Решение задач теории гравитации в пространствах Римана-Картана и Вейля-Картана с помощью вариационных и компьютерных методов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Косткин, Роман Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
КОСТКИН Роман Сергеевич ' 003490370
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ РИМАНА-КАРТАНА И ВЕЙЛЯ-КАРТАНА С ПОМОЩЬЮ ВАРИАЦИОННЫХ И КОМПЬЮТЕРНЫХ МЕТОДОВ
01.04.02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
2 8 ЯН В 2070
Москва - 2009
003490970
Работа выполнена на кафедре физики для естественных факультетов государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский педагогический государственный университет"
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Бабурова Ольга Валерьевна
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Кречет Владимир Георгиевич
кандидат физико-математических наук Портнов Юрий Алексеевич
Ведущая организация:
Пермский государственный университет
Защита состоится " 26 " января 2010 г. в " 15 " час. " 30 " мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419 г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал №1.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198 г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
Автореферат разослан декабря 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент
Будочкина С.А.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. С момента создания общей теории относительности (ОТО) не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем усложнения структуры пространства-времени. В рамках ОТО в пространстве Римапа созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.
Однако современные достижения наблюдательной космологии привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой па порядок превышает плотность барионной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в три раза по плотности энергией вакуума (темной энергией) определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением.
Для исследования данных проблем в настоящее время используются различные обобщения теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой, чем пространство Римапа. Это пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричпостыо, в частности, пространство Вейля-Картана с неметричностыо вейлевского типа. Эти пространства называют постримановы пространства. Появилось целое направление, названное "постриманова космология".
Тем не менее, все еще остается открытым вопрос о физической природе темной материи. В качестве одной из гипотез высказана идея о том, что темная материя наделена новым типом гравитационного заряда (названным "днлатационным зарядом"), связанным с симметрией относительно растяжений и сжатий (днлата-ций) пространства1. На этой основе была развита несингулярная модель эволюции Вселенной, описывающая указанные выше особенности этой эволюции, причем геометрическим фоном, на котором развёртывается эволюция Вселенной, является пространство Вейля-Картана. Другой нерешенной проблемой, имеющей важное значение для фундаментапьной физики, является различие на огромное число порядков
'Babourova O.V., Frolov B.N. Class. Quantum Grav.-2003.-V. 20. - P. 1423-1442 (gr-qc/0200077).
современного значения энергии физического вакуума (космологической постоянной) и ее теоретического значения в начальной стадии эволюции Вселенной, которое определяется на основе квантовой теории поля.
Калибровочный подход к описанию физических взаимодействий лежит в основе современной теоретической физики и позволяет построить современную классическую теорию поля. Пуанкаре-вейль калибровочный подход к теории гравитации2, основанный на расширении группы Пуанкаре до группы Пуанкаре Вейля, позволяет обосновать существование дилатациопного заряда и использование пространства Вейля-Картана в качестве геометрического фона современной теории гравитации.
В современной теории поля важным аспектом является изучение конформных свойств теории. Конформная симметрия и, в частности, масштабная вейлевская симметрия играет важную роль в теории поля. Нарушение этой симметрии на квантовом уровне связано с определением структуры контрчленов, с проблемой асимптотической свободы в квантовой теории поля, с вычислением критических размерностей в теории струн, с проблемами инфляции, космологической постоянной, рождения частиц и черных дыр в ранней Вселенной3.
Важной задачей является создание адекватной конформной теории гравитаци-оного поля, что может быть осуществлено введением дополнительного скалярного поля4. Для объяснения ряда недавно открытых явлений в области наблюдательной космологии достаточно успешно используется конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Римана6. Скалярное поле с конформной связью вводилось при изучении космологических следствий аффинно-метрической теории гравитации6. Построение конформной теории гравитационого поля может быть осуществлено на основе идей, заложенных в калибровочной теории группы Пуанкаре-Вейля, в которой дополнительное скалярное поле возникает естественным геометрическим образом и позволяет построить конформно-инвариантный лагранжиан.
Темой данной диссертации является исследование указанных выше проблем, что обуславливает ее актуальность.
2Baboumva О. V., Frolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Phys. Rev. D.-200S.-V. 74. - P. 064012-1-12 (gr-qc/0508088, 2005).
3Dufî M. J., Class. Quantum Grav. 1994. V. 11. P. 1387 1404 (hep-th/9308075).
4Dirac P.A.M. Proc. Roy. Soc. A.-1973.-V. 333. - P. 403^18.
5Pcrvushin V., Proskurin D. Grav. к Cosmol. 2002. V. 8. Suppl. N 1. P. 101 107 (кг-qc/OlOGOOG).
6Krechet V.G., Sadovnikov D.V. Gravit, к Cosmol.-1997.-V. 2.-N 1 (10). - P. 133-140.
Цели и задачи исследования. Обоснование использования пространства Вей-ля-Картана в качестве геометрического фона пространства-времени. Путем согласования с требованиями пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации построение конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем для лагранжианов, содержащих скалярное поле и члены, квадратичные по кривизне, кручению и неметричности вейлевского типа. Развитие вариационного формализма для такого типа лагранжианов в пространстве Вейля Картана с помощью метода неопределенных множителей Лаграпжа. Получение в этой теории вариационных уравнений гравитационного и скалярного полей. Для ранней стадии эволюции Вселенной получение уравнения скалярного поля и нахождение его решения, объясняющего уменьшение энергии физического вакуума (темной энергии) за время существования Вселенной. Получение дифференциальных тождеств, вытекающих из свойств симметрии лагранжиана теории. Разработка метода использования пакета Са11ап\¥еу1 символьных вычислений на ЭВМ в пространстве Вейля-Картана для проверки полученных вариационных уравнений гравитационного поля на основе анализа дифференциальных тождеств, а также осуществление данной проверки.
Научная новизна и практическая значимость. Научная новизна результатов работы определяется тем, что в ней впервые
• было предложено ввести дополнительное требование к геометрическому подходу в теории гравитации, заключающееся в том, что конкретный выбор геометрического фона пространства-времени должен быть согласован с калибровочным подходом к теории гравитации;
• развит вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана для наиболее общего конформного лагранжиана, содержащего скалярное поле и члены, квадратичные по кривизне, кручению и неметричности вейлевского типа; получены и проанализированы соответствующие вариационные уравнения гравитационного поля;
• получено решение для переменного космологического члена, быстро спадающее со временем и тем самым позволяющее объяснить огромную разницу между значением энергии физического вакуума (темной энергии) в начальной стадии эволюции Вселенной и ее значением, наблюдаемым в настоящее время;
• использован разработанный автором пакет СагЬапХУеу! символьных вычислений на ЭВМ в пространстве Вейля-Картана для проверки полученных вариа-
ционных уравнений гравитационного поля на основе анализа полученных автором дифференциальных тождеств, а также проведена данная проверка.
Полученные результаты, обладающие научной новизной, могут быть использованы в дальнейших исследованиях космологического применения теорий поетримановых пространств. Полученное быстрое уменьшение величины энергии физического вакуума может способствовать решению актуальных проблем современной космологии и космофизики. Метод использования пакета символьных вычислений на ЭВМ может быть полезен при решении практических задач в различных областях применения поетримановых пространств в гравитации и космологии.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:
• Июнь 23-28, 2008, 13-я Российская гравитационная конференция - международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (RUSGRAV-13), Российский университет дружбы народов, Москва,.
• Январь 15. 2009, Конкурс-Конференция научных работ в области физики студентов и аспирантов, Физический институт им. П.Н. Лебедева, Москва.
• Июль 6-9, 2009, International Meeting "Physical Interpretations of Relativity Theory" (PIRT-2009), Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва.
• Август 27-29, 2009, Н-я Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" (GRACOS-2009), Казань-Яль-чик.
Личный вклад автора включает участие в решении задачи об исследовании вопроса о влиянии материи па структуру геометрического фона и в нахождении решений уравнения для скалярного поля на ранней стадии эволюции Вселенной. Самостоятельно вариационным путем были получены уравнения в конформной теории гравитации в пространстве Вейля Ка.рта.на со скалярным полем и осуществлена их проверка при помощи пакета программ символьных вычислений CartanWeyl.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, 3 из которых опубликованы в научных журналах, входящих в Перечень ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 119 наименований, трех приложений и содержит G рисунков. Объем диссертации 134 страницы текста, набранного в издательской системе LaTeX.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении дается общая характеристика работы, указывается ее цель, обосновывается актуальность решаемых проблем, дается описание постримановых пространств современной теории гравитации и используемых вариационных методов, а также кратко излагается содержание глав диссертации.
Первая глава посвящепа выяснению того, насколько критичен априорный выбор в качестве геометрического фона пространства-времепи именно пространства Вейля-Картапа (с кривизной, кручением и неыетричностыо) для структуры уравнений гравитационного поля в том случае, если гравитационное поле порождается материей, наделенной дилатационным зарядом.
