Решение обратных задач при исследовании намагниченности и электропроводности магнитных жидкостей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД

/ О !"г'4 правах рукописи

"' УДК 538.955:519.642

ВОЛОДИ ХИНА ИРИНА ИВАНОВНА

РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НАМАГНИЧЕННОСТИ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

01.04.14 - теплофизика и молекулярная физика 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТО РЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 1995

Работа выполнена в Ставропольском Государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Чеканов В.В. Научный консультант: кандидат технических наук,

доцент Торопцев Е.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент АН Таджикистана Стеценко В.Я. - кандидат физико-математических наук, доцент Падалка В. В.

Ведущая организация: Институт химической физики РАН

Защита состоится " 1995 года в ^ часов на' засе-

дании диссертационного совета К 064.11.03 в Ставропольском Государственном техническом университете (355038,Ставрополь, пр.Кулакова,2)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского Государственного технического университета

Автореферат разослан 1995 года

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее десятилетие внимание широкого круга исследователей привлечено к новому технологическому материалу - магнитной жидкости, взаимодействие которой с внешним магнитным полем обусловлено ее сильными магнитными свойствами. Исследованием этого взаимодействия занимается магнитная гидродинамика. механика и электродинамика сплошных сред. Однако изучение этого (взаимодействия значительно расширилось с развитием физики дисперсных частиц, которое дало возможность с помощью методов молекулярной физики, применяя ЭВМ, моделировать разнообразные молекулярные системы и физико-химические процессы, протекающие в них. К числу таких исследований относятся: ислледование процессов взаимодействия и агрегации частиц ' магнитной жидкости, определение функций распределения их по размерам и энергиям активации, времен релаксации, что позволяе.т наиболее полно описать электрические, магнитные, оптические и другие свойства магнитных жидкостей. При, этом за редким исключением доступными для непосредственного наблюдения являются различные интегральные величины: проводимость, ток, напряжение, намагниченность, напряженность магнитного поля, магнитная восприимчивость.

Возможности экспериментальных исследований можно существенно расширить за счет широкого внедрения средств вычислительной техники -и прикладного математического обеспечения. Математические методы интерпретации косвенного эксперимента, формализованные на ЭВМ, позволяют существенно повысить точность определения характеристик изучаемых физических явлений, а это в ряде случаев эквивалентно повышению разрешающей способности экспериментальной установки, которое достигается не за счет усложнения и совершенствования самой экспериментальной установки, что зачастую связано с большими материальными затратами, а за счет использования ЭВМ при обработке экспериментальных данных. Комплекс "прибор + ЭВМ" с запрограммированной системой обработки, в основе которой лежат регуляризующие алгоритмы, позволяет решить обратную задачу восстановления указанных выше дифференциальных характеристик магнитной жидкости в виде функций распределения.

В связи с вышеизложенным и были предприняты исследования физических свойств магнитной жидкости с использованием достаточно эффективных математических методов восстановления функций распре-

деления отдельных параметров по экспериментальным данным.

Цель работы. Разработка усовершенствованного метода решения обратных задач при исследовании свойств магнитных жидкостей, использующего результаты косвенного эксперимента. При этом основными задачами являлись:

- математическое моделирование поведения магнитной жидкости во внешнем магнитном поле;

- построение алгоритма метода и его программной реализации;

- численное решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода, интерпретирующего результаты косвенных экспериментов;

- применение разработанного аппарата для исследования, прогнозирования и диагностики свойств магнитных жидкостей;

- проверка адекватности моделей;

- оценка вычислительных ошибок решения.

Научная новизна результатов. В работе впервые представлены следующие результаты:

- разработан усовершенствованный численный метод, алгоритм и его программная реализация для решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, интерпретирующего результаты косвенного эксперимента;

- данным методом по экспериментальным зависимостям решены обратные задачи восстановления непрерывных спектров распределений

а) частиц твердой. фазы МЖ по размерам (магнитным моментам) из кривой намагничивания;

б) времен релаксации намагниченности из частотной зависимости магнитной восприимчивости;

в) носителей тока по энергиям активации из температурной зависимости проводимости;

- исследована работоспособность предложенного метода и выявлено существование зон равного качества решений анализируемых задач;

- показано, чтс данный метод позволяет восстанавливать зависимости, имекщие форму более сложную, чем стандартные двухпара-метрические распределения-,

- изучено влияние ошибок исходных данных на результат численного восстановления распределений. Показано, что относительная ошибка экспериментальных данных до 52 включительно усиливает ошибку решения приблизительно в 3,2 раза;

- метод позволяет включить в его состав процедуру численного

поиска интервала интегрирования, что исключает ошибку его неверного задания в исходных данных.

Практическая ценность. Разработанный в диссертационной работе численный метод решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода доведен до программного продукта. Созданная программа представляет самостоятельный интерес и может быть использована в составе экспериментального измерительно-вычислительного комплекса для математических методов интерпретации косвенного эксперимента - получения дифференциальных характеристик МЖ в виде функций распределения, позволяющих наиболее полно описать их электромагнитные свойства.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм и его программная реализация метода решения обратных задач, описываемых интегральным уравнением Фредгольма первого рода, интерпретирующим результаты косвенных экспериментов, при исследовании физико-химических свойств магнитной жидкости.

2. Устойчивость разработанного метода к ошибкам исходных данных.

3. Возможность восстановления более сложных зависимостей, чем стандартные двухпараметрические распределения.

4. Исследование поведения магнитной жидкости во внешнем электрическом поле с использованием численных методов.

5. Результаты численного анализа электропроводности МЖ в виде функций распределения носителей заряда по энергиям активации.

6. Результаты расчета функции распределения времен релаксации магнитного момента твердой фазы магнитной жидкости по экспериментальной зависимости дисперсии действительной части комплексной, магнитной восприимчивости МЖ.

7. Результаты численного анализа экспериментальной кривой намагничивания МЖ в виде функции распределения частиц дисперсной фазы магнитной жидкости по размерам.

8. Согласованность результатов численных экспериментов с результатами оптических и электронномикроскопических исследований магнитной жидкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 18 и 19 конференциях по итогам научно-исследовательской работы профессорско-преподавательского состава СтПИ за 1988 и 1989 годы (г.Ставрополь, 1989, 1990 г.г.), на I Всесоюзном совещании молодых ученых (г.Ленинград, 1989 г.),

на 13 Рижском совещании по магнитной гидродинамике (г.Рига, 1990 г.), на V Всесоюзном совещании по физике магнитных жидкостей (г. Пермь, 1990 г.), на Всесоюзной конференции "Электроника органических материалов" (Эшорма-90), (пос. Домбай, 1990 г.], на 6 Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям (г.Плесс, 1991 г.), на Второй Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (г. Москва, 1994 г.), на IX научно-технической конференции СВВИУС "Состояние и перспективы развития космической связи вида войск (г. Ставрополь, ¡1995 г.). По материалам диссертации опубликовано 13 работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Общий объем работы составляет 162 страницы, включая 18 страниц приложения с текстами программ, 30 рисунков, 16 таблиц и список цитированной литературы из 122 наименований.

■ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, ее новизна, практическая ценность; сформулированы цель и задачи исследования;- представлены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы.

В первой главе дан обзор работ, в которых рассмотрены методы оценки характерных размеров дисперсных частиц магнитной жидкости и способы получения распределении частиц твердой фазы МЖ по размерам, временам релаксации и подходы для оценки величин энергии активации.

В п.1.1. дан краткий обзор экспериментальных работ, в которых отражены исследования дисперсного состава магнитной жидкости.

Известны методы оценки средних характерных размеров частиц, агрегатов, и числа частиц в них по магнитофорезу последних в поле с постоянным градиентом напряженности, по распространению ультразвука в магнитной жидкости, из магнитогранулометрии. Однако наиболее полно магнитные свойства магнитной жидкости описываются с учетом распределения частиц по размерам ч>(г). Информацию о последнем можно получить косвенными методами, не нарушающими внутреннюю структуру жидкости, основанными на результатах математической обработки экспериментальных зависимостей.

Определив экспериментальную кривую намагничивания М(Н) и ре-

шив численно интегральное уравнение

J tm(r) Lis,)] ф(г) dr = М(Н), (1)

о

где ш - магнитный момент частицы радиуса г; L(0 = cth е, - 1/е, -функция Ланжевена, можно найти функцию <р(г). Однако, предпринимавшиеся ранее попытки решить эту задачу стандартным регуляризи-рующим методом показали, что решение однозначно при определении экспериментальных данных с трудно реализуемой на практике точностью ( < 0,1 X).

В пункте 1.2. обсуждается поведение магнитной жидкости в переменных магнитных полях, рассматриваются различные механизмы релаксации намагниченности. Делается вывод о том, что полидисперсный характер реальных магнитных коллоидов обуславливает наличие сплошного спектра времен релаксации магнитного момента q>(t), корректное определение которого возможно на основе численного анализа дисперсии магнитной восприимчивости Wq>(t) dt

„. - Jut 4nin

В п.1.3. обсуждается способ оценки значения "кажущейся" энергии активации носителей заряда в магнитной жидкости при исследовании ее электропроводности. Учитывая, что в реальных магнитных жидкостях без специальной их очистки от примесей носителями тока являются самые различные ионы и коллоидные частицы, то распределение их спектра энергий активации ц>(W) можно получить на основе численного анализа температурной зависимости электропроводности Wrnax -w/kt

J -— A(W) dW = v(T), (3)

Wmir.

где e~w/kT - вероятность того, что молекула может перескочить через потенциальный барьер.

В п.1.4. отмечается, что задачи нахождения распределений в (1)-(3) в математическом отношении сводятся к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода ь

X К(у,х) ф(х) d(x) = f(y), (4)

а

где К(у,х) - заданная функция двух переменных, называемая ядром интегрального уравнения; q>(x) - восстанавливаемая зависимость;

f(y) - известная правая часть.

Основным свойством уравнения 1-го рода (4) является некорректность относительно правой части, состоящая в том, что из неравенства If(у) - ?Су)! < 5 не следует неравенство

1<р(х) - <р(х){ < е,

где f (у) и ср(к) - приближения fСу) и <р(х); 5 и е - малые положительные'величины; |-| - обозначение нормы. Таким образом, даже незначительные(погрешности f(у) могут привести к недопустимо большим ошибкам <р(х).

В методе регуляризации академика А.Н.Тихонова, внесшего основополагающий вклад в теорию некорректных задач и методов их решения, реализован подход, базирующийся на отборе приближенных решений, полученных с помощью регуляризирующих операторов, с учетом приближенного характера исходной информации.

Предпринята попытка дать обзор существующих методов решения уравнения (4).

В п.1.5. отмечены.характерные особенности и недостатки этих методов, связанные с некорректным характером задачи. Сформулированы основные задачи исследования диссертационной работы в соответствии с поставленной целью.

Вторая глава посвящена- разработке алгоритма решения обратных задач, математически адекватно описываемых интегральным уравнением Фредгольма первого рода, интерпретирующим результаты косвенного эксперимента. Предложен метод, базирующийся на однозначно и полностью поддающихся формализации вычислительных процедурах и накладывающий минимально жесткие ограничения, связанные с учетом априорной информации об исходных данных и восстанавливаемой зависимости.

В п.2.1., используя определение близости функций, введено понятие решения интегрального уравнения. Метод основан на аппроксимации ч>(х) конечномерной линейной комбинацией некоторой системы

функций Q: £

<р(х) = Ear Qj(x) (5)

з=0

С учетом (5) исходное уравнена (4) сводится к системе линейных алгебраических уравнений р о' f (6)

Матрица образов базисных функций Р вычисляется интегрированием строк ядра и самих базисных функций

Pü - i K(y,x) Qj (x) dx.

■ x

Для решения СЛАУ (6) с плохо обусловленной или вырожденной матрицей применен метод, основанный на матричной факторизации. Сингулярное разложение Р = U L V* выполняется посредством элементарных. устойчивых ортогональных, а в случае комплексной матрицы унитарных преобразований, что положительно сказывается на надежности и точности решения.

Для устранения неоднозначности решения (6), связанной с малостью отдельных сингулярных чисел, поиск а осуществляется в подпространстве, удовлетворяющем условию 6j>T. Уточнение состава доминирующей группы сингулярных чисел, участвующих в формировании

решения, и, соответственно, границы т производится итерационно

к

Ф(1+3)(х) = <р(П(х) + Е oCjCi)-Qj(x), по первому минимуму невязки

Iii» - Ч», I2 = min.

Oi+l Oj 1

Базисные функции выбираются, исходя из априорной информации о рельефе восстанавливаемой зависимости.

Осуществлен анализ эффективности метода и его программной реализации на примерах решения модельных задач в физике магнитных жидкостей. Первоначально по заданному распределению ф(г) вычислялась правая часть прямым интегрированием-по (1). Затем выполнялся шаг восстановления <р(г) в виде (5). С целью анализа устойчивости решения к ошибкам исходных' данных и моделирования реальной ситуации, имеющей место при .проведении натурного эксперимента, в вычисленные значения правой част1.: (1) генератором случайных чисел вносились ошибки в заданных диапазонах.

Результаты численных экспериментов по восстановлению одно- и двухэкстремальных зависимостей при относительной погрешности исходной информации (0+5)2 показаны на рис.1 и рис.2.

В п.2.2. оценлзается вычислительная эффективность разработанного метода и программ коэффициентом усиления ошибки, транслируемой в результат.Указаны причины,обуславливающие появление ошибок численного решения. Исследованы процессы формирования решения для одногорбой и двугорбой модельных функций распределения в зависимости от числа сингулярных/собственных чисел,вошедших в доминирующую группу (указаны в скобках), при определении <р(г)(рис.3).

В результате численных экспериментов определены величины ко-

эффициентов усиления ошибки начальной информации, обусловленные характером функции чувствительности алгоритма к возмущениям правой части исходного интегрального уравнения (4) и рельефом восстанавливаемой зависимости. Выявлено существование зон равного качества решения, независящих от величины погрешности 'исходных данных.

Оценена степень влияния на результат численного решения неточности в задании интервала интегрировавания (а.Ь) в (4). Отмечено, что при необходимости уточнение промежутка (а,Ь) может быть выполнено методами численного поиска в ходе минимизации квадратичного функционала невязки.

() - тестовое распределение Рис. 3

7.5

5.0

г?

В третьей главе с помощью предложенной методики по экспериментальным данным решены обратные задачи восстановления непрерывных функций распределения носителей тока по энергиям активации из температурной зависимости проводимости магнитной жидкости, времен релаксации из частотной зависимости магнитной восприимчивости МЖ и дисперсных частиц твердой фазы магнитной жидкости по размерам из кривой намагничивания. Восстановлен спектр источника излучения по экспериментально регистрируемой на выходе электро-оптической системы электро-магнитной энергии от управляющего сигнала.

В результате анализа электронно-микроскопических исследований получе- 1г.5 на гистограмма распределения <р(г),для того же образца магнитной жидкости определено <р(г) расчетным путем из экспериментальной кривой намагничивания. Отмечена удовлетворительная согласованность результатов.-

В п.3.1. по математической модели (3), учитывающей ансамбль носителей заряда в реальных магнитных жидкостях, вычислена функция распределения их по энергиям активации из результатов измерении удельной проводимости МЖ в зависимости от температуры по экспериментальным данным, полученным В.М.Кожевниковы»/ (рис.4).

Поскольку в реальных МЖ представлен спектр времен релаксации и не существует их дискретного набора, то на основании теории Де-_ _ бая и соотношений Крамер-

са-Кронига, использована модель (2) для численного анализа дисперсии магнитной восприимчивости МЖ, экспериментально полученной Ю.И.Ди-канским. Результат решения иллюстрирует рис.5.

В п.3.3. решена обратная задача спектроскопии -восстановлен спектр оптичес-

(р. о.в.

1 1 Су=5 ,1ВГ.

1 |\

ЧГ.&

01

0,2 0,5 Рис. 4

0,4 05

10

Рис. 5

I о

кого излучения известного спектрального состава. Ядро интегрального уравнения матрица отражательных способностей оптико-физической системы была снята экспериментально в диапазоне длин волн [400 * 520) нм. Спектральный состав источника (1) и результат его восстановления (2) представлены на рис.6.

Четвертая гдава посвящена рассмотрению программной реализации алгоритма численного анализа результатов косвенного эксперимента. В ней описываются методы, представляющие собой отдельные блоки этого алгоритма, проводится оценка вычислительной эффективности программной реализации QR-алгоритма, используемого в составе процедур решения системы линейных алгебраических уравнений и являющегося наиболее трудоемкой их частью.

В п.4.1. ошханы возможности программы численного анализа результатов косвенного эксперимента. В качестве исходной информации программа предусматривает наличие математической модели ядра интегрального уравнения в виде аналитических выражений или систем уравнений,либо заданного прямоугольной матрицей значений К(у,х) в точках (yi,Xj),i=«l,l, 3=1,п. Кроме того, задается начальное приближение интервала интегрирования (а,Ь) и выборка экспериментальных значений правой части уравнения (4) длины 1.

Для аппроксимации искомого решения интегрального уравнения (4) в разработанных алгоритмах и программах предусмотрено использование полиномов Чебышева, фундаментальных кубических сплайноЕ и ядра самого исходного интегрального уравнения. При использовании последнего элемент матрицы плана pij = J Kj(x) К,(х) dx.

х

Главным достоинством использования ядра в качестве базисных функций является то, что матрица образов в этом случае является симметричной и положительно определенной. Если же в качестве последних используются полиномы", ряды, сплайны и т.п.,то Р в (6) - матрица общего вида. Тогда в ее спектре часть собственных значений

3,0.1? Л

1 1

¿iг^ \ L

400 - ¿М 500 Я., ни

Рис. 6

представляют собой комплексно-сопряженные пары, для вычисления которых может быть применен НО(?-алгоритм.

Обосновано применение БУБ или НОИ-алгоритмов, для решения систем с вырожденными или плохо обусловленными матрицами тем, что ортогональная матрица очень не вырождена, а ее столбцы очень независимы. Тогда умножение на ортогональные матрицы не изменяет длину вектора и угол между двумя векторами. Ортогональные матрицы не увеличивают ошибок, не изменяют норму и обусловленность. Алгебраически ЗУО и НОЙ-алгоритмы родственны. В первом исходная матрица приводится сначала к двухдиагональной форме с помощью преобразования Хаусхолдера, а затем реализуется ЦР-алгоритм для вычисления сингулярных чисел двухдиагональной матрицы. НЦ1?-алгоритм состоит из трех модулей, выполняющих операции: масштабирования исходной матрицы, приведения матрицы общего вида к верхней форме Хессенберга с помощью преобразования Хаусхолдера, нахождения собственных значений матрицу Хессенберга с помощью (^-алгоритма. Изложены по шагам указанные алгоритмы.

Известно, что при вычислении собственных значений погрешность результата имеет величину порядка ц * е-|Р1е, е _ машинная точность вычислений; ЦР|е - евклидова норма исходной матрицы Р. С целью повышения вычислительной эффективности расчета собственных значений, для уменьшения нормы исходной матрицы Р и, следовательно, погрешности п применяется предварительное ее масштабирование. В результате которого формируется последовательность матриц

О-1 Рк-1 0 = Рк

с ненулевыми диагональными элементами; Ро - внедиагональная часть матрицы Р, с],1=2 . Рк и Ск - норма 1-й строки и 1-го столбца матрицы Рк-1; Як'Ск * О- Показатель степени основания системы счисления на (к+1)-м шаге масштабирования должен удовлетворять уело-

1

2 Ск"2

Приведение исходной промасштабированной матрицы Р порядка п к верхней форме Хессенберга (почти треугольной, ниже главной диагонали - лишь одна ненулевая диагональ) выполняется за (п-2) шага. Непосредственно перед к-м шагом из исходной матрицы Р1 = Р формируется такая матрица Рк , что ее первые (к-1) столбцов соответствуют верхней форме Хессенберга. На к-м шаге преобразования

подобия „-1г. „

Рк+1 « Ик+1 1 Рк

проводятся с матрицей N¡<+1, которая отличается от единичной только элементами (к+1)-го столбца, вычисляемыми по формуле

(Ик+1)I.к+1 = к+1»> см ^ Рьк ( (N^.+1) к+1 - Г- С

При этом для остальных элементов имеем

О, а * з

Чтобы обойти деление на 0 или близкий к 0 элемент Рк+г.к. при формировании элементов ги. к+1 на к-м шаге выбирается максимальный по модулю элемент к-го столбца матрицы Р.

ОК-алгоритм представляет исходную матрицу А в виде произведения двух матриц - ортогональной С} и верхней треугольной {?:

А « ОЯ (7)

с помощью преобразования Хаусхолдера с матрицей вида:

ууТ

-Н - Е - 2 ^ . (8)

Е - единичная матрица; У=х+Цх|в1 - произвольный вектор-столбец, х=(ац,а21,...,аП1)т, в! - 1-ый столбец единичной матрицы. После выполнения (п-1) преобразования Н=Нп-1Нг,-2.-.Н2Н1А, Ц=Н1Н2.. .Нп-1.

Ой-алгоритм нахождения собственных (сингулярных) чисел в ЗУО- и НС}!?-процедурах описывается следующим образом. Пусть на к-ом шаге имеется матрица Ак, подобная исходной Ао = А. К ней применяется разложение (8):

Ак = ОкКк, (9)

а матрица для выполнения следующей операции получается перестановкой сомножителей (9) „

Ак+г = КкОк- (10)

Выражения (9) и (10) задают (}!?-алгоритм без сдвигов. Сходимость рассмотренного алгоритма можно значительно улучшить, используя специальные сдвиги. Тогда разложению подлежит матрица (А-акЕ), а^ - приближение к собственному значению. Рабочие формулы принимают вид: Ак - «кЕ = 0ь.1?к, Ак+1 = Г?кОк + «кЕ.

Число арифметических операций для нахождения Ц и I? в (9) для произвольной всюду заполненной матрицы А пропорционально кубу ее размерности (п3). Если же Ак предварительно приведена к форме Хессенберга, то объем вычислений сокращается на порядок до величины, пропорциональной пг.

Численный поиск интервала интегрирования (а,Ь) наряду с методом покоординатного спуска использует метод вращения пространства, хорошо зарекомендовавший себя в овражных ситуациях.

Для обеспечения работоспособности алгоритма, программы и Фи-зичности результатов задается определенный диапазон изменения минимума и максимума интервала интегрирования. параметра или параметров регуляризации. Применение аппарата штрафных функций и ::ростал замена переменных

а » b а - Ь К4 - + —- Sin q¿

или . ,

а + b а - b Ki = —— + —arctg q¡

с с

с последующей вариацией q», позволяет обеспечить необходимый экстремум функции невязки при выполнении неравенств a<K¡<b.

В п.4.2. проведена оценка вычислительной эффективности программной реализации QR-алгоритма, используемого в составе процедур решения СЛАУ.

Суть подхода состоит в следующем. По заданной диагональной матрице D с желаемым набором собственных чисел преобразованием

П0Д0°ИЯ А « V D V-1 (11,

формируется матрица А, которая, в свою очередь, используется для проверки свойств выбранного метода. Чтобы даже в условиях ограниченного числа разрядов используемой ЭВМ собственные значения матриц А и D точно совпадали и погрешность в формировании А по формуле (11) не накладывалась бы на погрешность алгоритма определения собственных чисел, матрицы V и V-1 выбираются в виде V=E+UWT, v_1=E - "знаменатель (l+UTW) должен равняться 2, U, w -

заданные векторы, R = Z X¿UíWí , au=Ai-RUiWi; а4j=(Xj-Xi-R)UiWj,

i=i

при i ^j. Данный подход обеспечивает большую свободу в выборе спектра собственных значений матрицы.

При расчетах временных характеристик и оценке точности алгоритма повышение сложности задачи обеспечивалось путем надлежащего увеличения числа собственных значений, получаемых варьированием составляющих базового набора в заданном диапазоне.

Набор собственных чисел характеризовался большим количество кратных и близких по модулю, что наиболее неблагоприятно с точки зрения точности алгоритма их расчета.

Расчеты выполнялись на ЭВМ ЕС-1035 с использованием оптими-

зирующего транслятора ФОРТРАН(Н), 0РТ=2 для всюду заполненной матрицы при допущении двух итераций на каждое собственное число. Получен степенной характер зависимости времени счета от строчной размерности матрицы с показателем, близким к трем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан численный метод решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, ,интерпретирующего результаты косвенных экспериментов при исследовании намагниченности и электропроводности магнитной жидкости.

2. Численно решена задача восстановления модельной функции распределения частиц дисперсной фазы магнитной жидкости по размерам из кривой намагничивания МЕ. Исследовано влияние ошибок исходных данных на результат восстановления. Показано, что метод позволяет анализировать экспериментальные данные, снятые с точностью до 5Х включительно,., усиливая, ошибку решения при этом приблизительно в 3,2 раза. Выявлено существование зон равного качества решения анализируемых задач. Установлено, что метод позволяет восстанавливать зависимости, имеющие более сложную форму, чем стандартные двухпараметрические распределения.

3. Предложенным методом по экспериментальной кривой намагничивания МЖ определена функция распределения частиц твердой фазы магнитной жидкости по размерам (магнитным моментам). Установлено, что результаты численного расчета находятся в хорошем соответствии с результатами анализа электронно-микроскопических исследований.

4. в результате математического анализа экспериментальной зависимости электропроводности магнитной жидкости от температуры получена непрерывная функция распределения носителей заряда по энергиям активации. Установлено, что максимум восстановленной зависимости соответствует значению так называемой "кажущейся" энергии активации, оцениваемой известным способом.

5. По экспериментально полученной дисперсии действительной части комплексной магнитной восприимчивости МЖ численно определен непрерывный спектр времен релаксации магнитного момента твердой фазы магнитной жидкости.

6. Численно решена задача восстановления спектра источника излучения, прошедшего через электроуправляемую ячейку с магнитной

жидкостью. Показано, что восстановленный спектр соответствует физическому. При этом использовано ядро интегрального уравнения -

матрица отражательных способностей оптико-физической системы,

снятая экспериментально.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Володихина И.И., Каргин Н.И., Торопцев Е.Л. Определение плотности вероятности распределения эффективных магнитных полей из мессбауэро^ских спектров //Материалы XVII] конференции по итогам научно-исследовательской работы профессорско-преподавательского состава за 1988 год. - Ставрополь, 1989. - С.98.

2. Володихина И.И., Торопцев Е.Л. Методика восстановления спектра излучения твердого тела по экспериментальным данным // Тез. докл. межвузовской конф. молодых ученых. - Ленинград, 1989:- -С.5-6.

3. Володихина И.И., Торопцев Е.Л., Чеканов В.В. Учет априорной информации при решении обратных задач в физике магнитных явлений //Материалы ХУШ конференции по итогам научно-исследовательской работы профессорско-преподавательского состава за 1989 год. - Ставрополь, 1990. - С.138.

4. Чеканов В.В., Торопцев Е.Л., Володихина И.И., Кривенко М.А. Автоматизация распознавания образов материалов по их спектральным характеристикам // Материалы ХУШ конференции по итогам научно-исследовательской работы профессорско-преподавательского состава за 1989 год. - Ставрополь, 1990. - С.140.

5. Володихина И.И.. Торопцев Е.Л., Чеканов В.В. Восстановление функции распределения магнитных частиц по размерам из кривой намагничивания // ХШ Рижское совещание по магнитной гидродинамике: Тез. докл. - Рига, 1990. - С.37-38.

6. Володихина И.И., Торопцев Е.Л., Чеканов В.В. Алгоритмизация обратной задачи редукции магнитных измерений к распределению по размерам магнитных частиц МЖ // V Всесоюзное совещание по физике магнитных жидкостей: Тез. докл. - Пермь, 1990.

С.46-47.

7. Чеканов В.В., Торопцев Е.Л., Ларионов Ю.А., Володихина И.И., Е.А-. Музыка Редукция магнитных измерений к распределению по размерам частиц магнитной жидкости // Всесоюзная конференция "Электроника органических материалов (Злорма-90)":Тез. докл. -пос.Домбай, Ставропольский край, 1990. - С.110-111.

8. Володихина И.И., Торопцев Е.Л., Чеканов В.В. Восстановление функции распределения магнитных частиц по размерам из кривой намагничивания магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. - 1991. - N2. - С.30-34.

9. Володихина И.И.,Торопцев Е.Л. Машинная интерпретация эксперимента при анализе магнитных свойств магнитной жидкости // VI Всесозн. конф. по магнитным жидкостям: Тез. докл. Т.1. - М,

1991. С.82-83.

1

10. Чеканов В.В., Володихина И.И., Торопцев Е.Л., Чуенкова И.Ю. Восстановление спектра источника излучения с помощью управляемого светофильтра // Энергетика, электроника, электротехника. Сб. докл. научн. конф. профессорско-преподавательского

- состава факультета электронно-энергетических систем и кафедры электроснабжения филиала СтПИ г.Невинномысска. - Ставрополь,

1992. - С.3-7.

11. Чеканов В.В., Володихина И.И., Кожевников В.М., Торопцев Е.Л. Некоторые обратные задачи в физике магнитных жидкостей // Энергетика, электроника, электротехника. Сб. докл. научн. конф. профессорско-преподавательского состава факультета электронно-энергетических систем и кафедры электроснабжения филиала СтГО г.Невинномысска. - Ставрополь, 1992. - С.17-24.

12. Чеканов В.В.,' НаацИ.Э., Торопцев Е.Л., Володихина И.И. Обратные задачи магнитных измерений в молекулярной физике магнитных жидкостей //Вторая Международная научно-техн. конф. "Актуальные проблемы фундаментальных наук": Труды симпозиума "Физические науки в техносфере", Т.'З, секция А "Теоретическая и экспериментальная физика". - М., 1994.

13. Володихина И.И., Торопцев Е,Л., Чеканов В.В. Интерпретация результатов косвенных.измерений // IX научно-техн. конф. училища "Состояние и перспективы развития космической связи вида войск": Тез. докл. - Ставрополь, 1995. - С.48.