Решение обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

г

□03055647

На правах рукописи

Венецкий Александр Сергеевич

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОЙ РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ

01 04 03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003055647

Работа выполнена в Институте радиотехники и электроники Российской Академии наук (ИРЭ РАН)

Научный руководитель доктор физико-математических наук

В А Калошин

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор В А Пермяков, кандидат физико-математических аук А В Мошков

Ведущая организация НИИ системных исследований РАН

Защита состоится 13 апреля 2007 года в 10 часов на заседании диссертационного Совета Д 002 231 02 при Институте радиотехники и электроники РАН по адресу 125009, Москва, ГСП-9, ул Моховая, д 11,корп 7

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН Автореферат разослан 12 марта 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Первые экспериментальные исследования плавно-неоднородных (градиентных) линз с коэффициентом преломления, зависящим от радиуса в цилиндрической системе координат, были сделаны в оптическом диапазоне в работах Экснера, Матиссена, Шотта и Вуда в конце 19-го - начале 20-го века

Первые экспериментальные исследования неоднородных линз в СВЧ диапазоне электромагнитных волн были проведены А Л Микаэляном, К Келехером и С Гоатлеем в середине прошлого века Однако в СВЧ диапазоне неоднородные линзы с осевой симметрией не нашли пока широкого практического использования в отличие от линз с центральной симметрией (линз Люнеберга) Это объясняется наличием у линз с осевой симметрией аберраций при смещении источника по углу, в отличие от линз Люнеберга, где такие аберрации полностью отсутствуют С другой стороны, реализация неоднородных линз в диапазоне миллиметровых и сантиметровых волн требует гораздо более сложной технологии, чем реализация однородных линз с асферическими поверхностями, которые находят применение в этих диапазонах волн

Реальное внедрение градиентных линз началось в оптическом диапазоне в 70-е годы прошлого века для различных видов объективов, в частности для оптических систем считывания и записи информации, медицинских эндоскопов и т д , в связи с прогрессом в технологии ионной имплантации

Параллельно экспериментальным исследованиям развивалась геометрооптическая теория анализа и синтеза градиентных линз с осевой симметрией Точное решение задачи синтеза линзы с плоскими поверхностями, радиальным законом изменения коэффициента преломления среды, одним фокусом на поверхности и другим в бесконечности было получено впервые АЛ Микаэляном в 1951 г В ряде книг приводится точное решение Ю А Зайцева для произвольного положения одного из фокусов Однако, как показали наши исследования [1], это решение не является точным Точное решение для линзы аксикона с фокусом на поверхности и коническим выходным фронтом было получено в работе В В Котляра и А С Мелехина Этими же авторами получены частные численные решения задачи синтеза амплитудного и амплитудно-фазового распределения для осесимметричной двумерно-неоднородной среды с плоскими границами

Начиная с 70-х годов прошлого века, стали публиковаться работы, посвященные исследованию аберрационных свойств цилиндрических линз с радиальным градиентом Рассматривались задачи расчета хода лучей и нахождения аналитических выражений для аберраций Зависимость коэффициентов преломления задавалась в виде ряда по степеням расстояния от оси Поверхности линз, как правило, предполагались плоскими или сферическими Результаты этих работ позволяют находить до 4-х членов разложения коэффициента преломления по степеням расстояния от оси путем численной оптимизации

Однако в этих и других известных нам работах не описан метод, позволяющий находить по заданным преобразованиям фазы, амплитуды или закону отображения падающего и выходящего фронтов коэффициент преломления и (или) форму границ ра-

диально-неоднородной среды Поэтому разработка таких методов является актуальной задачей

Целью диссертационной работы является разработка методов решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией и применение этих методов для решения задач определения коэффициента преломления, формы границ или того и другого одновременно, по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов, в рамках геометрической оптики

Научная новизна результатов.

Для решения перечисленных выше задач были разработаны два метода Первый из них основан на представлении параметров среды в виде рядов по степеням расстояния от оси симметрии среды и рекуррентной процедуре определения заданного числа неизвестных коэффициентов этих рядов Второй - на использовании слоистой модели среды с постоянным или меняющимся по линейному закону значением диэлектрической проницаемости внутри каждого слоя, замене гладких границ среды на кусочно-линейные и рекуррентной процедуре определения диэлектрической проницаемости (коэффициента преломления), а также границ среды для каждого слоя

В диссертационной работе впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ радиально-градиентной среды с осевой симметрией по степеням расстояния от оси

В диссертационной работе впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости, а также точек, описывающих границы радиально-неоднородной слоистой среды с осевой симметрией

В диссертационной работе впервые решена обратная задача геометрической оптики для радиально-неоднородной среды с заданным фазовым распределением на выходе и произвольной формой одной или двух границ

В диссертационной работе впервые решена обратная задача геометрической оптики для радиально-неоднородной среды с заданным амплитудным распределением на выходе и произвольной формой одной или двух границ

В диссертационной работе впервые решена обратная задача геометрической оптики для радиально-неоднородной среды с заданным амплитудно-фазовым распределением на выходе и произвольной формой одной или двух границ

В диссертационной работе впервые решена задача синтеза радиально-неоднородной апланатической линзы с заданной произвольной формой одной из ее поверхностей

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы

а) при решении задач синтеза радиально- неоднородных линз с требуемыми амплитудно-фазовыми характеристиками,

