Решение деформационных и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Привалова Валентина Викторовна

РЕШЕНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ И ДЕФОРМАЦИОННО-ДИФФУЗИОННЫХ ЗАДАЧ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.04. — Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени

Самара - 2006

Работа выполнена в Уральском государственном университете им. А.М. Горького.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Федотов Владимир Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Радченко Владимир Павлович

доктор физико-математических наук, профессор Леонтьев Виктор Леонтьевич

Ведущая организация; Институт механики сплошных сред Уральского

отделения Российской академии наук (г. Пермь)

Защита состоится «4» декабря 2006 года в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.218.06 в Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, д. 1, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета

Автореферат разослан " ноября 2006 г.

/

Учёный секретарь диссертационного совета

Глущенков В.С.

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. Для решения задач механики деформируемого твёрдого тела, как правило, используются приближенные методы расчета, основанные на алгоритмах и программистской технологии последовательного счета. В последнее время наблюдается прогресс в распараллеливании программ для решения таких задач, однако, они по-прежнему основываются на алгоритмах, разработанных в свое время для последовательного счета: методе конечных разностей, методе конечных элементов (МКЭ), вариационных методах и т.д. Разработка алгоритмов, в которых изначально была бы заложена идеология распараллеливания, может существенно сократить время решения реальных задач. Также с учётом развития высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных машин возникает необходимость разработки подобных алгоритмов.

В настоящее время наиболее широко используется метод конечных элементов, большой вклад в развитие которого был в своё время сделан О. Зенкевичем, Дж. Оденом и другими. Разработаны аналитические системы прикладных программ, решающих задачи механики деформируемого твёрдого тела этим методом. Необходимо отметить, что решение задач, в которых требуется определение не только напряжений, но и их градиентов является весьма затруднительным процессом. Также если при решении таких задач используется операция численного дифференцирования, то задача является некорректной.

В последнее время наблюдается повышение популярности метода граничных элементов (МГЭ). Данный метод получил своё развитие благодаря трудам К. Бреббия, П. Бенерджи, С. Крауч и других авторов. Алгоритм этого метода изначально позволяет на некоторых этапах решения задачи находить неизвестные функции, такие как перемещения, компоненты тензоров деформаций и напряжений, а также градиенты напряжений в теле независимо в каждой точке тела. До сих пор при решении задач этим методом, практически всегда использовали операции численного интегрирования. Отметим, что дополнительные трудности возникают при использовании численного интегрирования для подсчёта сингулярных интегралов. Такие операции требуют большего времени и влекут за собой большую загруженность процессоров компьютера, по сравнению с использованием функций заранее полученных путём аналитического интегрирования.

При моделировании связанных деформационно-диффузионных задач взаимное влияние процессов определяется не только компонентами тензоров деформаций и напряжений, но и градиентами напряжений, чем объясняется актуальность их аналитического определения.

Вышеизложенное и определяет актуальность темы диссертации.

Цель работы. Целью данной работы является модификация МГЭ, включающая в себя распараллеливание алгоритма решения рассматриваемых задач и аналитичность использующихся операций и функций; построение численно -аналитических алгоритмов решения задач теории упругости и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов; по-

лучение решения задачи теории упругости в явном аналитическом виде; проведение качественного и количественного анализа по ускорению и усовершенствованию расчёта задач, рассматриваемым методом в сравнении с другими численными методами решения линейных задач механики сплошных сред.

Научная новизна:

— получены аналитические формулы интегралов от тензоров влияния по произвольно ориентированному отрезку и любой точки наблюдения;

— операция численного интегрирования исключена; аналитически получены точные первые (деформации, напряжения) и вторые (градиенты напряжений) производные от решения упругой и диффузионной задачи;

— полученные аналитические формулы справедливы для любых двух и трехмерных задач теории упругости вне зависимости от механических параметров и геометрических характеристик;

— показана численная сходимость метода на тестовых примерах;

— полученные алгоритмы на каждом шаге решения задачи позволяют считать искомые величины в каждой точке тела абсолютно независимо друг от друга;

— заложенное на уровне алгоритма полное распараллеливание вычислений (кроме решения системы алгебраических уравнений) существенно сокращает время решения задач, что показано на различных примерах;

— модифицированный метод применён для решения деформационно-диффузионной задачи о нахождении критического давления в поре конструкции вызванного диффундировавшим водородом.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Модификация метода граничных элементов.

2. Численно-аналитические алгоритмы решения трёхмерных и двумерных задач теории упругости.

3. Численно-аналитические алгоритмы решения деформационно-диффузионной задачи.

4. Анализ численной сходимости полученных алгоритмов.

5. Анализ временной характеристики решения задач теории упругости с использованием классического и модифицированного МГЭ.

Практическая значимость работы заключается во-первых в том, что полученный модифицированный метод позволяет решать задачи теории упругости и связанные деформационно-диффузионные задачи с меньшей затратой времени, чем методы использующиеся до сих пор; во-вторых, за счёт использования операций аналитического дифференцирования и интегрирования, полученная модификация даёт решение, способное точно и с достаточно большой скоростью корректно определять производные, т.е. деформации, напряжения и градиенты напряжений в конструкциях. Полученные результаты могут быть использованы в разработках аналитических программных пакетов для решения задач механики деформируемого твёрдого тела на многопроцессорных компьютерах.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований определяются корректным использованием аппарата механики деформируемого твёрдого тела, интегральных уравнений и аналитических операций; сопоставлением полученных результатов с известными аналитическими решениями тестовых задач; оценкой адекватности использования рассматриваемой модификации на многопроцессорных компьютерах.

Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная конференция «Разрушение и мониторинг свойств металлов» (Екатеринбург, 2003г.), Всероссийская конференция «Высокопроизводительные вычисления и технологии» (Ижевск, 2003 г.), Всероссийская научно-техническая конференция, посвященная 125-летию Свердловской железной дороги «Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» (Екатеринбург, 2003 г.), 1П и IV Всероссийский научные семинары им. С.Д. Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» (Екатеринбург, 2004, 2006гг.), I, II и Ш Всероссийские научные конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004,2005,2006 гг.), XXXII и XXXIII летние школы-конференции «Прогрессивные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2004 и 2005 тт.) (XXXII, XXXIII Summer School — Conference "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2004, 2005)), 19-ая Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Бийск, 2005 г.), XVII Российская научно-техническая конференция с международным участием «Не-разрушающий контроль и диагностика» (Екатеринбург, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, список которых приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат как постановки задач, так и результаты выполненных исследований.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит да введения, четырёх глав, общих выводов, списка литературы. Объём диссертации составляет 120 страниц. Библиографический список включает 141 наименование.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель н основные направления исследований, приводится структура диссертации.

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи.

В главе 1 приводится аналитический обзор и классификация современных численных методов с целью выбора для решения связанных деформационно-диффузионных задач. Приведена классификация численных методов в зависимости от типа формулировки. Рассмотрены особенности каждого типа.

В главе рассмотрены алгоритмы решения уравнений, приводящие к исходной формулировке, к которой относят такие методы, как метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод конечных разностей и др. Следующим типом

является слабая формулировка, которая приводит к МКЭ, вариационным методам и т.п. Вопросам применения и развития метода конечных элементов были посвящены работы О. Зенкевича, Дж. Одена. Вариационным методам, применяемым к рассматриваемому классу задач, были посвящены работы К. Ва-сндзу, В.Л. Берднчевского, М.М, Вайнберга, К. Ректориса. В частности применение вариационных методов для решения задач теории упругости и пластичности было описано К. Васидзу, В.Л. Колмогоровым и другими авторами. Более подробно рассмотрена обратная формулировка, к которой относится МГЭ, метод граничных интегральных уравнений и т.п. Этому методу в применении к различным областям механики деформируемого твёрдого тела были посвящены работы К. Бреббия, П. Бенерджи, С. Крауча и других авторов.

