Структура постриманова пространства Римана-Картана типа плоской волны тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах ру

Щсрбань Владимир Николаевич

СТРУКТУРА ПОСТРИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА РИМАНА-КАРТАНА ТИПА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 и АПР 2314

Москва - 2014

005546842

Работа выполнена на кафедре теоретической физики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский педагогический государственный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Фролов Борис Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кречет В.Г.

кандидат физико-математических наук Портнов Ю.А.

Ведущая организация:

НИИ ядерной физики им. Д.В. Скобельцына МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится " 15 " мая 2014 г. в " 15 " час. " 30 " мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419 г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал Л4 1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы пародов по адресу: 117198 г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан " 28 " марта 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических паук,

доцент Попова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. С самого начала создания ОТО не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем усложнения структуры пространства-времени. Эйнштейн сделал предположение, что четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана, и на этой основе создал современную теорию гравитации, названную общей теорией относительности (ОТО). Современные модели, объясняющие явления в астрофизике и космологии, основаны именно на ОТО - фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет па метрику и связность пространственно-временного многообразия, а также зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.

Одну из весомых ролей в этом сыграл тот факт, что общая теория относительности достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными [1]. Но, несмотря на все вышесказанное, в ОТО существует множество нерешенных проблем [2], [3]. К ним относятся сингулярность, определение тензора энергии-импульса гравитационного поля, проблема определения начальных данных и другие. Данный факт привел к необходимости поиска путей обобщения и модификации общей теории относительности. Одним из таких обобщений является предположение о том, что пространство-время является по свой геометрической структуре более сложным, чем риманово пространство.

Значительный интерес представляет собой изучение точных решений уравнений поля в пространствах, наделенных более сложной структурой, чем риманово пространство ОТО. Особое место здесь занимает поиск волновых решений, что обладает как теоретическим, так и возможным практическим значением [4]-[9|.

В настоящее время одним из обобщений ОТО является пуанкаре-калибровочная теория гравитации. Соответствие между гравитационными потенциалами и свойствами симметрии материи достигается наложением определенных ограничений на обобщенную аффинную связность. Этот подход к теории гравитации дает лучшее понимание связи между природой источников гравитационного поля и группой симметрия пространства-времени. На сегодняшний день существует достаточно боль-

шое количество работ о теории гравитации с кручением. Основным свойством данной теории является связь между кручением и его источником, спиновым моментом внешнего поля [13].

На следующем этапе развития науки многие исследователи считают, что в области высоких энергий группа Пуанкаре заменяется на более общую группу симметрии пространства-времени. На основании этого становится возможным существование связности, не согласованной с метрикой, что дает возможность исследовать пространство с новой геометрической структурой - неметричностыо. Одна из наиболее общих канонических калибровочных теорий группы пространства-времени является аффинно-метрическая теория, построенная на базе аффинно-метрического пространства. С рассмотрением пространств, являющихся более сложными, чем пространство ОТО, стала актуальной проблема нахождения и исследования возможных источников гравитационного поля в различных теориях [16].

Разработка и исследование современной теории гравитации основаны на использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов [13]. Выбор лагранжиана теории является вопросом, открытым на сегодняшний день. Главная причина этого заключается в том, что прямое обобщение теории Эйнштейна—Картана приводит к теории, где часть уравнений является алгебраическими, что не является удовлетворительным фактом. Естественно, кручение может играть весомую роль только в том случае, когда нелинейные лагранжианы берутся за основу теории гравитации. В построении теории гравитации в пространстве Римапа-Картана используются квадратичные лагранжианы |9]. Большая часть квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картана являются суммой линейного лагранжиана теории Эйпштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

Появление новых теорий стимулирует огромный интерес к гравитационному эксперименту. Каждый год появляются все новые и новые работы, посвященные экспериментальному изучению различных гравитационных эффектов, различным методам их наблюдения. Особое значение занимают проблемы поиска исследования гравитационных волн. По мнению ряда авторов существенным становятся вопросы по экспериментальному обнаружению возможных постримановых свойств пространства-времени [17]-[19], в частности, возможному существованию волн кручения и немет-ричпости. Пока окончательно нерешенным вопросом является и определение возможных источников таких воли.

