 105

Введение

Актуальность темы, цели исследования.

Важным объектом в квантовой теории поля является ^-матрица [1, 2, 3, 4]. Однако, во многих случаях при наличии нестабильных состояний в теории твердого тела, квантовой оптике важно поведение оператора эволюции на больших, но конечных временах при малых константах связи.

Этот режим интересен, например, для оценки времени релаксации атома к основному состоянию, для вывода мастер-уравнения Паули и т.д.

Поведение оператора эволюции в таком режиме исследовалось многими авторами. Н.Н. Боголюбовым рассмотрен вопрос об установлении термодинамического равновесия в системе, состоящей из гармонического осциллятора, взаимодействующего посредством квадратичного взаимодействия с термостатом, состоящим из осцилляторов [5]. J1. Ван Хов (L. van Hove) рассмотрел оператор эволюции в пределе А —> О, t —» со, ХЧ = const [6]. И. Пригожин (I. Prigogin) с сотрудниками применял предел Ван Хова для вывода кинетических уравнений [7].

Изучение асимптотического поведения оператора эволюции для квантовой электродинамики проводилось П.П. Кулишем и Л. Д. Фаддеевым [8] в связи с проблемой инфракрасных расходимостей. Исследование асимптотики оператора эволюции при больших временах см. в [9], [10].

Другой важный момент. Большинство элементарных частиц нестабильны [И], что затрудняет определение для них матрицы рассеяния и делает задачу изучения асимптотики оператора эволюции нетривиальной. Унитарное представление группы Пуанкаре, соответствующее нестабильным частицам, было построено Г. Заллером (Н. Sailer) [12]. Исследование матричных элементов оператора эволюции для одной модели квантовой теории поля было произведено JI. Майани (L. Maiani) и М. Теста (М. Testa) [13]. Новые предписания перенормировки волновой функции, связанные с выбором комплексной точки вычитания, предложены Я. Чжоу (Y. Zhou) [14].

Изучение поведения систем на больших временах и константах связи привело к возникновению метода стохастического предела в работах JI. Аккарди (L. Accardy), Ю.Г. Jly (Yu. G. Lu), И.В. Воловича [15]. Этот метод состоит в нахождении и исследовании квантовых стохастических уравнений для оператора эволюции.

В работе [16] были найдены поправки к ответам, полученным по методу стохастического предела.

В работе [17] была выведена общая формула, описывающая вакуумный матричный элемент оператора эволюции для гамильтонианов с гладким взаимодействием (АБС-формула). Эта формула была выведена только для гамильтонианов без нестабильных состояний, а в случае наличия нестабильных состояний были проделаны вычисления во втором порядке по константе связи. В диссертации получено обобщение этой формулы на случай наличия нестабильных состояний. При исследовании АБС-формулы использовались методы, аналогичные методам теории перенормировок в квантовой теории поля [18, 19, 20].

С другой стороны, с момента создания квантовой механики внимание многих исследователей привлекала алгебраическая формулировка основных положений квантовой теории. В историческом отношении интересна монография [21]. Основными объектами в этом подходе являются некоторая С*-алгебра или алгебра фон Неймана наблюдаемых и множество состояний на ней [22, 23, 24, 25].

В этом подходе для описания состояния системы в статистическом равновесии в термодинамическом пределе используют так называемые состояния Кубо — Мартина — Швингера (КМШ-состояния), впервые появившиеся в физической литературе. Эти состояния являются аналогами Гибсовых состояний в классической статистической механике [26, 27]. В дальнейшем КМШ-состояния исследовались многими авторами, такими, как Р. Хааг (R. Haag), М. М. Гугенгольц (М. М. Hugenholtz), М. Винник (М. Vinnik) [28] см. также [29]. Недавно А. Конн (A. Connes) с сотрудниками исследовали КМШ-состояния, возникающие в задачах теории чисел и некоммутативной геометрии [30, 31]. В настоящей диссертации исследуются КМШ-состояния на алгебре квадратов белого шума, введенной в j32] (см. также [33, 34]). В дальнейшем КМШ-состояния исследовались в [35], где был построен пример КМШ-состояния на алгебре квадратов белого шума. Дискретизация проблемы КМШ-состояния на алгебре квадратов белого шума приводит к проблеме классификации КМШ-состояний на универсальной обертывающей алгебре Ли группы SL(2, С').

Возникающая при определении этой алгебры необходимость перенормировать коммутационные соотношения приводит к характерному для теории перенормировок эффекту: вместо одного КМШ-состояния на алгебре пояляется целое их семейство, параметризованное точками положительной вещественной полуоси.

Важной темой в настоящей диссертации является исследование и использование методов теории перенормировок в различных контекстах.