В п. 1.1 этой главы в качестве примера материи с дилатационным зарядом приводятся основные характеристики спин-дилатацнонной жидкости, частицы которой наделены наряду со спииом также дилатационным зарядом. В п. 1.2 на основе принципа наименьшего действия выводятся уравнения гравитационного поля, порождаемого материей с дилатационным зарядом, распределенной в пространстве Римана-Картана Щ (в котором тензор неметричностп равен нулю). Общая лагранжева плотность теории выбрана в виде:
где Сц = ^у/—дЯ - лагранжева плотность гравитационного поля, а Ст - лагранжева плотность материн. В третьем слагаемом при помощи неопределенных множителей Лагранжа Лхар учтена вытекающая из структуры пространства С/4 связь, налагаемая на ковариантную производную от метрического тензора, а именно, требование равенства нулю этой ковариаштюй производной. Неопределенные множители Лагранжа играют роль дополнительных независимых переменных, по которым производится варьирование.
В результате проведения вариационной процедуры получены следующие уравнения гравитационного поля в пространстве С/4:
М"аХ = 2кГм = 2к5"„а .
Здесь введены обозначения для расширенной производной: V,, + Т„, для модифицированного тензора кручения: М"ах = Т"а\ + 25^Гд]. Для материи, наделенной
С = Со + Ст + ,
(1)
(2)
дилатационным зарядом, тензор спинового момента обобщается на тензор гипермомента ./"„л:
^"<7\ = <т\ + 9а\ , = ^"[<тЛ] • (3)
Здесь 3" - дилатационный ток материи, для идеальной жидкости равный 3" = ¿и" 3 (и" 4-скорость, а 3 - дилатационный заряд частицы спин-дилатационной жидкости).
Затем в п. 1.3 производится сравнение полученных уравнений гравитационного поля в пространстве Римана-Картана с уравнениями гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана, выведенными для материи с дилатационным зарядом7. Несмотря на некоторое сходство этих двух систем уравнений, они не переходят друг в друга при обращении в нуль дилатационного тока. Более того, даже в пустоте уравнения поля этих двух теорий не переходят друг в друга, и пространство Вейля-Картана не переходит в пространство Римана-Картана.
Часто высказывается точка зрения (которая лежит в основе идеологии ОТО), что свойства и структура материи полностью определяют геометрию пространства-времени. Однако, из проведенного в данной главе исследования следует, что один и тот же тип материи (с дилатационным зарядом) на геометрическом фоне пространства Римагга-Картана порождает уравнения поля, отличные от уравнений поля, порождаемых этим типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. Поэтому и результаты обеих теорий будут разными. Это говорит об определенной неполноте существующего геометрического подхода к описанию взаимоотношения пространства-времени и материи.
Конкретный выбор геометрического типа пространства-времени предлагается определять из соображений, дополнительных по отношению к идущему от идеологии ОТО механизму порождения геометрических свойств пространства-времени заполняющей его материей, а именно, существующий геометрический подход дополнить требованием согласования с калибровочным подходом к теории гравитации.
В п. 1.4 в качестве примера существования дифференциальных тождеств в аф-финно-метрической теории гравитации (в которой тензор неметричности отличен от нуля) производится вывод в вариационном метрическом формализме первого порядка дифференциального тождества, соответствующего инвариантности теории относительно группы общих преобразований координат.
Во второй главе диссертации производится построение вариационными мето-
7Бабурова О.В., Королев В.Ф. Изв. высш. учеб. завед. Физика.-200б.-Т. 49.-№6.-С. 56-59.
дами конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля Картапа. В п. 2.1 и 2.2 описываются применение метода вариационного тетрадного формализма первого порядка для общего квадратичного лагранжиана в аффиино-метрическом пространстве и в пространстве Вейля-Картана. В этом методе независимыми вариационными переменными являются тетрадные коэффициенты, компоненты связности пространства и метрического тензора касательного пространства. Обсуждаются особенности тетрадного вариационного формализма с применением метода неопределенных множителей Лагранжа для учета наличия связей между вариационными переменными, возникающими вследствии наличия ограничения на связность пространства Вейля-Картана как следствие условия Вейля на тензор неметричности.
В теории гравитационных взаимодействий важным является изучение конформных свойств римановых и постримановых пространств. В п. 2.3 анализируются различные возможности реализации конформных преобразований в пространствах Ри-мана и в пространствах Римана-Картана и Вейля-Картана. Конформное преобразование в пространстве Римана хорошо изучено, но в постримановых пространствах Римана-Картана, Вейля-Картана и общем аффинно-метрическом пространстве предлагались различного типа конформные преобразования, что подробно разобрано в п. 2.3.
Важной задачей является создание адекватной конформной теории гравнтаци-оного поля. Одним из путей решения этой проблемы может быть учет идей, заложенных в калибровочной теории группы Пуапкаре-Вейля, в которой возникает конформно-инвариантный лагранжиан гравитационного поля. В п. 2.4 производится распространение идей этого подхода на теорию гравитации в пространстве Вейля-Картана, что приводит к формулировке конформных преобразований вида
&9iu, = -2Eff,,,,, Sgab = 0, Ä/1% = -£/Гм ,
<5rV = 6аьа„€, 6Qabti = 2ga%e: 6Qll = 8dlie, (4)
ÄRV = 0, ÄTV =-¿TV ,
где e(x) инфинитезимальный параметр преобразований. Для осуществления инвариантности теории гравитации относительно указанных преобразований необходимо ввссти в теорию дополнительное скалярное поле ß (введенное еще Дираком8) с законом преобразования <5/3 = e(x)ß.
В п. 2.5 рассматривается возникающая в результате требования инвариантпо-
8Dirar. P.A.M. Ргоп. Roy. Soc. A.-1973.-V. 333. - P. 403-418.
сти относительно указанных выше преобразований конформная теория гравитации в пространстве Вейля-Картана с дополнительной геометрической структурой в виде скалярного поля Дирака /?. Строится наиболее общий лагранжиан теории, содержащий линейный по кривизне член, все слагаемые, квадратичные по тензорам кривизны, кручения и неметричностн с учетом их взаимодействия со скалярным полем, динамический член и член самодействия скалярного поля и, наконец, слагаемое с неопределенными множителями Лагранжа, учитывающее условие Вейля на тензор неметричности. С помощью вариационного тетрадного формализма первого порядка выводятся три вариационных уравнения гравитационого поля: результаты варьирования по связности (Г-уравнение), по тетрадам (Л-уравнение) и по скалярному полю Дирака (/З-уравнепие).
В п. 2.6 и п. 2.7 производится анализ полученных уравнений при пренебрежении вкладами от квадратичных по кривизне слагаемых в лагранжиане. Показано, что в однородной и изотропной Вселенной, заполненной только скалярным полем, в полученных уравнениях поля остаются след кручения и вектор неметричности Вейля, которые являются функциями скалярного поля:
где коэффициенты Хт и Хсз являются некоторыми функциями от констант связи исходного гравитационного лагранжиана.
Данный результат позволяет поставить задачу об изменении со временем скалярного поля Дирака в ранней Вселенной. Построенный в п. 2.5 лагранжиан конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана содержит в качестве эффективного космологического члена (темной энергии) слагаемое Л/34. Тем самым в предлагаемой теории эффективный космологический член определяется скалярным полем и может зависеть от времени.
В п. 2.8 получено следующее уравнение для скалярного поля Дирака на ранней стадии эволюции Вселенной:
где коэффициенты А и В зависят от констант связи исходного лагранжиана. Решения этого уравнения имеют вид:
(5)
Адцд„ 1п /3 - Вд^ 1п /Зд„ 1п /3 = 0,
(6)
/3
А
(М 0), /? = /?0ехр(-С24), {к = 0).
(7)
+ I)!1/*) '
Здесь к = а /30, Ci, С2 произвольные константы интегрирования. Константа ßo - это начальное значение поля в момент времени t = 0, то есть в плаиковское время. Из соображений квантовой теории поля эта величина должна быть очень большой. Константы Ci и Сг определяются значением начальной скорости изменения поля.
Параметр к достаточно сложным образом определяют 16 констант связи исходного лагранжиана. Поэтому всегда можно подобрать эти константы таким образом, чтобы выполнялось одно из условий
1 А
- = — >>1, или к = 0 (0 = 0). (8)
Тем самым при выполнении одного из условий (8) можно обеспечить необходимый быстрый спад со временем величины скалярного поля. Это в свою очередь позволит объяснить быстрое (на 120 порядков за время существования Вселенной9) уменьшение величины энергии физического вакуума (темной энергии) Ло/34. Уменьшение величины темной энергии по закону (7) происходит более интенсивно, чем соответствующее уменьшение, которое может быть осуществлено в Пуанкаре калибровочной теории гравитации10.