С учётом большой популярности МКЭ и МГЭ в последние годы, для этих двух методов приведено их сравнение по области их применимости, размерности задачи, непрерывному моделированию полей внутри области, точности и распределению погрешности.

Во второй части первой главы приводится постановка задачи исследования. Выбор обратной формулировки и, в частности, МГЭ обосновывается тем, что именно в такой формулировки отсутствуют производные искомой функции. Определяется необходимость и актуальность модифицирования МГЭ для решения рассматриваемых задач, за счёт введения максимального распараллеливания на уровне алгоритмов. Такая модификация значительно уменьшает время решения задач. Также обосновывается потребность в разработке таких алгоритмов, которые будут основаны не на численных операциях интегрирования и дифференцирования, а на аналитических.

Глава 2. Алгоритм решения двумерных задач теории упругости.

В пункте 2.1. рассматривается модификация МГЭ для плоской задачи теории упругости. Классический МГЭ в настоящее время достаточно широко используется при решении задач механики сплошных сред и в частности задач механики деформируемого твёрдого тела. Практически во всех таких работах и исследованиях МГЭ используется дня последовательного счёта, хотя в его алгоритмах достаточно явно обнаруживается возможность распараллеливания. Также во многих работах интегралы от функций влияния считаются численно, за исключением, быть может, сингулярных интегралов. В данной главе показана модификация, которая позволяет численные операции заменить аналитическими и распараллеливать задачу на сколь угодно большое количество процессоров без больших затрат на обмен информацией между процессорами.

Для получения алгоритма решения двумерной задачи теории упругости, основанного на МГЭ, рассматривается плоская упругая область произвольной формы. Записывается полная система уравнений теории упругости со смешанными условиями на границе. Согласно МГЭ решение полной системы уравнений упругости можно выразить через поверхностные перемещения щ (л) и поверхностные напряжения / (л). Для вектора перемещений в любой внутренней точке можно записать:

Ч({)- /[и"(£*)Г,{х)-Г„ (£, *)а,(*)]* + (£*)/, {х)-Г„{!;,х)и)(х)\<к. (1)

íy ^

Здесь х € 3 — граничная точка области, 4 — внутренняя точка области, звездочкой (*) обозначены известные граничные условия: для группы поверхностей перемещения и){х) и для труппы поверхностей 8у поверхностные напряжения //(*). Функции (тензор Грина) и для двумерной задачи

имеют вид:

где г — — расстояние между точками х н А{г = дг/дх(.

Разбив границу области на элементы, получаем численную схеме, в основе которой лежит граничный элемент (отрезок прямой либо дуга окружности) и произвольная точка, на которую оказывают влияние напряжения и перемещения, действующие на этом элементе. Если сделать разбиение поверхности деформируемой области достаточно мелким, то все поверхностные перемещения и напряжения, включая неизвестные, можно считать постоянными в рамках отрезков и помещенными в середину элемента. Таким образом, получили систему линейных алгебраических уравнений для определения поверхностных перемещений и напряжений.

Интегралы от функций влияния (2) и (3) по произвольному элементу образуют компоненты матрицы и свободного вектора системы. Все интегралы для основного блока численной схемы вычислялись независимо, что позволило использовать быстроразвивающнеся технологии параллельных вычислений на высокопроизводительных вычислительных комплексах.

Интегралы от компонентов функций щ и вдоль граничных элементов, являющихся отрезками прямой, были вычислены аналитически. Приведенные в этой главе формулы для полученных интегралов от функций влияния справедливы для произвольно ориентированного отрезка, а значит, могут быть использованы для описания плоской области любой геометрии.

Проинтегрированные аналитически функции влияния также будут являться функциями, зависящими от координат точки влияния, начала и конца элемента. После решения системы и получения значений и}"' и перемещение в любой точке внутренней области вычисляется по формуле (1). Деформации определялись по формуле Коши, в которую подставлялось аналитически продифференцированное выражение перемещения по соответствующим координатам. Компоненты напряжений для точек внутренней области определялись по известным деформациям при подстановке их в закон Гука.

В результате отмечена разница предлагаемой модификации с классическим МГЭ, в котором компоненты тензора напряжений во внутренней области определяются значительно сложнее, с использованием тензоров третьего порядка.

Предлагаемый алгоритм распараллеливания решения задач был проведен в три этапа:

1. Формирование матрицы и свободного вектора. Элементы матрицы и вектора разрешающей системы для определения недостающих поверхностных напряжений и перемещений вычисляются независимо друг от друга, что позволяет распараллелить задачу на данном этапе и расширить количество процессоров до количества элементов матрицы.

2. Решение системы алгебраических уравнений и нахождение искомых поверхностных напряжений и перемещений осуществляется методом Гаусса — Жордана.

3. Компоненты перемещений и тензоров напряжений и деформаций для произвольной точки внутренней области также рассчитываются независимо и получаются в виде аналитических функций.

В пункте 2.2 проводится анализ эффективности и сходимости рассматриваемого метода на примерах известных задач с особенностями, имеющими аналитическое решение. Одни и те же задачи были рассчитаны модифицированным МГЭ и МКЭ.

На примере задачи теории упругости показано, что время счёта первого этапа решения с использованием модифицированного МГЭ в 3000 раз меньше, чем при использовании классического МГЭ. Аналогичный показатель при счёте третьего этапа задачи был получен равным 600.

В пункте 2.3 приведено исследование численной сходимость полученной модификации на примере решения уравнения Лапласа для плоского круглого тела. Показано, что полученное решение становится практически неотличимым от аналитического при разбиении рассматриваемого тела лишь на 32 части.

В завершении сделаны выводы по главе 2.

Глава 3. Модификация МГЭ для трёхмерной задачи теории упругости.

В згой главе рассмотрен следующий шаг модификации МГЭ заключающийся в следующем: в МГЭ фиксируется точка влияния, а затем численным интегрированием компонентов тензора Грина (или функций влияния) определяется влияние каждого элемента границы на изменение физических или механических характеристик этой точки, в предлагаемом подходе точка влияния берется произвольной, а фиксируется наиболее удобный базовый элемент границы, по которому один раз производится аналитическое интегрирование компонентов функций влияния, результатом которого являются функции от координат произвольной точки влияния. Доказано, что для блока из любого элемента границы и любой точки влияния найдется точка, составляющая блок с базовым элементом, такая, что результаты интегрирования по этим блокам будут иметь линейную зависимость. Таким образом, вместо обхода по всем элементам границы с численным интегрированием "вокруг" фиксированной точки влияния, здесь происходит обход точек влияния, определяемых по найденному преобразованию, для фиксированного базового элемента.

Данная модификация рассматривается для трёхмерной задачи теории упругости. Рассматривается объёмное тело произвольной формы. Также как и в случае двумерной задачи записывается полная система уравнений теории упругости и задаются смешанные граничные условия. Функции влияния для трёхмерной задачи имеют вид:

Л* (í, = i^T-yp-ÍCt1 - 2v> ^ + - í1 - 2 v) ( - )} (10)

Аналогично записывается граничное интегральное уравнение для определения перемещений во внутренней области и в граничных точках. Для определения недостающих перемещения и напряжений на границе необходимо найти интегралы от функций влияния по произвольному элементу. Эти интегралы значительно упрощаются при вычислении их не по произвольному элементу, а по фиксированному базовому. На рисунке 1 изображён произвольный элемент — треугольник ABC и базовый элемент ABC, Такой переход от произвольного к базовому элементу описывается ортогональным преобразованием. Произвольная точка д: (, х2, л:3) на плоскости отображается в точку x(xi,xi,xs}, связанную с ней соотношениями:

x = Wx+A, (11)

lx3

Рисунок 1

/ -V /— -Ч л (V * «i «i \ «3

где дт — , Х = XI , W - матрица поворота, W — А А А .