Математически корректная теория перенормировок (теория R-операции) была построена Н.Н. Боголюбовым и О.С. Парасюком [1]. К. Хепп [18] усовершенствовал предложенные ими доказательства.

Недавно А. Конн и Д. Креймер (D. Kreimer) [36, 37] ввели на диаграммах Фейнмана скалярной теории структуру алгебры Хопфа. Алгебры Хопфа, как известно, играют важную роль в теории квантовых групп [38], квантовом методе обратной задачи рассеяния ] 39] и других некоммутативных теориях. (О некоммутативной теории поля и связи некоммутативной теории с р-адическим анализом см. [40, 41, 42, 43, 44].) Фейнмановские амплитуды в этом подходе являются элементами группы характеров. Если обозначить U — набор неперенормированных амплитуд, С — набор контрчленов, a R — набор перенормированных амплитуд, то будет справедливо равенство:

R = C*U, (1) где * означает умножение в группе характеров. Размерно-регуляризованная амплитуда Фейнмана U(d) {d — параметр размерной регуляризации) будет голоморфна в некоторой проколотой окрестности точки d = 6. Тогда U(d) можно рассматривать как данные некоторой задачи Римана — Гильберта [45]. А. Конн и Д. Креймер показали, что эта задача имеет единственное решение, а положительная и отрицательная части разложения Биркгофа U(d) определяют перенормированные амплитуды и контрчлены, получаемые при использовании схемы минимальных вычитаний.

По поводу дальнейшего обобщения формализма Конна и Креймера см. [46, 47, 48, 49, 50, 51, 52].

В главе 3 диссертации решается задача об обобщении этого подхода на случай квантовой электродинамики. Обобщение этой схемы на случай калибровочных теорий содержит ряд новых моментов. В теории калибровочных полей помимо доказательства перенормируемости теории локальными контрчленами необходимо проверять калибровочную инвариантность перенормированных амплитуд. Требование калибровочной инвариантности выражается с помощью тождеств Уорда.

Возникают задачи определения действия калибровочной группы на группе характеров и выяснения вопросов о том, как калибровочные преобразования взаимодействуют со структурой алгебры Хопфа, группы характеров и т.д. Решению этих задач для квантовой электродинамики и посвящена глава 3 диссертации.

Теория перенормировок неабелевых калибровочных полей рассмотрена в [53, 54]. Важно отметиь, что удобным средством для работы с калибровочными полями является метод континуального интеграла см. [55]. Распространение формализма алгебр Хопфа на случай неабелевых калибровочных теорий нетривиально в силу того, что для доказательства перенормируемости калибровочных теорий привлекаются тождества Славнова — Тейлора, которые нелинейны и требуется дополнительное исследование, чтобы обобщить подход Конна — Креймера на неабелев случай.

Актуальность темы этой диссертации следует из того, что в различных областях квантовой физики, к которым приковано внимание многочисленных исследователей, возникают структуры, аналогичные структуре Л-операции, а также из того, что, как выяснилось в последнее время, саму структуру Л-операции можно значительно прояснить, используя разнообразные математические методы (методы некоммутативной геометрии и т.д), что позволяет улучшить понимание таких фундаментальных вопросов, как доказательство теоремы Боголюбова — Парасюка, доказательство перенормируемости калибровочных теорий.

Краткое содержание диссертации

В работе И. Я. Арефьевой и И. В. Воловича [17] изучалось поведение оператора эволюции на больших временах для моделей с гладким взаимодействием. Была получена общая формула:

U(t)) = eM+B+c^\ (2) где C(t) —0, если t +00.

Эта формула называется АБС-формулой.

Эта формула была выведена для случая, когда нет нестабильных состояний. В случае, когда они есть, были проделаны вычисления во втором порядке по константе связи.

В настоящей работе АБС-формула получена для случая, когда есть нестабильные состояния.

Пусть Т обозначает бозоиное пространство Фока, в котором стандартным образом действуют операторы рождения и уничтожения а+(к) и а(к), удовлетворяющие следующим каноническим коммутационным соотношениям: а{к),а+(к')} = 5{к-к').

Остальные коммутаторы равны нулю. Вакуумное состояние определяется соотношением: а{к)|0) = 0. Метод вторичного квантования был открыт Дираком в [56]. Математические аспекты метода вторичного квантования подробно рассмотрены в [57]. Гамильтониан рассматриваемой модели есть:

Н = Н0 + XV.,

Щ = J ш(к)а+ (к)a{k)dk, к е Rd,

Hq—свободный гамильтониан, ш(к) = у - ш0, UQ G R, OJQ ф 0, а V— взаимодействие, которое есть сумма мономов Вика с ядрами из пространства Шварца:

N „ т п

V = x / vmjn{p1,.,prn\ph.,pn)Y[a+{pi)dpiY[a{qj)dqh т,п=1 i=l j—1

Pi,Qj G Rd,

N= 1,2,3., vm,n — функции из пространства Шварца, удовлетворяющие соотношению эрмитовости ьт<п = г}щт, г»о,о = 0, Л — вещественное число.

