Интегрируемые системы уравнений гидродинамического типа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

10 ~

Ó 1

Российская акадшш наук

Физический Институт аа. П.Н.Лебедева РАН

На правах рукописи

МВЛОВ Максим Валентинович 0бъем: 1 УЧ«СТР*

Тираж 100 зла.

ИНТЕГРИРУШВ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТША

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Цосква 1992

Работа выполнена в йнстзтуто Теоретической Физик;! ни. Л.Д. Ландау РАК..

Научный руководитель:

доктор фазако-иагвиашадсклх наук, профессор, академик РАН С.П.Новиков

Официальные отонеаты:

доктор физако-цатеиатических наук, профессор, член-корреспондент РАН А.В.Гуремч,

кандидат физико-цатематичзеких наук Е.В.Ферапонтов

Ведущее продтзриятие -Институт Физических Проблей т. П.Л.Капицы РАН

Защита состоитей " 27" _ 1992 г. в "40 Ч)

ив заседании Специализированного Ученого Совета ФИАН № К 002.39. по специальности 02.CV.02 - теоретическая физика но задав

диссертаций на соискаиио ученых степеней кандидата физико-математических наук по адресу:

Д7-924 ГСП-1 Москва В-333, Ленинский просп., 53, Физический Институт РАН.

С диссертацией иоэгно ознакомиться в библиотеке ФЙАН.

Автореферат разослан "__1992 г.

Ученый секретарь специализированного Ученого Совета доктор

фазако-натеыатических наук В.Д.Скаряинскнй

ОВДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОГЦ

Актуальность теш. За последние двадцать лет, благодаря применена бастродейсувуюцах ЭВМ, стала развиваться теория сотгйтонов - раздел математики об интегрировании нелинейных дйффврэйцяальншс уравнений в частных производных. Такпа уравдензяг обладают бесконечным набором плотностей законов сохранения и гамильтоновой структурой. Для них была развита теняпка конечновонного интегрирования» по зволшгаая построить их периодические и навзипериодические решения, зависящие я 05 набора параметров.

В 80-х годах были разработаны методы усреднения таких роаоийй отих уравнений. В этой случав набор параметров рассматривался как цедленяоиеняющгася функцяи на фене быстрого периодического (ила квазипериодического; розеина, по периоду которого и производилось усреднение. Получающиеся уравнения на цедлеяноценпющився функции я приводили я сиотсиам уравнэ-нвй гидродинамического типа, которые "наследовала* бескояоч» яий набор плотностей законов сохранения и гаиияьгонову структуру. Кроиз того, многие задачи из гидродинамики, хшическоЗ кинетика , теория упругости, «агиатяой гидродинамики, биологии, творца плагш приводят к изучению систеи гидродинамического тира,

В отлвчиа от техники усреднения пятегрйруекшх уравнеинй аогоды усреднения уравнений в частных производных известии о 50-х годов. Тогда н удалось не только усредняй уравнение Иортзвега да-Фриза, но и привести систему усредненных уравнений к диагональному виду (или записать систему в инвариантах ?пмапа). Полученная састеиа долгое время оставалась единстве щи пряизроц из систем гидродннашчебкого типа (с числом у гравнонаЛ больше двух), которая происходила из интегрируемой одачя. Кроме того, было неясно, какяш свойствам обладают сдобные системы, какяе свойства онп "сохраяягот" от исходных ятегрнруэиых оистеи.

Вообце, квазилинейные системы уравнений в частных лроне-одп'сс первого порядка изучались еще с прошлого века. Однако

*- I -

достаточного запаса (для ревения задачи Коми) аналитических решений найти т удавалось. Йкешо, появление усреднении систеи уравнений привело к оозданк» и развитию йодных аналитических ыетодов, которые опираются на классическую дифференциальную геомэграя. Оказалось, что такиа системы уравнений всегда приводила в диагональную форму, что они имеют бесконечный набор илот носхай законов сохранения, локальную гшдашгонову структуру. Решение задачи Кошк для усредненной системы уравнений Кортвега до Фриза дает возможность, например, описать ударную волну в саном уравнении Кортвега да Фриза.

Кроме того, хорошо известно, что вычислительные методы при изучении нелинейных задач при больших временах не "работают". Во многих же прикладных задачах существует потребность исследовать поведение раиения, как раз на большее "временах". Именно здось и удается аналитически исследовать динаиику систем уравне ний гидродинамического типа.

К моменту написания диссертации, был создан, в основной, иатенатический аппарат изучения таких систем, однако, примеров интегрирования таких систем практически не было. Поэтому нахождение необходимых методов решения систем уравнений гидродинамического типа и их интегрирование весьиа актуально.

Цель диссертации

1. Мзучениз слабонелинейных систец. Построение для них полного набора плотностей законов сохранения, коммутирующих потоков. Решение задач.и Кошк.