б) при решении задач минимизации аберраций радиально- неоднородных линз с асферическими поверхностями,

в) при решении задач восстановления параметров (коэффициента преломления и формы границ) осесимметричных ограниченных радиально-неоднородных сред по амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших полей,

г) при конструировании оптических и микроволновых систем, формирующих изображение,

д) при конструировании оптических и микроволновых систем, обеспечивающих заданное распределение мощности на выходе

Достоверность полученных результатов подтверждена решением соответствующих прямых задач в рамках геометрической оптики

Апробация работы По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ Результаты доложены на Международном симпозиуме по электромагнитной теории, С-Петербург, 1995, Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» ММЕТ-98 (Харьков), X Всероссийской школе «Волновые явления в неоднородных средах (Волны-2006)», Московском электродинамическом семинаре

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1 Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиаль-но-градиентной среды с осевой симметрией, позволяющий получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и формы границ по степеням отношения расстояния от оси к осевой толщине

2 Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиаль-но-слоистой среды с осевой симметрией, позволяющий получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости внутри слоев, а также точек, описывающих границы среды

Вклад автора. Постановка задач, рассмотренных в диссертации, и направления исследований предложены В А Калошиным Реализация этих направлений, в том числе разработка алгоритмов и программ, а также проведение исследований осуществлены автором

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения, списка литературы и двух Приложений В ней содержится 112 страниц текста, включая 40 рисунков Библиография включает 22 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цель и задачи, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, а также положения, выносимые на защиту

В первой главе рассматривается задача определения одного из трех функциональных параметров (коэффициента преломления или формы границы) осесимметричной радиально- неоднородной среды по известному распределению фазы (углу выхода лучей) _

i Y ( f(y)Г' \<р(у) !

- ' Va 1

/ —V-r-li^ \ i 1 \ 1 1 ' \ i

о fo+l X

Рис 1

Для градиентной среды используется разложение ее параметров (коэффициента преломления п(у) и функций J[y), (f(y), описывающих границы), а также угла выхода луча fyiy) в ряды по степеням расстояния от оси

n2{y) = nl-±c2y*, /00 = Ё/„/\^00 = /о + 1 + |>2{/\ вг = ±Ъпл»-\п„= «(0),

к=1 *=0 А=1 к-1

остальные обозначения понятны из рисунка 1

Уравнение луча J ^-= д>(у2) - /(у,) и условия преломления на границах [/"О, ){а - eos 0,) - sin в,]2 = п2(уа2, [<р'{у2 ){а - costf,) + sin в2 ]2 = пг (у2) - а2 сводятся к уравнению 1(а) = Ч\а), где

= , = 1 + (а)аи , сс=п„2-а2

JC2 к-0 <«|

Полагая а=п0 для центрального луча, нетрудно получить бесконечную систему уравнений для определения с2к , первое уравнение которой имеет вид

(arcsinт]с2(с2 +h1(n0)y' -arcsinjc2(c2 + g2 («„))"') = 1,

где /г,(«0) = (2^2(л0-1) + 6,)2,£2(я0) = (2/2(я0-1)-1//0)2 и является трансцендентным относительно с2 Остальные уравнения являются линейными относительно с2* и имеют треугольную матрицу, что дает возможность рекуррентного нахождения этих коэффициентов

С использованием описанного метода найдены два решения для содержа-

щие по 3 члена Одно из них получено в предположении монотонного поведения лучей, а другое - для лучей, имеющих не более одного максимума Эти решения показаны на рисунке 2 кривыми 1, 2 для среды, ограниченной параболическими поверхностями, преобразующей сферическую волну с фокусом 1 в сферическую с фокусом 10

16 1 5' 1 4' 1 3"

1 2", ---, ----,---,--г—---г-

0 6 2 6 4 ее 6 8 1

Рис 2

На рисунке 3 кривой 1 показана разность заданного фазового распределения и полученного путем решения прямой задачи для линзы с плоскими границами, /0 =1 и плоским выходным фазовым фронтом, синтезированной описанным методом с тремя членами ряда Видно, что точность степенного разложения п(у) и, соответственно, точность синтеза заданного фазового распределения на выходе падает с увеличением у В диссертации показано, что эту точность можно повысить, переразлагая ряд и используя аппроксимацию Падэ Соответствующая кривая показана на рисунке 3 цифрой 2

Для слоистых сред, коэффициент преломления которых в каждом слое постоянный, а границы - линейно ломаные, решение находится в результате применения аналитической рекуррентной процедуры Предполагаются известными коэффициенты преломления до 1-1 слоя, начиная от оси Приравнивая оптический путь луча значению заданной величине на выходе 1-го слоя, было получено и решено уравнение для определения о, Полагая щ известным и используя полученное решение, остальные и, находятся рекуррентно

На рисунке 4 приведены графики разности рассчитанного фазового распределения и заданного для синтезированной линзы с описанными выше параметрами со 100 и 160 слоями При расчете фазы коэффициент преломления представлялся сплайном с узлами, полученными в результате синтеза_

0 01" 0 00В'

е две' е 004" 0 002"

0",-,--,-, -,-г-

0 0 2 0 4 0 6 0 8 1

Рис 4

Для проверки точности обоих методов в задачах диагностики (восстановления п(у)) на рисунке 5 приведены графики разности рассчитанного коэффициента преломления

5" 4"