Таким образом, показано, что в пространстве Вейля-Картана в конформной теории гравитации со скалярным полем может быть разрешено одно из основных противоречий теории эволюции Вселенной11, и тем самым осуществлено согласование этой теории с современными фундаментальными физическими представлениями.
В третьей главе происходит дальнейшее изучение полученных в Главе 2 уравнений поля конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана как аналитическими, так и компьютерными методами. Данные уравнения поля не являются независимыми вследствие наличия тождественных дифференциальных соотношений между соответствующими вариационными производными. Применяя в конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана методы, развитые в монографии Б. Н. Фролова12 при помощи вариационного тетрадного формализма для теории гравитации в аффинно-метрическом пространстве, в п. 3.1 выведены три дифференциальных тождества, представляющие собой следствия инвариантности лаграткиана теории относительно общих преобра-
9 Weinberg S. Rev. Mod. Phys.-1989.-V. 61. - P. 1-23.
10Minkevich A.V., Garkun A.S., Kudin V.l. Class. Quant. Grav.-2007.-V. 24. - P. 5835-5848 (gr-qc/0700.1157)
11 Гобуиов Д.С., Рубаков B.A. Введение в теорию ранней Вселешшй.-М.: Изд-во ЛКИ, 2008.-552 с
12Фролов Б. Н. Пуанкаре-калибровочная теория гравитации. М.: МПГУ, 2003.-1G0 с.
зований координат, линейных преобразований касательного пространства и преобразований конформной симметрии.
Во второй главе были вычислены вариационные производные лагранжиана теории, необходимые для получения окончательных результатов. В процессе производства вариационной процедуры из-за громоздких преобразований могут быть допущены ошибки. Проверка данных вычислений может быть предпринята с помощью пакетов символьных вычислений на ЭВМ. Но современные программные средства символьных вычислений с тензорными объектами ограничены возможностью работать в пространстве Римана. и Римана-Картана. Примером может служить популярный пакет CARTAN13 для среды Mathematica.
Совместно с О. В. Бабуровой и Б. Н. Фроловым было разработано расширение пакета CARTAN с целью адаптации для работы с тензорными объектами в пространстве Вейля-Картапа. Полученный в результате пакет прикладных программ, описание которого дано в п. 3.2, получил название CartanWeyl. В данный пакет по сравнению с пакетом CARTAN добавлены новые функции и переменные, существенно расширяющие его возможности. В п. 3.3 данный пакет применен к проверке правильности полученных во второй главе вариационных уравнений гравитационного поля. Здесь изложен метод такой проверки, основанный на использовании полученных в п. 3.1 дифференциальных тождеств. Указанная компьютерная проверка осуществлена для всех слагаемых исходного гравитационного лагранжиана теории для первого и второго из указанных выше дифференциальных тождеств.
Первые два дифференциальных тождества являются следствиями инвариантности лагранжиана, поддерживаемой в силу его построения, в то время как третье дифференциальное тождество возникает вследствие инвариантности лагранжиана относительно конформных преобразований вида (4), что имеет место только при определенном соотношении между константами связи в лагранжиане. Поэтому выполнение первых двух тождеств ца результатах вариационной процедуры означает только правильность вычисления соответствующих вариационных производных, в то время как выполнение третьего тождества позволяет получить указанные соотношения между констанстами связи. Данные соотношения между константами связи выведены в п. 3.3.
В Приложениях излагаются струкура пакета прикладных программ CartanWeyl,
13Soleng Н.Н. In: Relativity and Scientific Computing - Computer Algebra, Numerics, Visualization, (Springer, Berlin, 1906). - P. 210 - 230.
основные функции и алгоритмы, "Инструкция пользователя" по применению этого пакета, а также некоторые листинги работы системы Саг1ап\Уеу1 при проверки выполнения дифференциальных тождеств.
Результаты проведенных исследований можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту:
1. Показано, что в четырехмерном пространстве-времени один и тот же тип материи на геометрическом фоне пространства Римана-Картана порождает уравнения поля, отличные от уравнений поля, порождаемых этим же типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. В связи с этим предлагается ввести дополнительное требование к геометрическому подходу в теории гравитации, заключающееся в том, что конкретный выбор геометрического фона пространства-времени должен быть согласован с калибровочным подходом к теории гравитации.
2. На основании требований, вытекающих из пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации, в четырехмерном пространстве-времени построен лагранжиан конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем; развит вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана для лагранжианов, содержащих скалярное поле и члены, квадратичные по кривизне, кручению и неметричности вейлевского типа; получены и проанализированы вариационные уравнения гравитационного поля трех типов: Т-,'к- и /?-у равнения.
3. На ранней стадии эволюции Вселенной получено уравнение для скалярного поля и найдено его решение, которое при выполнении определенных условий на константы связи исходного лагранжиана описывает достаточно быстрое уменьшение со временем скалярного поля, что позволяет объяснить уменьшение энергии физического вакуума (темной энергии) Л0/34 за время существования Вселенной.
4. В конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем получены дифференциальные тождества, вытекающие из свойств симметрии лагранжиана теории. Предложен метод использования разработанного автором пакета Саг1апШеу1 символьных вычислений на ЭВМ в пространстве Вейля-Картана для проверки полученных вариационных уравнений гравитационного поля на основе анализа данных дифференциальных тождеств, а также проведена данная проверка.
Список работ по теме диссертации
1) Бабурова О.В., Косткин P.C. Материя с дилатационным зарядом в пространстве Римана-Картапа. // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2009. - Т. 52. - № 5. - С. 43-48. - 0,6 п.л. (авторский вклад - 50%)
2) Косткин P.C. Решение задач теории гравитации с помощью пакета символьных вычислений CartanWeyl // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2009. - Т. 52. - № 9. - С. 98-100. - 0,3 п.л.
3) Babourova O.V., Kostkin R.S., Frolov B.N. Extension of the CARTAN Package for Symbolic Calculations to Space-Time Models with Weyl-Cartan Structure //Gravitation & Cosmology (Гравитация и космология). - 2009. - V. 15. - N 4. - Р. 302—305. - 0,4 п.л. (авторский вклад - 33%)
4) Бабурова О.В., Косткин P.C., Фролов Б.Н. О проблеме порождения геометрии пространства-времени заполняющей его материей //В сб. Тезисы докладов 13-й Российской гравитационной конференции, Москва 23-28 июня 2008 г., С. 25-26. - 0,1 п.л. (авторство не разделено)
5) Косткин P.C. Свойства материи и структура пространства-времени //Интеграция образования и науки. Сборник статей. М.: Издательство "Прометей", 2008,- С. 200205. - 0,6 п.л.
G) Косткин P.C. О влиянии материи на структуру геометрического фона //Физическое образование в вузах. Приложение. Труды конференции - конкурса молодых физиков. - 2009. - Т. 15. - 1. - С. П29-П30. - 0,1 п.л.
7) Бабурова О.В., Косткин P.C., Фролов Б.Н. Скалярное поле Дирака в пространстве Вейля-Картаиа //В сб. П-я Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" - GRACOS-2009, 27-29 августа 2009 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Издательство "Фолианть", 2009. -С. 127. - 0,1 п.л. (авторство не разделено)
Косткин Роман Сергеевич "Решение задач теории гравитации в пространствах Римана-Картана и Вейля-Картана с помощью вариационных и компьютерных методов"
Построена конформная теория гравитации в пространстве Вейля Картана со скалярным полем; развит вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана для лагранжианов, содержащих скалярное поле и члены, квадратичные по кривизне, кручению и немсгричности вейлевского типа. Получены и проанализированы вариационные уравнения гравитационного поля.
На ранней стадии эволюции Вселенной получено уравнение для скалярного поля и найдено его решение, описывающее достаточно быстрое уменьшение со временем скалярного поля, что позволяет объяснить уменьшение энергии физического вакуума (темной энергии) за время существования Вселенной.
Получены дифференциальные тождества, вытекающие из свойств симметрии лагранжиана теории. На основе анализа дифференциальных тождеств предложен метод использования разработанного автором пакета CartanWeyl символьных вычислений на ЭВМ в пространстве Вейля-Картана для проверки полученных вариационных уравнений гравитационного поля, а также проведена данная проверка.
Kostlcin Roman S.
"Decision of problems of the theory of gravitation in Riemann-Cartan and Weyl-Cartan spaces by means of variation and computer methods"
Conformal gravitation theory in Weyl-Cartan space with a scalar field is constructed. The variation formalism in We.yl Cartan space for Lagrangians containing a scalar field ami therms square-law on curvature, torsion and nonmetricity of Wcyl's type. The variation equations of gravitational field are obtained and analysed.
At an early stage of evolution of the Universe, the equation for the scalar field is obtained and its solution is found. It describes fast enough reduction of the scalar field that allows to explain reduction of physical vacuum energy (dark energy) during the evolution of the Universe.