Л j А A J «3 пи

а, =

а, =

zzb>~ait Рлв

_ьг~аг Pas

Pas

ßy =

sin al, pAC

•+eos ct

A =—r—

sin a

Рлв

а,—с, bi~ai ——-+cos a-2--

Pac РАЯ

- * (Ч-<

- + cosa-

Рлв )

} izfll

Рлв )

(12)

sinct^ pAC

где рлв — расстояние между точками А и В, рлс - расстояние между точками А и С, sin a, cos а - синус и косинус внутреннего угла треугольника при вершине А; пь п2, п} - компоненты нормированного вектора внешней нормали, который определяется как нормированное векторное произведение векторов АВ х ВС.

Далее, рассматривая несколько простых случаев действующих на треугольниках перемещений и напряжений, получаем выражение интегралов от функций влияния по произвольному элементу через интегралы по базовому элементу:

'КГ Ч сь а'1 №0 7М «i А „> Я,

'К) = А А А 'te) щ А «i

пг «Э J М) 7K)J А

Ш 'Ш Ч «г «Л Ш Цги) Цг»)} f „ 1 ' А «i

'(л) 'Ш = А А А Ч&) Ч&) «2 А "j

'(л), "2 №) Ч&) Ч&)} (a, А *>

где И» (Í,*)<£?(*), /{/;)= ¡/;{4,х)щх),

лас лвс

лвс ¿SS

Аналогично двумерному случаю, от полученных функций были посчитаны перемещения внутри области, а потом аналитически были вычислены их производные для подстановки в уравнение, выражающее компоненты деформации через производные от перемещений. Далее, по формуле, аналогичной уравнению (3), записанной для трёхмерного случая получили компоненты тензора напряжений.

Для рассматриваемого базового элемента были получены простейшие аналитические формулы, как результаты интегрирования, единые для любого элемента границы, для любых механических или физических свойств. Формирование матрицы разрешающей системы и нахождение затем перемещений, деформаций и напряжений во внутренней области осуществляется простой подстановкой различных координат точек влияния в полученные элементарные функции. Эти операции допускают максимальное распараллеливание.

Глава 4. Связанная деформационно-диффузионная двумерная задача. В пункте 4.1 приведён аналитический обзор по существующим методам и гипотезам использующимся при рассмотрении и решении деформационно-диффузионных задач.

В пункте 4.2 был смоделирован деформационно-диффузионный процесс для плоского линейно упругого тела от момента приложения постоянной растягивающей (сжимающей) нагрузки до достижения внутренним напряжением критического значения в околопоровой зоне.

С=С,

Данная задача рассматривалась в два этапа:

Первый этап. Решалась диффузионная задача во всем теле, за исключением околопоровой зоны, для тела изображённого на рис. 2. В теле присутствует дефект (пора), малый по сравнению с самим телом. Считалось, что в начальный момент времени концентрация водорода с левой стороны пластины ненулевая равная С,, концентрация с правой стороны пластины и в самой пластине нулевая.

Для решения диффузионной задачи также применена модификация МГЭ. В общем случае рассмотрена задача со смешанными граничными условиями и заданным начальным.

Следуя МГЭ, записано интегральное уравнение относительно неизвестной функции концентрации с в следующем виде:

(13)

А, Г V

где Ц - начальный момент времени, 1Р - конечный момент времени, к = 1/В, В - коэффициент диффузии, £ - произвольная точка области. Для получения численного решения воспользовались следующей схемой представления времени: каждый шаг по времени рассматривался как новая задача, поэтому в конце каждого шага подсчитываются значения искомой функции в достаточно большом числе внутренних точек, с тем, чтобы использовать их как псевдоначальные значения для следующего шага.

Для рассматриваемой двумерной задачи фундаментальное решение и его нормальная производная имеют вид

С*=—ехр 4якт

4Ах]' 4кт\'

(14)

(15)

где =[£,-*,]«,т = ^(^-^Ч^-^)2.

Поскольку граничные точки также принадлежат области, то уравнение аналогичное выражению (13) составляем для всех граничных точек. Для произвольной точки поверхности д:0 граничное интегральное уравнение, путём предельного перехода получено в виде: 1 ''' 1 [_'м г,

+1(м.ОсЧ^.^ЬсОс,/^)?^^.^))^^)^

у

Разбив границу области на элементы, использовали численную схему, рассмотренную в первой главе дайной работы. Аналогично, считали функции концентрации и потока постоянными в рамках отрезков и помещёнными в середину элемента. Для подсчёта интегралов по произвольным отрезкам, которыми аппроксимирована граница, применена рассмотренная в третьей главе модификация МГЭ. В данном случае произведён переход от произвольного отрезка и заданной точки к _ заданному базовому отрезку и произвольной точке влияния. Далее, подставив полученные значения концентрации и потока на границе в уравнение (13), получили функцию концентрации для произвольной точки тела на данном временном шаге в виде аналитической функции. Брали производную от найденного выражения концентрации и получали функцию потока. В результате, задача на первом этапе решена.

Второй этап. Известно из принципа Сен-Венаиа, что, градиент напряжений будет равен нулю почти всюду, за исключением некоторой зоны около дефекта. Упругая задача в теле решена с использованием алгоритма, описанного во второй главе, отсюда получена зона около дефекта с ненулевым градиентом напряжений. Поэтому задача нахождения критического напряжения в околопоро-вой зоне создаваемого диффундирующим водородом решалась уже только в этой зоне.

Далее осуществлён переход к решению задачи в теле изображённом на рисунке 3. Концентрацию водорода на внешней границе тела считали постоянной величиной, найденной из решения первого этапа задачи, на внутренней границе концентрацию полагали постоянной, равной нулю, также как и концентрацию в рассматриваемом теле в начальный момент времени. Определяем внутреннее давление до тех пор, пока внутреннее напряжение в теле не достигает критического.

Диффузионная задача при влиянии напряженного состояния будет иметь вид

С = У(ОЧС)-аЯС (17)

со смешанными граничными условиями. Здесь со^ОУУсг/КТ, а - среднее нормальное напряжение, V - парциальный молярный объем газа в металле, К — газовая постоянная, Т — абсолютная температура.

Для решения уравнения (17) произведена замена, учитывая, что искомая функция концентрации зависит от двух пространственных координат

С(*1»-»1»0 = ехР(д(л1+*г) + А0и(лс1>'ягг>0> ГДе Р,--й>/20, рг =-б>72^> приводит к двумерному уравнению диффузии.

В свою очередь мы уже получили схему решения задачи диффузии. Таким образом, зная функции концентрации и потока на границе, мы получили граничные условия задачи для следующего временного шага, и, зная те же самые функции для произвольной точки тела, мы можем вычислить внутреннее давление в поре.

Внутреннее давление на (-ом временном шаге определяется из уравнения баланса массы

4-1 **

Здесь р — плотность газа, ¡1 — его молекулярная масса, Т — температура, Л — газовая постоянная, Г, К - площадь поверхности и объем поры соответственно, /^ме — внутренне давление в поре. Используя вновь схему решения упругой задачи, получаем новое значение градиента напряжения. Таким образом, описанная процедура повторяется до тех пор, пока напряжение не достигает критического значения.