Этот гамильтониан задан изначально на всюду плотной области D, состоящей из векторов в J7, у которых только конечное число компонент отлично от нуля и все они лежат в пространстве Шварца. В некоторых случаях, если щ > 0, из результатов Глимма Джаффе [58, 59, 60] вытекает, что Н обладает самосопряженным расширением.

Основная теорема главы 1 настоящей диссертаци формулируется следующим образом.

Теорема 1.1. Если d> 3, то

0|е-ЙЯ|0) = ем+в+с{-1\ в смысле формальных степенных рядов по А. Здесь A,B,C(t) — формальные степенные ряды по А; оо п=2

00 п=2 с» а" п=2 я Cn(t) —> 0 при t оо.

По определению [18], граф Фридрихса — это четверка (V7, Д, где

V' — конечное упорядоченное множество, называемое множеством вершин;

R — конечное множество, называемое множеством ребер; 1+ и 1~ суть отображения:

P-.R-tV такие, что Vr G R 1+{г) > 1~(г).

Мы обозначим через V множество всех вершин, за исключением минимальной.

Графы Фридрихса возникают при приведении к нормальной форме произведения мономов Вика.

Согласно кластерной теореме [18] имеем:

U=: eUc :, где индекс с в Uc означает, что оставляются только связные графы Фридрихса, а : : означает нормальное упорядочение [18].

Положим F(t) = {0\Uc{t)\0),

00 п= 1 ад = !>,?(*), (з) где в последней сумме суммирование ведется по всем графам Фридрихса с п+1 вершиной. Для F®(t) имеется выражение: t h

Ff(t) = J dtn.J dt0 J f(p)dp. о о

Здесь f(p) — произведение ядер мономов, a

Ev= Y, ^(Pr)- ^ u(pr). (4) l~{r)—v l+(r)=v

Далее F®(t) преобразуется к виду:

CO <2

F*{t)=t J dtn. J dhj ei{EA+-+E^\f{p)dpo о oo t3

-Hm f min{£, tn}dtn. f dtr f ei{Entn+"+Eltl)f(p)dp. (5)

Первое слагаемое в последней формуле есть A®t, последнее при t —> +00 стремится к В®.

Задача, следовательно, состоит в том, чтобы понять, когда указанные интегралы сходятся.

Введем следующие множества.

Для любого г € R определим множество Vr\

Vr := {v\l+(r) >v>v-l> Г (г)}. Для любого v £ V определим множество Rv следующим образом: Rv ■= {r\l+(r) > v > v - 1 > Г (г)}.

Очевидно, что v £ Vr г е Rv.

Для А® имеем следующее представление:

СЮ 00

Лф /' , f , iuJ° 2 S т" An = drn. drie г6Ящ6У'- x о 0

ТТ 7 ^PrJ2Tv dpre reR f(.pr.). r

V— это по-прежнему множество вершин, за исключением минимальной, а / — функция из пространства Шварца, возникающая, как произведение мономов Вика.

Чтобы сформулировать достаточное условие сходимости интегралов такого рода, введем понятие фактор — графа. Пусть дан граф Ф = {V',R,l+,l~} и подмножество вершин А с V. Фактор — граф Фа получается следующим образом: берем самую младшую вершину v из V, не принадлежащую Л, склеиваем ее с v — 1 и выкидываем все петли, т. е. линии, начинающиеся и кончающиеся в одной вершине. Затем берем следующую вершину, не принадлежащую Д делаем с ней то же самое и т. д. (аккуратное определение дано в главе 1).

Определение. Степенью расходимости графа Ф называется число:

Справедлива следующая теорема

Теорема 1.4. А® сходится, если степень расходимости графа Ф и всех его фактор-графов отрицательна.

Теорема 1.5 .В условиях предыдущей теоремы корректно определено выражение для В®.

Сформулированная теорема аналогична следствию из теоремы Боголюбова — Парасюка, (иногда называемому теоремой Вайнберга), утверждающему, что Фейнмановская амплитуда для заданной диаграммы конечна, если степень расходимости этой диаграммы и всех ее поддиаграмм отрицательна.

Методы, использованные при доказательстве сходимости интегралов, представляющих А и В, могут быть использованы для анализа расходимостей в кинетических уравнениях см. [61, 62].