3" 2" Г

0", ----,- ,-, ----,- , -

0 0 2 9 4 0 6 8 8 у 1

klti L

у Ш1

1

Delta NkI 000

1 j

2__/ 7 \

п(у) и заданного в виде N(y) = nal ch(7tyl6) Источник располагался на расстоянии fo=0 5 от плоской поверхности среды, ее вторая поверхность задавалась функцией (p(y)~fo +1-0 4у2 Кривой 1 показана соответствующая разность для среды с 1000 слоями, кривой 2 - для среды с 1500 слоями, кривой 3 - для градиентной среды с п(у) в виде трех членов разложения Видно, что при достаточно большом количестве слоев, решение для слоистой среды можно использовать и для градиентной При этом необходимое число слоев для задачи диагностики существенно больше, чем для задачи синтеза

В этой же главе описан алгоритм определения одной из границ, когда п(у) и другая граница заданы

Во второй главе рассматривается задача определения одного из трех параметров среды по известному амплитудному распределению поля на выходе Как и в первой главе рассматриваются две постановки задачи - задача синтеза и задача диагностики Также приводятся два метода решения задачи - для градиентной и слоистой среды

Для градиентной среды, используя уравнение энергетического баланса для лучевой трубки

D09,)siniV6> = Q(y)y(cos62 + <p'(y)sm&2)dy и условие преломления на границе

-sin<92 + cos вУ( у2 ) = ^п2(у2)-а2 + а(р\уг), находится выражение для координаты точки выхода луча через координату точки входа луча

к=1

в которое входят известные коэффициенты разложений распределений мощности падающего и выходящего поля

щв,) = а(1 + м2 + М4 + ). Q(y) = бо( i+ чту2 + Я4У4 + )

Так, /32 = —iLj, Д выражается через p2,q 2 и т д

Qiifa

Алгоритм нахождения заданного числа членов разложения в ряд коэффициента преломления или формы границы аналогичен описанному в первой главе Для определения неизвестных коэффициентов разложения п(у) получена бесконечная система уравнений, где первое уравнение для монотонных лучей имеет вид

(arcsinл/Асг(с2 +£2("О)Г' - arcsmлМ^+^ЮГ') = 1.

лМ

и трансцендентно относительно с2, а остальные - линейны по с2к и имеют треугольную матрицу

В качестве примера найдено разложение п(у), содержащее 3 члена для линзы с плоскими поверхностями, преобразующей сферическую волну с косинусоидальным амплитудным распределением в волну с равномерным амплитудным распределением на

выходе Амплитудное распределение на выходе, полученное в результате решения прямой задачи для синтезированной линзы, показано на рисунке 6 кривой 1 для двух членов ряда и кривой 2 для трех членов ряда_

-Л

v

й'| I

в 8 2 в 4 0 6 6 8 1

Рис 6

Далее описан метод решения задачи для слоистой среды с однородными слоями Для этого разработана рекуррентная процедура нахождения величин коэффициентов преломления в каждом слое Приведен пример восстановления коэффициента преломления в среде с плоскими поверхностями Однако ошибка восстановления оказалась большой и не падала с увеличением количества слоев В связи с этим был разработан метод для слоистой среды с линейно-меняющейся диэлектрической проницаемостью в каждом слое Слои выбирались равной толщины Описана рекуррентная процедура нахождения градиента п2(у) в произвольном слое, начиная от оси Точность метода проиллюстрирована на рисунках 7,8 для рассмотренных выше примеров (задач синтеза равномерного амплитудного распределения и восстановления коэффициента преломления в среде с плоскими границами и Ы(у) = 1 6/сЛ(я)'/6))

0<а> Л ч /

\

*

Рис 7

Кривая 1 на рисунке 7 описывает распределение амплитуды на выходе линзы с толщиной слоев, равных 0 05, кривая 2 - 0 04, кривая 3 - 0 07

На рисунке 8 показана разность восстановленного по последней методике коэффициента преломления и заданного при толщине слоя й=0 05 и диаграмме направленности источника О(в)=О0 СО50

Рис 8

В конце главы описан алгоритм определения одной из границ, когда п(у) и другая граница задана

В третьей главе рассмотрена задача одновременного определения двух из трех функций (коэффициента преломления и форм границ осесимметричной радиально неоднородной среды) по известным фазовым распределениям двух полей на выходе Рассматриваются две постановки задачи - задача синтеза заданного фазового распределения и задача восстановления двух параметров среды, когда известны два фазовые распределения поля на выходе Метод, использующий представления параметров среды в виде рядов по степеням расстояния от оси обобщен на случай двух положений источника Задача нахождения членов разложения сведена к решению двух бесконечных систем уравнений Описан алгоритм получения заданного числа членов разложения для двух неизвестных параметров среды По разработанному алгоритму найдены разложения искомых двух параметров, содержащие 3 члена

Метод, использующий слоистую модель среды, также обобщен на случай двух положений источника и двух неизвестных функциональных параметров среды Здесь на каждом шаге рекуррентной процедуры определяются две величины коэффициент преломления в слое и координата границы В отличие от первой главы здесь не удается получить явное выражение для искомых параметров Каждый шаг итерации состоит из двух частей Сначала мы идем по лучу, принадлежащему первому источнику, до попадания в искомый слой Задаем некоторое значение неизвестного коэффициента преломления в этом слое По фазовому распределению первого поля на выходе однозначно определяется точка пересечения луча с границей среды и угол наклона касательной к границе в этой точке Затем рассматриваем луч из второго фронта, проходящий через эту точку и вычисляем его оптический путь до пересечения с левой (известной) грани-