Рассчитав таким образом задачу на нескольких временных шагах, вернулись к упругой задаче с граничными условиями, полученными уже из решения диффузионной задачи, т.е. во внутреннем отверстии поверхность уже не свободна от нагрузки, там возникает давление, возникшее из-зз диффузии водорода.

После рассмотрения связанной задачи на нескольких временных этапах, переходим к решению упругой задачи с учётом внутреннего давления. Получая градиент напряжений из решения упругой задачи, подставляем его в связанную.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены численно-аналитические алгоритмы решения плоской задачи теории упругости. При получении алгоритма была использована модификация МГЭ, включающая в себя аналитическое интегрирование функций влияния и аналитическое дифференцирование при нахождении компонент тензоров деформации и напряжений в теле.

2. Показано, что благодаря аналитичности полученных функций напряжений могут быть получены градиенты напряжений, также с использованием операции аналитического дифференцирования.

3. Показано, что на первом и третьем этапах решения плоской упругой задачи, алгоритм допускает максимальное распараллеливание счёта искомых величин.

4. На примерах решения задач с известными аналитическими решениями, проведено сравнение решений полученных при помощи МКЭ и модифицированного МГЭ.

5. Показано, что время решения упругой задачи при переходе от классического МГЭ к модифицированному сокращается на первом этапе до 3000 тысяч раз, на третьем этапе - до 600 раз.

6. На примере решения задачи о равновесии круглой пластины показана численная сходимость метода при разбиении длины окружности на 16 и 32 частей.

7. Получен алгоритм решения трёхмерной задачи теории упругости модифицированным МГЭ.

8. Модификация метода, помимо отличий от классического МГЭ, показанных на примере плоской упругой задачи, содержит также переход от произвольного элемента и заданной точки влияния к заданному, базовому элементу и произвольной точке. Доказана обоснованность такого перехода.

9. Показано, что при проведении вышеописанной модификации алгоритмы получения перемещений, деформаций и напряжений значительно упрощаются, а также дают возможность увеличивать скорость счёта задачи.

10.Выписаны аналитические формулы для получения интегралов от функций влияния, функций перемещения и компонент тензора напряжений и деформаций.

11 .Полученные выражения перемещений и компонент тензоров деформации и напряжений позволяют аналитически вычислять градиент напряжений в теле.

12. Получен алгоритм решения деформационно-диффузионной задачи для анализа влияния диффундирующего водорода на рост напряжения около дефекта в теле подверженном растягивающим (сжимающим) напряжениям.

13. Полученный алгоритм применён на примере упругой полосы, на которую действуют растягивающие напряжения и диффундирующий водород.

14. На примере решения задачи показано, что рост внутреннего давления, вызванного молекулярным водородом, приводит к разрушению материала.

Основные результаты диссертации, опубликованные в рецензируемых сборниках;

1. Привалова, В.В. Численно-аналитический алгоритм для решения задач упругости, теплопроводности, диффузии [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф, Спевак и др. // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений: Сборник научных трудов. Вып. 7. — Екатеринбург: УрО РАН: 2003. — С. 70-86, (авт. 2 е.).

2. Привалова, В.В. Исследование сходимости численно-аналитического метода решения задач упругости, теплопроводности и диффузии [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак и да. // Вестник СамГТУ, сер. Физико-математические науки. Вып. 30. - Самара: 2004. - С. 24-32. (авт. 3 е.).

3. Привалова, В.В. Решение задач деформирования с использованием параллельных алгоритмов [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак и др. // Вестник УГТУ-УПИ №22(52). Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Сборник научных трудов. — Екатеринбург: 2004. - С. 113-118. (авт. Зс.).

В других сборниках:

4. Привалова, В.В. Параллельные алгоритмы для задач деформирования и разрушения [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // Разрушение и мониторинг свойств металлов: Тр. международ, конф. — Екатеринбург: 2003. — С. 21. (авт. 0,5 е.).

5. Решение двумерных задач теории упругости с использованием параллельных алгоритмов вычислений [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак и др. // Высокопроизводительные вычисления и технологии; Тезисы докладов Всероссийской конференции. Тезисы докладов. 27-30 октября, Ижевск: 2003. - С. 142-147. (авт. 2 е.).

6. Привалова, В.В, Численно-аналитический метод для задач упругости и теплопроводности [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // Проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта: Материалы Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 125-летию Свердловской железной дороги. Т.4. — Екатеринбург: 2003. — С. 234-241. (авт. 4 е.).

7. Привалова, В.В. Решение задач деформирования с использованием параллельных алгоритмов [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак, В.Б, Трухин // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: Тезисы докладов III Всероссийского научного семинара им. С.Д. Волкова. - Екатеринбург: 2004. - С. 68. (авт. 0,3 е.).

8. Привалова, В.В. Решение двумерных и трёхмерных задач теории упругости с использованием параллельных алгоритмов вычислений [Текст] / В.В. Привалова, ВЛ. Федотов, Л.Ф. Спевак // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. - Самара: СамГТУ: 2004. - С. 237-242. (авт. 2,5 е.).

9. Privalova, V. V. Numerical - analytical method for solving problems of elasticity and heat conductivity [Текст] / V.V, Privalova, V.P. Fedotov, L.F. Spevak e.t.c. // Book of abstracts of the XXXII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". - St. Petersburg, 2004. - P. 43-44. (авт. 0,8 е.).

10. Привалова, В.В. Математическое моделирование краевых задач упругости и диффузии с помощью параллельных алгоритмов [Текст] / В.В. Привалова,

B.П. Федотов, Л.Ф. Спевак Н Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. - Самара: СамГТУ, 2005. -

C. 287-290. (авт. 1,5 е.).

11. Привалова, В.В. Решение задач теории упругости с помощью алгоритмов параллельного действия [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак и др. // Сборник трудов 19-ой Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. — Бийск: Б и иски й технологический институт, 2005. — С. 269-273. (авт. 1,8 е.).

12. Привалова, В.В. Моделирование трёхмерных задач упругости и диффузии для контроля надёжности элементов конструкций [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак и др. // Тезисы докладов XVII Российской научно-

технической конференции с международным участием «Неразрушающий контроль и диагностика». - Екатеринбург: 2005. - С. 197. (авт. 0,4 е.).

13. Privalova, V.V. A Numerical - Analytical Technique for solving problems of Mathematical phisics [Текст] / V.V. Privalova, V.P. Fedotov, L.F, Spevak e.t.c. // Book of abstracts of the XXXIII Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". - St Petersburg: 2005. - P. 41-42. (авт. 0,8 е.).

14. Привалова, В.В. Модификация метода граничных элементов для решения упругих задач [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // Тезисы докладов IV Всероссийского научного семинара памяти профессора С.Д.Волкова «Механика микронеоднородных материалов и разрушение». -Екатеринбург: 2006. - С. 62. (авт. 0,4 е.).

15. Привалова, В.В. Модификация метода граничных элементов для моделирования трехмерных упругих задач [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Третьей всероссийской научной конференции. - Самара: СамГТУ, 2006. - С. 231-234. (авт. 1,8 е.).

16. Privalova, V.V. Solving Two- And Three-Dimensional Elastic Problems by Modified Boundary Element Method [Текст] / V.V. Privalova, V.P. Fedotov, L.F. Spevak e.t.c. // XXXIV Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of abstracts. - St. Petersburg, 2006. - P. 33. (авт. 0,3 е.).