Глава 2 настоящей диссертации посвящена исследованию состояний Кубо — Мартина — Швинтера на некотором расширении универсальной обертывающей алгебры, алгебры Ли группы SL(2, С). Эта задача возникла следующим образом. В работе [32] изучались квантовые стохастические уравнения вида: где а, с — действительные числа, a {b+,bT} — квантовый белый шум, т. е. пара операторозначных обобщенных функций, удовлетворяющих

C„ = \V\-3-\R\.

6) каноническим коммутационным соотношениям:

Ьг.ч = [#>#] = О, [Ът,Ь$] = 5{т-т').

Если положить:

Щт) = Ъ+ТЪТ) В{т) = ~bTbr,

9) то легко видеть, что полученные операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

Оператор В сопряжен В+, N — самосопряжен. В этой же работе предложено заменить (5(0) на произвольную константу. Полученная алгебра называется алгеброй квадратов белого шума.

КМШ-состояния были введены в работе [28].

Далее алгебра квадратов белого шума исследовалась в работах [32, 33, 34]. В частности, в работе [34] были построены все ее неприводимые представления, а в [35] был построен пример КМШ-состояния на алгебре квадратов белого шума. Возникает вопрос, как

N(r),N(r')} = 0, [В(т))В+(т1]] = 2N{t)5{t - т') + 5{т - т'Щ0), [B{t),N{tj)]=2B(t)5{t-t'). [В(т),В(т')) = [В(т)\В+(т>)) = 0.

10) устроено множество КМШ—состояний на алгебре квадратов белого шума. После дискретизации, предложенной в главе 2 диссертации, задача сводится к аналогичной задаче для универсальной обертывающей алгебры, алгебры Ли группы SL(2, С). В настоящей работе мы дадим полную классификацию КМШ -состояний на некотором расширении 51(2, С). Переход к предлагаемому расширению заменяет собой наложение некоторых топологических условий на множество состояний, необходимых, чтобы исключить слишком патологические состояния. Мы найдем, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством всех КМШ-состояний и некоторым классом вероятностных мер на положительной полуоси.

Более точно обозначим через V пространство всех комплексно-значных функций па R, растущих на бесконечности не быстрее некоторого полинома. Обозначим через та оператор, действующий в пространстве v по формуле:

Опреде деление. Обозначим через Л *-алгебру, порожденную образующими x,y,{nf}, где f £ V, удовлетворяющими следующим соотношениям:

Ta-.f(x)^(TJ)(x) = f(x-a).

И) n\f+iig = Anf + jing, A, fj, e C, nfg = nfng, и x,y] = nx, xnf = ntafx,

YNp = NT fY.

13)

Инволюция в Л задана следующими соотношениями:

NFy = NF*,

X* = -У.

14)

Мы можем вложить U(sl(2, С)) в Л, если отождествить элемент ХпутНк из 2) С)) с элементом XnYmNxk из Л. Обозначим через Я элемент Nx, Н := Nx.

Имеется однопараметрическая группа автоморфизмов Ut, (t G R) алгебры Л, действующая на генераторах следующим образом:

Приведем определение КМШ-состояния,

Определение. Пусть V — *-алгебра с единицей. Состоянием т на V называется линейный положительный функционал, нормированный условием т( 1) = 1.

Определение. Пусть Е— ★-алгебра, /3—вещественное положительное число и 14 (t £ R) — однопараметрическая группа автоморфизмов Мы скажем, что линейный функционал г на <5 — КМШ-функционал по отношению к паре {(3,14}, если VA, В е <5 существует функция Tab S/з —» С, которая непрерывна в полосе б*/? — {z 6 С | 0 < Imz < /5} и голоморфна внутри нее, такая, что для вещественных t справедливо:

ЩХ) = ейХ, ?/4(У) = е~гХ Ut{NF) =

15) б(£)=т(А14(Б))

16) и

T{Vt{A)B)=FBA{t + i0).

17)

-подалгебра Л, порожденная всеми элементами вида Np, где F £ V, называется картановской подалгеброй и обозначается символом Я. Как будет видно из главы 2, Я имеет достаточно много представлений и, поэтому Я изоморфна V, если последнее пространство превратить в алгебру, определив умножение элементов поточечно.

В главе 2 будет показано, что любое состояние р на Я порождает на вещественной прямой вероятностную меру da, убывающую быстрее любого обратного полинома, такую, что

00 p(Np) = J da{x)F(x), (18)

-00

Обратно, если дана вероятностная мера da на прямой, убывающая быстрее любого обратного полинома, то последняя формула задает состояние на АЛ Основной результат главы 2 формулируется в виде следующей теоремы. Теорема 2.1. Состояние р на Я продолжается до КМШ-состояния на Л по отношению к паре {/3, Ut} (/? > 0) тогда и только тогда, когда характеристический функционал состояния р на Я Xp{t) p{Neux) имеет вид: оо

1 е-0 Г

Xp(t) = mi + m2l ep+2it J da(X)e , (19) o для некоторой вероятностной меры da на полупрямой (0, +оо), убывающей быстрее любого обратного полинома. Здесь mi, тог — вещественные числа, такие, что mi > 0, mj > 0, т\ + Ш2 = 1. Если продолжение существует, то оно единственно.