Изучение волновых решений уравнения поля имеет достаточно давнюю историю. Из анализа задачи Коши для системы уравнений гравитационного и электромагнитного поля в пространстве-времени ОТО, пространстве Римана следует, что основные представления геометрической оптики являются общими для гравитационного и электромагнитного полей [20]. Различные типы гравитационных волн определяются различными типами фронта волны. Данный факт дал возможность создать общсковариаптную классификацию типов гравитационных волн в зависимости от свойств волнового фронта, определяемых заданием волнового вектора. Исследование волн кручения в большинстве работ проводится путем изначального введения ограничений на основные структуры пространства - кривизны и кручения. Поэтому актуальным для современного этапа развития теории гравитационного взаимодействия является физический смысл и структура подобных ограничений.

Цели и задачи исследования. Целью данной работы является исследование структуры непрерывных компонент кручеппя, зависящих от 4-х произвольных функций, при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана.

Отметитим, что в работе изначально не вводится никаких ограничений на форму кривизны и кручения. Наоборот, структура 2-формы кручения пространства волнового типа непосредственно вытекает из условий симметрий, которым должны удовлетворять такие волны.

Построение современной пуанкаре-калибровочной теории гравитации основано на существенном использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов [10]—[16]. Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитационного поля стимулируется также построением перенормируемой теории гравитации в пространстве Римана-Картапа. Большинство квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картана могут быть описаны как частные случаи общего 10-параметрического лагранжиана, введенного в [10], [11| в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

На современном этапе теория гравитации описывается на языке внешних дифференциальных форм Картана. Мы будем использовать вариационный формализм на языке внешних форм, основываясь па лемме, сформулированной и доказанной в [8], о коммутации операторов варьирования и дуализации Ходжа.

В пространстве Римана-Картана получение уравнений гравитационного поля может быть осуществлено тремя возможными методами: как частный случай уравне-

ний поля в общем аффшшо-мстрическом пространство при наложении условия метричности (согласованности метрики и связности) после варьирования и получения уравнений поля; получение этих уравнений при наложении условия метричности до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагран-жа; с помощью явного разрешения условий метричности до вариационной процедуры. Одной из целей данной работы является обоснование эквивалентности последних двух методов варьирования и неэквивалентности этих методов первому методу.

Научная новизна и практическая значимость. Научная новизна результатов работы определяется тем, что в ней:

• Исследованы различные методы получения уравнений поля в аффинно-метрическом пространстве {Ь$,д), и доказана эквивалентность 2-х методов из 3-х возможных.

• Для квадратичных лагранжианов общего вида методом неопределенных множителей Лагранжа получены вариационные уравнения гравитационного поля в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм.

• Доказана теорема о структуре неприводимых компонент кручения при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана. В результате доказана зависимость неприводимых компонент кручения от 4-х произвольных функций запаздывающего аргумента, что привело к расширению границ возможного существования данного типа волн.

• Доказана теорема о необходимом и достаточном условиях существования плоских волн кручения в пространстве Римана-Картана.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

• Май 15-18, 2012, XLVIII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники, Российский университет дружбы народов, Россия, Москва.

• Сентябрь 3-7, 2012, III-я Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" (GRACOS-2012), Россия, Казань-Яльчик.

• Июнь 24-28, 2013, Third International Conference on Theoretical Physics "Theoretical Physics and its Applications" (MSOU, Russia, Moscow).

• Июнь 24-28, 2013, Международная научная конференция «Фридмаповские чтения», ПГНИУ, Россия, Пермь.

• Июль 1-4, 2013, International Conference "Physical Interpretations of Relativity Theory (PIRT-2013)" , Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Россия, Москва.

• Август 26-30, 2013, Colloquium on Differential Geometry and its Applications and IX-th International Conference on Finsler Extensions of Relativity Theory, Hungary, Debrecen.

Личный вклад автора. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, 3 из которых опубликованы в научных журналах, входящих в Перечень ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 79 наименования. Объем диссертации - 107 страниц текста, набранного в издательской системе LaTeX.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается общая характеристика работы, указывается ее цель, обосновывается актуальность решаемых проблем, дастся описание постримановых пространств современной теории гравитации и используемых вариационных методов, а также кратко излагается содержание глав диссертации.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории гравитации в пространстве Римапа-Картапа ДС4 в формализме внешних форм. Сделан вывод, что в данном формализме 10-параметрический квадратичный лагранжиан представляется в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйпштсйпа-Картапа и квадратов всех неприводимых частей 2-форм кривизны и кручения в пространстве ЯС4. Приводится исследование связи этого лагранжиана с другими квадратичными лагранжианами, имеющими место в теории гравитации. Во втором параграфе первой главы рассматривается вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм. Излагается лемма о коммутационном соотношении между операцией дуализма Ходжа и операциями получения вариационной производной. Лемма необходима для проведения новым методом вариационной процедуры в рамках внешних дифференциальных форм. В третьем параграфе первой главы выводятся уравнения поля квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана на языке внешних дифференциальных форм.