17. Привалова, В.В. Модифицированный метод граничных элементов для решения задач теории упругости [Текст] / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // IX Всероссийский съезд по теоретической механике: Аннотации докладов. Т. 3. - Нижний Новгород, 2006. - С. 177. (авт. 0,3 е.).

Подписано в печать 25 октября 2006 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ Ks 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова,! Отпечатано УОП СамГУ

%*crefScs.>iSjf?} да,-- .¡фъ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ.

ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

2.1. Численно-аналитический алгоритм решения упругой задачи.

2.2. Анализ эффективности метода на примерах решения задач.

2.3. Анализ численной сходимости метода граничных элементов.

Выводы по разделу 2.

3. МОДИФИКАЦИЯ МГЭ ДЛЯ ТРЁХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ.

3.1. Алгоритм решения упругой задачи.

3.2. Аналитическое вычисление интегралов.

Выводы по разделу 3.

4. СВЯЗАННАЯ ДЕФОРМАЦИОННО-ДИФФУЗИОННАЯ ДВУМЕРНАЯ

ЗАДАЧА.

4.1. Влияние диффузии на деформирование.

4.2. Численно-аналитический алгоритм решения деформационно-диффузионной задачи.

4.3. Задача диффузии водорода около круглой поры в напряжённом поле. 96 Выводы по разделу 4.

Актуальность темы диссертации. Подавляющему большинству практических задач, возникающих в инженерном деле и прикладных науках, присуща чрезвычайная нерегулярность границ областей, отвечающих изучаемым объектам, так что при их количественном исследовании трудно рассчитывать на получение аналитических результатов и решения, как правило, приходится так или иначе искать численно. Наиболее распространенные численные методы основываются на достаточно мелком подразделении изучаемой области либо путем введения линейных сеток с неизвестными значениями переменных в узлах, как в конечно-разностных методах, либо путём разбиения области на большое число дискретных элементов простой структуры, как в методах конечных элементов. В настоящее время такие методы достигли достаточно высокого развития и популярности. Но первым недостатком данных методов, несомненно, оставалась громоздкость вычислений при решении реальных задач.

С другой стороны, для решения практических задач математической физики, как правило, используются приближенные методы расчета, основанные на алгоритмах и программистской технологии последовательного счета. В последнее время наблюдается прогресс в распараллеливании программ для решения таких задач, однако, они по-прежнему основываются на алгоритмах, разработанных в свое время для последовательного счета: методе конечных разностей, методе конечных элементов, вариационных методах и т.д. Получаем второй существенный недостаток вышеописанных методов: невозможность абсолютного распараллеливания. Разработка алгоритмов, в которых изначально была бы заложена идеология распараллеливания, может существенно сократить время решения реальных задач.

Настоящая работа посвящена альтернативному методу, методу граничных элементов (МГЭ), способному конкурировать с вышеперечисленными методами. Данный метод в равной степени универсален и основан на изучении не самих дифференциальных уравнений, описывающих конкретную задачу, а соответствующих этой задаче граничных интегральных уравнений. Одна из самых замечательных особенностей МГЭ состоит в том, что при его реализации дискретизации подлежат лишь границы изучаемых областей. Это естественно ведёт к существенному уменьшению числа дискретных элементов по сравнению с методами, требующими внутренней дискретизации всего рассматриваемого тела. Следовательно, для того, чтобы найти окончательное решение этим методом, нужно решить систему алгебраических уравнений более низкого порядка, чем при использовании других методов.

Помимо тех достоинств решения задач, которые уже были упомянуты, следующим резервом для роста быстродействия может быть увеличение аналитической части предварительных расчетов в рассматриваемой задаче. В результате, получаем ещё одно очень важное достоинство рассматриваемого метода: при решении задач теории упругости искомые функции (перемещения) определяются в виде аналитических функций, что является достоинством при дальнейшем расчёте деформаций, напряжений и градиентов напряжений, т.к. дифференцирование для получения этих функций также проводится аналитически.

Предлагаемый численно-аналитический метод, основанный на методе граничных элементов, сочетает в себе все эти качества и представляется эффективным средством решения некоторых задач механики деформируемого твёрдого тела.

Цель работы. Целью данной работы является построение численно - аналитических алгоритмов решения задач теории упругости и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов; получение решения задачи теории упругости в явном аналитическом виде; проведение качественного и количественного анализа по ускорению и усовершенствованию расчёта задач рассматриваемым методом в сравнении с другими численными методами решения линейных задач механики сплошных сред.

Направление исследований.

Поиск решения двумерных и трёхмерных задач теории упругости и деформационно-диффузионных задач модифицированным методом граничных элементов в виде аналитических функций, допускающих аналитическое дифференцирование;

Усовершенствование МГЭ за счёт изменения рассмотрения численного блока «граничный элемент - точка влияния»;

Проведение предварительных аналитических вычислений необходимых интегралов от функций влияния;

Сравнение качественных и количественных скоростей решения задач механики сплошных сред различными численными методами;

Анализ полученных результатов и рекомендации для их усовершенствования на случай решения более сложных задач механики сплошных сред.

Научная новизна.

- получены аналитические формулы интегралов от тензоров влияния по произвольно ориентированному отрезку и любой точки наблюдения;

- исключена операция численного интегрирования, что позволило получить точные первые (деформации, напряжения) и вторые (градиенты напряжений) производные от решения упругой и диффузионной задачи;

- полученные аналитические формулы справедливы для любой двух или трехмерной упругой и диффузионной задач;

- показана быстрая сходимость метода на тестовых примерах задач теории упругости;

- заложенное на уровне алгоритма полное распараллеливание вычислений (кроме решения системы алгебраических уравнений) существенно сокращает время решения задач, что показано на различных примерах задачах;

- решена связная деформационно-диффузионная задача; анализ ее решения выявил взаимное влияние этих процессов.

Практическая значимость работы. Полученные алгоритмы позволяют считать задачу теории упругости и связанную деформационно-диффузионную задачу, во-первых, со значительным увеличением скорости счёта по сравнению с широко используемыми в настоящее время численными методами (например, метод конечных элементов, метод конечных разностей и т.п.); во-вторых, с использованием только аналитических операций.

Методы исследований, достоверность и обоснованность результатов. В работе использованы эмпирические и теоретические методы исследования. Полученные результаты на известных простых примерах и примерах задач с особенностями прошли сверку с известными аналитическими решениями. Проведено исследование сходимости рассматриваемого метода. Практическое использование полученных результатов было проведено в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук. Там же была оценена адекватность использования данного метода на многопроцессорных компьютерах.

На защиту выносятся: численно-аналитические алгоритмы решения трёхмерных и двумерных задач теории упругости, а также деформационно-диффузионной задачи; модификация метода граничных элементов; качественный и количественный анализ использования полученного модифицированного метода.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 141 названия. Объём диссертации составляет 120 страниц.

Основные результаты, полученные при выполнении данной диссертации, состоят в следующем:

1. Получены алгоритмы для решения двумерной задачи упругости модифицированным методом граничных элементов. Выписаны и протестированы выражения: перемещения внутренних точек, полученные аналитическим интегрированием функций влияния; компонентов тензоров деформаций, напряжений и градиентов напряжений, полученные аналитическим дифференцированием.

2. Показано, что благодаря максимальному распараллеливанию, решение задачи на первом и третьем этапах (счёт интегралов от функций влияния и компонент тензоров деформации и напряжений) получается практически без уменьшения скорости счёта при увеличении разбиения границы.

3. Проведено сравнение по времени счёта и точности полученных решений с решениями, полученных методом конечных элементов и аналитических решений для задач с особенностями.