The differential identities following from properties of Lagrangian symmetry are obtained. On the basis of the analysis of these identities, the method of using of CartanWeyl package (developed by the author) for computer symbolic calculations in Weyl-Cartan space is offered for checking the obtained variation equations, and also the given checking is executed.
Подписано в печать: 23.12.09
Объем: 1,0 усл. печ. л. Тираж: 100 экз. Заказ №143 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru
ВВЕДЕНИЕ
1. МАТЕРИЯ С ДИЛАТАЦИОННЫМ ЗАРЯДОМ
В ПРОСТРАНСТВЕ РИМАНА-КАРТАНА
1.1. Введение.
1.2. Уравнения поля в пространстве Римана-Картана.
1.3. Уравнения поля в пространстве Вейля-Картана.
1.4. Дифференциальное тождество.
1.5. Анализ уравнений поля в пространстве Римана-Картана и Вейля-Картана.
2. ВАРИАЦИОННЫЙ ТЕТРАДНЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ПОСТРИМАНОВЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ
СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ
2.1. Вариационный тетрадный формализм для общего квадратичного лагранжиана в аффинно-метрическом пространстве
2.2. Вариационный тетрадный формализм для общего квадратичного лагранжиана в пространстве Вейля-Картана
2.3. Конформные преобразования в пространствах Римана, Римана
Картана и Вейля-Картана.
2.4. Конформные преобразования, индуцированные локализованной группой Пуанкаре-Вейля.
2.5. Конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана. в тетрадном формализме
2.6. Анализ Г-уравнения конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана.
2.7. Анализ Н- и /3-уравнений конформной теории гравитации со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана
2.8. Уравнение скалярного поля Дирака в конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана.
3. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МЕТОДОВ СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ К АНАЛИЗУ ВАРИАЦИОННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
3.1. Дифференциальные тождества.
3.2. Система символьных вычислений СаН;ап\¥еу1.
3.3. Анализ вариационных производных при помощи системы Сал^агЛМеу!.
В2. Установка пакета Са1^ап\¥еу1.117
ВЗ. Начало работы с пакетом Сайап\¥еу1.120
В4. Справочник по функциям пакета СаЛап\Уеу1.125
С ЛИСТИНГИ РАБОТЫ СИСТЕМЫ Са^аг^еу! 127
ВВЕДЕНИЕ
С момента создания ОТО не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем усложнения структуры пространства-времени. А. Эйнштейн предположил, что четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана, и на этой основе создал современную теорию гравитации, названную общей теорией относительности (ОТО) [1]-[7].
Современные астрофизические и космологические модели строятся на основе идущей от Эйнштейна [1],[2] фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия и, в свою очередь, зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.
Однако, современные достижения наблюдательной космологии [8]-[13] привели к формированию представлений о существовании темной материи, плотность которой на порядок превышает плотность барион-ной светящейся материи, из которой сформированы звезды и светящаяся компонента галактик. Именно темная материя во взаимодействии с превосходящей ее в три раза по плотности положительной энергией вакуума (темной энергией) определяет динамику эволюции Вселенной. Другое важное следствие из современных наблюдательных данных состоит в понимании того, что наступил конец фридмановской стадии в развитии Вселенной, характеризуемой замедлением расширения Вселенной, и началась постфридмановская стадия "второй инфляции", при которой расширение с замедлением сменилось расширением с ускорением, причем возможен переход к экспоненциальному расширению.
Решение этих новых проблем многие авторы видят в обобщении теории гравитации на пространства с более сложной геометрической структурой. Известные математики Г. Вейль, Э. Картан и И. Схоутен показали, что пространства могут характеризоваться не только кривизной, но также кручением и неметричностью. Условия, накладываемые на тензоры кривизны, кручения и неметричности, могут служить инструментами усложнения структуры пространства. В современной космологии используются пространства с более сложной структурой, чем пространства Римана. Это пространство Римана-Картана с кривизной и кручением и общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью, в частности, пространство Вейля-Картана с неметричностью вейлевского типа. Появилось целое направление, названное "нериманова космология"[14] , которое авторы статьи [30] предпочитают называть "постриманова космология".
В настоящее время нет общепринятой концепции о сущности темной материи. В работах О. В. Бабуровой и Б. Н. Фролова [15]-[17] была высказана гипотеза о том, что темная материя наделена новым типом гравитационного заряда, названным "дилатационным зарядом" и связанным с симметрией относительно растяжений и сжатий (дилатаций) пространства-времени. В связи с этим авторами этих статей была высказана идея о том, что в качестве модели темной материи может быть рассмотрена идеальная спин-дилатационная жидкость [18]-[19]. На этой основе этими авторами была развита несингулярная модель эволюции Вселенной, описывающая недавно открытые особенности этой эволюции. Дальнейшее развитие теории дилатационного взаимодействия было осуществлено Ю. А. Портновым [20], [21]. Отметим, что другая трактовка дилатационного взаимодействия в применении к космологии была развита в работе В. Г. Кречета и Д. А. Садовникова [22], в которой также были найдены некоторые несингулярные космологические решения. Во всех указанных работах геометрическим фоном, на котором развёртывается эволюция материи, является пространство Вейля-Картана.
Часто высказывается точка зрения (которая лежит в основе идеологии ОТО), что свойства и структура материи полностью определяют геометрию пространства-времени. Однако, исследование, результаты которого опубликованы в [23]—[26] и приведены в Главе 1 диссертацион--ного исследования, показывает, что это утверждение требует уточнения. Оказывается, что один и тот же тип материи (с дилатационным зарядом) на геометрическом фоне пространства Римана-Картапа порождает уравнения поля, отличные от уравнений ноля, порождаемых этим типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. Поэтому и результаты обеих теорий будут разными.
Существуют несколько используемых в настоящее время различных возможностей априорного выбора геометрических свойств пространства-времени в качестве арены существования материи (см. Рис. 0.1). Это пространство Римана с кривизной, но без кручения и неметричности (геометрическая арена ОТО); пространство Римана-Картана с кривизной и кручением, но без неметричности (геометрическая арена теории Эйнштейна-Картана и ее обобщений на квадратичные лагранжианы); пространство Вейценбека абсолютного параллелизма с кручением, но без кривизны и неметричности; пространство Вейля-Картана с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа; общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью общего типа.
Рис. 0.1: Здесь ф' = (¿^х — а ТгС} = = д'1УС^аЛ - свертка тензора неметричности. В скобках «+» или «-» символически обозначают наличие или отсутствие соответственно тензоров
Конкретный выбор геометрического типа пространства-времени должен быть априорно определен из каких-то соображений, дополнительных по отношению к принятому (и идущему от идеологии ОТО) механизму порождения геометрических свойств пространства-времени заполняющей его материей. Это говорит об определенной неполноте существующего в настоящее время геометрического подхода описания взаимоотношения пространства-времени и материи.
В наших работах [23]—[26] высказана точка зрения, что дополнением к существующему геометрическому подходу должен быть калибровочный подход к теории гравитации. Калибровочный подход к описанию физических взаимодействий лежит в основе современной теоретической физики [27] - [29]. Этот подход, дополненный некоторыми дополнительными требованиями, позволяет построить современную классическую теорию поля. В работах [30] - [32], исходя из калибровочной теории группы Пуанкаре-Вейля, показано, что пространство Вейля-Картана является геометрическим фоном в современной теории гравитации.
В последнее время наметилось возрастание интереса к калибровочной трактовке гравитационного взаимодействия [33] - [37]. Как известно, впервые калибровочная теория была предложена Г. Вейлем в 1918 году. В [38] было введено калибровочное поле, соответствующее группе изменений масштабов, независимых в каждой точке пространства. Изменение масштабов длины математически эквивалентно дилатациям (растяжениям и сжатиям) пространства. Объединение группы дилатаций и группы Пуанкаре означает расширение группы Пуанкаре до группы Пуанкаре-Вейля. Название "группа Пуанкаре-Вейля" более точно, чем используемое иногда в литературе название "группа Вейля" , так как с понятием вейлевской симметрии обычно связывают локализованные масштабные преобразования.
В работах [30] - [32] производится построение калибровочной теории для группы Пуанкаре-Вейля. Актуальность подобного подхода обусловлена тем, что физика высоких энергий выдвигает требование локальной масштабной инвариантности теории. Данная теория основана на методе введения калибровочных полей для групп, связанных с преобразованиями пространственно-временных координат, основанном на первой и второй теоремах Нетер и развитым в [39], [40], [35], [36]. Отметим, что в данном подходе тетрадные коэффициенты не являются калибровочными полями, а представляют собой некоторую функцию от истинных калибровочных полей.