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена вариационному подходу к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм в общем аффинно-метрическом пространстве. В первом параграфе рассмотрены основные понятия теории гравитации в общем аффинно-метрическом пространстве в формализме внешних форм. Второй параграф посвящен анализу различных подходов к методу получения уравнений поля в пространстве Римана-Картана.

Как уже отмечалось, в пространстве Римана-Картана получение уравнений гравитационного поля может быть осуществлено несколькими методами. Данные уравнения могут быть получены как частный случай уравнений поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении условия метричности (согласованности метрики и связности) после варьирования и получения уравнений поля. Другой метод состоит в получении этих уравнений при наложении условия метричности до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа.

Наконец, третий метод состоит в явном разрешении условий метричности и построении лагранжиана гравитационного поля непосредственно в пространство Римана-Картана. В данном параграфе проводится обоснование эквивалентности последних двух методов варьирования и неэквивалентности этих методов первому методу.

Главные результаты диссертации изложены в третьей главе, в которой проводится исследование плоских волн кручения в пуанкаре-калибровочной в теории гравитации. Здесь изучается проблема существования плоских воли кручения в Пуанкаре калибровочной теории гравитации в пространстве Римана-Картана Ui с кривизной и кручением и рассмативается роль отдельных неприводимых частей кручения при распространении в виде плоских волн.

Плоская волна метрики имеет вид:

д = 2Н(х, у, u)du2 + 2dudv - dx2 - dy2, (1)

и представляет собой частный случай метрики плоскофронтовых гравитационных волн с параллельными лучами (рр-волн) [4], [8], где координата и имеет смысл запаздывающего времени и интерпретируется как фаза волны.

Риманово пространство с метрикой плоской волны допускает группу симмет-рий Gö, порождаемую векторными полям X со структурой [4]

X = (а + b'x + cy)dv + bdx + cdy, (2)

где а = const, а b(u), с(и) - произвольные функции и b , с - их производные.

Группа движений оставляет неизменной изотропную гиперповерхность в V4, описывающую фронт волны с постоянной амплитудой [4]. Как рр-волны, плоские волны метрики обладают пулевыми сдвигом, вращением и растяжением.

Определение^]. Назовем пространство Римана-Картана U4 пространством U4 типа плоской волны, а его метрику и кручение - плоскими волнами метрики и кручения, если метрика даь и 2-форма кручепия Т" этого пространства допускают группу симметрий G5, что означает выполнение условий: Ьхдаь = 0, LxTa = 0, где Lx -производная Ли вдоль векторного поля X, порождающего группу симметрий G3.

Известно, что 2-форма кручения Т" = 1/2 Т" Ъсвь Л 0е (вь- ортогональный базис

1-форм пространства Ut, Л - оператор внешнего умножения) может быть разложена

на три неприводимые части (бесследовую часть, след и псевдослед, соответственно):

(1) (2) (3) Т" = Т" + Т" + Т" . Доказана следующая теорема.

Теорема 1. 2-форма кручения пространства типа плоской волны имеет следующую структуру: бесследовая часть зависит от двух произвольных функций t\ (и)

и ¿2 {и) запаздывающего аргумента и, а след и псевдослед зависят каждый от одной произвольной функции и, соответственно, ¿з (и) и £4 (м):

(1)

т° = ^е1 л в2 + Ыи^ле3, (з)

(2) (2) (2)

т° = {и)в°ле\ т2 = -г3(и)е1лв2, т3 = -и(и^де3, (4)

(3) (3) (3)

Т° = Ци)02Л0\ Т2 = Щи)!)1 Л О3, Т3 = -и(и)01 АО2. (5)

Для доказательства подставим векторное поле (2) в уравнение Ь^ Т" = 0. В результате приходим к системе уравнений, следствием которой ввиду произвольности функций Ь, с, Ь и с будет равенство пулю всех компонент кручения за исключением тех, которые выражены формулами (3)-(5) через четыре произвольных функций от и.

Данная теорема обобщает результат работы [8],в которой плоские волны кручения зависели только от двух произвольных функций, определяющих его бесследовую часть.

Для получения условий существования плоских волн кручения рассматривается квадратичный лагранжиан Пуанкаре калибровочной теории гравитации, содержащий сумму линейного члена, пропорционального скаляру кривизны и квадратов неприводимых частей 2-форм кривизны и кручения в пространстве [/4:

ьд = /„гь Л Чаь + г,Н°ь Л л!'+^ Л *Т„, (6)

¡=1 1=1

где /о, Т1, х% ~ константы связи, * - оператор дуального сопряжения Ходжа,

ЯаЬ = *{валвь).