цей среды и соединяем со вторым источником (см рис 9) Приравнивая суммарную фазу значению фазы второго фронта на данном луче, мы получаем трансцендентное уравнение относительно неизвестной величины коэффициента преломления в искомом слое Его решение проводится методом итераций Ньютона, в качестве начального приближения берется значение коэффициента преломления в предыдущем слое В результате решения уравнения получаем также точку искомой границы среды и высоту определяемого слоя_

Рис 9

В случае, когда коэффициент преломления в среде задан, а искомыми являются две границы, применены метод разложения в ряд и метод представления границ массивами точек с рекуррентной процедурой определения точек этих массивов

На рисунках 10, 11 приведены результаты применения и сравнения двух методов на примере восстановления параметров среды с первой поверхностью плоской, второй -окружностью с радиусом, равным 2 и коэффициентом преломления, задаваемым формулой Л^(у) = 1 6/сА(я)'/6)по фазовым характеристикам выходных полей двух источ-

Кривая с цифрой 1 на рисунке 10 показывает ошибку определения коэффициента преломления среды, умноженную на 1000, как функцию расстояния от оси среды при использовании приведенной методики аппроксимации среды однородными слоями с числом слоев, равном 300 , а кривая с цифрой 2 - при использовании метода разложения решений по степеням расстояния от оси

Кривая с цифрой 1 на рисунке 11 показывает ошибку определения второй поверхности среды, умноженную на 1000, как функцию расстояния от оси среды при использовании приведенной методики аппроксимации среды однородными слоями с числом слоев, равном 300 , а кривая с цифрой 2 - при использовании метода разложения решений по степеням расстояния от оси

Четвертая глава состоит из трех разделов В первом разделе рассмотрена задача определения двух из трех параметров среды по известному амплитудно-фазовому распределению поля на отстоящей плоскости для одного источника Для случая градиентной среды и представления искомых функций степенными разложениями решение находится по схеме, описанной в главе 2 с применением результатов главы 1 Используя знание фазового и амплитудного распределения на плоскости, получено амплитудное распределение на второй границе среды в виде разложения по степеням расстояния от оси, причем коэффициенты этого разложения выражены через коэффициенты разложения второй границы среды В результате задача сведена к рассмотренной в главе 2

Для слоистой среды при известном амплитудно-фазовом распределении на выходе, и предположении, что в каждом слое квадрат коэффициента преломления меняется по линейному закону, построена рекуррентная процедура, на каждом шаге которой определяется высота слоя, коэффициент преломления и координаты точки границы среды

Рис 12 Рис 13

На рисунках 12 и 13 приведены результаты применения обоих методов на примере задачи восстановления параметров среды с плоской первой границей, второй - сферой радиуса 2 и коэффициентом преломления #0>) = 1 6/с1г(лу/6), по фазовой и амплитудной характеристикам прошедшей через среду сферической волны с фокусным расстоянием /0=1

Кривая 1 на рисунке 12 показывает ошибку восстановления коэффициента преломления среды, умноженную на 1000, как функцию расстояния от оси при использовании методики аппроксимации среды слоями с линейной зависимостью диэлектрической проницаемости внутри слоя и числом слоев, равном 40 , а кривая с цифрой 2 -при использовании метода разложения по степеням расстояния от оси

Кривая с цифрой 1 на рисунке 13 показывает ошибку определения второй поверхности среды, умноженную на 1000, как функцию расстояния от оси среды при использовании той же аппроксимации среды с числом слоев, равном 40 , а кривая с цифрой 2 - при использовании метода разложения решений по степеням расстояния от оси

Во втором разделе рассмотрена задача определения двух из трех параметров среды по известному фазовому распределению фронта на выходе и закону отображения падающего и прошедшего лучевых фронтов В данном случае не требуется рассматривать уравнение энергетического баланса в лучевой трубке для получения зависимости точки выхода луча от точки входа Поэтому для слоистой среды использован метод, описанный в первом разделе

В случае градиентной среды для определения коэффициентов разложения показателя преломления используются соотношения из главы 2, а для определения коэффициентов границы среды - соотношения из главы 1

Точность обоих методов проверена на задаче синтеза радиально-неоднородной апланатической линзы, преобразующей сферический фронт в плоский с законом отображения У = уэтв, где У- координата точки выхода луча из линзы, 0 - угол выхода луча из источника, у = /„ +0 55 ,/и =1- расстояние от источника до первой (плоской) поверхности линзы_

0 002 м

0 00!?

