Решение неосесимметричных задач теории упругости для пространства с тороидальной полостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Гейнц Оксана Михайловна

РЕШЕНИЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА С ТОРОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ

Специальность 01.02.04 механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Сибирском государственном университете путей сообщения

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор кафедры «Высшая математика» СибГУПС Соловьев Ю. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, в.н.с.

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН Шваб А. А.

доктор технических наук, профессор кафедры «Прочность летательных аппаратов» НГТУ Олегин И. П.

Ведущая организация: Якутский государственный университет

им. М. К. Аммосова (г. Якутск)

Защита состоится «05 » апреля 2004 года в 13 — 30 часов на заседании диссертационного совета Д 003.054.02 в Институте гидродинамики имени М. А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект акад. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики имени М. А. Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан

. 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. т. н.

Леган М. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Полный и всесторонний анализ прочности и надежности элементов конструкций требует детального исследования их напряженного состояния методами механики деформируемого твердого тела. Вопросы о решении плоских и пространственных задач теории упругости являются предметом многочисленных научных исследований.

В случае плоских задач теории упругости общепризнанным является применение классических аналитических функций комплексного переменного на основе формул Колосова — Мусхелишвили. Работы этого направления связаны с именами Н. И. Мусхелишвили, Д. И. Шермана, С. Г. Михлина, В. 3. Партона, П. И. Перлина и многих других исследователей; широко известны своей эффективностью и изяществом.

В монографии А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева «Пространственные задачи теории упругости» описываются методы, позволяющие распространить аппарат аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного на пространственные задачи. Использование этих методов для задач, допускающих разложение в тригонометрический ряд по углу в цилиндрической системе координат, дает возможность найти аналитическое решение ряда задач. К числу этих задач относится исследование напряженного состояния упругого тела в виде сплошного и полого тора или пространства, имеющего тороидальную полость.

Реферируемая диссертационная работа посвящена развитию метода обобщенных аналитических функций И. Н. Векуа применительно к основным задачам о напряженном состоянии для пространства с тороидальной полостью.

Целью работы является:

1. Разработка подходов и алгоритмов решения неосесимметричных задач для тора и пространства с тороидальной полостью на основе теории обобщенных аналитических функций и обобщения формул Колосова — Мусхелишвили на трехмерные задачи.

2. Реализация упомянутых выше алгоритмов в пакете прикладных программ для решения канонических задач для пространства с тороидальной полостью.

3. Визуализация полученных результатов посредством графических пакетов и их анализ.

Объект и предмет исследования. Напряженно - деформированное состояние упругого пространства с тороидальной полостью.

Методы исследований. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются: методы математического анализа, аппарат

обобщенных аналитических функций комплексного переменного, теории гармонических и специальных функций, элементы линейной алгебры. Научная новизна. Новым в диссертационной работе является:

1. Предложена методика решения основных неосесимметричных задач для тора и пространства с тороидальной полостью. Рассмотрен также частный случай осесимметричных задач.

2. Указан и реализован подход к решению задач о напряженном состоянии методами обобщенных аналитических функций комплексного переменного, позволивший получить решение ряда задач для пространства с тороидальной полостью.

3. Решены в явном виде задачи для упругого пространства с тороидальной полостью: а) при заданных на поверхности полости перемещениях; б) при заданных на поверхности полости внешних силах. Основные положения,- выносимые на защиту:

1. Представление общего решения теории упругости при помощи обобщенных аналитических функций комплексного переменного в тороидальных координатах.

2. Решение в рядах для пространства с тороидальной полостью, полученное на основе приведенного общего решения.

3. Числовые результаты решения задач для упругого пространства с тороидальной полостью при заданных на поверхности полости перемещениях и внешних силах.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечена использованием аналитических методов для построения алгоритмов, подтверждением работоспособности алгоритмов результатами вычислительных экспериментов, а также их совпадением с числовыми решениями, полученными ранее в монографии Ю. И. Соловьева и А. Я. Александрова «Пространственные задачи теории упругости» для осесимметричной задачи. При оценке достоверности решений рассматриваемых задач исследование сходимости рядов осуществлялось в вычислительном эксперименте.