То калибровочное поле, которое вводится подгруппой дилатаций, названо дилатационным полем. Его вектор-потенциал - это вектор Всйля, а напряженность - тензор сегментарной кривизны, возникающий при геометрической интерпретации теории вместе с тензорами кривизны и кручения. Особенностью лагранжиана гравитационного поля, построенного в работах [30] - [32], является то, что при сохранении калибровочной инвариантности этот лагранжиан допускает наличие ненулевой массы у вектора неметричности Вейля. Это обстоятельство означает, что вводимое при локализации группы дилатации калибровочное поле не представляет собой электромагнитное поле (что утверждал Вейля в своей основоплагающей работе), а полем другого типа [41] - [43]. Отметим также, что в работах [30] - [32] в рамках общей калибровочной процедуры естественным образом вводится скалярное поле Дирака р(х) [44], играющее принципиально важную роль при построении предлагаемого в Главе 2 лагранжиана гравитационного поля. Члены данного лагранжиана имеют структуру лагранжиана Хиггса и тем самым могут вызывать спонтанное нарушение дилатационной инвариантности, что приводит к возникновению масс частиц [45].
Как известно, одним их основных методов построения теорий в современной фундаментальной физике является использование вариационного формализма. Развитие гравитационных теорий в пространствах с постримановыми свойствами требуют развития новых (по сравнению с пространством Римана) вариационных формализмов. В настоящее время подробно развиты вариационные формализмы в пространстве Римана-Картана [27], [35], [37] и в общем аффинио-метрическом пространстве [47] - [49]. Построению вариационного формализма в пространстве Вейля-Картана посвящены работы [50] - [52] в тетрадном формализме и работы [15] - [19] в формализме внешних форм.
В литературе можно найти два способа получения уравнений гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Первый из них состоит в получении этих уравнений как частного случая уравнений гравитационного поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении на неметричность условия Вейля. Второй срособ состоит в получении этих уравнений при наложении условия Вейля до вариационной процедуры, например, с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. При этом полученные обоими способами уравнения гравитационного поля в общем случае не совпадают друг с другом. Мы придерживаемся точки зрения, высказанной в работах [15], [30] - [32] о том, что пространство Вейля-Картана имеет первоначальный фундаментальный статус (как следствие указанного выше калибровочного подхода) вне всякой зависимости от аффинно-метрической теории гравитации. Поэтому в настоящем исследовании мы используем второй способ (из указанных выше) получения уравнений гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана.
В Главе 2 мы обобщаем на наличие скалярного поля Дирака развитый в работах [51], [52] вариационный формализм получения уравнений поля в тетрадном формализме в теории гравитации с квадратичными лагранжианами в вариационном формализме первого порядка, в котором метрика и связность рассматриваются как независимые вариационные переменные (обобщенный формализм Палатини, см. [54] - [59]). Учет в формализме первого порядка наряду с линейным по кривизне лагранжианом также и лагранжианы, квадратичные по кривизне, кручению (в пространстве Римана-Картана) и неметричности (в общем аффинно-метрическом пространстве), приобрел значительный интерес в современных теориях гравитационного поля.
Например, в Пуанкаре-калибровочная теория гравитации (ПКТГ), основанной на группе Пуанкаре, используются квадратичные по кривизне и кручению лагранжианы в пространстве Римана-Картана [39], [40], [60] - [73] (см. также [35], [49] и цитируемую там литературу), что стимулируется требованиями построения перенормируемой теории гравитационного поля [63]. Другой успешный пример применения вариационного формализма с квадратичными лагранжианами в пространстве Вейля-Картана можно найти в работе [74], в которой доказана обобщенная теорема Гаусса-Бонне в пространстве Вейля-Картана. Этот результат интересен тем, что теорема Гаусса-Бонне выполняется в пространстве Рима-на (тождество Баха-Ланцоша [67]) и в пространстве Римана-Картана
75], но не выполняется в общем аффинно-метрическом пространстве
76].
При этом использование квадратичных лагранжианов в вариационном формализме первого порядка принципиально отличается от использования лагранжианов этого типа в вариационном формализме второго порядка в пространстве Римана, что развивалось в работах Вейля [38], Эддингтона [65], [66], Ланцоша [67], [68] и других авторов [69] - [73]. В этих теориях используемая вариационная процедура приводит к уравнениям поля, содержим производные от метрики выше второго порядка. Подобные теории строились для решения проблемы инфляции, построения перенормируемой и унитарной теории гравитации, а также с целью устранения сингулярностей за счет учета квантовых флуктуаций. Однако появление в теориях данного типа третьих и более высоких производных от потенциалов существенно нарушает математическую структуру теории поля.
В совремнной теории поля важным аспектом является изучение конформных свойств теории. Что касается гравитационных взаимодействий, то для них важно изучение конформных свойств римановых и постри-мановых пространств. Конформное преобразование в пространстве Ри-мана хорошо изучено [77], но в пространствах Римана-Картана, Вейля-Картана и общем аффинно-мстрическом пространстве предлагались различного типа конформные преобразования [78] - [88], что подробно разобрано в Главе 2 настоящего исследования. Для изучения конформных свойств пространства Римана-Картана используется тензор конформной симметрии Вейля, обобщенный на пространства с кручениемв [89].
Как известно, конформная симметрия и, в частности, масштабная вейлевская симметрия играет важную роль в квантовой теории поля. Нарушение этой симметрии на квантовом уровне связано с определением структуры контрчленов и с проблемой асимптотической свободы в квантовой теории поля, а также с вычислением критических размерностей п = 26 и п = 10 в теории струн, с гравитационными инстантонами, с явлением Хокинга испарения черных дыр, с проблемами инфляции, космологической постоянной, рождения частиц и черных дыр в ранней вселенной [90]. Поэтому построение конформной теории физических полей на квантовом уровне является в настоящее время одной из наиболее актуальных задач фундаментальной физики.
Важной составляющей этой задачи является создание адекватной конформной классической теории поля, в частности, конформной теории гравитационого поля. Одним из путей решения этой проблемы может быть построенная в работах [30] - [32] калибровочная теория группы Пуанкаре-Вейля в которой возникает конформно-инвариантный лагранжиан гравитационного поля. При геометрической интерпретации этой теории возникает искривленное пространство с касательным пространством, в котором метрический тензор имеет вид д^иде — где доь метрический тензор пространства Минковского. Тем самым данное касательное пространство не является уже пространством Минковского. Данный вид метрического тензора используется в теории струн Стро-мингером, в его известной теории гетродической струны [91].
Вместе с тем в современной аффинно-метрической теории гравитации принято считать касательное пространство пространством Минковского. Совместить обе данные теории можно, если переопределить компоненты метрического тензора в координатном пространстве: д^, = /3~2д^изе, что приводит к переопределению ряда других геометрических величин теории. Возникающая в результате такой процедуры теория оказывается конформной теорией гравитации в пространстве Вейля-Картана [92] с дополнительной геометрической структурой в виде скалярного поля Дирака Р, которое в данном подходе возникает в теории естественно как необходимый элемент теории. В других работах, в которых рассматривается скалярное поле в аффинно-метрической теории гравитации [94],[95], это поле вносится в теорию извне и достаточно искусственно.
В гравитационной физике значительное внимание уделяется изучению взаимодействия скалярного и гравитационных полей. Из российских работ отметим монографии С. В. Червона [96], в которой изучалось влияние скалярных полей в космологии, и Ю. П. Рыбакова и В. И. Санюка [97], в которой изучалась устойчивость самогравитирующих конфигураций скалярного и гравитационного полей, работы В. Ф. Панова [98] и В. Г. Кречета [22], [99]. Данный аспект гравитационной физики также освещен в известных обзорах [49] и [87], где можно найти много цитируемой литературы.
Для объяснения ряда недавно открытых явлений в области наблюдательной космологии достаточно успешно используется конформная теория гравитации со скалярным полем в пространстве Римана [100] - [103], [108]. Развиваемая в настоящей исследовании конформная теория со скалярным полем в пространстве Вейля-Картана оказывается шире этой теории, поскольку содержит по сравнению с ней еще две геометрические величины - тензор кручения и вектор Вей ля, что существено изменяет вариационные уравнения поля теории.
В заключительной части Главы 2 развитый в этой главе вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем применен к решению задачи об изменении со временем скалярного поля Дирака в ранней Вселенной. При этом на данном этапе исследования мы пренебрегаем вкладами от квадратичных по кривизне слагаемых в лагранжиане. В результате возникают три вариационных уравнения гра-витационого поля: результаты варьирования по связности (Г-уравнение), по тетрадам (/¿-уравнение) и по скалярному полю Дирака (/^-уравнение). Эти уравнения затем исследуются с целью получения и решения уравнения для скалярного поля Дирака в ранней стадии эволюции Вселенной и доказательства возможности уменьшения со временем зависящего от скалярного поля эффективного космологического члена.