Уравнения поля получаются варьированием (6) по базису в" и 1-форме связности Г"ь. Связность в Щ может быть разложена на римапову часть и конторсию, линейно зависящую от тензора кручения. Для скаляра кривизны имеем разложение:

, (Я) , (Я) (2) (1) (1) (2) (2) (3) (3)

1ГЬ Л паь = 1Г,, Лт)аь - Б (* Т" леа) + Т" Л *Та -2 Т" Л *Та -(1/2) Т° Л *Т„ . (7)

В результате соответствующего разложения уравнений поля ввиду произвольности функций ¿1 (и), ¿2 ("), ¿з (и), <и3 (и)/г1и, ¿з (и) п ¿4 (и) приходим к уравнениям:

Шхх + Нуу) = О, /0 + Х1=0, 2/о-Х2 = 0, /о-2Хз = 0. (8)

Первое из этих уравнений согласно [4], [8] означает, что волны метрики являются плоскими. Второе уравнение было получено в [8] и означает, что плоские волны

бссследовой части являются безмассовыми. Для выяснения физического смысла второго и третьего уравнений подставим уравнения (8) в лагранжиан (6) и уравнения поля. В результате получим, что плоские волны следа и псевдоследа кручения также являются безмассовыми. Полученный результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Пространство Римана-Картана U^ типа плоской волны с четырьмя произвольными функциями является решением уравнений поля Пуанкаре калибровочной теории гравитации тогда и только тогда, когда выполняются условия (8) на константы связи лагранжиана (6). Выполнение этих условий означает, что плоские волны кручения в пространстве Щ являются безмассовыми.

Наличие в волновом решении произвольных функций является важным обстоятельством, так как согласно [13] это позволяет кодировать сигнал и тем самым передавать информацию. Поэтому при выполнении условий (8) с помощью плоских волн кручения в принципе можно передавать информацию, распространяющуюся со скоростью света, так как кванты этих волн обладают нулевой массой покоя.

Результаты проведенных исследований можно сформулировать в виде следующих положений, выносимых на защиту:

1. Доказана эквивалентность 2-х (из 3-х возможных) вариационных методов получения уравнений гравитационного поля в аффинно-метрическом пространстве (¿4 ,д).

2. Для квадратичных лагранжианов общего вида методом неопределенных множителей Лагранжа получены вариационные уравнения гравитационного поля в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм.

3. Определена структура неприводимых компонент кручения при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана. Доказана зависимость неприводимых компонент кручения от 4-х произвольных функций запаздывающего аргумента.

4. Определены и доказаны необходимые и достаточные условия существования плоских волн кручения.

Список работ по теме диссертации

1) Вабурова О. В., Фролов Б. Н., Щербань В. Н. Плоские волны кручения в Пуанкаре калибровочной теории гравитации //Известия высших учебных заведений. Физика.-2012.-Т. 55.-JV? 6.-С. 114-116. (авторский вклад

- 50%)

2) Вабурова О. В., Липкин К. Н., Фролов Б. Н., Щербань В. Н. Вариационный принцип в постримановых теориях гравитации //Известия высших учебных заведений. Физика.-2013.-Т. 56.-№ 6.-С. 103-104. (авторский вклад — 30%)

3) Babourova О. V., Frolov В. N., Shcherban V. N. Investigation of plane torsion waves in the Poincare gauge theory of gravitation //Gravitation Cosmology (Гравитация и космология).-2013.-У. 19.-No З.-Р. 144-150. (авторский вклад

- 50%)

4) Вабурова О.В., Фролов Б.Н., Щербань В.Н. Плоские волны кручепия в пространстве Римана-Картана //XLVIII Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники [Текст]: тезисы докладов. - М.: РУДН, 2012.-С. 203-204. (авторский вклад - 50%)

5) Бабурова О. В., Фролов Б. Н., Щербань В. Н. Исследование свойств плоских свойств кручения в Пуанкаре калибровочной теории гравитации //В сб. III-я Российская летняя школа-семинар "Современные теоретические проблемы гравитации и космологии" - GRACOS-2013, 3-7 сентября 2013 г., Казань-Яльчик. Труды семинара. - Казань: Типография Казанского Университета, 2013. - С. 69. (авторский вклад

- 50%)

6)Бабурова О. В., Фролов Б. Н., Щербань В. Н. Структура плоских волн кручения в пространстве Римана-Картана //Фридмановские чтения: тез. докл. международ, науч. конф. (Пермь, 24 июня - 28 июня 2013 г.)/гл. ред. В.Ф. Панов; Перм. гос. нац. исслед. ун-т.-Пермь, 2013.-С. 66. (авторский вклад - 50%)

Щербаиь Владимир Николаевич "Структура постриманова пространства Римана-Картана типа плоской

волны"

Проанализированы различные методы получения уравнений поля в аффиппо-метрическом пространстве (¿4,9), и доказана эквивалентность 2-х методов из 3-х возможных.