е 001' / П

е опсб" -кГ . У

г.»0| / /

/ / л 1\

! \ А

Рис 14 Рис 15

На рисунке 14 кривая 1 показывает величину отклонения фазы от заданной как функцию расстояния от оси для линзы, синтезированной методом разложений, а кривая 2 — для линзы, синтезированной методом аппроксимации среды слоями с линейной зависимостью диэлектрической проницаемости внутри слоя

На рисунке 15 кривая 1 показывает величину отклонения функции отображения от требуемой в линзе, синтезированной методом разложений, а кривая 2 - для линзы,

синтезированной методом аппроксимации среды слоями с линейной зависимостью диэлектрической проницаемости внутри слоя

В третьем разделе рассмотрены задачи определения двух границ среды по амплитудно-фазовому распределению или фазовому распределению и закону отображения двух фронтов, если профиль коэффициента преломления задан Показано, что поставленные задачи сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной

Пятая глава состоит из двух разделов В первом разделе рассмотрена задача определения всех трех функциональных параметров по известным фазовым распределениям на выходе среды для трех положений источника В случае градиентной среды для решения поставленной задачи используется обобщение метода, изложенного в главе 3 Получены две системы уравнений для определения вторых и третьих членов разложений функций, описывающих границы среды и профиль коэффициента преломления

Для слоистой среды с однородными слоями изложена рекуррентная процедура, в которой на каждом шаге определяется коэффициент преломления в слое и две точки обеих границ Каждый шаг итерации состоит из трех частей Сначала мы идем по лучу, принадлежащему первому полю до преломления на первой границе среды в точке А]

предыдущих шагах рекуррентной процедуры Далее, луч проходит через уже известные слои и попадет в искомый слой Задаем некоторое значение неизвестному коэффициенту преломления в этом слое По фазовому распределению первого поля на выходе однозначно определяется точка пересечения луча с границей среды А и угол наклона касательной к границе в этой точке Затем рассматриваем луч из второго источника, проходящий через эту точку и вычисляем его оптический путь до пересечения с левой границей среды и соединяем со вторым источником При этом нужно так выбрать второй источник, чтобы луч пересек левую границу в известной части Приравнивая суммарную фазу значению фазы поля второго источника на данном луче, было получено трансцендентное уравнение относительно неизвестной величины коэффициента пре-

ломления в искомом слое Его решение находится методом итераций Ньютона, в качестве начального приближения берется значение коэффициента преломления в предыдущем слое В результате решения уравнения получаем также точку второй границы среды и высоту определяемого слоя Далее пускаем луч обратно из третьего фронта в найденную точку А второй границы Выбором положения источников можно добиться, чтобы этот луч шел выше первых двух лучей Прослеживаем путь этого луча и вычисляем его оптический путь до точки А3, где он в сумме с расстоянием до третьего источника будет равен значению соответствующей фазы на третьем фронте Эта точка будет узлом первой поверхности на данном шаге итерации Затем переходим к следующему шагу

Далее исследована точность двух методов на примере восстановления среды, ограниченной двумя сферическими поверхностями и коэффициентом преломления, меняющимся по обратному гиперболическому косинусу

Во втором разделе рассматривается задача определения параметров градиентной линзы путем минимизации аберраций Сначала была исследована глубина резкости апланатической линзы Выяснилось, что диаметр аберрационного пятна при смещении объекта из бесконечности на конечное расстояние от поверхности линзы вдоль оси не зависит от профиля коэффициента преломления и увеличивается по мере приближения к линзе Так, на расстоянии равном 20 , фокусном расстоянии 2 и радиусе апертуры 2 диаметр аберрационного пятна оказался равным 0 03 Далее уравнение первой поверхности линзы и коэффициента преломления было представлено в виде четных полиномов четвертого порядка с неизвестными коэффициентами и был использован метод оптимизации Пауэлла Были найдены коэффициенты, обеспечивающие минимальный размер пятна на оси для положения объекта на расстоянии, равном 20 Эта задача решалась как для градиентной, так и однородной линзы

В результате удалось получить диаметр пятна равный 7,4x10"3 - для однородной линзы и 3,7x103 - для градиентной линзы После этого исследовалась величина пятна при помещении объекта на разные расстояния (от 20 до 1000 , что соответствует интервалу фокусов от 2 3 до 2 в области изображения) и отклонении его на 5 градусов от оси Полученные зависимости приведены на рисунке 17 для однородных линз и

Delta xlOO

XT

IZ

Фокус

Рис 17

Рис 18

рисунке 18 для градиентных линз (обозначены цифрой 1) Кривые с цифрой 2 - аналогичные зависимости для апланатических линз Далее была проведена минимизации аберраций для всего рассматриваемого интервала расстояний до объекта, соответствующих интервалу фокусов от 2 до 2 3 Результаты оптимизации приведены на рисунках кривыми с цифрой 3

Если принять в качестве допустимой величину аберрационного пятна, равную 0 035 то допустимые значения фокусного расстояния в случае однородной апланатической линзы лежат в пределах 2 0-2 2 в области изображения Это соответствует интервалу от 40 до бесконечности в области предмета Допустимые значения фокусного расстояния для однородной оптимизированной линзы лежат в пределах 2 0-2 3 в области изображения, что соответствует интервалу от 20 до бесконечности в области предмета (рис 17) Таким образом, однородная оптимизированная линза позволяет обеспечить в 2 раза большую глубину резкости, чем однородная апланатическая

Оптимизация неоднородной линзы привела к меньшей величине пятна (0 025) Допустимые значения фокусного расстояния в случае градиентной апланатической линзы лежат в пределах 2 0-2 1 в области изображения Это соответствует интервалу от 60 до бесконечности в области предмета (рис 18) Допустимые значения фокусного расстояния для градиентной оптимизированной линзы лежат в пределах 2 0-2 3 в области изображения, что соответствует интервалу от 20 до бесконечности в области предмета Таким образом, градиентная оптимизированная линза позволяет обеспечить в 3 раза большую глубину резкости, чем градиентная апланатическая

Таким образом, возможно увеличение глубины резкости оптической системы за счет отказа от точного выполнения условия синусов Аббе при сохранении в определенных пределах ее широкоугольных свойств При этом однородная линза обеспечивает увеличение глубины резкости в 2 раза, а градиентная - в 3 раза

В Заключении кратко сформулированы результаты диссертации, отмечены неисследованные вопросы и указаны перспективы дальнейшего развития разработанных методов

В диссертации разработаны методы решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-градиентной и радиально-слоистой среды с осевой симметрией

Показано, что при увеличении числа слоев и уменьшении их толщины результаты решения обратной задачи для слоистой среды могут быть использованы и для градиентных сред

Показано, что точность метода, использующего степенные разложения, с увеличением расстояния от оси падает быстрее, чем метода, использующего модель слоистой среды

Показано, что метод для слоистой модели среды с постоянным значением коэффициента преломления в каждом слое хорошо работает для градиентных сред в задачах синтеза требуемого фазового распределения и восстановления параметров среды по известному фазовому распределению на выходе Однако, для задач синтеза заданного

амплитудного распределения поля либо определения параметров среды по известном; амплитудному распределению на выходе разработанный метод не обеспечивает схо димости при увеличении числа слоев Для решения таких задач был разработан мето, для слоистой среды с линейно меняющимся квадратом коэффициента преломления каждом слое

Разработанные методы были применены для решения конкретных задач синтеза i диагностики среды по фазовому распределению на выходе для одного или нескольки; положений источника, по амплитудному и амплитудно-фазовому распределению н выходе, по фазовому распределению и закону отображения фронтов

При решении задач диагностики в диссертации предполагалось, что фазовое ил] амплитудное распределение на выходе задано точно На практике эти распределен« определяются в результате измерений и поэтому неизбежны ошибки Влияние эти: ошибок на точность восстановления параметров в диссертации не рассматривалось

Список публикаций по теме диссертации

1 Венецкий А С , Калошин В А Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией // Радиотехника и электроника - 1991, Т 36, №12, С 2301-2307

2 Венецкий А С , Калошин В А Синтез градиентной линзы с осевой симметрией и заданной формой одной из преломляющих поверхностей // Доклады Академии наук - 1994, Т 335, №1, С 39-41

3 Kaloshin V , Venetsky A Synthesis ot Gradient Lens Antenna with Axial Symmetry // Pioceedings of the 1995 URSI Int Symposium on Electiomagnetic Theory,

St Petersbutg, Russia, May 23-26, P 831-833

4 Венецкий А С , Калошин В А Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией и криволинейной формой преломляющих поверхностей // Радиотехника и электроника-1997, Т 42, №12 -С 1452-1458

5 Kaloshin V , Venetsky A The Numerical Technique for Inveise Problems of Geometr Optics of Inhomogeneous Media // Pioceedings of Int Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Ukraine, June 2-5, 1998, P 157-159

6 Венецкий А С , Калошин В А Восстановление коэффициента преломления осе-симметричной неоднородной среды по фазовой характеристике прошедшего поля // Журнал радиоэлектроники - 2005, №9, http //ire cplire hi

7 Венецкий А С , Калошин В А Восстановление коэффициента преломления осе-симметричной неоднородной среды по амплитудной характеристике прошедшего поля // Журнал радиоэлектроники - 2005, №9, http //ire cplire ru

8 Венецкий А С , Калошин В А Синтез неоднородной диэлектрической линзы с осевой симметрией // Письма в ЖТФ - 2006, Т 32, №7, С 74-79

Заказ № 173/02/07 Подписано в печать 28 02 2007 Тираж 100 экз Уел пл 1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО АМПЛИТУДНОЙ

ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО ДВУМ ФАЗОВЫМ

ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПРОШЕДШИХ ПОЛЕЙ.

ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ИЛИ ПО ЗАКОНУ ОТОБРАЖЕНИЯ И

ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ.

ГЛАВА 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПО ТРЕМ ФАЗОВЫМ

ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПРОШЕДШИХ ПОЛЕЙ.

Актуальность темы.

Первые экспериментальные исследования плавно-неоднородных (градиентных) линз с коэффициентом преломления, зависящим от радиуса в цилиндрической системе координат, были сделаны в оптическом диапазоне в работах Экснера, Матиссена, Шотта и Вуда в конце 19-го - начале 20-го века [1].

Первые экспериментальные исследования неоднородных линз в СВЧ диапазоне электромагнитных волн были проведены Микаэляном [2], Келехером и Гоатлеем [3] в середине прошлого века. Однако в СВЧ диапазоне неоднородные линзы с осевой симметрией не нашли пока широкого практического использования в отличие от линз с центральной симметрией (линз Люнеберга). Это объясняется наличием у линз с осевой симметрией аберраций при смещении источника по углу, в отличие от линз Люнеберга, где такие аберрации полностью отсутствуют. С другой стороны, реализация неоднородных линз в диапазоне миллиметровых и сантиметровых волн требует гораздо более сложной технологии, чем реализация однородных линз с асферическими поверхностями, которые находят применение в этих диапазонах волн.

Реальное внедрение градиентных линз началось в оптическом диапазоне в 70-е годы для различных видов объективов, в частности для оптических систем для считывания и записи информации, медицинских эндоскопов и т.д., в связи с прогрессом в технологии ионной имплантации [4].

Параллельно экспериментальным исследованиям развивалась геометро-оптическая теория анализа и синтеза градиентных линз с осевой симметрией. Точное решение задачи синтеза линзы с плоскими поверхностями, радиальным законом изменения коэффициента преломления среды, одним фокусом на поверхности и другим в бесконечности было получено в работах [5,6]. В ряде книг [7,8,9] приводится точное решение для произвольного положения одного из фокусов. Однако, как показали наши исследования [10], это решение не является точным. К числу точных решений в рамках геометрической оптики относится полученное в [11] аналитическое решение для радиально-градиентного аксикона, который преобразует плоский падающий фронт в конический.

Начиная с 70-х годов, стали публиковаться работы, посвященные исследованию аберрационных свойств цилиндрических линз с радиальным градиентом [12-15, 21]. Рассматривались задачи расчета хода лучей и нахождения аналитических выражений для аберраций. Зависимость коэффициентов преломления задавалась в виде ряда по степеням расстояния от оси. Поверхности линз, как правило, предполагались плоскими или сферическими. В работах [14, 21] приведены выражения для аберраций 5 порядка, а в работе [15] - выражения для аберраций 7 порядка. Результаты этих работ позволяют находить до 4-х членов разложения коэффициента преломления по степеням расстояния от оси путем численной оптимизации.

В работах [16,17] получены частные численные решения задачи синтеза амплитудного и амплитудно-фазового распределения для двумерно-неоднородной среды с плоскими границами.

Другое направление применения геометрооптических методов для решения обратных задач связано с диагностикой неоднородных сред и структур (земной атмосферы, плазмы, градиентных волокон, линз и т.д. [18 - 20]).

Во всех этих работах использовалась непрерывная модель среды. Известны работы, где рассматривалось решение прямой задачи геометрической оптики для плоскослоистой среды, а для определения неизвестных параметров слоев использовались различные методы оптимизации [22].

Таким образом, в этих работах не описан метод, позволяющий находить по заданным преобразованиям фазы, амплитуды или закону отображения падающего и выходящего фронтов коэффициент преломления и (или) форму границ радиально-неоднородной среды. Поэтому разработка таких методов является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка методов решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией и применение этих методов для решения задач определения коэффициента преломления, формы границ или того и другого одновременно, по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов, в рамках геометрической оптики.

Научная новизна результатов.

Для решения перечисленных выше задач были разработаны два метода. Первый из них основан на представлении коэффициента преломления и границ среды в виде рядов по степеням расстояния от оси симметрии среды и рекуррентной процедуре определения заданного числа неизвестных коэффициентов этих рядов. Второй - на использовании слоистой модели среды с постоянным или меняющимся по линейному закону значением диэлектрической проницаемости внутри каждого слоя, замене гладких границ среды на кусочно-линейные и рекуррентной процедуре определения диэлектрической проницаемости (коэффициента преломления), а также границ среды для каждого слоя.

В диссертациии впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ среды по степеням расстояния от оси по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов.

В диссертации впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости, а также точек, описывающих границы среды по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным фазовым распределением на выходе.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным амплитудным распределением на выходе.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным амплитудно-фазовым распределением на выходе.

В диссертации впервые решена задача синтеза радиально-неоднородной апланатической линзы с заданной формой одной из ее поверхностей.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы: а) при решении задач синтеза градиентных линз с требуемыми амплитудно-фазовыми характеристиками; б) при решении задач минимизации аберраций градиентных линз с асферическими поверхностями; в) при решении задач восстановления параметров (коэффициента преломления и формы границ) осесимметричных ограниченных радиально-неоднородных сред по амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших полей; г) при конструировании оптических и микроволновых систем, формирующих изображение; д) при конструировании оптических и микроволновых систем, обеспечивающих заданное распределение мощности на выходе.

Достоверность полученных результатов подтверждена решением соответствующих прямых задач в рамках геометрической оптики.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международном симпозиуме по электромагнитной теории, С.-Петербург, 1995, Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» ММЕТ-98 (Харьков), X Всероссийской школе «Волновые явления в неоднородных средах (Волны-2006)», Московском электродинамическом семинаре. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-градиентной среды с осевой симметрией, позволяющий получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ среды по степеням отношения расстояния от оси к осевой толщине.

2. Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-слоистой среды с осевой симметрией, позволяющий получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости внутри слоев, а также точек, описывающих границы среды.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения, Списка литературы и двух Приложений. В ней содержится 113 страниц текста, включая 40 рисунков. Библиография включает 22 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны методы решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной (градиентной) среды с осевой симметрией и радиально-слоистой среды с осевой симметрией.

Разработанные методы были применены для решения конкретных задач: синтеза и диагностики среды по фазовому распределению на выходе для одного или нескольких положений источника, по амплитудному и амплитудно-фазовому распределению на выходе, по фазовому распределению и закону отображения фронтов.

В работе показано, что результаты решения обратной задачи для слоистой среды при уменьшении толщины слоев могут быть использованы и для градиентной среды и наоборот, результаты для градиентной среды могут быть использованы для мелкослоистой. При этом существует возможность комбинированного использования обеих моделей. Анализ показал, что решения для градиентной среды в окрестности оси на основе рядов работают лучше, чем решения для слоистой модели, но по мере увеличения расстояния от оси - наоборот (точность для слоистой модели падает медленнее). Это позволяет использовать до определенного радиуса апертуры решения на основе степенных разложений, а далее использовать решения на основе слоистой модели среды.

