Системы законов сохранения класса Темпля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГТ 5 ОД 1 1 НОЯ 13ВБ

на правах рукописи

Агафонов Сергей Иванович

СИСТЕМЫ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ КЛАССА ТЕМПЛЯ

Специальность: 01.01.02 Дифференциальные уравнения.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фичико-математических наук

Москва-1996

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте

доктор физико-математических наук, профессор П.П. Волосевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Е.В. Ферапонтов.

доктор физико-математических наук, профессор С.П. Царев, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник A.B. Аксенов.

Ведущая организация: Матетематический Институт РАН

им. В.А. Стеклова.

Защита диссертации. состоите«__^__ 1996г.

в _ час. _ мин. на заседании диссертационного совета Д.002.40.03

при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН но адресу: 125047, Москва-47, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомитсьса в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан ___ 1995 г.

Научные руководители:

Официальные опоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.40.03, д.ф.-м.н.

М.П. Галанин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Системы уравнений гидродинамического типа

W¡ =!>}(«)«£, i'J = 1,...,п. (1)

используются в теоретической физике для описания движения различных типов идеальных сплошных сред без учёта диссипации энергии. Такие системы возникают в газовой динамике, гидродинамике, химической кинетике, методе усреднения по Уизему уравнения Кортевега-де Фриза, при усреднении других вполне интегрируемых уравнений. \

Актуальность темы связана с тем большим интересом, который в последнее время вызывали нелинейные системы такого вида. В первую очередь следует отметить обзоры [1,2] , где была построена теория интегрируемости гамильтоновых систем гидродинамического типа в инвариантах Римана. При этом одними из наиболее простых и хорошо изученных моделей нелинейных волновых процессов являются системы законов сохранения

и|'= /'(«.)„ « = 1,...,п. ' (2)

Для гиперболических систем такого типа удается развить теорию слабых решений - см., например [3, 4, 5]. При рассмотрении разрывных решений таких систем приходится решать задачу Римана о распаде- произвольного разрыва. Сценарий такого распада полностью определяется геометрией кривых разрежения и ударных адиабат в пространстве полевых

1 Дубровин Б.А., Новиков С.П. Гидродинамика слабо деформированных со-литонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамилътонова теория //Успехи математических наук, т 44> вып 6> 1389, 29-98.

2 Царев С.П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа.. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР, серия математическая. 1990. Т.54. N5. С. 1048-1068.

3 Рождественский В.П., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к- гаповой динамике. М:, Наука, 1968.

4 Lax P.O. Hyperbolic systems of conservation laws II. // Comm. in Pure and' Appl. Math. 1957. V.ÍO. P.537 -566.

5 Temple D. Systems-of conservation laws with invariant • submanifolds // Transactions of the American Mathematical Society. 1983. V.280. N2. P.781-

795.

переменных и (в зарубежной литературе кривые разрежения носят название "rarefaction curve", в русскоязычной литератур для систол! в инвариантах Римана используется еще термин "волна разрежения" (см. [3]) или ' полна ■ Римана"). Лаксом [4] было показано, что для строго гиперболических систем адиабата D окрестности своей вершины локально распадается на п ветвей. н кривые разрежения имеют С2 касание с ветвями адиабаты. Как отмечалось в ряде работ, возможно тождественное с овпадение ветвей ударной адиабаты с соответствующими кривыми разрежения. Такие системы возникают при моделировании нефтяных резервуаров, при изучении нелинейных волштых движений упругих струн, в многокомпонентной хроматографии [G, 7. 8, 9. 10] и подробно изучались Темплем в [5].

Они обладают многими интересными свойствами. Задача Римана для таких уравнений может быть решена глобально. Волновое взаимодействие имеет упрощенную структуру. Такие системы выделяются при анализе разрешимости задачи Коши для произвольны* начальных данных с ограниченной вариацией. В дальнейшем системы законов сохранения, характеризующиеся совпадением кривых разрежения и ударной адиабаты, будут называться темплевскими, или системами класса Темпля. На настоящий момент подробно исследованы системы класса Темпля, приводимые к инвариантам Римана и системы с гиперболическим вырождением ¡5, И], однако полностью отсутствуют результаты о недиагоналйзуемых системах класса Темпля. 'Это делает актуальной задачу классификации недиагонализуемых систем рассматриваемого класса.