По аналогии с определением некоммутативной двумерной сферы см. ([63]), можно считать, что подалгебра Л, порожденная образующими X, У, Н \= Nx, есть не что иное, как некоммутативная плоскость

Лобачевского. Известно, что Римановы поверхности рода д > 2 можно получать путем факторизации верхней полуплоскости комплексной переменной (модель Пуанкаре плоскости Лобачевского) по действию дискретных групп автоморфизмов этой полуплоскости [64, 65] (Фуксовых групп). С другой стороны, для компактных двумерных симплектических многообразий существует процедура деформационного квантования [66]. Возникает интересный вопрос о том, как связаны между собой определенная только что некоммутативная плоскость Лобачевского и некоммутативные Римановы поверхности, определенные путем деформационного квантования.

В главе 3 настоящей диссертации предлагается обобщение подхода Конна—Креймера к теории перенормировок в квантовой теории поля на случай калибровочных полей. Так как формальные определения занимают много места, здесь мы ограничимся неформальными описаниями основных элементов схемы.

Рассмотрим какую-либо модель релятивистской квантовой теории поля. Алгебра Конна — Креймера Л это коммутативная алгебра с единицей, порожденная образующими (Г,<т); где Г — произвольная сильно-связная диаграмма (вершины которой не обязательно строятся по фиксированному лагранжиану) вместе с указанием вершинных операторов в каждой вершине, а о — обобщенная функция с компактным носителем, принимающая значение в тензорном произведении по внешним линиям диаграммы линейных пространств, описывающих внутренние степени свободы, о называется внешней структурой. Соотношения, которыми связаны образующие, выражают факт линейности элемента (Г, а) по взаимодействию в каждой вершине и по внешней структуре. Алгебра 7i становится алгеброй Хопфа, если коумножение на образующих задать формулой:

Д((Г,а)) = (1>)<8>1 + 1<8>(1>)+ ]Г 7«®(Г/7а,о-). (20)

0С7«СГ

Здесь 7а — набор поддиаграмм Г, взятых вместе с некоторым набором внеших структур, Г/7а — фактордиаграмма. Аккуратные определения см. в диссертации. Приведенная в диссертации конструкция обобщает конструкцию Конна — Креймера для скалярной теории поля с взаимодействием (р3.

Мы будем рассматривать случай квантовой электродинамики. Алгебро-геометрические свойства классических калибровочных полей рассмотрены в [71]. В диссертации для любой обобщенной функции с компактным носителем а заданной на R4, принимающей значения в на алгебре Конна — Креймера построено (линейно от нее зависящее) отображение 6а : Н —»• Н, которое, по построению, является дифференцированием алгебры Н как алгебры, а не как алгебры Хопфа. Отображение 5а так же называется калибровочным преобразованием.

Пусть G обозначает группу характеров алгебры Хопфа Н. Мы скажем, что характер х G G — калибровочно-инвариантен, если х 0 = 0 Оказывается, что справедлива следующая доказанная в настоящей диссертации теорема.

Теорема 3.4. Множество калибровочно-ш-шари&нтыых характеров образует подгруппу группы характеров.

Фейнмановские правила и размерная регуляризация (мы рассматриваем евклидову теорию поля) задают элемент Uz G М', мероморфный (в некотором естественном смысле) но Этот элемент будет калибровочно инвариантным.

Далее в главе 3 рассматривается задача Римана — Гильберта на группе характеров G. Задача Римана — Гильберта выглядит так:

Задача Римана — Гильберта. Пусть Uz — характер, голоморфный по ^ в некоторой проколотой окрестности О \ {0} нуля открытой комплексной плоскости. Задача Римана — Гильберта состоит в том, чтобы построить для Uz биркгофовское разложение, т. е. указать характеры Rz и Cz, голоморфные по 2 в О и С \ {0}, соответственно, такие, чтобы в О \ {0} было выполнено:

Rz = Cz * Uz (21) и Cz —> 1, если 2 —)• оо.

Существование решения задачи Римана — Гильберта в такой постановке было фактически доказано А. Конном и Д. Креймером. В работе доказывается следующая теорема.

Теорема 3.6. Если данные задачи Римана — Гильберта Uz калибровочпо-инвариантны, то и элементы биркгофовского разложения Cz и Rz тоже калибровочно-инвариантны.