Построенная конформная теория гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем позволяет поставить вопрос о решении одной из наиболее важных проблем современной фундаментальной физики. Имеется в виду проблема огромного различия (на 120 порядков) величины космологической постоянной А в период инфляции и в современную эпоху [104]. В работе [105] показано, что в пуанкаре-карибровочной теории гравитации в пространстве Римана-Картапа в однородной и изотропной Вселенной в уравнениях гравитационного поля возникают (квадратично зависящие от следа кручения) члены, которые можно интерпретировать как слагаемые с эффективным космологическим членом. При этом полученное уменьшение со временем величины следа кручения слишком мало, чтобы решить проблему космологической постоянной.
В выписанном в Главе 2 лагранжиане гравитационного поля, инвариантном относительно калибровочной группы Пуанкаре-Вейля, надлежит интерпретировать в качестве эффективного космологического члена слагаемое А/В4. Тем самым в предлагаемой теории эффективный космологический член определяется скалярным полем. Решая уравнения для скалярного поля для ранней стадии эволюции Вселенной (стадии инфляции), найдено решение с резким уменьшением величины скалярного поля в эту эпоху, что обеспечивает уменьшение величины эффективного космологического члена до современного уровня за время существования Вселенной [92]. Это позволяет существенно продвинуться в решении проблемы космологической постоянной (темной энергии), которую академик В. А. Рубаков называет "одной из главных, если не самой главной, проблемой теоретической физики"[107].
В главе 2 были получены вариационные производные лагранжиана теории, необходимые для получения окончательных результатов. В процсссе производства вариационной процедуры из-за громоздких преобразований могут быть допущены ошибки. Проверка данных вычислений может быть предпринята с помощью пакетов символьных вычислений на ЭВМ. Но во время поиска подходящих средств для выполнения вышеуказанных операций было обнаружено, что основные пакеты (такие как пакет Ма^ета^са) не позволяют работать с тензорами в произвольных постримановых пространствах. Как правило, такие пакеты позволяют лишь оперировать тензорами в евклидовом пространстве. Современные программные средства-расширения ограничены возможностью работать в пространстве Римана и Римана-Картана, примером может служить популярный пакет САЙТАМ для среды МаЛета^са [109].
Совместно с О. В. Бабуровой и Б. Н. Фроловым [110]-[112] было разработано расширение пакета С АКТАМ, с целью адаптации для работы с тензорными объектами в пространстве Вейля-Картана. Полученный в результате пакет прикладных программ получил название Са1^ап\Уеу1. В данный пакет по сравнению с пакетом СА1П7Ш добавлены новые функции и переменные, существенно расширяющие его возможности. Первые предложения по модификации пакета САЙТАМ изложены в [113] и [114].
В Главе 3 вторая (исправленная и дополненная) версия этого пакета применена к проверке правильности полученных вариационных уравнений гравитационного поля. Здесь изложен метод такой проверки, основанный на использовании существующих в теории дифференциальных тождеств. Осуществлен вывод трех дифференциальных тождеств, представляющих собой следствия инвариантности лагранжиана теории относительно общих преобразований координат, линейных преобразований касательного пространства и преобразований конформной симметрии.
Инвариантность относительно первых двух преобразований поддерживается лагранжианом в силу своего построения, в то время как инвариантность относительно третьего преобразования поддерживается лагранжианом только при определенном соотношении между константами связи в лагранжиане. Поэтому выполнение первых двух тождеств на результатах вариационной процедуры означает только правильность вычисления соответствующих вариационных производных, в то время как выполнение третьего тождества позволяет получить указанные соотношения между констанстами связи. Данные соотношения между константами связи выведены непосредственными вычислениями.
В Приложениях излагаются струкура пакета прикладных программ Са1^ап\¥еу1, основные функции и алгоритмы, "Инструкция пользователя" по применению этого пакета, а также некоторые листинги работы системы Са^ап\¥еу1 по проверке вариационных уравнений поля при помощи дифференциальных тождеств.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты проведенных исследований можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту:
1. Показано, что в четырехмерном пространстве-времени один и тот лее тип материи на геометрическом фоне пространства Римана-Картана порождает уравнения поля, отличные от уравнений поля, порождаемых этим же типом материи на геометрическом фоне пространства Вейля-Картана. В связи с этим предлагается ввести дополнительное требование к геометрическому подходу в теории гравитации, заключающееся в том, что конкретный выбор геометрического фона пространства-времени должен быть согласован с калибровочным подходом к теории гравитации.
2. На основании требований, вытекающих из пуанкаре-вейль калибровочной теории гравитации, в четырехмерном пространстве-времени построен лагранжиан конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем; развит вариационный формализм в пространстве Вейля-Картана для лагранжианов, содержащих скалярное поле и члены, квадратичные по кривизне, кручению и неметричности вейлевского типа; получены и проанализированы вариационные уравнения гравитационного поля трех типов: Г-, к- и ¡3-у равнения.
3. На ранней стадии эволюции Вселенной получено уравнение для скалярного поля и найдено его решение, которое при выполнении определенных условий на константы связи исходного лагранжиана описывает достаточно быстрое уменьшение со временем скалярного поля, что позволяет объяснить уменьшение энергии физического вакуума (темной энергии) Ло/34 за время существования Вселенной.
4. В конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана со скалярным полем получены дифференциальные тождества, вытекающие из свойств симметрии лагранжиана теории. Предложен метод использования разработанного автором пакета СаЛап\Уеу1 символьных вычислений на ЭВМ в пространстве Вейля-Картана для проверки полученных вариационных уравнений гравитационного поля на основе анализа данных дифференциальных тождеств, а также проведена данная проверка.
1. Эйнштейн А. Собрание сочинений.-М.: Наука, 1965.-Т. 1.-678 с.-Т. 2.-700 с.
2. Альберт Эйнштейн и теория гравитации /Сборник статей (К 100-летию со дня рождения).-М.: Мир, 1979.-592 с.
3. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.-М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы 1961.-464 с.
4. Синг Дж. J1. Общая теория относительности.-М.: ИЛ, 1963.-432 с.
5. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация.-М.: Мир, 1977.-Т. 1-3.
6. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной-М.: Наука, 1975.-736 с.
7. Вейнберг С. Гравитация и космология.-М.: Мир, 1975.-696 с.
8. Perlmutter S. et al. Measurements of fi and A from 42 high-redshift supernovae //Astrophys. J.-1999.-V. 517.-P. 565-586 (astro-ph/9812133).
9. Bahcall N.A., Ostriker J.P., Perlmutter S. and Steinhardt P.J. The cosmic triagle: assessing the state of the Universe //Science.-1999.-V. 284.-P. 1481-1488 (astro-ph/9906463).
10. Perlmutter S., Michael S. and White M. Constraining dark energy with SNe la and large-scale structure //Phys.Rev.Lett-1999.-V. 83.-P. 670673 (astro-ph/9901052).
11. Armedanz-Picon C., Mukhanov V. and Steinhardt P.J. A Dynamical Solution to the Problem of a Small Cosmological Constant and Late-time Cosmic Acceleration // Phys. Rev. Lett-2000 V. 85-P. 44384441 (astro-ph/0004134).
12. Riess G. at al. The Farthest Known Supernova: Support for an Accelerating Universe and a Glimpse of the Epoch of Deceleration //Astrophys. J.-2001.-V. 560.-P. 49-71 (astro-ph/0104455).
13. Griffits L. M., Melchiorri A., Silk J. CMB constraints on a barionic dark matter-dominatied universe //Astrophys. J.-200l.-V. 553-P. L5-L10 (astro-ph/0101413).
14. Puetzfeld D. Status of non-Riemannian cosmology //New Astron.Rev.-2005.-V. 49.-P. 59-64 (gr-qc/0404119).
15. Babourova О. V., Frolov B. N. Matter with dilaton charge in Weyl-Cartan space-time and evolution of the Universe //Class. Quantum Grav.-2003.-V. 20.-P. 1423-1442 (gr-qc/0209077).
16. Babourova О. V. and Frolov B. N. Dilaton matter as dark matter and evolution of the universe //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2003 -V. 9.-N 1 (ЗЗ).-Р. 15-19.
17. Babourova О. V. Modified Friedmann-Lemaitre equation for dilaton-spin dark matter in Weyl-Cartan space //Gravit. & Cosmol-2004-V. 10.-N 1-2 (37-38).-P. 121-126 (gr-qc/0507104).
18. Babourova О. V. and Frolov B. N. The variational theory of the perfect dilaton-spin fluid in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A-1998-V. 12.-P. 2943-2950 (gr-qc/9708006).
19. Babourova О. V. and Frolov В. N. Perfect fluid and test particle with spin and dilatonic charge in a Weyl-Cartan space //Mod. Phys. Lett. A.-1998.-V. 13.-P. 7-13 (gr-qc/9708009).
20. Portnov Ju. A. Dilatation field quanta //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2006 -V. 12.-N 2-3 (46-47)-P. 209-211.
21. Портнов Ю. А. Волны поля неметричности и крупномасштабная неоднородность материи в пространстве-времени Вейля-Картана //Известия высш. учебн. завед. Физика 2006. - Т. 49 - № 4. - С. 39-43.