6 Aris R., Amundson N. Mathematical methods in chcmtcal tngtntrnm/. N.J. Vol 2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

7 Helfferich F., Klein G. Multicomponent chromatography. Nt:u> Jork, Maud Dekker,1970.

8 Keyfitz B., Kranzer H., A system of non strictly hyperboltc const nation lau arising m elasticity theory// Arch. Rational Mech. Anal. 72, N:i. 1980. 219 241.

9 Rhee-H., i4ris R., Amundson N. On the theor-y of multuompont nt chrvmatography.// Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser A, 267, ¡910. 419 455.

10 Temple B. Glpbal solution of the Cauchy problem for a class of 2x2 mm strictly hyperbolic conservation laws// Adv. Appl. Math. 1982. K..7, .7.75 .775.

11 Heibig A., Sahel A. Une methode des charu/tt:ri.iti</ti<:.i pour ctrtams systèmes de ¡où de conservation // C.R. Acad. Sei. Parts, 1996. t.:i22.. sir I, 37-42.

В последние годы отмечается особый интерес специалпстоз по математической физике к различным разделам классической дифференциальной геометрии: теории поверхностей, теории п- ортогональных и п-сопряженных систем координат, теории тканей, преобразовании типа Беклунда и т.п. Обсуждаемая в диссертации связь систем законов сохранения с проективной теорией конгруэнций отвечает общей тенденции геометризации современной математической физики.

. Мощным инструментом исследования нелинейных дифференциальных уравнений является групповой анализ. Группы симметрии дифференциальных з'ряянений ксяслыуютса для пелучепиа поьых решений из уже известных, для построения инвариантно-групповых решений сложных нелинейных систем, для отыскания законов сохранения.

При неточечных преобразованиях (таких, например, как преобразования по решению или преобразования Беклунда типа дифференциальной подстановки) система может утратить привычные точечные симметрии. В связи с чтим интересно исследовать связь симметрии систем уравнений, связанных неточечной заменой.

Состояние вопроса. Как известно (см., например [3]), гладкие решения систем гидродинамического типа с вырожденным годографом лежат на кривых" разрежения. В [5] показано, что условие существования слабых решений г пырожденным годографом как раз эквивалентно совпадению кривых разрежения с соответствующими ветвями ударной адиабаты. Там же было показано, что что совпадение имеет место тогда, и только тогда, когда для всякой кривой разрежения либо соответствующая характеристическая скорость постоянна вдоль нее (в теории квазилинейных уравнений это условие известно как слабая нелинейность), либо кривая разрежения прямолинейна в переменных и консервативной записи. С работе [5] Дано описание таких' систем для случая 2 х 2.

В [10] строились глобальные решения задач Коши для темплевских систем с гиперболическим вырождением. Темплевскиесистемы, допускающие инварианты Рпмана, рассматривались в [6, 7, 11], с гиперболическим вырождением .в [8].

Еше Рнманом было отмечено, что система (1) представляет собой дифференциально .геометрический объект. При заменах зависимых переменных н матрица г'(и) ведет себя как тензор типа (1,1), который полностью определяется сетью своих собственных направлений и собственных чисел, называемых п теории квашлпненных уравнений характеристическими скоростями. Многие снопе] па систем (1) имеют ясную геометрическую интерпретацию. Гак. условие того, ч го система (2) есть система класса Темпля. является нч>-

метрическим. Существование инвариантов Римана геометрически означает . голономность сети собственных направлений. Системы в инвариантах Римана представляют на сегодняшний день наиболее изученный класс систем (1) 1?ак с точки зрения их интегрируемости, так и с геометрической. В обзорах [1, ■2] построена теория интегрируемости гамильтоновых диагоналнзуемых систем гидродинамического типа. Однако и среди недиагонализуемых систем гидродинамического типа есть интегрируемые, см., например [12, 13]. Гамильтоновы интегрируемые недиагонализуемые системы имеют глубокие связи с классической дифференциальной геометрией [14].

Недиагонализуемые темплевские системы тесно связаны с уравнениями ассоциативности, возникающими в двумерной топологической теории поля [17].

В работе [18] было предложено рассматривать уравнения ассоциативности как системы уравнений гидродинамического типа. Гамильтоновость

12 Ferapontov E.V., On integrability of 3x3 semi-Hamiltonian hydrodynamic systems txj = v'j(u)u{ which do not possess Riemann invariants // Physica D 63, (1993), 50-70.

13 Ferapontov E. V,, On the matrix Hopf equation and iniegrable Hamiltonian systems of hydrodynamic type which do not possess Riemann invariants // Physics Letters A 179, 391-397, (1993).