Для квадратичных лагранжианов общего вида получены вариационные уравнения гравитационного поля в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм Картана методом неопределенных множителей Лагранжа.

Исследована структура неприводимых компонент кручения при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана. В результате чего была доказана зависимость неприводимых компонент кручения от 4-х приизвольных функций запаздывающего аргумента.

Дано определение пространств с кручением типа плоской волны в теориях с квадратичным лагранжианом общего вида в пространстве Римана-Картана. Доказана теорема о структуре кручения в пространствах плоско-фронтового типа.

Доказана теорема о необходимом и достаточном условиях существования плоских волн кручения.

Shcherban' V.N.

"Structure of Riemann-Cartan post-Riemann space of plane-wave-type"

Different methods of obtaining the field equations in an affine-metric space (Lt,g) are analyzed, and an equivalence of 2 methods from the 3 possible is proved.

For the general form of quadratic Lagrangians, variational equations of the gravitational field in the Riemann-Cartan space are derived in an exterior forms formalism by method of uncertain Lagrange multipliers.

The structure of the irreducible components of torsion propagating in the Riemann-Cartan space in the form of plane waves is investigated. As a result, dependence of the irreducible components of the torsion from 4 arbitrary functions from delayed argument is proved.

On the base of difinition of the spaces with the type of plane torsion waves in theories quadratic Lagrangians of general form in the Riemann-Cartan space, the theorem on the structure of the torsion in the Riemann-Cartan space of fiat-front type is proved.

The theorem about the necessary and sufficient conditions for the existence of plane waves of torsion is proved.

Список литературы

Всбср Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны.-М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.- 1G2.-271 с.

Trautman A. Foundations and current problems of General Relativity. //Lectures on General Relativity / ed. S. Deser, K.W. Ford.-Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1965.

Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сардапашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации.-М.: Изд-во МГУ, 1985.-141 с.

Adamovich W. Plane waves in gauge theories of gravitation. //Gen. Rel. Grav.-1980.-V. 12.-P. G77-691.

Sipper R, Goenner H. //Gen. Relat. Grav.-1986.-V. 18.-P. 1229-1243.

Jogia S., Griffiths J. B. //Gen. Rel. Grav. - 1980. - V.12 - P.597-617.

Zhytnikov V. V. //J. Math. Phys.-1994.-V. 35.-P. 6001-6017.

Babourova О. V., Frolov B. N., Klimova E. A. //Class. Quantum Grav.-1999.-V.

16.-P. 1149-1162.

Бабурова О. В., Фролов Б. H., Щербапь В. Н. //Известия вузов. Физика.-2012.-Т. 55.-№ 6.-С. 114-116.

Frolov В. N. //Вестник Моск. ун-та, сер. физ., астрон.-1963.-№6.-С. 48-58. Hayashi К. //Prog. Theor. Phys.-1968.-V. 39.-Р. 494-515. Frolov В. N. //Acta Phys. Polon.-1978.-V. B9.-P. 823-829.

Hehl F. W., McCrea J. D., Mielke E. W., Neeman Y. Metric affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors and breaking of dilaton invariance. //Phys. Rep.-1995.-V. 258.-P. 1-171.

Фролов Б. H. Пуанкаре калибровочная теория гравитации.-М.: МПГУ, Прометей, 2003.-160 с.

Frolov В. N. //Grav. Cosmol. (Гравитация и космология).-2004.-V. 6.-N. 4(24).-Р. 116-120.

Obukhov Yu. N. //Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys.-2006.-V. 3.-P. 95-138 (gr-qc/0601090vl).

Бабурова О. В., Косткин Р. С., Фролов Б. Н. //Известия вузов. Физика.-2011.-Т. 54.-№1.-С. 111-112.

Babourova О. V., Frolov В. N., Lipkin К. N. //Grav. Cosm.-2012.-V. 18-No 4.-Р. 225-231.