4. На примере трёхмерной задачи теории упругости проведена модификация метода граничных элементов, заключающаяся в следующем: в МГЭ фиксируется точка влияния, а затем численным интегрированием компонентов тензора Грина (или функций влияния) определяется влияние каждого элемента границы на изменение физических или механических характеристик этой точки; в полученной модификации точка влияния берется произвольной, а фиксируется наиболее удобный базовый элемент границы, по которому один раз производится аналитическое интегрирование компонентов функций влияния, результатом которого являются функции от координат произвольной точки влияния. Выписаны алгоритмы полученных решений в явном виде.

5. Для описанной модификации доказано, что для блока из любого элемента границы и любой точки влияния найдется точка, составляющая блок с базовым элементом, такая, что результаты интегрирования по этим блокам будут иметь простую связь.

6. Показано, что получение решений в виде аналитических формул, удовлетворяющих основным уравнениям теории упругости, позволяют корректно считать физические и механические характеристики, определяемые через производные искомых.

7. Успешно проведено тестирование полученных алгоритмов для трёхмерной задачи теории упругости.

8. Получен алгоритм решения деформационно-диффузионной задачи для влияния диффундирующего водорода на рост напряжения около дефекта в теле подверженном растягивающим напряжениям.

9. В представленном алгоритме используется модификация МГЭ, благодаря которой градиент напряжений в околопоровой зоне получен с использованием только аналитических операций и является аналитической функцией.

10. Полученный алгоритм применён на примере упругой полосы, на которую действуют растягивающие напряжения и диффундирующий водород.

11. На примере решения задачи показано, что рост внутреннего давления, вызванного водородом, приводит к критическим значениям напряжения в околопоровой зоне.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Алейников, С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований Текст. / С.М. Алейников. - М.: Издательство «АСВ», 2000. - 754 с.

2. Андрейкие, А.Е. Пространственные задачи теории трещин Текст. / А.Е. Андрейкив. Киев.: Наук, думка, 1982. - 345 с.

3. Астафьев, В.И. Накопление поврежденности и коррозионное растрескивание металлов под напряжением Текст. / В.И. Астафьев, Л.К. Ширяева. Самара: СамГУ, 1998. - 123 с.

4. Арсенин, В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции Текст. / В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1966. - 366 с.

5. Афанасьев, К.Е. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах. Учебное пособие Текст. / К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов. Кемерово: Изд-во КемГУ, 2001. - 208 с.

6. Афанасьев, К.Е. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами Текст. / К.Е. Афанасьев, Т.И. Самойлова // Вычислительные технологии. Новосибирск, 1995. - Вып. 7 - №11. - С. 19-37.

7. Бенерджи, П. Методы граничных элементов Текст.: Пер. с англ. / Р. Батгерфилд. М.: Мир, 1984. - 494 с.

8. Бердичевский, B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды Текст. / В.Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. - 448 с.

9. Болотин, В.В. Трещиностойкость материалов и континуальная механика повреждений Текст. / В.В. Болотин // ДАН. 2001. - Т. 376, №6. - С. 760-762.

10. Бочкарев, А.О. О применении метода граничных элементов к геометрически нелинейным задачам теории упругости Текст. / А.О. Бочкарев // Веста. Ленингр. ун-та. Сер. 1. - 1996. - Вып. 3 - С. 62-64.

11. Бреббия, К. Методы граничных элементов Текст.: Пер. с англ. / Ж. Теллес, JI. Вроубел. М.: Мир, 1987. - 524 с.

12. Бреббия, К. Применение метода граничных элементов в технике Текст. / К. Бреббия, С. Уокер. М.: Мир, 1982. - 248 с.

13. Броек, Д. Основы механики разрушения Текст. / Д. Броек. Перев. с англ. - М.: Высшая школа, 1980. - 36 с.

14. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности Текст. / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. - 542 с.

15. Верюжский, Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики Текст. / Ю.В. Верюжский. Киев: «Вища школа», 1978.- 183 с.

16. Взаимодействие водорода с металлами Текст. / В.Н. Агеев, И.Н. Бекман, О.П. Бурмистрова и др. М.: Наука, 1987. - 296 с.

17. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст. / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1967. - 436 с.

18. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления Текст. / В.В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

19. Воеводин, В.В. Некоторые машинные аспекты распараллеливания вычислений Текст. / В.В. Воеводин. Препринт. ОВМ АН СССР. - Москва, 1981.-22 с.

20. Вычислительные методы в механике разрушения Текст. / Ф. Эрдо-ган, А. Кобаяси, С. Атлури и др. М.: Мир, 1990. - 392с.

21. Галактионова, Н.А. Водород в металлах Текст. / Н.А. Галактионо-ва. М.: Металлургиздат, 1959. - 256 с.

22. Гелъд, П.В. Водород в металлах и сплавах Текст. / П.В. Гельд, Р.А. Рябов. М.: Металлургия, 1974. - 272 с.

23. Грибов, А.П. Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений Текст. / А.П. Грибов, Н.И. Куканов // Вестник УлГТУ. 2001. - №3. - С. 60-71.

24. Грибов, А.П. Расчет гибких упруго-пластических оболочек прямым методом граничных элементов Текст. / А.П. Грибов, В.Г. Малахов // Вестник УлГТУ. 2001. - №3. - С. 71-76.

25. Громадна, П. Т. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах Текст. / П.Т. Громадка, Ч. Лей. -М.: Мир, 1990. 303 с.

26. Дьяконов, В. Maple 7 Текст.: учеб. Курс / В.Дьяконов. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

27. Екобори, Т. Научные основы прочности и разрушения материалов Текст. / Т. Екобори. Киев: Наукова думка, 1978. - 352 с.

28. Еременко, С.Ю. Метод равновесных граничных элементов в краевых задачах теории упругости Текст. / С.Ю. Еременко // ПММ, 1993. Т. 57, Вып. 6. - С. 69-78.

29. Жернаков, B.C. Метод граничных элементов в пространственных задачах теории упругости Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение. 1995. - №4-6. - С. 11-16.

30. Жернаков, B.C. Метод граничных элементов в задачах для бесконечных областей Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение. 1991. - № 10-12. - С. 3-7.

31. Жернаков, В. С. Метод граничных элементов в задачах термоупругости Текст. / B.C. Жернаков, Х.Ш. Газизов // Известия вузов. Машиностроение, 1991. -N 1-3. -С.7-9

32. Зарубин, B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций Текст. / B.C. Зарубин. М.: Машиностроение, 1985. - 292 с.

33. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике Текст. / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975. - 542 с.

34. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация Текст. / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1987. - 318 с.

35. Зиновьев, Б.М. О вычислении сингулярных интегралов при численном решении задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений Текст. / Б.М. Зиновьев, А .Я. Александров // ДАН СССР, 1981. т. 257, №6.-С. 1328-1332.

36. Зиновьев, Б.М. Численное решение задач теории упругости для тел с разрезами Текст. / Б.М. Зиновьев, А .Я. Александров. // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - Вып 5. - С. 89-97.

37. Злоческий, А. Б. Методика экспериментального определения коэффициента интенсивности напряжений для поверхностных трещин Текст. / А.Б. Злоческий, П.П. Мельничук // Заводская лаборатория. 1984. - №4. - С. 59-63.

38. Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды Текст. / А.А. Ильюшин. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.

39. Инспекция трубопроводов с помощью интеллектуальных дефектоскопов-снарядов Текст. / Б.Р. Павловский, X. Гедике, Р. Кизингер, Н.В. Холза-ков // Безопасность труда в промышленности, 1992. № 3. - С.15-18.