14 Ferapontov E. V.'Dupin hypersurfaces and integrable hamiltonian systems of hydrodynamic type, which do not possess Riemann invariants // Diff. Geometry and its Appl. 1995. V.5. Р.Ш-152.

15 Мохов О.И., Ферапонтов E.B. Уравнения ассоциативности двумерной топологии?ско'й теории поля как интегрируемые гамильтоновы системы гидродинамического типа // Функциональный анализ и его приложения. 1996. V.30. N3.

16 Ferapontov E.V., Mokhov O.I. The equations of associativity as hydrodynamic type systems: Hamiltonian representation and the integrabiUty.// In Proc. of the Workshop "Nonlinear Physics. Theory and Experiment" 1995, Lecce, Italy, World Scientific, Singapore. P. 104115

17 Dubrovih B.A. Qeometry of 2D topological field theories. Preprint SISSA--89/94/FM, SISSA, Trieste. 1994. hep-th/9407018.

18 Mokhov O.I. Symplectic and Poisson geometry on loop spaces of manifolds and nonlinear equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1995. ser.2. 4.170. P.121-151. ■ . ■ '

этих уравнений исследовалась в работах [15,16], где было показано, что эти системы эквивалентны системе трех волн и было предложено преобразование по решению, сводящее их к постоянным характеристическим скоростям.

При исследовании систем гидродинамического типа широко используят-ся преобразования по решению, которые можно рассматривать как простейшие преобразования Беклунда. Преобразования такого типа тесно связаны с групповыми свойствами систем. В [19] они рассматриваются в связи с симметриями гидродинамических поверхностей систем уравненй гидродинамического типа. В работах [20, 21] изучаются нелокальные симметрии систем уравнений, связанные с такими преобразованиями.

Цель работы. Целями настоящей работы являются:

1. геометрическое описание систем класса Темпля;

2. установление произвола существования" недиагонализуемых темпплев-ских 3x3 систем, получение критериев интегрируемости, полугамильтоно-вости и гамнльтоновости таких систем;

3. описание подкласса темплевских недиагонализуемых 3x3 систем — так называемых сводимых систем, их классификация, получение критерия сводимости для слабо нелинейных систем;

4. построение нелокальных симметрий для систем уравнений, связанных неточечной заменой переменных.

Научная новизна и практическая ценность. Выносимые на защиту результаты диссертации являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и группового анализа.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинаре 5-го и 10-го отделов ИММ РАН, на семинаре по математической физике

19 Ферапонтов Е.В. Автопреобразования по решению и гидродинамические симметрии // Дифференциальные уравнения. 1991. ' Т.27. N7. С.1250-1262.

20 Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) т. 34, М., 19S9. 3-83.

21 Даръин H.A. Общая алгебра операторов симметрии уравнений газовой динамики в эйлеровых и лагранжевых переменных // Журнал Вычислительной Математики -и Математической Физики, т 34, N5, 1994,. 739 747.

в ИПМ им. М.В. Келдыша, на международной конференции "Симметрия и нелинейной математической физике" (г. Киев, Украина, 1995 г.), на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Уфа, 1996 г.)

Публикации. По результатам, представленным в диссертации, опубликовано 3 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура в объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, и списка литературы из 48 наименований. Диссертация изложена. на 98 страницах. • .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы исследований, дан краткий обзор работ по рассматриваемой тематике, изложены основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена геометрическому описанию систем законов сохранения. В п. 1.1 мы начинаем со стандартных определений кривых разрежения и ударной адиабаты. Условие их совпадения выделяет специальный класс систем законов сохранения, который был подробно изучен Темплем в [5]. Мы приводим основную теорему работы [5], дающую описание систем этого класса. В качестве примеров рассмотрены уравнения хроматографии и система из трех законов сохранения, возникающая в двумерной топологической теории поля.

В п. 1.2 вводится важный класс преобразований систем законов сохранения — так называемые преобразования по решению. Устанавливается инвариантность кривых разрежения, ударной адиабаты и систем класса Тсмпля относительно преобразований по решению. .

В п. 1.3 рассматриваются системы из двух законов сохранения

= /'(«)*.

и указывается явный вид правых частей /', /2, гарантирующий принадлежность системы классу Темлля.

Центральным местом работы является п. 1.4, где системе законов сохранения ставится в соответствие п-параметрическое семейство прямых в

(г« + 1) мерном пространстве' Д"+1, заданное уравнениями • = «'у0 - /»(«),

у" = ь"у° - /». .