Пронин П.И. Как измерить кручение? //Сб. Экспериментальные тесты теории гравитации/ ред. В.Б. Брагинский и В.Д. Деиисов.-М.: Изд-во МГУ.-1988.-С. 146-152.

Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна.-М.: Наука, 1972.-200 с.

Подписано в печать: 11.03.2014 Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 193 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ"

На правах рукописи

04201457659

ЩЕРБАНЬ Владимир Николаевич

СТРУКТУРА ПОСТРИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА РИМАНА-КАРТАНА ТИПА ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Б.Н. Фролов

Москва - 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Вариационный подход к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм 15

1.1. Основные понятия теории гравитации в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм............ 15

1.2. Вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм....................... 22

1.3. Вывод уравнений поля квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана на языке внешних дифференциальных форм....................... 25

2. Вариационный подход к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм в общем аффино-метрическом пространстве 34

2.1. Основные понятия теории гравитации в общем аффинно-метрическом пространстве в формализме внешних форм . 34

2.2. Получение уравнений гравитационного поля методом неопределенных множителей Лагранжа............... 39

а

3. Структура плоских волн кручения в пространстве Римана-

Картана 53

3.1. Плоско-фронтовые волны......................................53

3.2. Плоские волны кручения в пространстве Римана-Картана. Теорема о структуре кручения................................59

3.3. Теорема о плоских волнах кручения..........................69

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 96

ЛИТЕРАТУРА 99

ВВЕДЕНИЕ

С самого начала создания ОТО не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем постоянного усложнения структуры пространства-времени. Эйнштейн сделал предположение, что четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана, и на этой основе создал современную теорию гравитации, названную общей теорией относительности (ОТО). Современные модели, объясняющие явления в астрофизике и космологии, основаны именно на ОТО - фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия, а также зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.

Одну из весомых ролей в этом сыграл тот факт, что общая теория относительности достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными [21], [24]. Но, несмотря на все вышесказанное, в ОТО существует множество нерешенных проблем [25], [26]. К ним относятся сингулярность, определение тензора энергии-импульса гравитационного поля, проблема определения начальных данных и другие. Данный факт

привел к необходимости поиска путей обобщения и модификации общей теории относительности. Одним из таких обобщений является предположение о том, что пространство-время является по свой геометрической структуре более сложной, чем риманово пространство.

Значительный интерес представляет собой изучение точных решений уравнений поля в пространствах, наделенных более сложной структурой, чем риманово пространство ОТО. Особое место здесь занимает поиск волновых решений, что обладает как теоретическим, так и возможным практическим значением [1] - [6].

В настоящее время одним из обобщений ОТО является пуанкаре-калибровочная теория гравитации [10]. Соответствие между гравитационными потенциалами и свойствами симметрии материи достигается наложением определенных ограничений на обобщенную аффинную связность. Этот подход к теории гравитации дает лучшее понимание связи между природой источников гравитационного поля и группой симметрий пространства-времени.

Группа пространства-времени в области низкой энергии, связанная с полями материи, - это группа Пуанкаре. Калибровочная теория гравитации для этой группы была рассмотрена в [34] - [38], где в [37] эта теория в математической форме была представлена Траутманом. Теория Эйнштейна-Картана естественным образом определяется в пространстве Римана-Картана [/4, т.е. в пространстве, где метрика и связность согласованы. В этой теории с кривизной содержится дополнительная структура - кручение пространства-времени. В настоящее время существует достаточно большое количество работ о теории гравитации с кручением [39]. Основным свойством данной теории является связь между кручением и его источником, спиновым моментом внешнего поля [10].

На следующем этапе развития науки многие исследователи считают, что в области высоких энергий группа Пуанкаре заменяется на более общую группу симметрий пространства-времени. На основании этого становится возможным существование связности, несогласованной с метрикой, что дает возможность исследовать пространство с новой геометрической структурой - неметричностью. Одна из наиболее общих канонических калибровочных теорий группы пространства-времени является аффинно-метрическая теория, построенная на базе аффинно-метрического пространства. С рассмотрением пространств, являющихся более сложными, чем пространство ОТО, стала актуальной проблема нахождения и исследования возможных источников гравитационного поля в различных теориях [13].