2. Изучение более обцего класса систем гидродинамического типа с«стемЕ. К этому классу относятся слабонелинейные системы, системы хроматографии и электрофореза, целкой воды, гезовой диншшда, квазиклассические пределы Нелинейного уравнения Иредянгера, уравнения Еуссинеска, "Сцепленного КдФ". С ниии связанв усредненные уравнения однозонвых решений ^л-Ь , КдФ и ОТ. Нахождение для этих систем плотностей хаконов сохранения, коммутирующих потоков, реионие задачи Коии.

3. Исследование сиетиа- хроматографии и электрофореза. . длн них найдено общее решение, что позволяет решать задачу

Коши.

Усреднение обобщенного Нелинейного уравнения Шредин-гера,. построение для полученной системы уравнений ганильтоно за Форцалиааа. Приведение усредненных уравнений иаогофагвого решения НУШа, Построение коыаутируодих потоков для полученной систекн уравнений. Изучение гк сеязя с абслекки динаре ренцкалаыи к обсундение полноты получению: результатов. Построение общего решения усредненных уравнений.

Научная новизна» Для всего класса слабояелинайных систем явно построены плотаоми законов сохранения а кошутирущие потоки. Найдеп более широкий класс сисгеы, чем слабонели-не&ше, они обладают гея жз набором плотностей законов сохранения. Предъявлено общее решение.

Изучены п & - систеин". Для атого класса задач произведена классификация систем урашяеяай, яыэвдж локшпкуп гомилыонову втруктуру с разныаи <£- и для либого числа . уравнений М . Показало, что слабонелинейинз спстеш определенного типа принадлежа? к классу " -систен" яра £ Для этах систем построен аошый набор плотностей законов' сохранения, полный набор коинутнруйвдах потоков, найдено об-щев реяеннз. йсследозена задача Кова.

Показано, что шогие физические задачи: газовой дина-иики, мелкой воды, квазиклассические продели уравнения Бус-синеска, Нелинейного уравнения Нредингера, "Сцепленного Кдф" относятся к'этоиу классу задач.

Изучены системы хроматографии и электрофореза. Посла приведения к инварианта« Раиана, оказалось, что эти сгсстеиа совпадал! и принадлежат к классу " - систеи" при 6 - -I. Для них найден бесконечный набор плотностей законов сохранения, коммутирующих потоков, построено общее решение. Исследована задача Коши.

Изучено усреднение методоы Уизеиа обобщенного Нелинейного уравнения ¡Нредингера. Для системы усредненных уравнений построен локальный гамильтонов форлализц. Методой усреднения Фореста-Флаши-Маклафлина получены усредненные уравнения

- 3 -

ыногозонвого решения Нелинейного уравнения Ш'редиягера. Показало, иго усредненные уравнения однозонного решения Нелинейного уравнения Шредингера имев? грп локальные гааильтоиовн структура.

Сравнивай результаты усреднения обобщенного Нелинейного уравнения Шредангера иэюдом Уизеаа и моюдоа Фореста-Флашш -Шшшфлзша, октено преимущество дагранзэва фориалазма дли исходного уравнения перед гшильтонован форышшзмои.

Построено четырвхпаршетричеокое семейство коыцугяруо-вдх потоков к усредненным уравнениям однозонного уравнения Нелинейного ураецения Шредингера о поыодью абелевых даЕфе-рвнциалов, задшшш: на рииановой поверхности рода один.

Апробация работа. Материалы диссертации докладывались иа семинарах ЙТФ АН СССР, Ш АН СССР, ЙОАИ СССР, ИЙГ АН СССР, и ИГФ'АЙ УССР на цевдуяародяой конференции по неЛинейяш процессам 1987 г., в г.Юрмале на П рабочем совещании по солкто-лш 1986 г., в Санкт-Петербурге в Северо-Западном политехнической института.

Структура диссертации. Диссертация состоит аз введения, четы рех глав и заключения. Б ней содержится список литературы, включающий наименований.

Сверкание диссертации. Во введения обсуждается актуальное*! те цк, содержание последующих глав, а хакке новизна полученных результатов,

В первой главе диссертации содержится постановка задачи для слабонелинейных систеи.

Если интегрируемая састеаа

после приведения к инвариантам Ршана

удовлетворяет дополнительному условию

го она называете* слабонзлинеЯной.

а) Показано, что з этсы случао законы сохранения ищутся в наиболее простоя форае

прячем плотноста законов сохранении выражаются в еидо

РДв {^ Функций одного аргумента, а ^ пглпвтея рейв зияыи уравнений „ .у.

К Ок-Од.