В случае п = 2 мы получаем двупараметрическое семейство, или, как говорят, конгруэнцию прямых в А3. Начиная с работ Монжа, Плюккера и Куммера теория конгруэнций является одной из наиболее красивых и ярких глав классической дифференциальной геометрии. Установлены следующие свойства введенного соответствия:

- преобразованиям по решению системы законов сохранения отвечают проективные преобразования пространства .4п+|;

- кривым разрежения системы законов сохранения отвечают развертывающиеся поверхности семейства прямых; .

- ударной адиабате с вершиной в точке ио отвечают прямые семейства, которые пересекают данную прямую у' = и'иу° — /'("(>)•

Неожиданный на первый взгляд вывод состоит в том, что теория систем законов сохранения есть не что иное, как проективная геометрия п-параметрнческих семейств прямых в , При этом теоремы, устанавливающие инвариантность кривых разрежения п удлрпой адиабаты относительно преобразований по решению, превращаются в элементарные факты проективной дифференциальной геометрии.

В п. 1.5 показано, что системам законов сохранения класса Темпля отвечают семейства прямых, развертывающиеся поверхности кото/ их являются либо плоскими, либо коническими. На основе прозрачных геометрических рассуждений продемонстрировано, каким образом моасно без всяких вычислений полу тать описание систем из двух законов сохранения класса Темпля, приведенное в п. 1.3.

В п. 1.6 устанавливается инвариантность систем класса Темпля относительно корреляций трехмерного проективного пространства.

Вторая глава работы посвящена недиагонализуемым 3x3 системам законов сохранения с прямолинейными кривыми разрежения. При их анализе используется метод внешних форм Картана. Дело в том, что у недиагона-лизуемых систем нет естественных переменных типа инвариантов Римана и лет выделенной координатной формы записи. При изучении таких систем удобно использовать внешнюю запись, в которой участвуют лишь левые собственные векторы и характеристические скорости систем. (См., например, работы {19, 14, 12], где эффективно используется такая форма запией.)

В □. 2.1 приводится внешняя запись систем гидродинамического типа и выписываются структурные уравнения, определяющие систему с точностью до замены зависимых переменных. Получены инвариантные условия прямолинейности кривых резрежевия и проведен анализ их совместности. Эти условия удалось привести в инволюцию и установить, что произвол,-с которым существуют недиагонализуемые 3x3 системы законов сохранения с прямолинейными кривыми разрежения, составляет 22 константы.

В п. 2.2 установлена эквивалентность систем с одинаковыми структурными уравнениями относительно преобразований по решению.

В п. 2.3 показано, что рассматриваемые системы интегрируемы тогда п только тогда, когда они слабо нелинейны. При этом структурные уравнения , на левые собственные векторы системы являются уравнениями Маурера Картана для группы 50(3) либо группы 50(2,1), так что есть'только два класса эквивалентности интегрируемых систем относительно преобразований по решению, сохраняющих темплевость. Произвол в существовании интегрируемых недиагоналгоуемых систем класса Темпля порядка 3x3 составляет 9 констант. Этот критерий аналогичен критерию интегрируемости для гампльтоновых недиагоналиэуемых систем (см. [14]).

Установлены критерии гамшгьтоновости и полугамильтоновости в бескоординатной форме. Оказывается, что для рассматриваемых систем условие полугамильтоновости (являющееся ослаблением более сильного условия га-мильтоновости) эквивалентно опять-таки слабой нелинейности. Условие же того, что система гамильтонова, накладывает 3 дополнительных условия'на характеристические скорости системы. Эти условия совместны и произвол в существовании гамильтоновых систем рассматриваемого вида равен 6-ти константам.

В третьей главе рассматривется специальный подкласс темплевских 3x3 систем — сводимые системы. Сводимость "систем гидродинамического типа из п уравнений определяется в п. 3.1. как наличие у системы цепочки законов сохранения, позволяющей при помощи введения потенциалов свести систему к одному дифференциальному уравнению, содержащему производные только п-го порядка. Темплевость для таких систем эквивалентна слабой нелинейности, так что недиагонализуемые системы из этого класса, согласно результатам второй главы, будут интегрируемыми и полугамильтоновымп. В п. 3.1. в бескоординатной форме дан критерий сводимости для слабо нелинейных систем. При его доказательстве используется метод внешних форм Картана.

Если система сводима, то слабая. нелинейность накладывает некоторые

условия на потоки выделейной цепочки законов сохранения. Эти условия имеют вид переопределенной системы дифференциальных уравнений на одну функцию. В п. 3.1. находится ее общее решение, определяющее вид уравнений, которым эквивалентны наши системы гидродинамического типа после сведения. Этими уравнениями оказываются уравнения типа Монжа-Ампера.