Разработка и исследование современной теории гравитации основаны на использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов [10]. Выбор лагранжиана теории является вопросом, открытым на сегодняшний день. Главная причина этого заключается в том, что прямое обобщение теории Эйнштейна-Картана приводит к теории, где часть уравнений является алгебраическими, что не является удовлетворительным фактом. Естественно, кручение может играть весомую роль только в том случае, когда нелинейные лагранжианы берутся за основу теории гравитации. В построении теории гравитации в пространстве Римана-Картана используются квадратичные лагранжианы [6]. Большая часть квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картана являются суммой линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

Так, в [1] изучались гравитационные волны в пространстве с отличным от нуля кручением в теории с лагранжианом специального вида,

состоящим из линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, одного из шести возможных квадратов тензора кривизны и всех возможных квадратов тензора кручения. В [2] волны кручения исследовались на фоне плоского пространства в теории с квадратичным по кривизне лагранжианом. В [3] авторы рассматривали плоские волны в теории с квадратичным по кручению и кривизне лагранжианом без линейной части. Работа [4] была посвящена исследованию волн кручения для 2-формы кручения алгебраически специального И-типа. В [5] исследована структура плоских волн бесследовой части кручения, а в работе [6] кратко приведены результаты по исследованию свойств плоских волн также следа и псевдоследа кручения.

Естественно, что появление новых теорий стимулирует огромный интерес к гравитационному эксперименту. Каждый год появляются все новые и новые работы, посвященные экспериментальному изучению различных гравитационных эффектов, различным методам их наблюдения. Существенными становятся вопросы по экспериментальному изучению кручения [14] - [17], [42]. Особое значение занимают проблемы поиска исследования волн кручения, гравитационных волн, а также волн кручения и неметричности. Пока окончательно нерешенным вопросом является и определение возможных источников таких волн.

Изучение волновых решений уравнений поля имеет достаточно давнюю историю. Естественно, здесь необходимо упомянуть о Коши. Из анализа задачи Коши для системы уравнений гравитационного и электромагнитного поля в пространстве-времени ОТО, пространстве Рима-на следует, что основные представления геометрической оптики являются общими для гравитационного и электромагнитного полей [43]. Различные типы гравитационных волн определяются различными типами

фронта волны. Данный факт дал возможность создать общековариант-ную классификацию типов гравитационных волн в зависимости от свойств волнового фронта, определяемых заданием волнового вектора. В пространстве Римана различают сферические и плоские волны [44] - [47]. Данной теме огромное внимание в своих работах уделил Кундт [44], который не только нашел ряд волновых решений уравнений поля в пространстве Римана, но и описал их свойства. Ему удалось открыть широкий класс волновых решений уравнений поля с изотропной конгруэнцией без сдвига, растяжения и вращения. Этот класс носит название кундтов-ского класса. В кундтовский класс волновых решений входит пространство плоско фронтовой гравитационной волны с параллельными лучами, так называемые рр-волиы, другими словами пространство-время, которое допускает ковариантно постоянное изотропное векторное поле [44]. Кроме описанного выше существует, в частности, и другой, так называемый, групповой подход к классификации волновых пространств [48] -[52]. Подробное описание классификации и свойств пространств в зависимости от размерности допускаемой группы симметрий дано в [53]. Особое внимание в исследовании гравитационных волн в пространстве ОТО уделялось гравитационным волнам, носящим название плоские. Аналогично с плоской электромагнитной волной в случае гравитационного излучения требуют, чтобы метрический тензор пространства-времени обладал группой движений размерности пять которая не меняет изотропную гиперповерхность в описывающую фронт волны с постоянной амплитудой [45].

Есть достаточно много работ, описывающих различные волновые решения в пространствах с кручением определенного типа [54] - [56], а также проведено исследование волн самого кручения [1], [57] - [61]. Как

уже говорилось выше, такой интерес к проблеме связан с возможным экспериментальным исследованием волн наряду с их теоретическим описанием. Здесь также используются различные методы. Например, в [1] гравитационные волны в пространстве с отличным от нуля кручением в теории с лагранжианом специального вида, состоящим из линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, одного из шести возможных квадратов тензора кривизны и всех возможных квадратов тензора кручения. В [57] волны кручения исследовались на фоне плоского пространства в теории с квадратичным по кривизне лагранжианом. А в работе [58] для анализа волновых точных решений используется спинорный метод. Здесь были найдены волны кручения для 2-формы кручения алгебраически специального ]Ч-типа. Стоит отметить, что здесь, в отличие от работы [1], где предполагалось, что 1-форма конторсии должна быть пропорциональна 0°, что позволило свести значительную часть уравнений поля в вакууме к алгебраическим соотношениям, в работе [58] изначально накладывались более строгие ограничения на структуру кручения, а, конкретно, предполагалось, что кручение связано с главным изотропным направлением метрики, и конторсия не изменяет алгебраической структуры связности, откуда следует, что только одна компонента бесследового спинора кручения может быть отличной от нуля. Тогда уравнение гравитационного поля сводится к системе одного вещественного и одного комплексного линейных уравнений с постоянными коэффициентами для функции метрики и компонент кручения. И в отличие от уравнений гравитационного поля в [1] нелинейные слагаемые в уравнениях исчезают, что позволяет применять методы линейной теории. В работе [59] рассматриваются гравитационные волны в двумерной Пуанкаре калибровочной теории гравитации. Здесь кручение неприводимо и содержит