Интересно распространить приведенные в работе построения на неабелевы калибровочные поля [53, 54] суперсимметричные калибровочные теории [72], некоммутативные поля Янга — Миллса [73, 74], поля Черна — Саймона [75, 76, 77].

Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту Все основные результаты диссертации являются новыми, Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Для широкого класса моделей квантовой теории поля и статистической физики с нестабильными состояниями получена общая формула (АБС-формула), описывающая поведение вакуумного среднего оператора эволюции на больших временах. (Справедливая в рамках теории возмущений.)

2. Получена классификация состояний Кубо — Мартина — Швингера на некотором расширении универсальной обертывающей алгебры Ли группы SL(2, С). Показано, что КМШ-состояния на этом расширении находятся во взаимно-однозначном соответствии с некоторым классом вероятностных мер на неотрицательной вещественной полуоси.

3. Построено обобщение подхода Конна — Креймера к теории перенормировок в квантовой теории поля на случай квантовой электродинамики. В частности определено действие калибровочных преобразований на алгебре Хопфа диаграмм Конна—Креймера и показано, что множество калибровочно-инвариантных характеров образует подгруппу группы характеров алгебры Хопфа диаграмм. Показано, что если задача Римана — Гильберта на группе характеров имеет решение и данные задачи Римана — Гильберта калибровочно-инвариантны, то и элементы биркгофова разложения так же калибровочно-инвариантны.

Научная и практическая ценность

Настоящая работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, могут быть использованы для анализа поведения при больших временах систем с нестабильными состояниями, например для систем, встречающихся в квантовой оптике, и т. д. Вместе с тем методы, используемые в главе 1 для доказательства сходимости интегралов, представляющих коэффициенты А и В, могут быть использованы, например, для анализа расходимостей в кинетических уравнениях.

Результаты, полученные в главе 2, могут быть использованы для анализа методом стохастического предела открытых квантовых систем, взаимодействующих с бозе-полем, посредством квадратичного по операторам рождения—уничтожения взаимодействия в случае, когда резервуар имеет ненулевую температуру. Вместе с тем результаты главы 2 показывают, что имеется широкий круг задач, поддающихся решению, связанный с исследованием КМШ-состояний на различных алгебрах Ли и квантовых группах.

Результаты главы 3 показывают, что подход Конна — Креймера к перенормировкам можно распространить на случай квантовой электродинамики. При этом оказывается, что калибровочные преобразования в этом подходе являются объектами с хорошими математическими свойствами, а именно множество калибровочно-инвариантных характеров образует подгруппу группы характеров, а так же справедливо следующее утверждение: если данные задачи Римана — Гильберта калибровочно инвариантны то и элементы биркгофова разложения калибровочно-инвариантны. Эти два утверждения делают более попятным факт перенормируемости квантовой электродинамики с сохранением калибровочной инвариантности.

Обоснованность и достоверность

Достоверность полученных результатов обоснована их формальным выводом на основе ранее известных результатов и правил формальной логики.

Аппробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Конференции молодых ученых МГУ (2002)

2. Семинар отдела математической физики Математического Института им. В.А. Стеклова (2004, 2006)

3. Семинаре "Бесконечно-мерный анализ и математическая физика"кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (2004).

4. Семинар отдела теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова (2006).

Публикации

По результатам диссертации опубликовано три статьи [80, 81, 82].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Результаты работы докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ (2002), на семинаре отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова, на семинаре "Бесконечномерный анализ и математическая физика"кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на семинаре отдела теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И.В. Воловичу за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией, М.Г. Иванову, Р.А. Рощину за плодотворные обсуждения и ценные комментарии и всему коллективу отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН за помощь и поддержку в написании данной работы.

Заключение

В настоящей работе изучались различные аспекты теории перенормировок. Показано, как понятия и методы теории перенормировок возникают в различных областях квантовой физики, а также рассматривалась формулировка теории перенормировок калибровочных полей на языке алгебр Хопфа диаграмм Фейнмана.

1. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей, Наука, 1976.

2. Р. Йост. Общая теория квантованных полей, Мир, 1967.3j А.С. Шварц. Математические основы квантовой теории поля, Атомиздат, 1975.

3. В. С. Владимиров. Методы теории функций многих комплексных переменных, Наука 1964 г.

4. Н.Н. Боголюбов. Элементарный пример установления статистического равновесия в системе, взаимодействующей с резервуаром. В сборнике: Статистические методы в математической физике, Академия Наук Украинской ССР, 1946.

5. L. van Hove. Physica, 21, 517, 19557j R. Brout, I. Prigogin. Physica, 22, 621, 1956.

6. П. П. Кулиш, Л.Д. Фаддеев. Асимптотические условия и инфракрасные расходимости в квантовой электродинамике ТМФ, 4, №2, 153, 1970.9j Л.Д. Фаддеев. О разделении эффектов самодействия и рассеяния по теории возмущений, ДАН СССР, 152, 573, 1963.