В п. 3.2. дается классификация уравнений типа Монжа-Ампера третьего порядка с точностью до линейных замен независимых переменных и прибавления к искомой функции полинома третьей степени от независимых переменных. Выписаны 3 канонические формы, к которым сводятся эти уравнепия при таких преобразованиях. Для канонических форм приводят-сг спектральные задачи [17], которые после соответствующей замены переменных будут также спектральными задачами канонических предст; зптелей недиагонализуемых сводимых слабо нелинейных систем.

В п. 3.3. 5>ти спектральные задачи используются для нахождения преобразований по решению, сводящих рассматриваемые системы гидродинамического типа к случаю постоянных характеристических скоростей в духе работ [15, 16]. Для канонических систем выписаны явные выражения левых собственных векторов и характеристических скоростей. Найден критерий гамильтоновости для недиагонализуемых слабо нелинейных систем.

Четвертая главо посвящена нелокальным сямметрилм систем дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными. В п. 4.1. вводятся нелокальные переменные (потенциалы), связанные с законами сохранения. Законы сохранения понимаются как дифференциальные 1--формы, замкнутые на решениях. Инфиннтезнмальные операторы елм; .атрий итстемы отображают законы сохранеиня в законы сохранения, т.е. определено действие алгебры симметрии системы уравнепнн на множестве законов сохранения.

В п. 4.2. рассматривается случай, когда у так определенного действия есть конечномерные инвариантные подпространства. Вводя новые нелокальные переменные, связанные с базисом этого подпространства, мы можем продолжить действие на нелокальные переменные, позволяющее сохранять симметрии при нелокальных заменах переменных. Предложенная техника проиллюстрировала на примерах.

В п. 4.2, развитый подход используется для нахождения нелокальных сим-метрий системы одномерных уравнений газовой дпнампхи для политропного газа и гамнльтоновой системы уравнений, эквивалентной уравнению ассоциативности [18]. . . ' ■ ;

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построено соответствие между системами п законов сохранения гидродинамического типа и «-параметрическими семействами прямых в « +1-мерном пространстве, параметризованных переменными ы. Установлено, что при этом кривым разрежения соответствуют развертывающиеся поверхности, ударной адиабате с вершиной в точке щ отвечают прямые семейства, которые пересекают прямую с параметром ио, преобразованиям по решению - проективные преобразования, системам с прямолинейными кривыми разрежения — семейства прямых с плоскими развертывающимися поверхностями, слабо нелинейным" системам — семейства прямых с коническими развертывающимися поверхностями. Описали преобразования по решении, сохраняющие класс темплевских систем.

2. Установлен произвол, с которым существуют неднагоналнзуемые тем-плевскяе 3x3 системы. Он составляет 22 константы. Найдены критерии интегрируемости, полугамильтоновости и гамилЬтоновости таких систем в бескоордпнатной форме. Показано, что если у двух темплевских систем сети собственных направлений совпадают, то системы преобразуются друг в друга некоторым преобразованием по решению.

3. Получен критерий сводимости для слабо нелинейных систем. Покатано, что такие системы эквивалентны уравнениям типа Монжа Ампера третьего порядка. Получена классификация таких уравнений й эквивалентных им систем гидродинамического типа

4. Предложена процедура получения нелокальных симметрии для систем дифференциальных уравнений, допускающих законы сохранения. Они происходят из точечных симметрии систем, эквивалентных данным относительно преобразований по решению или преобразований типа дифференциальной подстановки. Предъявлены нелокальные симметрии уравнений одномернон газовой динамики и уравнения ассоциативности.

Автор глубоко признателен своим научным руководителям д.ф. м.н. П.П. Волосевпчу и к.ф.-м.н. Е.В. Ферапонтову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] Агафонов С.И., Использование дифференциальных форы для построения нелокальных спмметрий. // Математическое моделирование, т.6, N3, 1994, 60-74.

[2] Agafonov S.I., Application of Differential Forms to Construction of Nonlocal Symmetries. // J. of Nonlinear Mathematical Physics, v.3, N 3-4,1996, 453457. '

[3] Агафонов С.И., Ферапонтов E.D. Системы. законов сохранения класса Темпля с точки зрения про«ктнзпой теорпз колгруз«цз5./ в сборнике Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и применения, т.4, "Дифференциальные уравнения", i996, изд. "ПРИНТ", Уфа, 5-13.

г и itn.^i .5 '//С L (и? STOP'S