22. Krechet V. G. and Sadovnikov D. V. Cosmology in an affine-metric theory of gravity with a scalar field //Gravit. & Cosmol. (Гравитация и космология)-1997-V. 2.-N 1 (10).-P. 133-140.
23. Бабурова О.В., Косткин Р.С., Фролов Б.Н. О проблеме порождения геометрии пространства-времени заполняющей его материей. //В сб. Тезисы докладов 13-й Российской гравитационной конференции, Москва 23-28 июня 2008 г., С. 25-26.
24. Косткин Р.С. Свойства материи и структура пространства-времени. //Интеграция образования и науки. Сборник статей. М.: Издательство «Прометей», 2008. С. 200-205.
25. Бабурова О.В., Косткин Р.С. Материя с дилатационным зарядом в пространстве Римана-Картана. //Известия высш. учебн. завед. Физика. 2009. - Т. 52. - № 5. - С. 43 - 48.
26. Косткин Р.С. О влиянии материи на структуру геометрического фона. //Физическое образование в вузах. Приложение Труды конференции конкурса молодых физиков. - 2009. - Т. 15. - 1. - С. П29-ПЗО.
27. Пономарев В. Н., Барвинекий А. О., Обухов Ю. Н. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодейетвий.-М.: Энергоатомиздат, 1995.-168 с.
28. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля. М.: Изд-во МГУ, 1986.-260 с.
29. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей /1-ое изд. М.: "Наука 1978; 2-ое изд. М.: "Наука 1988272 с.
30. Babourova О. V., Frolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Gauge Field Theory for Poincare Weyl Group //Phys. Rev. D . 2006. - V. 74. - P. 0640121-12 (gr-qc/0508088, 2005).
31. Бабурова O.B., Жуковский В.Ч., Фролов Б.Н. //Теоретич. матем. физ. 2008. - Т. 157. - № 1. С. - 64 - 78.
32. Babourova О. V., Frolov В. N., Zhukovsky V. Ch. Theory of Gravitation on the Basis of the Poincare Weyl Gauge Group //Gravit. & Cosmol.
33. Гравитация и космология) 2009. - V. 15. - No. 1. - P. 13 - 15.
34. Hammond R. T. Torsion gravity //Rep. Prog. Phys.-2002.-V. 65.-P.599.649.
35. Sardanashvili G. On the geometric foundation of classical gauge gravitational theory //Preprint Los Alamos arXive, gr-qc/0201074.-2002.
36. Фролов Б. H. Пуанкаре-калибровочная теория гравитации. М.: МП-ГУ, 2003.-160 с.
37. Frolov В. N. On Foundations of Poincare-Gauge Theory of Gravity //Grav. & Cosmol. (Гравитация и космология)-2004,- V. 6.-N. 4(24).-P. 116-120.
38. Obukhov Yu. N. Poincaré gauge gravity: selected topics //Los Alamos ArXiv, gr-qc/0601090, 2006.
39. Вейль Г. Пространство, время, материя-M.: "Янус 1996.-480 с.
40. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //Вестн. Моск. унив., сер. физ., астрон.-1963-N 6.-С. 48-58.
41. Фролов Б. Н. Принцип локальной инвариантности и теорема Нетер //В сб.: Современные проблемы гравитации/Сборник трудов II Советской гравитационной конференции/Тбилиси, апрель 1965 г.Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1967.-С. 270-278.
42. Utiyama R. On Weyl's Gauge Field //Progress of Theor. Phys-1973. -Vol. 50.-P. 2080-2090.
43. Freud P. G. O. Local Scale Invariance and Gravitation //Ann. Phys. (NY)-1974-V. 84.-P. 440-454.
44. Utiyama R. On Weyl's gauge field //Gen. Relat, Gravit-1975-V. 6.-P. 41-47.
45. Dirac P. A. M. Long range forces and broken symmetries //Proc. Roy. Soc. A.-1973.-V. 333.-P. 403-418.
46. Frolov B. N. Generalized conformai invariance and gauge theory of gravity //В сб.: Gravity, Particles and Space-time (Ed. P. Pronin and G. Sardanashvily).-Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific 1996. P. 113 - 144.
47. Frolov B. N. Generalized Conformai Invariance and field theory in Riemann-Cartan Space //В сб.: Symmeties in gravity and field theory, eds. V. Aldaya et al (Ediciones Universidad de Salamanca, Spain, 2004). P. 293-306.
48. Hehl F. W. and Kerlick G. D. Metric-Affine Variational Principles in General Relativity. I. Riernannian Space-Time //Gen. Relat. Gravit-1978.-V. 9.-P. 691-710.
49. Hehl F. W., Lord E. A. and Smalley L. L. Metric-Affine Variational Principles in General Relativity. II. Relaxation of the Riernannian Constraint //Gen. Relat. Gravit.-1981.-V. 13.-P. 1037-1056.
50. Hehl F. W., McCrea J. L., Mielke E. W. and Neeman Yu. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, and Breaking of Dilaton Invariance //Phys. Rep-1995-V. 258.-P. 1-171.
51. Бабурова О. В., Королев В. Ф. Вариационный формализм и уравнения поля в тетрадной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. М.: ГНО Издательство "Прометей" МПГУ, 2005.-С. 275278.
52. О. В. Бабурова, В.Ф. Королев, И. А. Умярова, Известия высш. учеб. завед. Физика.-2006.-Т. 49.-№5-С. 70-74.
53. Бабурова О.В., Королев В.Ф. //Изв. высш. учеб. завед. Физика-2006.-Т. 49-№6.-С. 56-59.
54. Palatini A. Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principo di Hamilton //Rend. Circ. Mat. Palermo.-1919.-V. 43.-P. 203207.
55. Эйнштейн А. Единая полевая теория тяготения и электричества /Собрание трудов.-М.: Наука 1966.-Т. 2.-С. 171-177.
56. Schrodinger Е. Space-time structure-Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1950 (Русский перевод: Шрёдингер Э. Пространственно-временная структура Вселепной.-М.: Наука, 1986.-224 с.)
57. Ferraris M., Francaviglia M. and Reina С. Variational Formulation of General Relativity from 1915 to 1925 "Palatini's method "Discovered by Einstein in 1925//Gen. Relat. Grav.-1982.-V. 14.-P. 243-254.
58. Фролов Б. H. Тетрадный формализм Палатини //В сб.: Тезисы докладов третьей советской гравитационной конференции (Ереван, 1114 октября, 1972 г.).-Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1972.-С. 170173.
59. Frolov В. N. Tetrad Palatini formalism and quadratic Lagrangians in the gravitational field theory //Acta Phys. Polon 1978. - V. B9 - P. 823-829.
60. Цейтлин А. А., Пономарев В. H. О корректном использовании принципа Палатини в гравитационных теориях //Вести. Моск. унив., сер. физ., астрон-1978. -Т. 19.-N 6.-С. 57-59.
61. De Witt В. Dynamical Theory of Groups and Fields-New York: Gordon and Breach, 1965 (Перевод: Девитт Б. С. Динамическая теория групп и по лей.-М.: Наука, 1987.-288 с.)
62. Hayashi К. Gauge Theories of Massive and Massless Tensor Fields //Progr. Theor. Phys.-1968.-V. 39.-P. 494-515.
63. Basombrio F. G. A comparative review of certain gauge theories of the gravitational field //Gen. Relat. Gravit.-1980.-V. 12.-P. 109-136.
64. Yan M. L. The renormalizability of the general gravity theory with torsion and the spontaneous breaking of Lorentz group //Commun. Theor. Phys. (Beijing, China).-1983-V. 2.-P. 1281-1288.
65. Meng X.-H., Wang P. R2 corrections to the cosmological dynamics of inflation in the Palatini formulation //Class. Quantum Grav.-2004.-V. 21- P. 2029-2036 (preprint gr-qc/0402011).
66. Eddington A.S. The Mathematical Theory of Relativity, 2nd ed-Cambridge: Cambridge University, 1924 (Перевод: Эддингтон A.C. Математическая теория относительности.-Харьков, Киев: Гос. научно-техн. изд-во Украины, 1933.-357 с.)
67. Eddington A.S. A generalization of Weyl's theory of the electromagnetic and gravitational fields //Proc. Royl. Soc. (L).-1921.-V. A99.-P. 104111.
68. Lanczos C. A remarkable property of the Riemann-Christoffel tensor in four dimensions //Ann. of Math-1938-V. 39.-P. 842-850.
69. Lanczos C. Quadratic action principle of relativity //J. Math. Phys.-1969.-V. 10.-P. 1057-1065.
70. Bach R. Zur Weylischen Relativitätstheorie und der Weyischen Erweiterung des Kr'ummungstensororbegriffs //Math. Zs.-1921.-V. 9-P. 110.