Одним из результатов работы является тот факт, что слоистая модель с постоянным значением коэффициента преломления в каждом слое хорошо работает для задач синтеза требуемого фазового распределения волнового поля (или задачи восстановления параметров среды по известному фазовому распределению на выходе). Однако, для задач синтеза заданного амплитудного распределения поля (либо определения параметров среды по известному амплитудному распределению на выходе) эта модель не обеспечивает достаточной точности при увеличении числа слоев. В этом случае приемлемые результаты дало использование слоистой модели с линейно-меняющимся квадратом коэффициента преломления в каждом слое. По-видимому, можно ожидать еще лучших результатов в случае использования слоистой модели с параболическим законом изменения квадрата коэффициента преломления внутри каждого слоя.

Представление параметров среды в виде рядов по степеням расстояния от оси является хорошим в том случае, если эти ряды являются быстро сходящимися. Если они сходятся медленно или расходятся, то их применение оказывается неэффективным. Улучшить точность решений в виде-рядов можно с помощью аппроксимации Падэ, вид которой определяется в каждом конкретном случае. В диссертации рассмотрен частный случай аппроксимации Падэ коэффициента преломления со степенным разложением в знаменателе.

Еще одно ограничение развитой в работе методики разложений связано с тем, что реальным параметром разложения является отношение расстояния до оси к осевой толщине среды. С уменьшением толщины среды сходимость степенных разложений ухудшается и поэтому для малых значений толщины надо применять другой вид разложения.

При решении обратных задач предполагалось, что фазовое или амплитудное распределение на выходе задается точно. При решении задач диагностики на практике эти распределения определяются в результате измерений и поэтому неизбежны ошибки (шумы). В диссертации вопрос о влиянии на решения задач диагностики ошибок измерений фазы или амплитуды не рассматривался.

1. Вуд Р. Физическая оптика : Пер. с англ. под ред. Д.С. Рождественского. -Л., М.: ОНТИ, 1936.-895 с.

2. Микаэлян А.Л. Линзовые антенны с переменным показателем преломления. МЭИС. 1951. Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн. наук.

3. Kelleher K.S., Goatley С. Dielectric Lens for Microwaves ."Electronics". 1955. Vol.28. №8. P.142-145.

4. Архипова Л.Н., Карапетян Г.О., Таганцев Д.К. Проблемы градиентной оптики. Изв. вузов. Приборостроение. - 1996. №5-6. С.31-61.

5. Микаэлян А.Л. Применение слоистой среды для фокусирования волн. ДАН СССР. 1951. Т. 81. №4. С.569-571.

6. Fletcher A., Murphy Т., Young A. Solutions of two optical problems. Proceedings of the Royal Society. Series A. April 1954. N1153. Vol.223. P.216-225.

7. Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Антенно-фидерные устройства. 4.2. Изд. ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского. 1959. 552 с.

8. Зелкин Е.Г., Петрова P.A. Линзовые антенны. М.: - Сов. радио. 1974. -280 с.

9. Микаэлян А.Л. Оптические методы в информатике. М.: - Наука. 1990.232 с.

10. Венецкий A.C., Калошин В.А. Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией. Радиотехника и электроника 1991. Т.36. №12. -С.2301-2307.

11. Котляр В.В., Мелехин A.C. Преобразование Абеля в задачах синтеза градиентных оптических элементов. Компьютерная оптика. 2001. Вып. 22. С.29-36.

12. Kenichi Iga Theory for gradient-index imaging. Applied Optics. 1980. Vol.19. No.7. P.1039-1043.

13. Duncan T. Moore, Robert T. Salvage Radial gradient-index lenses with zero Petzval aberration. Applied Optics. 1980. Vol.19. No.7. P. 1081-1086.

14. Marchand E.W. Fifth-order analysis of GRIN lenses. Applied Optics. 1985. Vol.24. No.24. P.4371-4374.

15. Bociort F., Kross J. New ray-tracing method for radial gradient-index lenses SPIE. 1993. V. 1780. P.216-225.

16. Котляр B.B., Мелехин A.C. Расчет градиентного оптического элемента, выполняющего заданное преобразование светового поля. Компьютерная оптика. 2000. Вып. 20. С.37-40.

17. Котляр В.В., Мелехин А.С. Расчет составного градиентного оптического элемента, формирующего заданное распределение интенсивности. Компьютерная оптика. 2001. Вып. 21. С.92-95.

18. Dennis Gregoris, Keigo Iizuka Measuring cylindrically symmetric refractive-index profiles: a method. Applied Optics. 1983. Vol.22. No.3. P.424-429.

19. Кравцов Ю.А.,Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. - 304 с.

20. Ильин В.Г., Ремизов Н.В. Интерференционный метод измерения распределения показателя преломления в передающих изображение гра-данах. Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 10. №2. С. 105-110.

21. Степанов С.А., Грейсух Г.И. Расчет хода псевдолучей через оптические системы, включающие градиентные и дифракционные линзы. Оптика и спектроскопия. 1996. Т.81. №4. С.698-701.

22. Тихонравов А.В., Трубецков М.К. Новые задачи многослойной оптики. Радиотехника и электроника 2005. Т.50. №2. - С.265-272.

23. Определение границе среды.108 .