40. Карпенко, Г.В. Влияние среды на прочность и долговечность металлов Текст. / Г.В. Карпенко. Киев: Наукова думка, 1976. - 128 с.

41. Карпенко, Г.В. Прочность стали в коррозионной среде Текст. / Г.В. Карпенко. М.: Машгиз, 1963.- 187 с.

42. Ковалъчук, Б.И. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций Текст. / Б.И. Ковальчук, А.А. Лебедев, С.Э. Уман-ский. Киев: Наук, думка, 1987. - 278 с.

43. Колачев, Б.А. Водородная хрупкость металлов Текст. / Б.А. Кола-чев. М.: Металлургия, 1985. - 216 с.

44. Колмогоров, В.Л. Механика обработки металлов давлением Текст. / В.Л. Колмогоров. М.: Металлургия, 1986. - 688 с.

45. Корн, Г. Справочник по математике. Определения, теоремы, формулы Текст. / Г. Корн, Т. Корн. СПб.: Издательство «Лань», 2003. - 832 с.

46. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения Текст. / М.Л. Краснов. -М.: Наука, 1975. 304 с.

47. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела Текст. / С. Крауч, А. Старфилд А. М.: Мир, 1987. - 328 с.

48. Купрадзе, В.Д. Методы потенциала в теории упругости Текст. / В.Д. Купрадзе. М.: Физматгиз, 1962. - 462 с.

49. Леонов, М.Я. Механика деформаций и разрушения Текст. / М.Я. Леонов. Фрунзе: Ильм, 1981. - 236 с.

50. Лурье, А.И. Теория упругости Текст. / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. - 940 с.

51. Маричев, А.А. Связь критической концентрации водорода и критического коэффициента интенсивности напряжений при водородном охрупчива-нии конструкционных материалов Текст. / А.А. Маричев // Физико-химическая механика материалов. 1984. - №3. - С. 6-14.

52. Матвиенко, Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения Текст. / Ю.Г. Матвиенко. М.: Физматлит, 2006. - 326 с.

53. Матросов, А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики Текст. / А.В. Матросов. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

54. Механика водородного охрупчивания металлов и расчет элементов конструкций на прочность Текст. / А.Е. Андрейкив, В.В. Панасюк, Л.И. Поляков, B.C. Харин. // Львов.: Препринт №133. Физико-механический институт им. Г.В.Карпенко, 1987. 50с.

55. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов Текст. / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1966. - 432 с.

56. Мороз, Л.С. Водородная хрупкость металлов Текст. / JT.C. Мороз, Б.Б. Чечулин. М.: Металлургия, 1967. - 256 с.

57. Морозов, Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения Текст. / Е.М. Морозов, Т.П. Никишков. М.: Наука, 1980. - 256 с.

58. Мусхелишвши, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости Текст. / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 709 с.

59. Науменко, В.В. Исследование концентрации упругопластических напряжений в бесконечной плоскости с разрезом методом граничных элементов в непрямой формулировке Текст. / В.В. Науменко, Е.А. Стрельникова // Журнал «Проблемы машиностроения», 1999. Т. 2.

60. Новацкий, В. Теория упругости Текст. / В. Новацкий. М.: Мир, 1975.-872 с.

61. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред Текст. / Дж. Оден. М.: Мир, 1976. - 464 с.

62. Олейник, О.А. Лекции об уравнениях с частными производными Текст. / О.А. Олейник. М.: БИНОМ, 2005. - 260 с.

63. Орлов, В.А. Гликман Л.А. Влияние водорода на межкристаллитную прочность стали Текст. / В.А. Орлов, Л.А. Гликман // Физико-химическая механика материалов. 1965. - № 3. - С.299-305.

64. Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем Текст. / Дж. Ортега. М.: Мир, 1991. - 367 с.

65. Панасюк, В.В. О важнейших задачах исследований по физико химической механике конструкционных материалов Текст. /В.В. Панасюк // Физ.- хим. механика материалов, 1974. - № 4. - С. 75-80.

66. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости Текст. / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1977. - 312 с.

67. Партон, В.З. Методы математической теории упругости Текст. / В.З. Партон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1981. - 688 с.

68. Перлин, П.И. Об одном применении расходящихся интегралов в задачах теории потенциала и теории упругости Текст. / П.И. Перлин // ПММ, 1993. Т. 57, Вып. 4. - С. 144-146.

69. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности Текст. /Б.Е. Победря. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 343с.

70. Полянин, АД. Справочник по линейным уравнениям математической физики Текст. / А.Д. Полянин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

71. Привалова, В.В. Параллельные алгоритмы для задач деформирования и разрушения Текст. / В.В. Привалова, В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак // Разрушение и мониторинг свойств металлов: Тр. международ, конф. Екатеринбург: 2003.-С. 21.

72. Привалова, В.В. Модификация метода граничных элементов для трёхмерных задач теории упругости Текст. /В.В. Привалова, В.П. Федотов,

73. Л.Ф. Спевак // Вестник УГТУ-УПИ . Механика микронеоднородных материалов и разрушение. Сборник научных трудов.

74. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела Текст. / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1988. - 712 с.

75. Резников, Ю.Н. Возможности и проблемы применения метода граничных элементов в расчетах процессов объемной штамповки Текст. / Ю.Н. Резников // Вестник ДГТУ. Сер. Проблемы производства машин. Ростов н/Д, 2000. - С.92 - 97.

76. Резников, Ю.Н. О применении метода граничных элементов о математическом моделировании нестационарных в математическом моделировании нестационарных процессов деформации Текст. / Ю.Н. Резников, А.В. Вовченко // Металлы. 2002. - №6. - С.49-54.

77. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике Текст. / К. Ректорис. М.: Мир, 1983. - 712 с.

78. Саратори, М. Вычислительная механика разрушения Текст. / Пе-рев. с японск. под ред. Е.М. Морозова. / М. Саратори, Т. Миеси, X. Мацусита. -М.: Мир, 1986.-334 с.

79. Свойства элементов Текст. / М.Е. Дриц, П.Б. Будберг, Г.С. Бурха-нов и др. М.: Металлургия, 1985. - 672 с.

80. Свойства элементов. Ч. 1. Физические свойства Текст. / Т.В. Андреева, А.С. Болгар, М.В. Власова и др. М.: Металлургия, 1976. - 600 с.

81. Седов, J1.K Механика сплошной среды Текст.: в 2 т. / Л.И. Седов. -М.: Наука, 1970. Т 2. - 568 с.

82. Соколкж, Ю.В. Приложение метода граничных элементов к экспериментальному исследованию развития усталостных трещин Текст. /Ю.В. Со-колкин, А.А. Чекалкин, Е.М. Якушина // Математ. моделир. систем и проц., 1997.-N5.-С.115-120.

83. Стеклов, О. И. Стойкость материалов и конструкций к коррозии под напряжением Текст. / О.И. Стеклов. М.: Машиностроение, 1990. - 384 с.

84. Сызранцев, В.Н., Сызранцева К.В. Расчет напряженно-деформированного состояния деталей методами конечных и граничных элементов Текст. / В.Н. Сызранцев, К.В. Сызранцева. Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2000.- 111с.

85. Тараканов, В.И. Граничные вариационные уравнения в краевых задачах теории упругости Текст. / В.И. Тараканов. Изд-во Томск, ун-та, 1982. - 141 с.

86. Терещенко, В.Я. К вопросу обоснования вариационных формулировок метода граничных элементов Текст. / В.Я. Терещенко // ПММ, 1991. Том 55,№2.-С. 309-316.