71. Wynne V.A., Derrick G.H. A Theory of Gravitation Incorporating the Quadratic Action Principle of Relativity //Nuovo Cim.-1973.-V. 15B-P. 181-209.
72. Giesswein M., Sexl R. and Strceruwitz E. Cosmologcal singularities and higher-order gravitatinal lagrangians //Phys. Letters.-1974.-V. 52B.-P. 442-444.
73. Page D. N. Probability of R2 inflation //Phys. Rev. D.-1987.-V. 36.-P. 1607-1624.
74. Buchbinder I. L. Renormalization of Quantum Field Theory in Curved Space-Time and Renormalization Group Equations //Fortschr. Phys.-1986.-V. 34.-P. 605-628.
75. Babourova O.V., Frolov B.N. Gauss-Bonnet Type Identity in Weyl-Cartan Space //Intern. J. of Mod. Phys. A.-1997.-V. 12.-P. 3665-3668 (gr-qc/9609004).
76. Ilayashi K. and Shirafuji T. Gravity from Poincaré Gauge Theory of the Fundamental Particles. V. The Extended Bach-Lanczos Identity //Progr. Theor. Phys-1981.-V. 65.-P. 525-532.
77. Hehl F. W., Kopczynski, McCrea J. D., Mielke E. Chern-Simons terms in metric-affine space-time: Bianchi identities as Euler-Lagrange equations //J. Math. Phys.-1991.-V. 32.-P. 2169-2180.
78. Норден А. П. Пространства аффинной связности.-M.: Наука, 1976.
79. Bergmann P. G. //Phys. Rev.-1956.-V. 103.-P. 780-781.
80. Smallcy L. L. Brans-Dicke-type models with nonmetricity //Phys. Rev. D.-1986.-V. ЗЗ.-Р. 3590-3593.
81. Фролов Б. Н.Конформная квадратичная калибровочная теория гравитационного поля //В сб.: "Гравитация и электромагнетизм".-Минск: Изд-во "Университетское 1988.-С. 246-252.
82. Фролов Б. Н. Обобщенно-конформная пуанкаре-калибровочная квадратичная теория гравитации //В сб.: "Гравитация и электромагнетизм"-Вып. 5.-Минск: Изд-во "Университетское 1992.-С. 174-178.
83. Frolov В. N. Generalized Conformai Invariance and the Gravitational Theory With Quadratic Lagrangians //В сб.: 1993 Conference Program. Cornelius Lanczos Intern. Cent. Conf. (N. Carol. State Univ., USA). Raleigh: Jane S. McKimmon Center, 1993. P. 105.
84. Zhytnikov V. V. Conformally invariant Lagrangians in metric-affine and Riemann Cartan spaces //Int. J. Mod. Phys. A.-1993.-V. 8.-P. 51415152.
85. Nieh H. T. Spontaneously broken conformai gauge theory of gravitation //Phys. Lett-1982-V. A88.-P. 388-390.
86. Obukhov Yu. N. Conformai invariance and space-time torsion //Phys. Lett.-1982.-V. A90.-P. 13-16.
87. Derely T., Tucker R. W. Weyl scalings and spinor matter interactions in scalar-tensor theories of gravitation //Phys. Lett.-1982.-V. 110B.-P. 206-210.
88. Shapiro I. L. Physical aspects of the space-time torsion //Phys. Rep-2002.-V. 357.-P. 113-213 (hep-th/0103093vl).
89. Obukhov Y. N., Pereira J.G. Metric-affine approach to teleparallel gravity //Phys. Rev. D.-2003.-V. 67.-P. 044016 (gr-qc/0212080vl).
90. Gambini R., Herrera L. Einstein Cartan theory in spin coefficient formalism //J. Math. Phys.-1980.-V. 21.-P. 1449-1454.
91. Duff M. J., Twenty Years of the Weyl Anomaly //Class. Quantum Grav-1994.-V. 11.- P. 1387-1404 (hep-th/9308075).
92. Stromingcr A. Heterotic solitons //Nucl. Phys. 1990. V. B343. P. 167 184.
93. Бабурова О.В., Косткин P.C., Фролов Б.Н. Космология ранней Вселенной в рамках конформной теории гравитации в пространстве Вейля-Картана. //В Юбилейном сборнике посвященном 75-летиюкафедры математического анализа МПГУ. 2009 г. (Принята в печать) .
94. Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion //Nuovo Cim.-1980.-V. 55B.-P. 37-51.
95. Gregorash D., Papini G. Weyl-Dirac Theory with Torsion. II. Foundation and Conservation Equations //Nuovo Cim.-1980.-V. 56B.-P. 21-37.
96. Чсрвон С. В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. -Ульяновск: Ульяновский Государственный Университет, 1997.— 191 с.
97. Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Многомерные солитоны. Введение в теорию и приложения: Учеб. пособие.-М.: Изд-во РУДН, 2001.-481 с.
98. Панов В. Г. Скалярное поле в нестационарной космологической модели тина Геделя //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1991-N 2.-С. 54-57.
99. Кречет В. Г. Космологический аспект гравитационого взаимодействия скалярного поля в аффино-метрической теории гравитации //Изв. высш. учебн. завед. Физика.-1998-N 5.-С. 39-50.
100. Behnke D., Blaschke D., Pervushin V., Proskurin D. and Zakharov A. Cosmological Consequences of Conformal General Relativity //Preprint MPG-VT-UR 210/00.-2000 (gr-qc/0011091).
101. Pervushin V., Proskurin D. Conformal General Relativity //Grav. & Cosmol.-2002.-V. 8. Suppl.-N l.-P. 161-167 (gr-qc/0106006).
102. Bajan K., Flin F., Godlowski W., Pervushin V., Zorin A. //Spacctime & Substance.-2003.-V. 4.-P. 225 (astro-ph//0408551).
103. Bajan К., Flin F., Godlowski W., Pervushin V. On the investigation of galaxy redshift periodicity //Phys. Part. Nucl. Lett.-2007.-V. 4.-P. 5-10 (astro-ph//0606294).
104. Weinberg S. The Cosmological Constant Problem //Rev. Mod. Phys-1989.-V. 61.-P. 1-23.
105. Minkevich A. V., Garkun A. S., Kudin V. I. Regular accelerating Universe without dark energy //Class. Quant. Grav.-2007.-V. 24.-P. 5835-5848 (gr-qc/0706.1157).
106. Minkevich A. V. Accelerating universe with spacetime torsion but without dark matter and dark energy //Phys. Lett. B.-2009.-V. 678.-P. 423-426 (gr-qc/0902.2860v2).
107. Гобунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 552 с.
108. Шувалов С. А. Некоторые вопросы гамильтонова объединения Стандартной Модели и Общей Теории Относительности : дисс. . канд. физ.-мат. наук : 01.04.02 : защищена 19.05.2009. М., 2009. -136 с. - Библиогр.: с. 126 - 136.
109. Soleng Н. Н. In Relativity and Scientific Computing Computer Algebra, Numerics, Visualization, (Springer, Berlin, 1996), P. 210-230.
110. Babourova O.V., Kostkin R.S., Frolov B.N. Extension of the CARTAN Package for Symbolic Calculations to Space-Time Models with Weyl-Cartan Structure //Grav. & Cosmol. (Гравитация и космология )-2009- V. 15 N 4.-P. 302-305.
111. Косткин P.С. Решение задач теории гравитации с помощью пакета символьных вычислений Cartan-Weyl // Изв. высш. учеб. завед. Физика-2009-Т. 52 9.-С. 98-100.
112. Babourova O.V., Frolov B.N., Kostkin R.S. Using symbolical calculations for solving the problems of the modern gravitational theory. //Proceedings of International Meeting «Physical Interpretations of Relativity Theory» (PIRT-2009) (принята в печать).
113. Вабурова О. В., Королев В. Ф. Применение системы МАТНЕМА-TICA для тензорных вычислений в пространстве Вейля-Картана //Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки. Сборник статей. М.: ГНО Издательство "Прометей" МПГУ, 2006.-С. 220-222.
114. Вабурова О. В., в сб. Актуальные проблемы математики, информатики и образования, М.: МПГУ, 2007, с. 46.
115. Tsamparlis М. Cosmological principle and torsion //Phys. Lett-1979-V. 75A.-P. 27-28.
116. Minkevich A. V. Generalised cosmological Friedmann equations without gravitational singularity //Phys. Let,t.-1980.-V. 80A.-P. 232234.
117. Вабурова О.В., Фролов Б.Н., Королев М.Ю. //Изв. высш. учеб. завед. Физика 1994. - №1. - С. 76-82.
118. Puetzfeld D. and Tresguerres R. A cosmological model in Weyl-Cartan spacetime //Class. Quantum Grav.-2001.-V. 18.-P. 677-694 (gr-qc/0101050).
119. Tucker R.W., Wang C. //Class. Quantum Grav.- 1998. -V. 15.- P. 933954.