коэффициенты СЦ^ удобно рассматривать кале коэффициент» рииановой метрики , играющей ваз

¡¡да роль в террин таких систем. задают полный набор ре-нений систоми уравнений на плотности законов сохранения.

б) Выделен более широкий класс чей. слабонелинейные сис-генн - системы слабонелинейного типа. Эти системн обладают сени яе плотностями законов сохранения, что и сл&бонелиией-ше системы, так как они содержат слабоиелинейшо з своем слассо в качество коммутирующих потоков. Выведено условие на 1втрику (точнее на ее символы Кристоффеля} определяющее ¡ринадлезиюсть данной систены к слабонелинейному типу:

ъ. г1 =. гл г.к

1 ик.1 'V

■Дв

в) Рассмотрены простейшие слабонелинейные системы о

р V __ 1

** Vх*

для них явно вычислены коийугкрувдио потоки для любого числа уравнений. Поскольку согласно методу обобщенного годографа зканиа всех коммутирующих потоков позволяет построить обцее ревониа системы, то общее реаениэ найдено и для любых систеа слабонелинейного типа о данным сиеболом Кристоф.$еля.

г) Приведены примеры слабонелипейных систем уравнений.

Во второй главе диссертации исследованы системы уравнений, метрика' которых полностью определяется символом Крис-тоффэлк

ПЪ = - е ,

Из этих " систеы" выдзлеи класс уравнений, ии венда, докальну» гааилътонову структуру. Для каддого числа уравнений найдены те £. , при которых существует локальный гашяь тонов фэраализи.

I,? >1 = 2, £- любое (три локальные гашоьтонова структуры)

2) N = 5, £ » I - слабонелинойнке системы, точнее системы слабонэлинейнбго типа (две локальные гамильтоновы структуры)

3) VI ,8, = -1/2 - квазикиассический предел "Сцепленного Кдф ( Ы + I локальная гашяьтонова структура)

Замечание: для числа уравнений Ы большее число локаль ншс гвшльтоновых структур, чей- + I не бывает вообще ни для каких интегрируемых систем уравнений гидродинамического типа.

Для целых 6. ( £ = 0, £ I, £ 2, ...) найдены явные фор цузш для плотностей законов сохранения и коимутирущгос потоков. Найдено тел самка и общее решение этих систем. Для

проиаволгшпс в- построена слстена контурных интегралов, ко торая задает ДО-парааетрическоа семейство' плотностей законов сохранения и коммутирующих потоков, что и определяет общее решение зш систеи,

Охазываегся, что " £. - системы" имеют одяопараметричес-ки<3 производящие функции плотностей законов сохранения

Чтобы построить М - параиетрачееков семейство плотностей законов сохранения, необходимо эту производящую функцию проинтегрировать по параметру л) , считая \(х^О) - ядром подынтегрального выражения, произвол же будет определяться функциям ^(йпра ядрах к(х^) , к = 1,2,... N -I, а ( -Г) контуров Сч выбраны как петля восьмерки на риаан0Е0 поверхности трансцендентного характера в общеа случае с разрезала (Патжн охватыван-г пары (^г» Ч)>• • • . Полученные интегралы

зыесте о

и задают

N

-параметрическое семейство плотностей законов сохранения " £ - систеи".

Для я £. - систен" коммутирующие потоки с фиксиро-ваннш 6- являются частными производными от плотностей -законов сохранения для "(-£. ) - систем". Поэтому строение

Н- параметрического семейства коммутирующих потоков аналогично строению К - параметрического семейства плотностей законов сохранения.

Для целых £ контуры цожно выбрать икаче. Для £.>0 каядый контур должен представлять собой окрукиость на комплексной л) - плоскости вокруг соответствующего инварианта Римана в этой случав все интзграяы легко вычисляются

с покощью вычетов; для 6<0 достаточно в качестве контура выбирать линий с переменным верхним пределом - инвариантом Риыана, а - заменить на О) . где

тогда калдый интеграл будет вычислен Юк+1 ~ кратным интег-

- ? -

рированиеы по честны. Кстати, также контура мояшо выбирать для любых < о .

Б заключении второй главы рассмотрены ел стены, полученные квазиклаасическиц пределом из уравнения Буссинеска, Нели нейного уравнения Иредингера, "Сцепленного КдЗп, а такие сис теш связанные преобразованием по реаешш с уйреднеиншш уравнениями однозонных решений ЗДл- (г , КдФ, НУШа.

В третьей главе диссертации содержится постановка задач для процессов хроматографии и электрофореза, применяемых в физике, хикии и биологии.

Система электрофореза имеет вид

, Кк - константы.