87. Тетелъман, А. Водородная хрупкость сплавов железа. В кн. Разрушение твердых тел Текст. / А. Тетельман. М.: Металлургия, 1967. - С.463-499.

88. Тимошенко, СЛ. Теория упругости Текст. / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1979. - 560 с.

89. Трубицын, А.А. Вычисление сингулярных интегралов при решении задачи Дирихле методом граничных элементов Текст. / А.А. Трубицын // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. - Т. 35. -№4. - С. 532-542.

90. Угодчиков, А.Г. Метод граничных элементов в механике деформируемого твёрдого тела Текст. / А.Г. Угодчиков, Н.М. Хуторянский. Изд. Казанского университета, 1986. - 296 с.

91. Фаддеева, В.Н. Параллельные вычисления в линейной алгебре Текст. / В.Н. Фаддеева, Д.К. Фаддеев // Кибернетика, 1977. № 6. - С. 28-40.

92. Фарлоу, С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров Текст. / С. Фарлоу. М.: Мир, 1985. - 384 с.

93. Хеллан, К. Введение в механику разрушения Текст. / К. Хеллан. -М.: Мир, 1988. 364 с.

94. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения Текст. / Г.П. Черепанов. М.: Наука, 1974. - 640 с.

95. Численное моделирование упругой задачи на многопроцессорных вычислительных системах Текст. / В.Л. Гасилов, Т.Д. Думшева, Е.С. Зенкова,

96. В.П. Федотов // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений.- 2002. № 6. - С. 104-124.

97. Яненко, Н.Н. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики Текст. / Н.Н. Яненко // Параллельное программирование и высокопроизводительные системы. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1980. - Ч. 1. - С. 135-144.

98. Aliabadi, М.Н. Applications in Solids and Structures Текст. / M.H. Ali-abadi // The Boundary Element Method. 2002. - Vol. 2. - 598 p.

99. Banerjee, P.K. Integral equation method for analysis of piece-wise non-homogeneous three-dimensional elastic solids of arbitrary shape / P.K. Banerjee. // Int. J. Mech. Sci., 1976. v.18. - P. 293-303.

100. Brebbia, C.A. Fundamentals of Finite Elements Techniques for Structural Engineers Текст. / C.A. Brebbia, J.J. Connor. Butterworths, London, 1973.

101. Brebbia, C.A. Finite Elements Techniques for Fluid Flow Текст. / C.A. Brebbia, J.J. Connor. Butterworths, London, 1976.

102. Bombara, G. Two cases of stress cracking of pressure vessels in chemical plants Текст. / G. Bombara, M. Cavallini I I Brit. Corros. J., 1977. V. 12, № 4.- P.241-242.

103. Butterfleld, R. Integral techniques for solving zoned anisotropic continuum problems Текст. / R. Butterfleld, G.R. Tomlin // In Proc. Int. Conf. On Variational Methods in Engineering, Vol. 2. Southampton University Press, Southampton, 1972.

104. Cartwright, D.J. Underlying Principles of the Boundary Element Method Текст. / D. J. Cartwrigh. Witt Press. - Bucknell University USA. - 2001. - 296p.

105. Chang, Y.P. The use of fundamental Green's function for the solution of problems of heat conduction in anisotropic media Текст. / Y.P. Chang, C.S. Kang, D.J. Chen // Int. J. Heat Mass Transfer 16, 1973. P. 1905-1918.

106. Courant, R. Methods of Mathematical Phisics Текст. / R. Courant, D. Hilbert Interscience, New York, 1953.

107. Cracknell, A. The effect of hydrogen on steel Текст. / A. Cracknell // Chem. Eng. (Gr. Brit.), 1976. № 306. - P. 92-94.

108. Greminger, M.A. Deformable Object Tracking Using the Boundary Element Method Текст. / M.A. Greminger, В.J. Nelson // 2003 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR '03). Vol. 1 - P. 289.

109. Ingham, D.B. The Boundary Element Method for Solving Текст. / D.B. Ingham, Y. Yuan. Topics in Engineering. -Witt Press. - Vol. 19 - 1994. - 160p.

110. Kim, J. Discrete wavenumber boundary element method for 3D scattering problems Текст. / J. Kim, A. Papageogiou // J. Eng. Mech. ASCE, 119. - 1993.-P. 603-624

111. Lachat, J.C. Further developments of the boundary integral techniques for elasto-statics: Ph.D. thes / J.C. Lachat. Southampton Univ., 1975.

112. Morlett, J.G. A New Concept of Hydrogen Embrittlement in Steel Текст. / J.G. Morlett, H. H. Johnson, A. R. Troiano // Journal of Iron and Steel Institute, 1958.-Vol. 189.-P. 37.

113. Pian T.H.H. Basis of finite element method for solid continua Текст. / T.H.H. Pian, P. Tong // Int. J. Numerical Method Engng. 1, 1969. P. 3-28.

114. Pozrikidis, С A Practical Guide to Boundary-Element Methods with the software library BEMLIB Текст. / С. Pozdrikis. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. - 440 p.

115. Qin, Q.H. The Trefftz Finite and Boundary Element Method Текст. / Q. H. Qin. Witt Press. - Tianjin University, P.r. China. - 2000. - 296p.

116. Rashed, Y.F. Boundary Element Formulations for Thick Plates. Текст. / Y.F. Rashed. Topics in Engineering. - Witt Press. - Vol 35 - 1999. - 176p.

117. Reissner, E. A note on variational principles in elasticity Текст. / E. Re-issner. // Int. J. Solids Structures 1,1965. P. 93-95.

118. Rizzo, F.J. A method of solution for certain problems of transient heat conduction Текст. / FJ. Rizzo, D.J. Shippy // AIAA J. 8, 1970. P. 2004-2009.

119. Shaw, R.P. An integral equation approach to diffusion Текст. / Int. J. Heat Mass Transfer 17, 1974. P. 693-699.

120. Sims, C.E. Effect of Hydrogen on the Ductility of Cast Steels Текст. / C.E. Sims, G.A. Moore, D.W. Wiillims. // Transactions of the Metallurgical Society ofAIME, 1948.-Vol. Ill-P. 283.

121. Sladek, V. Singular Integrals in Boundary Element Methods Текст. / V. Sladek, J. Sladek. Witpress. - Advances in Boundary Elements, 1998. - Vol. 3 -448p.

122. Sofronis, P. Hydrogen transport and large strain elastoplasticity near a notch in alloy X-750 Текст. / P. Sofronis, J. Lufrano // Engineering Fracture Mechanics. 1998. - vol. 59. - № 6. - P. 827-845.

123. Wrobel, L.C. The boundary elements method for steady-state and transient heat conduction Текст. / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia // In Numerical Method in Thermal Problems. Pineridge Press, Swansea, Wales, 1979.

124. Wrobel, L.C. A formulation of the boundary elements method for axi-symmetric transient heat conduction Текст. / L.C. Wrobel, C.A. Brebbia // Int. J. Heat Mass Transfer 24, 1981. P. 843-850.

125. Wu, J.C. Fundamental solutions and Boundary element methods Текст. / J.C. Wu. Atlanta: Computational Mechanics Publications. - Atlanta, 1987.

126. Wu, J. C. Fundamental solution and numerical methods for flow problems Текст. / J.C. Wu // International Journal for numerical methods in fluids. Atlanta, 1984.-vol. 4.

127. Zapffe, C.A. Hydrogen Embrittlement, Internal Stress and Defects in Steel Текст. / C.A. Zapffe, C.E. Sims // Transactions of the Metallurgical Society of AIME, 1941. Vol. 145 - P. 225.