7. И. Я. Арефьева. ТМФ, 14, №3, 1973.11| Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки, Наука, 1981.

8. Heinridi Sailer. The Hilbert Spaces for Stable and Unstable Particles, hep-th/0501074.

9. L. Maiani, M. Testa. Unstable Systems in Relativistic Quantum Field Theory, hep-fch/9709110.

10. Yong Zhou. A New Wave-function Renormalization Prescription for Unstable Particle, hep-ph/0510244.

11. L. Accardy, Yu.G. Lu, I.V. Volovich. Quantum Theory and Its Stochastic Limit, Springer, Berlin, 2002.

12. A.N. Pechen, I.V. Volovich. Quantum Multipole White Noise and Generalized Quantum Stochastic Equation, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, № 4, 441-464, 2002.

13. I. Ya. Aref'efa, I.V. Volovich. Quantum Decoherence and Higer Order Correction to The Large Time Exponential Behaviour, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 3, № 4, 2000.

14. K. Xerm. Теория перенормировок, Наука, 1974.

15. О.И. Завьялов. Перенормированные диаграммы Фейнмана, Наука, 1979.

16. В.А. Смирнов. Перенормировка и асимптотические разложения фейнмановских амплитуд, изд-во МГУ, 1990.

17. П. Дирак. Принципы квантовой механики, Наука, 1979.

18. Н.Н. Боголюбов, А.А. Логунов, А.И. Тодоров. Общие принципы квантовой теории поля, Наука, 1987.

19. В.Н. Сушко, С.С. Хоружий. Векторные состояния на алгебрах наблюдаемых и правила суперотбора. I Векторные состояния и гильбертово пространство, ТМФ 4, №2, 171.

20. Г.А. Сарданашвилли. Современные методы теории поля, том 3, Алгебраическая Квантовая Теория, УРРС 1999.

21. У. Брателли, Д. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. Мир, 1972.

22. Д. Рюэль. Термодинамический формализм, Институт компьютерных исследований, Москва, Ижевск, 2002.

23. Я.Г. Синай. Теория Фазовых переходов, Наука, 1980.

24. R. Haag, М.М. Hugenholtz, М. Vinnik, Comrnun. Math. Phys., 5, 215, 1967.

25. J. Knpsch, 0. G. Smolyanov, N.A. Sidorova. States of quantum systems and their liftings, math-ph/0012025.

26. A. Connes, M. Marcolli. From Physics to Number Theory via Noncom-mutative Geometry, hep-th/0404128.

27. A. Connes, M. Marcolli, N. Ramachadran. KMS states and Complex Multiplication, QA/0501424.

28. L.Accardy, I.V. Volovich, Quantum White Noise with Singular NonLinear Interaction, quant-ph/9704029.

29. L. Accardy, Y.G. Lu. I.V. Volovich. White Noise Approach to Quantum and classical stohastic calculi, Centro Vito Volterra of Universita di Roma Tor Vergata.

30. Luigi Accardi, Grigori Amosov, Uwe Franz. KMS States on the Square of White Noise Algebra, quant-ph/0208070.

31. Alain Connes, Dirk Kreimer. Renormalization in quantum field theory and Rieman-Hilbert problem I, Commun. Math. Phys., 210: 249-273, 2000.

32. Alain Connes, Dirk Kreimer. Renormalization in quantum field theory and Rieman-Hilbert problem II, Commun. Math. Phys., 216, 215-241,2001.

33. V. G. Drinfield, Quantum Groups, In: Proceedings of International Congress of Mathematicans (Berkeley, 1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, 798-820.

34. Н.Ю. Решетихин, JI.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Квантование групп Ли и Алгебр Ли, Алгебра и Анализ, 1, 178-206, 1989

35. Branko Dragovich and Igor Volovich. p-Adic Strings and Noncommy-tativity, S. Dulij and J. Wess(eds.), Noncommytativity Structures in

36. Mathematics and Physics, 391-399, Kluwer Academic Publishers, Printed in Nether land, 2001.

37. I.Ya. Aref'eva and I.V. Volovich Quantum Group Particles and Non-archimedian Geometry, Phys. Lett. В 268, 1991, 179-187.

38. A. P. Isaev, O.V. Ogievetsky. BRST Operator for Quantum Lie Algebras and Differential Calculus on Quantum Group, Lecture given at the workshop on "Classical and Quantum Integrable System", 8-11 January Protvino, Russia.

39. A. P. Isaev, Quantum Group Covariant Noncommutative Geometry, J. Math. Phys., 35, 1994, 1994.

40. П. П. Кулиш, A. M. Цейтлин. Квантовый метод обратной задачи и (супер)конформная теория поля, ТМФ, 142, 252-264, 2005.