Система хроматографии имеет вид:

'к

где а1=аГ ^иНкс.1

НаЯдени соответствующие замены переменных для обеих систем, такие что они приводятся к инвариантам Рммана:

\\ = X1 Г1 "Ау* , ..Ы

-Ь т »1 V. /

То есть, в инвариантах Рииана уравнения хроматографии и электрофореза совпадают. При замене или 'Х'-—

они попадая)! в класс " 2. - систем", причем в данном случае Для этой системы коммутирующие потоки явно вычис лнются для любого М .

¿г^

2: -Дк(>к) 1 .м н^ПОпгМУ '

Такии образом, два разные прикладные физкко-хянические зйдачя таерг обцев рвнеяие:

В четвертой главе дяссоргацни рассматриваема усродне-

к!-? методом Унзеиа одеозоецого решения Нелинейного уравнения йрвдангвра и обобщенного Налшгйвсго уравнения Шредиигера о ясяоаьзованаен дагравзззд фориишзиа:

Показано, что исходя яз гаыильтокоаа форцрлнзиа эти ¿равнения получить наяьгп, нельзя тахыэ о гаи ае методом вычислить й усредненную скобку Пуассона, так как запаса законо сохранена!! у обоСв^енпого Нелинейного уравнения Шредиигера (кх три) не хватает для усреднения эткц способом (периодическое ревенав Обобщенного '{елкнзйного уравнения Щредшгге-ра зависим от четырех паренохров - столько и нужно законов сохранения).

¡ТрОБодепо уорзднениа азтсдс« Форёста-Фгшвки-йаклафлина шогозокного роиенкя Нелинейного уравнения Шредингара:

;ля однозонкоро ревения система усредненных уравнений в ин-аряантах. Риманп ¡етеэт вид

v, «к^ч-

n=L ^ _ g

-ч~<г.ч* К

i- g_ X i»-*,,' к

• * n^i A - ^ £

* К

E.(s<)» KCs^ - эллиптические полные интегралы ссотввтстэ1 второго i: первого родов» эллиптический модуль:

Построена производящая функция коммутирующих hosokqi которые могут быть получены усреднением однозонных решэш высших симметрия из иерархии ОТ.

Кроме того, для однозонного решения система у средне; уравнений имеет трн локальные гамильгоновы структуры. По: но, как первая построена из лаграняева форыалаама й найд ее плоские координаты. Остальные - явным вычислением.

а) Первая локальная гамильтоноза структура определи егоровской метрикой giv (метрика называется егоровской,

б) вторая локальная структура определяется нетрико!

в) третья локальная тшюпьтонова структура определ метрикой

Показано, что благодаря тоиу, что система усредненных равнений имеет егоровскув метрику и третью локальную гаыиль анову структуру, она ииеет и проективный' оператор симметрии

эднимаящиЯ степень однородности решении на единицу диффе-знцированкем, так как оператор симметрии переводит одно решив в другое, то таким образом ионно построить полный па->р коьмутирувдих потоков или общее решение.

1. Для слабойолинейннх полувамилионовых систем найдо-[ как плотности так и потоки законов сохранения. Доказана |Лнота найденных законов сохранения.

2. Для слабонелинейных полугамильтоновых систем найденн ■шутируюцме потоки, которые обладают теаи не плотностям конов сохранения.

3. Выделен широкий класс систем уравнений, включающий абонелинейныз систекн, уравнения мелкой води, газовой ди-иики, квазиклассические пределы уразнения Буссинеска, Не-нейного уравнения Иредангера, "Сцепленного Яд$", системы, язанные преобразование« по решению с усредненными урав-ниямя , КдФ и НУШ. Этот класс характеризуется щим типом метрики. Уравнения интегрируются независимо от чествования гашшыонова формализма (локального). Найдены в плотности законов сохранения, так и комиутируюадае пото-. Найдено общее решение, доказана его полнота.

4. Решены задачи хроматографии и электрофореза в общем це. Задача Коши сведена к реиекип системы обыкновенных Йеренциальных уравнений.

5. Усреднено обобщенное Нелинейное уравнение Ирединге-

Оснозные результаты диссертации

ра. Построек локальный гаильтонов формализм уоредненньк ура тений. Усреднено ыногоеонноа'решение Нелинейного уравнения Шредпнгера. Найдены три локальные гошш»тонош структура для уоредаенЕОго резания НУЕа. Построено оСщез решение этих ус-реднойкиг уравнений с поаоцьв абэлс-вшс дцффзрегвдаяов, заданных на римаковой поверхности рода один.

Оековаыа результаты диссертации бил;; опубликованы б статьях: Г. Ы.В.Павлов. ТИФ, т. 73, Й2, 316-320, 1987

2. Ы.В.Павлов. ÏÎJ®, 71, Ю, 351-356, 1987

3. të.В.Павлов. Прзпринт МФ АН СССР," 198? .

4. И,V.Pavlov, E.V.Farapontotf. Pbysioa 0 52 (1991) 211-219