Решение линейных обратных задач методом разложения по локальным базисным функциям тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЛОКАЛЬНЫМ БАЗИСНЫМ ФУНКЦИЯМ

Александр Поляков Диссертация выполнена в соответствии с частичными требованиями на ученую степень доктора философии физический факультет Нью-йоркский университет январь 2002

Парфа Митра

Джон Ловенштейн

©у: у

Моим родителям — Ларисе Ивановне и Сергею Владимировичу Поляковым, моей жене Юлии, и в память о моем брате Антоне Полякове

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаю благодарность доктору философии Парфе Митре и профессору Джону Ловенштейну за научное руководство, поддержку и полезные советы в течение лет, проведенных мной в аспирантуре Нью-йоркского университета. Я также благодарен за сотрудничество доктору философии Евгению Кронбергу, который фактически выполнял функцию второго научного руководителя.

Я признателен профессору Родольфо Ллинасу и профессору Урсу Райбари за плодотворные научные дискуссии и предоставление экспериментальных данных магнитоэнцефалографии (МЭГ), используемых в этой диссертации. Также я благодарен профессору Вэйну Кингу и доктору философии Майку Эндрюсу за тесное сотрудничество при работе над второй и третьей главами диссертации.

Кроме того, я искренне благодарен Наташе, Игорю, Олегу, Дмитрию, Ольге, Альваро, Славе, Алексу, Майку, Юрию, Андрею и многим другим моим друзьям. Их присутствие и поддержка помогли мне сохранять оптимизм в течение (иногда трудных) лет работы над диссертацией.

Я не знаю, почему все оставляют самое лучшее напоследок, может быть, потому что заключение лучше всего запоминается. Для меня единственным человеком, память о котором будет со мной всегда, является моя жена Юлия. От неё я всегда получал поддержку, такую необходимую в трудные времена.

АВТОРЕФЕРАТ

Неинвазивные методы визуализации необходимы для изучения когнитивных процессов и диагностики патологических состояний человеческого мозга. В идеале, используемая для нейровизуализации измерительная методика должна иметь одновременно высокое временное и пространственное разрешение, что, к сожалению, невозможно. Такие методы, как функциональный ядерный магнитный резонанс (ФЯМР), позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) и однофотонная эмиссионная компьютерная томография (ОФЭКТ), основанные на оценке изменений в локальном кровотоке, имеют относительно высокое пространственное, особенно ФЯМР (~ 1 мм), но низкое временное разрешение. Для прямого измерения электрической активности методами магнитоэнцефалографии (МЭГ) и электроэнцефалографии (ЭЭГ), напротив, характерно высокое временное (~ 1 мс), но низкое пространственное разрешение. Во всех случаях пространственная информация о деятельности головного мозга восстанавливается из собранных экспериментальных данных посредством решения линейной обратной задачи, относительно корректно поставленной для ФЯМР и весьма некорректно для МЭГ и ЭЭГ. Несмотря на разработку математического аппарата, предназначенного для обхода проблем локализации, техническое решение именно этой задачи остается ключевым для дальнейшего развития нейровизуализации. Несмотря на трудности, к решению указанных обратных задач по-прежнему прилагаются значительные усилия. В настоящее время особый интерес в сфере нейровизуализации представляет локализация областей мозга, участвующих в генерации аномальных спонтанных ритмов, изучение которых представляется важным для борьбы с широким спектром нейрогенных болезней, таких, например, как паркинсонизм.

Существует два основных подхода к решению обратной задачи: метод минимальной нормы (МН) и метод Бакуса-Гильберта (БГ). Оба метода имеют свои преимущества и недостатки. В данной диссертации разработан новый способ решения линейной обратной задачи - метод разложения по локальным базисным функциям (Local Basis Expansions, LBEX); данный метод включает МН и БГ как частные случаи и расширяет понимание характера и природы линейной обратной

задачи. Важное преимущество разработанного метода состоит в том, что он применим для локализации областей как спонтанной, так и инициированной активности головного мозга, а также совмещает как непараметрические, так и параметрические (дипольное разложение) методы. Кроме того, ЬВЕХ дает возможность проектирования антенн с максимальной излучаемой мощностью в заданном телесном угле.

Предложенный алгоритм решения линейной обратной задачи был успешно апробирован на реальных и модельных данных; полученные результаты представлены в этой диссертации.

ОГЛАВЛЕНИЕ

БЛАГОДАРНОСТИ...............................................................................................................III

АВТОРЕФЕРАТ......................................................................................................................IV

СПИСОК РИСУНКОВ...........................................................................................................IX

1. Введение..................................................................................................1

1.1. Методы нейровизуализации...........................................................................1

1.2. Обратная задача..............................................................................................4

1.3. Содержание диссертации................................................................................7

2. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЛОКАЛЬНЫМ БАЗИСНЫМ ФУНКЦИЯМ (ЬВЕХ): ОБЩИЙ ПОДХОД К ОБРАТНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ЗАДАЧАМ В МЭГ-ДИАГНОСТИКЕ............................................................................................................9

2.1. Введение....................................................................................................................9

2.2 Формулировка обратной задачи.........................................................................10

2.3 Пути решения обратной задачи...........................................................................11

2.4 Два общих непараметрических подхода..........................................................12

2.4.1 Случай без учета шума......................................................................................12

2.4.1.1. Базисные функции: минимальная норма................................................12

2.4.1.2 Пространственно-локализованные линейные моменты I:

метод Бакуса-Гильберта.........................................................................................13

2.4.2 Учет шума......................................................................................................14

2.4.2.1 Представление о ковариационной матрице шума..................................14

2.4.2.2 Вероятностные формулировки (теорема Байеса)...................................16

2.5 ЬВЕХ алгоритм: точные данные.........................................................................17

2.6 Квадратичная обратная теория...........................................................................20

2.7 Пример: сферическая модель...............................................................................21

2.7.1 Влияние шума....................................................................................................24

2.7.2 Собственные значения и собственные векторы при произвольной ориентации области исследования (ROI)................................................................26

2.7.3 Применение LBEX алгоритма при северной ориентации ROI....................28

2.7.4 Оценка первого момента: ядро разрешения...................................................29

2.7.5 Оценка второго момента: квадратичное ядро разрешения..........................31

2.7.6 Рассмотрение параметрических методов.......................................................32

2.8 Применение LBEX-алгоритма к реальным данным.......................................33

2.8.1 Рассмотрение аддитивного шума....................................................................33

2.8.2 Применение LBEX-алгоритма к реальной геометрии пространства источника активности мозга.............................................................35

2.8.3 Анализ второго момента: локализация спонтанной МЭГ-активности....................................................................................................................36

2.8.4 Локализация спонтанных альфа-ритмов головного мозга: эксперимент с открытыми и закрытыми глазами пациента..................................37

2.9 Обсуждение и заключение...............................................................................38

3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛОКАЛЬНЫМ БАЗИСНЫМ ФУНКЦИЯМ (LOCAL BASIS EXPANSIONS, LBEX): ВОССТАНОВЛЕНИЕ В ЯМР-АНАЛИЗЕ.....................55

3.1 Введение.................................................................................................................55

3.2 ЯМР...........................................................................................................................56

3.3. Метод разложения по локальным базисным функциям (LBEX)................58

3.4. Формулирование проблемы восстановления данных.................................58

3.5. Два основных непараметрических подхода..................................................59

3.5.1 Дискретное преобразование Фурье, или реконструкция по

методу минимальной нормы.....................................................................................59

3.5.2. Метод Бакуса-Гильберта, или оконное дискретное преобразование Фурье................................................................................................59

3.6. Алгоритм LBEX......................................................................................................61

3.7 Результаты...............................................................................................................64

3.8 Обсуждение..............................................................................................................65

4. МНОГОЭЛЕМЕНТНЫЕ АНТЕННЫ, МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ФОРМИРОВАНИЕ ЛУЧА: ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.....................................................................................................71

4.1 Введение...................................................................................................................71

4.2. Угловое распределение мультипольного излучения...................................72

4.3 Источники мультипольного излучения. Идеализированная сферическая модель.....................................................................................................76

4.4 Заключение..............................................................................................................79

ПРИЛОЖЕНИЕ А: СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА Ь...........................................................90

ПРИЛОЖЕНИЕ В: ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ МАТРИЦЫ ПРИ ОРИЕНТАЦИИ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ В СЕВЕРНОМ НАПРАВЛЕНИИ (ВДОЛЬ ОСИ Т).....................................................................................92

ПРИЛОЖЕНИЕ С: МУЛЬТИОКОННЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СПЕКТРА.....................94

БИБЛИОГРАФИЯ.........................................................................................98

2.1 Все собственные значения концентрации для значения усечения L = 5 как функции

W

пространственного параметра источника г = —г..........................................39

S

2.2 Все собственные значения концентрации для значения усечения L = 1 как функции

W

пространственного параметра источника г = —..........................................40

S

2.3 Полоса канала при L = 5 (верхний рисунок) и L = 7 (нижний рисунок)...............41

2.4 Два ведущих собственных вектора сенсорного пространства при применении LBEX-метода в идеализированной сферической модели.................................42

2.5 Величина (в дБ) двух ведущих собственных функций сенсорного пространства для идеализированной сферической модели......................................................43

2.6 Сравнение функций разрешения в методах МН (левая колонка) и LBEX (правая колонка). Отметим, что в методе LBEX подавлены боковые лепестки, в то время как основной лепесток имеет приблизительно одинаковую ширину в обоих методах..............................................................................................44

2.7 Левая часть рисунка: ядро разрешения первого момента, усредненное по всем возможным ориентациям диполей для методов МН (красный кривые) и LBEX (синие кривые). Правая часть рисунка: ядро разрешения второго момента для методов МН (красные кривые) и LBEX (синие кривые)..................................45

2.8. Значения F-параметра критерия соответствия для эксперимента с дипольными компонентами статистически значимого локализованного тока. Данные получены из анализа двух эквивалентных диполей, помещенных на тонкую сферическую оболочку. Расстояние между диполями составляет 0.3 рад. или 1/3 размера ROI. Наличие дипольных компонентов вызывает значительное увеличение F-параметра (в виде пиков). Линейная регрессия ведет к оценке величины диполей. В данном примере погрешность составила 4.5%. Примечательно, что оба диполя хорошо разрешены несмотря на малое по сравнению с размерами ROI междипольное расстояние. Так проявляется феномен сверхразрешения. Статистическая значимость 99-процентного уровня равна 21.2. Вероятность компонентов с нулевым дипольным моментом на пиках оставляет около 10"8..........................46

2.9 Некоторые примеры собственных векторов «дискретного лапласиана» для низких пространственных частот........................................................................47

2.10 Некоторые примеры собственных векторов «дискретного лапласиана» для высоких пространственных частот............................................................48

2.11 Демонстрация у = 10 * (1 - Я) на ЯМР-ограниченном пространстве источника, где Х - ведущее собственное значение.......................................................49

2.12 Точечная функция рассеяния (ФРТ) в методах МН (верхний рисунок) и ЬВЕХ (нижний рисунок). Примечательно, что в методе МН ФРТ достигает пиков в точках, смещенных относительно местоположения источника....................................50

2.13 Магнитоэнцефалограмма испытуемого в двух состояниях - с открытыми (красный график) и закрытыми (синий график) глазами.................................51

2.14 Картина энергетического спектра альфа-ритмов на сенсоре...........................52

2.15 Локализация спонтанной активности в эксперименте с закрытыми глазами испытуемого.......................................................................................53

2.16 Локализация спонтанной активности в эксперименте с открытыми глазами испытуемого.......................................................................................54

3.1 Реконструкция изображения из смоделированных данных методом безоконного дискретного преобразования Фурье. Следует отметить присутствие на изображении т.н. «ряби Гиббса».................................................................................67

3.2 Реконструкция изображения, полученная ЬВЕХ-методом из модельных данных с использованием трёх функций-окон........................ ...................................68

3.3 Реконструкция изображения среза мозга методом безоконного дискретного преобразования Фурье по данным эхопланарного анализа...............................69

3.4 Реконструкция изображения среза мозга методом ЬВЕХ с использованием трёх функций-окон по данным эхопланарного анализа..........................................70

4.1 Верхний ряд, левый рисунок: собственные значения концентрации одновременно для электрических (Э) и магнитных диполей (М); правый рисунок: собственные значения концентрации для одного из диполей (Э или М). Собственные значения рассматриваются как функция телесного угла (параметр ширины луча). Отметим эффект поляризации (Э-М взаимодействие), позволяющий получить значение

концентрации, намного превышающее концентрацию для одного диполя. Нижний ряд, левый рисунок: диаграмма излучения для двух диполей (Э и М); правый рисунок: диаграмма излучения для одного диполя (Э или М). Диполи находятся в точке (0,0). Отметим, что подход с использованием концентрации позволяет направлять поток энергии в заданный телесный угол.....................................81

4.2 Верхний ряд, левый рисунок: собственные значения концентрации одновременно для электрических (Э) и магнитных диполей и квадруполей (М); правый рисунок: собственные значения концентрации для одного из диполей/квадруполей (Э или М). Собственные значения рассматриваются как функция телесного угла (параметр ширины луча). Отметим эффект поляризации (Э-М взаимодействие), позволяющий получить значение концентрации, намного превышающее концентрацию для одного диполя. Нижний ряд: диаграмма излучения для двух диполей и квадруполей (Э и М) для разных параметров ширины луча и концентрации; диполи находятся в точке (0,0). Отметим изменение диаграммы излучения (правый рисунок) с изменением параметра ширины луча.........................................................82

4.3 Верхний ряд: число электромагнитных степеней свободы как функция параметра ширины луча. Левый рисунок - график для отдельного диполя (Э или М); правый рисунок - график для диполя и квадруполя. Нижний ряд: число электромагнитных степеней свободы как функция параметра ширины луча. Правый рисунок - график

для обоих диполей (Э и М); правый рисунок - для диполя и квадруполя.............83

4.4 Пример устройства электрической/магнитной антенны, которая может быть возбуждена таким образом, что излучение будет ограничено в телесном угле 27г/3 (см. рис. 4.5-4.7).................................................................................84

4.5 Диаграмма излучения антенны с рисунка 4.4 в плоскости х,у..........................85

4.6 Диаграмма излучения антенны с рисунка 4.4 в плоскости х, г........... ...............86

4.7 Диаграмма излучения антенны с рисунка 4.4 в плоскости^, ъ..........................87

4.8 Структура тока для кЯ-Т........................................................................88

4.9 Распределение мультипольных коэффициентов...........................................89

Глава 1

Введение

1.1. Методы нейровизуализации

Все разнообразные методы нейровизуализации делятся на две широкие категории. Структурные методы устанавливают форму мозга, а также наличие патологических структур, например, опухолей. Функциональные методы используются для исследования функций различных областей мозга, последовательности их (областей) активации в процессе той или иной деятельности, и изучения процесса изменения функциональной организации этих областей во время болезненных состояний мозга.

В настоящее время структурные методы хорошо развиты, в частности, метод ядерного магнитного резонанса (ЯМР) позволяет получить изображение головного мозга с миллиметровой точностью. Напротив, на данный момент наши знания о функциональной анатомии мозга базируются на посмертных изучениях взаимосвязи различных нейронных областей, экстраполяции известной функциональной анатомии мозга приматов, экспериментах на оперируемых участках коры головного мозга во время проведения нейрохирургического вмешательства и свидетельствах об определенных функциональ