только векторную часть. Особый интерес вызывает случай, когда компонента кручения тесным образом связана с космологической константой Л. Тогда уравнения поля сводятся к волновому уравнению для тетрад, решением которого является метрика, представляющая аналог плоской волны в четырехмерной теории гравитации [24].

Нельзя не упомянуть, что достаточно много работ, например, [54] - [56], посвящены поиску точных решений уравнений поля в вакууме в теории с квадратичным по кручению и кривизне лагранжианом без линейной части. Здесь используется техника спиновых коэффициентов, изначальное наложение ограничений на форму тензора конторсии. Например, в [55] считается, что тензор конторсии антисимметричен, тогда кручение описывается одной комплексной и двумя чисто мнимыми компонентами. После чего показывается, что любое решение уравнений поля квадратичной калибровочной теории в вакууме с полностью антисимметричным тензором конторсии, описанным в тензорах изотропного вектора, риманова часть которого является решением уравнений Эйнштейна в вакууме с космологической постоянной, имеющей алгебраический тип 14, с автопараллельной главной изотропной конгруенцией без растяжения, вращения и сгиба. А в [54] уже изначально предполагается, что тензор конторсии псевдосимметричен. Здесь показывается, что любое решение уравнений поля квадратичной Пуанкаре калибровочной теории в вакууме с тензором конторсии, описанным в терминах изотропного вектора, риманова часть которого является решением уравнений Эйнштейна в пустоте с космологической постоянной, имеющей алгебраический тип с автопараллелыгой главной изотропной конгруенцией без растяжения, вращений и сгиба. В пространствах данного типа кручение представляет распространяющуюся плоскую волну кручения с за-

паздывающей изотропной координатой времени. А вот в [56] основным методом исследования является метод спиновых коэффициентов. Первоначально накладываются ограничения не только на форму кручения, но и на тензор кривизны. Кручение описывается двумя комплексными компонентами и одной чисто мнимой компонентой. Также предполагается, что риманова часть тензора Риччи равна нулю, что дает возможность метрике соответствовать вакуумному решению ОТО, и обобщенный тензор Вейля имеет алгебраический тип III или N. Все эти ограничения приводят к тому, что кратная главная изотропная конгруенция является геодезической без растяжения, вращения и сдвига. Из этого делается вывод, что пространство V4 найденного типа принадлежит к кундтов-скому классу плоскофронтовых гравитационных волн. В [71] получены ограничения на константы связи квадратичного лагранжиана, которые позволяют ударным волнам [63] распространяться в пространстве с кручением. Кстати, ударные волны при этом могут распространяться только вдоль изотропных гиперповерхностей. Одно из полученных условий исключает так называемое условие «жизнеспособности» [60], что дает возможность распространения тахионной ударной волны. В [61] показано, что возникновение таких нефизических полей кручения связано с теми частями связности Леви-Чивита, которые вертикальны на гиперповерхности распространения ударных волн. Распространение тахионной ударной волны противоречит предположению о том, что полное поле кручения является динамическим, и любая его компонента измерима. Напомним, что это предположение лежит в основе Пуанкаре калибровочной теории. В [61] была предпринята попытка разрешения возникшей проблемы возникновения нефизических полей с помощью 3+1 разложения пространства-времени. Но открытой осталась проблема измерения

нединамических полей.

Итак, исследование волн кручения в большинстве работ проводится путем изначального введения ограничений на основные структуры пространства - кривизны и кручения.

Целью данной работы является исследование структуры непрерывных компонент кручения, зависящих от 4-х произвольных функций, при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана.

Стоит отметить, что в работе изначально не вводится никаких ограничений на форму кривизны и кручения. Наоборот, структура 2-формы кручения пространства волнового типа непосредственно вытекает из условий симметрий, которым должны удовлетворять такие волны.

Построение современной пуанкаре-калибровочной теории гравитации основано на существенном использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов [7] - [13]. Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитационного поля стимулируется также построением перенормируемой теории гравитации в пространстве Римана-Картана. Большинство квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картаиа могут быть описаны как частные слу