Практическая ценность работы и реализация полученных результатов. Особое значение для расчета прочности массивных тел имеет изучение поля напряжений вокруг разного рода ослаблений: внутренних полостей, каверн и так далее. И если вопрос о концентрации напряжений около сферических или сфероидальных полостей более или менее изучен, то нигде не рассматривались полости кольцевой (тороидальной) формы, хотя на практике такие полости встречаются.

Предложенная в диссертации методика и полученные результаты, могут быть применены для оценки прочности крупногабаритных деталей с внутренними дефектами типа кольцевых пустот, а также для определения и анализаЛнапряженно — деформированного состояния окрестностей горных вираЙ0ТОк»вокругделиков, находящихся на большой глубине.

Основные результаты работы нашли применение в госбюджетной теме «Совершенствование расчетных методов механики деформируемого твердого тела применительно к задачам железнодорожного транспорта», которая разрабатывалась Сибирским государственным университетом путей сообщения в 1999 - 2002 гг.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1.37-ая Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс»; Математика./ НГУ/ Новосибирск 1999 г.

2.7-ая Международная конференция «Математика. Эконо-мика. Экология. Образование». Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения»/Ростов-на-Дону 1999 г.

3. Региональная научно—практическая конференция «Транссиб - 99»/ Новосибирск 1999 г.

4. 10-ая Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». 2-ой Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения»/ Ростов-на-Дону 2002 г.

5. Всероссийская школа - семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела./ Новосибирск 2003 г.

По материалам диссертационной работы опубликовано 5 статей.

Автор приносит слова благодарности научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Соловьеву Ю. И. за постоянную поддержку и внимание к работе.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения; четырех разделов; заключения; списка литературы из 52 наименований и иллюстраций, включающих 169 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, кратко сформулированы основные цели работы, отмечена научная новизна и практическая ценность полученных результатов, проведен краткий обзор имеющейся литературы по тематике исследований.

Первый раздел диссертационной работы имеет вспомогательный характер.

В раздечв 1.1 рассматриваются основные уравнения теории упругости для однородной и изотропной среды в цилиндрической системе координат ( г,/",в ).

Компоненты упругого смещения разлагаются в тригонометрические

ряды:

w(z, г,в) = и/" (г, r) sin пв + н/2) (г, г) coswS,

»-о

«(z,r>0) = ¿«®(z,r)sin/¡0 + ttí2)(z,r)cosn0, (1)

11=0

v(z, Г,0) = ¿V«' (г> г) cos пВ - v<2) (г, г) sin лв.

и=0

Функции, являющиеся коэффициентами разложения, должны удовлетворять уравнениям:

^(f ♦í«)"»-

где

„ dw„ Эи„ «.- nv„

_ H j Л и и

Эг Э г г

V2=Ü Ü 1 э "2 " dz1 +дг2+ г Эг г2' Разложения для напряжений имеют вид:

(2)

o-2(z,r,0)=£cr^(z,r)sinn0 + CT^2)(z,r)cosn0,

и=0

ст, (г,г,0) = ¿(T®(z,/-)sin пв + <j™(z,r)cosr£,

л=0

CTe(z,r,0) = £CT'1n)(z,r)sinn0 + or®(z,/-)cosn0,

л=0

T:r(z,r,0) = |;T<»(z,r)sinn0+r«)(z,r)cos«0, (3)

в=0

т£„ (г, г,в) = J т®, (г, r)cos«0 -т™ (г, r)sin л<9,

л=0

Разложения для деформаций £.,Е,,£в,угг,у.|г1угв имеют аналогичный вид. Подставляя (3) в закон Гука и соотношения между деформациями и перемещениями, будем иметь формулы для коэффициентов разложений.

Рассмотрим поверхность, образованную вращением плоской дуги MN вокруг оси Oz (см. Рис). Силы, приложенные к элементу

этой поверхности, связаны с напряжениями формулами:

Рг ~ C0sa + Tzr sina, pr = cosa+ar sina, (4) Pe ~ rzscosa+sina,-где угол между правой нормалью к дуге и осью Oz\ eosoc = dr/ds, sin<X = -dz/ds, rus ds -дифференциал дуги.

При разложении по углу будем иметь:

(5)

где Р-„, Рт, ре„ удовлетворяют (4).

Поскольку компоненты перемещений и напряжений, помеченные верхними индексами, не связаны друг с другом, эти две системы компонентов могут рассматриваться изолированно, поэтому верхний индекс в дальнейшем опустим.

В разделе 1.2 приводятся, основные сведения из теории рассматриваемого в работе класса функций, в том числе формула Коши для этих функций, многозначные функции, являющиеся аналогами комплексного логарифма в классе обобщенных аналитических функций и другие вопросы.

Следуя И. Н. Векуа, будем называть обобщенной аналитической функцией (ОАФ)~ непрерывно дифференцируемую комплекснозначную функцию Ф переменных 1,г, удовлетворяющую уравнению:

II Г/ 1 Т I / — \

(6)

(д . Э V 2т + \,. -=-% .

где т - целое число, / = г + /г. Такие ОАФ будем обозначать через Ф„,(0 ОАФ других классов нам не потребуются.

Эти функции являются родственными р-аналитическим функциям Г. Н. Положего и связаны с ними определенными соотношениями.

Разделяя в (6) вещественную и мнимую части, получим равенства:

(7)

которые являются аналогом условий Коши - Римана- для классических аналитических функций. Если вещественная и мнимая части ОАФ будут дважды дифференцируемыми функциями, то из (6) следует:

Функции, Фш(*) можно также рассматривать как псевдоаналитические функции Л. Берса с порождающей парой ,Р = 1, в = 1г'2т^.

Введем про]

изводную от Фш, следуя Л. Берсу: ., , v ЭФ„, .ЭФ 2т+ 1. . dz or г

(8)

что не противоречит соотношениям (7). Если ФЛ( дважды дифференцируема по z,r , то Ф^ будет удовлетворять уравнению (6), т.е. также будет ОАФ рассматриваемого здесь класса.

Отметим, что сумма или разность ОАФ и их произведение -на вещественную постоянную также являются i ОАФ, удовлетворяющими уравнению (6). Однако умножение на мнимую постоянную выводит функцию из рассматриваемого здесь класса.

В работе Bers L. «Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes»

при условии была проведена классификация нулей и особых

точек, построены аналоги теоремы Коши и формула, Коши, а также был получен ряд других результатов.

Раздел 1.3 посвящен представлению общего решения изотропной теории упругости для тел вращения при помощи обобщенных аналитических функций.

Равенства (2) можно преобразовать, предполагая, что компоненты перемещения непрерывно дифференцируемы по до третьего порядка

включительно (объемные силы и изменение температур отсутствуют):

V>„ +

1 Ъд_ l-2v Эг

= 0,

Здесь m поочередно принимает значения +п и -п, sm= sign(m), тФ0. Уравнения (9) будут удовлетворены, если положить

(Ю) (П)

где k = 3-4v. Последняя формула является аналогом известной формулы Колосова - Мусхелишвили. Компоненты перемещений w„, и„, v„ выражаются через шесть обобщенных аналитических функций: Фш1, Фт2, Фт3 (т = ±п). Независимых функций будет три, так как из равенства (10) вытекает

г" ЯеФ^Сг) = г'"' Re®l„,(f).

Аналогично для напряжений имеют место формулы:

(12)

(13)

В этом разделе рассматривается также вопрос о степени определенности используемых функций. Обобщенные аналитические функции могут быть многозначными, когда упругое тело имеет внутренние полости. Если тело имеет тороидальную полость, то соответствующие ОАФ имеют представление

ф„„(О=Ф;ДО+Ф°„(О 0=1,23).

Ф*„(0 — регулярные функции (непрерывные и однозначные), Ф^(г) -

многозначная часть.

Второй раздел. Рассмотрено решение теории упругости в тороидальных координатах. В разделе 2.1 приведены формулы дифференцирования в тороидальных координатах, выписаны условия

сопряженности в новой системе координат и записаны функции, удовлетворяющие этим соотношениям.

Рассмотрим тороидальную систему координат (Рис.1), где

-биполярные координаты в меридиональной плоскости в = const, связанные с цилиндрическими координатами формулами

sin/7 _ sh£

z = c

ch|-cosn

r = c

ch|-cosij

( i—оД --Pi—- я=-к {2

»? = -НЛ i-+oa 1

Л с, " "С.....* s г

Рис. 1. Меридиональное сечение, занимающее всю плоскость

с двумя круговыми отверстиями. Условия сопряженности вещественной, и мнимой частей ОАФ в тороидальных координатах:

1 9ij

=--1—-(V2""11тФ V

При решении задач для внешности тора, т.е. для пространства с тороидальной полостью этим соотношениям удовлетворяют, в частности, функции

с2к-2т-1)Су2(сН)($к1кП

Ф^=4гл/2(СЬ^-со s/7)

-(2£ + 2/n-l)P"x(ch£)

rsin(A: —1)77

' cos(&—1)т/ -sin(fc-l)77

COS(A: — 1)^7 (¿>1)

cos kt\ f cosкц Л -sin кт] J

(14)

Здесь Р"_у2 - присоединенные функции Лежандра первого рода полуцелого индекса. Найдены производные введенных функций (14). В случае

внутренней задачи для тора функции Лежандра первого рода заменяются на функции Лежандра второго рода.

Раздел 2.2 посвящен представлению общего решения пространственной задачи теории упругости в тороидальных координатах для пространства с тороидальной полостью.

Как показано в разделе 1.3, перемещения и напряжения выражаются через шесть - обобщенных аналитических функций, которые будем искать в виде ряда:

Ф™ (0 = +Рщва„ +/,©.,♦!)+ +

т-ту

(15)

где ащ, ßmj, а'п*к, а*к - вещественные коэффициенты, Г -гамма-функция,, - обобщенные аналитические функции, которые имеют вид (14). Qmq - многозначные обобщенные аналитические функции. Для этих функций имеют место соотношения:

г" Ree.....£-cosij)/^(ch4), Re©m.m., =^ImQ„,

ПУГт) , 1 (4mshgp;(chg) + лсгп V2(ch§-cosi?)v

+4(ch£-cosi?)P£1(ch|)),

г

2 VJTC.

ReÖ„,.m+l=r-

'im©

-w-t.m+l *

(16)

1т© . /2(сЬ^_с057])-

и" 2^лсг" 1 + 2 т й

(выражение для 1т 0т_м не потребуется).

Из условия непрерывности и однозначности перемещений получаем равенства:

(к" + 1)7ш1 =-^„7тз> 'Фпл + Р.а^Аг- («*0).

«01 =«02 =«03 =°. 7оа =К7ш. Ро2 =-КрО,< Роз (17>

Таким образом, задача теории» упругости для пространства с тороидальной полостью будет решена, если будут найдены коэффициенты рядов (15) при у = 1,2,3. После, этого напряжения и перемещения в цилиндрических координатах определяются по формулам (1), (3), где множители при зтпв и с<хпв ' выражаются через ОАФ

Ц =[(2к-2п-1){ка1 -а1) + хрл - Д12]р;1к(Я/2), (к > 1), ^ =[-(1 + 2«)^-^)+кр,л-рп2]р_уХШ),

Г2

!£■» ^г' <7о -

Р.

= [(2* -2л-1)^ -(2к + 2п +(Я/2), (к > 1) ,

£0=[8«а„1-(2/г + 1)^1]р"><(А/2) .

Соотношения для коэффициентов IIЦ имеют вид подобный \У*кс. В приведенных выше формулах

а{ = (2к - 2п -3К *-, - (4* ■-2)4 к + (2к + 2п +1 )а>пМ, (к >2), 3 + 2 п

а!л + (3+2п)а'п1+2

ащ+Г„,

А.

Там, где множители записаны в матричной форме, верхняя строка матрицы. относится к индексу ,5, а нижняя — к с.

Эти выражения при заданных V*. (*=<>, 1, 2,...) об-

разуют бесконечную систему уравнений относительно коэффициентов разложения (15), имеющую ленточный вид. Эту систему следует дополнить равенствами, вытекающими из условия (12). В результате решения системы появится возможность рассчитать компоненты напряжения и смещения в упругом пространстве по формулам Рис. 2. Эпюра касательных напряжений (1), (3), (11)и(13). вдольлинии г = 0, 0=0.

В разделе 3 2 в качестве примера рассмотрены задачи теории упругости для пространства с тороидальной полостью, с заданными на ней следующими перемещениями: вертикальное смещение полости; горизонтальное смещение полости в направлении оси Ох; поворот полости вокруг оси 01 на угол (0 = 1; (а) поворот полости вокруг оси Оу на угол

(0 = 1.

На Рис 2 представлены вычисленные распределения касательных напряжений в плоскости I = 0 для задачи а).

Четвертый раздел, как и раздел три, посвящен решению граничных задач, но задач с заданными на поверхности тороидальной полости силами.

В разделе 4 1 даны основные формулы приведения граничной задачи к системе линейных алгебраических уравнений.

Пусть на поверхности тора заданы внешние силы: аксиальные интенсивностью р, радиальные интенсивностью рг и тангенциальные рв Будем предполагать, что компоненты внешних сил разложены в тригонометрические ряды (5) по угловой координате в цилиндрической системы координат.

Пусть коэффициенты разложения заданы в форме рядов:

(19)

Коэффициенты разложений связаны с компонентами напряжения соотношениями (4).

Выражения для компонентов сил через ОАФ имеют вид:

Подставив в правую часть выражения величин в форме рядов (15), вновь получим бесконечную систему уравнений относительно коэффициентов рядов, которую следует дополнить соотношениями, вытекающими из условия (12).

В разделе 4.2 рассмотрены задачи теории упругости для пространства с тороидальной полостью: (Ь) растяжение упругого пространства силами (7° = 1, приложенными на бесконечности; растяжение

упругого пространства силами с" =1 на бесконечности; кручение упругого пространства касательными напряжениями Г.°9 = г; чистый сдвиг на бесконечности в плоскостях, параллельных плоскости г = 0, (с) одностороннее растяжение напряжением <7° = 1 на бесконечности; чистый сдвиг в плоскости xOz; изгиб упругого пространства в плоскости zOx. Подробно остановимся на задачах Ь) и с).

На Рис. 3(Ь) и Рис. 3(с) показаны эпюры нормальных напряжений для задач Ь) и с). Во всех случаях наблюдается концентрация напряжений на поверхности полости в точках, где z = 0.

-3-2-1 о 1 1хз з -2-1 а 1 гхз

Рис. 3(Ь). Рис. 3(с).

Рис. 3(Ь), 3(с). Эпюры нормальных напряжений в меридиональном сечении для задач Ъис.

На Рис. 4 показано изменение значений напряжений на поверхности полости от точки 1 до точки 2 (см. Рис. 1) для задач Ь) и с). Зависимость напряжения СТ. в точках 1 и 2 (см. Рис.1) от отношения радиусов р1/р2

показана на Рис. 5 . В случае рх\рг ~ I (когда внутренний радиус горизонтального сечения тора стремится к нулю) наблюдается резкий рост напряжений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В соответствии с поставленными задачами в диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Проведен анализ обобщенных аналитических функций комплексного переменного, которые могут быть применены при решении пространственных неосесимметричных задач теории упругости. Приведено общее решение пространственной задачи теории упругости через обобщенные аналитические функции рассматриваемого в работе класса, в том числе выражения для напряжений и перемещений.

2. При решении пространственной задачи применялись тороидальные координаты. Разрешающие функции разлагаются в тригонометрические ряды по переменным 0 и Г? тороидальной системы координат, а по третьей координате разложение производится в ряды по присоединенным функциям Лежандра полуцелого индекса. При решении, внешней задачи используются функции Лежандра первого рода, а при решении внутренней задачи -второго рода. Подробно рассмотрено решение внешней задачи - для пространства с тороидальной полостью. Граничные задачи приводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Система имеет ленточный вид.