41. А.А. Болибрух. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные векторные расслоения, МЦНМО Москва, 2000.

42. A. Gerasimov, A. Morozov, К. Selivanov. Bogoliubov's Recursion and Integrability of Effective Actions, Int. J. Mod. Phys., A 16, 2001, p. 1531-1558.

43. D.V. Malyshev. Hopf algebra of ribbon graphs and renormalization, JHEP, 13 0205, 2002.

44. D. Kastler. Connes-Moscovici-Kreimer Hopf Algebras, math-ph/0104017 vl.

45. A. Connes, M. Marcolli. From Physics to Number Theory via Noncommutative Geometry II, hep-th/0411114.

46. A. Connes, М. Marcolli. Renormalization and Motivic Galois Theory, NT/0409306.

47. C. Bergbauer, D. Kreimer. The Hopf Algebra of Rooted Trees in Epstein Glaser Renormalization, Annale Henri Poicare, 6, 343-367, 2005. hep-th/0403207

48. A.A, Vladimirov. Notes on Renormalization, hep-th/0204208.

49. А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Наука 1978.

50. Дж. Коллинз. Перенормировка, Мир, 1988.

51. О.Г. Смолянов, Е.Т. Шавгулидзе. Континуальные интегралы, Из-во МГУ, 1990.

52. P. Dirac. The Quantum Theory of The Emission and Absorption of Radiation, Proceedings of the Royal Society, A 114, 1927 pp. 243-265.

53. Ф.А. Березин. Метод вторичного квантования, ИОНФМИ 2000.

54. Дж. Глимм, А. Джаффе. Математические методы квантовой Физики. Подход с Использованием Функциональных Интегралов, Мир, 1984.

55. Конструктивная теория поля. Сборник статей, Мир, 1977.

56. Евклидова Квантовая Теория Поля. Марковский Подход. Сборник статей, Мир, 1978.

57. J.R. Dorfman, E.G.D. Cohen. Difficulties in the Kinetic Theory of Dense Gases. Jour, of Math Phys, 8, №2, 282-297, 1967.

58. J.R. Dorfman. Advanced and Challenged in the Kinetic theory of Gases, Physica 106A, 1981, 77-101.

59. I. Ya. Aref'eva, D.M. Belov, A.A. Giryavets, A.S. Koshelev and P.B. Medvedev. Noncommutative Field Theories and (Super) String Field Theories, hep-th/0111208.

60. B.B. Голубев. Лекции по аналитической теории Дифференциальных Уравнений, М., Л.,: Гостехтеориздат, 1950.

61. А. Гурвиц, Р. Курант. Теория Функций, Наука, 1968.

62. I. Ya Aref'eva, I.V. Volovich. Noncommutative Gauge Fields on Poisson Manifolds, hep-th/9907114.

63. Б. Л. ван дер Варден. Алгебра, Наука 1979.

64. С. Ленг. Алгебра, Мир, 1968.

65. О. Зарисский, П. Самюэль. Коммутативная алгебра т I, И, Издательство Иностранной Литературы, 1963.

66. К. Кассель. Квантовые группы, М., ФАЗИС, 1999.

67. Ю. И. Манин. Калибровочные поля и комплексная Геометрия, М., Наука, 1984.

68. Ю. Весс, Дж. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация, ИОНФМИ, 1998.

69. A. Connes, М. Douglas, A. Schwarz. Noncommutative Geometry and Matrix Theory: Compactification on Tori, 9802, 003, 1998.

70. A. Schwarz. Gauge Theories on Noncommutative Euclidean Space, hep-th/0111174.

71. C. Beasly, E. Witten. Non Abelian Localization for Chern-Simons Theory, hep-th/0503126.

72. S. Hellerman, M. Van Raamsdonk. Quantum Hall Physics=Noncommutative Field Theory, JHEP 0110, 036, 2001.

73. L. Susskind. The Quantum Hall Fluid and Non-Commutative Chern-Simons Theory, hep-th/0101029.

74. И.М. Гельфанд, M. И. Граев, И.И. Пятецкий-Шапиро. Теория Представлений и Автоморфные Функции, Наука, Физматлит, 1996.

75. К. Кассель. Квантовые группы, М.: Фазис, 1999.

76. Д. В. Прохоренко. АБС-формула и R—операция для квантовых процессов с распадом, ТМФ,

77. И. В. Волович, Д. В. Прохоренко. Перенормировки квантовой электродинамики и алгебры Хопфа, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, 2004, 245, с. 288-295.

78. D. Prokhorenko. Squares of white noise, 51/(2, С) and

79. Kubo Martin - Schwinger states, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics.