Решение обратных задач для параболических уравнений с нелокальными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАСТВЕНИЫЙ УНИВЕРСИТЕТ п г _ им. М.Э.РАСУЛЗАДЕ

¡¡Б од

• На правах рухсписи УДК 517.95

МЕГР АЛИЕВ ЯШ АР ТОПУШ оглн

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

01.01.02 ^ < "Дпффедощхгалыше -уравнения"

автореферат.

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математячесхлх шух

Баку—1994

Работа выпонена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений.

Научный руководитель:

— кандидат физико-математических наук-, профессор

Г.К. НАМАЗОВ

Официальные -оппоненты:

— доктор физико-математических наук Ю.Л.АЛХУТОВ

— кандидат физико-математических наух, доцент Н.М.МАМЕДОВ

Ведущая организации — Азербайджанский Технический Университет

Захиита диссертации состоится

-Лг. .£UiQ i994 г. * ■ 7 7 часов ил заседлпии специализированного cunera по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук Д 05-1.03.02 в Бакинском Государственном Университете им. М.Э.Расулзадс по адресу; 370145, г.Баку., ул. З.Халилова, 23. II корпус, ауд. 307.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Бакинскою ' Государстясиноа> Университета им» М.О.Расулзаде.

Автореферат разослан " /(> " Ct- ^juLoJ^ 199-? г.

Ученый секретарь Снецпалиаироианного Совета домор физико-млгем.плческих, паук, ирофесо УЬОЗ М.А.'

Обдая характеристика работа Актуальность тзш. Потребности прзхстнкй приводят :с задачам определения коэф£яцентов дифференциального уравнения как обыкновенного, таге п з частных производных по нэкоторш известным функционалам его решешя. Такиэ задачи получили называние обратных задач з встречаются в вопросах тештопроЕодностн, фздьтршига, геофизика и гшогих других отраслей.Ищется болыпоз количество работ, посвясенпых обрастал хфаэвхкл задачам для даффэрэнцпалыт уравнений в частннх производных. Ео з г™: з основном» рассматри-зззтея те ила иные кошерэтшэ отаешэ услошя, котоша возникает з практике. II каадая еовм практическая задача трзбуот новых теоретических псслэдовашй» ибо завэрззшюй сс'цс-З тзорз тахих задач, как в сСедй мзтодгзи их псслэдозгдил го пзстояп-ээ зрзмл отсутствует. Поэтому, татлу давней диссертация, гдэ лсслэдуэтся збрзтнне задача нахогдешя рзпошя я лвпззэстеого козффишантз «товарного пзраСоличаского по 11.Г.1Ьтрозскшу уразиашщ второго гарядгз, с обойка нелокальными крзвЕши уоловиягл, следует считать асгуальноЭ как с точки зрэния теории, тек п вршюяэпся.

Цель работы- изучать вопроса' существования к здпястеэнностп 1бобщэнного, почти зезду -2 кяассзчэского рэпешЗ рассматриваемой ■братней краевой задачи, Метот исследования. Для исследования рассматриваемой задачи, ривлечены метода асшгготпчесхоа л спзктральнсй теория ебнкно-зезкх ДЕф$Эр81ЩЯаЛЬВН2 ТрЗЕНЗШЙ, ЛШОЙЕНХ крзвнше задач для равнзниз з частных произеодзнх, интегральных уразпзниЗ в баяахо-эм пространстве.

Научная новизна. Построена еозыэ банаховы пространства посладо-зтельностеп козфЗгщяентсв Фурыз,разлогаш2 со собственна; эдз-

шытаы строго регулярны, граничных задач общего вида для обыкновенных шШ&рзтшалъБш. уравнений. Доказана их двойственность с пространствами типа С.Л.Соболева. Пользуясь шли рассмотрена обрастая краевая задача для параболического по К.Г.Петровскому уравнешя второго порядка с переменными к&шлекснозяачЕши ко-эФЕицпэнташ, при граничных условиях, общего вида н доказаны те-орвш о существовании ж единственности обоСаенного, почти всюду ж классического реаешя такой задачи.

Теоретическая ш практическая ценность. Основное теоретичес кое шшещэ ДЕсеортапЕЕ сосредоточено в разработанной методике установления шшш^шеоощ раоскатрзвземой обао£ оОрэтноД кра евай задачи и систем ©щкдаанадшых уравнений в банаховой проа тршстЕ-з, 8 также в садучешш теоремах об однозначней разрогз:-кссзи. Практическая дащосгь ез зшшчается'в ток, что ижто честшо ш® рашешоВ в дассертшвш вадачв часто встречаются в вопросах тепдощ^сшозиоатг.^фуззш.распростршэши электромагнитных полей в цроизЕодщах средах, дадашя вязкой шекостй и т.д. и лм задач етих направлений возмогши получения соответ-ствушж «юдстеей об однозначной разрешимости.

Дцрабашя работы. Результаты диссертацш докладывались т XIV Республиканской Научной Конференции молодых ученых вузов Азербайджана в 1991г.на научней конференции по механике и мате*-матнке, по священной кйидэю профессора К.И.Ееримова в 1993г., ш семинарах кафедр даффэрэашалъшх уравнений и уравнений математическое фззздв БГУ ш.М.Ра суда аде и семинарах института матемэ тике и механики АэерЗеШщана. - .

Публикации. Освовшге результаты диссертации опубликованы в п тк работах авторе,список которых приводится в конце автореферат

Структура работа. Ддссермшсшш работа состоит из введения и трех глав разбитшс на 11 параграфов я сшгскз литературы из 34 наименований. Она содзрют 119 страши.

СОЯЕКИШЕ РАбОТЫ.

В диссертационной: работа изучается обратная задача нахоздаша решения и нзазвэстного когфВицента пзрзбодг-юсгсого по И.Г.Петровскому уравнения второго порядка при краевых условиях общэго вида. Прл некоторых достаточных условиях, налагаегт на коэфйаценты уравнения ц граничные условия, доказывается существование а эдзнс-твэнеость обобщенного, почта зсэду п классш'.-эского рэшэнпЯ обратной задачи.

Дпссортзвдя достоит-зз вявэдзнгш а трзх глаз.

Во ВБ9Д8НШ ДОЗТСЯ ГфЗИСЕЙ СбЗОр рабОГ, ОТНОСЯГЦЗХСЯ К ТЙЭ диссертации, п излагаются оэ ссповкне результаты.

Глава I, состоялся зз'трэз параграфов, посвяиэна устансздэ-вно некоторых вспомогательных результатов, лезазж в основе ;лв-тоддкз далыгэйзк дсслэдоззепз.

3 §1.1 рассмотрена спектральная задача

Ь (х.^ - х2 у = о лгш,п, (I)

и (7) л S О. 1 +3 d"7

¿ot k-o d^

= □ (V=0,t), (2)

ГДЗ

у=у(х,Х) - зскомэя функция, - комплексный параметр, (к=0,1,2) -заданЕыэ, вообщэ говоря когшлзкенозначнкэ функции, а^. Рун )- кожлексныо числа,причем граничные условия (2)

нормированы, т.е.либо з01Р,,-Р01 <х11 0» либо ¡а01 | + !.Р011>0,

- б -

Gii=ßii=° • aQ1= ß01= а^р,,. a00ß10- p00a10 * 0.

Пусть выполнены условия: :.Х.1? Пусть Ьк(х) € ), где к=0,1,2, q £ 0~ некоторос-

цзлое число, a i7i4+k)(0,1) - Соболзвскоэ пространство функций, ыдекшх в (0,1) квадратично интегралу еше обобшшыо производные до порядка а+к включительно.

1.1.2° Пра х€10,13 b„(z)?iO к arg Ъг(1)=ф=соаег.

С шкодью зшзну незавасшой переменноS

-1/S

jbg (*С) J

о"

Ы(s)-b [ |ь2(т)|" а*, о"

и ноезвесеноё фушуш

,У(х(£)5=У<|) = exp - J- Г (1) GJ У(П ,

О j

задачу (1 >,(2) цршэдам к нпду:

(4)

(5)

н + ь0(|}у - ц у = о,

(6

Л у

btj

* 0 <lte0,1).

(7

где b =

J

-i/г

dt

>0, x(£) - обратная функции (4),

ц = * Ъ-1 е-

Ъ0Ц) = 4 + I V5>+V«

«vi^f ßvf Ч'СГ " 2Ь1 (0Чч + %о »

Ко [-' 2Г Ко] • - 2- J

,(r=0,1).

-1/г ~ -1/г

0Ц,,=Ь |Ь2(0)| . Оу, , РУ1=Ъ |Ьг(1)| Ру, .<гм).1) . (8)

Предположим еще, .что выполняется условия:

1.1.3? Граничные условия (7) усиленно регулярны, т.в имеет да сто о дао из следвшх. трех условий:

О * 0 г •

2) О . |а01 |+1Р011 > о .

1 1

1*>г<0)1* ««Ам •

1 1 *ъ'р10 . а01* ± |Ъ2(0)|г ъ'р01 ;

<4)1" Ро1я аи3 Ри5» аоо^о' ^ооаю * 0 •

1.1.4°.Собственные значения задачи (6),(7) простые.

1.1.5°. Число Хг=0 нэ является собственным значением задача (1),(2). .

Здесь доказано , что при енполнэеии. .условий 1.1.3°, 1.1.4?,. собственные значения , задачи (I), (2) такге являются простыми и соответствующие им собственные функции ук(х) образует базис Рисса в 1^10,1]. Для собственных значений и собственных функций получена нужные для дальнейших исследований • асимтотическое представления и оценки.

В §1.2 вводятся некоторые банаховы пространства.

1. Пусть 0<х<1, 0<г<т|, Г^-боковая граница об-

ласти Др. Для целого числа в$0 через Я^2е,в)(1)т) обозначим пространство Сойолева-Слободащсого всех функций <¡>(2,1;),у которых существуют е принадлежат Ь2(ВТ)=1^0'0) {13») обобщенные производные

—всех целых т.> 0, 0 таких, что т1+2а.< 2е. ах ^г2

Через С<гв,в,(Дс) обозначим банахово пространство функций

т. пи

ех 'аг«

ф(Х,£) У которых существуют нзир8рнвные В Пт ПрОЕЗВОДНЫв

{пц+Зп^ 2Б). •

2, Р8осмотрам лшейгое шогообразда всех функций ф(хД) из с (2з, {5) ^ удовлетворяющих граничный условиям:

8-1

• й

ЪвО

64

дг

=о (з=о,Б-1),

где 7лк»е№ - кошшксще чжсущ» Фэрмы 01 Ц=0,1 )гадаы в (2),

Хт+1<р=Ьп^.1фг. а оператор Ь1 ~ охгределен формулой (3),

Зашсйя это шогообразш.. ш> норме Соболевского пространства "и(2е*6)(Вг), получим некоторые подпространство пространства

2

> (В^, которые обозначал через

Лэ*

р(0,5) обозначим со

3. Дня деда через В

множество всех функциональных последовательностей элементы которых жэют квадратно интегрируете в [0,23 производные до порядка р включительно и

св

i

мчг

3=0

(9)

где соСсгвэашш значения задачи 61)^(2). Норма в-эиш множас-

тв8 определяется так:

(0,2)

03 i т * 1 кг1 1 'СХ: 1/2

3=о' .

< со, (10)

Очевидно, что в"?'01""^^!) банахово пространство.

Через В и 1 3 ((О,?) Л) обозначим замыкание по норме (10) множество всех последовательностей Г , для которых

^2в)((0Д).7)(К=1,г,..) я еыполнязтся нбрзвэнство (9).

4.Для целого числа з>0 через Вз(0Л!) обозначил дэнартово произведение пространств }<0,2) п Б|3,гс®"13.....2,о(0,2), Это

прзстранство с норпой

дс:.з,е: 1в-1 ),...,е., «(р^^

такнэ является банаховым. . '

.В §1.3 доказывается одно яз основных утвзраденнЗ,' игратаиев -роль в дальнэйжх исследованиях. Еузеео устанозляваотся, что некоторые пространства типа-Я. иЗ, введенные з §1.2, двойственны относительно, разлогеняа в ряд Фурьэ по \ собственным фушащя.! задача (1),(2):.

Теорема.1.3.1.° Пусть з >, 0 некоторые целое число я выполняется условия 1.1.1° (я=2з)-1.1.5°. Тогда:

1) вела гт» {уо^с вгз'г(3-1)'--"2-о((0,Т),?), то ряд

8 ^Жля теорем я лемм ' сохраняем обазйачения, дассертацлт.

со

I (И)

сходится по норме у£гв'е)(1)т) к некоторой функции 1<хД) <

€ п[г*-в>(Цр.и.та,... .тш8"1 д);

2) если Г(х,г)с 1|г8'в)(Вг,п,иь.....В18-\Ю, то в я*гв-в)(ДГ)

она разлагается в ряд вида СИ) и коэффициенты разложения Гк(1) образуют последовательность

кг)={гк(г)}^ € вг8'г(в-1).....г'°((0,т},7);

3) существуют числа 0<ю<М такие .что

111 |{11:(1;)}к=1|вг8.г(в-1Ь....г.о(0^) * и^^гв.»)^* ^ ж ^к^^ьг^згв,г(в-1 >,....г,о(0 г

г,

Глава II состоит из. четырех параграфов. . В §2.1 дается постановка основной задачи, исследованию которой посвящена настоящая работа. Именно рассматриваемся обратная задаче нахождения решения к неизвестного коэффациэнта параболического уравнения вида

<х,гн \« {(хД): 0<х«1, 0<г<!с} ' (12)

при Даевых условиях:

70(и) я и(Х,0)+Сц(Х,Т)=ф(Х), 0<Х<1, . (13^

Кс^'^ 4 Рук (14)

1 * * = Гх<х)исгд)£й + жг>, о<г<1, (I!

о-1

где

1зк(х) (lc=o,i,2), at(t), JCt.t), Ф(х), %{T), lx(t) данныэ.а a0(t) a u(x,t) - искомые,-вообав говоря кошлэксноззачшз функции,О, (v=0,1,2; К=0»1) - когяшксные числа» такие, что '

Iaoi асо ^ооI rang |ап а10 ßn J310l - 3, - (IS)

l^i а?о ^aof прячем грашгшкэ условия (14) считаются нормированные.

Относительно коэффициентов уравнения (12) тр-эбуется ваголнэ-низ условий 1.1.1°, 1.1.2° и-сяздугаих:

2.1.1. Пусть a,(tK и a^tyonpa te IÖ,T];

2.1.2. Пусть arg a, (t)e [- f + <!> * 30. f + Ф -öQ]» для некоторого 0<5o<|. при ts са,Т1(параболяяЕооте по И.Г.Петровском?).

Теперь дадим определений классического репзния (к.р.) л решения почти всюду (р.п.з.) задачи (12)-(Г5):

определение 2.1 Л. Пару функций a^Ct)€Ct0.1!l и u(x,t)€ €G2,1(DT5n C1,0(Dtur,t5nC(DT), удовлетворяюще уравнению (12) в D^, условию (13) в (0,1) а условиям (14),(15) в (0»Г), наговем-к.р. задачи (I2MI5).

Опое делание 2.1.2. Пару функций a0(t)€ F7|O)(0,iü) и ^З^,), удовлетворящпх уравнено (12) при почти всех (п.з.) (x,t)€ Dj, условии (13) при п.в. хе(0,1) и условиям (14),(15) при •п.в. t€(О,Т),назовем р.п.в. задачи (12)-(15). Ясно,что 8 силу условия (15) из равенств. .

- И„№> CbQ.t.2.3)

однозначно определяются (tc=q,i):

02. dsf- .

аЧушд)

¿:r

j vA(u)t mi! = | övA,(u) №=o,i

v=o v=o

Оггр&даленив 2.I.3.Дару функций a0(t)e W^O)(0,T) и u(x,t)e ^(o.o)(D^), удовлетворяющих штегральному соотношению

|r (t^lf)v(s,t)-r (Xfgg)Tte.t) tt(2,t>öxdt=

i(x,t)v(x,t)dxdt+

2 1 !• Г Г

+&Л0) 9(x)v(x,0) äs -

%(x)u(x,t)dx + b(t)

о с

¡М0П1Р ^

(0)7ог

v(0,t) -

Jf(1)60g ¡7(1»t) +ü

fcO

02.

•Ш,

при любой ®УВКЩШ V(s,t) € W.(£'1 . H*(t.|r)v

2 Яу^о'Ф*

öt

4 aQ{t).T,

I" (X,^)v =

Qt-

ÖX

+ t0{r)T

TJ*(Y)= Ob, (0)ya,0)+ EL, (T) v(x.i), U*(v) 4v0>7ia + V0)To3

[b2(l)ö13 + Ö1{15Ö03

v(0.t> - 7сз

T(1st) + 6C3

dü>„(x> v)

öx

(bg(x)y)

dz

назовем обобщенным решением (о.р.) задачи (12) - (15).

В §2.2 устанавливайся условия, при кшолеэнеи которых o.e. задает (12)-(15) оказывается р.пА,»вш к.р.

о

1

- 13 -

Лемма 2.2.1. Пусть Ш) £ (0,2), a, (t) € } (О.Т),

I {a0(t),u(x,t)} является о.р. задачи (12) - (15), таким» что a(x.tk Тогда ^aQ(fc) ,u(x,t)j- является и р.п.з.этой

задачи,

Лэнма 2.2.2. Пусть Ш) £ ^о)(0,'Г), a .(t) с W*') (0,Т),

3k(X) € ^к)(0,1) п CEQ, 1) (к=0,1,2). Х(Х), ?(Х)£ 7^О)(0,1) 3 fU.t) € C(D3) и [a0(t),uci,t)\ 'является о.р. задачи (12)- (15), гаксм, ЧТО u(x,t) € G2<1(D11) п С1,0 <VU Г?) я 0(5») и ^o(t)€CC0,I3. Тогда |a0(t),n(x,t)^ является ц к.р.этой задачи. • 3 §2.3, формально разыскивая вторую компоненту реванш

ja0(t),uU„t)j задачи <12)—<15) з вида

»

U(X,t)= 2 ux(t) y.jx)

шззходим к задача;

- xjiyt) s f4(t) (KU'I, ' • (17)

W>.)) = u^iO) + 3 U!X(T) = (18)

> iyMt) = a{t) 0<t<T, (19)

i. - A. k=1

uv(t)

t t

с

u(x»t) йг, = J f(x,t) 34(x) dx,

0' 0

j ____,1

J 9(2) z^Ci) ax, pk=U2(yK(x))- j ^(х^Ысег,

есть репеято ззцзчл, сспрщгэнноЗ з спектральной задаче (1)-(2). Здесь задача (17)-(19) • приводится к счетной системе функциональных уравнений

' т

со

1»=1

где

— О^.т^Ж ♦ ¿■'вь.о«)

о

* 1

( ' ' '

о

ирг

да. „(Т)

а^Ш'Й) <

со

'5 адг««--

к«1 •• •

атакке доказывается эквивалентность задачи (17)- (19) к счетно® системе (20). , ;. .

Пусть выполнены условия: .

2.3.1°. х(хк й|О)(0,1) и либо имеет место' случай гневленной регулярности краевых .условиях (14) и + ао1р21^0,' либо шевт из сто случай 5) усиленной регулярности и

. |4ьг<1) о21+<-1 )3 4ьг(0) 1 [о^о+М )3т}(1 )роо|^0.

2.3.1?. х(2)е 1<о)(0,1), шеет мостр случай 1) усиленной

згулярностн и

2

О

2.3.1®, %(х)£ С0.1) имеет место случай 1) усиленной, егулярности 2 аго + (-1 )р20 =0,

I

Ь2(1) а01 + ИЬ2СО) '-Т](1 )р01=0 . при 3=1 ЕЛИ при 3=2.

2.3.1°г. %(х)€ 17^о)(0,1) и либо имеет место случай 2)усг-генной регулярности и а21р01-нз01р21=0,либо кмеет место случай 3) уствтой регулярности я

Ь2(1)аг,+М Ь2(0)71(1 >рг1=0. .

-аОО* (~1 ^00 =0» ^ ¿К аш при •

йдеет место следующая теорема, которая является основным результатом в этом параграфе. • '

Теорема 2.3.1. Пусть шполшггся условая IЛ.1°(ври д=0)- • 1.1.3°, 2.1.1?, 2.1.2°, одао вз условна 2.3.1°~2.3Д^, .условие согласования ' . •

0 » '

; гадкою»'.-''--.'

неравенство . .'

аз

(21)

Я гкте'??<о)(0,Г), ИШс 1^О)<0,2), Л (*}*>. Нрогр того.предпо-

к*- ' "г яояпш, что

» . .' ' - ' • и

где 1=1, если выполнено условие 2.3.1° ж 1=0, ест выполнено одно

• - te -

из условий 2.3.1° - 2.3.1°г. Тогда справедлшх следующие утЕер-. кдения: '• • . '

1) ревешэ ^(tJ/j^ít)! .задали (I7)-(I9) является и решением системы (20);

2) решение ja0(t)3u,,(t системы (20) такое, что

Tí

3 ^-esp

,2 Г о^"' и,

'Ч. J а71^

. V

«•шляется и решение» задачи (17) -(19).

В §2.4 установливается связь -между поставленной задаче (12)-(15) и счетной системой интегральных- уравнений (20),с учето эквивалентности задачи (17)-(19) а система (20). Теорема 2.4.3, %сть-выполняются условия 1.1.1°(пр-Е )~1,1.5° 2.1.1°,2,1.2°, одно из '^'слоши '2.3.1^,(1=1,0,-1 ,-2, где о^,

1:-0), неравенство (21)г Мг) £ »'|!3(0,2), ЗаШД) при 1€Ю.ТК Кроме ТОГО, пусть <р(з) £ ),и,ЦЪ), Г(х,I) €

€ в случае выполнения условия 2.3.1°, <р(х) €

с 1^5((0,1)90), (Сг,и) в случае выполнения одного

из условий 2.3.1° -2.3.1°2 и удовлетворяется условие согласована

^Х(х)фЬ)дХт10Ы1)) ■ (23)

а

в кзздс;л гз случаев 2.3.1° (1*1,0,-1,-2).

Тогда задача (12)- (15) и система (20) эквивалентны а тем смысле, что есля {з0т,и(хд)} - о.р. задачи (12)-(15), то

I о ~

является ранением п.з. системы (20) к наоборот,

^Д)} резание п.в. системы (20) имеет место неравенство (22) то

{a0(t).u(x,t)} -

a0(t)„ £ Uj,(t)7k(z)

. lc=1

вляется обобщенном реиенкем задачи (12)-(IS).

Из зтсй теоремы внтекает следутао

Следствие 2.4.1. При условиях таорэзд 2,4,3, саги система 20) играет единственное- реаекао, для щрвоЛ кошжентн которого ытлнеио неравансгзо (23),то п задача (12)-(15) икеет едшстввн-оз о.р., обладавшее зим свойствзм.

Глава III состоит из четырех параграфов.

Б §3.1 в рассматривается счетная снстеиз- функциональных

P0(u(t)). Pt(u(t)),,

равнения (20). Обозначая P(u(t).> = |

ДЗ U(t)B | UQttJf^Xt). ... }* Xl0(t). Я 80(t) Е

Pk(t) + • [(^(t.XJVUCDa^Ci) to , ЗС=1.2.....

PK(u(t))«

Q

1

R(t)+ - У JU, U,.<t) , fc=0

bit) fcg

i:ci8!.;y (20) занисвзаеи в виде:

u(t) = ?(u(t)) • ; '

Наряду с осеовнш операторном уравнением (24) вводится итерированное уравнение

u(t) = P<n)(a(t))9l ' 7 да' п - некоторые натуралышв числа,

P{n>(u<t)) = |p^)(u(t),?1(n)(u(t)),...J

(24)

1 Т .

о

сэ

?<й)окш= нт+ —I р„ 4 ?<п~1)(и (г)) , и=о.

° -11(1) кг» ^ V

?£0>(ит) = гую-, р<^.)(и(г)) = ?к (и(1)) «с=о.1,2...

Здесь устанавливается связь между уравнениями (24) и (25).

Лемма 3.1.1. Пусть при некоторой I > О оператор Р1 г 5 переводит пространство Ез(0,Т).в себя и уравнение (25), при п= 1+1 имеет единственное решениэ и* (г) £ Ез(0,Т). Тагда и уравыешэ (24) имеет единственное решение из Ез(0,1) и ыим решением является' и*(1;).

В связи с зш з § Я .2 доказывается однозначная разрешимой з пространства Еа(0,2)»итерированного уравнения (25),а тем сами? благодаря лекс,:з 3.1.1, и основного операторного уравнения (24).

Теорема 3.2.1. Пусть а1 <г)с ъ^'ЧоЛ). МШ >(0,Т), г 8'=тах(1,з),£1(г)^0,Ь(г)^0, при и£0,5), выполнены условия 1.1.1 (при ф=°Ь 1.1.3° ,2.1.2°, неравенство (21) и одно кз условз 2.3.1° (1=1,0,-1,-2).Кроме того,пусть {фи}к=1€в2(3+2)«{^^}к=1 € вг(а+г),2(3+1 )....г,о(а>Г)^ ¡¿02(9,3) щщ вШ0ДЕ8ниа у слови

при выполнении любого из условий 2.3.1° -2.3Л°г.

Тогда при мзбси натуральном а ^ п0 и существует число 10> (зависящее от дашпд) такое,что при Т< Т0 уравнение (25) из;ее единственное реаениз. принадлежащее прастрансгву Ео(0,1).

В силу леша 3.1 Лг из последней теореш немедленно вытаха? однозначная разрешимость основного операторного уравнения (24).

Теорема 3.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 3.2.11 Тогда существует число Т0>С (зависящее от данных) такое, что-при Т< Т0 уравнение (24) (следовательно и система (20)) имеет дшственное решение, принадлежащее пространству Ев(0,Т).

Установленная в передыдуйем параграфе теорема 3.2.2 об одно-начной разрешимости системы (20), вместе с теоремой 2.4.3 об зк-валентдасти, позволяют сделать соответствующие выводы о существо-■анш ■ н единственности обобщенного решения задачи (12)-(15), хзторая изучается в § 3.3. Здесь формулируется теорема о существовании и едиственности обобщенного решения обратной задачи ;12)-(15).

Теорема 3.3.1. Пусть- выполашгся условия 1.1.1° (при q=q1)--1.1.5°, 2.1.1°, 2.1.2° , одно из условий 2.3.1° (1=0,1.-1,-2 I, ,=4^=0), а Ф -1 и /довлотворияэг неравенству (21),

гШ € я£1)(0,Т),Ь(1;) * О при ЛбЮ.Т). Кромй того, пусть ф(х)€

((0,1)ДШ.), I(хЛ) € 1^'г-)(Д[,,11,11Ь) в случав выполнения' условия 2.3.1°, <р(х>£ ^г)((0,1)»П),П2,г) с Ш^гИ)(1)т,П) 3 слу-1ае вшолнения одного из условий 2.3Л° - 2.3Л_г, а удовлетворяется условие согласования (23) в каждом из .случаев 2.3.1° (.1=0,

1,-1,-2).

Тогда существует число То>0 (заносящее от данных) такое, что при т< Т0 задачу (12)-(15) имеет единственное обобщенное решений.

Наконец, в 5 3.4, пользуясь леммами 2.1.1, 2.1.2 при соответствующих условиях, доказывается существование к единственность ре-

ш

шения почти всоду и классического решения поставленной основной

' ч 1

задачи (12)-(15). . /

гч *"

Теорема 3.4.1. Дурть наполняются условия 1.1.1° (прз Ч^)--1.1.5°, 2.1.1°, 2.1.2° , ОДНО ИЗ условна 2.3.1° (1=0,1

! . ' - 20 -гдэ С ¡£ -1 и удовлетворялат неравенству

(21), Ш) е п£1)(0,Т), гк^^О при ге [0,Т]. Кроме того, пусть <р(х) с ^б)(<аи).я,та.ш.г}, г(хд) е 1|б-3)(от,и,сь,иьг) в.случае выполнения условия 2.3.1°, <р(х)е ^4)((0,1),и.Ш,), КхЛ) € €Т?<4,21 (Бт,и,иЬ) в случае выполнения одного из условий 2.3.1°- 2.3.1_2 и удовлетворяется условие согласования (23) з каждом и

случаев 2.3.1° (1=0,1,-1,-2).

Тогда существует число !Го>0 (зависящее от данних) такое, чт при Т< Т0 задача (12).- (15) имеет единственное решение п.в.

{а0Ш, и(х,г)},щшш а0Ш€ й<п(0,Т), и(х,1;)е .Чд^Ш.

.Теорема 3.4.2. Пусть вшоляяэтся условия 1.1.1° (при а=а1 -1.1.5°, 3.1.2°, одно из условий: 2.3Л2 (1=0,1,-1,-2, гдэ а{~ Ч0=Я_1=<1_Г,=2), С * -1" и удовлэтЕораяат: неравенству (21), а1 (г) ш>€ ЬШгЮ при. Ъ5Г0,и. Кроме того, пус;

Ф(х) € ^}((0=п.и.та.2,иь3), £(X,г) £ и<е<4>(о1.и.ш,.щ,г.та,3) случае выполнения условия 2.3,1°., ф(х) с ??|6)((0,1 ),а,Ш,,Ш,г: 1(х,г-)е в случав выполнения одного из условЯ

2.3.1°- 2.3.1и . удоыютЕоряэтся условие согласования (23) г к&шош из случаев 2.3.1° (1=0,1»-1,-г).:

Тогда существует число То>0 (аависяцоэ от данных) такое, чтс

при Т-< Т0 задача (12)-(15) икает едкнствэннав классическое решзш

{ар(Х)г. и(з,1;))-, пратем а0<1:)€ Е<г)(0.Т)» и(хД)€«г|4,а}(Ц,,Л.аь).

В зэклшзниг пользуясь. случаем вырагда глубокую благодарность

, ■ , 5 '

научному руководителю профессору Г.К.Намазову за постановку задачи и ценЕыа советы.

Основные резульаты диссертации опубликованы в следующих ботах: :

.Намазов Г.К.,Мегралиев Я.Т. Об одной обратной задаче для па-

<j

раболического уравнения второго порядка. Деп.в Аз.ШШ®? 1988, & 1002 , 20 с.

.Мегралиев Я.Г.Обратная задача для параболического уравнения при дополнительном условии интегрального типа. Тезисы UV Ресяубликанской Научной Конференции Молодых ученых вузов Азербайджана ( 28 декабря-27 декабря 1991 г) Баку 1994-III часть, ст.? .

•Намазов Г.К. .Мвгралиэв Я.Г.Разрешимость обратной задачи для параболического уравнения второго порядка при нелокальных, краевых и дополнительных условиях. Материалы научной конференции по механике и матеиайка, посвященной юбилея профессора К.А.Керикова (С S шт W'4-шт 1533 г.).Ег«у Ï923.СТ.285-237 .Шгралиев Я.Т.Сведения из теории спектральных задач п введение-некоторых пространств. Деп в А3.шаш!.1993,й 1990, 3ß с. .Намазов Г.К. .Мегралиев Я.Т. К теории-обратных задач для параболических уравнений.-Деп в 1з.ШШШ.19гэ,Д 2018, 24 с .

' •. MbJlPSJIIUKB JAiilAP ТШМ оелу

! ■ " ШРАБОШК Т9Ш1ИШР Y4VH ЖГРИ-ЛОКМ' СЭРЬЗД

ЫЗРТДИ T3PÇ ШСЭШЭРШ ьэлли" .■ ¿'•V i á с а

ДяссертасяЗада. хзкя тор'тябли хэття П.Г.Петровскл "э"нада пар; балик t3:tx:!i; учуй гадрл-лскал сорЬэд шгртла tsçc мэсэлэшш. /h лин го яаиэ*лум эь-солш танилг-лса г,эсзлэсанан/ тсукядэтттз^ан .hop jspxs 23 классик пэллзрян варда5|и_ЕЭ зеканэш'^п проблеялнэ •бахилир. Бу иэсэлэепн nscaöii са.1да фун::сионал тэнляклор систем екрлвзлепгядЗн йсбат олунур. лусуси гуружуп баяах бэзала.рында Ьэшн функсяонал тэшшклэр сдстешшш бяргаллзтлд Ьэлл олугалас проблема араглдь^илдкгдая сонра еквивалентляадэн ястлгадэ едэрэ эсастэрс мэсэлэнлн \гу;.излanaína Ьэлдинян ьарлкгы вэ .теканэляза кестэралир. Верплэнлэр узэрянэ бэ"3а Наглрлкг шэртлэрп дахилак дэ уыумаяэтляш fr з длин саш w hap Зардэ; в г классик Ьэлл ола бялм сн факты'ксбат слунарат ссас мзсэлэнлн бу чур Ьгллэранин дэ 'Еарлы'ры еэ ЗеканэляЗи Ьаггында теореадзр исбат олунур.

ÎSHRALISB YASHAR Ï0PU3Î OGXïï

The solution of Inverse problems for the parabolic efuatlons with nonlocal boundary conditions.

SiiHQary. ' .

She dissertation considers tîie guestlons of existence and ilquenss of generalised, almost everywhere and classical iluticna of inverse problem Tilth nonlocal boundary conditions, ,1. the ttrrerss problem oï finding solution and imlxoim efficient of II-order parabolic 2.G» ?otro?slq type equation l nonlocal baundaxy conditions is under investigation.

The basic problem reduces" to some countable tategro--actional equations system ana It prores the equivalence îtween the considered problem and .received countable systca. : It Llows to study the systea, to maies corresponding conclusions for xe basic problem. In this context the unsablguons solution of ratem in special? ccnstructedi opace lo studied at îlrsï. Using le egulvalence, the. existence and unlgaeness of generalised )lutlon of basic problem ara establlahed.Turther, using ths ict that in some conditions the generalised solution Is the Lmost everywhere and classical • solution, the existence and ilqueness of almost everywhere and claealcal colutions of ^nsldered problem Is proved.