3. Решена в явном виде задача о действии сил, распределенных по поверхности тороидальной полости внутри упругого пространства. Используется аналитическое решение. На основе полученного решения предложен метод определения в рядах напряжений и смещений в пространстве с тороидальной полостью

4. Разработан пакет прикладных программ, позволяющий автоматизировать процесс вычисления коэффициентов системы, ее решения и расчета поля напряжений и перемещений в упругом массиве, ослабленном полостью. Произведены расчеты напряжений и перемещений точек упругого пространства с тороидальной полостью при различных видах и значениях напряжений, заданных на бесконечности. Подробно рассмотрены задачи при заданных на поверхности полости смещениях: вертикальное смещение полости в упругом пространстве, поворот полости вокруг оси 01 на угол

= 1, горизонтальное смещение полости в направлении оси Ох, поворот полости вокруг оси Оу на угол СО = К Решены задачи при заданных внешних силах: растяжение упругого пространства силами С® = 1, а также силами = 1, приложенными

на бесконечности; кручение упругого пространства касательными напряжениями чистый сдвиг на бесконечности в плоскостях,

параллельных плоскости г = 0, а также в плоскости х01;, одностороннее растяжение напряжением = 1; изгиб упругого пространства в плоскости х01. Построены графики напряжений и смещений в разных сечениях, для ряда задач приведены зависимости напряжений от коэффициента Пуассона и от отношения радиуса тора к радиусу сечения тора. Отметим, что во всех случаях наблюдается концентрация напряжений на поверхности полости в точках, где 2=0.

5. Полученные результаты позволяют уточнить расчеты напряженно-деформированного состояния соответствующих объектов, например, массивов с полостями тороидальной формы или аналогичными внутренними дефектами, и оценить концентрацию напряжений, вызванную ослаблениями такого вида, что позволит повысить надежность расчета и экономическую эффективность таких конструкций.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1. Гейнц ОМ. Представление общего решения пространственной задачи теории упругости через обобщенные аналитические функции в тороидальных координатах: Тез. докл. 7-ой Международ, конф. «Математика. Экономика. Экология. Образование.» Международ, симпозиум «Ряды Фурье и их приложения».-Ростов-на-Дону, 1999. С. 139.

2. Гейнц О.М., Соловьев Ю.И. Представление общего решения пространственной задачи теории упругости через обобщенные аналитические функции в тороидальных координатах: Материалы 37-ой Международ, науч. студенческой конф. «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск 1999 г. Новосибирск: НГУ, 1999. С.

3. Гейнц О.М., Соловьев Ю.И. Представление общего решения теории упругости в тороидальных координатах при помощи обобщенных аналитических функций //Сиб. журн. индустр. мат..- 1999. Т.2, № 1. С. 164-166.

4. Гейнц ОМ., Соловьев Ю.И. Обобщенные аналитические функции в тороидальных координатах и их применение к задачам теории упругости: Материалы регион, науч. - практ. конф. «ТрансСиб - 99», Новосибирск, 24 - 25 июня 1999 г. Новосибирск: Сиб. гос. ун-т путей сообщения, 1999. С.456 - 459.

5. Гейнц О.М., Соловьев Ю.И. Задача теории упругости для пространства с тороидальной полостью// Веста. Сиб. гос. ун-та путей сообщения. Новосибирск, 2000. Вып. 3. С. 86 - 93.

6. Гейнц О.М. Некоторые задачи теории упругости для пространства с тороидальной полостью: Тез. докл. 10-ой Международ, конф. «Математика. Экономика. Образование.» 2-ой Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения».-Ростов-на-Дону, 2002.

7.' Гейнц ОМ., Соловьев Ю.И. Напряженное состояние упругого пространства с тороидальной полостью// Прикладная механика и техническая физика. - 2004. Т. 45, №1. С. 73 - 83.

8. Гейнц ОМ. Задачи для упругого пространства, ослабленного тороидальной полостью// «Экспериментально-расчетные методы исследования задач прочности». Сборник науч. трудов под редакцией М. X. Ахметзянова. Сиб. гос. ун-т путей сообщения. Новосибирск, 2003. С. 87 - 99.

27.

С. 172.

Подписано к печати 19 февраля 2004 г. Заказ № 27 Формат 60/84/16. Объем 1 уч.-изд. л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1

43 2 2